ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript

1 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ίνετι η εξίσση Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Σε ποι σηµεί η ευθεί, τέµνει τους άξονες; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της προηούµενης ευθείς.. ίνετι η εξίσση: 6 Πόσους νώστους έχει η εξίσση υτή; Το ζεύος τιµών ( 6, ) ποτελεί λύση της εξίσσης; Το ζεύος τιµών (, ) ποτελεί λύση της εξίσσης; Μπορείτε ν ρείτε έν ζευάρι τιµών (, ) που ν ποτελεί λύση της εξίσσης; Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της ευθείς (ε): 6 Ν επιλέξετε δύο σηµεί της ευθείς υτής κι ν εξετάσετε ν υτά ποτελούν λύση της εξίσσης Μήπς οι συν/νες όλν τν σηµείν της ευθείς υτής ποτελούν λύση της εξίσσης; Υπάρχουν σηµεί εκτός της ευθείς (ε) που οι συν/νες τους ν ποτελούν λύση της εξίσσης;. ίνοντι οι εξισώσεις: ( ε ) κι ( ε ) Οι ευθείες υτές είνι πράλληλες ή τέµνοντι; ( ιτί; ) Πόσες λύσεις έχει κάθε µι πό υτές τις εξισώσεις; Ν κάνετε τη ρφική πράστση τν ευθειών υτών στο ίδιο σύστηµ ξόνν Που ρίσκοντι οι λύσεις τν εξισώσεν υτών στο σχήµ; Υπάρχουν κοινές λύσεις τν εξισώσεν υτών; Ποιες είνι οι κοινές λύσεις;. ίνοντι οι εξισώσεις: ( ε ) κι ( ε ) Ν πντήσετε στ προηούµεν ερτήµτ. ίνοντι οι εξισώσεις: ( ε ) κι ( ε ) 6 Ν πντήσετε στ προηούµεν ερτήµτ

2 Ορισµός: Έν σύνολο δύο εξισώσεν πρώτου θµού µε δύο νώστους λέετι πρτοάθµιο ή ρµµικό (επειδή η ρφική τους πράστση είνι ευθεί ρµµή) σύστηµ Χ Ορισµός: Λύση του συστήµτος λέετι το ζευάρι τιµών (, ) που επληθεύουν κι τις δύο εξισώσεις. Ορισµός: Επίλυση του συστήµτος λέετι η διδικσί ( δουλειά ) που κάνουµε ι ν ρούµε τη λύση του συστήµτος Ασκήσεις ι εµπέδση : Ποι πό τ επόµεν συστήµτ έχουν µι µονδική λύση; Ποι είνι δύντ; Ποι έχουν άπειρες λύσεις ( ποι είνι η µορφή τν λύσεν ); ( Σ ):, ( Σ ):, ( Σ 6 ): 8 6 Ν κάνετε τη ρφική πράστση ( σε διφορετικό σύστηµ ξόνν ι κάθε σύστηµ ) ΣΧΟΛΙΟ : ίνετι το σύστηµ: Αν τότε το σύστηµ έχει µονδική λύση. Αν τότε το σύστηµ είνι δύντο. Αν τότε το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις. Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

3 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Χ : ς τρόπος : Γρφικά Πριστάνουµε ρφικά τις δύο εξισώσεις. Αν οι ευθείες τους τέµνοντι, το σύστηµ έχει µι µονδική λύση, τις συν/νες του σηµείου τοµής τους. Αν οι ευθείες είνι πράλληλες, τότε το σύστηµ είνι δύντο. Αν οι ευθείες τυτίζοντι, το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις ( οι δύο εξισώσεις είνι µί, η ίδι ) Πράδειµ : Ν λύσετε ρφικά το σύστηµ: Y / X (,)(,) Πράδειµ : Ν λύσετε ρφικά το σύστηµ: - / - Υ Το σύστηµ είνι Α ΥΝΑΤΟ Χ

4 ς τρόπος : Μέθοδος ντικτάστσης Λύνουµε την µι εξίσση ς προς έν άνστο κι ντικθιστούµε στην άλλη. Έτσι προκύπτει µι εξίσση ς προς έν άνστο, την οποί κι λύνουµε Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ: 6 ) ( ς τρόπος : Μέθοδος τν ντίθετν συντελεστών Επιλέουµε έν άνστο κι δηµιουρούµε σε υτόν ντίθετους συντελεστές πολ/ζοντς κι τις δύο εξισώσεις µε κτάλληλους ριθµούς Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ: 6 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

5 ς τρόπος : Μέθοδος τν οριζουσών Ορίζουσ Χ ονοµάζουµε µι διάτξη τεσσάρν ριθµών,,,δ ς εξής: δ. Μι ορίζουσ ισούτι µε: δ δ Π.Χ 8 ) ( ) ( ) ( Έστ το σύστηµ Βρίσκουµε την ορίζουσ τν συντελεστών τν νώστν Βρίσκουµε την ορίζουσ ( στην ορίζουσ τν συντελεστών τν νώστν ντικθιστούµε τη στήλη τν συντελεστών του µε τους στθερούς όρους ) Βρίσκουµε την ορίζουσ ( στην ορίζουσ τν συντελεστών τν νώστν ντικθιστούµε τη στήλη τν συντελεστών του µε τους στθερούς όρους ) Αν, τότε το σύστηµ έχει µι µονδική λύση, Αν ή κι, τότε το σύστηµ είνι Α ΥΝΑΤΟ. Αν, τότε το σύστηµ είνι ΑΟΡΙΣΤΟ ή Α ΥΝΑΤΟ. Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

6 Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ:,, 6 Άρ το σύστηµ έχει µονδική λύση:, ΣΧΟΛΙΟ : Μέχρι τώρ σχοληθήκµε µε ρµµικά συστήµτ Χ. Υπάρχουν κι ρµµικά συστήµτ Χ δηλδή τριών εξισώσεν µε τρεις νώστους, Χ, Χ, κ.λ.π. Γι ν λύσουµε έν ρµµικό σύστηµ Χ, δουλεύουµε µε τη µέθοδο της ντικτάστσης, όπς στο πρκάτ πράδειµ. Πράδειµ : (,,) (,,) δηλδή, 9 9 ) ( Όµοι λύνοντι κι τ ρµµικά συστήµτ Χ, Χ, κ.λ.π. Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

7 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ( ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ) Αν µι ή περισσότερες εξισώσεις ενός συστήµτος είνι δευτεροάθµι, τότε το σύστηµ λέετι δευτεροάθµιο σύστηµ. Εδώ θ σχοληθούµε µε δευτεροάθµι συστήµτ, όπου η µι εξίσση είνι ου θµού κι η άλλη εξίσση ου θµού. Γι την επίλυση ενός τέτοιου συστήµτος, δουλεύουµε µε τη µέθοδο της ντικτάστσης. Ποιο συκεκριµέν, λύνουµε την πρτοάθµι ς προς έν άνστο κι ντικθιστούµε στη δευτεροάθµι. Πράδειµ : Ν λύσετε το σύστηµ: ή ή ή ) ( ) ( ) ( Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Ν λύσετε τ πρκάτ συστήµτ ( µε τρόπους τ πρτοάθµι συστήµτ) : ) ( ) ίνετι η συνάρτηση: ) ( f() Αν είνι νστό ότι κι η ρφική της πράστση διέρχετι πό το σηµείο, ν ρείτε τ,. Μετά ι τις τιµές υτές τν,, ν κάνετε τη ρφική πράστση της συνάρτησης f. f() ) A(, ) ίνετι το σύστηµ : λ λ λ Γι ποιες τιµές του λ, το σύστηµ έχει µι µονδική λύση; Ποι είνι η λύση υτή; Γι ποιες τιµές του λ, το σύστηµ είνι δύντο; Γι ποιες τιµές του λ, το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις; ) ίνετι το σύστηµ: ) ( ) (. Ν ρείτε τ, ώστε το σύστηµ ν έχει λύση (, ) Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης

9 Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ) Σε έν ρµµικό σύστηµ Χ είνι:, 6, -. Ποιες πό τις πρκάτ προτάσεις είνι σστές; Α) Το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις Β) Το σύστηµ ληθεύει µόνο ι το ζεύος τιµών (,) (,-) Γ) Οι ευθείες που πριστούν οι δύο εξισώσεις του συστήµτος είνι πράλληλες ) Οι ευθείες που πριστούν οι δύο εξισώσεις του συστήµτος τέµνοντι σε σηµείο που ρίσκετι στο τετρτηµόριο 6) Σε έν ρµµικό σύστηµ Χ είνι: ( ) ( ). Ποιες πό τις πρκάτ προτάσεις είνι σστές; Α) Το σύστηµ έχει άπειρες λύσεις Β) Το σύστηµ είνι δύντο Γ) Το σύστηµ έχει µονδική λύση (,)(/, ) 7) Ν ρείτε τ σηµεί τοµής τν ρµµών : κι. 8) Ορθονίου πρλληλοράµµου η περίµετρος είνι m κι το εµδόν του 6m. Ν ρείτε τις πλευρές του πρλληλοράµµου. 9) ίνετι το σύστηµ : λ λ Α) Ν ποδείξετε ότι το σύστηµ υτό έχει µονδική λύση (, ) Β) Ν ρείτε τις τιµές του λ ι τις οποίες ισχύει: λ µ ) ίνετι το σύστηµ :. Γι ποιες τιµές τν λ, µ το σύστηµ έχει λύση 6 λ (,)(,) ; Έχει άλλες λύσεις το σύστηµ υτό;

10 ) Ν λύσετε τ πρκάτ συστήµτ ( συστήµτ µε τεχνάσµτ) : z z z ) ίνετι το σύστηµ IR λ, λ λ λ λ. ) Ν λυθεί το σύστηµ. ) Αν (, ) είνι µι λύση του πρπάν συστήµτος, ν ρείτε τις τιµές του λ ι τις οποίες είνι: Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης