Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου

Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 014 (B ΕΚΔΟΣΗ)

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές ροσαθώ να αοτυώσω τη δική μου διδακτική ροσέγγιση για τη διδασκαλία των βασικών τριγωνομετρικών εννοιών. Για αυτό το λόγο, η έκταση της ρώτης ενότητας είναι σχετικά μεγάλη, διότι θεωρώ ότι η κατανόηση των ιο χρήσιμων εννοιών ρέει να ανατυχθεί σε εκείνο ακριβώς το σημείο. Η κεντρική τριγωνομετρική έννοια ου διέει το νεύμα των σημειώσεων είναι ακριβώς αυτή της τελικής λευράς μιας (τριγωνομετρικής) γωνίας. Ακόμη και στην ενότητα ου αναφέρεται στην είλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων, η τεκμηρίωση γίνεται με τη θέση της τελικής λευράς στον τριγωνομετρικό κύκλο και όχι με τη χρήση των γραφικών αραστάσεων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Η δική μου εμειρία δείχνει ότι με αυτή την ροσέγγιση, οι μαθητές κατανοούν καλύτερα τον τρόο ου ροκύτουν οι συγκεκριμένοι τύοι. Το συγκεκριμένο όνημα αευθύνεται σε καθηγητές, όσο και σε μαθητές. Ωστόσο, ροσάθησα να καλύψω διάφορα μαθηματικά «κενά» ου θεωρώ ότι υάρχουν στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο. Για να μην αρεξηγηθώ, αναφέρομαι σε μαθηματικά και όχι σε διδακτικά κενά. Κυρίως αναφέρομαι στην ενότητα 4, όου εκεί γίνεται μια ροσάθεια γενικής ροσέγγισης των εριοδικών συναρτήσεων αοδεικνύοντας διάφορα χρήσιμα θεωρήματα. Θεωρώ ότι ένας καθηγητής θα τη βρει χρήσιμη και διαφωτιστική, αλλά μάλλον είναι δύσκολο να κατανοηθεί αό έναν μαθητή. Γενικά, όταν ένας μαθητής βρίσκει δυσκολίες σε κάοια σημεία της θεωρίας, τότε μορεί να τα αραλείψει και να συνεχίσει αρακάτω. Όμοια ο καθηγητής ου θα χρησιμοοιήσει τις σημειώσεις αυτές, μορεί να αραλείψει κάοια σημεία όταν το κρίνει σκόιμο. Στο τέλος των σημειώσεων αραθέτω βιβλιογραφία την οοία θεωρώ χρήσιμη, αλλά δυστυχώς δύσκολα συναντάται στα βιβλιοωλεία σήμερα. Θέλω να τονίσω ότι στόχος των σημειώσεων αυτών είναι να ροσφέρει μια εναλλακτική ροσέγγιση των μαθηματικών εννοιών, κάτι ου κρίνω ότι λείει αό τη σύγχρονη φροντιστηριακή βιβλιογραφία και σχολική βιβλιογραφία. Αό την άλλη, οι σημειώσεις αυτές σίγουρα δεν μορούν να καλύψουν το εύρος των ασκήσεων ου μορούμε να συναντήσουμε σε ένα σύγχρονο και καλό βοήθημα μαθηματικών. Για αυτό ιστεύω ότι το όνημα αυτό δεν μορεί αρά να λειτουργήσει συμληρωματικά με ένα καλό βοήθημα ου ροσφέρει μια ληθώρα ασκήσεων ρος είλυση. Με ευχαρίστηση θα δεχτώ κάθε καλόιστη κριτική και υόδειξη ου θα συμβάλλει στη βελτίωση αυτών των σημειώσεων. Ο συγγραφέας

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΗΣ ης ΕΚΔΟΣΗΣ Στη δεύτερη έκδοση ροστέθηκαν οι ενότητες 7 και 8 ου αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς αθροίσματος γωνιών και διλάσιας γωνίας αντίστοιχα.

Το αρόν όνημα διατίθεται ελεύθερα μέσω του διαδικτύου, ωστόσο διέεται αό τους νόμους ερί νευματικών δικαιωμάτων. Copyright Οκτώβριος 014 Νίκος Χατζημανώλης Email: nikoschatzimanolis@gmail.com

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ενότητα 1: Τριγωνομετρικοί αριθμοί. 1 Ενότητα : Τριγωνομετρικές ταυτότητες. 7 Ενότητα : Αναγωγή στο ρώτο τεταρτημόριο. Ενότητα 4: Η έννοια της εριοδικής συνάρτησης. 47 Ενότητα 5: Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. 5 Ενότητα 6: Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. 68 Ενότητα 7: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών. 79 Ενότητα 8: Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Διλάσιας Γωνίας. 88 Παράρτημα. 97 Ενδεικτική Βιβλιογραφία. 98

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 1 η :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (1) Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας Ορθογωνίου Τριγώνου. Ορισμός 1: Έστω ω μια οξεία γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. Τότε ορίζουμε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς (βλ. και σχήμα): ημω συνω Αέναντι κάθετη λευρά της ω υοτείνουσα ΑΓ ΒΓ Προσκείμενη κάθετη λευρά της ω υοτείνουσα ΑΒ ΒΓ εφω Αέναντι κάθετη λευρά της ω Προσκείμενη κάθετη λευρά της ω ΑΓ ΑΒ ΣΧ. 1 σφω Προσκείμενη κάθετη λευρά της ω Αέναντι κάθετη λευρά της ω ΑΒ ΑΓ () Τριγωνομετρικός ΚύκλοςΤριγωνομετρική Γωνία. Ορισμός : Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy. Ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=1 ονομάζεται τριγωνομετρικός κύκλος. Ορισμός : Τριγωνομετρική Γωνία ονομάζουμε κάθε γωνία με λευρές τις Οx και ΟΜ, όου ΟΜ μια ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου. Ορισμός 4: Έστω ο τριγωνομετρικός κύκλος και η τριγωνομετρική γωνία ωˆ xôm, όου ΟΜ μια ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου. Ο ημιάξονας Οx ονομάζεται αρχική λευρά της γωνίας ω, ενώ η ακτίνα ΟΜ ονομάζεται τελική λευρά της ω. Είσης η ακτίνα ΟΜ ονομάζεται και ειβατική ακτίνα της γωνίας ω. ΣΧ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας () Πρόσημο τριγωνομετρικής Γωνίας Όταν ο ημιάξονας Οx κινείται κατά τη θετική φορά, δηλαδή αντίθετα αό τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ώστε να συμέσει με μια ακτίνα ΟΜ, τότε στη γωνία ου διαγράφεται αοδίδουμε θετικό ρόσημο. Αντίθετα, όταν ο ημιάξονας Οx κινείται κατά την αρνητική φορά, δηλαδή σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ώστε να συμέσει με την ακτίνα ΟΜ, τότε στη γωνία ου διαγράφεται αοδίδουμε αρνητικό ρόσημο. Εομένως στα σχήματα και 4 αρακάτω, η γωνία ω είναι θετική και η γωνία φ είναι αρνητική: ΣΧ. ΣΧ. 4

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας (4) Γωνίες μεγαλύτερες των 60 ο. Όως γνωρίζουμε, αν την εριφέρεια του κύκλου την «κόψουμε» σε 60 ίσα τόξα, τότε κάθε είκεντρη γωνία ου βαίνει σε κάθε ένα τέτοιο τόξο ορίζουμε να είναι ίση με 1 ο (μία μοίρα). Έστω τώρα, ο τριγωνομετρικός κύκλος. Αν ο ημιάξονας Οx διαγράψει μια γωνία 60 ο και ειλέον κινηθεί κατά μία θετική γωνία ω, τότε θα θεωρούμε ότι η συνολική γωνία φ ου διέγραψε ο θετικός ημιάξονας είναι μεγαλύτερη αό 60 ο και έχει μέτρο φ=60 ο +ω (βλ. σχήμα 5). Όμοια, μορούμε να θεωρήσουμε τον ημιάξονα Οx να διαγράφει k λήρεις εριστροφές είτε κατά τη θετική, είτε κατά την αρνητική φορά. Γενικά το μέτρο μιας τριγωνομετρικής γωνίας φ ανάγεται στη μορφή φ=k 60 ο +ω, όου kζ και 0 ο ω<60 ο. ΣΧ. 5 (5) Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οοιασδήοτε Γωνίας Ας θεωρήσουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια οξεία τριγωνομετρική γωνία ωˆ (βλ. σχήμα 6). ΣΧ. 6

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 Τότε έχουμε: ΒΜ y ημω y (τεταγμένη του σημείου Μ). ΟΜ 1 ΟΒ x συνω x (τετμημένη του σημείου Μ). ΟΜ 1 ΒΜ y εφω (τεταγμένη του σημείου Μ ρος τετμημένη του ΟΒ x σημείου Μ). ΟΒ x σφω (τετμημένη του σημείου Μ ρος τεταγμένη του ΒΜ y σημείου Μ). Ορισμός 5: Γενικά για μια οοιαδήοτε τριγωνομετρική γωνία ω με τελική λευρά μια ακτίνα ΟΜ, όου Μ σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο, ορίζουμε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς ως εξής: ημω (τεταγμένη του σημείου Μ). συνω (τετμημένη του σημείου Μ). εφω (τεταγμένη του σημείου Μ ρος τετμημένη του σημείου Μ). σφω (τετμημένη του σημείου Μ ρος τεταγμένη του σημείου Μ). Παρατηρήσεις: Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οοιασδήοτε γωνίας ω ταυτίζονται με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της τριγωνομετρικής γωνίας φ ου έχει το ίδιο μέτρο με τη γωνία ω. Αν το σημείο Μ της τελικής λευράς (σχ. 6) έχει συντεταγμένες Μ(x,y), τότε εύκολα βλέουμε ότι 1 x 1 και 1 y 1. Αυτό σημαίνει ότι 1 συνω 1 και 1 ημω 1 για κάθε γωνία ω.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 5 Εφαρμογή 1: Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω=10 ο, με τη βοήθεια του αρακάτω σχήματος: Αάντηση: Σύμφωνα με τους αραάνω ορισμούς, ροκύτει ότι: ημ10 ο ο 1, συν10, εφ10 ο και 1 1 ο 1 σφ10. Παρατηρήσεις: ΣΧ. 7 1) Όταν δύο τριγωνομετρικές γωνίες ω και φ έχουν την ίδια τελική λευρά, τότε η σχέση ου συνδέει τα μέτρα τους είναι της μορφής φ=κ 60 ο +ω, όου κz * : * Με έντονο Ζ θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακέραιων αριθμών.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 6 ΣΧ. 8 ) Σύμφωνα με τους αραάνω ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας, ροκύτει ότι δύο τριγωνομετρικές γωνίες έχουν ακριβώς τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς όταν οι τελικές τους λευρές ταυτίζονται. Δηλαδή αν φ και ω είναι δύο γωνίες με την ίδια τελική λευρά θα ισχύει.χ. ημφ=ημω, με φ=κ 60 ο +ω, όου κ ένας ακέραιος αριθμός. Άρα ημ(κ 60 ο +ω)=ημω. Γενικά ισχύουν οι αρακάτω ισότητες: ημ(κ 60 ο +ω)=ημω συν(κ 60 ο +ω)=συνω εφ(κ 60 ο +ω)=εφω σφ(κ 60 ο +ω)=σφω, κz. (τύοι Α) (6) Πρόσημο Τριγωνομετρικών Αριθμών. Σύμφωνα με τους αραάνω ορισμούς, ένας τριγωνομετρικός αριθμός δύναται να έχει και αρνητική τιμή. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά. Για αράδειγμα αν μια γωνία έχει τελική λευρά ου βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο, τότε η γωνία αυτή θα έχει θετικό ημίτονο και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς (βλ. εφαρμογή 1). Ένας χρήσιμος μνημονικός κανόνας, ο κανόνας «ΟΗΕΣ», εριγράφεται στο αρακάτω σχήμα:

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 7 ΣΧ. 9 Το Ο σημαίνει «όλα», και με αυτό τον τρόο εννοούμε ότι όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών των οοίων η τελική λευρά βρίσκεται στο ρώτο τεταρτημόριο είναι θετικοί. Το «Η» αναφέρεται στη λέξη «ημίτονο» και σημαίνει ότι οι γωνίες με τελική λευρά ου βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο έχουν μόνο το ημίτονο θετικό και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς. Το «Ε» αναφέρεται στην εφατομένη και το «ΣΦ» στη συνεφατομένη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες με τελική λευρά ου βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο έχουν μόνο την εφατομένη και συνεφατομένη θετική και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς. Τέλος, το «Σ» αναφέρεται στο συνημίτονο και σημαίνει ότι οι γωνίες με τελική λευρά ου βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο έχουν μόνο το συνημίτονο θετικό και όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς αρνητικούς. Για αράδειγμα ισχύει συν80 ο >0, ημ80 ο <0, εφ80 ο <0 και σφ80 ο <0, διότι η τελική λευρά της τριγωνομετρικής γωνίας 80 ο βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο. (7) Ο άξονας των Εφατομένων Ορισμός 6: Έστω ο τριγωνομετρικός κύκλος και το σημείο του Α(1,0). Αό το σημείο Α φέρνουμε την εφατομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου (βλ. σχήμα 10). Η ευθεία ε ονομάζεται άξονας των εφατομένων.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 8 Έστω ω μια τριγωνομετρική γωνία με λευρά την ΟΜ (σχ. 10). Προεκτείνουμε κατάλληλα την ΟΜ, ώστε να συναντήσει τον άξονα των εφατομένων σε ένα σημείο Β. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες της μορφής Β(1,μ), όου μr. Αοδεικνύεται ότι εφω=μ. ΣΧ. 10 Εφαρμογή : Να υολογίσετε την εφατομένη της γωνίας ω= 45 ο. Αάντηση: Στο διλανό σχήμα βλέουμε ότι στο ο τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ΑΟˆ Β 45. Εομένως το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές (διότι ΑΟˆ Β ΟΒˆ Α ). Άρα ΑΒ=ΟΑ=1. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Β έχει τεταγμένη ίση με μ=1. Δηλαδή Β(1,1) και εομένως εφ(45 ο )= 1. Παρατήρηση: Στις γωνίες με τελική λευρά την ΟΚ ή την ΟΛ (σχ. 11) δεν ορίζεται εφατομένη, διότι η τετμημένη των σημείων Κ και Λ είναι ίση με μηδέν. Με άλλα λόγια, δεν μορούμε να ορίσουμε εφατομένη στις γωνίες με τελική λευρά αράλληλη στον άξονα των εφατομένων. Οι γωνίες αυτές είναι της μορφής ω=κ 180 ο +90 ο, κz. Αν ο ακέραιος κ είναι άρτιος τότε η γωνία ω έχει τελική λευρά την ΟΚ, διαφορετικά αν ο κ είναι εριττός τότε έχει τελική λευρά την ΟΛ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 9 ΣΧ. 11 (8) Ο άξονας των Συνεφατομένων Ορισμός 7: Έστω ο τριγωνομετρικός κύκλος και το σημείο του B(0,1). Αό το σημείο B φέρνουμε την εφατομένη ζ του τριγωνομετρικού κύκλου (βλ. σχήμα 1). Η ευθεία ε ονομάζεται άξονας των συνεφατομένων. Έστω ω μια τριγωνομετρική γωνία με λευρά την ΟΜ (σχ. 1). Προεκτείνουμε κατάλληλα την ΟΜ, ώστε να συναντήσει τον άξονα των συνεφατομένων σε ένα σημείο Γ. Το σημείο αυτό έχει συντεταγμένες της μορφής Γ(μ,1), όου μr. Αοδεικνύεται ότι σφω=μ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 10 ΣΧ. 1 Εφαρμογή : Να υολογίσετε την συνεφατομένη της γωνίας ω= 150 ο. Αάντηση: Αρκεί να υολογίσουμε την τετμημένη του σημείου Γ (βλ. διλανό σχήμα). Εειδή ο ΑΟˆ Γ 150, τότε ο ΒΟˆ Γ 60. Άρα ο ΒΓˆ Ο 0. Αό τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια γωνία ίση με 0 ο, τότε η αέναντι λευρά είναι ίση με το μισό της υοτείνουσας. Εειδή ΟΒ=1, έεται ότι ΟΓ=. Αό το Πυθαγόρειο Θεώρημα ροκύτει ότι ΒΓ ΟΓ ΟΒ 1. Εομένως το σημείο Γ έχει τετμημένη ίση με, δηλαδή Γ(,1). Άρα σφ150 ο =. Παρατήρηση: Στις γωνίες με τελική λευρά την ΟΑ ή την ΟΑ (σχ. 1) δεν ορίζεται συνεφατομένη, διότι η τεταγμένη των σημείων Α και Α είναι ίση με μηδέν. Με άλλα λόγια, δεν μορούμε να ορίσουμε συνεφατομένη στις γωνίες με τελική λευρά αράλληλη στον άξονα των συνεφατομένων. Οι γωνίες αυτές είναι της μορφής ω=κ 180 ο, κz. Αν ο ακέραιος κ είναι άρτιος τότε η γωνία ω έχει τελική λευρά την ΟΑ, διαφορετικά αν ο κ είναι εριττός τότε έχει τελική λευρά την ΟΑ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 11 ΣΧ. 1 (9) Μονάδες μέτρησης γωνιών Όως γνωρίζουμε αό τη Φυσική και τη Χημεία τα μεγέθη μορούν να εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Για αράδειγμα στο μήκος μορούμε να χρησιμοοιούμε τα μέτρα, τα χιλιόμετρα, τις ίντσες, τα όδια κ.τ.λ. Έτσι και η γωνία, ως μέγεθος, μορεί να εκφράζεται σε διαφορετικές μονάδες όως είναι οι μοίρες (degrees ή ιο αλά deg), τους βαθμούς (grades ή ιο αλά grad) και τα ακτίνια (radians ή ιο αλά rad). Ενδεικτικός είναι ο αρακάτω ίνακας με μεγέθη και διάφορες μονάδες μέτρησης: Μέγεθος Μήκος Δύναμη Γωνία Μερικές μονάδες μέτρησης m, km, cm, inch (ίντσες), ft (όδια) Nt, p, kp μοίρες (deg), βαθμοί (grad), ακτίνια (rad) Παρακάτω θα ασχοληθούμε με τις μονάδες μέτρησης της γωνίας.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 Μοίρες (deg): Ως μία μοίρα (1 ο ) ορίζουμε το μέτρο της είκεντρης γωνίας ου βαίνει σε τόξο με μήκος ίσο με το 1/60 του μήκος ολόκληρου του κύκλου. Η μία μοίρα χωρίζεται σε 60 λετά (60 ) και το ένα λετό σε 60 δεύτερα (60 ). Εειδή η μία μοίρα είναι ολύ μικρή γωνία, στο αρακάτω σχήμα (σχ. 14) η γωνία ω δεν είναι ΣΧ. 14 στα αλήθεια ίση με 1 ο, αλλά το σχήμα εριγράφει ώς ορίζεται αυτή. Ιστορικά δεν γνωρίζουμε ότε ακριβώς ξεκίνησε η συστηματική χρήση του κύκλου των 60 ο. Φαίνεται ότι ξεκίνησε αό τον αρχαίο αστρονόμο Ίαρχο (ερίου 180-15.Χ.) ο οοίος ιθανότατα εηρεάστηκε αό τον Υψικλή. Ο Υψικλής είχε χωρίσει την ημέρα σε 60 μέρη, εηρεασμένος με τη σειρά του αό τη Βαβυλωνιακή αστρονομία. * Βαθμοί (grad): Ως γωνία ενός βαθμού (1 grad) ορίζουμε τη γωνία ου είναι ίση με το 1/100 της ορθής γωνίας. Καθιερώθηκε αό τους Γάλλους, κατά τη θεμελίωση του μετρικού συστήματος. Η γενικότερη θεμελίωση του μετρικού συστήματος ξεκινά αό τα μέσα της Γαλλικής Εανάστασης, το 1790. Παρακάτω, δεν θα ασχοληθούμε με αυτή τη μονάδα μέτρησης. Αλώς την αναφέραμε για ιστορικούς λόγους. * Η ηγή ροέρχεται αό το βιβλίο «Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ», των C.B. Boyer και U.C. Mezbach, Εκδ. Γ.Α. Πνευματικού ( η Έκδοση, 1997). http://www.eim.gr/eimv1/html/greek/metrology/istoria/istoria_si.html

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 ΣΧ. 15 Ακτίνια (rad): Ως μέτρο γωνίας ενός ακτινίου ή rad, εννοούμε εκείνη την είκεντρη γωνία της οοίας το αντίστοιχο τόξο είναι ίσο με μία ακτίνα του κύκλου. ΣΧ. 16 Προφανώς μια είκεντρη γωνία με μέτρο rad θα έχει αντίστοιχο μήκος τόξου ακτίνες, μια γωνία rad θα έχει μήκος τόξου

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 14 ακτίνες κ.ο.κ. Εομένως όταν μια είκεντρη γωνία έχει μέτρο α rad, τότε το αντίστοιχο τόξο θα έχει μήκος S=α ρ, όου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου. ΣΧ. 17 (10) Μετατροή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα Στην εόμενη ενότητα, θα δούμε για οιο λόγο ροτιμούμε να χρησιμοοιούμε τα ακτίνια αντί για τις μοίρες. Προς το αρόν θα μάθουμε ώς να εκφράζουμε το μέτρο μιας γωνίας σε ακτίνια, όταν γνωρίζουμε το μέτρο της σε μοίρες και αντίστροφα. Καταρχάς, να αναφέρουμε ότι αό τον τρόο ου ορίστηκαν οι μοίρες και τα ακτίνια, έεται ότι συνδέονται με μια σχέση αναλογίας,. Για να βρούμε αυτή τη σχέση αναλογίας, αρκεί λοιόν να βρούμε μια γωνία ης οοίας να ξέρουμε το μέτρο της τόσο σε μοίρες, όσο και σε ακτίνια. Αν θεωρήσουμε ολόκληρη την εριφέρεια του κύκλου, τότε η αντίστοιχη είκεντρη γωνία ω σε μοίρες είναι 60 ο. Εειδή το τόξο-εριφέρεια του κύκλου έχει μήκος ρ, όου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε αό τον ορισμό του ακτινίου ροκύτει ότι η ίδια γωνία ω σε rad έχει μέτρο (βλ. σχήμα 18):

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 15 ΣΧ. 18 Αφού οι μοίρες και τα ακτίνια είναι οσά ανάλογα και εειδή μια γωνία 60 ο είναι ίση με μια γωνία rad, μορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο των τριών ως εξής: Η γωνία των 60 μοιρών είναι ίση με τη γωνία rad. Η γωνία των μ μοιρών είναι ίση με τη γωνία α rad. Άρα : α μ α 60 μ α 180 μ. 180 Στις εόμενες εφαρμογές θα δούμε ώς μετατρέουμε τις μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα: Εφαρμογή 4: Να εκφράσετε τη γωνία ω= 0 ο σε ακτίνια. Λύση: Αό τη σχέση α μ 180, τότε για μ=0 ο ροκύτει: α 0 180 α 1 6 α 6. Άρα 0 ο = 6 rad. Εφαρμογή 5: Να εκφράσετε τη γωνία ω rad σε μοίρες. Λύση: Αό τη σχέση α μ, τότε για α rad ροκύτει: 180

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 16 μ 1 μ 180 μ 60. Άρα rad=60 ο. 180 180 ΣΧ. 19 Παρατηρήσεις: Όως ισχύει 00, αλλά m=00cm, έτσι ισχύει και 60 (αφού 1,047) *, αλλά rad=60 ο. Ισχύει rad= 180 ο και rad=90 ο και rad= 60 ο. Είσης ισχύει 180 ότι 1 rad= μοίρες 57, ο. Οι τύοι Α όταν οι γωνίες εκφράζονται σε rad μετασχηματίζονται ως εξής: ημ(κ +ω)=ημω συν(κ +ω)=συνω εφ(κ +ω)=εφω σφ(κ +ω)=σφω, κz. (Τύοι Α ) * Το σύμβολο σημαίνει ερίου ίσο.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 17 Σύμφωνα με αυτά ου αναφέραμε αραάνω για τις εφατομένες και συνεφατομένες, ισχύει ότι για τις γωνίες της μορφής ω κ rad, και τις γωνίες της μορφής φ κ rad όου κz, δεν ορίζονται εφατομένη και συνεφατομένη αντίστοιχα. Μία σύμβαση ου κάνουμε είναι ότι όταν δεν γράφουμε τη μονάδα μέτρησης της γωνίας σε έναν τριγωνομετρικό αριθμό, τότε θα εννοούμε ότι η γωνία εκφράζεται σε rad. Για αράδειγμα, όταν γράφουμε «ημ0» εννοούμε «ημ(0 rad)», ενώ το ημίτονο των 0 μοιρών δηλώνεται όως ξέρουμε ως «ημ0 ο». Μορούμε εύκολα να συνάγουμε τον εξής Τριγωνομετρικό Πίνακα: ω σε μοίρες 0 0 45 60 90 ω σε rad ημω συνω εφω σφω 0 0 1 0 6 4 1 1 1 0 Δεν ορίζεται 1 1 Δεν ορίζεται 0 (11) Η αναγκαιότητα για χρήση των ακτινίων αντί των μοιρών. Η ανακάλυψη και η χρήση των ακτινίων αντί των μοιρών ως μονάδα μέτρησης των γωνιών οφείλεται στο μαθηματικό Roger Cotes (1714) *. Στο σύστημα S.I. η μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι τα rad. Για οιο λόγο όμως να χρησιμοοιήσουμε τα ακτίνια έναντι των μοιρών; Στην ραγματικότητα, η χρήση των μοιρών έλκει την καταγωγή της έμμεσα αό την Βαβυλωνιακή Αστρονομία, ενώ η χρήση των ακτινίων εξυηρετεί μαθηματικούς σκοούς. Χρησιμοοιώντας ακτίνια κάοιοι τριγωνομετρικοί τύοι αλουστεύονται. Ειλέον αοδεικνύεται ότι * http://en.wikipedia.org/wiki/radian Για αράδειγμα, όσοι είναι εξοικειωμένοι με το διαφορικό λογισμό γνωρίζουν ότι (ημx) =συνx, όταν το x εκφράζεται σε ακτίνια. Αντίθετα αν το x εκφράζεται σε μοίρες, τότε ισχύει (ημx ο ) =(ημ((x/180)rad)) =(/180)συνx o.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 18 όταν οι γωνίες x εκφράζονται σε rad, τότε αν αυτές είναι ολύ κοντά στο μηδέν ισχύει ημx x *. Ενδεικτικοί είναι οι αρακάτω ίνακες: ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ω σε μοίρες ημ(ω ο ) 1 0,01745 0,5 0,0087 0,4 0,00698 0, 0,005 0,1 0,00174 ΠΙΝΑΚΑΣ ω σε rad ημ(ω rad) 1 0,84147 0,5 0,4794 0,4 0,8941 0, 0,955 0,1 0,0998 Βλέουμε στον ίνακα ότι όταν χρησιμοοιούμε ακτίνια, τότε ροσεγγίζουμε ικανοοιητικά το ημίτονο μιας γωνίας αό την ίδια τη γωνία. Δεν συμβαίνει το ίδιο όμως στην ερίτωση ου χρησιμοοιούμε μοίρες. Εφαρμογή αυτής της ροσέγγισης συναντάμε στην ερίτωση του αλού εκκρεμούς όου η ροσέγγιση ημθ θ, για θ ολύ κοντά στο μηδέν, οδηγεί στο συμέρασμα ότι η ταλάντωση του εκκρεμούς δίνεται l αό τον τύο Τ ο =, όου l είναι το μήκος του νήματος και g η g βαρυτική ειτάχυνση. (1) Παραδείγματα. Παράδειγμα 1: Να αοδείξετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ου ισχύουν στον τριγωνομετρικό ίνακα για την ερίτωση της γωνίας των 0 ο. Λύση: Έστω η τριγωνομετρική γωνία ω=0 ο (βλ. σχήμα 0). Αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Εειδή η τελική λευρά της γωνίας ω βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο, έεται ότι x=ob και y=bμ. Όμως στο ΣΧ. 0 * ημx Για όσους είναι εξοικειωμένοι με τα όρια, αυτό ροκύτει αό τη γνωστή ισότητα lim 1, όου x0 x το x εκφράζεται σε rad. Βλέε wikipedia.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 19 ο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΜΒ ισχύει ΜΟˆ Β 0. Αό τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μια οξεία γωνία ίση με 0 μοίρες, τότε η αέναντι λευρά είναι ίση με το μισό της υοτείνουσας. Εειδή ΟΜ=1, έεται ότι ΜΒ= 1. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου 1 Θεωρήματος, ροκύτει ότι ΟΒ ΟΜ ΜΒ 1. 4 4 1 y Άρα ημω=y= και συνω=x=. Ακόμη εφω=... και σφω= x x.... y Παράδειγμα : Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: (α) 1740 ο 5 και (β) rad. 4 Λύση: (α) Θα εκφράσουμε τη γωνία 1740 ο στη μορφή κ 60 ο +ω, όου ο ο 0 ω 60 και κ ακέραιος αριθμός. Τότε σύμφωνα με τους τύους Α, θα ισχύει ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 1740 ο θα είναι ίσοι με αυτούς της γωνίας ω. * Για αυτό το λόγο εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση 1740 με το 60 : 1740 60 1440 4 Εομένως ισχύει 1740=4 60+00. Πολλαλασιάζοντας με 1 ροκύτει ότι 1740=4 6000. Ο αριθμός 00 δεν ανταοκρίνεται στη γωνία ω ου θέλουμε να 00 εκφράσουμε, διότι ο αριθμός αυτός δεν ανήκει στο διάστημα [0,60). Για αυτό το λόγο, ροσθαφαιρούμε τον αριθμό 60 και ροκύτει: 1740=4 6060+6000=5 60+60. Δηλαδή ισχύει ότι 1740 ο =5 60 ο +60 ο. Σύμφωνα με τους τύους Α, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 1740 ο θα είναι ίδιοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 60 ο. Εομένως ημ(1740 ο )=ημ60 ο =, συν(1740 ο )=συν60 ο = 1 κ.τ.λ. * Να τονίσουμε ωστόσο ότι οι τύοι Α ισχύουν για κάθε γωνία ω και όχι μόνο για αυτές ου ανήκουν στο διάστημα [0 ο,60 ο ).

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 0 5 (β) Θα εκφράσουμε τη γωνία rad στη μορφή (κ +ω) rad, όου 4 0 rad ω rad και κ ακέραιος αριθμός. Τότε σύμφωνα με τους 5 τύους Α, θα ισχύει ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad 4 θα είναι ίσοι με αυτούς της γωνίας ω. * 5 4 5 5 8 1 ( 4 8 8 1 ) 8 Το σκετικό στις αραάνω ράξεις εστιάζεται σε σημεία: Άρα 8 Να σχηματίσουμε την αράσταση. Να χρησιμοοιήσουμε την ισότητα 5= 8+1 ου ροκύτει αό την ευκλείδεια διαίρεση του 5 με το 8. Μετά αό ράξεις και αλοοίηση θα ροκύψει ο όρος της μορφής κ, κz. 5 rad=( 4 4 ) rad. Εομένως οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 5 αυτούς της γωνίας rad. Δηλαδή ημ ημ 4 4. 4 5 rad ταυτίζονται με 4 κ.τ.λ. 4 Παράδειγμα : Να υολογίσετε το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας φ=1650 ο. Λύση: Όως γνωρίζουμε, το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας εξαρτάται αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας αυτής. Αό την άλλη, δυο γωνίες φ και ω, εκφρασμένες σε μοίρες, έχουν την ίδια τελική λευρά αν και μόνο αν συνδέονται αό μια σχέση της μορφής φ=κ 60 ο +ω, όου κ ένας ακέραιος αριθμός. Θα εκφράσουμε λοιόν τη γωνία φ=1650 ο με τη βοήθεια του ροηγούμενου τύου, όου για τη γωνία ω ειλέον θα ο ο ισχύει 0 ω 60. Με αυτόν τον τρόο θα ροσδιορίσουμε σε οιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ω και άρα και της γωνίας φ. Εκτελώντας την ευκλείδεια διαίρεση του 1650 με το 60, ροκύτει ότι 1650 ο =4 60 ο +10 ο. Εειδή η γωνία ω έχει μέτρο 10 ο, * Αντίστοιχα και με την ροηγούμενη υοσημείωση, έτσι και εδώ οι τύοι Α ισχύουν για κάθε γωνία ω και όχι μόνο για αυτές ου ανήκουν στο διάστημα [0 rad, rad).

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 έεται ότι η τελική της λευρά βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και άρα το ίδιο ισχύει και για τη γωνία φ. Εφαρμόζοντας τον μνημονικό κανόνα του «ΟΗΕΣ» ροκύτει ότι ημφ<0, συνφ<0, εφφ>0 και σφφ>0. Παράδειγμα 4: Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad. Λύση: Καταρχάς θεωρούμε τη γωνία φ= rad. Αν ΟΜ είναι η τελική λευρά της γωνίας φ, όου Μ είναι το αντίστοιχο σημείο στον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε το σημείο Μ θα έχει συντεταγμένες 1, (γιατί;). Εομένως, η γωνία ω θα έχει τελική λευρά την ΟΜ όου ΟΜ είναι η συμμετρική της ΟΜ ως ρος τον άξονα x x. Λόγω 1 αυτής της συμμετρίας έεται ότι το Μ θα έχει συντεταγμένες,. Άρα ΣΧ. 1 1 ημ, συν, εφ και 1

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 εφ. Παράδειγμα 5: Να αοδείξετε ότι οι γωνίες ω και φ με μέτρα ω=(ρ + 11 ) rad και φ=(λ ) rad, όου ρ και λ δύο ακέραιοι αριθμοί, 7 7 έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Λύση: Δύο γωνίες ω και φ γενικά έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς, όταν έχουν την ίδια τελική λευρά. Αυτό συμβαίνει όταν τα μέτρα τους συνδέονται αό μια σχέση της μορφής ω=κ +φ, όου κ ένας ακέραιος αριθμός και δεδομένου ότι τα μέτρα των γωνιών αυτών 11 εκφράζονται σε rad. Έχουμε λοιόν: ωφ= (ρ + )(λ )= 7 7 11 (ρλ) +( + )=(ρλ) +=(ρλ+1). 7 7 Δηλαδή ω=(ρλ+1) +φ. Εειδή οι αριθμοί ρ, λ και 1 είναι ακέραιοι, τότε και ο αριθμός κ= ρλ+1 είναι ακέραιος. Εομένως ισχύει ω=κ +φ, με κ ακέραιο αριθμό και άρα οι γωνίες ω και φ έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Παράδειγμα 6 * : Έστω μια γωνία ω με τελική λευρά την ΟΜ, όου Μ σημείο του τριγωνομετρικού κύκλου. Αν Μ είναι το συμμετρικό του Μ ως ρος την αρχή Ο των αξόνων, τότε να αοδείξετε ότι κάθε γωνία φ με τελική λευρά την ΟΜ ή την ΟΜ θα έχει μέτρο της μορφής φ=ρ +ω όου ρ ακέραιος, δεδομένου ότι τα μέτρα των φ και ω εκφράζονται σε rad. Λύση: Έστω γωνία ω με τελική λευρά την ΟΜ (βλ. σχήμα ). Τότε μια γωνία με τελική λευρά την ΟΜ είναι η λ=ω+=+ω. ΣΧ. Κάθε γωνία με τελική λευρά την ΟΜ θα έχει μέτρο της μορφής κ +ω=κ +ω, όου κ ακέραιος αριθμός. Η μορφή κ αναφέρεται σε όλα τα άρτια ολλαλάσια του όως: 0=0 (κ=0), (κ=1), (κ=1), 4 (κ=), 4 (κ=) κ.τ.λ. * Αυτό το αράδειγμα είναι ολύ σημαντικό, διότι χρησιμοοιείται στις αρακάτω ενότητες για την αόδειξη διαφόρων θεωρημάτων.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας Όμοια, κάθε γωνία με τελική λευρά την ΟΜ θα έχει μέτρο της μορφής κ ++ω=(κ+1) +ω, όου κ ακέραιος αριθμός. Η μορφή (κ+1) αναφέρεται σε όλα τα εριττά ολλαλάσια του όως: 1=1 (κ=0), (κ=1), 1= (κ=1), 5 (κ=), (κ=) κ.τ.λ. Ενδεικτικός είναι ο αρακάτω ίνακας: Γωνίες με τελική λευρά την ΟΜ. [κ +ω] Γωνίες με τελική λευρά την ΟΜ. [(κ+1) +ω] κ=0 0+ω 1+ω κ=1 +ω +ω κ=1 +ω 1+ω κ= 4+ω 5+ω κ= 4+ω +ω Μορφή (Άρτιο ολ/σιο του ) + ω (Περιττό ολ/σιο του ) + ω Τελικό συμέρασμα: Οι γωνίες της μορφής ρ +ω έχουν τελική λευρά την ΟΜ όταν ο ρ είναι άρτιος και τελική λευρά την ΟΜ όταν ο ρ εριττός, αλλά και αντίστροφα. Παράδειγμα 7: Να βρεθούν όλες οι γωνίες φ με radφ4 rad ου να έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με αυτούς της γωνίας ω= 8 rad. Λύση: Κάθε γωνία φ ου έχει τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία ω, έεται ότι έχει την ίδια τελική λευρά με τη γωνία ω και άρα κάθε γωνία φ θα έχει μέτρο, σε rad, της μορφής φ=κ +ω, δηλαδή

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 φ=κ + 8, όου κz. Όμως, φ4 κ + 8 4 17 8 1 : 17 1 κ 4 κ κ. Οι μοναδικοί 8 8 8 16 16 17 1 ακέραιοι ου ανήκουν στο διάστημα [, ] είναι οι αριθμοί κ1 =1, 16 16 κ =0, κ =1 και κ 4 =. Εομένως οι ζητούμενες γωνίες είναι: 15 17 φ 1 =1 + =, φ =0+ =, φ =+ = 8 8 8 8 8 8 και φ 4 = + 8 =. 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να εκφράσετε σε ακτίνια τις αρακάτω γωνίες των οοίων τα μέτρα σε μοίρες είναι τα εξής: α) ω 1 =15 ο β) ω =50 ο γ) ω =10 ο δ) ω 4 =00 ο ε) ω=140 ο. ) Να εκφράσετε σε μοίρες τις αρακάτω γωνίες των οοίων τα μέτρα σε ακτίνια είναι τα εξής: 5 α) φ 1 = rad β) φ = rad γ) φ =10 rad δ) φ 4 =6 rad 16 4 ε) φ 5 = rad. 5 ) Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: α) ω 1 =0 ο β) ω = 17 rad γ) ω =1410 ο δ) ω 4 =9 rad. 4

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 5 4) Να υολογίσετε την τιμή των αραστάσεων: ο ημ60 συν0 σφ0 Α) ο ο ο εφ0 συν60 ημ0 ο ο. Β) ημ 4 σφ 6 εφ συν Γ) ημ810 ο +συν(1050 ο )+εφ1500 ο 5) Να υολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη δυνατή τιμή των αραστάσεων: α) Α= ημx+ β) Β= 45συνx γ) Γ= ημx+συνψ1 5ημx δ) Δ=. Για οιες τιμές των γωνιών x και y συμβαίνει αυτό; 6) Να αοδείξετε στις αρακάτω εριτώσεις ότι οι γωνίες ω και φ έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. (Τα μέτρα των γωνιών ω και φ εκφράζονται σε rad). 0 10 α) ω=ρ+, φ=λ όου ρ,λζ. 10 β) ω=κ, φ=λ+ 8 4 όου ρ,κζ. 40 6 γ) ω=4κ+, φ=10λ+ 17 17 όου ρ,λζ. 7) Να δείξετε ότι: α) ημxσυνx>εφx+σφx, για κάθε x(,).

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 6 β) εφ(4x)ημ(4x)>συν(4x)σφ(4x), για κάθε x(, ). 4 4 8) Να εξετάσετε αν είναι δυνατές οι αρακάτω ισότητες: α) ημω= 4 5 1 β) συνω= 6 10 9) Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: 5 α) ω= rad β) φ= 6 6 rad (Υόδειξη: Σ το β ερώτημα να αραστήσετε στον τριγωνομετρικό κύκλο τη 5 γωνία φ χρησιμοοιώντας την ισότητα ) 6 6 10) Δίνεται η γωνία θ= 10 rad. Α) Να εκφράσετε με έναν τύο όλες τις γωνίες ου έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη γωνία θ. Β) Αό τις γωνίες ου αναφέρονται στο ροηγούμενο ερώτημα, να βρείτε αυτές ου ανήκουν στο διάστημα [ rad, rad]. 11) α) Να εκφράσετε με έναν τύο όλες τις γωνίες ου έχουν ημίτονο ίσο με τη μονάδα. β) Με τη βοήθεια του ροηγούμενου ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση ημ x ημx +=0. * * Με το συμβολισμό ημ ν x εννοούμε την αράσταση (ημx) ν. Το ίδιο ισχύει και για τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 7 ΕΝΟΤΗΤΑ η : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. (1) Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Θεώρημα 1: Πυθαγόρεια Τριγωνομετρική Ταυτότητα (Π.Τ.Τ.) Για κάθε ωr 1* ισχύει ημ ω+συν ω=1. Αόδειξη: Έστω ότι το Μ(x,y) είναι το σημείο τομής της τελικής λευράς της γωνίας ω με τον τριγωνομετρικό κύκλο (βλ. σχήμα 1). Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΜ ισχύει OK x, KM y και OM 1. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε: ΣΧ. 1 OK KM OM x y 1 x y 1 συν ω ημ ω 1. Προσέξτε ότι για την αόδειξη χρησιμοοιήσαμε την ιδιότητα Α Α. Θεώρημα : Ισχύει ότι Ισχύει ότι ημω εφω για κάθε ω κ συνω συνω σφω για κάθε ω κ ημω, κζ., κζ. *1 Με έντονο R θα εννοούμε το σύνολο των ραγματικών αριθμών.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 8 Αόδειξη: Αό το σχήμα 1 και αό τον ορισμό των τριγωνομετρικών y ημω x συνω αριθμών ροκύτει ότι εφω και σφω. Για τους x συνω y ημω εριορισμούς βλέετε στην ρώτη ενότητα, στις αραγράφους (7), (8) και στις αρατηρήσεις της αραγράφου (10). Θεώρημα : Για κάθε ωr με ω κ και ω κ, όου κζ, ισχύει ότι εφω σφω=1. Δηλαδή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εφω και σφω, όταν ορίζονται και οι δύο, είναι αντίστροφοι. Αόδειξη: Προκύτει άμεσα αό το θεώρημα. Θεώρημα 4: Για κάθε ω κ με κζ, ισχύουν οι αρακάτω ταυτότητες: 1 εφ ω Α) συν ω και Β) ημ ω. 1 εφ ω 1 εφ ω Αόδειξη: Για ω κ με κζ, ορίζεται η εφω και τότε ροκύτει ότι: ημ ω συν ω ημ ω 1 Α) 1 εφ ω 1. συν ω συν ω συν ω συν ω 1 1 Δηλαδή 1 εφ ω και άρα συν ω. συν ω 1 εφ ω Β) Αό την (Π.Τ.Τ.) και αό το ροηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι ημ 1 εφ ω ω 1 συν ω 1. 1 εφ ω 1 εφ ω () Παραδείγματα. Παράδειγμα 1: Αν x και ημx, τότε να βρεθούν οι 5 υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Λύση: Εειδή x(, ), έεται ότι ημx<0, συνx<0, εφx>0 και σφx>0. * * Τα ρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών ροκύτουν εύκολα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ».

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 9 9 16 Αό την (Π.Τ.Τ.) έχουμε: συν x 1 ημ x 1 1. 5 5 5 16 4 16 4 4 Άρα συνx ή συνx. Άρα συνx. 5 5 5 5 5 ημx Έεται εομένως ότι 5 1 4 εφx και σφx. συνx 4 4 εφx 5 Παράδειγμα : Αν x και υόλοιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί. σφx 1, τότε να βρεθούν οι Λύση: Εειδή x(, ), έεται ότι ημx>0, συνx<0, εφx<0 και σφx<0. 1 1 Έχουμε: σφx εφx. Ακόμη έχουμε: σφx 1 1 1 συν x και 1 εφ x 1 9 10 εφ x ημ x 1 εφ x 9 10. Εειδή όμως 9 ισχύει ημx>0 και συνx<0, θα έχουμε τελικά ότι ημx και 10 1 συνx. 10 Παράδειγμα : Να αοδειχθεί ότι δεν υάρχουν τιμές του x για τις οοίες να ισχύει συγχρόνως ότι ημx=0 και συνx=0. Λύση: Αό την (Π.Τ.Τ.) έχουμε ότι ημ x συν x 1 0 0 1 0 1, αδύνατο. Δηλαδή δεν είναι δυνατό το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας να είναι συγχρόνως ίσα με το μηδέν. Παράδειγμα 4: Να αοδειχθούν οι αρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: 4 4 Α) ημ ω συν ω 1 ημ ωσυν ω.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 0 4 4 Β) ημ ω συν ω ημ ω 1. Λύση: Α) ημ 4 (ημ Β) ημ 4 4 ω συν ω 1 ημ ωσυν ω (ημ ω) ημ ωσυν ω (συν ω) 1 ω συν ω συν 4 ω) ω (ημ 1 1 ω) (συν 1, ου ισχύει. ω) (ημ ω συν ω) (ημ ω συν ω) ημ ω συν ω ημ ω (1 ημ ω) ημ ω 1. Αό την (Π.Τ.Τ.) συνάγεται η ισότητα συν ω=1ημ ω ου χρησιμοοιήσαμε μόλις αραάνω. 1 ημω συνω Παράδειγμα 5: Δίνονται οι αραστάσεις A και Β. συνω 1 ημω i) Για οιες τιμές του αριθμού ω ορίζεται η κάθε αράσταση; ii) Για τις τιμές του ω ου ορίζονται συγχρόνως και οι δύο αραστάσεις, να αοδείξετε ότι Α=Β. Λύση: i) Η αράσταση Α ορίζεται όταν συνω0. Όμως κάθε γωνία της οοίας το συνημίτονο είναι ίσο με το μηδέν, θα έχει τελική λευρά την ΟΒ ή την ΟΒ (βλ. σχήμα ). 6). Άρα Μια γνωστή γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟΒ είναι η θ 1 rad. Εομένως κάθε γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟΒ ή την ΟΒ θα έχει μέτρο της μορφής ( κ ) rad με κζ (βλ. ΣΧ. ενότητα 1-αράδειγμα συνω 0 ω κ για κάθε κζ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 1 Η αράσταση Β ορίζεται όταν 1 ημω 0 ημω 1. Όμως κάθε γωνία της οοίας το ημίτονο είναι ίσο με τη μονάδα, θα έχει τελική λευρά την ΟB (βλ. σχήμα ). Μια γνωστή γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟB είναι η θ 1 rad. Προφανώς, κάθε γωνία ου έχει τελική λευρά την ΟB, θα έχει μέτρο της μορφής ( κ ) rad, με κζ. Άρα ημω 1 ω κ για κάθε κζ. ii) Οι αραστάσεις Α και Β ορίζονται συγχρόνως όταν η γωνία ω δεν έχει τελική λευρά ούτε την ΟΒ, ούτε την ΟΒ. Δηλαδή ορίζονται όταν ω κ για κάθε κζ. Τότε έχουμε: 1 ημω συνω Α Β (1 ημω) (1 ημω) συν ω συνω 1 ημω 1 ημ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ω συν ω ημ ω συν ω 1, ου ισχύει. 1) Αν ημx= και x, τότε να βρείτε τους άλλους 5 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. ) Αν σφx= και x, τότε να βρείτε τους άλλους 5 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. ) Να αοδείξετε ότι δεν μορεί να ισχύει συγχρόνως: i) ημx= 1 και συνx= 1. ii) ημx=1 και συνx=1. 4) Να αοδείξετε τις αρακάτω τριγωνομετρικές ταυτότητες: i) (ημα+συνα+1)(ημα+συνα1)=ημασυνα ii) ημ 6 α+συν 6 α=1ημ ασυν α iii) ημ α (1+σφ α)+συν α (1+εφ α)=

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας iv) 1 1 ημα (εφα ) συνα 1 ημα v) 1 1 εφα ημα συνα εφα ημα 1 1 συνα vi) 1 1 1 εφα εφα 1 συνα συνα 1 1 1 εφα εφα 1 συνα συνα vii) 1εφ α+εφ 4 α=συν α(1+εφ 6 α) viii) 5ημ α+4συν 5 4σφ α α= (1 εφ α)σφ α ix) 1 συνα συνα εφ α 1 ημα ημα x) ημα συνα 1 ημα 1 ημα συνα 1 συνα xi) ημα συνα εφα σφα 1 xii) 1 1 ημα συνα εφ α σφ α 1 ημ α συν α 1 εφ α 1 σφ α ημα συνα Μορείτε να βρείτε για οιες τιμές του αριθμού α ορίζονται οι αραάνω αραστάσεις; 5) Αν 0<α<, τότε να αοδείξετε ότι 1 συνα 1 συνα 1 συνα 1 συνα ημα. 6) Να αοδείξετε ότι οι αρακάτω αραστάσεις έχουν σταθερή τιμή (ανεξάρτητη του αριθμού α): i) Α=(ημ 6 α+συν 6 α)(ημ 4 α+συν 4 α) ii) Β= ημ 6 ασυν 6 αημ 4 ασυν 4 α+ημ α

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας ΕΝΟΤΗΤΑ η : ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Σε αυτή την ενότητα θα δούμε τεχνικές με τις οοίες η εύρεση των τριγωνομετρικών αριθμών κάθε γωνίας ανάγεται στην εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών μιας άλλης γωνίας της οοίας η τελική λευρά βρίσκεται στο ρώτο τεταρτημόριο. (1) Αντίθετες γωνίες Αοδεικνύεται ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν συμμετρικές τελικές λευρές ως ρος τον άξονα των συνημιτόνων (βλ. σχήμα 1). Αυτό έχει ως συνέεια δύο αντίθετες γωνίες να έχουν ίσα συνημίτονα και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς: ΣΧ. 1 ημ(ω)=y=ημω συν(ω)=x=συνω y y εφ( ω) εφω x x x x σφ( ω) σφω y y Εφαρμογή 1: Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ=0 ο. Λύση: Σύμφωνα με τους αραάνω τύους ισχύει:

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 ημ(0 ο )=ημ0 ο = 1, συν(0 ο )=συν0 ο =, εφ(0 ο )=εφ0 ο = = και σφ(0 ο )=σφ0 ο =. () Γωνίες με άθροισμα rad (180 μοίρες) Αοδεικνύεται ότι δύο γωνίες με άθροισμα rad έχουν τελικές λευρές ου είναι συμμετρικές ως ρος τον άξονα των ημιτόνων. Αυτό έχει ως συνέεια δύο τέτοιες γωνίες να έχουν ίσα ημίτονα και αντίθετους όλους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αν φ και ω δύο γωνίες με φ+ω=, τότε φ=ω: ΣΧ. ημ(ω)=ημφ=y=ημω συν(ω)=συνφ=x=συνω y y εφ(ω)=εφφ= εφω x x x x σφ(ω)=σφφ= σφω y y Όταν τα μέτρα των γωνιών εκφράζονται σε μοίρες, τότε η έκφραση «ω» αντικαθίσταται αό την έκφραση «180 ο ω». Π.χ. συν(180 ο ω)=συνω.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 5 Εφαρμογή : Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ= rad. Λύση: Εειδή, έχουμε: ημ( 1 )=ημ( )=ημ =, συν( )=συν( )=συν =, εφ( )=εφ( )=εφ = και σφ( )=σφ( )=σφ = (α 1). Καλό είναι να έχουμε υόψη ότι. α α () Γωνίες με διαφορά rad (180 μοίρες) Αοδεικνύεται ότι δύο γωνίες των οοίων οι τελικές λευρές βρίσκονται στον ίδιο φορέα, χωρίς να ταυτίζονται, έχουν διαφορά rad και είναι συμμετρικές ως ρος τον αρχή των αξόνων. Αυτό έχει ως συνέεια δύο τέτοιες γωνίες να έχουν ίσες εφατομένες και συνεφατομένες, ενώ έχουν αντίθετους τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αν φ και ω δύο γωνίες με φω=, τότε φ=+ω: ΣΧ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 6 ημ(+ω)=ημφ=y=ημω συν(+ω)=συνφ=x=συνω y y εφ(+ω)=εφφ= εφω x x x x σφ(+ω)=σφφ= σφω y y Όταν τα μέτρα των γωνιών εκφράζονται σε μοίρες, τότε η έκφραση «+ω» αντικαθίσταται αό την έκφραση «180 ο +ω». Π.χ. ημ(180 ο +ω)=ημω. Εφαρμογή : Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ= 4 rad. Λύση: Εειδή 4, έχουμε: ημ( 4 4 1 )=ημ( )=ημ =, συν( )=συν( )=συν =, 4 4 εφ( )=εφ( )=εφ = και σφ( )=σφ( )=σφ =. Καλό είναι να έχουμε υόψη ότι (α 1) α α. (4) Γωνίες με άθροισμα / rad (90 μοίρες) Αοδεικνύεται ότι δύο γωνίες με άθροισμα / rad έχουν τελικές λευρές οι οοίες είναι συμμετρικές ως ρος τη διχοτόμο του 1 ου και ου τεταρτημορίου, δηλαδή ως ρος την ευθεία με εξίσωση y=x. Ειλέον, ρέει να έχουμε υόψη μας ότι όταν δυο σημεία Μ και Μ είναι συμμετρικά ως ρος την ευθεία y=x, τότε η τετμημένη του ενός είναι ίση με την τεταγμένη του άλλου και αντίστροφα. Δηλαδή αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (x,y), τότε το Μ θα έχει συντεταγμένες (y,x). Αυτό έχει ως συνέεια για δύο γωνίες με άθροισμα / rad, το ημίτονο της μιας να ισούται με το συνημίτονο της άλλης, η εφατομένη της μιας να είναι ίση με τη συνεφατομένη της άλλης και αντίστροφα. Αν φ και ω δύο γωνίες με φ ω φ ω :

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 7 ΣΧ. 4 ημ( συν( εφ( σφ( ω) ημφ x συνω ω) συνφ y ημω x ω) εφφ σφω y y ω) σφφ εφω x Όταν τα μέτρα των γωνιών εκφράζονται σε μοίρες, τότε η έκφραση «ω» αντικαθίσταται αό την έκφραση «90 ο ω». Π.χ. εφ(90 ο ω)= =σφω. Εφαρμογή 4: Να συγκρίνετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 70 ο με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 0 ο. Λύση: Εειδή 70 ο +0 ο =90 ο, έχουμε: ημ70 ο =ημ(90 ο 0 ο )=συν0 ο, συν70 ο =συν(90 ο 0 ο )=ημ0 ο, εφ70 ο = =εφ(90 ο 0 ο )=σφ0 ο και σφ70 ο =σφ(90 ο 0 ο )=εφ0 ο.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 8 (5) Αομνημόνευση των αραάνω τύων με τη βοήθεια του κανόνα «ΟΗΕΣ» Τα ροηγούμενα σχήματα εξηγούν ενδεικτικά, όμως αοσασματικά για οιο λόγο ισχύουν οι αραάνω τύοι. Υάρχει όμως και ένας γενικός αομνημονευτικός κανόνας ου στηρίζεται στον κανόνα «ΟΗΕΣ». Το σκετικό είναι το εξής: Αφού οι αραάνω τύοι ισχύουν για κάθε τιμή της γωνίας ω, εφόσον έχουν νόημα οι τύοι για αυτές τις τιμές, τότε οι ίδιοι ακριβώς τύοι ισχύουν και για μικρές θετικές γωνίες ω, δηλαδή για 0 ο <ω<90 ο. Θα δούμε λοιόν το «κόλο» με το οοίο βρίσκουμε τους αραάνω τύους σκεφτόμενοι σαν να είναι η γωνία ω μια μικρή θετική γωνία, δηλαδή σαν να βρίσκεται η τελική λευρά της ω στο 1 ο τεταρτημόριο. Πρώτα αό όλα θα δούμε ενιαία τις τρεις ρώτες εριτώσεις, ενώ θα γενικεύσουμε την τέταρτη ερίτωση. Καταρχάς οι τρεις ρώτες ομάδες τύων ακολουθούν το αρακάτω σχήμα: ημ( )=(;) ημω συν( )= (;) συνω εφ( )= (;) εφω σφ( )= (;) σφω όου το «+» ή το εξαρτάται κατά ερίτωση. Αν θεωρήσουμε ότι για τη γωνία ω ισχύει 0 ο <ω<90 ο (1 ο τεταρτημόριο), τότε η τελική λευρά της γωνίας : (α) ω θα βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο (σχ. 1) και άρα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ» μόνο το συνημίτονο είναι θετικό. Άρα συν(ω)=+συνω, ενώ για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα βάζουμε,.χ. ημ(ω)=ημω. (β) ω θα βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (σχ. ) και άρα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ» μόνο το ημίτονο είναι θετικό. Άρα ημ(ω)=+ημω, ενώ για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα βάζουμε,.χ. εφ(ω)=εφω. (γ) +ω θα βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (σχ. ) και άρα αό τον κανόνα «ΟΗΕΣ» μόνο η εφατομένη και η συνεφατομένη είναι θετικές.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 9 Άρα εφ(+ω)=+εφω, σφ(+ω)=+σφω, ενώ για τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα βάζουμε,.χ. ημ(+ω)=ημω. Τώρα θα δούμε τον τρόο για να βρίσκουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών της μορφής κ ω, όου κ εριττός αριθμός, δηλαδή κ=1,, 5 κ.τ.λ. Στην ερίτωση των γωνιών ω το ημίτονο γινόταν συνημίτονο, η εφατομένη γινόταν συνεφατομένη κ.τ.λ. Το ίδιο ισχύει γενικότερα για τις γωνίες της μορφής κ ω, όου κ εριττός αριθμός με τη διαφορά ότι στο ο μέλος της ισότητας βάζουμε «+» ή κατά ερίτωση: ημ(κ ω )=(;) συνω συν(κ ω )=(;) ημω εφ(κ ω )=(;) σφω σφ(κ ω )=(;) εφω Για να διαιστώσουμε αν ρέει να βάλουμε «+» ή θα ρέει να δούμε σε οιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας κ ω, θεωρώντας ροσωρινά ότι 0 rad<ω< rad. Η αρακάτω εφαρμογή εξηγεί τον τρόο με τον οοίο δουλεύουμε για να εξάγουμε τους τύους κατά ερίτωση: Εφαρμογή 5: Να συγκρίνετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας της μορφής ω με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. Λύση: Οι τύοι ου θα βρούμε ισχύουν όως είαμε για κάθε τιμή της γωνίας ω, αρκεί να έχουν νόημα οι αραστάσεις. Χάριν ευκολίας λοιόν

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 40 θα θεωρήσουμε ότι 0 rad<ω< rad. Σε αυτή την ερίτωση, η τελική λευρά της γωνίας ω θα βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο: Εομένως στο συνημίτονο αυτής της γωνίας, στο ο μέλος της ισότητας θα ροσάψουμε θετικό ρόσημο (κανόνας «ΟΗΕΣ»), δηλαδή: συν( ω )= +ημω Στους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς θα ροσάψουμε το ρόσημο : ημ( ω )= συνω, εφ( ω )= σφω και σφ( ω)=εφω. Να τονίσουμε για άλλη μια φορά ότι αυτοί οι τύοι ισχύουν για κάθε τιμή της γωνίας ω και όχι μόνο για 0 rad<ω< rad, δεδομένου ότι έχουν νόημα οι τύοι. (6) Παραδείγματα. Παράδειγμα 1: Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 70 ο 74 και β) rad. Λύση: α) Εκτελώντας την ευκλείδεια διαίρεση του 70 με το 60 ροκύτει ότι 70 =6 60+10. Άρα 70 ο =6 60 ο 10 ο. Σύμφωνα με τους τύους Α της ενότητας 1, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 70 ο θα ταυτίζονται με τη γωνία των 10 ο.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 41 Άρα: ημ(70 ο )=ημ(10 ο )=ημ10 ο =ημ(180 ο +0 ο )=(ημ0 ο )= ημ0 ο = 1. συν(70 ο )=συν(10 ο )=συν10 ο =συν(180 ο +0 ο )=συν0 ο =. εφ(70 ο )=εφ(10 ο )=εφ10 ο =εφ(180 ο +0 ο )=εφ0 ο =. σφ(70 ο )=σφ(10 ο )=σφ10 ο =σφ(180 ο +0 ο )=σφ0 ο =. β) Θα εκφράσουμε τη γωνία 74 74 6 1 6 6 74 στη μορφή κ +ω, όου κ ακέραιος: (1 1 ) 1. * Σύμφωνα με τους τύους Α της ενότητας 1, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των rad είναι ίσοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των Άρα: 74 ημ( )=ημ( )=ημ ( ) =ημ( )=. 74 1 συν( )=συν( )=συν ( ) =συν( )=. 74 εφ( )=εφ( )=εφ ( ) =εφ( )=. 74 σφ( )=σφ( )=σφ ( ) =σφ( )=. rad. 74 Παράδειγμα : Να υολογιστούν με τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 90 ο +ω και β) 101 ω rad. * Η ισότητα 74=1 6+ ροκύτει αό την ευκλείδεια διαίρεση του 74 με το 6.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 Λύση: α) Αν θεωρούσαμε ροσωρινά ότι 0 o <ω<90 ο, τότε η γωνία 90 ο +ω θα είχε τελική λευρά ου θα βρισκόταν στο τεταρτημόριο και άρα θα είχε μόνο το ημίτονό της θετικό. Εομένως για κάθε γωνία ω, θα ισχύει: ημ(90 ο +ω)=συνω συν(90 ο +ω)=ημω εφ(90 ο +ω)=σφω σφ(90 ο +ω)=εφω Οι αραάνω ισότητες ισχύουν για όλες τις τιμές της γωνίας ω στις οοίες έχουν νόημα οι τύοι. 101 β) Θα γράψουμε τη γωνία αριθμός. Προς τούτο έχουμε: 101 101 (5 4 1) 4 4 101 ω = 5 ω στη μορφή κ +φ, όου κ ακέραιος (5 1 ) 4 5. Άρα και εομένως οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 101 ω rad είναι ίσοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad οι οοίοι βρέθηκαν ουσιαστικά στο ροηγούμενο ερώτημα, αν και εδώ οι γωνίες εκφράζονται σε rad αντί σε μοίρες. Για αράδειγμα ισχύει: ημ( 101 101 ω )=ημ( ω )=συνω, συν( ω )=συν( ω )=ημω κ.τ.λ. Παράδειγμα : Να υολογιστεί η τιμή της αράστασης Α=εφ1 ο εφ ο εφ89 ο. Λύση: Εειδή εφ89 ο =εφ(90 ο 1 ο )=σφ1 ο, εφ88 ο =εφ(90 ο ο )=σφ ο κ.τ.λ., η αράσταση Α γράφεται ως εξής Α=εφ1 ο εφ ο εφ89 ο ο =εφ1 ο εφ ο εφ44 ο εφ45 ο σφ44 ο σφ4 ο σφ1 = (εφ1 ο σφ1 ο ) (εφ ο σφ ο ) (εφ44 ο σφ44 ο ) εφ45 ο = 1 11... 1εφ45 ο = εφ45 ο =1. 44 αράγοντες

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 4 Παράδειγμα 4: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αοδειχτεί ότι: Α Β Γ α) ημα=ημ(β+γ) και β) ημ( )=συν( ). Λύση: Οι γωνίες Α, Β και Γ είναι γωνίες τριγώνου και άρα ισχύει Α+Β+Γ= Α=(Β+Γ). Εομένως: α) ημα=ημ((β+γ))=ημ(β+γ) Α (Β Γ) β) ημ( )=ημ( )=ημ( Β Γ )=συν( Β Γ ). Παράδειγμα 5: Να αλοοιηθούν οι αρακάτω αραστάσεις: α) β) ημ( α) συν( α) εφ(5 α) Α συν(5 α) ημ( α) εφ( α) ημ( α) συν( α) εφ( α) Β ημ( α) Λύση: α) Έχουμε: ημ(+α)=ημ(++α)=ημ(+α)= ημα συν( α )=ημα (βλ. εφαρμογή 5) εφ(5+α)=εφ(4++α)=εφ(+α)=εφα συν(5α)=συν(4+α)=συν(α)= συνα ημ( α )= συνα (γιατί;) εφ(+α)=εφα Άρα ημα ημα εφα ημ α A εφ α. συνα ( συνα) εφα συν α

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 44 β) Έχουμε: ημ(+α)= ημα συν( α )= ημα εφ( α )= σφα (βλ. εφαρμογή 5) ημ(α)=ημ(α)= ημα Άρα ημα ( ημα) ( σφα) B ημα ( σφα) ημα ημα συνα ημα συνα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των αρακάτω γωνιών: α) 10 ο β) 10 ο γ) 150 ο δ) 0 ο ) Να βρείτε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: 5 α) ημ 6 1 β) συν 6 γ) σφ ) Να αοδείξετε ότι: i) ii) 5 5 6 ημ συν εφ ημ συν εφ. 6 4 4 6 4 ο ο ημ(90 ω) συν(180 ω) 1. ο ο εφ(70 ω) σφ(60 ω) 1 iii) 5 7 4 ημ συν εφ. 4 6 4 iv) 4 7 7 1 συν σφ εφ. 6 6 v) 11 5 ημ( α) ημ(15 α) ημ( α) συν α. 1 7 17 εφ( α) σφ( α) συν( α)

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 45 vi) ημ(α)+ημ( α )+ημ(α)ημ( α )=0. vii) συν( α )+ημ(α)ημ(α)+συν( α )=0. viii) 6εφ(+α)+σφ( α ix) 15 7 9 συν( α) ημ( α) συν( α) ημ α. 5 17 εφ( α) ημ( α) εφ( α) 4) Να υολογίσετε την τιμή των αρακάτω αραστάσεων: 5 7 4 i) συν( ) ημ( ) εφ( ) 4 6 ii) 1 5 4 11 ημ( ) συν( )+εφ( ) σφ( ) 6 iii) ημ(5 ο )+συν(156 ο )+εφ(50 ο )+σφ(45 ο ) iv) ημ( α) σφ( α) συν( α) εφ( α) εφ( α) συν( α) v) ο ο ο εφ(180 α) συν(540 α) εφ(450 α) ο ο ο ημ(90 α) σφ(810 α) εφ(α 70 ) vi) 5 συν(α ) ημ( α) συν( α) 4ημ(7 α) συν(α 4) 5) Να αοδείξετε ότι: α) ημ 90 ο +συν 0 ο =1 και β) ημ 75 ο +ημ 5 ο =1 6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αοδείξετε ότι: α) συνα+συν(β+γ)=0 και β) συν A =ημ Γ B. ο 7) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Αˆ 90. Να δείξετε ότι: εφβ 1 γ β, εφόσον γβ. 1 εφ Β συν Β ημ Β γ β 8) Δίνεται τετράλευρο ΑΒΓΔ. Να αοδείξετε ότι:

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 46 α) συν(α+γ)=συν(β+δ) και A Γ Β Δ β) ημ =ημ. 9) Να αοδείξετε ότι: α) σφ1 ο σφ ο σφ89 ο =1. β) εφ1 ο εφ ο εφ45 ο εφ91 ο εφ9 ο εφ15 ο = 1. γ) σφ1 ο σφ ο σφ45 ο εφ181 ο εφ18 ο εφ5 ο =1.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 47 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 η : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Η αρακάτω ενότητα έραν του ορισμού 1 έχει θεωρητικό χαρακτήρα και αευθύνεται στον ααιτητικό αναγνώστη. Ωστόσο τα θεωρήματα αυτής της ενότητας βρίσκουν άμεση εφαρμογή στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ου θα συναντήσουμε στην εόμενη ενότητα. Μια εριοδική συνάρτηση θα λέγαμε με αλά λόγια ότι είναι μια συνάρτηση της οοίας η γραφική εαναλαμβάνεται, όως φαίνεται και στο αρακάτω σχήμα: ΣΧ. 1 Στο σχήμα 1 βλέουμε ότι αν ειλέξουμε τυχαία ένα οοιοδήοτε σημείο x o ου ανήκει στο εδίο ορισμού της συνάρτησης f, τότε f(x o )=f(x o +)=f(x o ). Λέμε τότε ότι ο αριθμός είναι μια ερίοδος της συνάρτησης f. Δίνουμε λοιόν τον τυικό ορισμό μιας εριοδικής συνάρτησης: Ορισμός 1: Έστω μια συνάρτηση f με εδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Αν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ>0, ώστε για κάθε xa να ισχύει: i) x+ta και xta ii) f(x+t)=f(xt)=f(x) τότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι εριοδική με μία ερίοδο τον αριθμό Τ.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 48 Ο ορισμός υονοεί ότι ενδεχομένως μια εριοδική συνάρτηση μορεί να έχει ερισσότερες αό μια εριόδους. Για αράδειγμα στο σχήμα 1 η συνάρτηση f έχει ερίοδο τον αριθμό Τ 1 =. Όμως, αρατηρούμε ότι και ο αριθμός Τ =4 είναι μία ερίοδος της συνάρτησης f, διότι για κάθε x o ου ανήκει στο εδίο ορισμού της ισχύει f(x o )=f(x o +4)=f(x o 4). Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 4 είναι ακέραιο ολλαλάσιο του αριθμού. Γενικά ισχύει το αρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ 1: Έστω εριοδική συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α και Τ μια ερίοδός της. Τότε κάθε αριθμός της μορφής ν Τ, όου ν θετικός φυσικός αριθμός είναι είσης μια ερίοδος της συνάρτησης f. Αόδειξη: Θα δείξουμε ότι για το θετικό αριθμό ν Τ ικανοοιούνται οι συνθήκες (i) και (ii) του ορισμού 1. Έστω xa. Εειδή ο αριθμός Τ είναι μια ερίοδος της συνάρτησης, έεται ότι και x+tα (ιδιότητα (i) του ορισμού 1). Όμοια τώρα, εειδή x+tα, έεται ότι και ο αριθμός (x+t)+t=x+tα. Εαγωγικά φτάνουμε στο συμέρασμα ότι x+ν ΤΑ: xax+tα(x+t)+t=x+tα(x+t)+t=x+tα [x+(ν1)t]+t=x+ν TΑ. Όμοια αοδεικνύεται ότι και xν ΤΑ. Άρα για το θετικό αριθμό ν Τ ικανοοιείται η συνθήκη (i) του ορισμού 1. Είσης βλέουμε ότι: f(x)=f(x+t)=f((x+t)+t)=f((x+t)=f((x+t)+t)=f(x+t)= = =f(x+(ν1) T)=f((x+(ν1) T)+T)=f(x+ν Τ). Όμοια αοδεικνύεται ότι f(x)= f(xν Τ). Εομένως ικανοοιείται η συνθήκη (ii) του ορισμού 1. Η αόδειξη τώρα είναι λήρης.// Έτσι, στο αράδειγμα του σχήματος 1 η f έχει εριόδους τους αριθμούς, =4, =6, 4=8 κ.τ.λ. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός είναι η μικρότερη ερίοδος της συνάρτησης f. Οδηγούμαστε στον αρακάτω ορισμό: Ορισμός : Αν για μια εριοδική συνάρτηση f υάρχει ελάχιστος θετικός αριθμός Τ ου ικανοοιεί τις συνθήκες (i) και (ii) του ορισμού 1, τότε ο αριθμός Τ λέγεται ελάχιστη ή ρωτεύουσα ή αρχική ερίοδος της συνάρτησης f.

Χατζημανώλης Νίκος- Σημειώσεις τριγωνομετρίας 49 Πρέει να τονίσουμε όμως ότι κάθε εριοδική συνάρτηση δεν έχει κατ ανάγκη αρχική ερίοδο. Για αράδειγμα η σταθερή συνάρτηση f: RR με τύο f(x)=5 είναι εριοδική, διότι για κάθε xr και για κάθε Μ>0, ισχύει f(xm)=f(x)=5. Ωστόσο δεν υάρχει ελάχιστος θετικός αριθμός Μ με την ροηγούμενη ιδιότητα. Έστω τώρα μια εριοδική συνάρτηση f με ελάχιστη ερίοδο έναν αριθμό Τ>0. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα 1, κάθε αριθμός της μορφής ν Τ όου ν θετικός ακέραιος είναι είσης μια ερίοδος της συνάρτησης f. Το ερώτημα ου γεννάται είναι αν η συνάρτηση f μορεί να έχει και άλλες εριόδους ου δεν είναι ολλαλάσια της ελάχιστης εριόδου. Η αάντηση είναι αρνητική: ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω εριοδική συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α και Τ η ελάχιστη ερίοδός της. Τότε κάθε άλλη ερίοδος της συνάρτησης f είναι αναγκαστικά θετικό ακέραιο ολλαλάσιο του αριθμού Τ. Αόδειξη: Έστω Τ >0 μια ερίοδος της f με Τ Τ. Εειδή ο αριθμός Τ είναι η ελάχιστη ερίοδος της f, θα ισχύει Τ<Τ. Έστω n o ο μέγιστος φυσικός αριθμός ο οοίος είναι λύση της ανίσωσης n TT, nν. Τότε n ο TT και (n o +1) T>Τ (1). Είσης ισχύει ότι T n o T0. Θέτω υ= T n o T. Προφανώς υ0. Είσης ισχύει ότι υ<τ, διότι αν υοθέταμε ότι υτ, τότε θα υήρχε μη αρνητικός αριθμός κ, ώστε υ=τ+κ. Άρα σε αυτή την ερίτωση θα είχαμε ότι T = n o T+υ=n o T+Τ+κ=(n o +1) T+κ και εομένως θα ίσχυε ότι (n o +1) TΤ άτοο αό (1). Συνοψίζοντας θα λέγαμε ότι αν Τ Τ, τότε υάρχει ένας φυσικός αριθμός n o και ένας μη αρνητικός αριθμός υ, ώστε T = n o T+υ με 0υ<Τ. Τώρα, για κάθε xa ισχύει f(x)=f(x+t )=f(x+n o T+υ)=f((x+υ)+n o T)=f(x+υ). Όμοια ροκύτει ότι για κάθε xa ισχύει f(x)= f(xυ). Αν υ0, τότε ο αριθμός υ είναι μια ερίοδος της συνάρτησης f μικρότερη αό την ελάχιστη ερίοδο Τ, άτοο. Άρα υ=0 και τότε ροκύτει ότι Τ =n o T. Δηλαδή κάθε ερίοδος της συνάρτησης f είναι αναγκαστικά θετικό ακέραιο ολλαλάσιο της ελάχιστης εριόδου.// ΘΕΩΡΗΜΑ : Έστω εριοδική συνάρτηση f με εδίο ορισμού το σύνολο Α f και Τ μια ερίοδος της. Αν η συνάρτηση g ορίζεται μέσω της f αό τον τύο g(x)=f(αx+β), με α0, τότε η g είναι εριοδική με μία