Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή m m ή - όπου m, n φυσικοί ριθµοί κι n. n n Κάθε (τερµτιζόµενος δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός ριθµός µπορεί ν πάρει κλσµτική µορφή, δηλδή είνι ρητός. Άρρητοι ριθµοί ονοµάζοντι οι ριθµοί που δεν είνι ρητοί, δηλδή οι ριθµοί που δεν µπορούν ν γρφούν µε µορφή κλάσµτος. Οι άρρητοι ριθµοί έχουν άπειρ δεκδικά ψηφί µη περιοδικά. (Π.χ. π,, 5, 7. Οι πργµτικοί ριθµοί (R ποτελούντι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθµούς κι πριστάνοντι µε τ σηµεί ενός άξον, του άξον των πργµτικών ριθµών. Πρτηρούµε ότι µέσ στους Ρητούς Q ρίσκοντι οι Ακέριοι Ζ κι οι Φυσικοί Ν κι ότι µέσ στους Ακερίους Ζ ρίσκοντι οι Φυσικοί Ν, ενώ όλοι είνι οι πργµτικοί. R Η πόστση του σηµείου, που πριστάνει τον ριθµό πάνω στον άξον, πό την ρχή του άξον Ο λέγετι πόλυτη τιµή του κι συµολίζετι µε, είνι δε: πάντ!!!. Έτσι,,,,. Άρτιοι κέριοι είνι τ πολλπλάσι του. Π. χ., ±, ±, ± 6, ± 8,... Συµολίζοντι: κ (κ κέριος. Περιττοί κέριοι είνι οι κέριοι ριθµοί που δεν είνι πολλπλάσι του. Π. χ. ±, ±, ± 5,... Συµολίζοντι: κ (κ κέριος. Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΞΕΙΣ Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισµός Αντιµετθετική Προσετιριστική Επιµεριστική ( γ ( γ ( γ ( γ ( γ γ Ουδέτερο στοιχείο Αντίθετοι ριθµοί* ( Αντίστροφοι ριθµοί**, * Αντίθετοι λέγοντι οι ριθµοί που έχουν άθροισµ ** Αντίστροφοι λέγοντι οι ριθµοί που έχουν γινόµενο υο ριθµοί µε την ίδι πόλυτη τιµή κι διφορετικό πρόσηµο είνι ντίθετοι. Π. χ. : άρ οι - κι είνι ντίθετοι ( Επίσης, :, Ακόµ, ισχύουν. Αν γ δ τότε γ δ κι πρόσθεση & πολλπλσισµός ισοτήτων κτά µέλη γ δ. Αν τότε γ γ κι & ντίστροφ : Αν γ γ γ γ κι τότε γ γ, γ. Αν τότε ή, οπότε ν κι µόνο ν κι Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΥΝΑΜΕΙΣ ύνµη µε άση έν πργµτικό ριθµό κι εκθέτη έν φυσικό ριθµό ν, που συµολίζετι µε ν, λέµε το γινόµενο ν πργόντων ίσων µε τον ριθµό δηλδή: ν... ν πράγοντες Ορίζουµε κόµη :, ν ν, Γι τις δυνάµεις µε εκθέτες κέριους ριθµούς ισχύουν οι ιδιότητες: µ ( ν ν µ ν ν µ ν ( µν ν µ ν : ν ν ( ν ν ( ( µ ν ν µ ν Πρτηρήσεις Κάθε ριθµός µπορεί ν γρφεί ως δύνµη µε εκθέτη το Γι ν ορίζετι µι δύνµη µε άση το, πρέπει ο εκθέτης ν ν είνι φυσικός διφορετικός πό το. κ λ Αν < κι, τότε κ λ. Γι δυνάµεις µε άση τον ριθµό, ( κ εκθέτη ν κέριο, έχουµε : o o ν ν ν ( (( ( ( o Είνι ν ( ν ν ν ( κι ν (άρτιος εκθέτης ν ν ( a ( a o ν, κι τότε ν (περιττός εκθέτης Πρτήρηση: Σε κλάσµτ όπου οι ριθµητές κι πρνοµστές είνι πργοντοποιηµένοι µπορούµε ν µετφέρουµε µι µετλητή πό ριθµητή σε πρνοµστή κι ντίστροφ λλάζοντς το πρόσηµο του εκθέτη. Πρδείγµτ: γ γ γ, γ Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΡΙΖΕΣ Τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθµού λέµε τον θετικό ριθµό που ότν υψωθεί στο τετράγωνο µς δίνει τον ριθµό κι συµολίζετι µε. Ορίζουµε κόµη :. Πρτηρήσεις εν ορίζετι τετργωνική ρίζ ρνητικού ριθµού, γιτί δεν υπάρχει ριθµός που το τετράγωνο του ν είνι ρνητικός ριθµός. Το σύµολο έχει νόηµ ότν. Αν τότε ( κι Γι κάθε πργµτικό ριθµό, ισχύει Ιδιότητες Αν κι τότε Αν a κι > τότε Αν κι τότε Πρτηρήσεις Αν, > τότε Είνι ότν ένς τουλάχιστον πό τους, είνι. Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ποιοι πό τους πρκάτω ριθµούς είνι άρρητοι; a,5 b c 7 d,666. Ν υπολογίσετε την τιµή της πράστσης Α a ( 5a b ( b a 8 γι - κι b - Β Γ a( a b(b ab ν a b a(6a 7 b(b 7 ab ν a b 5. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις Α Β [( 6 : ] 8 [( ] 6. Ν γράψετε τις πρκάτω πρστάσεις ως δυνάµεις µε το άση το ( i ii ( a a a a ( 5 iii [( ( a ] ( a a iv [( a a a] : ( a : a v [ a ( a a a ] 5. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις (µε την υπόθεση ότι,, z, ω a ( b c ( 5 ( 8 z ω d 6 z ω 5 e [( ( ( ] 5 5 : [( ( ] Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 6. Ν ποδείξετε ότι οι ριθµοί 6 a κι ( ( a b a ( b είνι ντίστροφοι 7. Αν οι ριθµοί w κι φ είνι ντίθετοι ν ποδείξετε ότι κι οι ριθµοί wκι φ είνι ντίθετοι. 8. Αν οι ριθµοί Α z κι Β z είνι ντίθετοι ν δείξετε ότι z. 9. Ν ρεθεί το λάθος στο συλλογισµό : Αν a< a τότε a a < άρ <. a a. Ν χρκτηρίσετε κάθε µι πό τις πρκάτω περιπτώσεις ως Σωστό (Σ ή Λάθος (Λ (i Οι ριθµοί κι - είνι ντίστροφοι (ii Κάθε άρρητος πργµτικός ριθµός δεν µπορεί ν γρφεί ούτε ως δεκδικός ούτε ως περιοδικός δεκδικός (iii Κάθε φυσικός ριθµός είνι κι κέριος (iv Κάθε πργµτικός ριθµός είνι ρητός (v Κάθε ρητός ριθµός είνι κι κέριος (vi Ο ριθµός δεν έχει ντίθετο (vii Ο ριθµός έχει ντίστροφο (viii Κάθε κέριος ριθµός είνι ρητός. (i Κάθε κέριος ριθµός είνι φυσικός. ( Το είνι άρτιος. (i Όλοι οι ριθµοί έχουν ντίστροφο. (ii Ο ριθµός είνι ρνητικός ριθµός. (iii Αν δυο ριθµοί είνι ντίθετοι, τότε το γινόµενο τους είνι ρνητικός. (iv Αν δυο ριθµοί είνι ντίστροφοι, τότε είνι οµόσηµοι. (v Αν το άθροισµ δυο ριθµών, είνι ρνητικός ριθµός κι το πηλίκο τους θετικός ριθµός, τότε οι ριθµοί είνι ρνητικοί.. Αν < κι > ν ρεθεί το πρόσηµο της πράστσης Α ( ( Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις (i 5 (ii ( 7 (iii 7 (iv 6. Ν συµπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες a... ν a... a... a b.... Ν πλοποιηθούν οι ρίζες πό τους πρνοµστές των κλσµάτων (ρητοποίηση προνοµστού (i 5 (iv (ii 5 (v (iii 6 (vi 5 8 5. Ν κάνετε τις πράξεις (i ( (ii ( ( (iii 5 5 (iv 5 5 (v 5 5 (vi ( 75( 8 7 (vii 7 5 7 6 Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 6. Ν συµπληρώσετε τις ισότητες : i (...... ii 5(...... iii (... 7. Αν 5 κι ν υπολογίσετε τις πρστάσεις i K 5 ii M 5( 8. Αν οι ριθµοί δ κι γ είνι ντίθετοι ριθµοί, ν ποδείξετε ότι κι οι ριθµοί γ κι δ είνι ντίθετοι. 9. Αν οι ριθµοί, είνι ντίθετοι κι οι, ντίστροφοι ν υπολογίσετε την πράστση ( ν ν. Ν πλοποιήσετε την πράστση : A ν ν 6. Γι τις διάφορες τιµές του κέριου ριθµού ν, ν υπολογίσετε τις πρστάσεις : ν A (, (5 Β ν 5 ν. Αν οι ριθµοί, είνι ντίστροφοι, ν ρείτε την τιµή της πράστσης A ( (. Ν γράψετε κάθε πράστση ως µι δύνµη A, 5 Γ 8, B, 6 5 6 5 Σελ. 8
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν υπολογίσετε την τιµή των πρστάσεων A 5 6 8 8 B ( ( 5. Ν ποδείξετε ότι : i ii 6 8 5 6 5 6. Ν κάνετε τις πράξεις : i ( 8 5 ii (5 7 iii ( ( 7. Ν γράψετε την πράστση A 8 6 5 στη µορφή όπου, κέριοι ριθµοί. 8. Ν ποδείξετε ότι :... 5 Σελ. 9
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ Αριθµητική πράστση ονοµάζετι η πράστση που περιέχει πράξεις µετξύ ριθµών. Π. χ. 6 5 Αλγερική λέγετι η πράστση η οποί περιέχει πράξεις µετξύ ριθµών κι µετλητών (γράµµτ. Π. χ.: χ, a, χ, 5, 6 Μι λγερική πράστση λέγετι κέρι ότν µετξύ των µετλητών της σηµειώνοντι µόνο οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού (οι δυνάµεις έχουν θετικούς εκθέτες. Π. χ. 5 Αν ντικτστήσουµε τις µετλητές µε ριθµούς κι κάνουµε τις πράξεις τότε προκύπτει ένς ριθµός που λέγετι ριθµητική τιµή της λγερικής πράστσης. Π. χ. ν έχω την λγερική πράστση χ κι ντικτστήσω το χ τότε η ριθµητική τιµή της λγερικής πράστσης χ είνι 6 Μονώνυµο ονοµάζετι η κέρι λγερική πράστση που οι ριθµοί κι οι µετλητές συνδέοντι µόνον µε τη πράξη του πολλπλσισµού. Π. χ., ψχ, 5a Ο ριθµητικός πράγοντς, που συνήθως γράφετι πρώτος, λέγετι συντελεστής του µονωνύµου ενώ το γινόµενο των µετλητών λέγετι κύριο µέρος του µονωνύµου. Π. χ. Αν έχω a b τότε ο συντελεστής είνι το - κι κύριο µέρος το a b Βθµός του µονωνύµου ως προς µι µετλητή λέγετι ο εκθέτης της µετλητής υτής. Π. χ. Ο θµός του µονωνύµου ως προς τη µετλητή είνι κι ως προς είνι. Βθµός του µονωνύµου ως προς όλες τις µετλητές του λέγετι το άθροισµ των εκθετών των µετλητών του. Π. χ. Ο θµός του ως προς, είνι ή είνι ου θµού. υο ή περισσότερ µονώνυµ που έχουν το ίδιο κύριο µέρος λέγοντι όµοι µονώνυµ. Π. χ.,. Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Ίσ λέγοντι τ όµοι µονώνυµ που έχουν τον ίδιο συντελεστή. Π. χ., Αντίθετ λέγοντι τ όµοι µονώνυµ που έχουν ντίθετους συντελεστές. Π. χ., Στθερό µονώνυµο λέµε οποιοδήποτε ριθµό. Π. χ. -5, 6, Μηδενικό µονώνυµο λέµε το στθερό µονώνυµο o Αν το µονώνυµο είνι µηδενικό τότε δεν ορίζετι θµός υτού. o Αν το µονώνυµο είνι στθερό κι όχι µηδενικό, τότε είνι µηδενικού θµού. Το άθροισµ όµοιων µονωνύµων είνι έν µονώνυµο όµοι µε υτά κι έχει συντελεστή το άθροισµ των συντελεστών τους. Π. χ. 5 (5 Το γινόµενο µονωνύµων είνι έν µονώνυµο µε συντελεστή το γινόµενο των συντελεστών τους κι κύριο µέρος το γινόµενο όλων των µετλητών τους µε εκθέτη κάθε µετλητής το άθροισµ των 5 εκθετών της. Π. χ. z ( ( z 6 z Πολυώνυµο λέγετι µι λγερική πράστση που είνι άθροισµ νόµοιων µονωνύµων. Π. χ. a b c, a 5 Όρος του πολυωνύµου λέγετι κάθε µονώνυµο που περιέχετι στο πολυώνυµο. Έν πολυώνυµο που δεν έχει όµοιους όρους λέγετι o διώνυµο ότν έχει δυο όρους (π. χ. 5 κι o τριώνυµο ότν έχει τρεις όρους. (π. χ. 8 z 5 Βθµός ενός πολυωνύµου ως προς µι ή περισσότερες µετλητές του είνι ο µεγλύτερος πό τους θµούς των όρων του. Π. χ. Το πολυώνυµο 6 5 είνι 6 ου θµού ως προς, ου θµού ως προς κι 6 ου θµού ως προς, Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Στθερό πολυώνυµο λέγετι κάθε ριθµός P ( c, c Π. χ. -9, 8, 5 Μηδενικό πολυώνυµο λέγετι ο ριθµός µηδέν. P ( Ανγωγή οµοίων όρων ονοµάζετι η ντικτάστση των οµοίων όρων µε το άθροισµ τους. Π. χ. ab ab ( ab ( 5ab υο πολυώνυµ είνι ίσ ότν έχουν όρους ίσ µονώνυµ Π. χ. P( γ δ P' ( ' ' γ ' δ ' είνι ίσ,, γ γ, δ δ Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ποι πό τ πρκάτω µονώνυµ είνι όµοι i.,,,,,, ii. a, a b, ba. Ν ρεθούν τ κ, λ ώστε τ µονώνυµ ν είνι όµοι k, λ z 6 5 µ z λ, k. Ποιες πό τις πρκάτω λγερικές πρστάσεις είνι µονώνυµ κι ποιες όχι; Από τ µονώνυµ, ποι είνι όµοι; a a b 5 ω c ( 5 ω d ( ω e 7 a 5ω f g h i ω ω. ίνετι το µονώνυµο z. Ν ρείτε i. ii. το συντελεστή κι το κύριο µέρος του µονωνύµου το θµό του µονωνύµου i. ως προς, ii. ως προς,, iii. ως προς,, z iii. την ριθµητική τιµή του µονωνύµου γι,, z 5. Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 5. Ν ρείτε τις τιµές των λ, µ, ν ώστε τ µονώνυµ i. v, 5 µ ν είνι όµοι ii. λ, 5 µ ν είνι ίσ iii. (λ, µ λ ν είνι ντίθετ 6. Ν προσδιορίσετε την τιµή του φυσικού ριθµού λ ώστε το µονώνυµο λ λ (i Ν είνι µηδενικού θµού ως προς (ii Ν είνι ου θµού ως προς, (iii Ν έχει ριθµητική τιµή 6 γι κι 7. Ν προσδιορίσετε την τιµή του φυσικού ριθµού ν, ώστε το µονώνυµο v ν έχει i. ριθµητική τιµή 5 γι κι ii. ριθµητική τιµή 7 γι κι 8. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις µε (Σ ν είνι σωστές ή µε (Λ ν είνι λνθσµένες. i. Το γινόµενο όµοιων µονωνύµων είνι µονώνυµο όµοιο προς υτά ii. Το πηλίκο όµοιων µονωνύµων είνι µονώνυµο. iii. Το άθροισµ όµοιων µονωνύµων είνι µονώνυµο όµοιο προς υτά. iv. Το άθροισµ ντίθετων µονωνύµων είνι το µηδενικό µονώνυµο. v. Το πηλίκο µονωνύµων είνι µονώνυµο. i ii iii iv v 9. Ν ρείτε τους φυσικούς ριθµούς λ, µ ώστε η λγερική πράστση µονώνυµο. µ λ 6 ν είνι Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν κάνετε τις πράξεις i. ii. iii. 5ab ab b κ λ a λ κ κ λ. Ν υπολογίσετε τ γινόµεν i. ω ω iv. ( 5 ii. χ χ v. ( γ 5 iii. ( 5. Ν υπολογίσετε τ πηλίκ 5 i. 5 ii. 6 : ( iv. 5 8 γ : ( 6 v. : ( ω 5 5 iii. 6 : (. Ν ρείτε τις τιµές των κ, λ, µ ώστε ν ισχύουν οι ισότητες i. ii. ( κ ( λ µ 5 [(κ ] ( 6 λ µ λ µ 7 9. Ν ρείτε τις τιµές των κ, λ, µ ώστε ν ισχύουν οι ισότητες i. ii. ( : ( µ λ κ λ κ [(µ ]: ( µ λ κ λ 5 5. Αν P ( 5 i. Ν ρείτε την P ( ii. Ν δείξετε ότι P ( 7 P( 6. Ν ρείτε το θµό των πρκάτω πολυωνύµων i. P( λ ii. Q ( ( λ ( λ Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 7. ίνετι το πολυώνυµο P( ( γ (µετλητή του πολυωνύµου το, τ,, γ είνι στθεροί ριθµοί - πράµετροι i. Ν ρείτε τις τιµές των, ώστε το P( ν είνι στθερό πολυώνυµο. ii. Αν το P( είνι το µηδενικό πολυώνυµο ν ρείτε τις τιµές των,, γ iii. Ν ρείτε τις τιµές των,, γ ώστε το P( ν είνι ίσο µε το Q ( 5. 8. Αν A( ( κι B( γ ν ρείτε τις τιµές των,, γ ώστε τ πολυώνυµ A( κι B( ν είνι ίσ. 9. Τ πολυώνυµ P(, Q(, R( έχουν θµούς,, ντίστοιχ. i. Ν ρείτε το θµό του πολυωνύµου H ( P( Q( ii. Αν το πολυώνυµο A( P( R( είνι µη µηδενικό, τι θµό µπορεί ν έχει;. Αν P( ν προσδιορίσετε το πολυώνυµο Q P P ( ( (. Ν ποδείξετε ότι ν πό το εµδόν 5 7 ενός ορθογωνίου, φιρέσουµε τ εµδά 7, 5 δυο άλλων ορθογωνίων, θ ρούµε το εµδόν τετργώνου πλευράς 5.. Ν συµπληρώσετε τ πρκάτω κενά ώστε ν προκύψουν ληθείς προτάσεις: i. Αν το πολυώνυµο P( έχει θµό κι το πολυώνυµο Q( έχει θµό, τότε το πολυώνυµο P( Q( έχει θµό... ii. Αν το πολυώνυµο P( Q( έχει θµό 5 κι το πολυώνυµο P( έχει θµό, τότε το πολυώνυµο Q( έχει θµό... iii. Αν το πολυώνυµο P( έχει θµό τότε το πολυώνυµο Q( [ ( ] P έχει θµό..... Ν κάνετε τις πράξεις i. ( 5 iv. ( ( ii. ( (5 ( iii. ( ( v. ( ( Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν ποδείξετε τις ισότητες i. 5 ( (6( ii. ( ( ( 5. Αν P( (( ( κι πολυώνυµ P( κι Q( ν είνι ίσ. Q( γ δ ν ρείτε τις τιµές των,, γ, δ ώστε τ 6. Αν P( ν ρείτε τ πολυώνυµ i. Q( P( ii. R ( P( iii. H ( P( P( 7. Με ποιο πολυώνυµο πρέπει ν πολλπλσιάσουµε το 5 ώστε το γινόµενο τους ν είνι το πολυώνυµο 9 8. Ν κάνετε τις πράξεις i. 8 9 ii. 8 iii. a ( a ( iv. [( ( ω ] :[( ω ] v. [( ( γ ] :[( γ ] vi. ( ω : ( ω 9. Ν πλειφθούν οι πρενθέσεις κι ν γίνει νγωγή οµοίων όρων Α ( ( ( Β ( a b(a b (a b( a b b( a b Γ ( ( ( 5( ( ( ( 5 Ε ( a a ( a a ( a a Ζ 5 5 ( ( Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν κάνετε τις πράξεις i. ( ( ( ( ii. ( ( ( iii. ( ( (( ( iv. ( ( v. ( ( vi. ( ( vii. ( (5 viii. ( ( 5 i. ( (. ( ( Σελ. 8
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ Τυτότητ είνι µι ισότητ που περιέχει µετλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιµές των µετλητών υτών. ( ( Τετράγωνο θροίσµτος Απόδειξη : Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις ( ( ( (ορισµός δύνµης (διπλή επιµεριστική ιδιότητ (νγωγή οµοίων όρων Πράδειγµ: ( 7 ( ((7 (7 (εφρµογή τυτότητς 8 9 (ιδιότητες πολ/µού & δυνάµεων ( ( Τετράγωνο διφοράς Απόδειξη : Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις ( ( ( (ορισµός δύνµης (διπλή επιµεριστική ιδιότητ (νγωγή οµοίων όρων Πράδειγµ: ( a (a (a( ( (εφρµογή τυτότητς a a 9 (ιδιότητες πολ/µού & δυνάµεων ( ( ( Απόδειξη Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις ( ( ιφορά δυο τετργώνων ή Γινόµενο θροίσµτος επί διφορά (διπλή επιµεριστική ιδιότητ (νγωγή οµοίων όρων Πράδειγµ: ( ( ( ( (εφρµογή τυτότητς 6 9 (ιδιότητες δυνάµεων Σελ. 9
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ( ( Κύος θροίσµτος Απόδειξη Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις ( ( ( (ιδιότητ δυνάµεων ( ( (εφρµογή τυτότητς Πράδειγµ: (γινόµενο πολυωνύµων (νγωγή οµοίων όρων ( ( ( ( (( ( (εφρµογή τυτότητς 6 9 8 ( (( (ιδιότητες δυνάµεων 6 9 8 6 (ιδιότητες πολλπλσισµού (5 ( Κύος διφοράς Απόδειξη Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις ( ( ( (ιδιότητ δυνάµεων ( ( (εφρµογή τυτότητς Πράδειγµ: (γινόµενο πολυωνύµων (νγωγή οµοίων όρων ( 5 ( ( 5 ( 5 5 (εφρµογή τυτότητς 6 ( 5 ( 55 (ιδιότητες δυνάµεων 6 5 75 5 (ιδιότητες πολλπλσισµού Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος (6 ( ( Άθροισµ δυο κύων Απόδειξη Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις (γινόµενο δύο ( ( πολυωνύµων (νγωγή οµοίων όρων Πράδειγµ: 8 ( ( (εφρµογή τυτότητς ( ( Απόδειξη (7 ( ( ιφορά δυο κύων Πίρνουµε το ο µέλος κι κάνουµε πράξεις ( ( Πράδειγµ: (γινόµενο δύο πολυωνύµων (νγωγή οµοίων όρων ( ( (εφρµογή τυτότητς ( ( Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Σηµείωση : Όπως είδµε στις πρπάνω ποδείξεις των τυτοτήτων, ξεκινήσµε πό έν µέλος τους, κάνµε πράξεις κι κτλήξµε στο άλλο. Αυτός όµως δεν είνι ο µονδικός τρόπος που χρησιµοποιούµε στις ποδείξεις διάφορων σχέσεων. Πολλές φορές µς διευκολύνει ν µετσχηµτίσουµε τη σχέση που θέλουµε ν ποδείξουµε σε άλλη ισοδύνµη της (π. χ. Κάνοντς πράξεις κι στ δυο µέλη, µέχρι ν κτλήξουµε σε µι σχέση που θ µς είνι γνωστό ότι ληθεύει. Έτσι, θ ληθεύει κι η ρχική. Πράδειγµ: Ν ποδειχθεί ότι : ( ( Απόδειξη ( ( Κάνουµε πράξεις κι στ δυο µέλη ( Κάνουµε νγωγές οµοίων όρων Είνι προφνές ότι ισχύει, άρ ισχύει κι η ρχική Σηµείωση : Ένς κόµ τρόπος γι ν ποδεικνύουµε τυτότητες είνι: Ν πάρουµε το ο µέλος κι κάνοντς πράξεις ν κτλήξουµε σ έν ποτέλεσµ. Πίρνουµε κι το δεύτερο µέλος κι κάνοντς πράξεις κτλήγουµε στο ίδιο ποτέλεσµ. Άρ, το ο µέλος είνι ίσο µε το ο. Πράδειγµ Ν ποδειχθεί η τυτότητ : (κ (κ 5( κ ( κ Απόδειξη Το ο µέλος διδοχικά γράφετι : (κ (κ (9κ κ (κ κ 9 9κ κ κ κ 9 5κ 5 Το ο µέλος διδοχικά γράφετι : 5( κ ( κ 5( κ 5κ 5 Εποµένως, (κ (κ 5( κ ( κ Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.... ( 8. ( ( 9. ( (. ( ( (. ( ( 5. ( (. ( γ γ γ γ 6. ( (. ( γ γ γ γ 7. ( ( Αποδείξεις. ( ( (. ( ( (. ( ( ( ( (. ( ( ( ( ( 5. 6. 7. ( ( ( ( ( ( ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. ( γ (( γ ( ( γ γ γ γ γ γ γ γ. ( γ (( γ ( ( γ γ γ γ γ γ γ γ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!! ( κι ( Πράγµτι: ( 5 5 ( 5 5 Ενώ 9 κι ενώ 8 7 5 Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ ή Λάθος (Λ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( γ γ ( γ γ γ γ ( ( ( ( ( (. Ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση A. Αν (, τότε i κι ii iii ή B. Αν (, τότε i κι ii iii ή C. Αν ( κι,,τότε οι ριθµοί, δεν είνι i Ετερόσηµοι ii Αντίθετοι iii Οµόσηµοι D. Αν κι (, τότε i κι ii ή iii > E. Αν (, τότε οι ριθµοί, δεν είνι i Οµόσηµοι ii Αντίστροφοι iii Αντίθετοι Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ρείτε τ νπτύγµτ i ( iii ( ii ( iv ( iii ( 6 v ( 5 iv ( vi ( v vi vii viii i i ii ( ( ( ( ( 5 ( ( ( vii ( ( viii ( ( i ( 5( 5 ( ( (9 i ii ( a b ( a b iii ( ( 9 iv ( ( ( (. Ν κάνετε τις πράξεις i ii ( ( ( ( ( 5 (( ( iii ( ( ( ( 6 iv ( a b ( a b (a b(a b v vi vii viii ( a b ( b a ( a b a b κ λ ( κ λ ( ( ( 5( 5 ( i ( ( ( ( ( ( ( Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν ποδείξετε τις τυτότητες i. ( ( ii. ( ( ( ( iii. ( ( iv. ( ( 6 v. ( ( vi. ( ( ( 5. Ν ποδείξετε ότι i. ( ( ( ( ii. ( ( ( ( iii. ( ( ( 6 ( iv. ( ( ( ( v. ( (( 8 6 vi. ( γ ( γ ( γ vii. ( z( z z 5. Ν µεττρέψετε τ πρκάτω κλάσµτ σε ισοδύνµ µε ρητό πρνοµστή. i. ii. iii. 6. Ν ρείτε τ νπτύγµτ i. ( γ ( γ ii. ( ( ( iii. ( 6( 6 v. ( ( vi. ( ( vii. ( ( iv. ( 5 ( 5 Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 7. Ν δείξετε ότι το πολυώνυµο P( ( ( ( ( είνι µηδενικό. 8. Ν ρείτε τ νπτύγµτ 9. i. ( ii. ( z iii. ( i. Ν κάνετε τις πράξεις : ( ( ( 8 ii. Ν υπολογίσετε τον ριθµό : 9997 999. Αν κι ν υπολογίσετε τις πρστάσεις : i. ii. iii.. Αν, κι γ ν δείξετε ότι : ( γ. Αν κι ν υπολογίσετε τις πρστάσεις i. iii. ( ii. iv.. Αν 5ν υπολογίσετε τις πρστάσεις i. ii. iii. iv. ( ( ( ( 5 65. Αν κι ν δείξετε ότι οι ριθµοί, είνι ντίστροφοι. 8 5. Ν ποδείξετε ότι το πολυώνυµο P( ( ( (5 είνι στθερό 6. Αν οι ριθµοί, είνι ντίστροφοι ν υπολογίσετε την πράστση A ( ( Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 7. Αν ν υπολογίσετε τις πρστάσεις i. ii. iii. iv. 5 5 v. 6 6 8. Αν ν δείξετε ότι η πράστση Α ( ( είνι νεξάρτητη των, 9. Αν z κι z z ν υπολογίσετε την πράστση z. Πρτηρήστε τις ισότητες : 5 7 5 9 i. Τι συµπέρσµ γάζετε π υτές; ii. Μπορείτε ν ρείτε τη διφορά 9999 χωρίς ν υπολογίσετε τις δυνάµεις; iii. Ν διτυπώσετε έν ισχυρισµό (µι εικσί γι τη διφορά των τετργώνων δυο διδοχικών κερίων ν κι ν. iv. Ν ποδείξετε τον ισχυρισµό που διτυπώστε.. Αν i. Ν δείξετε ότι ο ντίστροφος του είνι ο συζυγής του: ii. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: a. b. Σελ. 8
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Η µεττροπή ενός πολυωνύµου ή µις λγερικής πράστσης πό άθροισµ σε γινόµενο λέγετι νάλυση σε γινόµενο πργόντων ή πλά πργοντοποίηση. Η πργοντοποίηση είνι πολύ χρήσιµη στις πράξεις των κλσµάτων που οι όροι τους είνι πολυώνυµ, στην επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων νωτέρου του πρώτου θµού κι λλού. (Η πργοντοποίηση ενός πολυωνύµου πρέπει ν φθάνει µέχρι την εύρεση των «πρώτων» πργόντων του. ΤΡΟΠΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ Ότν όλοι οι όροι ενός πολυωνύµου έχουν κοινό πράγοντ το πολυώνυµο υτό µεττρέπετι σε γινόµενο µε τη οήθει της ισότητς της επιµεριστικής ιδιότητς. Πρδείγµτ: ( ( 6 ( ( ( ( ( 7( 7( ( ( (7. ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ Εξάγουµε κοινό πράγοντ κτά οµάδες Πρδείγµτ: ( ( ( ( ( ( ( 5 6 5 ( ( ( (5. ηλδή, γάζοντς κοινό πράγοντ πό κάθε οµάδ, πρέπει ν προυσιάζετι το ίδιο πολυώνυµο µέσ στην κάθε πρένθεση γι όλες τις οµάδες. Άρ, υτό το νέο πολυώνυµο είνι ο κοινός πράγοντς. Σελ. 9
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Σελ.. ΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Χρήση της τυτότητς : ( ( Πρδείγµτ ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( (. ΙΑΦΟΡΑ Ή ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ Χρήση των τυτοτήτων : ( ( ( ( Πρδείγµτ ( ( 9 ( ( 7 5. ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ Χρήση των τυτοτήτων : ( ( Πρδείγµτ: ( ( ( ( ( ] ( [( ( ( ( ( 6 9
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 6. ΤΡΙΩΝΥΜΟ Γι ν πργοντοποιήσουµε έν τριώνυµο της µορφής γ ψάχνουµε δυο ριθµούς τέτοιους ώστε κ λ κι κ λ γ ισχύει: ( κ ( λ ( κ λ κλ Πρδείγµτ Θέλουµε: κ λ κι κ λ δηλδή κ 5κι λ Άρ, ( 5( ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΚΟΜΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ 7. ΙΑΦΟΡΑ Ή ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΙΣΟΥ ΕΚΘΕΤΗ Πρδείγµτ ( ( ( ( ( 6 6 ( ( ( [( ( ] ( ( ( [( ] ( [( ] ( ( ( 6 6 ( ( ( ( ( ( ( ( Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 8. ΤΕΛΕΙΟΣ ΚΥΒΟΣ Χρήση των τυτοτήτων : ( ( Πρδείγµτ ( ( ( ( ( ( ( [( ( ] ( ( 8 9. ΙΑΣΠΑΣΗ Ή ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗ ΟΡΩΝ Πράδειγµ ( ( ( ( ( Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i λ λλz ii iii iv 6 6 5 γ 5 5 v 5 vi λ 5 5λ 5λ vii λ ( ( viii i ( 5( λ( 6 6 i 6 ii ( ( iii (. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i ii iii iv 8 z v ( ( vi ( vii ψ ψ ψ viii a aγ a γ i 8 5 χ χ ψ 6ψ i χ χψ χψ ψ. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i 9 viii 8 ii 6 iii 5 iv ( v vi vii 9 ( a b ab 9 6 i λ 6 5µ i 8 6 ii iii iv 5 5 ( 9( 6( Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i v 6 5 ii 8 iii 7 iv 7 vi vii 8 7 a a ( 5. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i 5 ii v 7 6 vi iii 6 7 iv 8 5 vii 5 viii 9 i 6ab 9b ( ( a i 6 9 ii 5 iv 9 v 6 9 iii 5 vi vii a a 9 9 6. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i ii iii iv v 6 5( 7 5 6 5( ( Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 7. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i ( ( ii ( ( ( ( 9 iii ( ( ( iv v 9 8 vi 9 9 vii viii 5 5 8. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i 6 9, ii 8 iii iv 9( 6( 9. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i ii 9 6 ( iii ( γ γ. Ν δείξετε ότι ισχύουν i 5 6 ii. Ν δείξετε ότι ο ριθµός 75 67 είνι πολλπλάσιο του 79 Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις i ii iii. Αν γ, ν ποδείξετε ότι : γ γ Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις i. ii. ( ( ( ( (. ίνοντι οι πρστάσεις Α ( κι B ( (. i Ν ποδείξετε ότι: B A κι ΑΒ 8 ( Α ( Α ii Ν πργοντοποιήσετε την πράστση : ( ( ( 8 5. Ν δείξετε ότι η διφορά ( είνι πολλπλάσιο του. Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Τυτότητ Ευκλείδεις ιίρεσης : δ π υ, µε υ< δ Αν έχουµε δυο φυσικούς ριθµούς (διιρετέος κι δ (διιρέτης µε ( δ κι κάνουµε τη διίρεση :δτότε ρίσκουµε δυο µονδικούς φυσικούς ριθµούς π (πηλίκο κι υ (υπόλοιπο γι τους οποίους ισχύει: δ π υ µε υ< δ. Πράδειγµ: 5 7 6 Άρ, 5 7 6 8, υ 8 (<7 8 Αν υ τότε δ π, οπότε έχουµε τέλει διίρεση Π. χ. 6 Στη περίπτωση υτή λέµε ότι ο δ διιρεί τον ή ότι 87 ο δ είνι πράγοντς του. Άρ, 6 87, υ Ανάλογ, Αν έχουµε, δυο πολυώνυµ ( (διιρετέος κι δ ( (διιρέτης µε δ ( κι κάνουµε τη διίρεση ( : δ (, τότε ρίσκουµε έν µονδικό ζεύγος πολυωνύµων π ( (πηλίκο κι υ ( (υπόλοιπο γι τ οποί ισχύει: ( δ ( π ( υ( Τυτότητ Ευκλείδεις ιίρεσης όπου το υ( ή είνι ίσο µε το µηδέν ή έχει θµό µικρότερο πό το θµό του δ (. ( δ ( ( δ ( π ( υ( ή ( δ ( π (, ν υ ( υ ( π ( Ακόµ, Βθµός ( ιιρετέου θµός (διιρέτη θµός (πηλίκου Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Πράδειγµ: Ν γίνει η διίρεση του πολυωνύµου ( διά τού ( δηλ. ( : (. Ώστε: ( ( Πράδειγµ: Ν γίνει η διίρεση του πολυωνύµου : ( 7 6 δι άτού ( 7 6 (Συµπληρώνω τους όρους που λείπουν 7 6 6 6 άζοντς συντελεστή Πρτήρηση: Επειδή το υπόλοιπο της διίρεσης υ (, η διίρεση είνι τέλει. Άρ, το είνι πράγοντς του 7 6. Είνι δηλδή, 7 6 ( ( ( ( ( Άρ, η τέλει διίρεση είνι µι πργοντοποίηση!!!! Στη περίπτωση της τέλεις διίρεσης τ δ ( κι π ( λέγοντι πράγοντες ή διιρέτες του (, ενώ το ( λέγετι πολλπλάσιο του δ (. Σελ. 8
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν συµπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ Βθµός ιιρετέου Βθµός διιρέτη Βθµός πηλίκου 6 5. Ν κάνετε τις διιρέσεις κι ν γράψετε την τυτότητ της ευκλείδεις διίρεσης i ( : ( ii ( 7 6 : ( iii ( 5 : ( iv (6 7 : ( v ( : (. Ν ρείτε το πολυώνυµο το οποίο διιρούµενο µε το δίνει πηλίκο κι υπόλοιπο. Ν ρείτε το πολυώνυµο το οποίο διιρούµενο µε το δίνει πηλίκο κι υπόλοιπο 5. Ν κάνετε τη διίρεση ( λ : ( κι ν ρείτε την τιµή του λ γι την οποί η διίρεση είνι τέλει. 6. Ν κάνετε τη διίρεση ( λ : ( κι ν ρείτε την τιµή του λ γι την οποί η διίρεση είνι 7. τέλει. i Ν κάνετε τη διίρεση ( 6 5 : ( 8. ii Ν πργοντοποιήσετε το πολυώνυµο 6 5 i Ν δείξετε ότι το είνι πράγοντς του 6 ii Ν πργοντοποιήσετε το πολυώνυµο 6 Σελ. 9
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Ε. Κ. Π & Μ. Κ.. ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε. Κ. Π. δυο ή περισσότερων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόµενο πρώτων πργόντων : ονοµάζετι το γινόµενο των κοινών κι µη κοινών πργόντων τους µε εκθέτη κθενός το µεγλύτερο πό τους εκθέτες του. Μέγιστος κοινός διιρέτης (Μ. Κ. δυο ή περισσότερων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόµενο πρώτων πργόντων: ονοµάζετι το γινόµενο των κοινών πργόντων τους µε εκθέτη κθενός το µικρότερο πό τους εκθέτες του. Πρτήρηση: Η εύρεση του Ε. Κ. Π. κι του Μ. Κ. δυο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων είνι νάλογη µε την εύρεση του Ε. Κ. Π. κι του Μ. Κ. δυο ή περισσοτέρων θετικών κέριων ριθµών. Έτσι, Ε. Κ. Π. (, 8, Ε. Κ. Π. ( 5, 5, 5 5 Μ. Κ.. (, 8, Μ. Κ.. ( 5, 5, 5 5 Βήµτ : Γι ν ρούµε το Ε. Κ. Π. κι το Μ. Κ.. πολυωνύµων Ανλύουµε τ πολυώνυµ σε γινόµενο πρώτων πργόντων Υπολογίζουµε το Ε. Κ. Π. κι Μ. Κ.. των ριθµητικών πργόντων τους. Εφρµόζουµε τους ορισµούς γι το Ε. Κ. Π. κι το Μ. Κ.. των πολυωνύµων Πρδείγµτ Ε. Κ. Π. (,, 6a a [Ε. Κ. Π. (, Μ. Κ.. (,, 6a a [Μ. Κ.. (,,, ] ] Ε. Κ. Π. [ ( (, (, Μ. Κ.. [ ( (, (, 5( ] ( ( 5( ] ( [Ε. Κ. Π. (,, 5 ] [Μ. Κ.. (,, 5 ] Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν συµπληρώσετε το πρκάτω πίνκ γράφοντς σε κάθε κενό το Ε. Κ. Π. των πρστάσεων Α κι Β. A 6 8 z z B z z. Ν συµπληρώσετε το πρκάτω πίνκ γράφοντς σε κάθε κενό το Μ. Κ.. των πρστάσεων Α κι Β. A 6 8 z z B z z. Ν ρεθεί το Ε. Κ. Π. κι ο Μ. Κ.. των πρκάτω πρστάσεων i ii iii 8,, 6, 5 iv,, 6 v 5 5,, vi,, vii 5 5, 6, 5 6 viii, i 9, 6 9, 7 Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητή λγερική πράστση ή πλώς ρητή λέγετι µι λγερική πράστση που έχει στο πρνοµστή µετλητές. Πράδειγµ 5 5 είνι ρητή 5 9 δεν είνι ρητή (είνι κερί Προσοχή!!! Οι µετλητές µις ρητής πράστσης δεν µπορούν ν πάρουν τιµές που µηδενίζουν τον πρνοµστή της, φού δεν ορίζετι κλάσµ µε πρνοµστή. Π. χ. δεν ορίζετι γι Πράξεις. Πολλπλσισµός ιίρεση (όπως στ κλάσµτ i γ γ δ δ ii γ γ γ δ δ iii : δ γ γ Πρδείγµτ i ii ( ( ( ( iii : ( ( ( ( 9 Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Απλοποίηση Γι ν πλοποιήσουµε έν κλάσµ πρέπει κι ο ριθµητής κι ο πρνοµστής ν είνι πργοντοποιηµένοι. Πράδειγµ: 9 ( (, ( Προσοχή!!! γ γ Σωστό, γ γ Λάθος, Λάθος. Μεττροπή Σύνθετου κλάσµτος σε πλό γ δ δ Π. χ. γ ( ( (. Πρόσθεση Αφίρεση ρητών πρστάσεων Γι ν µπορούµε ν κάνουµε πρόσθεση ρητών πρστάσεων πρέπει ν κάνουµε οµώνυµ τ κλάσµτ, δηλδή ν ρούµε το Ε. Κ. Π. των πρνοµστών. Όπως µάθµε, (Ε. Κ. Π. δυο ή περισσότερων λγερικών πρστάσεων, που έχουν νλυθεί σε γινόµενο πρώτων πργόντων, είνι το γινόµενο των κοινών κι µη κοινών πργόντων τους µε εκθέτη κθενός το µεγλύτερο πό τους εκθέτες του. Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Πράδειγµ 5 Ν εκτελέσετε την πράξη : Λύση Βρίσκουµε το Ε. Κ. Π. των πρνοµστών πργοντοποιήσουµε. Είνι :,, ( ( Άρ, Ε. Κ. Π. ( (,φού πρώτ τους Οπότε, 5 ( 5( ( ( ( ( ( ( ( 5( ( ( 5 5 ( ( ( ( Σελ.
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις µε Σωστό ή Λάθος γ i γ ii iii. Ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση iv v ( ( vi (. Το ποτέλεσµ της πλοποίησης της ( είνι Α. Β. Γ.. Ε.. Η πράστση Α. Β. (. Αν κι τότε το ισούτι µε Γ. ισούτι µε. Ε. Α. Β. Γ.. - Ε.. Αν κι Α. Β. τότε η πράστση A ( ( ισούτι µε Γ. 5. Αν γ, κι Α. Β. Γ.. τότε το γ ισούτι µε : γ Ε. χ. 6. Αν, κι οι, είνι ντίστροφοι µετξύ τους ριθµοί, τότε η Ε. πράστση A ( : ( ( γράφετι ως έκφρση µόνο του ως: Α. Β. ( Γ.. ( Ε. Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Σελ. 6. Γι ποιες τιµές των µετλητών τους ορίζοντι οι πρκάτω πρστάσεις i 5 ii ( iii ( w w w iv v vi ( 5 vii ( viii. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις.... 9 5. 6 8 6 6. 7. 8 6 8. ( 9. γ γ. 5 6 5 5 (.. (.. 5. ω ω ω ω 6. ( 7. 6 5 9 8. 8 9 9. 6 5 9 6. 8 8. ( (
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Σελ. 7 5. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις.. 6 6 6. γ γ γ. 5. 6. a a a 6. Ν εκτελέσετε τις πράξεις. 5. 6 5. (. 9 ( 5. 8 8. 6. 9 5 5 7 7. : ( 8. : ( 9. : 5 5. 5 6 5 : ( a a. :. 7. Ν εκτελέσετε τις πράξεις. (. 9 6. (..( a a a a 5. 6 5 6. 7. 8 8 5 8. b a b a b a b a b a a
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Σελ. 8 9. ab a ab a b a.. 5 5. 6 6 6. : ( (. ( 8. Ν ποδείξετε ότι : ( 9. i Ν ποδείξετε ότι: ( ii Ν υπολογίσετε την πράστση: 999 998 999. Αν,, γ οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ (,, > > > γ κι ισχύει γ γ γ ν δείξετε ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές.. Ν ποδειχθούν οι τυτότητες: i ( ( ( ( ( ( w w w w w ii ( ( ( ( ( ( γ γ γ γ γ a a a iii γ γ γ γ γ γ ( ( ( ( ( (
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Εξίσωση ου θµού µε άγνωστο το ονοµάζουµε κάθε εξίσωση που είνι ή µπορεί ν κτλήξει στη µορφή, όπου, γνωστοί πργµτικοί ριθµοί. Η µεγλύτερη δύνµη στην οποί εµφνίζετι το είνι η πρώτη.. Λύση ή ρίζ της εξίσωσης λέγετι ο ριθµός που επληθεύει την εξίσωση Προσοχή: ιιρούµε µε τον συντελεστή τού γνώστου, ότν υτός είνι διφορετικός πό το µηδέν. Άρ, o Αδύντη λέγετι η εξίσωση που δεν έχει κµί λύση. Η τελική µορφή της είνι, µε o Τυτότητ ή όριστη λέγετι η εξίσωση που επληθεύετι γι όλες τις τιµές του. Η τελική της µορφή είνι. Αν τότε η εξίσωση έχει µονδική λύση την Αν τότε, οπότε ν, δυντη, οριστη η τυτοτητ Γι ν λύσουµε µι εξίσωση κολουθούµε τ εξής ήµτ: Απλείφουµε τις πρενθέσεις κι τους πρνοµστές, ν υπάρχουν Χωρίζουµε τους γνωστούς πό τους γνώστους όρους Κάνουµε κι στ δυο µέλη νγωγή οµοίων όρων εφρµόζοντς την επιµεριστική ιδιότητ ιιρούµε κι τ δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή του γνώστου Επληθεύουµε ή ποφινόµεθ γι το ν είνι «δύντη» ή «όριστη» Σελ. 9
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Ν λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ 6 6 Κάνουµε πλοιφή πρνοµστών πολλπλσιάζοντς κι τ δυο µέλη της εξίσωσης µε το Ε. Κ. Π. τους, ώστε ν προκύψει εξίσωση χωρίς πρνοµστές. 6 6 6 6 6 ( ( 6 Κάνουµε πλοιφή πρενθέσεων: 6 Χωρίζουµε γνωστούς πό γνώστους: 6 Κάνουµε νγωγή οµοίων όρων: ιιρούµε µε το συντελεστή του (το - & τ δυο µέλη (Ν κάµετε την επλήθευση.. Ν λυθεί η εξίσωση Ότν η εξίσωσή µς είνι ισότητ δυο κλσµάτων, όπως η πρπάνω, τότε µπορούµε ν κάνουµε την πλοιφή πρνοµστών πολλπλσιάζοντς χιστί τους όρους του κλάσµτος ΛΥΣΗ πλοιφή πρνοµστών (χιστί: ( ( πλοιφή πρενθέσεων: 6 χωρισµός γνωστών πό γνώστους: 6 νγωγή οµοίων όρων: 7 διιρώ µε συντελεστή τού : 7 κι 7. (Ν επληθεύσετε Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Ν λυθεί η εξίσωση : (5 (7 ΛΥΣΗ (5 (7 5 8 5 8 5 Α ΥΝΑΤΗ. Ν λυθεί η εξίσωση : ( ΛΥΣΗ ( ΑΟΡΙΣΤΗ ή ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση ου θµού είνι κάθε εξίσωση της µορφής γ, Η µεγλύτερη δύνµη στην οποί εµφνίζετι το είνι η δεύτερη. Μι εξίσωση ου θµού έχει το πολύ δυο λύσεις (ρίζες. Η γενική της µορφή χωρίζετι σε τρεις υποπεριπτώσεις:. Αν η εξίσωση είνι της µορφής :, δηλδή λείπει ο όρος γ (ελλιπής: µε γ. Τότε: Πργοντοποιούµε κι έχουµε : ή ( ή, 6 ( 6 ή 6 ή. Αν η εξίσωση είνι της µορφής : γ, δηλδή λείπει ο όρος (ελλιπής: µε.. Τότε: γ ή γ γ & γ Οπότε: Εάν >, τότε γ ή a ± γ γ γ Εάν <, τότε είνι δύντη 8 8 ±. Αν είνι της µορφής γ, Τότε δουλεύουµε ως εξής: Βρίσκουµε τη δικρίνουσ : γ Αν > έχουµε δυο λύσεις :, Αν έχουµε διπλή ρίζ : Αν < δεν έχουµε λύσεις : ± γ Αδύντη Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Προσοχή!!! Τονίζουµε ότι µε τη δικρίνουσ λύνουµε κι τις άλλες, (τις ελλιπείς περιπτώσεις εξισώσεων ου θµού, οπότε γενικά έχουµε ικρίνουσ > < aγ Λύσεις της εξίσωσης γ, ρίζες:, ± ιπλή ρίζ (ή ίσες ρίζες: Αδύντη γ a Πρδείγµτ. Ν λύσετε την εξίσωση : Είνι - κι γ Άρ η ικρίνουσ είνι γ ( 6 >. Άρ, η εξίσωση έχει λύσεις τις:, ± γ ± ±. Ν λύσετε την εξίσωση : Είνι κι - κι γ Άρ η δικρίνουσ είνι γ ( 66 άρ η εξίσωση έχει µι διπλή ρίζ την. Ν λύσετε την εξίσωση : Είνι - κι - κι γ - Άρ η δικρίνουσ είνι γ ( ( ( < Άρ η εξίσωση είνι δύντη. Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Πργοντοποίηση τριωνύµου Γνωρίζουµε ότι η πργοντοποίηση του τριωνύµου της µορφής κ λ γίνετι µε τον εξής τρόπο: Βρίσκουµε έν ζεύγος ριθµών, τέτοιο ώστε : κ λ Τότε, κ λ ( ( Όµως, η µορφή κ λ είνι ειδική περίπτωση της γ κι η πργοντοποίηση γίνετι µε τον εξής τρόπο: Βρίσκουµε τις ρίζες της γ κι Αν > : τότε Αν : τότε γ ( ( γ ( Αν < : τότε ΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Πρδείγµτ:. Ν πργοντοποιηθεί το 68 Λύση Βρίσκουµε τις ρίζες της 68 Είνι γ 6 ( 8 6 6 >. Άρ, έχει δυο ρίζες τις:, ± 6± 6 6± 6 άρ, πργοντοποιείτι ως εξής : 68 ( (. Ν πργοντοποιηθεί το 9 Βρίσκουµε τις ρίζες της 9 Είνι γ ( 9. Άρ, έχει µι διπλή ρίζ την, οπότε: 9 9 8. Ν πργοντοποιηθεί το Βρίσκουµε τις ρίζες της 9( Είνι γ ( ( <, Άρ, δεν πργοντοποιείτι. Σελ. 5
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Εξισώσεις νωτέρου θµού του ου Μέθοδος Φέρνουµε όλους τους όρους της εξίσωσης στο µέλος, ώστε η εξίσωση ν πάρει τη µορφή P ( Πργοντοποιούµε το P (, ώστε η εξίσωση ν πάρει τη µορφή Α( Β( Γ(, όπου Α (, Β(, Γ(,... πρωτοάθµιοι κι δευτεροάθµιοι πράγοντες Λύση : Α( ή Β( ή Γ( ή... Σηµείωση: Μι εξίσωση ν θµού έχει το πολύ ν λύσεις Ισχύει κι Πρδείγµτ. Ν λυθεί η εξίσωση : 7 Λύση ( 7 ή 7 ή 7. Ν λυθεί η εξίσωση : ( ( 5 Λύση ( ( 5 κι 5 κι 5 Α ΥΝΑΤΗ Σελ. 55
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Προλήµτ εξισώσεων ου θµού Προλήµτ, που η λύση τους νάγετι σε επίλυση µις δευτεροάθµις εξίσωσης ή µις κλσµτικής εξίσωσης ή µις πρωτοάθµις. Προσοχή!!!! Σε κάθε τέτοι περίπτωση πρέπει ν εξετάζετι ν κάποι πό τις ρίζες της εξίσωσης δεν είνι λύση του προλήµτος. Πράδειγµ Σε έν τετράγωνο ο ριθµός που εκφράζει το τριπλάσιο εµδόν του είνι κτά 5 µεγλύτερος πό τον ριθµό που εκφράζει την περίµετρο του. Πόση είνι η πλευρά του τετργώνου; Λύση Έστω η πλευρά του τετργώνου. Τότε έχουµε 5 5 ( ( 5 6 8 96>. Άρ, έχει δυο ρίζες, τις: 8 ± ± 96 ± 6 6, 6 5 6 6 Επειδή, όµως, η πλευρά του τετργώνου δεν µπορεί ν είνι ρνητικός ριθµός η λύση εκτή είνι η λύση. 5 πορρίπτετι. Σελ. 56
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μι εξίσωση λέγετι κλσµτική ν προυσιάζετι άγνωστος σε ένν τουλάχιστον πρνοµστή. Ο πρνοµστής ενός κλάσµτος πρέπει πάντ ν είνι διάφορος του µηδενός (. Γι υτό πό τις λύσεις µις εξίσωσης εξιρούµε πάντ τις τιµές που µηδενίζουν τους πρνοµστές. Υπολογίζουµε το Ε. Κ. Π. των πρνοµστών ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Βρίσκουµε τις τιµές που µηδενίζουν τον πρνοµστή κι τις εξιρούµε Απλείφουµε τους πρνοµστές πολλπλσιάζοντς κάθε κλάσµ µε το Ε. Κ. Π. κι πλοποιώντς τους πρνοµστές. Αφού ρω τις λύσεις ελέγχω ν είνι όλες δεκτές. Πράδειγµ : Ν λυθεί η εξίσωση Λύση 6. Βρίσκω το Ε. Κ. Π. των πρνοµστών,, φού τους πργοντοποιήσω (. Άρ, Ε. Κ. Π. (,, Ε.Κ.Π. ((,, ( (. Περιορισµοί: Πρέπει (, δηλδή κι, δηλδή τελικώς, κι. Απλοιφή πρνοµστών: 6 ( ( ( ( ( 6ή ( 6 ( ( ( ( ή ( ( ( ή ( κι οι ρίζες τής εξισώσεως είνι: η (η οποί πορρίπτετι πό περιορισµούς κι η. Άρ, δεκτή είνι µόνο η. Σελ. 57
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις a 7 b ( ( 7 5 c ( ( 5 7 d ( 5 ( (6 5 e f ( 7 9 9 5 ( g 6 h i 5 7 6 6 6 ( (. Ν ρεθεί η τιµή του πργµτικού ριθµού λ ώστε η εξίσωση (λ - 5 ν είνι δύντη.. Ν ρεθούν οι τιµές των πργµτικών ριθµών µ κι λ ώστε η εξίσωση λ µ ν είνι όριστη.. Ν χρκτηρίσετε ως Σωστό (Σ ή Λάθος (Λ τους πρκάτω ισχυρισµούς i Η εξίσωση χ είνι δύντη ii Η εξίσωση χ είνι δύντη iii Η εξίσωση λχ δεν είνι ποτέ δύντη iv Οι εξισώσεις (λ χ κι (λ χ δεν µπορούν τυτόχρον ν είνι όριστες v Η εξίσωση χ χ είνι δύντη vi Η εξίσωση χ έχει λύση το χ. Σελ. 58
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Ν λύσετε τις εξισώσεις i ii 5 7 viii i iii χ 8χ 5 ( iv i ( ( v vi vii χ 7 ii iii ( 8 ( 8 5 ( ( ύσετε τις εξισώσεις i ii iii iv v 5 6 7 vi ( vii 6 9 viii 8 i χ 6χ. Ν ρεθούν οι τιµές του πργµτικού ριθµού λ γι τις οποίες η εξίσωση δύντη. 6 8 λ είνι. Ν προσδιορίσετε το λ ώστε η εξίσωση χ λ ν έχει a ιπλή ρίζ b Ν µην έχει πργµτικές ρίζες 5. Ν ποδείξετε ότι οι πρκάτω εξισώσεις έχουν πργµτικές ρίζες a a b a, b ( a b 5ab Σελ. 59
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 6. Γι τις διάφορες τιµές του λ ν λύσετε τις εξισώσεις: a λ b χ λχ 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i ii iii 5 9 ( ( ( 8. Ν ρεθούν δυο ριθµοί µε διφορά κι γινόµενο 6. 9. Ν ρείτε δυο διδοχικούς κερίους µε άθροισµ τετργώνων 6.. Έν οικόπεδο σχήµτος ορθογωνίου πρλληλογράµµου έχει περίµετρο m κι εµδόν 56 m. Ν ρεθούν οι διστάσεις του.. Ν ρεθούν δυο ριθµοί µε άθροισµ 8 κι γινόµενο 9.. Ν νλύσετε σε γινόµεν πρώτων πργόντων τ πολυώνυµ i 6 ii iii 6 v 9 6 vi 7 vii 5 iv 9( (. Ν λύσετε τις εξισώσεις i ii 5 6 iii Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Η εξίσωση a b µε a έχει λύση ότν οι ριθµοί, είνι : Οµόσηµοι θετικοί γ ρνητικοί δ ετερόσηµοι εοποιοσδήποτε ριθµός. Αν η εξίσωση µ έχει διπλή ρίζ, τότε η τιµή του µ είνι : µόνο µόνο - γ κθόριστη δ ή - ε κνέν πό τ προηγούµεν. Αν η εξίσωση λ λ έχει ρίζες, τότε γι τον πργµτικό ριθµό λ ισχύει λ < λ > γ λ δ λ ε λ. Ο ριθµός - είνι µι ρίζ της εξίσωσης ( µ µ µ µε µ> ο µ ισούτι µε Α. 5 Β. Γ.. Ε. η άλλη ρίζ της εξίσωσης είνι Α. 6 Β. 5 Γ.. - Ε. -6. Το εµδόν ενός ορθογωνίου πρλληλογράµµου µε διστάσεις διδοχικούς κερίους είνι 56 cm. i Η µικρότερη διάστση ισούτι µε: γ δ 8 ε ii Η περίµετρός του ισούτι µε: 5 γ 5 δ 56 ε 78. Ο θετικός κέριος του οποίου το τετράγωνο ν υξηθεί κτά το πεντπλάσιο του ριθµού είνι ίσο µε το 5 είνι ο 5 6 γ 7 δ 5 ή ε Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν λυθούν οι εξισώσεις i ii (6 ( ( (6 iii ( iv ( ( 8. Το άθροισµ ενός ρνητικού κερίου ριθµού κι του τετργώνου του είνι ίσο µε το διπλάσιο τού επόµενου τού ριθµού. Ποιος είνι ο ριθµός;. Αν υξήσουµε τη µι πλευρά ενός τετργώνου κτά 5 cm κι ελττώσουµε την άλλη κτά 5 cm προκύπτει ορθογώνιο µε εµδόν 56 cm. Ν ρείτε το µήκος της πλευράς κι το εµδόν του τετργώνου. Ερωτήσεις τύπου Σωστό ή Λάθος Η εξίσωση a Αν a κι b > η εξίσωση b µε άγνωστο το, έχει πάντ λύση ότν τ a, b είνι ριθµοί ετερόσηµοι. a b µε άγνωστο το έχει πάντ λύση. Αν το είνι ρίζ της εξίσωσης a γ, a, τότε είνι γ. Αν γ < τότε η εξίσωση γ έχει δυο ρίζες στο R. 5 Αν λ, τότε η εξίσωση a λ,, έχει δυο ρίζες που είνι ντίθετοι ριθµοί 6 Αν τότε είνι µόνο. 7 Η εξίσωση a γ µε,, γ R είνι πάντοτε ου θµού. 8 Η εξίσωση ( έχει πργµτικές ρίζες. 9 Η εξίσωση έχει πργµτικές ρίζες. Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λυθούν οι εξισώσεις 5 7 6 7 8 χ χ 9 5 χ 8 χ8 9 6 ω 5 ω ω ω ω ω ω ω Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Κάθε θετικός ριθµός είνι µεγλύτερος πό το µηδέν Κάθε ρνητικός ριθµός είνι µικρότερος πό το µηδέν Κάθε θετικός ριθµός είνι µεγλύτερος πό κάθε ρνητικό ριθµό Αν > τότε > & Αν < τότε < Αν > τότε > & Αν < τότε < Αν τότε Αν > κι > τότε > ή Αν < κι < τότε < Αν, οµόσηµοι τότε > κι > Αν, ετερόσηµοι τότε < κι < Γι κάθε ριθµό ισχύει & Αν > κι > γ τότε Ι ΙΟΤΗΤΕΣ > γ Αν < κι < γ τότε Αν > τότε γ > γ Αν < τότε γ < γ < γ Αν > κι γ > τότε γ > γ & > γ γ Αν > κι γ < τότε γ < γ & < γ γ Αν < κι γ > τότε γ < γ & < γ γ Αν < κι γ < τότε γ > γ & > γ γ Αν < κι γ < δ τότε γ < δ Αν τότε κι Γι θετικούς ριθµούς,, γ, δ ισχύουν Αν > κι γ > δ τότε γ > δ Αν < κι γ < δ τότε γ < δ Σελ. 6
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Αν θέλουµε ν συγκρίνουµε δυο ριθµούς, τότε ρίσκουµε τη διφορά τους κι εξετάζουµε ν είνι θετική, ρνητική ή µηδέν. Αν > τότε > Αν < τότε < Αν τότε Πράδειγµ Αν < < ν συγκρίνετε τους ριθµούς κι Λύση Πίρνουµε τη διφορά τους: ( ( ( ( ( Εξετάζουµε το πρόσηµο της διφοράς : Είνι <, άρ < κι <, άρ < ή > Άρ, ( ( <, οπότε ( <, δηλδή < Πράδειγµ Γι οποιουσδήποτε πργµτικούς ριθµούς, ν ποδείξετε ότι : Λύση ( Γι ν ποδείξω µι νισότητ µετφέρω όλους τους όρους στο πρώτο µέλος, κάνω πράξεις κι κτλήγω σε τετράγωνο ή άθροισµ τετργώνων ή σε κάτι που ισχύει γενικά ή πό υπόθεση. ( (. Ισχύει. Πράδειγµ Γι οποιουσδήποτε πργµτικούς ριθµούς, ν ποδείξετε ότι : Λύση ή ή ή (. Ισχύει. Σελ. 65
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑ ΑΓΝΩΣΤΟ Γι την νίσωση > έχουµε: Αν >, τότε > Αν <, τότε < Αν, τότε >, οπότε Αν, είνι δύντη Αν <, ληθεύει γι κάθε τιµή του ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Γι ν επιλύσουµε µι νίσωση. Βρίσκουµε το Ε. Κ. Π. των πρνοµστών κι πολλπλσιάζουµε όλους τους όρους της νίσωσης µε το Ε. Κ. Π.. Απλείφουµε τους πρνοµστές. Κάνουµε τις πράξεις. Χωρίζουµε γνωστούς πό γνώστους όρους 5. Κάνουµε νγωγή οµοίων όρων κι φέρνουµε την νίσωση στη µορφή > ή < 6. Αν < (δηλδή συντελεστής τού είνι ρνητικός, τότε λλάζουµε φορά της νίσωσης: >, οπότε < ή <, οπότε > ενώ 7. Αν > (δηλδή συντελεστής τού είνι θετικός, τότε έχουµε: >, οπότε > ή <, οπότε <. Σελ. 66
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Πράδειγµ Ν λύσετε την νίσωση < 6 Λύση < ή 6 6 6 < 6 6 ή 6 6 ( < ( ή 6 < ή <6 ή < ή > Πράδειγµ Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων Λύση Λύνω κάθε νίσωση χωριστά > 5 < 7 5 > ή > ή > 5 < 7 5 ή 5 7< 5 ή < ή > ή > Τοποθετώ τους ριθµούς πάνω στον άξον κι ρίσκω που συνληθεύουν: > Σελ. 67
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ποδείξετε ότι : i a a ii ( a b ab b iii a a iv a 6a > v a b 8 ( a b. Αν < ν ποδείξετε ότι : i < ii iii iv > < <. Ν λύσετε τις νισώσεις i 7 < 5 ii ( ( > ( iii iv v vi > 5 5 5 5 9 6 ( ( ( > 6 5 ( 7( 5. Αν κι 5 7 ν ρείτε µετξύ ποιων ριθµών περιέχετι η τιµή κθεµίς πό τις πρστάσεις: i ii iii iv v Σελ. 68
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 5. Αν < < κι < < ν ποδείξετε ότι i < < ii < < 7 iii < < 6. Αν > κι > ν ποδείξετε ότι i > 6 ii ( > iii ( ( > iv ( ( > 6 7. Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων i ii iii > 5< 7 5 5> 5> 5 ( 5( < 6 ( ( > 8. Αν < < ν συγκρίνετε τους ριθµούς κι 9. Αν < < ν συγκρίνετε τους ριθµούς κι. Αν < κι >ν συγκρίνετε τους ριθµούς κι Σελ. 69
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. Ονοµάζουµε γρµµική εξίσωση ή εξίσωση πρώτου θµού µε δυο γνώστους κι κάθε εξίσωση της µορφής γ, όπου,, γ γνωστοί πργµτικοί ριθµοί. Οι, είνι υψωµένοι στη πρώτη δύνµη.. Λύση µις τέτοις εξίσωσης είνι κάθε ζεύγος (, που την επληθεύει.. Κάθε εξίσωση της µορφής γ έχει άπειρες λύσεις που είνι διτετγµέν ζεύγη µε πρώτο στοιχείο µι τιµή του κι δεύτερο στοιχείο µι τιµή του, που επληθεύουν την εξίσωση. Τ ζεύγη υτά σε έν ορθοκνονικό σύστηµ συντετγµένων νήκουν σε µι ευθεί. Ειδικές Περιπτώσεις Η εξίσωση κ ( γ, άξον Η εξίσωση κ µε κ πριστάνει µι ευθεί που είνι πράλληλη στον ' κι τέµνει τον άξον ' στο σηµείο (, Αν κ τότε η εξίσωση πριστάνει τον άξον ' κ Π. χ. (... Η εξίσωση κ ( γ, Η εξίσωση ' κι τέµνει τον άξον κ µε κ πριστάνει µι ευθεί που είνι πράλληλη στον άξον ' στο σηµείο ( κ,. Π. χ. ( 8 Αν κ τότε η εξίσωση πριστάνει τον άξον '. Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΑΡΑΤΗΡΉΣΕΙΣ Αδύντη εξίσωση: γ, γ. εν την επληθεύει κνέν ζεύγος (,. εν πριστάνει ευθεί. Αόριστη εξίσωση:. Επληθεύετι γι κάθε ζεύγος (,. εν πριστάνει ευθεί. Γι ν ρω τ σηµεί τοµής της γµε τον άξον ' : o Θέτω όπου, οπότε έχουµε: γ ή γ, Γι ν ρω τ σηµεί τοµής της γµε τον άξον ' o Θέτω όπου οπότε έχουµε: γ ή γ, Γι ν σχεδιάσουµε µι ευθεί ρκεί ν ρω δυο σηµεί που την επληθεύουν, κθώς γνωρίζω ότι πό δυο σηµεί διέρχετι µονδική ευθεί. Συνήθως διλέγω τ σηµεί τοµής µε τους άξονες. Μι ευθεί της µορφής γ διέρχετι πό την ρχή των ξόνων: ν γ Μι ευθεί της µορφής Μι ευθεί της µορφής γ είνι πράλληλη προς τον άξον ' : ν, ενώ γ είνι πράλληλη προς τον άξον ' : ν υο ευθείες της µορφής κι είνι o Πράλληλες ότν : o Κάθετες ότν : Αν η ευθεί γ µε,, γ τέµνει τους άξονες ' κι ' στ σηµεί Α (κ,, & Β (, λ ντιστοίχως, τότε το εµδόν Ε του τριγώνου ΟΑΒ είνι: Ε ΟΑ ΟΒ κ λ. Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Πράδειγµ ίνετι η ευθεί ε : 6 Λύση. Ν σχεδιάσετε την ευθεί. Ν ρείτε το εµδόν του τριγώνου που σχηµτίζει η ευθεί ε µε τους άξονες. Γι ν σχεδιάσουµε την ευθεί ε : 6 ρκεί ν ρούµε δυο σηµεί της Γι έχουµε : 6 ή (σηµείο τοµής µε ' Γι έχουµε : 6 ή (σηµείο τοµής µε ' Άρ, η ευθεί διέρχετι πό τ σηµεί Α (, κι Β (,. Το τρίγωνο που σχηµτίζει η ευθεί µε τους άξονες είνι το ΟΑΒ κι έχει εµδόν Ε ΟΑ ΟΒ Πράδειγµ Ν ρείτε την τιµή του λ ώστε η ευθεί ε : ( λ ( λ 8 ν είνι. Πράλληλη στον άξον '. Πράλληλη στον άξον ' Λύση. Γι ν είνι πράλληλη στον άξον ' : πρέπει λ ή λ Γι λ έχουµε ( 8ή 8ή Άρ, ε :. Γι ν είνι πράλληλη στον άξον ' : πρέπει λ ή λ Γι λ έχουµε ( 8 ή 8ή Άρ, ε : Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Πρδείγµτ. Ν λυθεί γρφικά το σύστηµ Σχεδιάζουµε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις ευθείες - κι - Πρτηρούµε ότι τέµνοντι στο σηµείο Α(,. Άρ, γι κι επληθεύοντι κι οι εξισώσεις. Άρ, το σύστηµ έχει µί λύση. Ν λυθεί γρφικά το σύστηµ Σχεδιάζουµε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις ευθείες 6 6 - κι - Πρτηρούµε ότι είνι πράλληλες, δηλδή δεν τέµνοντι. Άρ, το σύστηµ είνι δύντο.. Ν λυθεί γρφικά το σύστηµ Σχεδιάζουµε στο ίδιο σύστηµ ξόνων τις ευθείες - κι - Πρτηρούµε ότι τυτίζοντι άρ το σύστηµ είνι όριστο. Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Γι ν λύσουµε έν σύστηµ µε τη µέθοδο της ντικτάστσης : i. Λύνουµε τη µι πό τις εξισώσεις ως προς τον έν άγνωστο, έστω τον. ii. Αντικθιστούµε στην άλλη εξίσωση του συστήµτος την τιµή τού που ρήκµε κι λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει, οπότε ρίσκουµε το. iii. Την τιµή υτή του ντικθιστούµε στην έκφρση του που ρήκµε στο ο ήµ της εργσίς υτής κι έπειτ υπολογίζουµε την τιµή του. Πράδειγµ : Ν λυθεί το σύστηµ Λύση ( ( i. ( ( [Λύνω την ( ως προς ] ii. ( ( ( 6 [ντικθιστώ το στην ( ] iii. ( 6 [ ντικθιστώ το στην έκφρση του ] Άρ, η λύση του συστήµτος είνι το ζεύγος (, (, Σελ. 7
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Γι ν λύσουµε έν σύστηµ µε τη µέθοδο των ντίθετων συντελεστών: i. Πολλπλσιάζουµε τ µέλη της πρώτης εξίσωσης επί έν ριθµό κ κι τ µέλη της δεύτερης εξίσωσης επί έν ριθµό λ διλέγοντς τ κ κι λ έτσι ώστε στις εξισώσεις που προκύπτουν οι συντελεστές σε έν πό τους γνώστους ν είνι ντίθετοι. ii. Προσθέτουµε κτά µέλη τις δυο νέες εξισώσεις, οπότε εξλείφετι ο άγνωστος µε τους ντίθετους συντελεστές κι προσδιορίζετι ο άλλος άγνωστος. iii. Βρίσκουµε τον άλλο άγνωστο µε ντικτάστση σε µι πό τις εξισώσεις του ρχικού συστήµτος. Πράδειγµ: Ν λυθεί το σύστηµ Λύση 8 ( ( 8 9 69 8 (πρόσθεση κτά µέλη 7 7 9 Αντικθιστώ την τιµή 9στην ( κι έχω 9. Άρ, η λύση του συστήµτος είνι το ζεύγος (, (9, Σελ. 75
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λυθούν γρφικά τ πρκάτω συστήµτ a c 6 6 b 5 d 6 6. Ποι πό τ πρκάτω συστήµτ είνι δύντ ή όριστ. a 5 c 5 7 b d. Ν λυθούν τ πρκάτω συστήµτ µε τη µέθοδο των ντίθετων συντελεστών. a c 5 7 b 5 7 d 5. Ν λυθούν τ πρκάτω συστήµτ µε τη µέθοδο της ντικτάστσης. a 7 c b 7 5 d Σελ. 76
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος 5. Ν λυθούν τ πρκάτω συστήµτ a b c d e 5.6. 8 5 * 59 g h i 7 6 6 8 f 6 6. Ν ρείτε δυο ριθµούς µε άθροισµ κι που ν διιρέσουµε το µεγάλο δι τού µικρού θ ρούµε πηλίκο 6 κι υπόλοιπο. 7. Μι ευθεί διέρχετι πό τ σηµεί Α(, κι Β(, -. Ν ρεθεί η εξίσωσή της. 8. Έν ορθογώνιο πρλληλόγρµµο έχει εµδόν cm κι ηµιπερίµετρο. Ν ρεθούν οι διστάσεις του. 9. Σε έν ξενοδοχείο υπάρχουν δίκλιν κι τρίκλιν δωµάτι. Ο ριθµός των τρίκλινων δωµτίων είνι κτά 5 µεγλύτερος πό τον ριθµό των δίκλινων. Επίσης, υπάρχουν συνολικά 6 κλίνες. Ν ρείτε πόσ είνι τ δίκλιν κι πόσ τ τρίκλιν.. Στο γρόκτηµ ενός οσκού υπάρχουν κότες κι πρότ. Συνολικά τ κεφάλι είνι 5 κι τ πόδι 7. Πόσ είνι τ πρότ κι πόσες οι κότες; Σελ. 77
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος. Μι ευθεί διέρχετι πό τ σηµεί Α(-, κι Β(,. Ν ρεθεί η εξίσωσή της.. Ν λυθούν τ πρκάτω συστήµτ a b c d e f g h i j 5 5 5 5 5 9 57 7( 5( 5( 6( 5 6 5 6 l m n o p q r s t 6 ( ( 5( 5 5 5 5 7 8 k 5 Σελ. 78
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστωσν δυο µετλητές κι. Ονοµάζουµε συνάρτηση τη διδικσί κτά την οποί κάθε τιµή του ντιστοιχίζετι σε µι µόνο τιµή του. Λέµε η µετλητή εκφράζετι ως συνάρτηση της. Π. χ.:. Σε κάθε τιµή του ντιστοιχεί µι µόνο τιµή του. Στο άζω (υθίρετ τιµές o Αν τότε o Αν τότε Επειδή στο άζω όποι τιµή θέλω,η µετλητή λέγετι νεξάρτητη µετλητή. Επειδή η τιµή του εξρτάτι πό την τιµή τής, η λέγετι εξρτηµένη µετλητή. Συµολισµός: Συνήθως, τις συνρτήσεις τις συµολίζουµε µε έν γγλικό γράµµ f, g κλπ. π.χ. f ( Η ντιστοιχί µετξύ των τιµών των µετλητών κι σε µι συνάρτηση φίνετι κλύτερ µε τη οήθει ενός πίνκ τιµών. Έχουµε, f ( 6 Τ ζεύγη των τιµών µπορούµε ν τ πρστήσουµε σηµεί του επιπέδου µε τη οήθει ενός συστήµτος ορθογωνίων ξόνων. Αν υτό γίνει γι όλ τ ζεύγη (, (, f( των ντίστοιχων τιµών µις συνάρτησης, τότε το σύνολο των σηµείων που ρίσκουµε λέγετι γρφική πράστση της συνάρτησης υτής. Επειδή όµως υτό είνι πρκτικά δύντο, ρίσκουµε µερικά πό υτά κι τ ενώνουµε µε µι συνεχή γρµµή. Από τον ορισµό της συνάρτησης γι κάθε τιµή του υπάρχει µι µόνο τιµή του, ενώ σε κάθε τιµή του µπορεί ν ντιστοιχούν περισσότερες τιµές του.!! Αυτό σηµίνει: Ότι σε έν πίνκ τιµών δεν µπορεί σε µι τιµή του ν ντιστοιχούν διφορετικές τιµές του. Ότι ν έχω µι γρφική πράστση κι θέλω ν δω ν εκφράζει συνάρτηση, θ πρέπει κάθε ευθεί που θ φέρω πράλληλη στον ', υτή ν τέµνει την γρφική πράστση σε µόνο σηµείο. Σελ. 79
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Π. χ. Η πρκάτω γρφική πράστση δεν εκφράζει συνάρτηση φού ν φέρω πράλληλη στον ' τότε υτή την τέµνει σε σηµεί, όπως λέπουµε. Ο πίνκς τιµών της είνι - - - -, - - Πρτηρούµε : στην τιµή ντιστοιχούν δυο τιµές, οι & η. Πεδίο Ορισµού (Π. Ο. Συνάρτησης: ονοµάζουµε το σύνολο τιµών που µπορεί ν πάρει ο. o Π.χ. ν f ( πό το, δηλδή το. Πρέπει άρ, το Π. Ο. της f είνι όλοι οι πργµτικοί ριθµοί εκτός * R o Π.χ. ν f (. Πρέπει άρ το Π. Ο. της fείνι όλοι οι πργµτικοί ριθµοί γι τους οποίους ισχύει, δηλδή το διάστηµ [,. Σηµεί τοµής της f µε τον άξον ' : τ σηµεί υτά θ έχουν τετγµένη, άρ θέτω όπου κι ρίσκω τ ντίστοιχ (λύνοντς εξίσωση ως προς. Σηµείο τοµής της f µε τον άξον : το σηµείο υτό θ έχει τετµηµένη άρ θέτω όπου κι ρίσκω το f (. Άρ, το σηµείο είνι το (, f ( Μέγιστο : είνι η µεγλύτερη τιµή που µπορεί ν πάρει µι συνάρτηση γι µι τιµή του. Ελάχιστο : είνι η µικρότερη τιµή που µπορεί ν πάρει µι συνάρτηση γι µι τιµή του. Σελ. 8
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Πράδειγµ : ίνετι η συνάρτηση f ( Ν ρείτε το πεδίο ορισµού της f. Ν φτιάξετε έν πίνκ τιµών της f γ Ν σχεδιάσετε τη γρφική της πράστση δ Ν ρείτε τ σηµεί τοµής της f µε τους άξονες ', ΛΥΣΗ Το Π. Ο. της f είνι όλο το R (όλοι οι πργµτικοί ριθµοί Πίνκς τιµών : - f ( γ Γρφική πράστση δ Σηµεί τοµής της f µε τον άξον ' : ή δηλ. ή - δηλ. τ ζητούµεν σηµεί είνι τ (, κι (, Σηµείο τοµής της f µε τον άξον : γι έχουµε, δηλ. το ζητούµενο σηµείο είνι το (, f ( (, Πρτηρούµε ότι η συνάρτηση προυσιάζει µέγιστο γι το f ( Σελ. 8
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ, a (Αν > Η γρφική της πράστση είνι κµπύλη κι ονοµάζετι προλή. Προυσιάζει ελάχιστο γι, το f ( Η γρφική της πράστση ρίσκετι πάνω πό τον '. Κορυφή της προλής είνι το σηµείο Ο(, 5 Έχει άξον συµµετρίς τον άξον ' (ντίθετ ίδιο ( Αν < Η γρφική της πράστση είνι κµπύλη κι ονοµάζετι προλή. Προυσιάζει µέγιστο γι, το f ( Η γρφική της πράστση ρίσκετι κάτω πό τον '. Κορυφή της προλής είνι το σηµείο Ο(, 5 Έχει άξον συµµετρίς τον άξον ' (ντίθετ ίδιο -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Οι προλές κι είνι συµµετρικές ως προς τον άξον ' (ίδι έχουν ντίθετ! Σελ. 8