ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ.
ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Μεγιστοποίηση εμβαδού με τον περιορισμό της περιμέτρου Η κατανάλωση προϊόντων με τον περιορισμό του διαθέσιμου εισοδήματος Η μη-αρνητικότητα των μεταβλητών Ο χρονικός περιορισμός σε προβλήματα κάλυψης αποστάσεων Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 2
ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Η μέθοδος της Αντικατάστασης Περισσότερες Πράξεις Η μέθοδος της συνάρτησης του Lagrange Δυσκολία στην ύπαρξη πολλών περιορισμών Αδυναμία επίλυσης σε πολλές περιπτώσεις Άγνοια μεταβολής της λύσης σε μικρή μεταβολή κάποιων μεγεθών Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 3
Η μέθοδος της Αντικατάστασης Δίνεται η συνάρτηση f(x,y)=x 2 +y 2 της οποίας θέλουμε να βρούμε τα ακρότατα με τον περιορισμό x+y=2. Από τον περιορισμό έχουμε: y=2-x Άρα η συνάρτηση γίνεται: x 2 +(2-x) 2 =2x 2-4x+4. g(x)=2x 2-4x+4, g (x)=4x-4, x=1 και y=1. g (x)=4>0 συνεπώς το ακρότατο είναι ελάχιστο. Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 4
Η συνάρτηση Lagrange Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x,y) την οποία θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε με τον περιορισμό g(x,y)=0. Γνωρίζουμε ότι df=f x dx+f y dy καθώς και dg=g x dx+g y dy για τον περιορισμό. Αν πολλαπλασιάσουμε την δεύτερη σχέση με f y /g y έχουμε: f f f f df = gxdx + f ydy 0 = gxdx + f ydy f ydy = gxdx g g g g και αν αντικαταστήσουμε στην πρώτη σχέση έχουμε: y y y y y y y y = f = y y df fxdx gxdx fx gx dx g y g y f Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 5
Η συνάρτηση Lagrange Για την εύρεση των ακρότατων μιας συνάρτησης με έναν περιορισμό αρκεί να λύσουμε το σύστημα: f f x y + λgx = 0 + λg = 0 ( ) y g xy, = 0 Η συνάρτηση που μας δίνει το παραπάνω σύστημα είναι η ακόλουθη συνάρτηση Lagrange: (,, λ) = (, ) + λ (, ) Lxy f xy g xy Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 6
Βελτιστοποίηση με ισοτικούς περιορισμούς Συναρτήσεις 2 μεταβλητών με 1 ισοτικό περιορισμό Αν έχουμε να μεγιστοποιήσουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x,y) κάτω από έναν ισοτικό περιορισμό g(x,y)=0, σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange: L(x,y,λ)=f(x,y) + λ. g(x,y) Τα κρίσιμα σημεία τα παίρνουμε σαν σημεία μηδενισμού των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης της L(x,y,λ): Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 7
Βελτιστοποίηση με ισοτικούς περιορισμούς Κατόπιν σχηματίζουμε τον πίνακα: Αν η ορίζουσα του πίνακα είναι: αρνητική το σημείο είναι τοπικό ελάχιστο θετική το σημείο είναι τοπικό μέγιστο Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 8
Εφαρμογές στην οικονομία Εφαρμογές στη Θεωρία Καταναλωτή Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση χρησιμότητας ενός καταναλωτή ως προς δύο προϊόντα U(x,y)=xy+2x και οι τιμές των προϊόντων P x =1 και P y =2 χρηματικές μονάδες. Αν το διαθέσιμο εισόδημα του καταναλωτή είναι 60 χρηματικές μονάδες να βρεθεί ο συνδυασμός ποσότητας προϊόντων που μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα του καταναλωτή. Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 9
Εδώ θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας U(x,y) κάτω από τον εισοδηματικό περιορισμό: Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange Συνθήκες 1 ης τάξης: Οι δύο πρώτες θα δώσουν: Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 10
Αντικαθιστούμε στην τρίτη και έχουμε: Από όπου προκύπτει: Η ορίζουσα του πίνακα είναι θετική άρα το σημείο (8,14) είναι τοπικό μέγιστο. Επομένως ο καταναλωτής θα μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητα του αν αγοράσει 8 μονάδες προϊόντος x και 14 μονάδες προϊόντος y. Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 11
Εφαρμογές στη Θεωρία Παραγωγής Εφαρμογή: Δίνεται η συνάρτηση παραγωγής Q=Q(K,L) όπου K η ποσότητα κεφαλαίου και L η ποσότητα εργασίας. Έστω r,w οι τιμές μιας μονάδας κεφαλαίου και μιας μονάδας εργασίας αντίστοιχα, και C οι διαθέσιμες χρηματικές μονάδες για την αγορά συντελεστών παραγωγής από την επιχείρηση. Να δειχθεί ότι το παραγόμενο προϊόν μεγιστοποιείται όταν ο λόγος των τιμών των παραγωγικών συντελεστών r/w ισούται με τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης. Δηλαδή: Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 12
Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση παραγωγής Q(K,L) κάτω από τον περιορισμό rk+wl=c. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange L(K,L,λ)=Q(K,L)+λ(rK+wL-C) Συνθήκες πρώτης τάξης: Διαιρώντας τιςδύο πρώτες κατά μέλη έχουμε: που είναι και το ζητούμενο. Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 13
Παράδειγμα Έστω ότι κάποιο προϊόν παράγεται σύμφωνα με μια συνάρτηση τύπου Cobb-Douglas από τους παραγωγικούς συντελεστές κεφάλαιο K και εργασία L ως εξής: Q(K,L)=AK α L β, α,β>0 έστω επίσης r και l η τιμή μιας μονάδας κεφαλαίου και μιας μονάδας εργασίας αντίστοιχα. Τέλος έστω ότι έχουμε διαθέσιμες Υ χρηματικές μονάδες, θέλουμε να βρούμε το συνδυασμό ποσοτήτων K και L που μεγιστοποιούν το παραγόμενο προϊόν. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange: Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 14
Βρίσκουμε τις συνθήκες 1 ης τάξης: από τις δύο πρώτες σχέσεις έχουμε: βrk = αwl από αυτή η σχέση σε συνδυασμό με τον περιορισμό προκύπτουν οι κρίσιμες ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας: Ο πίνακας του Hess είναι: Η ορίζουσα του πίνακα αυτού είναι: συνεπώς το κρίσιμο σημείο μεγιστοποιεί το παραγόμενο προϊόν. Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 15
Παράδειγμα Έστω ότι μία εταιρία διαθέτει 1800 χ. μ. για τις ανάγκες της σε κεφάλαιο (Κ) και εργασία (L), των οποίων οι τιμές είναι r=6 και w=12 χ. μ. αντίστοιχα. Η εταιρία παράγει σύμφωνα με τη συνάρτηση παραγωγής Q(K,L)=50K 1/3 L 2/3. Πόσες μονάδες κεφαλαίου και εργασίας πρέπει να χρησιμοποιήσει για να μεγιστοποιήσει το παραγόμενο προϊόν; Ποιά είναι η μέγιστη παραγόμενη ποσότητα; Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση Q(K,L) = 50K 1/3 L 2/3 κάτω από τον περιορισμό: g(k, L) =6K+12L -1800 = 0 Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange L(K,L,λ)= 50K 1/3 L 2/3 +λ(6κ+ 12L - 1800) Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 16
Συνθήκες 1 ης τάξης: διαιρούμε τις δύο πρώτες εξισώσεις κατά μέλη και έχουμε: η οποία δίνει K=L και αντικαθιστώντας στην τρίτη έχουμε: K=L=10. Συνθήκες δεύτερης τάξης: Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 17
Βιβλιογραφία 1. Jacques Ian, Mathematics for Economics and Business, Addison Wesley (1995) 2. Τσουλφίδης Λ., Μαθηματικά Οικονομικής Ανάλυσης, Gutenberg (2002) Ζ.- ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. 18