ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y +006 Να προσδιοριστεί οι λ,μ R ώστε το μέσο του ΑΒ να έχει συντεταγμένες (3, ) Δίνονται τα σημεία Β(α, β), Γ(α 4, β + ), Μ(α 3, β + ) και Α τέτοιο ώστε = (, ) α)να δείξετε ότι το Μ είναι μέσο του ΒΓ, β)να υπολογίσετε το, γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α, δ) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ ορίζουν τρίγωνο το οποίο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 3 Δίνονται τα σημεία Δ(4,6),Ε(,) Να βρείτε : α) τις συντεταγμένες του διανύσματος β) τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΔΕ γ) τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Δ ως προς το Ε 4 Δίνεται το διάνυσμα u = (3λ + μ, λ - μ + 8) α) Να βρείτε για ποιες τιμές των λ, μ το διάνυσμα u είναι το μηδενικό διάνυσμα β) Να βρείτε για ποιες τιμές των λ, μ το διάνυσμα u είναι ίσο με το διάνυσμα a (4,8) γ) Να βρείτε για ποιες τιμές των λ, μ το διάνυσμα u είναι παράλληλο στο διάνυσμα v (,) και η τεταγμένη του u είναι διπλάσια από την τετμημένη του δ)να βρείτε για ποιες τιμές των λ, μ το διάνυσμα u είναι παράλληλο στον άξονα y y και u 8 5 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο είναι AB 4, A 6 και η γωνία των διανυσμάτων AB και είναι π Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, τότε: 3 α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος AM β) Να αποδείξετε ότι η προβολή του διανύσματος AB πάνω στο διάνυσμα AM είναι το διάνυσμα 4 9 AM 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 60, 3 και 4 Αν για κάποιο σημείο Δ ισχύει : τότε : α) να δειχτεί ότι τα σημεία Δ,Β,Γ είναι συνευθειακά β) να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο γ) να δειχτεί ότι τα διανύσματα και 3 είναι κάθετα δ) να υπολογιστεί το ε) να υπολογιστεί το,όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ

ζ) Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο η) Να υπολογιστεί το συνημίτονο της γωνίας, θ) Να υπολογιστεί το μέτρο της προβολής του AB στο AM 3 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 60 Αν για κάποιο σημείο Δ ισχύει : 4 να δειχτεί ότι : α) τα σημεία Δ,Β,Γ είναι συνευθειακά β) τα διανύσματα 3 είναι κάθετα γ) αν A 4 να βρεθεί το 8 Δίνονται τα διανύσματα a, με a, 3 και γωνία ίση με π/3 α) Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με πλευρές τα διανύσματα AB a και a β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων a, 3a γ) Να προσδιορίσετε το κ ώστε τα διανύσματα u a και v a να είναι κάθετα δ) Να βρείτε την προβολή του διανύσματος 3 a πάνω στο διάνυσμα a 9 Σε τρίγωνο ΔΕΖ είναι ΔΕ=α+β και 3β, όπου α =, β = και 3π α,β = 4 α) Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων : αβ, 5β+α, α-β β) Αν Ν είναι το μέσον της πλευράς ΕΖ: i) Nα εκφράσετε τα διανύσματα ΔΝ και ΕΖ συναρτήσει των α,β ii) Να βρείτε τη γωνία των ΔΝ και ΕΖ iii) Να βρείτε την iv) Nα αναλυθεί το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι κάθετη προς το διάνυσμα ( συναρτήσει των α,β ) 0 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, A,, α) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i ii iii 3 και, β) Aν Μ το μέσο του ΒΓ, να εκφράσετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των, γ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας, δ) Να βρείτε το μέτρο της προβολής του ΑΜ στη ΒΓ

Δίνονται τα διανύσματα, και για τα οποία ισχύει 3,, και 3 0 α) Να αποδείξετε ότι 4, β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= Δίνονται τα διανύσματα, για τα οποία ισχύει, α) Να αποδείξετε ότι: = β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων, και 3 3 γ) Να αποδείξετε ότι: δ) Να βρείτε την προβολή του διανύσματος 3 στο διάνυσμα 3 Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει: α + β = (4,0) και α + β = (3, 3 ) α) Να δείξετε ότι α = (, - 3 ) και β = (, 3 ) β) Να βρεθεί η γωνία διανύσματος β με τον οριζόντιο άξονα x x γ) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα διανύσματα α και β 4 Δίνονται τα διανύσματα u 4 a και v a Αν 3, και υπολογίσετε : α) το μέτρο του διανύσματος r u v β) το μέτρο του διανύσματος g u v γ) το εσωτερικό γινόμενο r g 3 (, ),να 4 5 Έστω τα διανύσματα του επιπέδου, β με (, ) και (, ) α) Δείξτε ότι ισχύει η σχέση: ( ) det(, ) (σ) β) Με την βοήθεια της παραπάνω σχέσης δείξτε: i //β det(, ) 0 ii β det(, ) iii Αν det(, ) 0τότε τα διανύσματα και ορίζουν τρίγωνο ΟΑΒ το οποίο έχει εμβαδόν (ΟΑΒ) = det(, ) ΕΥΘΕΙΑ 6 Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (3,0), Β (6, 4) και Η (3, 7) το ορθόκεντρο του Να βρείτε: α) τις εξισώσεις των υψών ΑΔ,ΒΕ β) τις εξισώσεις των πλευρών του γ) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ 3

δ) τις συντεταγμένες του Δ 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6,0), = (6, 6) και = (4,0) α) Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση: y = x+6 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Β και Γ και να υπολογίσετε την γωνία ˆ γ) Να βρείτε το εμβαδόν του 8 Δίνονται οι ευθείες (ε) : y = x+ και (ε) : x + y-8 = 0 α) Να βρεθεί το σημείο τομής Α των δύο ευθειών β) Να βρεθεί το σημείο τομής Β της ευθείας (ε) με τον y y γ) Να βρεθεί το συμμετρικό του Β ως προς την (ε) δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ Πως ονομάζεται η ευθεία ΑΒ σε σχέση με την (ε); 9 Δίνεται η εξίσωση: x + xy + y 4 = 0 α)να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει τις ευθείες ε: x + y + = 0 και ε: x + y - = 0 β)να δείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες γ)να βρεθεί η απόσταση των ευθειών ε και ε δ)αν Α(-, -) είναι σημείο της ευθείας ε και Β, Γ είναι αντίστοιχα τα σημεία τομής της ευθείας ε με τον οριζόντιο άξονα x x και τον κατακόρυφο άξονα y y, να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ 0 Δίνεται η εξίσωση x y 6x 9 0 α)να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε και ε β)να δείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες γ)να βρείτε ένα σημείο Μ(κ,λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα a (3, k) να είναι παράλληλο προς τη μία από τις δύο ευθείες ε και ε και το διάνυσμα ( 6,4 ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία Δίνεται η εξίσωση ε: (λ +λ-)x+(λ-)y+λ -=0, λr α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να παριστάνει ευθεία β) Να βρεθεί ο λ ώστε η ευθεία (ε) διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σημείο Κ δ) Αν το σημείο Κ είναι το κέντρο ενός τετραγώνου του οποίου η μία πλευρά του ανήκει στην ευθεία η: 3x-4y=0 να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με (, 3), (3, 3 4) α) Αν Μ το μέσον της πλευράς ΒΓ να δειχθεί ότι (, ) και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΜ β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να βρεθεί η γωνία του με τον άξονα χ χ δ) Να δειχθεί ότι (4, 3 4) και 4

3 Δίνονται τα σημεία Α(α, 0), Β(0, β) με αβ 0 α) Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση β) Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β αν γνωρίζετε ότι η ευθεία είναι κάθετη στο διάνυσμα (, ) για το οποίο ισχύει γ) Να δείξετε ότι τριγώνου ΟΑΒ 4 Δίνεται η ευθεία ε: x y 3 0 d(, ), όπου Ο η αρχή των αξόνων και (ΟΑΒ) το εμβαδόν του και το σημείο 3, A α) Να βρείτε την προβολή του Κ του σημείου Α πάνω στην ε β) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο Λ του Α ως προς την ε γ) Αν Μ είναι σημείο της ε με τετμημένη, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΜ 5 Δίνονται τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Oxy α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ γ) Έστω Μ τυχαίο σημείο της παραπάνω ευθείας (ε) Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: 6 Δίνεται η εξίσωση (ε) x : y 0, α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του αριθμού κ β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες με εξίσωση (ε) διέρχονται για κάθε τιμή του κ από σταθερό σημείο το οποίο και να βρεθεί γ) Nα βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η παραπάνω ευθεία σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 4 τμ 7 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές πάνω στις ευθείες yx, : οριζόντιο άξονα, ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων σημεία Bx, y και x, y : y x 0 και στον xoy ˆ Θεωρούμε ότι τα B B βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα με xb x α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του Α, Β, Γ β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου γ) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΑΜ, της διχοτόμου ΑΕ και του ύψους ΑΔ, που φέρουμε από την κορυφή Α δ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ και η απόσταση της από την πλευρά ΑΒ ε) Να βρεθούν τα σημεία τομής μιας ευθείας παράλληλης στον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (4,3) με τις ευθείες, 5

8 Δίνονται οι ευθείες ε : (-λ + )x + λy + 3λ - = 0 και ζ : (λ - ) x+ λy + 5 = 0 α) Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι ε // ζ β) Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι γ) Αν λ = να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν οι δύο ευθείες 9 Δίνονται η εξίσωση x y 4x 6y 5 0 () και το σημείο Α(λ,λ+3) Να αποδείξετε ότι : α) η εξίσωση παριστάνει ευθείες κάθετες μεταξύ τους β) το σημείο Α κινείται σε μία ευθεία,η οποία να βρεθεί γ) Αν λ= να βρεθεί το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ( ): y x 30 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με,, και η εξίσωση: ( a ) x ( ) y 0 (ε) α) Να δείξετε: i) Η (ε) παριστάνει πάντα ευθεία ii) Αν η ευθεία που παριστάνει η (ε) είναι παράλληλη σε κάποιον από τους άξονες χ χ, ψ ψ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο 0 β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με 0 τότε να βρεθεί ο αριθμός κ ώστε η ευθεία με εξίσωση (ε) διέρχεται από το σημείο (, κ) 3 Έστω η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Ρ(-,3) και τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα, ώστε το Ρ να είναι μέσο του ΑΒ α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι y3x 6 β) Θεωρούμε τα σημεία ( 5,) και ( 7,5 4 ) και το σημείο Δ ανήκει στην ευθεία i)να αποδείξετε ότι και να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΡΓΔ ii)για να βρείτε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ iii)για να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και 3 Θεωρούμε τα διανύσματα, και την εξίσωση x 6 y 0 α)να αποδείξετε ότι: i) η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε διάνυσμα, ii) όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί β)να βρείτε: i) πότε μία από τις παραπάνω ευθείες είναι η y x ii) την ευθεία της παραπάνω οικογένειας, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία y x ΚΥΚΛΟΣ 33 Δίνεται η εξίσωση C : x ( y ) ( x y ) 0,με 0 Να αποδειχθεί ότι : α) Η εξίσωση αυτή παριστάνει ένα μεταβλητό κύκλο, για κάθε 0 Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των κύκλων C β) Οι κύκλοι C διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Ρ, το οποίο να προσδιοριστεί γ) Τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε μια ευθεία δ) Οι κύκλοι C εφάπτονται στη ευθεία (ε): 0στο σημείο Ρ

34 Η εξίσωση 4x -4(α+)x-β(β-) = 0, έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες Να υπολογίσετε: α) το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(α,β) β) την εφαπτομένη του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου, η οποία άγεται από το σημείο Α(0,) 35 Έστω η εξίσωση x +y -λx-λy+λ -4 = 0, όπου λ () α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ένα σύνολο ίσων κύκλων β) Να υπολογίσετε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων γ) Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες, των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις 36 Δίνεται η εξίσωση x + y xσυνθ yημθ =0, 0 θπ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β) Αν, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(,) γ) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ= 37 Δίνεται η εξίσωση x +y -μx+μy+μ -=0 () μr α)να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε μr και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β)να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων () βρίσκονται πάνω στην ευθεία y = -x γ)να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κύκλος που περιγράφεται από την εξίσωση () που να εφάπτεται στους άξονες χ χ και y y δ)για μ=7 στην (), να βρείτε τις ευθείες που εφάπτονται στον κύκλο που προκύπτει από την () και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 38 Δίνεται το σημείο M(, ) με [0, ) α)να αποδείξετε ότι το σημείο M κινείται σε κύκλο (c ) του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β)να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων, του κύκλου (c ), που άγονται από το O (0,0) γ)να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι εξισώσεις των, δ) Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των κύκλων (c ) και (c ), που εφάπτονται εξωτερικά του 3 κύκλου (c ) και έχουν κοινές εφαπτόμενες τις, του κύκλου (c ) 39 Δίνεται η εξίσωση x y xln ln 4ln (), 0 α) Για ποιες τιμές του θ η () παριστάνει κύκλο; β) Για τις τιμές του θ του (i) ερωτήματος να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου γ) Να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του θ ώστε η ευθεία ζ: yx4 να εφάπτεται του κύκλου 40 α)να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ( c ), που διέρχεται από τα σημεία A(0,5), B(, ) και (,) 7

β)να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ( c ), ο οποίος διέρχεται από το σημείο (,7) και εφάπτεται στον κύκλο ( c ) στο σημείο A (0,5) γ)να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ( ), του κύκλου ( c ) που διέρχεται από το σημείο E( 9, ) και σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία 4 Δίνεται η εξίσωση x + y 4x + y + 3 = 0 και το σημείο Μ(,) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(, ) και ακτίνα ρ = β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ(,) γ) Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτόμενων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ 4 Δίνεται η εξίσωση x +y -μx+μy+μ -=0 () μr α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε μr και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων () βρίσκονται πάνω στην ευθεία y = -x γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κύκλος που περιγράφεται από την εξίσωση () που να εφάπτεται στους άξονες χ χ και y y δ) Για μ=7 στην (), να βρείτε τις ευθείες που εφάπτονται στον κύκλο που προκύπτει από την () και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 43 Δίνονται οι κύκλοι C: x + y = και C: (x - 3) + (y - ) = 4 α) Να δείξετε ότι δεν έχουν κοινό σημείο β) Να βρείτε την εξίσωση της διακέντρου γ) Από όλα τα ζεύγη σημείων (Α, Β), όπου το Α ανήκει στον C και το Β στον C, να βρεθεί αυτό για το οποίο τα Α, Β απέχουν τη μικρότερη απόσταση δ) Να βρεθεί το ζεύγος σημείων (Γ, Δ) (το Γ στον C, το Δ στον C) με τη μεγαλύτερη απόσταση 44 Δίνεται η ευθεία : x y x 0 των σημείων M( x, y ) του επίπεδου από τα οποία: α) δεν διέρχεται καμιά ευθεία της μορφής β) διέρχεται μοναδική ευθεία της μορφής με Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο γ) διέρχονται δυο μόνο ευθείες της μορφής 45 Δίνεται η εξίσωση ( x ) y n( ),για κάθε n R α) Να αποδείξετε ότι για κάθε n η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο Α Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α γ) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται της ευθείας x+y-=0 στο σημείο Α 46 Δίνεται η εξίσωση: x y (3 x y), () όπου * α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του * η () παριστάνει κύκλο που διέρχεται από το 8

Ο(0, 0), του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος που ορίζεται από την () εφάπτεται της ευθείας : y 3x γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την () δ) Αν το τμήμα ΟΑ είναι διάμετρος κύκλου που ορίζεται από την () και έχει μήκος 0 να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου αυτού στο Α 47 Α) Να βρείτε την εφαπτομένη ε του κύκλου C x : y στο σημείο του Α(-,) β) Δίνεται η εξίσωση: x y ( x y ) 0 (), Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση () να παριστάνει κύκλο Για λ =, να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση () 3 Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (), i διέρχονται από σταθερό σημείο ii εφάπτονται της ευθείας ε (του ερωτήματος Α) iii εφάπτονται μεταξύ τους 48 Δίνεται η εξίσωση x y x y 3 0(), α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που ορίζονται από την () ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα γ) Να δείξετε ότι η ευθεία : x y 3 0 εφάπτεται του κύκλου C για κάθε 49 α)δίνεται η εξίσωση x y 6x 8y 0όπου μ,λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός Να δείξετε ότι για κάθε τιμή των μ,λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο β)έστω ότι για τους πραγματικούς μ,λ ισχύει η σχέση 3μ+λ=0 i) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x y 6x 8y 0 για τις διάφορες τιμές των μ,λ έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Να βρείτε τα μ,λ έτσι ώστε αν Α,Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x+y+=0 να ισχύει OAOB 0 iii) Για τις τιμές των μ,λ που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΑΟΒ ΠΑΡΑΒΟΛΗ 50 Δίνεται η παραβολή y =4x α) Να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα της παραβολής β)να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής, που σχηματίζει γωνία 35 0 με τον άξονα x x 5 Δίνεται η παραβολή C: x y α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία τέμνει την C στα σημεία Α 3 και Β, ώστε το σημείο, να είναι μέσο του ΑΒ β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία της παραβολής γ) Να βρείτε τα σημεία Α και Β 9

δ) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ εφάπτεται στη διευθετούσα της παραβολής 5 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A(5, -), B(4,4) και Γ(,) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους ΓΔ του τριγώνου β) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με μονάδες γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον y'y 53 Έστω ότι η παραβολή C έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον x x και εστία το σημείο Ε(, 0) α) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες, της παραβολής C που διέρχονται από το σημείο M 3 7, γ) Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών και ε 54 Δίνεται η παραβολή C: y = x και το σημείο της Α(3, y) με y >0 Να βρείτε α) την εστία της, Ε και την εξίσωση της διευθετούσας της, δ β) την εξίσωση της εφαπτομένης, ε της C στο σημείο Α γ) το σημείο της ε που είναι πλησιέστερα στην εστία Ε και ην απόσταση της εστίας Ε από την ευθεία ε 55 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι ομόκεντρος του κύκλου x y 6x 4y 9 0 και : α) έχει τριπλάσια ακτίνα από αυτόν β) εφάπτεται της ευθείας y x+3 γ) διέρχεται από την εστία της παραβολής x 4y 56 Δίνεται η εξίσωση x y x y 5 0, () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Δίνεται επιπλέον η παραβολή με εξίσωση y 4xμε εστία το σημείο Ε i)να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους που περιγράφονται από την εξίσωση () έχει το κέντρο του στην εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Α(,) ii)η παράλληλη από τυχαίο σημείο Μ (διαφορετικό του Ο(0,0)) της παραβολής προς τον άξονα x x, τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β Να δείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) της παραβολής στο σημείο Μ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΒΕ 57 Δίνεται ο κύκλος C : 8x 8y 8x 7 0 και η παραβολή 0 C : y 4x α) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της παραβολής στο σημείο της A, β) Να αποδείξετε ότι η ε εφάπτεται στον κύκλο C γ) Να βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη ε των C,C, που άγεται από το σημείο τομής Β της ε με τον άξονα χ χ

δ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν οι ε και ε ΕΛΛΕΙΨΗ 58 Δίνεται η έλλειψη C:3x 4y και η εξίσωση C :x y x y α-98 i) Για ποιες τιμές του α η C παριστάνει κύκλο ii) Για ποια τιμή του α ο κύκλος C διέρχεται από την εστία Ε (-γ,0) της έλλειψης C 3 iii) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της έλλειψης C στο (, ) να εφάπτεται του κύκλου C 59 Έστω η έλλειψη C που έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα 3 χ χ, εκκεντρότητα και μεγάλο άξονα 4 α Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης β Να βρείτε τις εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο Γ(4,0) γ Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C που διέρχεται από το Γ(4,0) και εφάπτεται του κύκλου 3 C ': x y 3 60 Δίνονται τα σημεία E '( 3,0) και E( 3,0) και C ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: (ΜΕ') + (ΜΕ) = 4 α Να βρείτε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου x β Αν C: y και το σημείο του Ν(συνφ, ημφ), 4 i να βρείτε την εφαπτομένη ε της έλλειψης C στο σημείο Ν ii να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διχοτομεί τη γωνία E ' NE ˆ 6 Θεωρούμε την έλλειψη C : 4x + 9y = 36 α) Να βρείτε την εκκεντρότητα και τις εστίες της έλλειψης β) Έστω Α, Β δύο τυχαία σημεία της C και Μ το μέσο του ΑΒ Αν ΑΒ ζ : y = - x + αποδείξτε ότι το Μ βρίσκεται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση 6 Δίνεται η εξίσωση x + y - x + 4y + λ = 0 (), λr α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η () να παριστάνει κύκλο β) Για ποια τιμή του λ ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση () διέρχεται από την εστία Ε(γ,0) της έλλειψης 3x + 4y = γ) Να βρείτε τον κύκλο C που ορίζεται από την () και εφάπτεται της ευθείας ε : y = x - 63 Δίνεται η έλλειψη C: 5 ( 0) η οποία διέρχεται από το σημείο Β(4,0) α) Να βρείτε την τιμή του β β)για β = 4 να βρείτε τις εστίες Ε, Ε και το σταθερό άθροισμα της έλλειψης γ)να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου C που έχει κέντρο την εστία Ε και ακτίνα ίση με το μισό του μικρού άξονα (β = 4) της έλλειψης, είναι η : x y 6y 7 0

δ)να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου C στα σημεία στα οποία ο κύκλος τέμνει τον άξονα y y 64 Δίνονται τα σημεία A(-,-), B(5,), Γ(-3,) 8y3y 8 να δείξετε ότι το Μ i) Αν Μ(x,y) σημείο για το οποίο ισχύει κινείται στην έλλειψη C: x +4y = ii) Να βρείτε την εκκεντρότητα της παραπάνω έλλειψης iii) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα τον μικρό ημιάξονα της παραπάνω έλλειψης iv) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο τομής της έλλειψης C με τον ημιάξονα Οχ 65 Δίνεται η έλλειψη C με εξίσωση 7 C με C :3 x 4 y και εστίες Ε,Ε και ο κύκλος εξίσωση C : x y α)να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΕ' είναι ισόπλευρο τόπου Β είναι ένα από τα άκρα του μικρού άξονα της έλλειψης 3 β)να αποδείξετε ότι το σημείο P, είναι κοινό σημείο των δύο κωνικών τομών C, C και να υπολογίσετε όλα τα κοινά τους σημεία γ)να υπολογίσετε τα σημεία M x,y 0 0 τα οποία είναι τέτοια ώστε: ( ME) ( ME ') 4,όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων δ)να υπολογίσετε την εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας ΥΠΕΡΒΟΛΗ ', όπου ( ) 7 OM και 3 P, 66 Δίνεται η υ π ε ρ β ο λ ή C : x 3y 3 και το σημείο της Μ (3, ) α)να βρεθεί το συμμετρικό της εστίας Ε της υπερβολής ως προς την εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ β)να δείξετε ότι το συμμετρικό της εστίας Ε βρίσκονται σε κύκλο που έχει κέντρο την άλλη εστία Ε και ακτίνα 3 67 Δίνεται η υπερβολή μ ε α, β > 0 Έστω: Α η κορυφή της υπερβολής και Ε η εστία της που βρίσκονται στον Οχ ε η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ασύμπτωτη της υπερβολής, η οποία έχει θετικό συντελεστή διεύθυνσης ε η ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στην ασύμπτωτη της υπερβολής, η οποία έχει αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ε και ε β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις d, d της εστίας Ε από τις ε και ε αντίστοιχα

γ) Να δείξετε ότι dd = αντίστοιχα 4, όπου d, d οι αποστάσεις της εστίας Ε από τις ε και ε 68 α) Δίνεται η έλλειψη Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες 5 9 εστίες με την έλλειψη και η εκκεντρότητα της είναι ίση με β) Στην υπερβολή θεωρούμε την εφαπτομένη στο τυχαίο σημείο της Μ 4 και την κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο Μ Αν η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Ρ και η κάθετη στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι ΟΡ ΟΚ 6 69 α) Δίνεται η έλλειψη C: και η υπερβολή C ;, 0 Να δείξετε ότι : i) Έχουν τις ίδιες εστίες η έλλειψη και η υπερβολή ii) Αν ε η εκκεντρότητα της C και ε η εκκεντρότητα της C να δείξετε ότι : ( ) β) Αν ( x0, y0) είναι ένα κοινό σημείο τους να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της έλλειψης και της υπερβολής στο Μ είναι κάθετες 70 Δίνονται τα σημεία του επιπέδου A(, y), B( x, y), M( x, y) με xy, α)αν OA OB να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση y της οποίας να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα β)αν x γ)αν 3OA OB 5, να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση y 3 του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα OA OB 4, να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση 4x 3y δ)αν y της οποίας να βρεθούν η εκκεντρότητα και ο μεγάλος άξονας 3OA OB 5, να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στην υπερβολή με εξίσωση x 6 της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7 Χαρακτηρίστε τις γραμμές που εκφράζουν οι παρακάτω εξισώσεις, δικαιολογώντας τον χαρακτηρισμό Αν πρόκειται για ευθείες βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης, αν πρόκειται για κύκλους βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες,αν πρόκειται για ελλείψεις ή υπερβολές να βρείτε τις εστίες και την εκκεντρότητα i x + y 6x + 0y =, ii x y y = 0, iii 9x + y = 4 7 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A(5, -), B(4,4) και Γ(,) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους ΓΔ του τριγώνου β) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με μονάδες x 3

γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συμμετρίας τον y'y 73 Δίνεται ο κύκλος C : x y 6x 0 και η παραβολή C : y 4x α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C καθώς και την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής C β) Να βρείτε τα κοινά σημεία Μ,Ν των C, C γ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες, της παραβολής στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα δ) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες, εφάπτονται και στο κύκλο C 74 Δίνεται ο κύκλος (c) : x + y = 4 και η ευθεία (ε) : y = -x + 5 α) Να βρεθεί η σχετική θέση του κύκλου (c) και της ευθείας(ε) β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου (c) που είναι παράλληλη προς την (ε) και τέμνει τους ίδιους ημιάξονες με την (ε) γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων,α,β τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες 75 Δίνεται η ευθεία y = λx και ο κύκλος x + y 4x + = 0 Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η ευθεία: α) να τέμνει τον κύκλο β) να εφάπτεται του κύκλου γ) να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο 3,5 76 Στο σχήμα δίνονται οι κύκλοι κ και κ με κέντρα τα Κ και Λ αντίστοιχα, που εφάπτονται εσωτερικά στο Α(,0) Ο κύκλος κέντρου Μ(x, y) εφάπτεται και στους δύο άλλους α) Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων κ και κ β) Να δείξετε ότι + = 4 γ) Να δείξετε ότι το ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η έλλειψη c: Να βρείτε τις 4 3 εστίες, τους άξονες και την εκκεντρότητα της δ) Αν Β είναι κορυφή της c στον θετικό ημιάξονα y y να βρείτε την γωνία BKO, ˆ όπου Ο η αρχή των αξόνων 77 α) Δίνεται η εξίσωση x y, όπου R i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του μ η () παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα ii) Να βρείτε εκείνον τον κύκλο που ορίζεται από την () και εφάπτεται στον άξονα x x β) Έστω τα διανύσματα ( y,) και ( y, 4x ) 4 κ 3,5 Μ(χ,y),5 0,5 Α(-,0) Λ(-, 0) -3 - - 3 4 5 6-0,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 K( 0) κ

i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M( x, y) για τα οποία ισχύει: ii) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν(x,y) για τα οποία ισχύει: 5 3 iii) Αν C : y 4x και 3 9 C : ( x ) ( y ) να βρείτε την εφαπτομένη ε της παραβολής C 8 στο Α(,) και να αποδείξετε ότι εφάπτεται και στον κύκλο C 3 78 Δίνεται η εξίσωση : C:,, 0 8συνθ 0 8 i) Nα βρεθεί τι παριστάνει η C για τις διάφορες τιμές του θ ii) Να δείξετε ότι το σημείο (, ) με και (, ), ανήκει στην C iii)αν λ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Μ, να βρεθεί η συγκεκριμένη εξίσωση της C ώστε ο λ να γίνεται μέγιστος 79 Δίνεται η εξίσωση (Cμ) : x y x 4( )y 8 4 0 Α Να δείξετε ότι για κάθε μ 0 παριστάνει κύκλο Τι συμβαίνει όταν μ=0; Β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) πάνω στην οποία κινούνται τα κέντρα των κύκλων αυτών Γ Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένη την ευθεία 4 0 Δ Ένα καβούρι βρίσκεται στην εστία της παραβολής y =8x Αν ένα χταπόδι κινείται πάνω στον κύκλο C που ορίζεται από τους κύκλους (Cμ) για μ=, τότε να βρείτε αν το χταπόδι φάει το καβούρι και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας (Το χταπόδι τρώει οτιδήποτε βρίσκεται εντός του κυκλικού δίσκου του κύκλου πάνω στον οποίο κινείται) 80 Τρεις φιλικές οικογένειες κινούμενες με τα αυτοκίνητά τους σε μια άγνωστη γι αυτούς μεγάλη πόλη χάθηκαν λόγω κυκλοφοριακής συμφόρησης που παρατηρήθηκε Από τους τουριστικούς χάρτες που είχαν διαπίστωσαν ότι κινούνταν σε τρεις ευθύγραμμους δρόμους με εξισώσεις x y 4,,3 α)να δείξετε ότι οι τρεις αυτοί δρόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο Κ β)σε μια χρονική στιγμή διαπίστωσαν ότι και οι τρεις βρίσκονταν σε σημεία που είχαν την ίδια τεταγμένη y=6ποιες είναι αυτή τη στιγμή οι μεταξύ τους αποστάσεις; γ)αν τα τρία αυτοκίνητα κινούνται με την ίδια ταχύτητα, ποιο από αυτά θα φτάσει πρώτο στο σημείο συνάντησης;(ως στιγμή 0 θεωρούμε τη χρονική στιγμή του (β) ερωτήματος) 8 Ένα πλοίο κινείται,σε μια θαλάσσια περιοχή, βορειοανατολικά με ευθεία πορεία η οποία σχηματίζει γωνία 60 0 με την κατεύθυνση δύση ανατολήτην στιγμή t = 0 το πλοίο βρίσκεται νότια ενός φάρου Ο και σε απόσταση από αυτόν 4 ναυτικά μίλιαθεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή τον φάρο και άξονα χ χ την κατεύθυνση δύση ανατολή και μονάδα του κάθε άξονα το ν μ α) Να βρείτε την εξίσωση της πορείας του πλοίου β) Να βρείτε πόσο κοντά από τον φάρο θα περάσει το πλοίο γ) Ο καπετάνιος του πλοίου παρατηρεί τη θέση ενός άλλου πλοίου το οποίο σε χρόνο t βρίσκεται 5

στη θέση (t+, t+) για κάθε t 0 Ποια είναι η πορεία του πλοίου; δ) Πρέπει να ανησυχεί ο καπετάνιος για πιθανή σύγκρουση των δύο πλοίων; Σε ποιο σημείο είναι δυνατόν να συμβεί αυτή; 8 Στο διπλανό σχεδιάγραμμα, με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Oxy, τα σημεία Α, Β και Γ παριστάνουν τις θέσεις τριών κοινοτήτων ενός δήμου Στο ίδιο σχεδιάγραμμα,ο άξονας y'y παριστάνει μια εθνική οδό και τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ δύο επαρχιακούς δρόμους που συνδέουν την κοινότητα Α με τις κοινότητες Β και Γ και έχουν μήκη 5km και 3km αντίστοιχα Πρόκειται να κατασκευαστεί ένας επαρχιακός δρόμος ΒΓ που θα συνδέει τις κοινότητες Β και Γ, ο οποίος στο σχεδιάγραμμα παριστάνεται με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ Αν οι αποστάσεις των κοινοτήτων Β και Γ από την εθνική οδό y'y είναι 3km και 5km αντίστοιχα, τότε : α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ β) Να βρείτε το μήκος του επαρχιακού δρόμου ΒΓ γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΒΓ και στη συνέχεια τις συντεταγμένες του σημείου Σ στο οποίο ο επαρχιακός δρόμος ΒΓ συναντά την εθνική οδό 83 Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, εξίσωση της ευθείας ( ) x( ) y 3 0 όπου λ πραγματικός αριθμός περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ α) να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ β) τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(,),Λ(-,5) και Μ(,3)Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ,Λ και Μ γ) να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκονται πλησιέστερα στην φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ δ) να υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ 84 Σε αγώνες ταχύτητας αυτοκινήτων τη στιγμή που ένα από τα οχήματα εκινείτο σε στροφή κύκλου 3 3 9 εξίσωσης C : x y ξέφυγε από το δρόμο κινούμενο κατά την διεύθυνση της 9 3 εφαπτομένης και έπεσε σε παρακείμενο δέντρο στο σημείο A, α)να εξετάσετε αν ο κύκλος C διέρχεται από την αρχή των αξόνων β)να βρείτε την εξίσωση της ευθύγραμμης τροχιάς που ακολούθησε το αυτοκίνητο όταν ξέφυγε από τη στροφή και προσέκρουσε στο δέντρο Α γ)αν Β είναι το σημείο που ο άξονας y y τέμνει τον κύκλο C, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ 85 Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy με Μ(x,y) παριστάνουμε τα σημεία μιας περιοχής Στο σημείο Κ(, 6) είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας Η λήψη σ ένα σημείο της περιοχής θεωρείται «πολύ καλή», αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό 6

δίσκο που ορίζεται από τον κύκλο C, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ρ = 0, ενώ η λήψη θεωρείται «καλή», αν το σημείο είναι εξωτερικό του κύκλου C και εσωτερικό του κύκλου C, που γράφεται με κέντρο Κ και ακτίνα ρ = 4 α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κύκλων C και C β) Να εξετάσετε αν η λήψη στα σημεία Α(0, 7) και Β(9, 4) είναι «καλή» ή «πολύ καλή» γ) Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής (θεωρούμενος ευθεία) έχει εξίσωση ε: x y = 0 Να εξετάσετε αν υπάρχει τμήμα του αυτοκινητόδρομου στο οποίο η λήψη είναι «καλή» ή «πολύ καλή» 86 Ένα γήπεδο γκολφ είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων) Σε έναν αγώνα γκολφ χτυπάμε το μπαλάκι από το σημείο A( 3,0) και έστω ότι αυτό ακολουθεί τη διαδρομή ευθείας με εξίσωση yx 3 Θεωρούμε ότι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο Β με συντεταγμένες B (,3) του ίδιου ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων α) Να ελεγχθεί αν θα μπει το μπαλάκι στη τρύπα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας β) Έστω ότι η τρύπα βρισκόταν στο σημείο Γ με συντεταγμένες ( a,3 a) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε το μπαλάκι να μπει στη τρύπα γ)ποια είναι η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από την τρύπα (σημείο Β), και σε ποιο σημείο της διαδρομής του θα συμβεί αυτό; δ)ποια πρέπει να είναι η κλίση της ευθείας ώστε αν χτυπούσαμε το μπαλάκι από το σημείο Α να πετύχουμε απευθείας το στόχο μας (σημείο Β);Ποια θα είναι τότε η εξίσωση της ευθείας αυτής και ποια η απόσταση ΑΒ 7