ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 1 Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα Μ, Q, N (3.5 μονάδες) β) η κατακόρυφη βύθιση του κόμβου 7 λόγω της φόρτισης και μιας ομοιόμορφης μείωσης της θερμοκρασίας της κατασκευής κατά Δ T = 0 o C (1.5 μονάδα) 8 4 5 Δίνονται: E = 10 kn m, I = 80000cm, a = 10 / o C T ΕΠΙΛΥΣΗ: E = 10 kn m 8, I = 80000cm = 0.8 10 4 3 m 4, EI = 10000kNm Ισοστατικό δικτύωμα στηριζόμενο στον υπόλοιπο ισοστατικό φορέα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες αρθρωτές ράβδους και φορτίζονται μόνο στους κόμβους τους, με συνέπεια οι ράβδοι τους να αναπτύσσουν μόνο αξονική ένταση. Ο τρόπος αυτός της φορτίσεως του δικτυώματος εξασφαλίζεται μέσω κατάλληλης διάταξης δοκίδων που στηρίζονται στους κόμβους του δικτυώματος και την οποιαδήποτε φόρτιση που δέχονται τη μεταφέρουν σα συγκεντρωμένα φορτία στους κόμβους. Ακόμα και αν υπάρχει ομοιόμορφη φόρτιση, αυτή μεταφέρεται σημειακά στους κόμβους μέσω των μηκίδων (έμμεση φόρτιση). ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 1
Άρα: 1.5 o tanφ = φ =.55 3.0 M = 0 V 130 3 45 = 0 V = 110kN 7 3 3 F = 0 V 45 131 45 + 110 = 0 V = 110kN y 7 7 Κόμβος #8: F = 0 S = S F x y 1 = 0 S = 90kN 3 Κόμβος #9: F x = 0 S = S 4 5 F = 0 S sinφ = 130 S = 145.34kN y 4 4 S4 = S5 = 145.34kN (εφελκυστική) Κόμβος #7 (αντίστοιχα #8): F = 0 S + 145.34cosφ = 0 S 130kN x 1 1 S1 = S = 130kN (εφελκυστική) Έλεγχος: F y = 0 145.34sinφ = 4.9979kN 5kN ισχύει ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
Εξισώσεις ισορροπίας: o F x = 0 80+ V 1cos45 H = 0 (1) o o F y = 0 V 1sin 45 + V 30 10 110 = 0 V 1sin 45 + V = 410 () M 1 = 0 V 8 80 3 30 10 5 110 10 = 0 V = 355kN (3) Από () και (3) προκύπτει: V1 = 77.78kN (4) Από (1) και (4) προκύπτει: H = 135kN Έλεγχος: o M = 0 80 3 + 77.78cos 45 8 + 110 30 10 3 = 0.009874 0 ισχύει ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 3
Διάγραμμα Ροπών Κάμψης [Μ] ql45 = 33.75, 8 ql7 = 15.00 8 ql5 = 93.75, 8 Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων [Q] Κόμβος #5: 90 35 = 55 = 77.78sin 45 o Κόμβος #: 185 + 170 = 355kN = V Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [Ν] Καμπτόμενα Μέλη Μέλη Δικτυώματος ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 4
Η Αρχή των Δυνατών Έργων (Α.Δ.Ε.) συνδέει τις αλληλοϊσορροπούμενες δυνάμεις της δυνατής φορτίσεως τις αντίστοιχες προς αυτές παραμορφώσεις που οφείλονται στην πραγματική φόρτιση και τις εντατικές καταστάσεις της δυνατής και της πραγματικής φόρτισης. Θερμοκρασιακή Επιρροή: (α) ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας ως προς την όλων των ινών του στοιχείου (β) διαφορά θερμοκρασίας ΔT μεταξύ δύο ακραίων ινών, τέτοια που να διατηρεί στον κεντροβαρικό άξονα τη θερμοκρασία T 0 Η περίπτωση (α) επιφέρει μία άτονη επιμήκυνση ή βράχυνση του στοιχείου. Η περίπτωση (β) επιφέρει μία άτονη κάμψη του στοιχείου με ουδέτερο (μη εκτεινόμενο) άξονα την κεντροβαρική ίνα. T 0 M ΔT S + R Δ = M dx + M a dx + Na δtdx + S l + S a dtdx 1 δ7 i i i T T i i EI h i= 1 EiAi i= 1 i T Οι όροι S S l και i i i i= 1 EiAi SiaTdTdx μηδενίζονται λόγω του γεγονότος ότι η μοναδιαία i= 1 φόρτιση αναφέρεται στον ολόσωμο φορέα. Το δικτύωμα δεν επηρεάζεται καθόλου, απλά στηρίζεται μέσω του κόμβου #7 στον ολόσωμο φορέα. Επίσης, μηδενίζεται και ο όρος ΔT MaT dx, αφού έχουμε μόνο ομοιόμορφη μεταβολή της θερμοκρασίας. h Εξισώσεις ισορροπίας: F 0 V 1 cos45 o H x = = 0 o F y = 0 V 1sin45 + V 1= 0 M V V 1 = 0 8 1 10 = 0 = 1.5 kn Άρα: V1 = 0.35kN και H = 0.5kN ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 5
Διάγραμμα Ροπών Κάμψης [ M ] Διάγραμμα Αξονικών Δυνάμεων [ N ] Έχουμε: δ7 + R Δ 1 i i = 0 M = + EI M dx NaTδTdx, όπου 1 5 ( 1.5) ( 48.75) 85 M 1 M dx = EI EI 1 1 + ( ) ( 15) 80 + 3 ( 405) 0.75 1 1433.913 3 = [ 131.77083 + 353.3333 151.8750] = = 8.9578 10 EI 10000 5 4 NaTδTdx 10 0 3 0.35 5 0.5 3 ( 1.5) = + + =.030151519 10 3 4 Συνεπώς έχουμε: 1 δ = 8.9578 10.030151519 10 δ = 8.075mm 0.81cm 7 7 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητείται η ποιοτική χάραξη των διαγραμμάτων M, Q, N χωρίς απολύτως κανένα υπολογισμό (.5 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Οι ράβδοι (4) και (47) δεν εντείνονται καθόλου. Στον κόμβο #4 υπάρχουν μόνο οι αξονικές των ράβδων (4) και (45). Πρόκειται για ένα δικτύωμα που φορτίζεται συμμετρικά στους κόμβους # και #7 με φορτίο P. Κόμβος #: S > 0 και S 7 > 0 (ισχύει: S = S75 από κόμβο #7) Κόμβος #4: S = S 4 45 Οι ράβδοι (), (57) και (7) εφελκύονται, ενώ οι (4) και (47) είναι άτονοι. Κόμβος #5: S 35 > 0, άρα η ράβδος εφελκύεται S = S cosφ + S cosφ < 0 S 45 57 1 35 sinφ = S sinφ 35 57 1 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 7
Συνεπώς: V = S + S 1 35, y, y H1 = S35cosφ + Scosφ1 S4 S4 = S45 = S57 cosφ1 + S35 cosφ H1 = 0 όμως S57 = S M + S l S l + S l = 0 M < 0 1 35, x 13 4 1, x 1 1 Διαγράμματα Εντατικών Μεγεθών [Ν] [Q] [M] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 8
ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ 3 Στο φορέα του σχήματος και για κίνηση του μοναδιαίου φορτίου από 1 έως 5 ζητείται η χάραξη των γραμμών επιρροής: 1) της ροπής κάμψεως M a στην πάκτωση ) της ροπής κάμψεως M β στον κόμβο δεξιά 3) της τέμνουσας δύναμης Q γ στην άρθρωση 3 4) της ροπής κάμψεως M δ στο μέσο m του τμήματος (34) 5) να υπολογιστούν οι ακραίες τιμές της ροπής κάμψεως M β στον κόμβο δεξιά για ένα κινητό φορτίο q = 0kN m δυνάμενο να εκτείνεται χωρίς περιορισμό από 1 έως 5 ΕΠΙΛΥΣΗ: Γραμμή επιρροής του μεγέθους Ε είναι το διάγραμμα εκείνο που αναφέρεται στην προδιαγεγραμμένη διαδρομή του φορτίου και του οποίου η τεταγμένη σε κάθε σημείο ισούται με την τιμή του Ε που αναπτύσσει στη συγκεκριμένη διατομή ο φορέας, όταν το φορτίο P = 1 έλθει στο σημείο αυτό. Γραμμή Επιρροής M α Qα + H = 0 Qα = 0 V + N = 0 N = 1 V ( ) α α α = 0 α = M M M M ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 9
Γ.Ε. M α Γραμμή Επιρροής M β Η ροπή M β είναι μηδενική στο τμήμα (1), διότι όσο το φορτίο κινείται σε αυτό το τμήμα η ροπή λίγο πριν τον κόμβο είναι ίση κατ απόλυτη τιμή με τη ροπή στην πάκτωση και συνεπώς από την εξίσωση ισορροπίας έχουμε: M = M 1 β x και 1 M = 1 x 1. Άρα M β = 0 στο (1). Γ.Ε. M β Γραμμή Επιρροής Q γ αριστ V = + 1 αριστερά της διατομής γ, άρα Qγ = V 1= 0 Q = γ V 3 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 10
Γ.Ε. Q γ Γραμμή Επιρροής M δ Η ροπή στη διατομή δ είναι μη μηδενική μόνο όσο το φορτίο κινείται στο τμήμα 3-4-5. Γ.Ε. M δ Κινητό φορτίο q = 0kN m ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 11
Η μέγιστη αρνητική ροπή στη διατομή β προκύπτει όσο το q φορτίζει το τμήμα -3-4 και μόνο, όπως άλλωστε φαίνεται από την προσημασμένη Γ.Ε. M β. Η μέγιστη θετική ροπή προκύπτει όταν το φορτίο q βρίσκεται στο τμήμα 4-5. 1 min M β = 1 3 0 = 30kNm 1 maxm β =+ 4 0=+ 80kNm Ακραίες Τιμές M β : min M β = 30kNm και max M =+ 80 knm β ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 1