ΤΕΠΑΚ, Τμήμα Ποιτικών Μηχ. / Τοπογράων Μηχ. και Μηχ. Γεωπηροορικής Μάθημα 6ου Εξαμήνου: Ανώτερη Γεωδαισία (Ακαδ. Έτος 011-1) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... ιάρκεια 110 - Επιέξτε και απαντήστε σε δύο από τα ακόουθα θέματα τα οποία είναι ισοδύναμα. Τα ερωτήματα (γ) σε κάθε θέμα είναι προαιρετικά, αά αμβάνονται θετικά υπόψη ως bonus. ΘΕΜΑ 1 (α) Στο σχήμα 1 δείξτε τα διαορετικά είδη της συντεταγμένης του πάτους (γεωδαιτικό, γεωκεντρικό θ και ανηγμένο ψ) που χρησιμοποιούνται για ένα σημείο Ρ στην επιάνεια ενός Ε.Ε.Π. Εξηγήστε πως ορίζεται το καθένα από αυτά και πως συνδέονται αριθμητικά μεταξύ τους. Ποιο από τα τρία είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στη δορυορική γεωδαισία (το γεωκεντρικό θ), ποιο χρησιμοποιείται στους χάρτες (το γεωδαιτικό ) και ποιο έχει απά θεωρητική σημασία (το ανηγμένο ψ)? (β) Αναέρετε τρία διαορετικά αδιάστατα μεγέθη που εκράζουν την απόκιση ενός ΕΕΠ από μια σαίρα. Από ποιες σχέσεις υποογίζονται αυτά? Τέτοια μεγέθη είναι τα f, e, e, m, n Χρησιμοποιώντας τις εν όγω σχέσεις, τις σχέσεις μεταξύ των τριών παραμέτρων του πάτους από το ερώτημα (α), τη σχέση n (a-b)/(a+b) μεταξύ των ημιαξόνων του ΕΕΠ, και ξεκινώντας από τη σχέση:
tan( tan tanψ ψ ) tan tanψ (1) αποδείξτε ότι η διαορά -ψ μπορεί να υποογιστεί συναρτήσει μόνο του γεωδαιτικού πάτους και (προανώς) των παραμέτρων του εειψοειδούς από τη σχέση tan( n ψ ) n () tan tanψ tan( ψ ) tan tanψ tan( ψ ) tan (1 f ) tan (1 f ) tan a b a b tan f tan tan( ψ ) a a... (1 f ) tan b tan b a a ( a b) ( a b) ( a b) a + b a + b a + b + a a + b b... ( a b) a + b + a a + b b ( a b) a( 1) b(1 ) + ( a + b) ( a b) a b + ( a + b) ( a ( a b) b) + ( a + b)... n n + 1 Επαηθεύστε την παραπάνω συγκεκριμένη σχέση () και επιπέον τη σχέση e tan( θ ) (3) (1 e ) για ένα σημείο Q(45 ο ) στο εειψοειδές του GS80. Για την απόδειξη της σχέσης () προς διευκόυνση σας μπορείτε να άβετε υπόψη τις ακόουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες
ΘΕΜΑ (α) Μεταξύ των άπειρων τομών ενός Ε.Ε.Π. με επίπεδα που διέρχονται από ένα σημείο Ρ στην επιάνειά του ποιες είναι οι κύριες χαρακτηριστικές τομές που περιέχουν την κάθετο στην επιάνεια του εειψοειδούς στο σημείο Ρ; Πως υποογίζονται οι ακτίνες καμπυότητας τους και ποια από αυτές παίρνει την εάχιστη και ποια την μέγιστη τιμή στο σημείο; Τι τιμές παίρνουν οι εν όγω ακτίνες καμπυότητας στους πόους και στον ισημερινό; Κύρια μεσημβρινή τομή και κύρια κάθετη τομή, αντίστοιχες ακτίνες καμπυότητας ρ (ή Μ) και ν (ή Ν). (β) Όπως αίνεται στα σχήματα, γενικά η μετατροπή ενός σχετικού διανύσματος θέσης [Χ, Υ, Ζ] μεταξύ δύο σημείων Ο και Ρ σε τοποκεντρικές συντεταγμένες [Ν, E, ] με αρχή των αξόνων του τοποκεντρικού συστήματος το σημείο ( Ο, Ο ) δίνεται από τη σχέση Ε Ν 0 και αντίστροα Ε Ν 1 όπου -1 T Σε μια ανάογη περίπτωση, θεωρείστε ότι η σχετική θέση ενός σημείου Α, ως προς ένα τριγωνομετρικό σημείο πρώτης τάξης Β, υποογίστηκε από μετρήσεις GPS στο WGS84 και είναι [Χ, Υ, Ζ] [-18447.953, 19403.816,11449.458]. Οι γεωδαιτικές συντεταγμένες του σημείου Α στο WGS84 είναι 38 ο 10 14.4814 N, ο 16.3854, h 530.893 m. Εκράστε το διάνυσμα [Χ, Υ, Ζ] σε τοποκεντρικό σύστημα συντεταγμένων (i) με κέντρο το σημείο Α, και (ii) με κέντρο το σημείο Β. Σχοιάστε τις τυχόν διαορές μεταξύ των τοποκεντρικών συντεταγμένων στις δύο περιπτώσεις. Ποιο είναι το υψόμετρο του σημείου Α στο τοποκεντρικό σύστημα με κέντρο το σημείο Β; ( Α, Α, h Α ) (Χ Α,Υ Α,Ζ Α ) (Χ Β,Υ Β,Ζ Β ) (Χ Α,Υ Α,Ζ Α )+(Χ,Υ,Ζ) Ε Ν 0 ) ( Ε Ν 0 ) (
Τα αριθμητικά αποτεέσματα δίνονται στο αντίγραο από ύο excel. Παρατηρείται ότι τα Ν, Ε όπως υποογίζονται στα δυο τοποκεντρικά συστήματα δεν διαέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Η μεγαύτερη παρατηρούμενη διαορά στα εξηγείται εξ αιτίας της επίδρασης της καμπυότητας της Γης, οποία όπως αίνεται στο παραπάνω σχήμα (σε σαιρική προσέγγιση) μπορεί να υποογιστεί ως h c ΑΓ / ()(Χ +Υ +Ζ )/ ()66.456 m, όπου η ακτίνα της Γης το υψόμετρο του Α στο τοποκεντρικό σύστημα με κέντρο το Β, (Α)h()-h()-h c 43.436 m ΘΕΜΑ 3 Το τόξο μεσημβρινού από τον ισημερινό έως ένα παράηο ενδιαέροντος με γεωδαιτικό πάτος μπορεί να υποογιστεί, συναρτήσει του γεωδαιτικού πάτους του παραήου ενδιαέροντος, από μια αριθμοσειρά όρων για την οποία δίνονται κατάηοι συντεεστές Μ ο, Μ 1,, Μ 8. (a) Να υποογιστεί στο GS80 το μήκος μεσημβρινού από Α 0 o έως Β 38 o με ακρίβεια ±1 m εάν οι εν όγω συντεεστές έχουν τις ακόουθες αριθμητικές τιμές: Μ ο 1.0050550180413, Μ.531554303648177x10-3, M 4.6568954339865x10-6, M 6 3.469599616981x10-9, M 8 4.8373741480146x10-1. Θα είναι Μ(0 ο 38 ο ) a(1-e^) [ αριθμοσειρά.]. Ο όρος εκτός αγκύης είναι της τάξης του 6x10 6 ενώ το Μ6 είναι της τάξης του 3.5 x 10-9 οπότε το γινόμενο τους είναι της τάξης των cm. Άρα για ακρίβεια της τάξης του 1 m αρκούν οι όροι μέχρι Μ4 Μ(0 ο 38 ο ) 407498 m. Ποιες θα είναι οι γεωδαιτικές συντεταγμένες ενός σημείου Γ στον ίδιο παράηο κύκο και ανατοικά του σημείου Β, εάν το σημείο Β έχει γεωδαιτικό μήκος Β ο και όταν το μήκος του τόξου ΒΓ στον παράηο κύκο είναι 1534.67 m; Γ Β (L/r) * (180/π) (1534.67 / Ν( Β )* Β ) * (180/π) (b) Παρομοίως να υποογιστεί το μήκος μεσημβρινού από Α 36 o έως Β 40 o με ακρίβεια ±1 cm. Να υποογιστούν με ακρίβεια 1 mm τα μήκη τόξου 1 και 1 (σε μέτρα) κατά μήκος το μεσημβρινού και του παράηου κύκου που διέρχεται από το σημείο Α. Εάν στην περιοχή του σημείου Α, η θέση ενός άου σημείου Β προσδιοριστεί με ακρίβεια ± mm, ποια θα είναι η τάξη μεγέθους της ακρίβειας με την οποία θα μπορούν να υποογιστούν οι γεωδαιτικές συντεταγμένες του σημείου Β; Θα είναι Μ(0 ο 38 ο ) a(1-e^) [ αριθμοσειρά.]. Ο όρος εκτός αγκύης είναι της τάξης του 6x10 6 ενώ το Μ6 είναι της τάξης του 3.5 x 10-9 οπότε το γινόμενο τους είναι της τάξης των cm. Άρα για ακρίβεια της τάξης του 1 m αρκούν οι όροι μέχρι Μ6 Μ(0 ο 38 ο ) 443986.36 m. dm ρ d, d1 ή d1, ρ ρ( Α 36 o ) dm(1 ) ρ * π / (60*180) dm(1 ) ρ * π / (3600*180) dl r d, d1 ή d1, r N( Α 36 o ) * ( Α 36 o ) dl(1 ) r * π / (60*180) και dl(1 ) r * π / (3600*180)
Ακρίβεια στο 0.0 / dm Ακρίβεια στο 0.0 / dl ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΕΟΜΕΝΑ Name Semi-major axis (m) Semi-minor axis (m) Inverse flattening, GS 1980 6378137 635675.3141 98.57101 WGS 1984 6378137 635675.314 98.573563 Σχήμα 1 Σχήμα
a 6378137 b 635675.314 1/f 98.571010 f 0.00335811 e 0.081819191 e^ 0.00669438 e' 0.08094438 e'^ 0.006739497 degrees radians Α 38 10 14.4814 38.1706898 0.6660406 16.3854.67398 0.3886381 h 530.893 N 6386306.468 _ 4646711.74 D_ -18447.953 _ 190660.805 D_ 19403.816 _ 390684.464 D_ 11449.458 Πίνακας -0.571919055-0.3418018 0.786173 DN 15008.00-0.3789853 0.9545938 0 DE 4947.50 0.7754504 0.97903438 0.618006 D -565.416 _ 46863.787 p 501150.578 0 0.66855797 Po 501150.410 _ 19064.61 q 0.6669505 ho 31.779434 h 31.911 _ 393133.9 N 6386355.513 No 6386355.51 0.668557953 38 18 19.97654 38.30554904 0.668557953 33 9.175457.5554874 0.3936163 h 31.911 Πίνακας -0.57453583-0.37733377 0.784716 DN -1493.39-0.383530606 0.9358166 0 DE -4995.35 0.74707644 0.30096734 0.619855 D 43.543 dh S()^ / () 66.546 ()h()-h()-dh 43.436