ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπηρώτρια Καηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 4 η : Μονοδιάστατη αγωγή με σύγχρονη παραγωγή ερμότητας
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
4. Μονοδιάστατη αγωγή ερμότητας με σύγχρονη παραγωγή Περιεχόμενα 4. Μονοδιάστατη αγωγή ερμότητας με σύγχρονη παραγωγή 4.1 Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα 4. Παραγωγή σε κυινδρικό τοίχωμα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας
4. Μονοδιάστατη αγωγή ερμότητας με σύγχρονη παραγωγή Παραγωγή ενέργειας σε στερεό υικό έχουμε όταν μία μορφή ενέργειας μετατρέπεται σε ερμότητα. Π.χ. Όταν γίνεται χημική αντίδραση στους πόρους ενός καταύτη Όταν περνάει ηεκτρικό ρεύμα μέσα από έναν αγωγό Γενική εξίσωση αγωγής = 1 α t Εξίσωση Poisson = 0 Εξίσωση Laplace = 0 Εξίσωση Fourier 1 = α t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-1
4.1 Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα (1/5) q > 0 = 0 d = d = d = x c 1 = x c 1 x c Ρυμός ροής ερμότητας (νόμος Fourier): q x d = Σχήμα 4.1. Αγωγή με ταυτόχρονη παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα. (α) Φυσικό σύστημα. (β) Κατανομή ερμοκρασίας για δεδομένες ερμοκρασίες στα όρια. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-
4.1 Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα (/5) q > 0 Οριακές συνήκες : Σταερές ερμοκρασίες στα όρια του συστήματος Διαφορική εξίσωση: d = d = x c 1 = x c 1 x c Οριακές συνήκες: α) x=0, = 1 β) x=l, = Σχήμα 4.1. Αγωγή με ταυτόχρονη παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα. (α) Φυσικό σύστημα. (β) Κατανομή ερμοκρασίας για δεδομένες ερμοκρασίες στα όρια. = 1 ( 1 ) x L L x L x L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-3
4.1 Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα (3/5) Οριακές συνήκες: Συμμετρία ( 1 = ) Διαφορική εξίσωση: d = d = x c 1 = x c 1 x c Σχήμα 4.. Συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας σε τοίχωμα όπου παράγεται ερμότητα. Δεδομένη ερμοκρασία τοιχώματος. Χρησιμοποιούμε σαν αρχή του άξονα x το επίπεδο συμμετρίας Οριακές συνήκες: α) x=0, d = 0 β) x=l/, = 1 Οοκηρωμένη εξίσωση: c 1 = 0 c = 1 = L 8 1 ) L 8 x 1 ( L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-4
4.1 Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα (4/5) Οριακές συνήκες: Μόνωση στη μία πευρά Ισχύει η ίδια εξίσωση με την περίπτωση συμμετρίας αντικαιστώντας το L/ με l Οριακές συνήκες: α) x=0, d = β) x=l, = 1 0 c 1 = 0 c = 1 l Σχήμα 4.3. Συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας σε τοίχωμα όπου παράγεται ερμότητα. Τοίχωμα με μόνωση στο ένα άκρο. Οοκηρωμένη εξίσωση: = 1 ) l x 1 ( l Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-5
4.1 Παραγωγή σε επίπεδο τοίχωμα (5/5) Οριακές συνήκες: Μεταφορά με συναγωγή στο περιβάον Διαφορική εξίσωση: d = d = x c 1 = x c 1 x c Οριακές συνήκες: α) x=0, d = 0 Σχήμα 4.4. Συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας σε τοίχωμα όπου παράγεται ερμότητα. Μεταφορά με συναγωγή σε περιβάον σταερής ερμοκρασίας. β) x=l/, Οοκηρωμένη εξίσωση: = h( 1 ) = = L L h L 8 x 1 ( ) L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-6
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (1/7) Δεδομένα: Πυρηνικό στοιχείο αποτεείται από πάκα ορίου (υικό Ι) πάχους L, όπου παράγεται ερμότητα με σταερό ρυμό q Η πάκα ορίου καύπτεται από τις δύο πευρές με πάκες αουμινίου (υικό ΙΙ) πάχους b. Η ερμότητα που παράγεται απομακρύνεται με τη βοήεια ρευστού ερμοκρασίας που κυκοφορεί στις δύο πευρές. Σχήμα 4.5. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) μεταφορά από τη μία πευρά και μόνωση στην άη. Ζητούνται: (α)να σχεδιαστεί κατά προσέγγιση η καμπύη κατανομής ερμοκρασίας στο στοιχείο και να υποογιστεί η μέγιστη ερμοκρασία του ορίου και του αουμινίου σαν συνάρτηση των Ι, ΙΙ, L, b, q, h και. (β)να επαναηφούν οι υποογισμοί για την περίπτωση που στη μία πευρά του στοιχείου τοποετείται μόνωση. 4-7
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (/7) Λύση: Περίπτωση (α) Ποιοτικό διάγραμμα: Υπάρχει συμμετρία Στην πάκα ορίου η καμπύη είναι παραβοή με τα κοία προς τα κάτω (d / <0) και έχει μέγιστο στο επίπεδο συμμετρίας Στην πάκα αουμινίου δεν παράγεται ερμότητα και συνεπώς η κατανομή ερμοκρασίας είναι γραμμική (d / =0) Σχήμα 4.6. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-8
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (3/7) Λύση: Περίπτωση (α) - Συμμετρία: Εξισώσεις: Στο όριο: - παραγωγή ερμότητας - συμμετρία Για τη ροή ερμότητας ισχύει: Στο όριο (Ι) όπου παράγεται ερμότητα: L x I = 1 1 ( ) 8 L I I > 0 I = f (x) Σχήμα 4.6. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας. Στο αουμίνιο (ΙΙ) όπου δεν υπάρχει παραγωγή ερμότητας: L II = 0 II = c II = I Στο αουμίνιο (ΙΙ) όπου II = 0 μπορεί να εφαρμοσεί η τεχνική της άροισης των αντιστάσεων: = 1 II R R = R αγ R συν = 1 h b ΙΙ Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-9
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (4/7) Λύση: Περίπτωση (α) - Συμμετρία: Εξισώσεις: q = 1 II R = I L x I 1 1 ( ) 8 L I L II = I 1 b R = Rαγ Rσυν= h ΙΙ 1 = II R = I L 1 b 1 h ΙΙ Σχήμα 4.6. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας. = I L 1 b Ι L x I 1 ( ) h ΙΙ 8I L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-10
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (5/7) Λύση: Περίπτωση (α) - Συμμετρία: Εξισώσεις: = I L 1 b Ι L x I 1 ( ) h ΙΙ 8I L Σε x=0: max = 0 = I L 1 h b ΙΙ Ι L 8 I Σχήμα 4.6. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-11
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (6/7) Λύση: Περίπτωση (β) - Μόνωση: Ποιοτικό διάγραμμα: Επειδή η μόνωση βρίσκεται αριστερά, η ερμότητα άγεται μόνο προς τα δεξιά η καμπύη ερμοκρασίας έχει αρνητική κίση ως προς x. Στο σημείο της μόνωσης δεν υπάρχει ροή ερμότητας, δη. η κίση της καμπύης ερμοκρασίας είναι μηδέν Στο αουμίνιο δεν παράγεται ερμότητα, άρα η κατανομή ερμοκρασίας είναι γραμμική. Στην πάκα αουμινίου δίπα στη μόνωση η κίση της ευείας είναι μηδέν Σχήμα 4.7. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά από τη μία πευρά και μόνωση στην άη. (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-1
Παράδειγμα 4.1 Παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (7/7) Λύση: Περίπτωση (β) - Μόνωση: Εξισώσεις: = I L x I 1 1 ( ) I L II = I L 1 1 = I L h b ΙΙ Σχήμα 4.7. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά από τη μία πευρά και μόνωση στην άη. (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας. max = 1 I L h b ΙΙ Ι L I Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-13
4. Παραγωγή σε κυινδρικό τοίχωμα ή αγωγό (1/) = 0 1 d d r = r dr dr d dr r = r c1 4 = r c1 ln r c Έστω ότι έχουμε αγωγό ηεκτρικού ρεύματος ακτίνας r s που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I και τάσης V. Οι ωμικές απώειες είναι I V (W). Στον αγωγό παράγεται ερμότητα με ρυμό: = IV πr s L W ( ) 3 m Εάν δίνεται η ερμοκρασία s στην επιφάνεια του αγωγού οι οριακές συνήκες είναι : α) r=r s, = s β) r=0, d/dr=0 c c 1 = 0 4 = s rs = s s ) r 4 r 1 ( rs Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-14
4. Παραγωγή σε κυινδρικό τοίχωμα ή αγωγό (/) = 0 1 d d r = r dr dr Ομοιόμορφη παραγωγή ερμότητας q σε κυινδρικό αγωγό ακτίνας r s Καορισμένη ερμοκρασία s στην επιφάνεια του αγωγού α) r=r s, = s β) r=0, d/dr=0 c c 1 = 0 4 = s rs = s s ) r 4 r 1 ( rs Σε r=0 0 = max = s s r 4 0 s r = 1 ( ) r s s Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-15
Παράδειγμα 4. Κατανομή ερμοκρασίας σε αγωγό ηεκτρικού ρεύματος (1/) Δεδομένα (από παράδειγμα 4.1): Σε αγωγό ηεκτρικού ρεύματος D=5mm (r s =.5 cm) με ηεκτρική αντίσταση R Η =6x10-4 Ohm/(m μήκους) διαβιβάζεται ρεύμα έντασης i=500a. Ο αγωγός βρίσκεται σε περιβάον ερμοκρασίας 30 o C Ο συντεεστής συναγωγής μπορεί να εωρηεί σταερός και ίσος με h=5 W/(m o C) Ο συντεεστής ερμικής αγωγιμότητας είναι =300W/(m o C) Σχήμα 4.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 4.. r s =.5 mm R H = 6x10-4 Ohm /(m μήκους) i = 500 A h= 5 W/(m o C) Ι = 300 W/(m o C) Ζητείται: Η μέγιστη ερμοκρασία στον αγωγό Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-16
Παράδειγμα 4. Κατανομή ερμοκρασίας σε αγωγό ηεκτρικού ρεύματος (/) Λύση: Στο παράδειγμα 4.1 έχουμε βρει: s =41 o C 0 = max = s s r 4 Σχήμα 4.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 4.. RH rs L 4 i 500 6 10 q = = = 7.64 10 3 π π(.5 10 ) 1 6 W m 3 r s =.5 mm R H = 6x10-4 Ohm /(m μήκους) i = 500 A h= 5 W/(m o C) Ι = 300 W/(m o C) 6 7.64 10 (.5 10 ) 0 = 41 = 41 0.04 = 41.04 4 300 3 o C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 4-17
Κατάογος Αναφορών Σχημάτων Σχήμα 4.1. Αγωγή με ταυτόχρονη παραγωγή ερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα. (α) Φυσικό σύστημα. (β) Κατανομή ερμοκρασίας για δεδομένες ερμοκρασίες στα όρια., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.. Συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας σε τοίχωμα όπου παράγεται ερμότητα. Δεδομένη ερμοκρασία τοιχώματος., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.3. Συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας σε τοίχωμα όπου παράγεται ερμότητα. Τοίχωμα με μόνωση στο ένα άκρο., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.4. Συμμετρική κατανομή ερμοκρασίας σε τοίχωμα όπου παράγεται ερμότητα. Μεταφορά με συναγωγή σε περιβάον σταερής ερμοκρασίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.5. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) μεταφορά από τη μία πευρά και μόνωση στην άη., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.6. Σχηματική απεικόνιση (α) μεταφορά και από τις δύο πευρές του στοιχείου, (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.7. Σχηματική απεικόνιση, (α) μεταφορά από τη μία πευρά και μόνωση στην άη, (β) καμπύη κατανομής ερμοκρασίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198. Σχήμα 4.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα 4.., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά ερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 198.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υικό έχει αναπτυχεί στα παίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υικού. Το έργο υοποιείται στο παίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από ενικούς πόρους.