3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Σχετικά έγγραφα
( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5. Να λυθεί η εξίσωση. 6. Δίνεται η συνάρτηση. 2f x ΛΥΣΗ: Τα x για τα οποία 2 x 0 x 0 x, δεν είναι λύσεις της εξίσωσης γιατί για

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

x 1 δίνει υπόλοιπο 24

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ

Προσομοίωση προαγωγικών εξετασεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 Β ΦΑΣΗ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 /

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β4 Έστω η συνάρτηση f ( ) = A( ) B( ) Βρείτε τη µέγιστη

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 2 0 / 7 /

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 23/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Transcript:

η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0, πράγµα αδύνατο. Εποµένως η ισότητα δεν ισχύει για κανένα β ) Θα πρέπει > 0 και > 0 > 0 γ) Θα πρέπει 4 > 0 και > 0 και log 0 ( 0 και ) Περιορισµοί : ( > 0 και ) ( 0 και ±) 4 log ( ) + = 0 6 log[ 4 log ( ) + ] = log0 6 ( + log 4 )log = 6 log0 ( 0 και ±) ( + log ) log = 6 (θέτω log = y) ( + y) y = 6 Για y = θα έχουµε log = y + y 6 = 0 y = ή y = άρα = 0 - = ± 0 = ± 0, Για y = θα έχουµε log = = 0 = ± 0 = ± 4 0

. A. Έστω πολυώνυµο Ρ() και πραγµατικός αριθµός ρ. Αν π() είναι το πηλίκο και υ() το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ) α. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ). β. To υπόλοιπο υ() είναι πάντοτε : Πολυώνυµο ίδιου βαθµού µε το βαθµό του Ρ() Πολυώνυµο πρώτου βαθµού i Σταθερό πολυώνυµο iν) Πάντα το µηδενικό πολυώνυµο Από τις παραπάνω προτάσεις επιλέξτε την σωστή και δικαιολογήστε την επιλογή σας γ. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ) είναι ίσο µε την τιµή Ρ(ρ) Β. Έστω το πολυώνυµο Ρ() = k k + k +, όπου k R. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του k το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ) είναι ίσο µε µηδέν; α. k = 0, β. k=, γ. k =, δ. k =, ε. k = Επιλέξτε την σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την επιλογή σας. Α.α Α.β Α.γ Ρ() = ( ρ)π() + υ() Σωστή απάντηση είναι η (i διότι ο διαιρέτης ( ρ) είναι πρώτου βαθµού Όπως είδαµε στο (β), το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : ( ρ) είναι σταθερό πολυώνυµο, οπότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Ρ() = ( ρ)π() + υ, και για = ρ έχουµε Ρ(ρ) = (ρ ρ)π(ρ) + υ Ρ(ρ) = υ Β. Πρέπει και αρκεί Ρ() = 0 k k + k + = 0 Άρα σωστή απάντηση η γ. k k + = 0 (k ) = 0 k =

. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 4+ 0 = 4+ + = + + 4 Περιορισµοί: Πρέπει να ισχύουν ( 0 και 4 + 0 0 και 4 + 0 ) ( 0 και 5 και 4 ) 0 () Οπότε έχουµε (4 )(4 + ) = 4+ 0 6 = 4+ 0 για να έχει λύση αυτή η εξίσωση πρέπει 6 0 6 () Λόγω των () και () τελικά πρέπει 0 6 Τότε έχουµε (6 ) = ( 4+ 0) 56 + = 6 + 80 48 + 76 = 0 = 4 ή = 44 απορρίπτεται λόγω περιορισµών + = + + 4 + + = + + 4 θέτω + + = y οπότε + + 4 = y + η εξίσωση γίνεται y = y+

4 Περιορισµοί : Πρέπει y 0 και y τελικά y 0 τότε y = 4(y + ) y 4y = 0 y = 6 ή y = η τιµή y = απορρίπτεται αν y = 6 τότε + + =6 + 5 =0 = ή = 5

5 4. Έστω η συνάρτηση f() = k + ηµ 4 όπου k R Αν η µέγιστη τιµή της f είναι +, να βρείτε το k. Για k = α) Να βρείτε τις τιµές του για τις οποίες η f παίρνει τη µέγιστη τιµή της β) Να λύσετε την εξίσωση f() f + 4 = 0 στο διάστηµα [0, π]. Η µέγιστη τιµή της f είναι ίση µε k +. Άρα k + = + k= Για k = είναι f() = + ηµ 4 α) f() = + + ηµ 4 ηµ 4 ηµ 4 π π π = νπ + 4 = νπ + π, ν Z 8 β) f() f + 4 π + 4 + ηµ 4 π π + 4 4 ηµ 4 π π + 4 4 ηµ 4 π + 4 π π = µπ + + 4 4 π π ή = µπ + π 4 4 π µπ π 0 = µπ + αδύνατη, ή = +, µ Z () 4 ίνεται 0 π () µπ π 0 + π 4 π µπ π π 4 4 π µπ π 4 4

6 Η () = 4 π µ 4 4 µ ή = π 4 µ = 0 ή µ =

7 5. ίνεται το πολυώνυµο Ρ() = α + (β ) β + 6 Αν ο αριθµός είναι ρίζα του Ρ() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι, τότε να αποδείξετε ότι α = και β = 4. Για α = και β = 4 να λύσετε την ανίσωση Ρ() < 0. Πρέπει και αρκεί Το πολυώνυµο γίνεται Ρ () = 0 Ρ ( ) = α+ ( β ) β+ 6= 0 α+ ( β ) + β+ 6 = α β= α β= 6 β = 4 και α = Ρ() = + = ( ) + ( ) = ( )( + +) + ( ) = ( ) ( + 5 +) Ρίζες του πολυωνύµου : Ρ() = 0 ( ) ( + 5 +) = 0 = 0 ή + 5 + = 0 = ή = ή = Πρόσηµο του Ρ() + Ρ() 0 + 0 0 + Ρ() < 0 < ή < <

8 6. Έστω η συνάρτηση f() = + Να βρείτε το πεδίο ορισµού. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f είναι πάντοτε χαµηλότερα από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = Πρέπει + 0 y + y 0 Θέτουµε y 5 = y () log log log log log log 0 0 log (log log5) 0 log (log5) 0 log Εποµένως το πεδίο ορισµού της f είναι το Α f = 0, log 5 Αρκεί να αποδείξουµε ότι f() < g() για κάθε A f + + < < 0 < 5 που ισχύει log log 5 0

9 7. Έστω το πολυώνυµο Ρ() = (logλ) 4 + 5 +6 + 5 4κ-λ (λ + 5) 5 k 50 Το οποίο είναι ου βαθµού και έχει ρίζα το 0 Να αποδείξετε ότι λ = και k = Για λ = και k = να λύσετε την ανίσωση Ρ() > 0 Αφού το πολυώνυµο είναι τρίτου βαθµού θα είναι logλ = 0 λ = Επίσης Επειδή το 0 είναι ρίζα έχουµε Ρ(0) = 0 5 4κ-λ (λ + 5) 5 k 50 = 0 και αφού λ = 5 4κ- 8 5 k 50 = 0 4k 5 5 8 5k 50 = 0 5 4k 0 5 k 5 = 0 θέτω 5 k = y οπότε έχω y 0y 5 = 0 y = 5 ή y = 5 αν y = 5 τότε 5 k = 5 5 k = 5 k = Ενώ αν y = 5 τότε 5 k = 5 η οποία είναι αδύνατη Για λ= και k = το πολυώνυµο γίνεται Ρ() = 5 + 6 οπότε Ρ() >0 5 + 6 >0 5 +6 = 0 ( 5 + 6) = 0 = 0 ή = ή = το πρόσηµο του Ρ() φαίνεται στον άξονα 0 + Ρ() 0 + 0 0 + Οπότε Ρ() >0 (0, ) (, + )

0 8. A. α) Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν ν + α ν- ν- + + α + α ο =0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α ο. β) Έστω πολυώνυµο Ρ() και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν το Ρ() έχει παράγοντα το ( ρ) και π() είναι το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ) τότε i. Ρ() = ( ρ)π() + ii. π() = ( ρ)ρ() iii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το ( ρ ) είναι µηδενικού βαθµού iν. Ρ(ρ) = 0 Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Β. α) Να χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) i. Η εξίσωση 5 + 6 = 0 έχει ρίζα το 4 ii. Η εξίσωση 4 4 +5 + 7 + 4 = 0 έχει ρίζα το iii. Η εξίσωση 6 6 + 7 + 4 = 0 δεν έχει ρίζα το β) Το πολυώνυµο Ρ() = (4 + 5) 004 + 00 έχει παράγοντα το i. + ii.., iii., iν.. + 5 4 Επιλέξτε την σωστή απάντηση Α. α) ρ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης α ν ρ ν + α ν- ρ ν- + + α ρ + α ο = 0 α ο = α ν ρ ν α ν- ρ ν- α ρ α ο = ρ( α ν ρ ν- α ν- ρ ν- α ) ρ διαιρεί τον α ο Α. β) Σωστή απάντηση είναι η (iν) Β. α) i Λ, ii Λ, iii Σ Β. β) Σωστή απάντηση είναι η (

9. Σ ένα σύστηµα γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους και y ισχύει D + 9D = 6D D + y = 6 y y όπου D, D y οι γνωστές ορίζουσες Αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να αποδείξετε ότι αυτή είναι η (, y) = 9, Να προσδιορίσετε τις τιµές των k και λ ώστε οι παραβολές y = + k και y = 5 + λ να διέρχονται από το σηµείο Α (, y) όπου (, y) η λύση του συστήµατος του ( και στην συνέχεια να βρείτε τις συντεταγµένες του άλλου σηµείου τοµής των δύο παραβολών D + 9 D y = 6D D y D + 9 D y 6D D y = 0 (D D y ) = 0 D D y = 0 D = D y () Επειδή το σύστηµα έχει µοναδική λύση θα είναι D 0 και η λύση του συστήµατος θα δίνεται από τους τύπους D = D και y = D y D ιαιρώντας τα µέλη της () µε D έχουµε ότι D D = Dy = y µετά από αυτά το σύστηµα γίνεται D = y το οποίο λύνοντας βρίσκουµε = 9 + y = 6 και y = Για να διέρχεται η παραβολή y = + k από το σηµείο Α 9, θα πρέπει = 9 + k k = 9 οµοίως για να συµβαίνει το ίδιο για την δεύτερη παραβολή θα πρέπει λ = 5 4 λύνοντας τώρα την εξίσωση 9 = 5 + 5 4 βρίσκουµε ότι η τετµηµένη του άλλου σηµείου τοµής των παραβολών είναι ίση µε = 9 τότε y = 9 9 = 8

0. α) Να βρείτε τις τιµές των α και β έτσι ώστε, για κάθε και να ισχύει + α β = + 5+ 6 β) Αν το πολυώνυµο Ρ() = (k ) 4 + k (k + 5) + (5k+) 6 είναι τρίτου βαθµού, να βρείτε την τιµή του k και στην συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. α) + α β = + 5+ 6 + α β = + ( )( ) + = α( ) + β( ) + = (α + β) α β = α + β και = α β α = 5 και β = 7 β) Ρ() ου βαθµού k = 0 και k 0 k = Για k = το πολυώνυµο γίνεται Ρ() = 9 + 6 Σχήµα Horner για =: Ρ() = ( ) ( 7 + 6) Ρ() = 0 ( ) ( 7 + 6) = 0 = 0 ή 7 + 6 = 0 = ή = ή =