Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1
Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων Το πρόβλημα: Δεδομένης της μη-γραμμικής συνάρτησης F(), να βρεθεί η τιμή = ώστε F( )= ή F( )=y (y=γνωστό). y n y e y / F() cosh( 1 e ) log si() F() 1.(e 1) Μια γνωστή ειδική περίπτωση: y n n1 n... n n1 n ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Εξίσωση van der Waals P V V b RT α, b : σταθερές ρςτου αερίου P : πίεση του αερίου (Ν/m ) V : ειδικός όγκος του αερίου (m 3 /kg) Τ : θερμοκρασία του αερίου (K) R : η σταθερά του αερίου (J/kg/K) Είναι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ή ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ;;;;; ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3
... εξαρτάται : Όταν επιλύεται ως προς το Τ: 1 T R V P V b ΌτανεπιλύεταιωςπροςτοP: προς το P RT V b V ΌτανεπιλύεταιωςπροςτοV: προς το V f P, T δεν γράφεται ως!!!!! ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4
Στόχος: χς Αναζητούμε αριθμητική-προσεγγιστική λύση αντί της ακριβούς-αναλυτικής λύσης. Ουσιαστικό στοιχείο είναι ο τρόπος επιλογής μιας από τις μεθόδους που θα διδαχθείτε δαχθεί ε (ή από άλλες που δεν καλύπτονται από την ύλη του μαθήματος) για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ενδιαφερόμαστε και για το υπολογιστικό κόστος που έχει η μέθοδος που θα επιλεγεί. Ειδικά για το κεφάλαιο αυτό η παραλληλοποίηση λογισμικού είναι ήσσονος σημασίας. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5
Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων Αναζήτηση μιας οποιασδήποτε λύσης F()? Αναζήτηση μιας λύσης σε δεδομένο (α,β) Αναζήτηση η όλων των λύσεων F()= α β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6
Μέθοδοι Εντοπισμού του διαστήματος το οποίο περιέχει μια ρίζα της εξίσωσης: Η Μέθοδος των Ισων Διαστημάτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7
Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής: F() Αν F συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και z ένας πραγματικός αριθμός που F(α) z F(β), (β), υπάρχει ένα τουλάχιστον Є [α,β] για το οποίο z=f() z F( α ) z=f() F( β ) α β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 8
F() Αριθμητικό Παράδειγμα: 4.3 3.5 ( Ρίζες: =1.1 και =3. ) F(). 3.5 Αναζητείται λύση στο..7 διάστημα [α,β]=[,],.4 1.96 διακριτοποιημένο με 1.6 1.3 ίσα διαστήματα..8.7 1.. Υπολογιστικό κόστος 1. -. μετρούμενο με κλήσεις 1.4 -.54 της συνάρτησης F(). 1.6 -.8 1.8 -.98. -1.8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 9
Αλλά: F().5 1.65 ( Ρίζες: =1.1 και =1.15 ) F(). 1.65 Αναζητείται λύση στο..855 διάστημα [α,β]=[,],.4.55 διακριτοποιημένο με 1.6.75 ίσα διαστήματα..8.15 1..15? Υπολογισμοί πάντα με 1..5 5 ακρίβεια δεύτερης τάξης 1.4.75 (double precision) 1.6.5 1.8.455..765 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1
Γραφική παράσταση συνάρτησης!!! Υπενθύμιση gnuplot: p **-.5*+1.65 set grid rep set r[:] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 11
set r[:] 1.4 **-.5*+1.65 1. 1.8.6.4. -..5 1 1.5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1
set r[1.:1.].16 **-.5*+1.65.14.1.1.8.6.4. -. 1 1. 1.4 1.6 1.8 1.1 1.1 1.14 1.16 1.18 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 13
Άλλες Μέθοδοι Εντοπισμού του διαστήματος το οποίο περιέχει μια ρίζα της εξίσωσης: Λ.χ. λύστε μια απλοποιημένη εκδοχή της ίδιας εξίσωσης V Αντί της P V b RT Αρχίστε με την PV RT... και εκτιμήστε προσεγγιστικά που «βρίσκονται» οι ρίζες... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 14
Ειδικά για πολυωνυμικές συναρτήσεις: F() n n 1 n n n 1 n... όλες οι ρίζες (πραγματικές και μιγαδικές) βρίσκονται στην περιοχή ενός κυκλικού δακτυλίου με εξωτερική και εσωτερική ακτίνα: R o 1 ma a n1, a n,..., a a n R i a n a n ma a n, a n1,..., a 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 15
Παράδειγμα: F() 3..8.4 ( Ρίζες: = 1., =., = -1 ) ( α 3 = 1, α =-.,α 1 =-.8, α =.4 ) R o R i 1 1.,.8,.4 1 3. 4 1 ma 1,.,.8,.4. 941 ma ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 16
Γνωστές Μέθοδοι για την Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών ή Υπερβατικών Εξισώσεων Μέθοδος Διαδοχικών Διχοτομήσεων Μέθοδος των Διαδοχικών Αντικαταστάσεων Μέθοδος Newton-Raphson Αλλες ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 17
Μέθοδος Διαδοχικών Διχοτομήσεων Bisection Method or Interval Halving Method Η πιο απλή/εύκολη μέθοδος για την αριθμητική επίλυση της f()=. Απλή, όμως, δεν σημαίνει και γρήγορη!!! ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 18
Μέθοδος Διαδοχικών Διχοτομήσεωνψ 1 f () )5 m -5-4 - 4 α α β β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 19
Κριτήρια Σύγκλισης: * Μέγιστος Αριθμός Διχοτομήσεων * Αν F()=, όταν F() <ε 1 * Ότανηαπόλυτηήσχετικήαπόκλισηδύο απόλυτη απόκλιση διαδοχικών λύσεων είναι μικρότερη από ένα όριο ε (n) (n 1) (n) (n) (n 1) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ
Εκτίμηση πλήθους επαναλήψεων για δεδομένο [α,β] και επιθυμητό σφάλμα (ε ) Τερματισμός όταν (n) (n 1) Διαρκείς Διχοτομήσεις n Εκτίμηση πλήθους επαναλήψεων n n n ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1
Παράδειγμα 1: tan 1 Αναζήτηση λύσης στο [,1] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ
Παράδειγμα : L r V θ h arcsin 1 1/ Lr L m r.4m h L V 7lt 3.7m ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3
V Lr 1/ arcsin 1 h / L ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4
Ασκηση: η Αν [α,β ], [α 1,β 1 ], [α,β ],... τα διαδοχικά διαστήματα αναζήτησης λύσης στη μέθοδο της διχοτόμησης, δείξτε ότι: a n b n a n1 b n1 a n1 b n a n b n1 a b n-1 a n-1 n-1 b n-1 a n b n =κ =λ =μ =κ =λ =μ a n b n ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5
Σύγκλιση της Μεθόδου Διχοτόμησης Επειδή το σφάλμα περίπου μειώνεται στο μισό σε κάθε επανάληψη ηψη( (λόγω διχοτόμησης), άρα η σύγκλιση του αλγορίθμου είναι (σχεδόν) ΓΡΑΜΜΙΚΗ Καλό ή κακό?????? ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6
ΓΕΝΙΚΑ: Κριτήρια Επιλογής της «Κατάλληλης» Μεθόδου Προϋποθέσεις σύγκλισης Ρυθμός σύγκλισης προς τη λύση, δηλ. υπολογιστικό κόστος Εξάρτηση από δεδομένα αρχικοποίησης Αυτο-εκκινούμενη ή όχι ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7
Έχετε Υπόψη: Η εφαρμογή κάποιας μεθόδου είναι (παν)εύκολη και γίνεται με την υλοποίηση διαθέσιμων σχέσεων (ή λογισμικού). Πρέπει: Η μέθοδος να βρει τη λύση που επιθυμούμε. Να τη βρει με αποδεκτό/ελάχιστο υπολογιστικό κόστος. Άρα, έχει μεγάλη σημασία η επιλογή της μεθόδου που είναι ευθύνη του μηχανικού. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 8
Μέθοδος Εσφαλμένης Θέσης ή Μέθοδος Γραμμικής Παρεμβολής Method of False Position or Regula Falsi Method Μια «λογική» επέκταση της μεθόδου των Διαδοχικών Διχοτομήσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 9
f () ρίζα r 1 a b a 1 (a+b)/ b 1 a f (1) f (a) b a f (b) f (a) 1 a f (a) (b a) f (b) f (a) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3
Σύγκλιση της Regula Falsi απαιτεί «περισσότερες» πράξεις από άλλες μεθόδους που θα γνωρίσουμε συγκλίνει ταχύτερα από αυτήν της διχοτόμησης όταν η συνάρτηση είναι σχεδόν γραμμική στην περιοχή της ρίζας μπορεί να γίνει πολύ πιο αργή Υπολογιστικό κόστος: Μια κλήση της f() ανά επανάληψη (πλην της πρώτης). ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 31
Ανοικτές Επαναληπτικές Μέθοδοι Προσέγγισης Ριζών + Δεν χρειάζονται [α,β] για να ξεκινήσουν + Πιο γρήγορες από ότι οι διαδοχικές διχοτομήσεις + Μπορούν να βρουν πολλαπλές λύσεις - Δεν έχουν εξασφαλισμένη σύγκλιση ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 3
Επαναληπτικός Αλγόριθμος: () (1) () (3)... (n) g (n1) (new) g (old) Γενίκευση: ( n) g ( n1), ( n), ( n3), ( n4),..., ( nk ) συνήθως k=1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 33
Μέθοδος Διαδοχικών Αντικαταστάσεων ή Μέθοδος Σταθερού Σημείου Method of Successive Substitutions or Fied Point Iteration Method Ανοικτή μέθοδος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 34
Μέθοδος Διαδοχικών Αντικαταστάσεων ( Μέθοδος Σταθερού Σημείου ) f () g (n) (n 1) g Η έννοια των επαναλήψεων-iterations: () (1) () (3)... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 35
Παράδειγμα1: tan 1 (n) g (n1) (n) tan (n 1) 1 (n) a tan (n1) 1 g() tan 1 g() (n1) a tan 1 Ποιο από τα δύο πρέπει να χρησιμοποιήσω;;;; ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 36
Μέθοδος Διαδοχικών Αντικαταστάσεων ( 1) given () g( (1) ) (3) g( () ) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 37
( n) ( n1) Σύγκλιση της Μεθόδου: g r =λύση n r (n1) r ( n) r g( dg ( n 1) ( n1) ) g( r ) ( r ). d r y αν κοντά στη λύση φ( m-1 ) φ(( r ) g' r 1 r m-1 ΑΝΑΓΚΑΙΑ, ΟΧΙ ΙΚΑΝΗ, εξαρτάται από το σημείο εκκίνησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 38
Κριτήρια Σύγκλισης (1): n g( n1 ) r g( r =τελική λύση=σταθερό σημείο r ) r g() (n1) g' n n1 n1 g r g( ) r (n-1) ( n 1) g (r ) g( ) (n1) g'( ) (n1) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 39 r
Κριτήρια Σύγκλισης (): n r r n n n1 (n 1) g' n n 1 1 Αναγκαία, όχι ικανή συνθήκη g' 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4
Εξήγηση της Ονομασίας: Ορισμός: Ένα σημείο * του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης g() λέγεται σταθερό σημείο της αν ισχύει g( * )= * Πρόταση: Κάθε συνεχής συνάρτηση g:[a,b][a,b] έχει στο διάστημα [a,b] (τουλάχιστον) ένα σταθερό σημείο y b y= y=g() a a b ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 41
Η συνθήκη της πρότασης είναι ικανή, αλλά όχι και αναγκαία 1.1 1.9.8.7.6.5.4.3..1 ** λ.χ. Η συνεχής συνάρτηση g:[-1:1] [,], g():= Σταθερά Σημεία τα και ½ χωρίς να ισχύει η συνθήκη! -1 -.5.5 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 4
Παράδειγμα 1: tan 1 (n) tan (n1) 1 (n) a tan (n 1) 1 g() tan 1 g() a tan (n1) 1 g'() / cos g' 1 1 4 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 43
tan 1 στο [-1,1] 8 *tan()--1 6 4 - -4-6 -8-1 -5 5 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 44
tan 1 στο [,1] 1.5 *tan()--1 1.5 -.5-1..4.6.8 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 45
(n) tan (n1) 1 g'() / cos /cos()/cos() 4 - -4..4.6.8 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 46
(n) tan (n1) 1 1.1 1 *tan()-1.9.8.7.6.5.4.3 6.6 65.65 7.7 75.75 8.8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 47
(n1) ( n) 1 a tan 1 g' 1 4 ) 1 1 (1+((+1)**/4))**(-1).5 -.5-1.6.65.7.75.8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 48
(n) (n1) a tan 1.8 atan((+1)/).75.7.65.6.55.6.65.7.75.8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 49
Παράδειγμα : A (n) g () g'() A / A A (n1) ( 1 A n) g() g' 1 A A 1 A g'( A) 1 A Στη λύση: A 1 g' A A ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5
.8 1 A ( n) Για (Α=1/).5*(.5/+).75.7.65 g()~περίπου () οριζόντια Τετραγωνική Σύγκλιση!!!!.6.55.6.65.7.75.8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 51
.7 στο [.7,.7].5*(.5/+).715.71.75.7.7.75.71.715.7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 5
Παράδειγμα 3: L.7 arcsin 1 *.4 1/ r θ h g () ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 53
g().7 sin 1 *. 4 1/ g'() ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 54 1
Παράδειγμα 3: α φ Για α=1 ο Δ g( ) (β) 5 cos 3 5 arccos g( ) 11 cos cos( ) 6 5 5 3 cos 11 6 5 cosa arccos 3 cos( ) 11 sin a sin 6 5 cosa ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 55 (α)
Όρια φ=[1,] (β) τρόπος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 56
Μέθοδος Newton-Raphson ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 57
Μέθοδος Newton-Raphson f 1 h Πότε;;; Πραγματική λύση Αρχική λύση 1 Πρέπει: f ( h) f h 1! h! 1 1 1 1 h f f f... h f f 1 1 Πότε;;; ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 58
Μέθοδος Newton-Raphson f () (1) f 1 1 (n1) 1) n 1 f f (n) (n Προετοιμασία (εύρεση παραγώγων) στο χαρτί... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 59
Μέθοδος Newton-Raphson (με προσεγγιστική παράγωγο)=μέθοδος της Τέμνουσας n n1 f n1 n f n1 n f ( n1 ) Αυτο-εκκίνηση ;;;;; f() n1) n f ( ( ( ) f ( ) ) (n1) f '( ) (n1) (n) (n-1) (n-) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6
Μέθοδος Newton-Raphson (n) (n1) f f (n1) n1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 61
Μέθοδος Newton-Raphson Σύγκλιση r (n1) (n) f f (n) n (n) 1) (n) f r r (n) f (n n1 n1 n r r r n 3 n 1 n n n n f f / f / 3!f / f n f r r r n f r r r r... / ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 6
Μέθοδος Newton-Raphson Σύγκλιση Με απλοποιήσεις: 1 n f ' ' ( ) 1 n ( ) f ' ( ) Οταν κοντά στη ρίζα: f f f 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 63
Παράδειγμα : L.7 arcsin 1 *.4 1/ r θ h ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 64
V Lr 1/ arcsin 1 h / L ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 65
Άλλες Συναφείς Ανοικτές Μέθοδοι: 1. Μέθοδος της Τέμνουσας. Μέθοδος Muller ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 66
Μέθοδος Newton-Raphson (με προσεγγιστική παράγωγο)=μέθοδος της Τέμνουσας n n1 f n1 n f n1 n f ( n1 ) Αυτο-εκκίνηση ;;;;; f() n1) n f ( ( ( ) f ( ) ) (n1) f '( ) (n1) (n) (n-1) (n-) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 67
.. Μέθοδος Muller y p () ρίζα p () 1 1 ( 3, 1, ) 3 h h 1 Αυτο-εκκίνηση ;;;;; f () Βήματα: 1. Υπολογισμός των συντελεστών α i. Λύση της δευτεροβάθμιας 3. Επιλογή ως 3 της πλησιέστερης στο ρίζας του ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 68
.. Μέθοδος Muller y p () ρίζα p () 1 1 f( ) (h h ) f( ) h hh (h h ) f( ) 1 1 1, 3 h 1 h 1 1, f () h 1 1 f( ) f( ) h 1 h ( ) f 1 3 1 1 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 69
Εύρεση Ριζών Πολυωνύμων: Μέθοδος Newton ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7
Βασικά Θεωρήματα: Ένα πολυώνυμο k βαθμού έχει ακριβώς k ρίζες (πραγματικές ή μιγαδικές), όπου μια ρίζα πολλαπλότητας ρ προσμετράται ρ φορές. Από k+1 σημεία περνά ακριβώς μόνο ένα πολυώνυμο k βαθμού. Κανόνας του προσήμου του Descartes: Οι θετικές πραγματικές ρίζες ενός πολυωνύμου p k () = είναι τόσες όσες και οι μεταβολές στο πρόσημο των (πραγματικών) συντελεστών του, α i, i = k, k-1,, ή λιγότερες κατά έναν άρτιο αριθμό. Το ίδιο ισχύει για τις αρνητικές ρίζες, όταν λαμβάνονται υπόψη τα πρόσημα του p k ( ) =. p () k k 1 k... k k k1 k ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 71
Μέθοδος Horner για υπολογισμό τιμής πολυωνύμου p k k1 k k () k k 1 k... k(k+1)/ πολλαπλασιασμοί και k προσθέσεις p k () 1 k 1 k k πολλαπλασιασμοί και k προσθέσεις Ελάχιστο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 7
Μέθοδος Newton για Πολυώνυμα (1) Παραγοντοποίηση του p n () κατά Horner. Βασικές σχέσεις: k k 1 k 1 k k k k... () p k k k 1 k k r (t) p r () g t) ( () p (t) g '(t) p 1 k k ) ( g ) ( p 1 k k k k 1 k 1 k 1 k b... b b () g k 1 k a b b t b i k k 3 1 i 1 i i b t a b, i = k-, k-3,.,. k b t a r ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 73
p p Μέθοδος Newton για Πολυώνυμα () k k1 k k () k k 1 k... k () ( t) g '(t) () r g (t) k1 p k k 1 k p k (t) r k (n1) (n) f f (n) n (n1) (n) p k p ' k (n) n ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 74