ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : x f (x)= u 2 x du και g(x)= f (t )dt α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f, g. β) Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες. γ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση g δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τους άξονες των συντεταγμένων. ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν f :(0,+ ) R και g:r R παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε να ισχύουν f (g(x))g( x)=x, x R και f ' (g( x))g' (x)= x e x, x R με g(0)=. α) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο A (,g()) είναι η y=g ()x. β) Να αποδειχθεί ότι f (x)= ln x x, x (o,+ ), ότι είναι κοίλη στο (0,e e ), ενώ η g κυρτή στο R γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη x=. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των f, g και των ευθειών x= και x=ln3. ε) Να δείξετε ότι e 6 2 e >ln 3.
ΑΣΚΗΣΗ 4 α) Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του x>0 για την οποία ισχύει x xln x 0. β) Αν f (x)=x λ ln x, x>0 με λ>0 να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f, ώστε τα σημεία της f να είναι όλα πάνω από τα σημεία της (ε), εκτός του σημείου επαφής. ln x γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση F( x)= (e t et)dt. δ) Αν α>0 να δείξετε ότι α (e t et )dt> e 2. ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= x 3 +3 x α, με α R. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ) Για τις διάφορες τιμές του α να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f (x)=0 ΑΣΚΗΣΗ 6 A. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών αριθμών που ικανοποιεί τη σχέση: f ' ( x)+e f (x) =x+ x, για κάθε x>0 με f ()=0. x 2 α) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( x)=x e 2 e f (x), όπου x (0,+ ), να αποδείξετε ότι: x 2 g' ( x)=(e 2)', x>0. β) Να βρείτε τον τύπο της f. B. Έστω M (α,f (α)) ένα σημείο της C f που απομακρύνεται από τον άξονα των τεταγμένων με ρυθμό 2 m/s. α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού E (α) που περικλείεται από τη C f, τον άξονα x'x και την ευθεία x=α τη στιγμή που η τετμημένη του Μ είναι e. β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M με τον άξονα x'x τη στιγμή που η τετμημένη του M είναι e. 2
ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει ότι: z 3 4i =2 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας M του z. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z. γ) Έστω z, z 2 δύο από τους μιγαδικούς που επαληθεύουν τη δoσμένη σχέση με z z 2 =4. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: i. A= z + z 2 ii. B= z z 2 + z z 2 2 ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών που έχει την ιδιότητα: f (x y)=f (x)+f ( y) για κάθε x, y>0. A. Να αποδείξετε ότι: α) f ( x ) = f ( x) και f ( x y ) =f (x) f ( y) για κάθε x, y>0. β) Αν η εξίσωση f (x)=0 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f αντιστρέφεται. Β. Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο α>0,να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής και να βρεθεί το όριο A=lim f (x) x Γ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ' ()=, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης αυτής. ΑΣΚΗΣΗ 9 Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R που είναι συνεχής στο 0 και έχει την ιδιότητα: f (x+ y)=f ( x)+f ( y)+6 x y για κάθε x, y R. α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής. β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: I = f ( x)dx. γ) Αν η f είναι και παραγωγίσιμη στο 0 με f ' (0)=0, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. ΑΣΚΗΣΗ 0 Μια συνάρτηση f :(0,+ ) (0,+ ) είναι παραγωγίσιμη. Υποθέτουμε ότι υπάρχει αρχική F της f με την ιδιότητα: 2 (F( x) f ( x))=f 2 ( x), για κάθε x>0. 3
Να αποδειχθεί ότι : α) η f είναι γνησίως αύξουσα, β) η f είναι κυρτή, γ) lim f (x)=+, x + f ( x) δ) lim x + x =. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f (x)=x 2 2ln x α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς a, b, c, αν ισχύει ότι: f (a)+f (b)+f (c)=0 δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση της f και την ευθεία x=e. ΑΣΚΗΣΗ 2 Α. Να λυθεί η εξίσωση z 2 +z+=0 και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μέτρο. B. Αν α είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, να αποδειχθεί ότι α 200 =. Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί z, για τους οποίους ισχύει ότι: z 202 +z+=0 και z =. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί z, a, b, c, d με z=a+b+c+d και z a = a, z b = b, z c = c, z d = d. Να αποδειχθεί ότι : α) z=0 β) Αν οι μιγαδικοί a, b, c, d έχουν ίσα μέτρα, τότε : i) a b+a b= c d +c d ii) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τις εικόνες των αριθμών a, b, c, d είναι ορθογώνιο. 4
ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ =2, α+ β+γ= α) Να αποδειχθεί ότι: (α+ β )( β+ γ)(γ+ α) R β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: K = α + β + γ γ) Να αποδειχθεί ότι α+ β + β +γ + γ+α 2 ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ που έχουν μέτρο και άθροισμα διάφορο του μηδενός. Αν ισχύει ότι α 2 + β 2 +γ 2 =0, να αποδειχθεί ότι: α) α 2 + β 2 = β 2 +γ 2 = γ 2 +α 2 β) α 2 + β 2 + γ 2 =0 γ) Οι εικόνες των αριθμών α, β, γ, αβγ, δ) α+ β+γ =2 αβ+ βγ+γα α+ β+γ είναι ομοκυκλικά σημεία. ΑΣΚΗΣΗ 6 Τρεις μιγαδικοί αριθμοί a, b, c έχουν μέτρο και ικανοποιούν τη σχέση: a+b+c= Να αποδειχθεί ότι: α) ab+bc+ca=abc β) ( a)( b)( c)=0 γ) a 2009+ b 2009+ c 2009= δ) Αν οι αριθμοί a, b, c είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε οι εικόνες τους σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x)= ln x. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. 5
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f και το σύνολο τιμών της. δ) Να αποδειχθεί ότι x ln x x, για κάθε x (0,+ ). ε) Να υπολογίσετε τα όρια A= lim + x 2 x f (t )dt και B=lim + x 2 x t f (t)dt. x x ΑΣΚΗΣΗ 8 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι - και έχει την ιδιότητα: f (x) f ( x)=f (a x+b), για κάθε x R. Να αποδειχθεί ότι: α) a=0 β) f (b) 0 γ) f ( b)= δ) η συνάρτηση f δεν έχει σύνολο τιμών το R. ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x)= x+ x 2. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - και να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πεδίο ορισμού της f. γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. δ) Να λύσετε την ανίσωση: f (x 2 )<x ΑΣΚΗΣΗ 20 Δίνoνται δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R που έχουν την ιδιότητα: f (g (x))=g (f (x))= x, για κάθε x R. Να αποδειχθεί ότι: α) Οι συναρτήσεις f, g είναι περιττές και f (0)=g(0). β) Οι συναρτήσεις f, g είναι αντιστρέψιμες. γ) Οι συναρτήσεις f, g έχουν σύνολο τιμών το R. δ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως μονότονες, δεν μπορεί έχουν την ίδια μονοτονία. ε) Ισχύουν οι σχέσεις: f (x)= g( x) και g ( x)= f ( x), για κάθε x R. 6
ΑΣΚΗΣΗ 2 Δυο συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το R έχουν την ιδιότητα: g (f (x))=x 3 για κάθε x R. α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι αντιστρέψιμη. β) Η g έχει σύνολο τιμών το R. γ) Δεν μπορεί να ισχύει η σχέση f (g(x))=x 2 για κάθε x R. ΑΣΚΗΣΗ 22 cos x Δίνεται η συνάρτηση: f (x)= sin x t 2 dt α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρεθεί η συνάρτηση f, αν x [ 0, π 2 ] γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός: A= π ημ π 3 συν π 3 t 2 dt είναι ρητός. ΑΣΚΗΣΗ 23 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= +e x α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση αυτή ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη της f και να την βρείτε. δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I = ex x 2 f (ημ x)dx. Άσκηση 24 Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύουν ότι z = και w=2 z+ α) Να βρείτε τη γραμμή C στην οποία ανήκουν οι εικόνες του w β) Να βρείτε το ελάχιστο w γ) Να αποδείξετε ότι το σημείο (,0) και οι εικόνες των z, w είναι σημεία συνευθειακά. δ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w. ε) Αν οι μιγαδικοί w, w 2 έχουν εικόνες στη γραμμή C και w w 2 =4, να βρεθεί o αριθμός w +w 2. 7
ΑΣΚΗΣΗ 25 Δίνεται η συνάρτηση f (x)=x 3 3 x(2 ln x ) 4, x>0. α) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, να βρείτε το σύνολο τιμών και το πρόσημό της. γ) Να λύσετε την εξίσωση f (x)=0. δ) Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς a, b, c, αν ισχύει η σχέση a 2 +b 2 +c 2 =2ln (abc)+3 ε) Να λύστε την εξίσωση: f (x)+f (x 3 )=f (x 2 )+f (x 4 ). 8