Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 19/2/2016. Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις.

Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 19/2/2016 Άσκηση Φ1.1 Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις. (a) ( p ( p )) ( r) (b) ( p ( r)) (( p ) r) (c) ( p r) ( r) Λύση Άσκησης Φ1.1 (a) p r p p ( p ) r ( ) r ( p ( p )) ( r) F F F T T F T T F F T T T F T T F T F T T T F F F T T T T F T T T F F F T F T T T F T F T F T T T T F T T T F F T T T T T F T T (b) r p ( r) p ( p ) r (b) F F F T T F T T F F T T T F T T F T F F T T F F F T T T T T T T T F F T T T F F T F T T T T T T T T F F F T F T T T T T T T T T p (c) p r r r p r ( p r) ( r) F F F T T F F F T T T F F T F F T T F T T T T F T F F T F T T F T T T F T T F F F F T T T T T F 1

Άσκηση Φ1.2 Έστω p, και r, ατομικές προτάσεις. 1. Αποδείξτε ότι οι προτάσεις p ( r) και (p ) (p r) είναι λογικά ισοδύναμες. 2. Ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία; p ( r) (p ) (p r) Λύση Άσκησης Φ1.2 1. Δύο προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες εάν και μόνο εάν έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας σε όλες τις γραμμές των πινάκων αληθείας τους. Πίνακες αληθείας : p r r p ( r) F F F F F F F T F F F T F F F F T T T T T F F F T T F T F T T T F F T T T T T T p r p p r ( p ) ( p r) F F F F F F F F T F T F F T F T F F F T T T T T T F F T T T T F T T T T T T F T T T T T T T T T Οι ζητούμενες προτάσεις έχουν τον ίδιο πίνακα αληθείας, άρα είναι λογικά ισοδύναμες. 2. Όπως, και στο προηγούμενο ερώτημα, έχουμε: p r r p ( r) F F F F F F F T T T F T F T T F T T T T T F F F T T F T T F T T F T F T T T T F 2

p r p p r (p ) (p r) F F F F F F F F T F T T F T F T F T F T T T T T T F F T T T T F T T F T T T F F T T T T T F F F Παρατηρούμε ότι οι πίνακες αληθείας δεν είναι ίδιοι, κι επομένως οι δύο λογικές προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες. Άσκηση Φ1.3 Έστω p και, ατομικές προτάσεις. 1. Αποδείξτε με πίνακες αληθείας ότι η πρόταση (p ) (p ) αποτελεί αντίφαση 2. Αποδείξτε με χρήση ισοδυναμιών ότι η πρόταση (p ) (p ) αποτελεί ταυτολογία 3. Αποδείξτε με χρήση ισοδυναμιών ότι η πρόταση (p ) (p ) αποτελεί ταυτολογία Λύση Άσκησης Φ1.3 (1) Μια πρόταση αποτελεί αντίφαση όταν κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει F. Πίνακας αληθείας : P p p ( p ) ( p ) ( p ) F F F F T F F T F T F F T F F T F F T T T T F F Επομένως η πρόταση αποτελεί αντίφαση. (2) ( p ) ( p ) [ ή] ( p ) ( p ) [... ό ] ( p ) ( p ) 3

(3) ( p ) ( p ) [... ό ] ( p ) ( p ) [ de Morgan] ( p ) ( p ) [ ή] p ( ( p )) [ ή] p ( p ( )) [ ί ] p ( p T ) [ ό ί ] p [ ό ί ] Άσκηση Φ1.4 Κατασκευάστε τον πίνακα αληθείας των παρακάτω προτάσεων (1) (p ) ( p) T (2) ((p ) r) ( (p r) ) Είναι κάποια από αυτές τις προτάσεις ταυτολογία; Είναι κάποια από αυτές τις προτάσεις αντίφαση; Λύση Άσκησης Φ1.4 (1) p p (p ) ( p) (p ) ( p) F F T T T T F T T T T T T F F F T T T T F T F T Από τον παραπάνω πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι η πρόταση (1) είναι ταυτολογία (2) p r p (p ) r (p r) (p r) (p r) 4 ((p ) r) ( (p r) ) F F F T T F F T T F F F T T T T T F F F F T F F F F F T T F F T T F F F T F T F T F F T T F T F F T T F T T T T T F F F T T F F T F T F T F T T T F T T T F T T Επομένως η πρόταση (2) δεν είναι ούτε ταυτολογία ούτε αντίφαση.

Άσκηση Φ1.5 Αγνοώντας όλες τις ενδεχόμενες συμβάσεις για την προτεραιότητα τελεστών, απαριθμείστε όλες τις ερμηνείες που θα μπορούσε να έχει η έκφραση p r. Είναι μεταξύ τους ισοδύναμες; Λύση Άσκησης Φ1.5 Οι πιθανές ερμηνείες που έχει η έκφραση p r είναι οι ακόλουθες: 1. p ( r) 2. ( p ) r 3. (p ( r)) 4. ((p ) r) 5. (p ) r Λύση Άσκησης Φ1.5 1. p r p r p ( r) F F F T F F F F T T T T F T F T T T F T T T T T T F F F F T T F T F T T T T F F T T T T T F T T 2. p r p p ( p ) r F F F T F F F F T T F T F T F T T T F T T T T T T F F F T T T F T F T T T T F F T T T T T F T T 5

3. p r r p ( r) (p ( r)) F F F F T F F F T T T F F T F T T F F T T T T F T F F F F T T F T T T F T T F T T F T T T T T F 4. p r p (p ) r ((p ) r) F F F T T F F F T T T F F T F T T F F T T T T F T F F F F T T F T F T F T T F T T F T T T T T F 5. p r p (p ) (p ) r F F F T F F F F T T F T F T F T F F F T T T F T T F F F T T T F T F T T T T F T F F T T T T F T Ισοδυναμία παρατηρείται μεταξύ των προτάσεων p ( r) και ( p ) r. Επίσης ισοδύναμες είναι και οι προτάσεις (p ( r)) και ((p ) r). Η πέμπτη πρόταση δεν είναι ισοδύναμη με καμία από τις παραπάνω. Άσκηση Φ1.6 Έστω οι προτάσεις p= O Γιάννης είναι υγιής και = O Γιάννης είναι πλούσιος και r= Ο Γιάννης είναι σοφός. Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις σε προτασιακό λογισμό: (a) Ο Γιάννης δεν είναι πλούσιος αλλά είναι υγιής και σοφός (b) Ο Γιάννης δεν είναι ούτε υγιής, ούτε πλούσιος ούτε σοφός (c) Αν ο Γιάννης είναι υγιής και σοφός, τότε είναι πλούσιος (d) Ικανή συνθήκη για να είναι ο Γιάννης πλούσιος είναι να είναι υγιής 6

(e) Αναγκαία συνθήκη για να είναι ο Γιάννης σοφός είναι να είναι υγιής (f) Ο Γιάννης είναι είτε πλούσιος είτε υγιής αλλά όχι και τα δύο (g) Ο Γιάννης είναι πλούσιος αν και μόνο αν είναι υγιής και σοφός Λύση Άσκησης Φ1.6 (a) p r (b) p r (c) (d) (e) p r p r p p (f) (g) p r Άσκηση Φ1.7 Γράψτε ως προτάσεις του προτασιακού λογισμού τις παρακάτω προτάσεις που δίνονται σε φυσική γλώσσα (α) απομονώνοντας πρώτα τις ατομικές προτάσεις και (β) χρησιμοποιώντας λογικούς τελεστές. (1) Θα πάω στο σχολείο μόνο αν μου δώσεις τώρα ένα μπισκότο (2) Ο Γιάννης και η Μαρία τρέχουν (3) Δεν είναι αλήθεια ότι δεν υπάρχει καπνός χωρίς φωτιά (4) Αν πίνω πολύ θα κάνω κακό στην υγεία μου ή θα κάνω κάτι παράλογο (5) Κάποιος δικαιούται κοινωνική περίθαλψη αν είναι νόμιμα εργαζόμενος ή εάν ήταν νόμιμα εργαζόμενος μέσα στα τελευταία τρία χρόνια εκτός και εάν αυτή τη στιγμή εργάζεται στο εξωτερικό. Λύση Άσκησης Φ1.7 1 p: Θα πάω στο σχολείο, : Δώσε μου τώρα ένα μπισκότο p 2 p: Ο Γιάννης τρέχει, : Η Μαρία τρέχει p 3 p: Υπάρχει καπνός, : Υπάρχει φωτιά Η πρόταση που δεν είναι αλήθεια είναι η «Δεν υπάρχει καπνός χωρίς φωτιά» p. Αυτή είναι ισοδύναμη με την αντιστροφοαντίθετή της p. Ισχύει η άρνηση αυτής, επομένως ισχύει ότι ( p) δηλαδή ότι p («υπάρχει φωτιά και δεν υπάρχει καπνός»). 4 p: Πίνω πολύ, : Κάνω κακό στην υγεία μου, r: Κάνω κάτι παράλογο p ( r) 5 p: Κάποιος δικαιούται κοινωνική περίθαλψη, : Είναι νόμιμα εργαζόμενος, r: Ήταν νόμιμα εργαζόμενος μέσα στα τελευταία τρία χρόνια, k: Αυτή τη στιγμή εργάζεται στο εξωτερικό (( r) k) p Άσκηση Φ1.8 Έστω οι ατομικές προτάσεις: p = Ο ανελκυστήρας λειτουργεί = Εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα" 7

r = Εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα" s = Εσύ είσαι υπέρβαρος" t = Υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα" Αποδώστε σε φυσική γλώσσα τις παρακάτω προτάσεις: 1. p 2. p (t r) 3. (r s) p 4. (( t ( r)) p) 5. ( p (( r) (r s))) Λύση Άσκησης Φ1.8 1. ΑΝ εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα ΤΟΤΕ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί. 2. ΑΝ ο ανελκυστήρας λειτουργεί ΤΟΤΕ υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα ΚΑΙ εσύ ΔΕΝ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα. 3. ΑΝ εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ είσαι υπέρβαρος ΤΟΤΕ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί. 4. ΑΝ ΔΕΝ υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα Ή εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα ΤΟΤΕ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί. 5. ΑΝ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί ΤΟΤΕ εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ Βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα Ή εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ είσαι υπέρβαρος. Άσκηση Φ1.9 Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις στον προτασιακό λογισμό. Κατόπιν, χρησιμοποιείστε τους κανόνες De Morgan για να γράψετε τις αρνήσεις τους και τέλος, διατυπώστε αυτές τις αρνήσεις σε φυσική γλώσσα. (a) Ο Κώστας έχει ειδίκευση στα Μαθηματικά και ο αδερφός του Κώστα στην Επιστήμη Υπολογιστών (b) Ο Πάνος έχει πορτοκαλί ζώνη και ο Νίκος κόκκινη (c) Η πρίζα έχει χαλαρώσει ή η μηχανή δεν είναι στην πρίζα (d) Αυτό το πρόγραμμα υπολογιστή έχει σφάλμα στις πρώτες 10 γραμμές ή το σύνολο δεδομένων στο οποίο εκτελείται είναι ελλιπές. (e) Το Ευρώ έχει την ψηλότερη τιμή όλων των εποχών και το χρηματιστήριο έχει καταγράψει την κατώτατη τιμή. (f) Το τρένο άργησε ή το ρολόι μου πάει μπροστά. Λύση Άσκησης Φ1.9 (a) Έστω p= Ο Κώστας έχει ειδίκευση στα Μαθηματικά και = ο αδερφός του Κώστα έχει ειδίκευση στην Επιστήμη Υπολογιστών. Η πρόταση γράφεται p Η άρνηση της είναι ( p ) p που έχει το νόημα ότι O Κώστας δεν έχει ειδίκευση στα Μαθηματικά ή ο αδελφός του δεν έχει ειδίκευση στην Επιστήμη Υπολογιστών. (b) Έστω p= Ο Πάνος έχει πορτοκαλί ζώνη και = Ο Νίκος έχει κόκκινη ζώνη. Η πρόταση γράφεται p. Η άρνηση της είναι ( p ) p που έχει το νόημα ότι O Πάνος δεν έχει πορτοκαλί ζώνη ή ο Νίκος δεν έχει κόκκινη ζώνη. 8

(c) Έστω p= Η πρίζα έχει χαλαρώσει και = η μηχανή δεν είναι στην πρίζα. Η πρόταση γράφεται. Η άρνηση της είναι ( p ) p που έχει το νόημα ότι Η πρίζα δεν έχει χαλαρώσει και η μηχανή είναι στην πρίζα. (d) Έστω p= Αυτό το πρόγραμμα υπολογιστή έχει σφάλμα στις πρώτες 10 γραμμές και = το σύνολο δεδομένων στο οποίο εκτελείται το πρόγραμμα είναι ελλιπές. Η πρόταση γράφεται. Η άρνηση της είναι ( p ) p που έχει το νόημα ότι Αυτό το πρόγραμμα υπολογιστή δεν έχει σφάλμα στις πρώτες 10 γραμμές και το σύνολο δεδομένων στο οποίο εκτελείται δεν είναι ελλιπές. (e) Έστω p= Το Ευρώ έχει την ψηλότερη τιμή όλων των εποχών και = το χρηματιστήριο έχει καταγράψει την κατώτατη τιμή. Η πρόταση γράφεται Η άρνηση της είναι ( p ) p που έχει το νόημα ότι Το Ευρώ δεν έχει την ψηλότερη τιμή όλων των εποχών ή το χρηματιστήριο δεν έχει καταγράψει την κατώτατη τιμή. (f) Έστω p= Το τρένο άργησε και = το ρολόι μου πάει μπροστά. Η πρόταση γράφεται. Η άρνηση της είναι ( p ) p που έχει το νόημα ότι Το τρένο δεν άργησε και το ρολόι μου δεν πάει μπροστά. p p p p Άσκηση Φ1.10 Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αποτελούν αντίφαση και ποιές ταυτολογία; (a) ( p ) ( p ( p )) (b) ( p ) ( p ) (c) (( p ) ( r)) (d) ( p ) ( p ) Λύση Άσκησης Φ1.10 Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει πίνακες αληθείας. Ωστόσο, μπορεί να καταλήξει στο ζητούμενο χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες: (a) ( p ) ( p ( p )) ( p ) (( p p) ( p )) ( p ) ( T ( p )) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) T Άρα είναι ταυτολογία (b) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) F Άρα είναι αντίφαση " 9

(c) (( p ) ( r))) p r ( ) ( p r) F ( p r) F Άρα είναι αντίφαση (c) ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) T Άρα είναι ταυτολογία Άσκηση Φ1.11 Έστω p,, και r οι προτάσεις: p: Θα γράψω 10 στην τελική εξέταση του ΗΥ118 : Θα λύσω όλες τις ασκήσεις του ΗΥ118 r: Θα περάσω με 10 το ΗΥ118 Γράψτε τις ακόλουθες προτάσεις χρησιμοποιώντας τις p,, και r και λογικούς τελεστές. 1. Θα πάρω 10 στο ΗΥ118 αλλά δεν θα λύσω όλες τις ασκήσεις 2. Για να περάσω με 10 το ΗΥ118 είναι αναγκαίο να γράψω 10 στην τελική εξέταση 3. Το να γράψω 10 στον τελικό και να λύσω όλες τις ασκήσεις επαρκεί για να το περάσω με 10 το ΗΥ118. Λύση Άσκησης Φ1.11 1) r 2) r p 3) ( p ) r Άσκηση Φ1.12 (α) Χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες, δείξτε ότι η πρόταση ( a c) ( b c) ( c a) είναι ισοδύναμη με την πρόταση ( b c) a. (β) Χρησιμοποιώντας πίνακες αληθείας, δείξτε ότι η πρόταση ( a c) ( b c) ( c a) δεν είναι ισοδύναμη με την ( a c) ( b c). 10

Λύση Άσκησης Φ1.12 (α) (β) α b c ( a c) ( b c) ( c a) [ ά... ό ] ( a c) ( b c) ( c a) [ ή] ( a c) ( c a) ( b c) [ ή] ( a c) ( a c) ( b c) [ ή] ( a ( c c)) ( b c) [ ί ] ( a F) ( b c) [ έ ί ] a c b c c a a ( b c) ( a c) ( b c) ( a c) ( b c) ( c a) F F F F T T F F F F T T T F T F F T F F F T F F F T T T T F T F T F F T T T T T T F T T T T T T T T F T F T F F T T T T T T T T Από τον πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι οι δύο στήλες δεν είναι ίδιες άρα ΔΕΝ ισχύει. Άσκηση Φ1.13 Χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες, απλοποιήστε την πρόταση (( a b) c) b (γράψτε την χρησιμοποιώντας λιγότερους τελεστές). Λύση Άσκησης Φ1.13 (( a b) c) b [ ά... ό ] (( a b) c) b [ ή] ( b ( a b)) ( b c) [ ή] (( b a) ( b b)) ( b c) [ ί ] (( b a) F) ( b c) [ έ ί ] ( b a) ( b c) [ ή] b ( a c) 11

Άσκηση Φ1.14 Χρησιμοποιείστε λογικές ισοδυναμίες για να αποδείξετε ότι η πρόταση ((p ) ) p είναι ταυτολογία. Λύση Άσκησης Φ1.14 ((p ) ) p [αν τότε] (( p ) ) p [επιμεριστική] (( p ) ( )) p [αντίφαση] (( p ) F) p [ουδέτερο στοιχείο] ( p ) p [DeMorgan] ( (p )) p [αν τότε] ( (p )) p [διπλή άρνηση] (p ) p [προσεταιριστική] (p p) [ταυτολογία] T [απορροφητικό] T Άσκηση Φ1.15 Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις, βρέστε (αν υπάρχει) μία τιμή των επιμέρους ατομικών προτάσεων που τις κάνουν αληθείς. 1. ( a b) a 2. (( a c) b) ( a b) Λύση Άσκησης Φ1.15 (1) a b b a b ( a b) a F F T T F F T F T F T F T T T T T F F F Άρα είναι True για: a=t και b=f (2) a c ( a c) b a b (( a c) b) ( a b) F F F T T T F F F F T T T T F F F T F T F F T F F T T T F F T F T F F F T T T T T F T T T T T T T T F F F T T T T T T T F F T F a b c b Άρα είναι True για: a=t, b=f, c=f a=t, b=f, c=t a=t, b=t, c=f 12

Άσκηση Φ1.16 Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις, βρέστε (αν υπάρχει) μία τιμή των επιμέρους ατομικών προτάσεων που τις κάνουν ψευδείς. 1. ( a b) a 2. ( b ( a c)) ( a b) Λύση Άσκησης Φ1.16 (1) a b b a b ( a b) a F F T T T F T F T T T F T T T T T F F T ΔΕΝ υπάρχει καμία τιμή των επιμέρους ατομικών προτάσεων που τις κάνουν ψευδείς (2) a b c b b ( a c) a b ( b ( a c)) ( a b) a c F F F T T T F T F F T T T T F T F T F F T T F T F T T F T T F T T F F T F F F F T F T T T T F T T T F F F T T T T T T F T T T T Είναι False για : a=t, b=f, c=f Άσκηση Φ1.17 Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις γράψτε την άρνησή της. (a) Αν το Π είναι τετράγωνο, τότε είναι ορθογώνιο (b) Αν σήμερα είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς, τότε αύριο θα είναι Ιανουάριος (c) Αν τα δεκαδικά ψηφία του r είναι πεπερασμένα, τότε ο r είναι ρητός (d) Αν ο n είναι πρώτος, τότε ο n είναι περιττός ή o n είναι το 2. (e) Αν ο x είναι μη αρνητικός, τότε ο x είναι θετικός ή μηδέν. (f) Αν ο Νίκος είναι ο πατέρας της Άννας, τότε ο Δημήτρης είναι θείος της και η Μαρία θεία της (g) Αν ο n διαιρείται με το 6, τότε ο n διαιρείται με το 2 και με το 3. Λύση Άσκησης Φ1.17 (a) Το Π είναι τετράγωνο και δεν είναι ορθογώνιο (b) Σήμερα είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς και αύριο δεν είναι Ιανουάριος (c) Τα δεκαδικά ψηφία του r είναι πεπερασμένα και ο r είναι άρρητος (d) Ο n είναι πρώτος και ο n είναι άρτιος και διαφορετικός του 2. (e) Ο x είναι μη αρνητικός, και ο x είναι μη θετικός και διάφορος του μηδενός. (f) Ο Νίκος είναι ο πατέρας της Άννας, και ο Δημήτρης δεν είναι θείος της ή η Μαρία δεν είναι θεία της (g) Ο n διαιρείται με το 6, και ο n δεν διαιρείται με το 2 ή δεν διαιρείται με το 3. 13

Άσκηση Φ1.18 Για κάθε πρόταση της προηγούμενης άσκησης γράψτε την αντίστροφή της και την αντιθετική της. Λύση Άσκησης Φ1.18 (a) Αντίστροφη: Αν το Π είναι ορθογώνιο τότε είναι τετράγωνο. Αντιθετική: Αν το Π δεν είναι τετράγωνο τότε δεν είναι ορθογώνιο. (b) Αντίστροφη: Αν αύριο θα είναι Ιανουάριος, σήμερα είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς. Αντιθετική: Αν σήμερα δεν είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς, αύριο δεν θα είναι Ιανουάριος. (c) Αντίστροφη: Αν ο r είναι ρητός τότε τα δεκαδικά ψηφία του είναι πεπερασμένα. Αντιθετική: Αν τα δεκαδικά ψηφία του r είναι άπειρα τότε είναι άρρητος. (d) Αντίστροφη: Αν ο n είναι περιττός ή o n είναι το 2, τότε ο n είναι πρώτος. Αντιθετική: Αν ο n δεν είναι πρώτος, τότε είναι άρτιος και διάφορος του 2. (e) Αντίστροφη: Αν ο x είναι θετικός ή μηδέν τότε είναι μη αρνητικός. Αντιθετική: Αν ο x είναι αρνητικός τότε είναι μη θετικός και διάφορος του μηδενός. (f) Αντίστροφη: Αν ο Δημήτρης είναι θείος της Άννας και η Μαρία θεία της τότε ο Νίκος είναι ο πατέρας της. Αντιθετική: Αν ο ο Νίκος δεν είναι ο πατέρας της Άννας τότε ο Δημήτρης δεν είναι θείος της ή η Μαρία δεν είναι θεία της. (g) Αντίστροφη: Αν ο n διαιρείται με το 2 και με το 3 τότε διαιρείται με το 6. Αντιθετική: Αν ο n δεν διαιρείται με το 6 τότε δεν διαιρείται με το 2 ή με το 3. Άσκηση Φ1.19 Χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες, αποδείξτε τις παρακάτω προτάσεις: 1. (p ) p p 2. p ( r) (p ) (p r) Λύση Άσκησης Φ1.19 (1) ( p ) p [ ή] p ( p ) [ ή] ( p p) ( p ) [ ί ] ( p ) [ έ ί ] ( p ) [... ό ] p 14

(2) ( p ) ( p r) [... ό ] ( p ) ( p r) [ ή] p ( r) [... ό ] p ( r) Άσκηση Φ1.20 Γνωρίζουμε ότι η εξής ισοδυναμία ισχύει: p ( p ) ( p ). p p (a) Να βρείτε μία απλούστερη πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την πρόταση (b) Να βρείτε μία απλούστερη πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την πρόταση ( p p) p (c) Ισχύει η ισοδυναμία ( p ) r ( p r) ( r); Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Λύση Άσκησης Φ1.20 (a) p p ( p p) ( p p) p p F p p Άρα η πρόταση είναι αντίφαση και το False είναι η απλούστερη δυνατή έκφρασή της. (b) ( p p) p F p p (c ) Έστω p p ( p ) r p r r ( p r) ( r); F F F F F F F F F F T F F F F F F T F T F F F F F T T T T F T T T F F T F F F F T F T T T T F T T T F F F F F F T T T F F T T F r Όπως προκύπτει από τον παραπάνω πίνακα αληθείας, η εν λόγω ισοδυναμία ισχύει. Άσκηση Φ1.21 Αποδείξτε ότι η πρόταση p μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με χρήση μόνο των τελεστών και Λύση Άσκησης Φ1.21 Αρκεί να καταλήξω σε μία πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την αρχική, στην οποία να υπάρχουν μόνο αρνήσεις και λογικές διαζεύξεις. Πράγματι, 15

p (p ) ( p) [ορισμός της ] ( p ) ( p) [ορισμός της ] (p ) ( p) [De Morgan] Άσκηση Φ1.22 Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν δεν παίρνονται κατάλληλα οικονομικά μέτρα, τότε υπάρχει οικονομική κρίση Εάν υπάρχει οικονομική κρίση τότε υπάρχει ανεργία Αν υπάρχει ανεργία, τότε ο κόσμος δεν είναι χαρούμενος Δείξτε ότι εάν δεν παίρνονται κατάλληλα οικονομικά μέτρα, τότε ο κόσμος δεν είναι χαρούμενος. Λύση Άσκησης Φ1.22 Έστω οι προτάσεις: Μ= Παίρνονται τα κατάλληλα οικονομικά μέτρα O= Υπάρχει οικονομική κρίση A= Υπάρχει ανεργία X= Ο κόσμος είναι χαρούμενος Τότε τα δεδομένα γράφονται ως: ( M O) (O A) (A X) Ζητείται να αποδείξουμε ότι M Χ Αρκεί να αποδείξουμε ότι η πρόταση (( M O) (O A) (A X)) ( M Χ) είναι ταυτολογία. Πράγματι, (( M O) (O A) (A X)) ( M Χ) ((Μ Ο) ( Ο Α) ( Α Χ)) ( M Χ) ( (Μ Ο) ( Ο Α) ( Α Χ)) (M Χ) ( Μ Ο) (Ο Α) (Α Χ) (M Χ) ( Μ Ο) (Ο Α) (Α Χ) M Χ M ( Μ Ο) (Ο Α) (Α Χ) Χ ((M Μ) (Μ Ο)) (Ο Α) ((Α Χ ) (Χ Χ)) (Τ (Μ Ο)) (Ο Α) ((Α Χ ) Τ) (Μ Ο) (Ο Α) (Α Χ ) (Μ Ο) (Ο Α) Α Χ Χ (Μ Ο) ((Ο Α) Α) Χ (Μ Ο) ((Ο Α ) ( Α Α)) Χ (Μ Ο) ((Ο Α ) Τ) Χ Μ Ο (Ο Α ) Χ Μ Ο Ο Α Χ Μ Α ( Ο Ο) Χ Μ Α Τ ( Χ Μ Α) Τ Τ 16

Άσκηση Φ1.23 Σε ένα αρχαιολογικό μουσείο υπάρχουν δύο δωμάτια, τα Δ1 και Δ2 που έχουν τις εξής επιγραφές: Δ1 Σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει ένα άγαλμα και στο άλλο δωμάτιο υπάρχει ένας κίονας. Δ2 Σε κάποιο από τα δωμάτια αυτά υπάρχει ένα άγαλμα και σε κάποιο από αυτά τα δωμάτια υπάρχει ένας κίονας. Μία από τις δύο επιγραφές είναι αληθής και η άλλη ψευδής. Σε ποιο δωμάτιο βρίσκεται ο κίονας; Υποθέτουμε ότι δεν μπορεί στο ίδιο δωμάτιο να υπάρχει κίονας και άγαλμα ταυτόχρονα. Λύση Άσκησης Φ1.23 Έχουμε τις ακόλουθες προτάσεις: p: υπάρχει ένα άγαλμα στο Δ1 : υπάρχει ένας κίονας στο Δ1 Με βάση τις δύο επιγραφές προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αληθείας: p p Δ1: p p Δ2: (p ) ( p ) F F T T F F F F T T F F T T T F F T T F T T T F F F F F Από την εκφώνηση έχουμε ότι μόνο μία επιγραφή είναι αληθής. Άρα p Δ1: p Δ2: (p ) ( p ) F F F F F T F T T F T T T T F F Έτσι, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο κίονας βρίσκεται στο Δ1. Άσκηση Φ1.24 Ο Αντώνης λέει: O Χάρης λέει ψέματα Παναγιώτης λέει: Ο Αντώνης και ο Χάρης ποτέ δεν ψεύδονται Ο Χάρης απαντά Ο Παναγιώτης λέει την αλήθεια Υποθέτοντας ότι όποιος λέει ψέματα λέει πάντα ψέματα κι ότι όποιος λέει την αλήθεια λέει πάντα την αλήθεια, ποιος λέει την αλήθεια και ποιος ψέματα; Λύση Άσκησης Φ1.24 Θέτουμε τις παρακάτω προτάσεις: p = «ο Αντώνης λέει αλήθεια» = «ο Παναγιώτης λέει αλήθεια» r = «ο Χάρης λέει αλήθεια» και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: r : r :( p r) : F F F T F F F F T F F F F T F T F T F T T F F T p 17

T F F T F F T F T F T F T T F T F T T T T F T T Από τον ορισμό γνωρίζουμε ότι όποιος λέει ψέματα λέει πάντα ψέματα και όποιος λέει αλήθεια λέει πάντα την αλήθεια. Άρα για να ισχύει αυτό θα πρέπει να έχουμε: Όταν p = T και το A = T, ενώ όταν p = F και το A = F Όταν = T και το Π = T, ενώ όταν = F και το Π = F Όταν r = T και το Χ = T, ενώ όταν r = F και το Χ = F Επομένως, σύμφωνα με τους παραπάνω περιορισμούς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ισχύει p = T, = F, r = F. Η απόδοση του αποτελέσματος στην φυσική γλώσσα είναι ότι «ο Αντώνης λέει αλήθεια» ενώ «ο Παναγιώτης και ο Χάρης λένε ψέματα». Άσκηση Φ1.25 Ο δυαδικός τελεστής ΝΟR του προτασιακού λογισμού συνδέει δύο προτάσεις p και και η πρόταση r = p NOR διαβάζεται ως ούτε p ούτε. Η πρόταση αυτή είναι αληθής αν και μόνο αν και η p και η είναι ψευδείς προτάσεις. Δείξτε ότι οι προτάσεις (α) p (β) p και (γ) p μπορούν να γραφούν με ισοδύναμες εκφράσεις στις οποίες να γίνεται χρήση μόνο του τελεστή ΝΟR. Λύση Άσκησης Φ1.25 (α) Από τον παρακάτω πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι p pnorp P P pnorp T T F F F F T T (β) Από τον παρακάτω πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι P Q pnorp NOR ( pnorp ) NOR( NOR ) p F F T T F F F T T F F F T F F T F F T T F F T T (γ) Από τον παρακάτω πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι p ( pnor ) NOR( pnor ) p Q pnor ( pnor ) NOR( pnor ) p F F T F F F T F T T T F F T T T T F T T p 18

Άσκηση Φ1.26 Ο δυαδικός τελεστής ΝAND του προτασιακού λογισμού συνδέει δύο προτάσεις p και και η πρόταση r = p NAND διαβάζεται οι p και δεν ισχύουν ταυτόχρονα. Η πρόταση αυτή είναι ψευδής αν και μόνο αν και η p και η είναι αληθείς προτάσεις. Δείξτε ότι οι προτάσεις (α) p (β) p και (γ) p μπορούν να γραφούν με ισοδύναμες εκφράσεις στις οποίες να γίνεται χρήση μόνο του τελεστή NAND. Λύση Άσκησης Φ1.26 (α) pnandp T T F F F F T T p pnandp p p p (β) ( pnand ) NAND( pnand ) F F T F F F T T F F T F T F F T T F T T p ( pnand ) NAND( pnand ) (γ) pnandp NAND ( pnandp ) NAND( NAND ) p F F T T F F F T T F T T T F F T T T T T F F T T p pnand p ( pnandp ) NAND( NAND ) p p Άσκηση Φ1.27 Σε μία σπηλιά, υπάρχουν τρία σεντούκια, ένα κόκκινο ένα πράσινο και ένα μπλε, καθένα από τα οποία έχει τις εξής επιγραφές: Κόκκινο σεντούκι: Ο θησαυρός είναι εδώ. Μπλε σεντούκι: Ο θησαυρός δεν είναι εδώ. Πράσινο σεντούκι: Ο θησαυρός δεν είναι στο κόκκινο σεντούκι. Γνωρίζοντας ότι μόνο ένα σεντούκι έχει το θησαυρό και πως το πολύ μία επιγραφή είναι αληθής, μπορείτε να βρείτε που βρίσκεται ο θησαυρός; Λύση Άσκησης Φ1.27 Έχουμε τις ακόλουθες προτάσεις: p = «ο θησαυρός είναι στο κόκκινο σεντούκι» = «ο θησαυρός είναι στο μπλε σεντούκι» r = «ο θησαυρός είναι στο πράσινο σεντούκι» και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: 19

p r : p : : p F F F F T T F F T F T T F T F F F T F T T F F T T F F T T F T F T T T F T T F T F F T T T T F F Από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι ο θησαυρός βρίσκεται σε ένα σεντούκι άρα θα αποκλείσουμε τις περιπτώσεις όπου τα p,,r είναι παραπάνω/παρακάτω από ένα ακριβώς True. Άρα θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα: p r : p : : p F F T F T T F T F F F T T F F T T F Από την εκφώνηση επίσης έχουμε ότι το πολύ μία επιγραφή είναι αληθής. Άρα καταλήγουμε στο ότι ο θησαυρός βρίσκεται στο Μπλε σεντούκι. Άσκηση Φ1.28 Γράψτε ως προτάσεις του προτασιακού λογισμού τις παρακάτω προτάσεις που δίνονται σε φυσική γλώσσα (α) απομονώνοντας πρώτα τις ατομικές προτάσεις και (β) χρησιμοποιώντας λογικούς τελεστές. 1. Για να πάρεις 10 σε αυτό το μάθημα πρέπει υποχρεωτικά να πάρεις 10 στο τελικό διαγώνισμα. 2. Το να πάρεις 10 στο τελικό διαγώνισμα και το να λύσεις όλες τις ασκήσεις του βιβλίου αρκούν προκειμένου να πάρεις 10 σε αυτό το μάθημα. 3. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να πάρεις 10 στο τελικό διαγώνισμα είναι να λύσεις όλες τις ασκήσεις του βιβλίου. Λύση Άσκησης Φ1.28 (1) p = Πήρες 10 σε αυτό το μάθημα = Πήρες 10 στο τελικό διαγώνισμα Λύση: p (2) p = Πήρες 10 στο τελικό διαγώνισμα = Έλυσες όλες τις ασκήσεις του βιβλίου r = Πήρες 10 σε αυτό το μάθημα Λύση: (pλ) r (3) p = Πήρες 10 στο τελικό διαγώνισμα = Έλυσες όλες τις ασκήσεις του βιβλίου Λύση: p 20

Άσκηση Φ1.29 Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, βρείτε μία τιμή αληθείας των επιμέρους ατομικών προτάσεων που να την κάνουν αληθή (αν υπάρχει). 1. (a b) a 2. ((a c) b) (a b) 3. ( b ( a c)) (a b) Είναι κάποια από αυτές τις προτάσεις ταυτολογία; Είναι κάποια από αυτές τις προτάσεις αντίφαση; Λύση Άσκησης Φ1.29 (1) a b (a b)λa T T F T F T F T F F F F (2) a b c ((a c) b)λ(avb) T T T F T T F T T F T T T F F T F T T F F T F F F F T F F F F F (3) a b c ( b (a c))v(aλb) T T T T T T F T T F T T T F F F F T T T F T F T F F T T F F F T Καμία από τις προτάσεις ΔΕΝ είναι ταυτολογία. 21

Καμία από τις προτάσεις ΔΕΝ είναι αντίφαση. Άσκηση Φ1.30 Χρησιμοποιείστε ταυτότητες προκειμένου να απλοποιήσετε την πρόταση ((a b) c) b Λύση Άσκησης Φ1.30 ((a b) V c) Λ b [εάν..τότε] (( a V b) V c) Λ b [επιμεριστική] (( a V b) Λ b) V (c Λ b) [επιμεριστική] (( a Λ b ) V ( b Λ b)) V (c Λ b) [αντίφαση] (( a Λ b ) V F) V (c Λ b) [ουδέτερο στοιχείο] ( a Λ b ) V (c Λ b) [επιμεριστική] ( a V c) Λ b Άσκηση Φ1.31 Πόσα χρόνια θα έπαιρνε σε ένα υπολογιστή να υπολογίσει τον πίνακα αληθείας μίας σύνθετης πρότασης που αποτελείται από 90 ατομικές προτάσεις; Υποθέστε ότι χρειάζεται ένα νανο-δευτερόλεπτο (10-9 sec δηλαδή ένα δισεκατομμυριοστό του δευτερολέπτου) για τον υπολογισμό μιας γραμμής του πίνακα αληθείας. Συγκρίνετε το χρόνο που θα εκτιμήσετε με την ηλικία του σύμπαντος η οποία υπολογίζεται περίπου στα 15 δισεκατομμύρια χρόνια. Λύση Άσκησης Φ1.31 Γνωρίζοντας ότι ένας πίνακας αληθείας έχει τόσες γραμμές όσες το 2 υψωμένο στον αριθμό των ατομικών προτάσεων, δηλαδή αν nτο πλήθος των ατομικών προτάσεων τότε ο αριθμός των γραμμών του πίνακα αληθείας προκύπτει από την εξίσωση περίπτωση μας έχουμε 90 ατομικές προτάσεις ( n= 90), άρα το πλήθος των σειρών θα είναι 2 90. Επομένως θα έχουμε: 1 νανοδευτερόλεπτο = 3,168 x 10-17 χρόνια 15 x 10 9 χρόνια = 1 μονάδα εώς τώρα ζωής του σύμπαντος Η συνάρτηση μας είναι η: 2 90 *3,168*10-17 /15*10 9 = 2,61 2 n. Στην Άρα, θα χρειαστούμε 2,61 μονάδες χρόνων ζωής του σύμπαντος, για να υπολογίσουμε τον πίνακα αληθείας ή διαφορετικά διατυπωμένο, ο χρόνος υπολογισμού είναι 2,61 φορές μεγαλύτερος από το χρόνο ζωής του σύμπαντος. Άσκηση Φ1.32 Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να αποδείξουμε την ισοδυναμία δύο λογικών προτάσεων είτε χρησιμοποιώντας πίνακες αληθείας, είτε χρησιμοποιώντας ταυτότητες. Ποια είναι τα πλεονεκτήματα της κάθε προσέγγισης; 22

Λύση Άσκησης Φ1.32 Η απόδειξη προτάσεων με βάση τον πίνακα αληθείας είναι μία συστηματική, αλγοριθμική διαδικασία. Αντίθετα, η απόδειξη με χρήση ταυτοτήτων χρειάζεται φαντασία και έξυπνη επιλογή των χρησιμοποιούμενων ταυτοτήτων, πράγμα που δεν μπορεί να αυτοματοποιηθεί. Από την άλλη, ο πίνακας αληθείας γίνεται πάρα πολύ μεγάλος όταν συμμετέχουν πολλές ατομικές προτάσεις (βλέπε προηγούμενη άσκηση) και επομένως, σε αυτή την περίπτωση, η χρήση ταυτοτήτων αποτελεί πολύ πιο αποτελεσματική επιλογή. Άσκηση Φ1.33 Σε ένα νησί ζουν δύο φυλές, η Φ1 και η Φ2. Όσοι ανήκουν στη φυλή Φ1 λένε πάντα την αλήθεια και όσοι ανήκουν στη φυλή Φ2 λένε πάντα ψέματα. Πηγαίνετε σε αυτό το νησί και συναντάτε δύο ανθρώπους, τον Α και τον Β. Ο Α σας λέει Εάν ο Β ανήκει στη φυλή Φ1, τότε εγώ ανήκω στη φυλή Φ2. Σε ποια φυλή ανήκει ο Α και σε ποια ο Β; Λύση Άσκησης Φ1.33 Έστω προτάσεις p, : p: Ο Α ανήκει στη Φ1 : Ο Β ανήκει στη Φ1 Ο Α λέει: p Αν ο A ανήκει στη Φ2, τότε αυτό που λέει είναι πάντα ψευδής πρόταση. Άρα η πρόταση p πρέπει να είναι ψευδής. Εφόσον η p είναι ψευδής, η είναι αληθής, και επομένως η p δεν μπορεί να είναι ψευδής. Επομένως, Ο Α δεν μπορεί να ανήκει στη Φ2. Άρα αναγκαστικά ο Α ανήκει στη Φ1. Εφόσον ο A ανήκει στη Φ1, τότε αυτό που λέει είναι πάντα αλήθεια. Άρα η πρόταση p πρέπει να είναι αληθής. Εφόσον και η p είναι αληθής, η είναι ψευδής, και για να είναι η p αληθής πρέπει η να μην είναι αληθής. Άρα ο Β ανήκει στη Φ2. Επομένως, ο Α ανήκει στη Φ1 και ο Β στη Φ2. p p Άσκηση Φ1.34 Ας υποθέσουμε τις εξής ατομικές προτάσεις. A= Ο Άγγελος θα έρθει στο πάρτι Β= Ο Βασίλης θα έρθει στο πάρτι Γ= Ο Γιάννης θα έρθει στο πάρτι Δ= Ο Δημήτρης θα έρθει στο πάρτι Γράψτε σε προτασιακό λογισμό τις ακόλουθες προτάσεις 1. Αν ο Δημήτρης έρθει στο πάρτι, τότε ο Βασίλης και ο Γιάννης θα έρθουν επίσης 2. Ο Δημήτρης θα έρθει στο πάρτι αν και μόνο αν ο Γιάννης έρθει και ο Άγγελος δεν έρθει 3. Αν ο Δημήτρης έρθει στο πάρτι, τότε, αν ο Γιάννης δεν έρθει στο πάρτι τότε ο Άγγελος θα έρθει. 4. Ο Γιάννης θα έρθει στο πάρτι αν δεν έρθει ο Δημήτρης, αλλά αν ο Δημήτρης έρθει, τότε δεν θα έρθει ο Βασίλης 23

5. Μια αναγκαία συνθήκη για να έρθει ο Άγγελος στο πάρτι είναι, αν ο Βασίλης και ο Γιάννης δεν έρθουν, να έρθει ο Δημήτρης Λύση Άσκησης Φ1.34 Ας υποθέσουμε τις εξής ατομικές προτάσεις. A= Ο Άγγελος θα έρθει στο πάρτι Β= Ο Βασίλης θα έρθει στο πάρτι Γ= Ο Γιάννης θα έρθει στο πάρτι Δ= Ο Δημήτρης θα έρθει στο πάρτι 1) Δ (Β Γ) 2) Δ (Γ Α ) 3) Δ ( Γ Α) 4) ( Δ Γ) (Δ Β ) 5) Α ( (Β Γ) Δ) Άσκηση Φ1.35 Αποδείξτε ότι p (p ) ( p ) (α) Χρησιμοποιώντας πίνακα αληθείας (β) Χρησιμοποιώντας νόμους ισοδυναμίας (ταυτότητες). Λύση Άσκησης Φ1.35 α) Πίνακας Αληθείας p (p ) (p ) (p ) (p ) p F F F F T T F T T F F F T F T F F F T T T T T T Παρατηρούμε ότι οι δύο στήλες έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας,οπότε οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. β) Νόμοι ισοδυναμίας p = (p ) ( p) = ( p ) ( p) = ( p ) ( p p ) ( ) ( p ) 24

= ( p ) F F ( p) = ( p ) ( p) = (p ) ( p) αλλά p = ( p ) = (p ) ( p) Οπότε αποδείχτηκε ότι : p = (p ) (p ) Άσκηση Φ1.36 Κάποιος έφτιαξε το παρακάτω κύκλωμα που υλοποιεί μία λογική σχέση R μεταξύ δύο εισόδων P και Q. (1) Ποια πρόταση του προτασιακού λογισμού μας δίνει την R συναρτήσει των P και Q; (2) Δείξτε στον κατασκευαστή του κυκλώματος ότι να μπορούσε να χρησιμοποιήσει μόνο μία πύλη αντί για 5. Λύση Άσκησης Φ1.36 (1) Η Πρόταση είναι η εξής : R<=> ( (P Q ) (P Q) ) Q (2) ( (P Q ) (P Q) ) Q <=> ((P Q ) Q) ((P Q) Q) <=> ( Q Q P) (P Q Q) <=> F (P Q) <=> (P Q) Οπότε ο κατασκευαστής του κυκλώματος θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει μόνο μία πύλη AND αντί για 5 πύλες. Άσκηση Φ1.37 Αποδείξτε με δύο διαφορετικούς τρόπους ότι η πρόταση [p ( p )] είναι ταυτολογία. 25

Λύση Άσκησης Φ1.37 α) p (p ) (p (p )) (p (p )) F F T F T F T T F T T F F F T T T T T T Παρατηρούμε ότι οι τιμές της τελευταίας στήλης είναι όλα Τ.Αυτό σημαίνει πως η πρότασή μου αποτελεί ταυτολογία β) (p (p )) <=> (p ( p )) <=> [(p p) (p )] <=> [F (p )] <=> (p ) <=> (p ) <=> p <=> p T <=> T Οπότε αποτελεί ταυτολογία Άσκηση Φ1.38 Δείξτε κατά πόσον ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες, χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικούς τρόπους για κάθε μία από αυτές. 1. ( p ) ( p ) 2. ( p ) r ( p ) r 3. (( p ) ) p 26

Λύση Άσκησης Φ1.38 1. (p ) ( p ) <=> α) p (p ) ( p ) (p ) ( p ) F F F T F F T T F F T F T T T T T T T T Παρατηρούμε ότι οι δύο στήλες δεν έχουν τις ίδιες τιμές οπότε προκύπτει πώς οι δύο προτάσεις δεν είναι ισοδύναμες. β) (p ) ( p ) <=> (p ) ( ( p) ) <=> p ( ) <=> p F <=> p 2. (p ) r <=> (p ) r α) p r (p ) (p ) r (p ) (p ) r F F F F F T F F F T F T T T F T F F F T F F T T F T T T 27

T F F F F T F T F T F T T T T T F T T F T T T T T T F T Παρατηρούμε ότι οι προτάσεις είναι ισοδύναμες είναι ισοδύναμες β) (p ) r <=> ( p ) r <=> ( p ) r <=> (p ) r οπότε ισχύει η ισοδυναμία 3. ((p ) ) <=> (p ) α) p (p ) (p ) ) ((p ) ) F F Τ F T F T T T T T F F T F T T T T T Οι δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες β) ((p ) ) <=> (( p ) ) <=> ( ( p ) ) <=> ( (p ) ) 28

<=> ( (p ) ( )) <=> (p ) <=> (p ) <=> ( p ) <=> ( ( p ) ( )) <=> p <=> p που ισχύει Άρα οι προτάσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους. Άσκηση Φ1.39 Υποθέστε ότι ξέρουμε πως Αν ο Νίκος είναι λεπτός, τότε ο Μανόλης δεν είναι ξανθός ή η Βασιλική δεν είναι ψηλή Αν η Βασιλική είναι ψηλή τότε η Κική είναι αξιαγάπητη Αν η Κική είναι αξιαγάπητη και ο Μανόλης είναι ξανθός τότε ο Νίκος είναι λεπτός Ο Μανόλης είναι ξανθός Με αυτά τα δεδομένα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η Βασιλική δεν είναι ψηλή ; Λύση Άσκησης Φ1.39 Έστω οι προτάσεις Ν= Ο Νίκος είναι λεπτός M= Ο Μανώλης είναι ξανθός Β= Η Βασιλική είναι ψηλή Κ= Η Κική είναι αξιαγάπητη Ισχύει: N ( M B) B K (K M) N M=True 29

N ( M B) (B K) ((K M) N) M <=> Ισχύει ότι : M=True Οπότε: (K M) N <=> K N Άρα: (N B) ^ (B K ) ^ (K N) <=> (K B) ^ (B K ) <=> (B K ) ^ (K B) <=> B B <=> B B <=> B Οπότε ισχύει Άσκηση Φ1.40 Ο Πέτρος βρίσκει σε μία σπηλιά δύο σεντούκια, το Α και το Β. Γνωρίζει ότι καθένα από αυτά περιέχει είτε ένα θησαυρό, είτε μία θανάσιμη παγίδα. Στο σεντούκι Α γράφει Τουλάχιστον ένα από τα δύο αυτά σεντούκια περιέχει ένα θησαυρό.. Στο σεντούκι Β γράφει Στο σεντούκι A υπάρχει θανάσιμη παγίδα. Ο Πέτρος ξέρει πως είτε και οι δύο επιγραφές είναι σωστές, είτε και οι δύο λανθασμένες. Μπορεί ο Πέτρος να είναι σίγουρος σε ποιο σεντούκι υπάρχει ο θησαυρός; Λύση Άσκησης Φ1.40 Έστω οι προτάσεις: a: Ο θησαυρός είναι στο Α b: Ο θησαυρός είναι στο Β Η επιγραφή στο σεντούκι Β λέει ότι: a (Το ότι ο θησαυρός είναι στο Β είναι ισοδύναμο με το ότι δεν είναι στο Α). Το γεγονός ότι ξέρουμε ότι και οι δύο επιγραφές είναι αληθείς ή ψευδείς, σημαίνει ότι οι επιγραφές έχουν την ίδια τιμή αληθείας (a b) <-> a Η μόνη περίπτωση στην οποία η παραπάνω πρόταση είναι αληθής είναι όταν η b=t είναι αληθής και η a=f.επομένως ο θησαυρός είναι στο Β και δεν είναι στο Α. 30

a b (a b) a F F F T F T T T T F T F T T T F Άσκηση Φ1.41 Έστω p η πρόταση Είμαι πλούσιος, e η πρόταση Είμαι ευτυχισμένος και y ή πρόταση Είμαι υγιής. Γράψτε προτάσεις σε προτασιακό λογισμό με βάση τις p, e και y, που να εκφράζουν το νόημα των παρακάτω προτάσεων: (a) Είμαι πλούσιος, υγιής και ευτυχισμένος (b) Είμαι πλούσιος και υγιής, αλλά όχι ευτυχισμένος (c) Δεν είμαι ούτε πλούσιος ούτε ευτυχισμένος (d) Είμαι φτωχός και δυστυχισμένος, αλλά υγιής (e) Για να είμαι ευτυχισμένος, πρέπει να είμαι υγιής και πλούσιος Γράψτε σε φυσική γλώσσα το νόημα των παρακάτω εκφράσεων προτασιακού λογισμού (f) e p y (g) p e (h) e y (i) (p e) (j) p y Λύση Άσκησης Φ1.41 (a) p y e (b) p y e (c) p e (d) p e y (e) e y p (f) εάν είμαι πλούσιος και υγιής είμαι ευτυχισμένος και εάν είμαι ευτυχισμένος είμαι πλούσιος και υγιής (g) εάν είμαι πλούσιος δεν είμαι ευτυχισμένος 31

(h) εάν είμαι ευτυχισμένος δεν είμαι υγιής (i) δεν ισχύει ότι εάν είμαι πλούσιος τότε είμαι ευτυχισμένος (μ άλλα λόγια, o πλούτος δεν φέρνει την ευτυχία ) (j) είμαι είτε πλούσιος, είτε υγιής, αλλά όχι και τα δύο. Άσκηση Φ1.42 Αποδείξτε ότι: (a) H πρόταση p (p ) αποτελεί ταυτολογία (b) H πρόταση (p ) (p ) αποτελεί αντίφαση Λύση Άσκησης Φ1.42 (a) p (p ) (p p) Τ Τ (b) (p ) (p ) (p ) ( p ) p p (p p) ( ) F F F Άσκηση Φ1.43 Αποδείξτε ότι εάν p και r, τότε r p. Λύση Άσκησης Φ1.43 Έχω p (1) και r (2) Ξέρουμε ότι αν p τότε p (3) Επίσης ξέρουμε ότι αν r και p τότε r p ΟΕΔ Άσκηση Φ1.44 Έστω p η πρόταση Παρακολουθώ τα μαθήματα, d η πρόταση Διαβάζω πολύ και g ή πρόταση Γράφω καλά στις εξετάσεις. (1) Γράψτε προτάσεις σε προτασιακό λογισμό με βάση τις p, d και g, που να εκφράζουν το νόημα των παρακάτω προτάσεων: (a) Παρακολουθώ τα μαθήματα, διαβάζω πολύ και γράφω καλά στις εξετάσεις (b) Αν παρακολουθώ τα μαθήματα και διαβάζω πολύ, γράφω καλά στις εξετάσεις (c) Για να γράφω καλά στις εξετάσεις, αρκεί είτε να διαβάζω πολύ είτε να παρακολουθώ τα μαθήματα. (d) Γράφω καλά στις εξετάσεις αν και μόνο αν παρακολουθώ τα μαθήματα και διαβάζω πολύ. (e) Είτε παρακολουθώ τα μαθήματα είτε διαβάζω πολύ αλλά όχι και τα δύο. Με αυτή την τακτική, γράφω καλά στις εξετάσεις. 32

(2) Αποδώστε σε όσο το δυνατόν πιο απλή φυσική γλώσσα το νόημα των παρακάτω προτάσεων προτασιακού λογισμού: (a) g p d (b) d p (c) (p d) (p d) (d) (p d) (p d) (e) (p d) (p d) Λύση Άσκησης Φ1.44 (1) (2) (a) p d g (b) p d g (c) p d g (d) g p d (e) p d g (a) Για να γράφω καλά στις εξετάσεις, αρκεί να παρακολουθώ τα μαθήματα ή να διαβάζω πολύ αλλά όχι και τα δύο. (b) Διαβάζω πολύ αν και μόνο αν δεν παρακολουθώ τα μαθήματα (c) Ή παρακολουθώ τα μαθήματα, ή διαβάζω πολύ αλλά όχι και τα δύο (ψάξτε τις ισοδυναμίες) (d) Ή παρακολουθώ τα μαθήματα, ή διαβάζω πολύ αλλά όχι και τα δύο (δέστε τον πίνακα αληθείας σε σχέση με τις p, d) (e) Αληθές (δέστε τον πίνακα αληθείας. Εφόσον είναι ταυτολογία, ο πιο εύκολος τρόπος να το πούμε είναι αυτός!) Άσκηση Φ1.45 Αποδείξτε χωρίς την χρήση πινάκων αληθείας ότι η πρόταση ((p ) ( p )) αποτελεί ταυτολογία. Λύση Άσκησης Φ1.45 ((p ) ( p )) (( p ) (p )) ( p p) F T 33

Άσκηση Φ1.46 Κάποιος είπε πως «Εάν η λογική δεν είναι ταυτόχρονα και χρήσιμη και ενδιαφέρουσα, τότε είναι είτε άχρηστη, είτε αδιάφορη». Έχει δίκιο; Αν ναι, αποδείξτε το, αν όχι αναφέρετε γιατί. Λύση Άσκησης Φ1.46 Έστω προτάσεις p= «Η λογική είναι χρήσιμη» και = «H λογική είναι ενδιαφέρουσα». Η διατύπωση της πρότασης του ερωτήματος στον προτασιακό λογισμό είναι η ακόλουθη: (p ) p. Για να αποδείξουμε την πρόταση πρέπει να δείξουμε ότι πρόκειται για ταυτολογία. Πράγματι αυτό ισχύει και μπορούμε να το δείξουμε είτε με τον πίνακα αληθείας της είτε διαπιστώνοντας ότι (p ) p (p ) (p ) Θέτοντας r= (p ) η παραπάνω πρόταση γίνεται r r το οποίο προφανώς ισχύει. Άσκηση Φ1.47 Αποδείξτε ότι για οποιεσδήποτε προτάσεις p,,r εάν p και r, τότε r p. Λύση Άσκησης Φ1.47 Έχω p (1) και r (2) Ξέρουμε ότι η p είναι ισοδύναμη με την p (3) Επίσης ξέρουμε ότι αν r και p τότε r p ΟΕΔ Άσκηση Φ1.48 Αποδείξτε ότι η πρόταση p ( p) είναι ταυτολογία. Η απόδειξη πρέπει να γίνει με δύο τρόπους, (a) με χρήση πίνακα αλήθειας και (b) με χρήση ταυτοτήτων του προτασιακού λογισμού. Λύση Άσκησης Φ1.48 (a) P p p ( p) F F T T F T F T T F T T T T T T 34

(b) p ( p) p ( p) p ( p) ( p p) T T Άσκηση Φ1.49 Είναι οι δηλώσεις «το καλό φαγητό δεν είναι φθηνό» και «το φθηνό φαγητό δεν είναι καλό» λογικά ισοδύναμες; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Λύση Έστω g η πρόταση Το φαγητό είναι καλό και c η πρόταση το φαγητό είναι φθηνό Η πρόταση το καλό φαγητό δεν είναι φθηνό γράφεται: g c ενώ η πρόταση το φθηνό φαγητό δεν είναι καλό γράφεται: c g Παρατηρώ ότι η c g είναι η αντιστροφοαντίθετη της g c, άρα είναι ισοδύναμες Άσκηση Φ1.50 Αποδείξτε κατά πόσον ισχύει ότι 1. ( p ) ( p r) ( r) p Λύση 2. ( p ) r ( p r) ( r) Δημιουργούμε τους πίνακες αλήθειας 1. p r p p r (p ) (p r) p r r ( r) p T T T T T T F F F F T T T F T F F F F T T F T F T F T F F T F T F T F F F F F F T T T F F T T T T T T F F F T F T F T T T T F T T T F F T T T T T T F T T F F F T T T T T T T T 35

Είναι λογικά ισοδύναμες 2. p r p (p ) r p r r (p r) ( r) T T T T T T T T T T F T F F F F T F T F T T T T T F F F T F T F F T T F T T T T F T F F T T F F F F T F T T T T F F F F T T T T Δεν είναι λογικά ισοδύναμες Άσκηση Φ1.51 Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν δεν διαβάζεις, τότε δεν πας καλά στις εξετάσεις Εάν δεν πας καλά στις εξετάσεις, τότε δεν θα πάρεις πτυχίο Αποδείξτε χωρίς τη χρήση πίνακα αλήθειας ότι: Εάν δεν διαβάζεις, δεν θα πάρεις πτυχίο. Λύση Έστω p: Δεν διαβάζεις, : Δεν πας καλά στις εξετάσεις, r: Δεν θα πάρεις πτυχίο Τα δεδομένα μας είναι: p r Θέλω να αποδείξω ότι p r 36

Αρκεί να αποδείξω ότι ((p ) ( r)) ( p r) είναι ταυτολογία ((p ) ( r)) ( p r) [Από τον ορισμό του αν τότε] ((p ) ( r)) ( p r) [Από τον ορισμό του αν τότε] (( p ) ( r)) ( p r) ( p ) ( r) ( p r) [De Morgan, αντιμεταθετική] [De Morgan] (p ) ( r) ( p r) [προσεταιριστικότητα] (p ) ( r) p r [αντιμεταθετική ιδιότητα] ( p (p )) (r ( r)) [επιμεριστική ιδιότητα] (( p p) ( p ) ) ((r ) (r r)) (T ( p )) ((r ) T) [Ουδέτερο στοιχείο] ( p ) (r ) p r p r T [απορροφητικό στοιχείο] T ο.ε.δ. Είναι ταυτολογία Άσκηση Φ1.52 Έστω p και οι προτάσεις: p= Έχει αποφασιστεί η εκλογή = Έχουν μετρηθεί οι ψήφοι Να εκφράσετε καθεμία από τις παρακάτω σύνθετες προτάσεις στα ελληνικά: a. p b. p c. p d. p e. p f. ( p ) Λύση a. p Έχουν μετρηθεί οι ψήφοι αλλά δεν έχει αποφασιστεί η εκλογή b. p Αν έχουν μετρηθεί οι ψήφοι τότε έχει αποφασιστεί η εκλογή c. p 37

Αν δεν έχουν μετρηθεί οι ψήφοι τότε δεν έχει αποφασιστεί η εκλογή d. Αν δεν έχει αποφασιστεί η εκλογή τότε δεν έχουν μετρηθεί οι ψήφοι e. Η εκλογή έχει αποφασιστεί αν και μόνο άν έχουν μετρηθεί οι ψήφοι f. ( p ) Εϊτε δεν έχουν μετρηθεί οι ψήφοι, είτε έχουν μετρηθεί αλλά δεν έχει αποφασιστεί η εκλογή p p Άσκηση Φ1.53 Έστω p και οι προτάσεις: p= Έχει πολύ κρύο = Χιονίζει Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις χρησιμοποιώντας τις p και και τους λογικούς τελεστές (και τις αρνήσεις) a. Έχει πολύ κρύο, αλλά δεν χιονίζει b. Δεν έχει πολύ κρύο και δεν χιονίζει c. Είτε χιονίζει είτε έχει πολύ κρύο (είτε και τα δύο) d. Έχει πολύ κρύο και επίσης χιονίζει e. Είτε έχει πολύ κρύο είτε χιονίζει, αλλά δεν χιονίζει, αν έχει πολύ κρύο f. Το να έχει πολύ κρύο είναι αναγκαίο και επαρκές για να χιονίζει Λύση a. Έχει πολύ κρύο, αλλά δεν χιονίζει p b. Δεν έχει πολύ κρύο και δεν χιονίζει p c. Είτε χιονίζει είτε έχει πολύ κρύο (είτε και τα δύο) p d. Έχει πολύ κρύο και επίσης χιονίζει p e. Είτε έχει πολύ κρύο είτε χιονίζει, αλλά δεν χιονίζει, αν έχει πολύ κρύο p ( p ) f. Το να έχει πολύ κρύο είναι αναγκαίο και επαρκές για να χιονίζει p Άσκηση Φ1.54 Να γράψετε καθεμία από τις προτάσεις της μορφής αν p τότε στην ελληνική γλώσσα a. Οποτεδήποτε φυσάει βορειοανατολικός άνεμος, χιονίζει. b. Οι μηλιές θα ανθίσουν, αν υπάρχει ζέστη για μια βδομάδα. c. Ο ΟΦΗ θα πάρει το πρωτάθλημα, αν νικήσει τον Εργοτέλη d. Είναι αναγκαίο να περπατήσεις 8 km για να βρεθείς στην Κνωσό e. Για να γίνεις καθηγητής, είναι αρκετό να είσαι διάσημος f. Αν οδηγήσεις περισσότερα από 200 km, πρέπει να βάλεις βενζίνη 38

g. Η εγγύηση είναι καλή μόνο αν αγόρασες το tablet πιο πρόσφατα από 90 ημέρες h. Ο Γιάννης θα πάει για κολύμπι, εκτός αν το νερό είναι πολύ παγωμένο Λύση a. Οποτεδήποτε φυσάει βορειοανατολικός άνεμος, χιονίζει. p: Φυσάει ΒΑ άνεμος : Χιονίζει p b. Οι μηλιές θα ανθίσουν, αν υπάρχει ζέστη για μια βδομάδα. p: Θα ανθίσουν οι μηλιές : Υπάρχει ζέστη για μια βδομάδα p c. Ο ΟΦΗ θα πάρει το πρωτάθλημα, αν νικήσει τον Εργοτέλη p: Ο ΟΦΗ θα πάρει το πρωτάθλημα : Ο ΟΦΗ θα νικήσει τον Εργοτέλη p d. Είναι αναγκαίο να περπατήσεις 8 km για να βρεθείς στην Κνωσό p: Θα βρεθείς στην Κνωσό : Θα περπατήσεις 8km p e. Για να γίνεις καθηγητής, είναι αρκετό να είσαι διάσημος p: Θα γίνεις καθηγητής : Είσαι διάσημος p f. Αν οδηγήσεις περισσότερα από 200 km, πρέπει να βάλεις βενζίνη p: Θα οδηγήσεις περισσότερα από 200km : Θα βάλεις βενζίνη p g. Η εγγύηση είναι καλή μόνο αν αγόρασες το tablet πιο πρόσφατα από 90 ημέρες p: Η εγγύηση είναι καλή : Αγόρασες το tablet πιο πρόσφατα από 90 ημέρες p h. Ο Γιάννης θα πάει για κολύμπι, εκτός αν το νερό είναι πολύ παγωμένο p: Ο Γιάννης θα πάει για κολύμπι : Το νερό δεν είναι πολύ παγωμένο p 39

Άσκηση Φ1.55 Να κατασκευάσετε τον πίνακα αλήθειας για καθεμία από τις παρακάτω σύνθετες προτάσεις 1. ( p ) ( p) 2. ( p ) ( p ) 3. (( p ) r) s 1. Λύση p p p ( p ) ( p) T T T T T T F F F T F T T T T F F T T T 2. p p p ( p ) ( p ) T T F T T T F T F F F T T F F F F F T T 3. p r s p (p ) r ((p ) r) s T T T T T T T T T T F T T F T T F T T F T T F T T F T T T T F F T F T 40

T F T F F T F T F F T F T T T F F F F T F F T T T T T T F T T F T T F F T F T T F T F F T T T T T F T F F T F T F F T F T T F F F F T T F T F F F F T F T Άσκηση Φ1.56 Να δείξετε ότι: (1) οι ( p ) r και p ( r) δεν είναι λογικά ισοδύναμες (2) οι ( p ) r και ( p r) ( r) δεν είναι λογικά ισοδύναμες (3) οι ( p ) ( r s) και ( p r) ( s) δεν είναι λογικά ισοδύναμες (1) Λύση p r p r (p ) r p ( r) T T T T T T T T T F T F F F T F T F T T T T F F F T T T F T T T T T T F T F T F F T F F T T T T T F F F T T F T 41

(2) p r p ( p ) r p r r ( p r) ( r) T T T T T T T T T T F T F F F F T F T F T T T T T F F F T F T F F T T F T T T T F T F F T T F F F F T F T T T T F F F F T T T T (3) p r s p r s (p ) (r s) p r s (p r) ( s) T T T T T T T T T T T T T F T T F T F F T T F T T F T F T T T F T T F T T T T T T T F F T F T F F T T F T F F T F T T T T F F T F T T F T T T F F F F T F F T T F T T T T T T T T T F T T F T T F T F F F T F T T F T T T T F F T T T T T T T T 42

F T F F T F T T F F F F T F T T F T T T F F F T T F T T T T F F F F T F T T T T Άσκηση Φ1.57 Πέντε φίλοι έχουν πρόσβαση σε ένα chat room. Είναι δυνατόν να προσδιορίσετε ποιος μιλάει, αν είναι γνωστά τα εξής δεδομένα: Είτε ο Κώστας ή η Ηλιάνα ή και οι δύο μιλάνε. Είτε ο Ροβέρτος είτε ο Βασίλης, αλλά όχι και οι δύο, μιλάνε. Αν ο Αντώνης μιλάει, τότε μιλάει και ο Ροβέρτος. Ο Βασίλης και ο Κώστας είτε μιλάνε αμφότεροι είτε δεν μιλάει κανείς τους. Αν μιλάει η Ηλιάνα, τότε μιλάνε ο Αντώνης και ο Κώστας. Να εξηγήσετε το συλλογισμό σας. Λύση Έστω οι ατομικές προτάσεις Η: Η Ηλιάνα μιλάει Κ: Ο Κώστας μιλάει Ρ: Ο Ροβέρτος μιλάει Β: Ο Βασίλης μιλάει Α: Ο Αντώνης μιλάει Ισχύει: a. Η Κ b. Ρ Β c. Α Ρ d. (Β Κ) ( Β Κ) B K (B K) e. Η (Α Κ) Έστω ότι μιλάει η Ηλιάνα. Από (e) μιλάει ο Αντώνης και ο Κώστας Από (c) μιλάει ο Ροβέρτος Από (b) δεν μιλάει ο Βασίλης Από (d) δεν μιλάει ο Κώστας. Αντίφαση!!! Άρα η Ηλιάνα δεν μιλάει Από το (a) μιλάει ο Κώστας Από (d) μιλάει ο Βασίλης Από (b) δεν μιλάει ο Ροβέρτος Aπό (c) δεν μιλάει η Αντώνης (αντιστροφοαντίθετο) 43

Άσκηση Φ1.58 Τέσσερις φίλοι θεωρούνται ύποπτοι για μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση σε ένα υπολογιστικό σύστημα. Οι φίλοι κατέθεσαν στις ανακριτικές αρχές. Η Αλίκη είπε ότι το έκανε ο Κώστας, o Γιάννης είπε δεν το έκανα εγώ και ο Κώστας είπε η Νίκη το έκανε. Η Νίκη είπε ότι ο Κώστας είπε ψέματα ότι το έκανα εγώ. a. Αν οι αρχές γνωρίζουν επίσης ότι ακριβώς ένας εκ των υπόπτων λέει την αλήθεια, ποιος το έκανε; Να εξηγήσετε το συλλογισμό σας. b. Αν οι αρχές γνωρίζουν επίσης ότι ακριβώς ένας λέει ψέματα, ποιος το έκανε; Να εξηγήσετε το συλλογισμό σας. Λύση Έστω οι ατομικές προτάσεις: Α: Το έκανε η Αλίκη Κ: Το έκανε ο Κώστας Γ: Το έκανε ο Γιάννης Ν: Το έκανε η Νίκη Α Κ Γ Ν Α:Κ Γ: Γ Κ:Ν Ν: (Κ:Ν) T T T T T F T F T T T F T F F T T T F T T T T F T F T T F F T F T T F F T T F T T F T F F F F T T F F T F T T F T F F F F T F T F T T T T F T F F T T F T F F T F T F T T T T F F F T T F F T F F T F F T T F T F F T F F F F T F F F T F T T F 44

F F F F F T F T a. Ένας μόνο λέει την αλήθεια (και ένας μόνο το έκανε) Το έκανε ο Γιάννης b. Ένας μόνο λέει ψέματα (και ένας μόνο το έκανε). Το έκανε ο Κώστας. Κι αλλιώς: a. Έστω ότι η Αλίκη λέει την αλήθεια (μόνο). Τότε το έκανε ο Κώστας. Άρα ο Γιάννης που λέει ψέματα το έκανε αυτός (αντίφαση). Αν ο Γιάννης λέει την αλήθεια (άρα δεν το έκανε αυτός), τότε η Αλίκη λέει ψέματα (δεν το έκανε ο Κώστας), ο Κώστας λέει ψέματα (δεν το έκανε η Νίκη) και η Νίκη λέει ψέματα (ο Κώστας λέει αλήθεια) Αντίφαση Αν ο Κώστας λέει αλήθεια (το έκανε η Νίκη), ο Γιάννης λέει ψέματα (αυτός το έκανε) Αν η Νίκη λέει αλήθεια, ο Κώστας λέει ψέματα, άρα δεν το έκανε η Νίκη, η Αλίκη λέει ψέματα: Δεν το έκανε ο Κώστας, ο Γιάννης λέει ψέματα (αυτός το έκανε) Πάλι στο Γιάννη καταλήγουμε!!! b. Έστω ότι η Αλίκη λέει ψέματα (δεν το έκανε ο Κώστας). Ο Γιάννης λέει αλήθεια (δεν το έκανε αυτός). Ο Κώστας λέει αλήθεια (το έκανε η Νίκη) και η Νίκη λέει αλήθεια (ο Κώστας λέει ψέματα) Αντίφαση Έστω ότι ο Κώστας λέει ψέματα. Άρα δεν το έκανε η Νίκη. Η Αλίκη τότε λέει αλήθεια (το έκανε ο Κώστας!!!) Έστω ότι η Γιάννης λέει ψέματα: Το έκανε ο ίδιος. Η Αλίκη και ο Κώστας λένε ψέματα (Δεν το έκανε ο Κώστας ούτε η Νίκη) Και η Νίκη λέει ψέματα (ο Κώστας λέει αλήθεια) Αντίφαση Έστω ότι η Νίκη λέει τα ψέματα. Άρα ο ο Κώστας λέει αλήθεια (το έκανε η Νίκη) Αλλα και η Αλίκη λέει αλήθεια (το έκανε ο Κώστας) Αντίφαση!!! v. 25_2_2016 45