ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθημα: "ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΚΤΥΩΝ" Λύσεις Ασκήσεων Άσκηση Α Για το κύκλωμα του Σχήματος Α : (α) Να σχεδιασθεί ο γράφος του κυκλώματος, να υπολογισθεί η μήτρα πρόσπτωσης, και να γραφούν οι εξισώσεις της απλής μεθόδου των κόμβων (θεωρώντας κόμβο αναφοράς της επιλογής σας). (β) Θεωρώντας ένα δέντρο της επιλογής σας, να γραφούν οι εξισώσεις της μεθόδου των θεμελιωδών ομάδων διαχωρισμού. R Ι R C gv v R R v R C Σχήμα Α Λύση (α) Ο γράφος του κυκλώματος εικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα: R R C I v C gv R R R Σημείωση: Στο γράφο του κυκλώματος σημειώνεται και ο κλάδος v, ο οποίος αποτελεί τον κλάδο εισόδου (ανοικτοκύκλωμα) του ΜΤΡ: g v Θεωρώντας (αυθαίρετα) ως κόμβο αναφοράς τον κόμβο, η μήτρα πρόσπτωσης του γράφου είναι: R R R R R C C v gv I A = Παρατήρηση: Με n= κόμβους και b= κλάδους στο γράφο του κυκλώματος, η μήτρα πρόσπτωσης Α έχει διάσταση: (n ) x b = x. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Οι εξισώσεις της απλής μεθόδου των κόμβων (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας) μπορούν επομένως να γραφούν στην ακόλουθη μορφή (θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή μηδενικές τάσεις πυκνωτών για t=): G G C C G C e I G C g G G G C G G e= g G G G G G e (όπου με G i συμβολίζουμε ωμικές αγωγιμότητες: G i =/R i ). Yn (β) Επιλέγουμε (αυθαίρετα) ως δέντρο τον υπογράφο με κλάδους (βλαστούς): { C, C, R }. Οι εξισώσεις της μεθόδου των θεμελιωδών ομάδων διαχωρισμού (Θ.Ο.Δ.) θα οδηγήσουν επομένως σε ένα σύστημα με αγνώστους μεταβλητές κυκλώματος τις τάσεις των βλαστών: [v c, v c, v R ]. R ΘΟΔ C C I v C R ΘΟΔ C gv R R R ΘΟΔ R Αναπτύσσοντας, εν προκειμένω, τις εξισώσεις (Ν.Ρ.Κ.) στις Θ.Ο.Δ. του κυκλώματος που εικονίζονται στο παραπάνω σχήμα, παίρνουμε (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες): ΘΟΔ C: ic ir gv ir ir IS = ( C) vc Gv R gv Gv R Gv R = IS ΘΟΔ C: ic ir gv ir ir = ( C) vc Gv R gv G vr Gv R = ΘΟΔ R : i gv i i = Gv gv Gv Gv = R R R R R R Εφαρμόζοντας τώρα Ν.Τ.Κ. στους θεμελιώδεις βρόχους του κυκλώματος, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται: ( C G g) vc ( G G)( vc vc vr) = IS gvc ( C G) vc ( G G)( vc vc vr) = gv G v ( G G )( v v v ) = και τελικώς σε μητρική μορφή : c R c c R C G G G g ( G G) ( G G) vc I g ( G G) C G G G G G vc = g ( G G ) G G G G G v R «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Άσκηση Α Για το κύκλωμα του Σχήματος Α : (α) Να σχεδιασθεί ο γράφος του κυκλώματος, να υπολογισθεί η μήτρα πρόσπτωσης, και να γραφούν οι εξισώσεις της μεθόδου των απλών βρόχων του κυκλώματος. (β) Θεωρώντας ένα δέντρο της επιλογής σας, να γραφούν οι εξισώσεις της μεθόδου των θεμελιωδών βρόχων. i L R r i L R v R R R v Σχήμα Α Λύση (α) Ο γράφος του κυκλώματος με σημειωμένους τους απλούς βρόχους φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα: R i L r.i L 6 7 R v i i i R R R Σημείωση: Στο γράφο του κυκλώματος σημειώνεται και ο κλάδος i, ο οποίος αποτελεί τον κλάδο εισόδου (βραχυκύκλωμα) του ΜΡΤ: r i Η μήτρα πρόσπτωσης του γράφου του κυκλώματος είναι: R R R R R L L i ri v A = 6 7 Για τις εξισώσεις της μεθόδου των απλών βρόχων του κυκλώματος (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας και θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες δηλαδή μηδενικά ρεύματα πηνίων για t=) έχουμε: «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

( L R) i ( L R)( i i) v = R ( i i ) ( L R )( i i ) = ri ( R R) i R( i i) = οι οποίες σε μητρική μορφή γράφονται: L L R R ( L R) i v ( L R) L R R R i= r R R R R i (β) Επιλέγουμε (αυθαίρετα) ως δέντρο τον υπογράφο με κλάδους (βλαστούς): { R, i, v, R, R, ri, R }, το οποίο εικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα. i L r.i R R 6 L ΘΒ-L ΘΒ-R 7 ΘΒ-L R R v R Οι εξισώσεις της μεθόδου των θεμελιωδών βρόχων (Θ.Β.) θα οδηγήσουν επομένως σε ένα σύστημα με αγνώστους μεταβλητές κυκλώματος τα ρεύματα των συνδέσμων: [i L, i L, i R ]. Αναπτύσσοντας, εν προκειμένω, τις εξισώσεις (Ν.Τ.Κ.) στους Θ.Β. του κυκλώματος που εικονίζονται στο παραπάνω σχήμα, παίρνουμε (στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες): ΘΒ L: vl vr vr vs = ( L) il Ri R Ri R= vs ΘΒ L: vl vr vr= ( L) il Ri R Ri R = ΘΒ R : v v ri v = Ri Ri ri Ri = R R R R R R Εφαρμόζοντας τώρα Ν.Ρ.Κ. στις θεμελιώδεις ομάδες διαχωρισμού του κυκλώματος, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται: ( L) il R( il i L ir) R( il) = vs ( L) il Ri L R( il i L ir) = Ri R( i i i ) ri Ri = R L L R L R και τελικώς σε μητρική μορφή : L R R R R il v R L R R R il = r R R R R R i R «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Άσκηση Β Για το κύκλωμα του σχήματος Β : C R R R 6 R E C 7 R 6 Σχήμα Β (α) Να γραφούν οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου κόμβων με δύο γράφους. (β) Με τιμές στοιχείων: R = R = R = Ω C = C = 6nF 7 R =.kω 6 R =.kω R = 7.6kΩ R = Ω 9 8 R = 98Ω να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις μεταφοράς V() H() = E() V() 6 H() = E() (γ) Για τις ανωτέρω συναρτήσεις μεταφοράς να σχεδιαστούν τα διαγράμματα Bode κέρδους και φάσεως καθώς και τα αντίστοιχα ασυμπτωτικά διαγράμματα και να χαρακτηριστούν οι λειτουργίες τους σαν φίλτρα. (δ) Να εξεταστεί ποία εκ των δύο είναι κατάλληλη για την πραγματοποίηση κατωδιαβατού φίλτρου ελαχίστης δυνατής τάξεως με συχνότητα αποκοπής της ζώνης διελεύσεως khz, συχνότητα αποκοπής της ζώνης φραγής khz. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Λύση Άσκησης Β (α) Για το κύκλωμα του Σχήματος, με τις φορές αναφοράς που έχουν σημειωθεί, ο Ι γράφος και ο V γράφος είναι όπως στα ακόλουθα σχήματα I-Γράφος R R R R 6 R C C 7 6 V-Γράφος R C 6 C 7 C R 6 R R R E Οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους θα είναι G G C C e G G G G e = C 7 G G6 C 7 G e e E (β) Για τις ζητούμενες συναρτήσεις μεταφοράς έχουμε: «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 6 από

H() e() E() G G C C G G G 7 6 7 C G G C G G C C = = = G G G G C G G C G 7 6 7 GG(G G C) C[ G(G C) (G G)C] (G G C)GC GG(G C) G(G G)C 6 7 7 = = 6 7 GCC 7 GG (G G 6) ω z 69869 = = = GCC7 G6GC GG G ωp 876. 668 ωp Q p από την οποία προκύπτουν ω = R p RRRCC 7 Q = ω R C p p 6 7 R ω z =ω p R 6 Αντίστοιχα για την H () θα ισχύει H() e() E() G G C G G G C G G C G 7 6 7 G G C C = = = G G G G C G G C G 7 6 7 GCC GGG GGG) ω 7669 = = = G C C G G C G G G 876. 668 7 6 z ω 7 6 p ωp Qp από την οποία προκύπτουν ω p, Q p, όπως προηγουμένως και RR ω z =ωp RR 6 (γ) Στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα Bode των H () (μπλέ)και H () (πράσινο) αντίστοιχα. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 7 από

Bode Diagram B ) (d e d itu M agn - - - - g ) e (d e P ha 6 7 8 6 Frequency (rad/ec) (δ) Επειδή τα μηδενικά του φίλτρου βρίσκονται στη ζώνη φραγής, κατάλληλη για τη σύνθεση του φίλτρου είναι η H (). «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 8 από

Άσκηση Β Για τα κυκλώματα του Σχήματος Β (Β (α) και Β (β)): - A Z - A Z Z in Z Z - A Z in Z Z Z Z A - Z Z Σχήμα Β (α) Σχήμα Β (β) (α) Να δειχθεί ότι εάν A i =, i=, οι αντιστάσεις εισόδου των κυκλωμάτων είναι Z ()Z ()Z () Z in () = Z()Z() (β) Να σχολιαστεί η χρήση των κυκλωμάτων για την προσομοίωση επαγωγέων στην ενεργό σύνθεση κυκλωμάτων. (γ) Εάν οι τελεστικοί ενισχυτές έχουν κέρδος Aiai A() i = και τεθούν Z () = Z () = Z () = Z () = R Z() = C να εκφραστούν οι αντιστάσεις εισόδου Z in () για τα δύο κυκλώματα. (δ) Εάν οριστεί ο συντελεστής ποιότητος Q L του πηνίου ως εξής ωl QL = R όπου L η αυτεπαγωγή του πηνίου και R η αντίστασή του, να ευρεθούν οι συντελεστές ποιότητος των δύο πηνίων που προκύπτουν από το ερώτημα (γ) και να σχεδιαστούν συναρτήσει του ω. (ε) Δεδομένου ότι το πηνίο είναι τόσο καλύτερο όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής ποιότητός του, να συγκριθούν τα δύο κυκλώματα ως προς την ικανότητα προσομοίωσης επαγωγέα. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 9 από

Λύση Άσκησης Β (α) Για την εύρεση της αντίστασης εισόδου του κυκώματος του σχήματος (α) θεωρείται σαν διέγερση ανεξάρτητη πηγή ρεύματος J. Για τις φορές των ρευμάτων, την αρίθμηση των κόμβων και με την παραδοχή ότι οι τελεστικοί ενισχυτές είναι εξαρτημένες πηγές τάσεως από τάση ο Ι Γράφος και ο V Γράφος φαίνονται στα ακόλουθα σχήματα. Στα σχήματα αυτά έχει θεωρηθεί Yi = i =,,,,. Z i I-Γράφος J Υ Υ Υ Υ Υ V-Γράφος Y T T Y Y Y T Y T Θεωρώντας Α i, i=, τα κέρδη των εξαρτημένων πηγών και e i, i=,,,, τις τάσεις των κόμβων του V Γράφου, οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους θα είναι: «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Y Y e J Y Y Y e Y Y Y Y e = A A e A A e Η αντίσταση εισόδου του κυκώματος θα είναι Z e Y Y Y Y Y Y Y Y A A in = = = J Y Y Y Y Y Y Y Y Y A A A A (Y Y )(Y Y AY ) AY (Y Y AY ) ( YY YY YA Y )(Y Y A Y ) A A Y Y (Y Y ) A Y (Y Y )(Y Y A Y ) Εάν A = A = διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Α Α και λαμβάνοντας το όριο καθώς τα Α, Α τείνουν στο άπειρο, λαμβάνεται Z lim Z (A,A ) YY YY Z ()Z ()Z () YYY YY(Y Y) YY(Y Y) YYY Z ()Z () in = in = = = A,A Αντίστοιχα για το κύκλωμα του σχήματος (β) ο Ι Γράφος και ο V Γράφος φαίνονται στα ακόλουθα σχήματα. I-Γράφος J Υ Υ Υ Υ Υ «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

V-Γράφος Υ T Y Τ Y Y T Τ Υ Οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους θα είναι Y Y e J Y Y Y Y e Y Y Y e = A A e A A e οπότε Y Y Y Y Y Y Y Y A e A A Zin = = = J Y Y Y Y Y Y Y Y Y A A A A AA YY AYY AYY YY YY YY( A) YY( A) AYYY AYYY YYY YYY YYY ( A ) YYY ( A ) A A YYY Εάν A = A = διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Α Α και λαμβάνοντας το όριο καθώς τα Α, Α τείνουν στο άπειρο, λαμβάνεται YY Z ()Z ()Z () Zin = lim Z in (A,A ) = = A,A YYY Z ()Z () «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

(β) Και τα δύο κυκλώματα όταν οι τελεστικοί ενισχυτές είναι ιδανικοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσομοίωση γειωμένου επαγωγέα εάν τεθούν και ένας των συνδυασμών Z () = Z () = Z () = R Z() = R Z() = η C Z() = Z() = R C Η αυτεπαγωγή του πηνίου θα είναι L= R C (γ) Εάν τεθούν Z () = Z () = Z () = Z () = R Z() = C και Ai A() i = η αντίσταση εισόδου του κυκλώματος του σχήματος (α) θα είναι GC (G A GC A GC) (A G A A GC) Z () = = in AG G C (G AG C AG C) AAG GC (G A GC A GC) (A G A A GC) = G C (G A G C A G C) A G A A G Από το Θεώρημα του Stodola για να είναι το κύκλωμα ευσταθές οι συντελεστές του παρονομαστή πρέπει να είναι ομόσημοι. Αυτό συνεπάγεται ότι πρέπει Α < Α < Αυτό σημαίνει ότι οι ακροδέκτες και των τελεστικών ενισχυτών πρέπει να εναλλαχθούν. Για τους ιδανικούς τελεστικούς ενισχυτές είναι αδιάφορο πως θα τοποθετηθούν οι ακροδέκτες εισόδου. Για τη μελέτη της ευστάθειας του κυκλώματος χρησιμοποιείται η διάταξη Routh G C G AG C AG C 6 G A AAG C AG C G A G C A G C AAG AG AAG Τα Α, Α στις ανωτέρω σχέσεις της αντίστασης εισόδου εκφράζουν το gain bandwih γινόμενο των τελεστικών ενισχυτών. Καθώς για την ανωτέρω σύνθετη αντίσταση θεωρούνται αρνητικοί, για να είναι το κύκλωμα ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες G A G C A G C > G A A A G C A G C > 6 «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Εάν η πρώτη ανισότητα ικανοποιείται. Επίσης εάν G R = > A C L G R = > A C L η δεύτερη ανισότητα ικανοποιείται. Οι ανωτέρω ανισότητες δεικνύουν ότι για την κατασκευή μιας δεδομένης αυτεπαγωγής L η αντίσταση R που θα χρησιμοποιηθεί για την προσομοίωση πρέπει να είναι μεγαλύτερη μιας οριακής τιμής για να μην προκύπτει ασταθές κύκλωμα. Αντίστοιχα η αντίσταση εισόδου του κυκλώματος του σχήματος (β) θα είναι GC (G AGC) (AG AAGC) in AG G C (G AG C) AAG Z () = = GC (G A GC) (A G A A GC) = GC (G AGC) AG AAG Από το Θεώρημα του Stodola για να είναι το κύκλωμα ευσταθές οι συντελεστές του παρονομαστή πρέπει να είναι ομόσημοι. Αυτό συνεπάγεται ότι πρέπει Α > Α > Αυτό σημαίνει ότι οι ακροδέκτες και των τελεστικών ενισχυτών πρέπει να τοποθετηθούν όπως στο σχήμα. Για τους ιδανικούς τελεστικούς ενισχυτές είναι αδιάφορο πως θα τοποθετηθούν οι ακροδέκτες εισόδου. Για τη μελέτη της ευστάθειας του κυκλώματος χρησιμοποιείται η διάταξη Routh G C G A G G AG C 6 AG C AAG A A G C A G AAG Αξίζει να παρατηρηθεί ότι εφόσον τα Α, Α είναι θετικά, το κύκλωμα είναι πάντα ευσταθές. Στα ακόλουθα σχήματα φαίνονται οι σύνθετες αντιστάσεις εισόδου των κυκλωμάτων Nyquit Diagram From: U() Nyquit Diagram From: U(). ImZ in ImZ in x i A a ry n g i a Im ) ( Y T o:.. Z ina x i A a ry n g i a Im ) ( Y T o: Z inb. ReZ in - 6 8 Real Axi Αντίσταση εισόδου κυκλώματος (α) σε σχέση με την αντίσταση εισόδου ιδανικού πηνίου. Real Axi ReZ in Αντίσταση εισόδου κυκλώματος (β) σε σχέση με την αντίσταση εισόδου ιδανικού πηνίου. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

(δ) Εάν είναι επιθυμητό να κατασκευαστεί πηνίο αυτεπαγωγής L=mH, οι τελεστικοί ενισχυτές έχουν Gain bandwih γινόμενο ίσο προς 6 και οι ακροδέκτες των τελεστικών ενισχυτών του κυκλώματος (α) έχουν εναλλαγεί ώστε το κύκλωμα να είναι ευσταθές, μία λύση προσδιορίζεται εάν ληφθούν G= Ω C= 9 F Οι σύνθετες αντιστάσεις των δύο κυκλωμάτων θα είναι 6 * Zina = 9 * Καθώς Q { ina} { } Z 6 * * inb = 9 * * * 6 9 Im Z ω ( ω * ω ) ( ω )( * ω ) La = = 6 9 Re Zina ω ( ω ) ( ω * ω )( * ω ) Q { inb} { } 6 9 = Im Z = * ω (* ω * ω ) ( * ω )(ω * ω ) Lb 6 ω 9 ω ω ω ω ω inb Re Z * ( * ) (* * )( * ) Οι παράγοντες ποιότητας φαίνονται στα ακόλουθα σχήματα. Q La Q Lb -. - -. ω - 6 8 x 7 Παράγοντας ποιότητας Q L κυκλώματος (α) ω 6 8 x Παράγοντας ποιότητας Q L κυκλώματος (β) Εάν αντί των ανωτέρω τιμών ελαμβάνοντο G= Ω C= F Ο αντίστοιχος παράγοντας ποιότητος του κυκλώματος (α) θα ήταν όπως στο ακόλουθο σχήμα, δηλαδή θα παρουσίαζε βελτίωση ως προς τις τιμές του «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Q La - - - - - 6 8 x 7 (ε) Όπως προκύπτει από τα ανωτέρω, το κύκλωμα (β) είναι καταλληλότερο για την προσομοίωση επαγωγέων. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι οι περιοχές συχνοτήτων έχουν ληφθεί διαφορετικές για τα δύο κυκλώματα. Εάν για το κύκλωμα (β) ελαμβάνετο η περιοχή (, 7 ), ο παράγοντας Ποιότητας ποιότητας εμφανίζει τη μορφή του ακόλουθου σχήματος w.8 Q Lb.6.. -. -. 6 8 x 7 δηλαδή χειρότερη συμπεριφορά από το κύκλωμα (α) στις υψηλές συχνότητες. ω «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 6 από

Άσκηση Γ Για το κύκλωμα του Σχήματος Γ : C L C I V o L _ C L C Σχήμα Γ Εάν σαν διέγερση θεωρηθεί η πηγή ρεύματος Ι και σαν έξοδος η τάση V o, (α) Nα γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης ως προς κατάλληλο διάνυσμα της επιλογής σας. (β) Για μοναδιαίες τιμές των στοιχείων να γραφούν οι εξισώσεις της μεθόδου των κόμβων και να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς V() o G()= I() (γ) Για μοναδιαίες τιμές των στοιχείων να εξεταστεί εάν η ανωτέρω περιγραφή είναι ευσταθής κατά Lyapunov. Εάν η διέγερση I(t) είναι I(t)=Iημ(ωt). να ευρεθεί εάν υπάρχει συνδυασμός αρχικών συνθηκών και κυκλικής συχνότητας ω ώστε στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση η έξοδος να είναι μηδενική για κάθε t. Λύση (α) Εάν θεωρηθούν οι φορές αναφοράς των ρευμάτων των κλάδων όπως στο ακόλουθο κύκλωμα, L C C I V o L _ C L C ο γράφος του κυκλώματος με το μοναδικό κανονικό δένδρο που προκύπτει θα είναι όπως στο ακόλουθο σχήμα «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 7 από

I C L L C L C C Το διάνυσμα των καταστάσεων θα αποτελείται από τις τάσεις των πυκνωτών που είναι βλαστοί και τις εντάσεις των επαγωγέων που είναι σύνδεσμοι στο κανονικό δένδρο, δηλαδή θα είναι x= vc v C v C v C i L i L i L Από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο προκύπτει ή ισοδύναμα C dv C =I-iL dx = I- x C C Από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στη θεμελιώδη ομάδα διαχωρισμού I, C, L, L προκύπτει ή ισοδύναμα dv C =I-i -i C L L dx = I- x - x C C C 6 Από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο προκύπτει ή ισοδύναμα dv C =i -i C L L dx = x - x C C 7 Από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff στη θεμελιώδη ομάδα διαχωρισμού C, L, L, L προκύπτει T dv C =i i -i C L L L «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 8 από

ή ισοδύναμα dx = x x - x C C C 6 7 Από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff στο θεμελιώδη βρόχο L, C, C, C, C προκύπτει ή ισοδύναμα di L =v v -v v L C C C C dx = x x - x x L L L L Από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff στο θεμελιώδη βρόχο L, C, C προκύπτει ή ισοδύναμα di L =v -v L C C dx6 = x - x L L Από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff στο θεμελιώδη βρόχο L, C, C προκύπτει ή ισοδύναμα di L =v v L C C dx7 = x x L L Για την έξοδο του κυκλώματος θα είναι V=v o C v C =xx Σε μητρική μορφή οι εξισώσεις καταστάσεως θα είναι - C - - C C x x C - x x C C x x C d - x = x C C C I x x - - x 6 x6 L L L L x 7 x 7 - L L L L «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 9 από

o [ ] V = x (β) Οι εξισώσεις της μεθόδου των κόμβων για την αρίθμηση των κόμβων του κυκλώματος και για μοναδιαίες τιμές των στοιχείων θα είναι - - - e() - e() - e() - e() I() - - Καθώς η έξοδος του συστήματος θα ταυτίζεται με την τάση του κόμβου, εφαρμόζοντας τον κανόνα του Cramer, θα είναι o G()= = = = I() - - - - - - V() e() I() I() I() - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ( 8) 6 = 8 = «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

(γ) Το γραμμικό κύκλωμα του προβλήματος είναι ευσταθές αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθές. Εάν εφαρμοστεί ημιτονοειδής διέγερση της μορφής που δίδεται, με κατάλληλη επιλογή των αρχικών συνθηκών μπορούν να μηδενιστούν οι όροι που οφείλονται στις συχνότητες των πόλων της G(). Για τους όρους που οφείνονται στη διέγερση, εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση θα είναι n V(t)= A G(jω ) ημ[ω targ(g(jω ))φ ] o i i i i i i= Για να είναι συνεπώς η έξοδος μηδενική για κάθε χρονική στιγμή θα πρέπει ή ισοδύναμα G(jω i) = G(jω i) = Επομένως το =jω i πρέπει να είναι ρίζα του αριθμητή της συνάρτησης μεταφοράς. Οι ρίζες αυτές είναι = και οι ρίζες της διτετράγωνης εξίσωσης οι οποίες θα είναι,,, ±j. =± ± **8 6 = ±j.987 Καθώς τα =jω και = jω δεν συνιστούν διαφορετικές διεγέρσεις επειδή με Aημ(ωtφ )Aημ(-ωtφ )= =Aημ(ωt)συν(φ )Aσυν(ωt)ημ(φ )-A ημ(ωt)συν(φ ) Aσυν(ωt)ημ(φ )= =ημ(ωt)[a συν(φ )-A συν(φ )]συν(ωt)[a ημ(φ ) A ημ(φ )]= ( ημ(ωt)συνθσυν(ωt)ημθ) =ημ(ωt)κ συν(ωt)κ θα είναι και = Κ Κ = Κ Κ *ημ(ωtθ) συνθ= K Κ Κ ημθ= K Κ Κ n= ω = ω =. ω =.987 «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Άσκηση Γ Για το κύκλωμα του Σχήματος Γ : (α) Να γραφούν οι εξισώσεις κατάστασης στο πεδίο του χρόνου, με είσοδο v (t), έξοδο v out (t) και διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης: x(t) = [v c, i L, i L ] T. (β) Αν R =R =Ω, C=F, και L =L =H, να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς: G()=V out ()/V (). (γ) Για τις παραπάνω τιμές στοιχείων, και θέτοντας α=, να υπολογιστεί η απόκριση μηδενικής εισόδου, αν υποθέσουμε αρχικές συνθήκες v c ()=V, και i L ()=i L ()=. v R i L L i c i L L y = v out C α.i c - v c R - Σχήμα Γ Λύση (α) Σχεδιάζουμε τον γράφο του κυκλώματος και επιλέγουμε κανονικό δέντρο, όπως εικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα: R L L ΘΟΔ-C v C i c a.i c R Γράφουμε Ν.Ρ.Κ. στη Θ.Ο.Δ. του βλαστού C και Ν.Τ.Κ. στους Θ.Β. των συνδέσμων L και L : dvc C il il = dil L vc v Ri R= dil L Ri R vc = και αντικαθιστώντας τις μεταβλητές i R και i R από τις σχέσεις ΝΡΚ στις ΘΟΔ των αντίστοιχων στοιχείων (βλαστοί R και R ) παίρνουμε τελικά: «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

dvc = ( il il) C dil = ( vc R( il) v) L dil = ( vc R( il ail ail) ) L Επομένως, οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος γράφονται τελικώς σε μητρική μορφή: C C v c v c d R i L i L v = L L L i L i L R R () ( ) () x t a a t L L L x B Για την εξίσωση εξόδου έχουμε: A y= v = v = Ri = R ( i ai ) = R ( i a( i i )) out R R L c L L L οπότε τελικά σε μητρική μορφή: vc y = [ ar ( a) R] il [ ] v C i D L (β) Αντικαθιστώντας τις δοθείσες τιμές προκύπτει: και.. x = x a ( a) A vc y = [ a ( a) ] il [ ] v C i D Επομένως, η ζητούμενη συνάρτηση μεταφοράς είναι: H() = C( I A) B D L.. H() = [ a ( a) ] a ( a) B Δ Δ Δ H() [ a ( a) ] ( ) = Δ Δ Δ I A Δ Δ Δ v «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

( ) [ ( )] ( ) ( ) H() = a a Δ = ( aδ a Δ) I A I A Δ όπου.. I A = = ( )( a).( a).( a) a ( a) I A = ( ( a ) ( a) ) = ( a ) ( a ). ( ) ( ) Δ = = ( a). = ( a ). a και. ( ) ( Δ ) = = a. a οπότε τελικά: aδ ( ) ( ) a Δ a a. a a. H() = = I A ( a) ( a) H() = a. ( a) ( a) Δ ( ) ( )( ) (γ) Έχουμε για την απόκριση μηδενικής εισόδου (ΑΜΕ), με α=: L Δ Δ Δ () = () = Δ Δ Δ I A Δ Δ Δ ( y ) [ ] [ ] AME t C I A x ( ) ( ) Δ ( ) L ( y ) AME () t = = = = I A ( )( ).( ).( ) ( )( ) ( ) οπότε: t y AME () t = L e in t u() t = L = ( ) ( ) ( ) «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Άσκηση Δ Για το κύκλωμα του Σχήματος Δ : R C - C R - R R E 9 - R 6 R 6 7 - C 8 V o _ Σχήμα Δ (α) Να γραφούν οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους. (β) Παρατηρώντας ότι e = v C,e = v C,e 8 = vc, να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του T συστήματος για x = vc v C v C. (γ) Να προσδιοριστούν τα σημεία ισορροπίας του κυκλώματος και το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο. (δ) Εάν x() και E(t)=, να ευρεθεί η x(t) και να προσδιοριστεί εάν το σύστημα είναι ευσταθές, ασταθές ή ασυμπτωτικά ευσταθές. (ε) Εάν η αντίσταση R βραχυκυκλωθεί, να εξεταστούν τα ερωτήματα (γ) και (δ) για το κύκλωμα που προκύπτει. Λύση (α) Ο Ι Γράφος και ο V Γράφος του κυκώματος φαίνονται στα ακόλουθα Σχήματα. I-Γράφος R R R R 7 C C R R 6 C 6 8 9 «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

V-Γράφος 6 8 9 C R R R C R R 6 C R E 7 Οι εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους θα είναι. G C e G C e G G G e = G6 C e e E() (β) Λαμβάνοντας υπόψη ότι df L = F() f() Και επειδή οι αρχικές συνθήκες δεν ενδιαφέρουν για τη γραφή των διαφορικών εξισώσεων, από τις εξισώσεις της τροποποιημένης μεθόδου των κόμβων με δύο γράφους λαμβάνονται οι ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις. de G = e () C de G = e () C de G6 = e () C e = E(t) () Ge Ge Ge = () Επειδή x = e = vc (6) x = e = vc (7) x = e8 = vc (8) αντικαθιστώντας τις () και () στην () λαμβάνονται οι ακόλουθες εξισώσεις καταστάσεως σε μητρική μορφή «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 6 από

RC x x d x x E(t) = R C x x R R RRC 6 RRC 6 x y= [ ] x x (γ) Όταν Ε=, για τα σημεία ισορροπίας πρέπει να ισχύει η σχέση RC xe x e R C xe R dx x= x = = e RRC 6 Από την τελευταία εξίσωση προκύπτουν xe = xe = x = οποιοδηποτε Επομένως όλα τα σημεία του άξονα x είναι σημεία ισορροπίας. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της περιγραφής θα είναι e RC ψ () = det(i A) = det = RC RC R RRC 6 (δ) Από τις εξισώσεις καταστάσεως λαμβάνεται για Ε= οπότε dx = x x (t = ) = x () RC Για την x προκύπτει οπότε t RC = x(t) e x() t RC dx = x = e x () RC RC «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 7 από

και Για την x προκύπτει οπότε t x() τ RC x()rc τ RC x(t) x() = e d e RC τ= RC RC t RC x(t) = x() x() e RC dx R = R R C 6 x(t) t και t R t R x()rc RC x(t) x() = x()d tx() t RCe RC RRC τ τ= 6 RRC 6 RC R t x()rc RC x(t) = x() tx() t RCe RC RRC 6 RC Επειδή το όριο του x (t) καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο δεν είναι φραγμένο, το σύστημα θα είναι ασταθές. (ε) Εάν R =, οι εξισώσεις καταστάσεως γράφονται RC x x d x x E(t) = R C x x R RRC 6 x y= [ ] x x Και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα είναι RC ˆ ψ ˆ () = det(i A) = det RC = RC Τα σημεία ισορροπίας θα ικανοποιούν τη σχέση «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 8 από

RC ˆxe xˆ e RC = ˆx e Από την τελευταία εξίσωση προκύπτουν xe = x,x οποιοδηποτε e e Επομένως όλα τα σημεία του επιπέδου που σχηματίζουν οι άξονες x,x είναι σημεία ισορροπίας. Για τη χρονική απόκριση του κυκλώματος υπό την επίδραση των αρχικών συνθηκών είναι προφανές ότι οι x (t), x (t) είναι όπως στο ερώτημα () ενώ για την x (t) θα ισχύει οπότε dx = x (t = ) = x () x(t) = x() Από τον ορισμό της ευστάθειας Lyapunov προκύπτει ότι το σύστημα είναι ευσταθές αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθές. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 9 από

Άσκηση Ε x,v x,v K B M M F(t) B K B. Να σχεδιαστεί το ηλεκτρικό ανάλογο του μηχανικού συστήματος.. Να επιλυθεί το κύκλωμα με τη μέθοδο των κόμβων και να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς V() G()= F(). Να σχεδιαστεί το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode πλάτους της G() εάν Κ i =i N/m, M i =i kg και B i =i N/m. Λύση. Ο Γράφος του μηχανικού συστήματος φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα. K B B B M M K F Το ηλεκτρικό ανάλογο του μηχανικού συστήματος θα είναι όπως στο ακόλουθο Σχήμα. G=B L= K C=M L= K G=B C=M G=B I=F «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

. Οι εξισώσεις των κόμβων για το μηχανικό σύστημα θα είναι K K K BBM -B- V() = K K V() F() -B- B B M Επιλύοντας με τη μέθοδο Cramer, λαμβάνεται -B - F() K B B M K B F() = = F() K K K BBM -B K K -B- B B M D() G()= V() ( ) ( ) D()=MM M B B M B B M K ( B B)( B B ) M( K K ) ( K K)( B B ) K( B B ) ( K K) K -B -BK -K K. Για τις τιμές των στοιχείων που δίδονται η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι () G()= = (6)6(6) 6 --8 -. 9. 6. Για την κατασκευή του ασυμπτωτικού διαγράμματος Bode πλάτους παραγοντοποιούνται τα πολυώνυμα του αριθμητή και του παρονομαστή Οι κυκλικές συχνότητες θλάσης είναι ω= rad/ec από τον αριθμητή της G() () G()= (.69)(.6)(.6.) = ().6.69.6.. ω=.6 rad/ec, ω=.69 rad/ec και ω=. =.6 rad/ec από τον παρονομαστή της G(). Στο ακόλουθο διάγραμμα φαίνεται το ασυμπτωτικό διάγραμμα Bode πλάτους της G() με μαύρη γραμμή και τα διαγράμματα Bode κέρδους και φάσης με μπλέ γραμμή. = «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Bode Diagram - From: U() B ) (d e d tu gn i a M g ); e (d e P ha ) ( Y T o: - - - - - - - - - - Frequency (rad/ec) Άσκηση Ε F M x B K M B F x Το σύστημα του Σχήματος οδηγείται από την δύναμη F (t) και το βάρος της μάζας Μ.. Να γραφούν οι εξισώσεις κινήσεως του συστήματος ως προς τις μεταβλητές x, x.. Να σχεδιαστεί το ηλεκτρικό ανάλογο του συστήματος.. Εάν ως έξοδος του συστήματος θεωρηθεί η απομάκρυνση x (t) να ευρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς X() G() = F(). Να προσδιοριστεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

Λύση (Άσκησης Ε-). Στη μάζα Μ κατά τη φορά της x ασκούνται οι δυνάμεις Κ(x -x ) από το ελατήριο -Β dx / εξαιτίας της τριβής -F (t) από την κινητήρια δύναμη. Εφαρμόζοντας τον νόμο του Νεύτωνα, λαμβάνεται dx dx M = K (x x ) B F (t) () Στη μάζα Μ κατά τη φορά της x ασκούνται οι δυνάμεις -Κ(x -x ) από το ελατήριο -Β dx / εξαιτίας της τριβής F (t)=μ g εξαιτίας του βάρους της Μ. Εφαρμόζοντας τον νόμο του Νεύτωνα, λαμβάνεται dx dx M = K (x x ) B F (t) () Οι εξισώσεις () και () είναι οι εξισώσεις κινήσεως του συστήματος.. Εάν θεωρηθούν ως τάσεις των κόμβων του ηλεκτρικού συστήματος οι ταχύτητες x,x, το ισοδύναμο ηλεκτρικό ανάλογο του συστήματος θα είναι I=F C=M G=B L= K C=M G=B I=F=Mg. Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace με μηδενικές αρχικές συνθήκες (απαραίτητο για τον ορισμό της συνάρτησης μεταφοράς), από τις σχέσεις () και () λαμβάνονται ( M B K) X () KX () = F () () KX () M B K X () = F () ( ) Καθώς ως έξοδος θεωρείται η μετατόπιση x, επιλύοντας ως προς X() λαμβάνεται X() M B K F() K F () = = M B K K K M B K «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

( ) KF () M B K F () = = MM (MB MB) (MK MK BB) (BK BK) K M B K F() = D() D() F() Από την ανωτέρω μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς προκύπτει άμεσα X() K G() = = F() M M (M B M B ) (M K M K BB ) (BK B K). Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος θα είναι M B K K ψ () = = K M B K = M M (M B M B ) (M K M K BB ) (BK B K) «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

ΑΣΚΗΣΗ Ζ Δίδεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς Y() G() = = U(). Να σχεδιαστεί η βηματική απόκριση του συστήματος.. Να προσδιοριστούν τα dy lim lim{ y(t) } t t με χρήση των θεωρημάτων της αρχικής και της τελικής τιμής.. Να δειχθεί ότι το γινόμενο των δύο ορίων είναι αρνητικό και αυτό δεν αλλάζει εάν ο παρονομαστής της G() είναι ευσταθές πολυώνυμο οιουδήποτε βαθμού.. Να σχολιάσετε τη συμπεριφορά αυτή του συστήματος. Λύση. Η βηματική απόκριση του συστήματος φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα και είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y() = G()*U() = * = η οποία είναι t t π y(t) = u(t) e ημ t τοξεφ ( ) u(t) = u(t) e ημ t u(t) όπου u(t) είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση.. Step Repone..8 e d p l itu m A.6.. -. -. 6 8 Time (ec) «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

. Από το θεώρημα της τελικής τιμής θα είναι lim{ y(t) } = lim{ Y() } = lim * * lim t = = Καθώς ο μετασχηματισμός Laplace της dy/ είναι Y() y()=y(), από το θεώρημα της αρχικής τιμής θα είναι dy dy lim = lim *L = lim{ **Y() } = lim * t =. Εάν το πολυώνυμο του παρονομαστή είναι ευσταθές πολυώνυμο n βαθμού ως εξής n n D() = a... a n θα είναι lim{ y(t) } = lim{ Y() } = lim * * = lim = t D() D() an dy dy lim = lim *L = lim{ **Y() } = lim * = t D() k k dy dy k k lim lim *L lim k = k { * *Y()} lim * k n t = = = για < n n d y d y n n lim lim *L lim n n { * *Y()} lim * t = = = = D() Επειδή ο παρονομαστής είναι ευσταθές πολυώνυμο, οι συντελεστές του είναι ομόσημοι και συνεπώς το a n είναι θετικό. Αυτό αποδεικνύει ότι η πρώτη μη μηδενική παράγωγος του y ως προς το χρόνο θα είναι αρνητική και αναπτύσσοντας κατά Taylor την y(t) προκύπτει ότι στις αρχικές στιγμές η απόκριση του συστήματος θα είναι αρνητική.. Παρατηρείται ότι το σύστημα κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από εκείνη προς την οποία του δίδεται η εντολή να κινηθεί και αυτό καθυστερεί την απόκρισή του με καταστροφικά ενίοτε αποτελέσματα. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 6 από

ΑΣΚΗΣΗ Ζ Ο ρότορας ενός αεριοστροβίλου δύο βαθμίδων έχει τη μορφή T,θ,ω T,θ,ω θ,ω Β Κ Κ J J J B B B B με τιμές J =J =J =, B =B =Β =, K =K =. Εάν οι συντελεστές τριβής Β,Β μπορούν να διαιρεθούν δια δύο και να τοποθετηθούν στις θέσεις των J,J και J,J αντίστοιχα. Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεωςως προς διάνυσμα x=[θ ω θ ω θ ω ] Τ εάν μετράται η ω.. Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα της περιγραφής του συστήματος.. Να ευρεθεί η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς. Λύση. Για τη ροπή αδρανείας J θα είναι Για τη ροπή αδρανείας J θα είναι Για τη ροπή αδρανείας J θα είναι dθ =ω dω K B B =- (θ -θ )- ω - ω T J J J J dθ =ω dω K K B B = (θ -θ )- (θ -θ )- ω - ω T J J J J J dθ =ω dω K B = (θ -θ )- ω J J Θεωρώντας το διάνυσμα κατάστασης της εκφώνησης και μοναδιαίες τιμές των στοιχείων, οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήματος γίνονται «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 7 από

- -. T x= x - - T - -. y=ω = x [ ]. Η μήτρα ελεγξιμότητος θα είναι.... =. P c = B AB A B A B A B A B = Οι στήλες,,,,6 και 8 της μήτρας ελεγξιμότητος είναι ανεξάρτητες και συνεπώς ο βαθμός της είναι ίσος με 6 και το σύστημα είναι ελέγξιμο. Η μήτρα παρατηρησιμότητος θα είναι C CA -. CA -.. -.7 P= o = CA -.7 -..7.87 CA -..87 -..7. CA -. -.8..6. Επειδή η ορίζουσα της μήτρας παρατηρησιμότητος είναι ίση με, η περιγραφή του συστήματος δεν είναι παρατηρήσιμη.. Η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς θα είναι [ ] -. - - = - -. - G()=C[I-A] B= - - - =. 6 6 6.7 8.7 6. 6.7 8.7 6. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 8 από

ΑΣΚΗΣΗ Ζ Τα δοχεία και του σχήματος έχουν διατομές S και S αντίστοιχα. Εάν οι παροχές Q i, i=, εκφράζονται u h Q h Q x i Q= i R τα x i θεωρηθούν καταστάσεις του συστήματος και x είναι η έξοδος του συστήματος. Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήματος.. Εάν R= ec/m, S = m, S = m και ζητείται η Q να είναι ίση με m /ec, να ευρεθούν οι u, x και x στη μόνιμη κατάσταση.. Εάν γραφούν x =x Δx, x =x Δx, u=u Δu, y =Δx, να γραφούν οι εξισώσεις που περιγράφουν τις μεταβολές του συστήματος από την κατάσταση ισορροπίας.. Να προσδιοριστεί το ηλεκτρικό ανάλογο του συστήματος. Λύση. Ο όγκος του υγρού που εισέρχεται στο δοχείο έχει σαν αποτέλεσμα τη μεταβολή της στάθμης του. Θα ισχύει Επειδή θα είναι dx u-q =S x Q= R dx =- x u RS S «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα 9 από

Ομοίως για το δοχείο θα είναι dx = x - x RS RS Σε μητρική μορφή οι εξισώσεις καταστάσεως θα είναι - x RS x u - RS RS S = x x. Στη μόνιμη κατάσταση θα είναι Καθώς προκύπτει άμεσα ότι Q =Q =u=m / x i Q= i R x =x =m. Γραμμικοποιείται το σύστημα γύρω από το σημείο ισορροπίας. Επειδή f f f x x RS u f f f - = = S - x x RS RS u x=x =m x=x =m u=m / u=m / οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς τις μεταβολές από το σημείο ισορροπίας θα είναι - d Δx RS Δx S Δu Δx = Δx - RS RS Δx y = Δx = [ ] Δx «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

ΑΣΚΗΣΗ Ζ Δίδεται σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως - x= - x u y= x. Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα του συστήματος.. Να ευρεθεί η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς G() και η ορίζουσά της.. Να προσδιοριστεί εάν το σύστημα είναι ευσταθές ή όχι. Λύση. Η μήτρα ελεγξιμότητος είναι - P c = B AB A B = Επειδή ο βαθμός της μήτρας ελεγξιμότητος είναι ίσος με, όση και η τάξη της περιγραφής, το σύστημα είναι ελέγξιμο. Η μήτρα παρατηρησιμότητος είναι C - CA P= o CA = - Επειδή ο βαθμός της μήτρας παρατηρησιμότητος είναι ίσος με, όση και η τάξη της περιγραφής, το σύστημα είναι παρατηρήσιμο.. Η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς θα είναι Θα είναι = - - - = = - - G()=C[I-A] B= - «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από

- det[g()] = det = -. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του προς έλεγχο συστήματος θα είναι. ψ o ()=det(i-a)=det = Το σύστημα έχει τριπλό πόλο επάνω στο φανταστικό άξονα. Για να είναι ευσταθές το σύστημα, για την ιδιοτιμή = η μήτρα Α πρέπει να διαγωνιοποιείται, δηλαδή να έχει τρία ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Επειδή - rank(i-a) = =rank - = η μήτρα έχει ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα στην ιδιοτιμή και συνεπώς το σύστημα είναι ασταθές. «Θεωρία Δικτύων»: Λύσεις Ασκήσεων Σελίδα από