ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουνίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 η περίοδος εαρινού εξαμήνου 1-11) ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [] και καμπτικών ροπών [] του παρακάτω πλαισίου. Επιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής ροπής. kn/ 5 kn Β 6 kn kn/ 3 Γ Δ 6 kn Z 3 3 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 1 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Επίλυση: Προσδιορισμός Αντιδράσεων: κάτω S = 6 kn + 4 = =-3 kn S F = + + 5kN + 6kN = =- 8kN S = - 6 kn + 6 kn -( kn/ 3 ) 1.5-7 5 kn -( kn/ 6 ) 3 + 6-7 = - 1 kn + 1 kn -9 kn -35 kn -36 kn ( ) + 6-7 - 8kN = 6 + 56 kn = 8 kn = 4 kn S F = + -6kN - kn/ 3 - kn/ 6 = + 4 kn -6 kn -6 kn - 1 kn = = kn Ε 8 Β 8 8 Γ 8 Δ Ζ [ N ] (kn) Α ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 [ ] (kn) 4. 1 q /8 = 9 6 1 Ε +3 a =+4 Β 1 9 45 q /8 =.5 Γ 3.5 Δ Ζ +6 [ ] (kn) Α ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 3 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Υπολογισμός Αξονικών Δυνάμεων: από το Α προς το : N =- =- kn, N, κάτω =- =- kn από το Γ προς το : από το Δ προς το : από το Β προς το Ε : N = kn, N, αριστερά = kn N D = kn, N, δεξιά = kn N = =- 8 kn, N, δεξιά = =- 8 kn από το Ε προς το : N, κάτω =- kn/ 6 + =- 1 kn + 4 kn =- 8 kn (έγινε τομή λίγο κάτω από το σημείο Ε και εξετάσθηκε το τμήμα του φορέα πάνω από την τομή), N, πάνω =- + 6 kn + kn/ 3 =- 8 kn (έγινε τομή λίγο πάνω από το σημείο και εναλλακτικά εξετάσθηκε το τμήμα του φορέα κάτω από την τομή) Υπολογισμός Τεμνουσών Δυνάμεων: από το Α προς το Ζ : =- =-- ( 3 kn ) = 3kN, - = = + 3 kn από το Ζ προς το : Z ( ), πάνω =- - 6 kn =- -3 kn - 6 kn =- 3 kn,, κάτω = Z, πάνω =- 3 kn Z από το Γ προς το : από το Δ προς το : =- 6 kn,, αριστερά = =- 6 kn D = kn,, δεξιά =+ kn/ 3 =+ 6 kn από το προς το Ε :, πάνω = + 5 kn =- 8 kn + 5 kn =- 3 kn (έγινε τομή λίγο πάνω από το σημείο και εξετάσθηκε το τμήμα του φορέα πάνω από την τομή), 5 kn 3 kn, κάτω = + =, πάνω =- (έγινε τομή λίγο κάτω από το σημείο Ε και εξετάσθηκε το τμήμα του φορέα πάνω από την τομή), κάτω =- - 6 kn =+ 3 kn - 6 kn =- 3 kn (ή εναλλακτικά γίνεται τομή λίγο κάτω από το σημείο Ε και εξετάζεται το τμήμα του φορέα κάτω από την τομή) από το Ε προς το Β :, δεξιά = ( kn/ 6 ) - = 1 kn - 4 kn = + 8 kn (έγινε τομή λίγο δεξιά από το σημείο Ε και εξετάσθηκε το τμήμα ΕΒ του φορέα, δεξιά της τομής), ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 4 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Υπολογισμός Καμπτικών Ροπών: Για την ίδια τομή, εάν εξετασθεί το τμήμα που βρίσκεται αριστερά και κάτω από την τομή, δηλαδή ο υπόλοιπος φορέας εκτός από την δοκό ΕΒ, θα είναι:, δεξιά = -6 kn -( kn/ 3 ), δεξιά = kn -6 kn - 6 kn = + 8 kn, αριστ. =, δεξιά - kn/ 6 = 8 kn - 1 kn =- 4 kn (ή εάν γίνει τομή λίγο αριστερά από το σημείο Β και εξετασθεί το τμήμα δεξιά της τομής:, αριστ. =- =- 4 kn ) τομή στο Ζ και εξέταση του τμήματος κάτω από την τομή: Z =- =- ( - 3 kn ) =+ 6kN τομή κάτω από το και εξέταση του τμήματος κάτω από την τομή:, κάτω =-4-6kN =-4 ( -3 kn ) - 1 kn = kn (λόγω άρθρωσης στο ) τομή αριστερά από το και εξέταση του τμήματος αριστερά της τομής (Γ):, αριστερά =- 6 kn =- 1 kn τομή δεξιά από το και εξέταση του τμήματος δεξιά της τομής (Δ): ( ), δεξιά =- kn/ 3 1.5 =- 9 kn τομή πάνω από το και εξέταση του τμήματος πάνω από την τομή (ΕΒ): ( ) =-3 5kN - kn/ 6 3-3 + 6, πάνω, πάνω =-15 kn -36 kn -3 ( - 8 kn ) + 6 4 kn =- 3 kn τομή κάτω από το Ε και εξέταση του τμήματος πάνω από την τομή (ΕΒ): ( ), κάτω =- kn/ 6 3 + 6 =- 36 kn + 6 4 kn =- 1 kn τομή δεξιά του Ε και εξέταση του τμήματος δεξιά της τομής (όμοια με την προηγούμενη):, δεξιά =, κάτω =- 1 kn Υπολογισμός Μέγιστης Καμπτικής Ροπής Η μέγιστη ροπή θα εμφανισθεί σε σημείο κάτω από το κατανεμημένο φορτίο όπου η τέμνουσα μηδενίζεται. Αυτό σύμφωνα με το διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων θα συμβεί δεξιά του σημείου Ε σε απόσταση, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 5 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 8 kn = = 4. kn/ Η δε τιμή της μέγιστης ροπής στο σημείο αυτό μπορεί να προκύψει με δύο τρόπους: (α) Γίνεται τομή στο σημείο αυτό και υπολογίζεται η ροπή από το δεξί τμήμα της τομής, που είναι προς το σημείο Β και έχει μήκος 6-4 = : a a =-( kn/ ) + =- 4 kn + 4 kn =+ 4 kn (β) Η μέγιστη ροπή υπολογίζεται από το εμβαδόν του διαγράμματος της τέμνουσας: 1 = + εμβαδόν =- 1 kn + 4 8 kn a από έως θέση a a =+ 4 kn ΘΕΜΑ ο (35%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και Δ (αριστερά, δεξιά, κάτω). (β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (γ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. 3 kn/ kn/ D 1 kn 1.5 1.5 8 3 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 6 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΚΑΙ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ f1 f f 1 / q q P / N N I I = ( f1 + f), ( 1 ) = f + f 6I 6I = ( f1 + f), ( ) = f 1 + f 3I = 3I f = f 1, = f 1 q =, 1 q =, 1 3I q =- 1 q =- q = 8 5q 3q =, =- 8 8 = 11P =, 16 3P 16 5P =- 16 Επίλυση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Δ. 3 kn/ f kn/ D 1 kn 1.5 1.5 8 3 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 7 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 D D D D D D Κόμβος Δ D Δοκός ΑΔ: D D D D I 3 8 = f + D = + 16 8 1 4 4I 3 8 = f - D = - 16 8 1 6I 3 8 3 = f + 1 D = + 8 3 6I 3 8 3 = f - 1 D = - 8 3 Δοκός ΔΒ: 3I 3 1 3 D = f + 3 16 D = + 67.5 D D 3I 11 1 = f + 8.5 D = + 3 16 3 3I 5 1 = f - 37.5 D = - 3 16 3 Δοκός ΔΓ: 3I 3 D = f + D = +.5 3 8 D D 3I 5 3 = f + 37.5 D = + 3 8 3 3I 3 3 = f -.5 D = - 3 8 3 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 8 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Ισορροπία ροπών κόμβου Δ: S = + + = D D D D æ ö ç - 16 + ( + 67.5) + ( +.5) = çè ø 5-7 = = 8 Κόμβος Α: 8 D = + 16 D = + 16 4 4 D = 167 kn D 3 3 8 = + 1 = + 1 D = 1.65 kn 3 3 = = 1.65 kn = 1.65 kn D Κόμβος Δ: 8 D = -16 D = -16 D =- 146 kn = + 67.5 = 8 + 67.5 = 95.5 kn D D D = +.5 = 8 +.5 = 5.5 kn D D D 3I 5 3 8 D = f + 37.5 D = + 3 8 3 D = 46.83 kn Κόμβος Β: D 8 = - 37.5 = -37.5 D = - 8.167 kn 3 3 ( ) =- =- -8.167 kn = 8.167 kn Κόμβος Γ: D D 8 = -.5 = -.5 D =- 13.167 kn 3 3 =- = 13.167 kn = 13.167 kn D Καμπτικές Ροπές: Υπολογίζονται οι τιμές της καμπτικής ροπής σε χαρακτηριστικά σημεία του πλαισίου προκειμένου να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών του φορέα. Σημειώνεται ότι ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 9 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 για όλες τις ροπές το πρόσημο προσδιορίζεται από τον εφελκυσμό ή θλίψη της ίνας αναφοράς στο υπό εξέταση τμήμα του φορέα. =- =- 167 kn D D, αριστερά = D =- 146 kn D, κάτω =- D =- 95.5 kn D, δεξιά =- D =- 5.5 kn = 1.5 = 1.5 8.167 kn = 4.5 kn Διάγραμμα Καμπτικών Ροπών: 167 156.5 146 Α q /8 = 4 Δ 5.5 q /8 =.5 5.5.75 95.5 Γ +4.5 Ε a =+4.334 4.875 +83.5 a =+83.615 Β.34 [ ] (kn) Υπολογισμός Μέγιστης Καμπτικής Ροπής Η πρώτη μέγιστη θετική ροπή θα εμφανισθεί δεξιά της πάκτωσης Α σε εκείνο το σημείο κάτω από το κατανεμημένο φορτίο των 3 kn/ όπου η τέμνουσα μηδενίζεται. Η απόστασή του από το Α δίνεται από τη σχέση: 1.65 kn = = = 4.875 3 kn/ 3 kn/ ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 1 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Η μέγιστη ροπή στο διάστημα ΑΔ μπορεί να υπολογισθεί μέσω του εμβαδού του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων: a ( a ) 1 = + εμβαδόν από έως θέση = + a 1 =- 167 kn + 4.875 1.65 kn = 83.615 kn a Η δεύτερη μέγιστη θετική ροπή θα εμφανισθεί δεξιά του κόμβου Δ στο σημείο κάτω από το κατανεμημένο φορτίο των kn/ όπου η τέμνουσα μηδενίζεται. Η απόσταση του σημείου αυτού από το Δ θα είναι: D 46.83 kn = = =.3417 kn/ kn/ Η μέγιστη ροπή στο διάστημα ΔΓ μπορεί να υπολογισθεί από το εμβαδό του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων: a ( D a ) 1 = + εμβαδόν από έως θέση = + D D D a 1 =- 5.5 kn +.3417 46.83 kn = 4.334 kn a (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) ΘΕΜΑ 3 ο (3%) (Α' επιλογή) Για τη συνεχή δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής: (α) των αντιδράσεων στις στηρίξεις Β και Γ, (β) της καμπτικής ροπής i στη τομή i και (γ) της καμπτικής ροπής στη στήριξη. P = 1 kn i Γ. 4.. 3.. 1. ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 11 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 P = 1 kn 1 Γ. 4.. 3.. i +1 +1.5.5 [ γ.ε. ] (kn) 1 +5/3 +1 [ γ.ε. ] (kn) +1 [ γ.ε. i ] (kn) /3 + [ γ.ε. ] (kn) 4/3 ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 1 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 ΘΕΜΑ 3 ο (3%) (Β' επιλογή) Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και μόνο εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ και ΖΕ. (β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που συντρέχουν στους κόμβους Β και Η (δηλ. ΒΖ, ΒΗ, ΖΗ και ΗΓ). Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 3 kn 4 4 kn D Z H 5 kn 5 kn 4 4 4 Επίλυση: Οι άγνωστες αξονικές a N D δυνάμεις θα προσδιορισθούν N κάνοντας τομή aa - η οποία τέμνει τα ζητούμενα μέλη. Η γωνία f υπολογίζεται από τη σχέση: f -1 = tan (4 / 4) = 45 4 kn D f 5 kn a N Z Η γωνία q υπολογίζεται από τη σχέση: -1 q = tan (4 / 6) = 33.69 f q ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 13 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Αντιδράσεις στην άρθρωση Α και κύλιση Β: S = -16-4 4-8 3 + 1 5 + 6 5 = -16-16 - 4 + 5 + 3 = = 5 kn S F = + 4+ 3 = =- 7kN S F = + -5-5 = = 75kN Μέθοδος των τομών: Τομή α-α (αριστερό τμήμα) Δύναμη στο μέλος ΓΔ: S = 4-6 - N sinf = D 4 ( -7) -6 5 - N D = -43 - N = N =- 15 kn =-34.6 kn D D (θλίψη) Δύναμη στο μέλος ΖΕ: S = 4 N + 4 4+ 5+ 8-8 = Z 4 N + 16 + 1 + 8 ( -7) -8 5 = Z 4 N + 16 + 1-56 - = N = 15 kn Z Z (εφελκυσμός) Μέθοδος των κόμβων: N H N H N Z q f N ZH f H N H ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 14 / 15
Γραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-11 Δυνάμεις στο κόμβο Β: üï S F = -NH cos f- NZ cos q = -NH - NZ cos q = ï ý S F = NH sin f+ NZ sin q + = NH + NZ sin q + = ï ïïþ ìn N cos N N cos H Z q ü ì H Z q ü =- ï =- í ï ý ï í ï ý N cos N sin Z q Z q N ï - + + = î ïþ Z = ïî cos q-sin q ïþ ì NH NZ cosq ü =- ï í ï 75 kn ý N H =- 7.4 kn cos 33.69 N Z 7.4 kn = = ïî cos 33.69 - sin 33.69 ïþ N Z = 7.4 kn (εφελκυσμός) και N H =- 318. kn (θλίψη) Δυνάμεις στο κόμβο Η: S F = - NH cosf + NH cosf- NZH = üï ý S F = NH sinf- NH sinf = NH = N ï H ïþ S F = - NH cosf+ NH cosf- NZH = ü ìnzh ü = ï ý ï í ï ý S F = NH = NH =- 318. kn NH =-318. kn ïþ ïî ïþ N ZH = kn και N H =- 318. kn (θλίψη) ΤΕΙ Αθήνας, Ιουλ. 11 15 / 15