ΣΥΝ ΙΑΣΤIΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝ ΙΑΣΤIΚΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2.0 Περιεχόµενα 2. υαδικήλογικήκαιπύλες 2.2 Boolean Algebra 2.3 Κανονικές Μορφές 2.4 Απλοποίηση µε Karnaugh Map 2.5 Αναπαράσταση µε K-maps 2.6 Πύλες NAND και NOR 2.7 Πύλες Exclusive OR 2.8 Ολοκληρωµένα 2 2. Συνδυαστικά Λογικά Ψηφιακά συστήµατα επεξεργάζονται δυαδικές πληροφορίες Συχνά αποτελούνται από ολοκληρωµένα κυκλώµατα (integrated circuits) περιέχουν 00δες εκατοµµύρια transistors και πολλά µέτρα µηκος σύρµα (πολύ µικρό πλάτος: nm! τρίχα/0000) Τransistors και σύρµατα σιλικόνης Βασικά κυκλώµατα ενος ψηφιακού συστήµατος µπορούν να περιγράφουν µε ΛογικέςΠύλες(Logic Gates: ΑΝD, OR, NOT) 3 2. Συνδυαστικά Λογικά 2.2 Βοοlean Algrebra Αφαιρετικότητα: δεν χρειάζεται γνώση ηλεκτρονικών ιδιοτήτων πυλών για περιγραφή/σχεδιασµό ψηφιακών συστηµάτων, µόνο λογικές ιδιότητες Μια πύλη εκτελεί µια πράξη στα εισαγόµενα για να παράξει ένα εξαγόµενο. Το εξαγόµενο χρησιµοποιείται στην είσοδο κάποιας πύλης. Mαθηµατική Θεωρία Λογικής (850s) Χρησιµοποιείται για περιγραφή δυαδικών λογικών κυκλωµάτων µε µαθηµατικές εκφράσεις επεξεργασία εκφράσεων ανάλυση και σχεδιασµό Πύλη Πύλη 5 6

2.2 υαδική Λογική υαδικές µεταβλητές παίρνουν δυο διακριτές τιµές: 0 και Μεταβλητές συµβολίζονται µε Α,Β,C,..,Z 3 Bασικοί Λογικοί Τελεστές ΑΝD Z=X. Y ή Z=XY OR Z=X+Υ NOT Ζ=Χ, Z = X (άρνηση, συµπλήρωµα) 2.2 Oρισµοί Τελεστών AND OR NOT 0. 0 = 0 0 + 0 = 0 0 = 0. = 0 0 + = = 0. 0 = 0 + 0 =. = + = ιαφορές δυαδικής λογικής και αριθµητικής... 7 8 2.2 Πίνακας Αλήθειας (Τruth Table) 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) Περιλαµβάνει όλους τους συνδυασµούς τιµών σε µία έκφραση και την αντίστοιχη λογική τιµή της έκφρασης n εισόδους, n στήλες και 2 n σειρές. Κάθε σειρά ένα µοναδικό δυαδικό συνδυασµό (0.. 2 n -) Λογικές Πύλες: ηλεκτρονικά κυκλώµατα µε έναή περισσότερα σήµατα εισόδου και ένα σήµα εξόδου. Τα σήµατα είναι σε ηλεκτρική µορφή (τάση) µε µια από δυο τιµές Oι τιµές αντιπροσωπεύουν πεδία τάσης, πχ high ή : 3 µε 5V low ή 0: -0.5 µε 2V Πρέπει να συµπεριφέρονται σύµφωνα µε τονπίνακα αλήθειας τους 9 0 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) /9 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 2/9 Γραφικά σύµβολα βασικών λογικών πυλών: Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος 2 2

2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 3/9 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 4/9 Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος 3 4 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 5/9 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 6/9 Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος 5 6 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 7/9 2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 8/9 Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµί) Χ:χρόνος Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος 7 8 3

2.2 Λογικές Πύλες (Logic Gates) 9/9 2.2 AND και OR πύλες µε περισσότερεςαπό2 εισόδους Χρονικό ιάγραµµα Y:τάση(τιµή) Χ:χρόνος Πολλαπλά σήµατα εισόδου 9 20 2.2 Βοοlean Συναρτήσεις (Functions) 2.2 Βοοlean Συναρτήσεις (Functions) Mία Βοοlean συνάρτηση αποτελείται από µια δυαδική µεταβλητή (που δεικνύει την συνάρτηση), το σύµβολο =, και µια Βοοlean έκφραση που αποτελείται από δυαδικές µεταβλητές, τις σταθερές 0,, παρενθέσεις και λογικούς τελεστές Η έκφραση ορίζει την σχέση µεταξύ δυαδικών µεταβλητών. F = X + Y Z όνοµα οροι συνάρτησης συνάρ. F είναι όταν. Η συνάρτηση για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών παίρνει τιµή ή 0 2 22 2.2 Βοοlean Συναρτήσεις (Functions) 2.2 Βοοlean Συναρτήσεις και Πίνακες Αλήθειας F = X + Y Z όνοµα οροι συνάρτησης συνάρ. Μια συνάρτηση µπορεί να οριστεί επίσης µε πίνακα αλήθειας, πχ F = X + Y Z 3 µεταβλητές εισόδου, 2 3 =8 σειρές F είναι όταν ο όρος Χ= ή οόροςυ Ζ=. Το Υ Ζ= όταν το Υ = (Υ=0) και Ζ= 23 24 4

2.2 Βοοlean Συναρτήσεις και Λογικά(Συνδυαστικά) 2.2 Βοοlean Συναρτήσεις και Λογικά(Συνδυαστικά) F= X + Y Z Κάθε συνάρτηση µπορεί να µετατραπεί σε κύκλωµα F= X + Y Z 25 26 2.2 Βοοlean Συναρτήσεις 2.2 Βασικά Ιδιώµατα της Άλγεβρας Βοοle Μια συνάρτηση µπορεί να περιγραφεί µε πίνακα αλήθειας µόνο µε ένα µοναδικό τρόπο Ηίδιασυνάρτησηµπορεί να εκφραστεί µε διάφορους τρόπους σε αλγεβρική µορφή (και σε κυκλωµα). Ποιός είναι ο καλύτερος τρόπος; µικρότερος αριθµός πυλών και εισόδων σε πύλες Πως επιτυγχάνεται; Αλγεβρική επεξεργασία, Κ-ΜΑP,Q-M, όχι πάντοτε εφικτό Αντιµετάθεση, προσεταιρισµός, επιµερισµός 27 28 2.2 υϊσµός (Duality) 2.2 Βασικές Ιδιότητες Iδιότητα άλγεβρας Boole: όταν µια σχέση ισχύει, ισχύει και η dual της Το dual µιας σχέσης το παίρνουµε µε να αλλάξουµε το πιο κάτω AND OR, 0 Προσοχή δεν λέει (και δεν ισχύει) οτι η σχέση και το dual της είναι ίσα Σχέσεις ισχύουν και όταν µια µεταβλητή αντικατασταθεί από µια έκφραση, πχ Χ + =, εάν το Χ = ΑΒ + C, τότε ΑΒ+ C + = (Χ+Υ) (Χ+Ζ) = Χ + ΥΖ, εάν το X=A, Y=B, Ζ = CD, τότε (Α+Β)(Α+CD)=A + BCD 29 30 5

2.2 DeMorgan s Theorem /6 2.2 DeMorgan s Theorem 2/6 Υπολογισµός συµπληρώµατος µιας έκφρασης Υπολογισµός συµπληρώµατος µιας έκφρασης X+Y (X+Y) X+Y (X+Y) Προσοχή στη σειρά αποτίµησης Προσοχή στη σειρά αποτίµησης 3 32 2.2 DeMorgan s Theorem 3/6 2.2 DeMorgan s Theorem 4/6 Υπολογισµός συµπληρώµατος µιας έκφρασης Υπολογισµός συµπληρώµατος µιας έκφρασης X+Y (X+Y) X Y X Y X. Y X+Y (X+Y) X Y X Y X. Y Προσοχή στη σειρά αποτίµησης Προσοχή στη σειρά αποτίµησης 33 34 2.2 DeMorgan s Theorem 5/6 2.2 DeMorgan s Theorem 6/6 Υπολογισµός συµπληρώµατος µιας έκφρασης Ισχύει για πολλαπλές µεταβλητές X +X 2 + +X n = X X 2 X n X+Y (X+Y) X Y X Y X. Y X X 2 X n = X + X 2 + +X n Προσοχή στη σειρά αποτίµησης 35 36 6

. () 2.2 Προτεραιότητα Τελεστών 2.2 Αλγεβρικός Χειρισµός (και Απλοποίηση) 2. NOT αν υπολογίζεται το συµπλήρωµα µιας έκφρασης πρέπει να αποτιµηθεί και µετά να υπολογιστεί το συµπλήρωµα της 3. ΑΝD 4. ΟR 5. Ίδια προτεραιότητα: αριστερά προς δεξιά 37 38 2.2 Aπλοποίηση 2.2 Eπαλήθευση F = Χ ΥΖ + Χ ΥΖ + ΧΖ = X Y (Z+Z ) + XZ = X Y () + XZ = X Y + XZ 39 40 2.2 Στόχοι Απλοποίησης 2.2 Παραδείγµατα Κάθε όρος σε µια boolean έκφραση απαιτεί µια πύλη και κάθε µεταβλητή σε ένα όρο (συµπληρωµένηήόχι) καθορίζει µια είσοδο στην πύλη (literal) Χ+ΧΥ ΧΥ+ΧΥ X X Στόχος της απλοποίησης είναι να µειωθούν oι όροι(terms) ή/και τα literals Χ+Χ Υ Χ(Χ+Υ) X+Y X!Προσοχή: υϊσµός! Αλγεβρική απλοποίηση µπορεί να πετύχει την πιο απλοποιηµένη έκφραση. εν υπάρχει συγκεκριµένη διαδικασία (trial and error!) (Χ+Υ)(Χ+Υ ) Χ(Χ +Υ) 4 42 7

2.2 Consensus Theorem (Θεωρία της Οµοφωνίας) ΧΥ + Χ Ζ+ΥΖ = ΧΥ + Χ Ζ ΧΥ + Χ Ζ + (Χ+Χ ) ΥΖ = όταν ΥΖ= τότε η το ΧΥ= ή τοχ Ζ= Dual της Θ. Οµοφω.: (X+Y)(X +Z)(Y+Z) = (X+Y)(X +Z) Απλοποίηση βάση θεωρήµατος: (A+B)(A +C)= 2.2 Συµπλήρωµα µιας Συνάρτησης F από το F πίνακα αλήθειας: εναλλαγή και 0 έκφραση: DeMorgan s Theorem DeΜorgan και υϊσµός: σχηµάτισε το dual και ανέτρεψε την τιµή κάθεµεταβλητής. ΑΝD OR, 0 και συµπλήρωσε κάθε literal πριν τις αλλαγές πρόσθεσε παρενθέσεις για κάθε όρο F = X YZ +X Y Z F = (X YZ ) (X Y Z) = (X+Y +Z)(X+Y+Z ) G= X(Y Z +YZ) G = X + (Y Z +YZ) = X + (Y+Z)(Y +Z ) 43 44 2.3 Πρότυπες Μορφές (Standard Forms) 2.3 Eλαχιστοροι(minterms) /5 Όροι µε γινόµενα/products(anded literals) και αθροίσµατα/sums (ored literals) Χ ΥΖ Χ +Υ+Ζ Minterm:γινόµενο µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n ελαχιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι Tυποποίηση Ελαχιστοροι και Μεγιστοροι 45 46 2.3 Eλαχιστοροι(minterms) 2/5 2.3 Eλαχιστοροι(minterms) 3/5 Minterm:γινόµενο µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n ελαχιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι Minterm:γινόµενο µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n ελαχιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι 47 48 8

2.3 Eλαχιστοροι(minterms) 4/5 2.3 Eλαχιστοροι(minterms) 5/5 Minterm:γινόµενο µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n ελαχιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι Minterm:γινόµενο µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n ελαχιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 ελαχιστοροι 49 50 2.3 Mεγιστοροι (Μaxterms) /5 2.3 Mεγιστοροι (Μaxterms) 2/5 Maxterm: άθροισµα µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n µεγιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 µεγιστοροι Maxterm:άθροισµα µε όλες τις µεταβλητές 2 n µεγιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 µεγιστοροι 5 52 2.3 Mεγιστοροι (Μaxterms) 3/5 2.3 Mεγιστοροι (Μaxterms) 4/5 Maxterm: άθροισµα µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n µεγιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 µεγιστοροι Maxterm: άθροισµα µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n µεγιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 µεγιστοροι 53 54 9

2.3 Mεγιστοροι (Μaxterms) 4/5 2.3 Ελαχιστοροι/Μεγιστοροι Maxterm: άθροισµα µε όλεςτιςµεταβλητές 2 n µεγιστοροι όταν έχουµε nµεταβλητές πχ µε 3 µεταβλητές Χ,Υ,Ζ: 8 µεγιστοροι Ο ελαχιστόρος είναι το συµπλήρωµα τουµεγιστόρου µε τον ίδιο δίκτυ. m j = M j, πχ m 3 =X YZ M 3 = (X YZ) = X+Y +Z 55 56 2.3 Έκφραση από πίνακα αλήθειας /3 2.3 Έκφραση από πίνακα αλήθειας 2/3 Ησυνάρτησηµπορεί να εκφραστεί σαν άθροισµα των ελαχιστόρων που παίρνουν τιµή στον πίνακα αλήθειας. Το άθροισµα όλωντωνminterms που η συνάρτηση παίρνει τιµή (sum of minterms) F= F=X YZ +X YZ+XY Z+XYZ F(X,Y,Z) = 57 58 2.3 Έκφραση από πίνακα αλήθειας 3/3 2.3 Συµπλήρωµα Έκφρασης Το άθροισµα όλωντωνminterms που η συνάρτηση παίρνει τιµή (sum of minterms) Εαν F = Σm(2,3,5,7) - µορφή άθροισµα γινοµ. τότε F =Σm( ) F=X YZ +X YZ+XY Z+XYZ=m2+m3+m5+m7 F(X,Y,Z) =m2+m3+m5+m7 = Σm(2,3,5,7) 59 60 0

2.3 Συµπλήρωµα Έκφρασης 2.3 Συµπλήρωµα Έκφρασης Εαν F = Σm(2,3,5,7) - µορφή άθροισµα γινοµ. Εαν F = Σm(2,3,5,7) - µορφή άθροισµα γινοµ. τότε F =Σm(0,,4,6) τότε F =Σm(0,,4,6) και F=ΠΜ() - µορφή γινόµενο άθροισµα. και F=ΠΜ(0,,4,6) - µορφή γινόµενο άθροισµα. 6 62 2.3 Θυµάστε... 2.3 Παράδειγµα 3/5 οποιαδήποτε έκφραση µπορεί να µετατραπεί σε πρότυπη µορφή µέσο του πίνακα αλήθεια της Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση µε άθροισµα ελαχιστορων E =Y +X Z µια λογική έκφραση µε n µοναδικές µεταβλητές έχει 2 n ελαχιστορους µια συνάρτηση µπορεί να εκφραστεί σαν άθροισµα ελαχιστορων (γινόµενο µεγιστορων) µια συνάρτηση που περιέχει όλους τους ελαχιστορους είναι ίση µε τηντιµή E(X,Y,Z)=Σm(0,,2,4,5) 63 64 2.3 Παράδειγµα 5/5 2.3 Πρότυπη Μορφή: Sum-of-Products Εκφράστε την πιο κατω συνάρτηση µε άθροισµα ελαχιστορωνe =Y +X Z Απλοποιηµένη έκφραση ενός αθροίσµατος ελαχιστόρων (sum-of-minterms) F =Σm(2,3,5,7) =X YZ +X YZ+XY Z+XYZ (SOM) =X Y + XZ (SOP) E(X,Y,Z)=Σm(0,,2,4,5) 65 66

2.3 Υλοποίηση SOP µε 2-levels 3/3 2.3 Εκφράσεις οχι σε µορφή SOP F = Y + X YZ +XY Μπορούν να µετατραπούν µε αλγεβρικούς χειρισµούς ή µέσο τεχνικής πινάκων. Κύκλωµα µε δύο επίπεδα (two-level circuit) Ποια είναι η καλύτερη επιλογή;;;; 3-levels ή 2-levels 67 68 Αξιολόγηση Κυκλώµατος Βάση Κόστους 2.3 Πρότυπη Μορφή POS(2 level) Αξιολόγηση συνάρτησης βάση του αριθµού των λογικών συµβόλων δεν ουλεύει καλά για όλα τα κυκλώµατα, πχ F = X(Y +Z)(X+Y+Z ) F = AB + C(D+E) F = AB + CD + CE Καλή αξιολόγηση γίνεται βάση των εισόδων στις πύλες (gate input) 69 70 2.4 Απλοποίηση µε πίνακεςκarnaugh Maps ή K-maps 2.4 Κ-Μaps µε 2 µεταβλητές 2/7 Γραφική µέθοδος απλοποίησης κάθε κελί ένας ελαχιστορος αναγνώριση µορφών σεέναπίνακακαιαπλοπ. απλοποίηση παράγει έκφραση σε SOP(POS) µορφή που µπορεί να υλοποιηθεί µε 2-levels συγκεκριµένη διαδικασία που παράγει την βέλτιστη(όχι απαραίτητα µοναδική) απλοποίηση Απλοποίηση ηση: ελάχιστους όρους και literals Αποτελεσµατική για µέχρι και 4 µεταβλητές m+m2+m3 7 72 2

2.4 Κ-Μaps µε 2 µεταβλητές 4/7 2.4 Κ-Μaps µε 2 µεταβλητές 5/7 ΧΥ m+m2+m3 ΧΥ m+m2+m3 73 74 2.4 Κ-Μaps µε 2 µεταβλητές 6/7 2.4 Κ-Μaps µε 2 µεταβλητές 7/7 Χ+Υ ΧΥ Χ+Υ m+m2+m3 75 76 2.4 K-maps µε 3 µεταβλητές 3/3 2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 2/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι µπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συµπληρωµένη και µη συµπληρωµένη µορφή (αυτά τα literals µπορούν να απλοποιηθούν) πχ m5+m7 = XY Z+XYZ = XZ (Y +Y) = XZ Οι τιµές των µεταβλητών ΥΖ αλλάζουν όπως στον κώδικα Grey. Οι τιµές δυο γειτονικών (οριζόντια/κάθετα) ελαχιστορων διαφέρουν µόνο σε ένα bit position (πχ 00-0) 77 78 3

2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 5/7 Oριζόντια ή/και κάθετα γειτονικοί ελαχιστοροι µπορούν να απλοποιηθούν γιατί περιέχουν literals σε συµπληρωµένη και µη συµπληρωµένη µορφή (αυτά τα literals µπορούν να απλοποιηθούν) m0+m+m2+m3 = X Y Z +X Y Z+X YZ +X YZ = X (Y Z +Y Z+YZ +YZ) = X 2.4 Βασική Ιδέα Κ-maps 7/7 ένα κελί: minterm δυο κελιά: όρο µε 2 literals τέσσερα κελιά: όρο µε literal οκτω κελιά: ;; 79 80 2.4 Παράδειγµα: Σm(2,3,4,5) 2/3 2.4 Παράδειγµα: Σm(2,3,4,5) 3/3 0 X XY 00 0 Z F = X Y+XY Y 0 X Y 8 στα κελιά µε ελαχιστορους της συνάρτησης καθορισµός του ελάχιστου αριθµού ορθογώνιων (µε,2,4,8, κελιά) που περιλαµβάνουν όλους τους ελαχιστορους κάθε ορθογωνιο αντιστοιχεί σε ένα (απλοποιηµένο) γινόµενο το γινόµενο αποτελείται απο τα ελάχιστα literals που περιλαµβάνουν το ορθογώνιο 82 2.4 Κριτήριο Γειτνίασης 2.4 Κριτήριο Γειτνίασης Τα κελιά ΕΝ πρέπει να είναι αναγκαστικά δίπλα στο Κ- map, απλός να διαφέρουν οι αντίστοιχοι ελαχιστοροι σε ένα bit position, πχ Σm(0,2,4,6) Τα κελιά ΕΝ πρέπει να είναι αναγκαστικά δίπλα στο Κ- map, απλός να διαφέρουν οι αντίστοιχοι ελαχιστοροι σε ένα bit position, πχ Σm(0,2,4,6) 0 00 0 Y 0 X Z 83 84 4

2.4 Σm(0,,2,3,6,7) /4 2.4 Σm(0,,2,3,6,7) 2/4 0 X Y 00 0 0 Z 85 86 2.4 Σm(,3,4,5,6) 3/4 2.4 υο βέλτιστες λύσεις: Σm(,3,4,5,6) 4/4 0 X 00 0 Y 0 Z F = X Z+XZ +XY ή F = X Z+XZ +Y Z υο συνδιαζµοί: 4 & 5 ή & 5 87 88 2.4 Έκφραση σε SOP µορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X Z+X Y+XY Z+YZ /5 2.4 Έκφραση σε SOP µορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X Z+X Y+XY Z+YZ 2/5 Χ Ζ 0 00 0 Y 0 Χ Υ 0 00 0 Y 0 X X Z Z 89 90 5

2.4 Έκφραση σε SOP µορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X Z+X Y+XY Z+YZ 3/5 2.4 Έκφραση σε SOP µορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X Z+X Y+XY Z+YZ 4/5 ΧΥ Ζ 0 00 0 Y 0 ΥΖ 0 00 0 Y 0 X X Z Z 9 92 2.4 Έκφραση σε SOP µορφή F(Χ,Υ,Ζ)=X Z+X Y+XY Z+YZ 5/5 2.4 Προτύπες Moρφές Εκφράσεων 0 X 00 0 Y 0 Z Ζ F = Z +X Υ Χ Υ 93 Αρχική SOP F(Χ,Υ,Ζ)= X Z+X Y+XY Z+YZ Στο K-MAP SOMinterms (SOP) F(Χ,Υ,Ζ)= X YZ+X Y Z+X YZ +XY Z+XYZ Τελική SOP F = Z+X Y 94 2.4 K-maps µε 4 µεταβλητές 2.4 K-maps µε 4 µεταβλητές Ίδια µέθοδος όπως µε µε 3 µεταβλητές ένα κελί: ελαχιστορος µε 4 literals δυο κελιά: όρος µε 3 literals τέσσερα κελιά: όρος µε 2 literals οκτώ κελιά: ορος µε literal δεκαέξι κελιά: συνάρτηση µε πάντοτε τιµή Κριτήριο Γειτονότητας: ελαχιστοροι διαφέρουν σε ένα bit position 95 96 6

2.4 F(W,X,Y,Z) = X Z 2/8 2.4 F(W,X,Y,Z)=Σm(0,,2,4,5,6,8,9,2,3,4) 3/8 97 98 2.4 F(W,X,Y,Z)=Σm(0,,2,4,5,6,8,9,2,3,4) 4/8 2.4 F(W,X,Y,Z)=Σm(0,,2,4,5,6,8,9,2,3,4) 5/8 F= 99 00 2.4 F=A B C +B CD +AB C +A BCD 6/8 2.4 F=A B C +B CD +AB C +A BCD 6/ CD C CD C ΑΒ ΑΒ B B Α Α D 0 D 02 7

2.4 F=A B C +B CD +AB C +A BCD 7/8 2.5 Συστηµατική Επεξεργασία Πινάκων Ηαπλοποιηµένη συνάρτηση πρέπει να συµπεριλαµβάνει όλους τους ελαχιστόρους. Καλά είναι οι όροι να µη ανήκουν σε δύο SOP. Implicant: όρος σε συζευκτική µορφή όπου µια συνάρτηση έχει τιµή για όλους τους ελαχιστόρους αυτού του όρου. F= Αν αφαιρούµε µια µεταβλητή από το Implicant και το αποτέλεσµα δεν είναι πάλε Implicant, τότε ό αρχικός όρος είναι Prime Implicant. Prime Implicant (PI): oορθογώνιο µε τοµέγιστο δυνατό µέγεθος σε ένα K-MAP που δεν περιλαµβάνεται σε πιο µεγάλο ορθογώνιο Essential Prime Implicant (EPI): οι ελαχιστόροι του δεν ανήκουν σε άλλο PI 03 04 2.5 Συστηµατική Επεξεργασία Πινάκων 2.5 F(A,B,C,D)=Σm(,3,4,5,6,7,2,4) CD C. Βρίσκουµε τουςprime Implicants. 2. Βρίσκουµε τουςessential Implicants. ΑΒ 3. Απλοποιηµένη µορφή: Άθροισµα Essential Implicants και όρων οι οποίοι δεν περιλαµβάνονται στους Essential Implicants. Α B 05 D 06 2.5 F(A,B,C,D)=Σm(,3,4,5,6,7,2,4) 2.5 Essential και nonessential PI Σm(0,5,0,,2,3,5) Essential PI: A D, BD Non-essential: A B F = A B C D +BC D+ABC +AB C+ {ACD or ABD} 07 08 8

2.5 Eπιλογή για nonepi Κανόνας Επιλογής: Ελαχιστοποίησε τα κοινά κελιά που έχουν οι ΡΙ µεταξύ τους. Στητελικήλύση, κάθε επιλεγόµενος ΡΙ πρέπει να συµπεριλαµβάνει ένα ελαχιστόρο που δεν συµπεριλαµβάνεται σε άλλο επιλεγόµενο ΡΙ. ΑΒ 2.5 nonepi επιλογή Σm(0,,2,4,5,0,,3,5) CD C Α B 09 D 0 2.5 nonepi επιλογή Σm(0,,2,4,5,0,,3,5) 2.5 Aπλοποίηση µε POS F : απλοποίηση 0 στο Κ-Μap - µορφή SOP συµπλήρωµα F - F σε µορφή POS F=A C +ABD+AB C+A B D Όταν έχουµε ένααπόf pos, F pos, F sop, F sop µπορούµε να παράξουµε τα άλλα 2 2.5 F(A,B,C,D)=Σm(0,,2,5,8,9,0) - F σε POS 2.5 F(A,B,C,D)=Σm(0,,2,5,8,9,0) - F σε POS CD C ΑΒ B Α F =, F = (dual και συµπλήρωµα literals) D 3 4 9

2.5 Συνθήκες Αδιαφορίας (don t-care conditions) 2.5 F(A,B,C,D)=Σm(,3,7,,5) d(a,b,c,d)=σm(0,2,5) Συγκεκριµένοι συνδυασµοί τιµών εισόδου που δεν συµβαίνουν ή όταν συµβούν δεν µας ενδιαφέρει τι θα συµβεί στην έξοδο πχ BCD 4 σήµατα εισόδου µα µονο 0 από τους 6 συνδυασµούς συµβαίνουν εικνύονται µε X στα K-maps, και µπορούν να υποθέσουµε πωςείναι0 ή (don t care minterms δεν χρειάζεται να απλοποιηθούν) ΑΒ Α CD X X C X B 5 D 6 2.5 F(A,B,C,D)=Σm(,3,7,,5) d(a,b,c,d)=σm(0,2,5) 2.6 Βασικές Πύλες για Υλοποίηση Ψηφιακών Συστηµάτων Απλοποίηση µε don t cares υο λύσεις όχι ίσες! F σε µορφή POS ; 7 8 2.6 Βασικές Πύλες για Υλοποίηση Ψηφιακών Συστηµάτων 2.6 Universal Πύλη: ΝΑND 9 20 20

2.6 Άλλα σύµβολα για NAND πύλες 2.6 2-level υλοποίηση SOP εκφράσεων µε NAND πύλες F=AB+CD 2 22 2.6 2-level υλοποίηση SOP εκφράσεων µε NAND πύλες F=AB+CD 2.6 2-level υλοποίηση SOP εκφράσεων µε NAND πύλες F=AB+CD 23 24 2.6 ιαδικασία Σχεδιασµού µε NAND 2.6 F(X,Y,Z)=Σm(,2,3,4,5,7) /3 Απλοποιηµένη έκφραση σε SOP µορφή ΝΑΝD πύλη για κάθε όρο µε τουλάχιστοδυοliterals (st level) ΝΑΝD ή ΝΟΤ-ΟR πύλη µε είσοδο τις εξόδους από το st level όροι µε έναliteral χρειάζονται NOT πύλη στο st level 25 26 2

2.6 F(X,Y,Z)=Σm(,2,3,4,5,7) 2/3 2.6 F(X,Y,Z)=Σm(,2,3,4,5,7) 3/3 27 28 2.6 Μultilevel ΝΑΝD κυκλώµατα 2.6 ιαδικασία για Multilelevel NAND κυκλώµατα ΑΝD µε ΝΑΝD (and-not) OR µε NAND (not-or) για κάθε µόνο bubble σε µια γραµµή insert ΝΟΤ πύλη ή συµπλήρωσε το σήµα εισόδου 29 30 2.6 Universal πύλες:νοr 2.6 Άλλα σύµβολα για NΟR πύλες 3 32 22

2.6 Υλοποίηση συναρτήσεων σε POS µορφή 2.6 Yλοποίηση συναρτήσεων σε POS µορφή Multilevel: παροµοια µε NAND 33 34 2.7 Πύλη ΧΟR 2.7 Ex-OR Ταυτότητες X Y = XY +X Y Χ Υ X Y X 0 = X X = X X Χ = 0 X Χ = X Y = X Y X Y = X Y X Y = Υ Χ (X Υ) Ζ = Χ (Υ Ζ) 35 36 2.7 ΧΟR υλοποίηση µε πύλεςnand 2.7 ΧΝΟR X Y = XY+X Y 37 38 23

2.7 Odd Function (XOR µε >2 inputs) 2.7 Parity bit XY Z +X YZ + X Y Z+XYZ = (XY +X Y)Z + (X Y +XY)Z = X Y Z µονός αριθµός σηµάτων εισόδου µε τιµή Πχ για ένα µήνυµα µε 3 bits (ΧΥΖ) µε even parity: P = X Υ Ζ (στο σηµείο αποστολής) Στο σηµείο παράληψης: C = P X Υ Ζ εάντοc είναι λάθος! 39 40 2.8 Ολοκληρωµένα 2.8 Xαρακτηριστικά (ηλεκτρονικές ιδιότητες) Ιntegrated Circuits σήµερα: από transistors και σύρµατα σιλικόνης περιέχεται σε ένα πλαστικό ή κεραµικό πακέτο. διασύνδεση µε pins (0s-000s):E/E, Vcc,Gnd κάθε ΙC µοναδικό κώδικα Eπίπεδα Ολοκλήρωσης SSI ~0,MSI ~00,LSI ~000,VLSI 0 4-0 8 Λογικές Οικογένειες : RTL,DTL,TTL,ECL,MOS,CMOS,BiCMOS,GaAs FanΟut: πόσα inputs µπορεί να ξεκινούν από ένα output Kατανάλωση ισχύος 4 42 2.8 Xαρακτηριστικά (ηλεκτρονικές ιδιότητες) 2.8 Θετική και Αρνητική Λογική Χρόνος Μετάδοσης (propagation delay: t PD ) t PHL : t αλλαγή στο input t PLH t αλλαγή στο output t PD = maximum (t PHL, t PLH ) Υποθέτουµε θετική λογική 43 44 24