Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε ϑετική και συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [,α]. Λύση: (α) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα αναλύεται (ϐ) Το ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) ( )( 2 ) x 2 + x+ x 2 + ( ) ( ln(x+) ) 2 + 2 ln(x2 +)+rctn(x) +C ( ) [ lim ln(x+) ] c 2 + c 2 ln(x2 +)+rctn(x) 2 + (ln+π/2) f(x) f(x)+f(x+)
µε την αλλαγή µεταβλητών u = x,du = και των ορίων x = u =,x = u = o f( u) f(u)+f( u) ( du) = f( x) f(x)+f( x) 2 f(x) f(x)+f( x) + 2 f( x) f(x)+f( x) = = /2 f(x)+f( x) f(x)+f( x) Άσκηση 2: (α) Βρείτε το εµβαδόν του τόπου εντός της καρδιοειδούς r = + cosθ και εκτός του κύκλου r = 2sinθ. (ϐ) ϐρείτε το εµβαδόν του κοινού τόπου µεταξύ του κύκλου r = 3/2 και του καρδιοειδούς r = +cosθ. Σχήµα : (α) ερώτηµα 2α, (β) ερώτηµα 2β Λύση: (α) Το Ϲητούµενο εµβαδόν είναι διπλάσιο του εµβαδού E (ϐλεπε Σχ. ) π π E = 2 r 2 (θ)dθ = 2 (+cosθ) 2 dθ π 2 = 3π 4 π 2 = π 4 E = π 2 (ϐ) Από το Σχ. β ϐλέπουµε ότι το Ϲητούµενο εµβαδόν ϑα είναι E = 2 π/3 (3/2) 2 dθ+ 2 π π/3 E = 2E = 7π 4 9 3 8 (+cosθ) 2 dθ = 7π 8 9 3 6 2
Άσκηση 3: (α) Υπολογίστε το γενικευµένο ολοκλήρωµα +x 2 (ϐ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα lnx Λύση: (α) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα όµοια και (ϐ) +x 2 = +x 2+ +x 2 ( t ) +x2 = lim t +x 2 = lim [rctn(x)] t t = π 2 +x 2 = π 2 +x 2 = π [ ] ln(x) = lim t + t ln(x) = lim t +[ tlnt +t] εφαρµόζοντας τον κανόνα l Hospitl καταλήγουµε στο συµπέρασµα ln(x) = Άσκηση 4: Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα αφού διερευνήσετε και συζητήσετε την µεθοδολογία στην οποία ϑα στηριχτείτε:. 2. I = I 2 = x 5 x 2 4 x+ 3
3. I 3 = rctn x x 2 Λύση:. Βλέπουµε ότι στο υπόριζο έχουµε µια από τις µορφές για τις οποίες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε αλλαγή µεταβλητών µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Επιπλέον η συνάρτηση µας δεν ορίζεται στο x = ± και εποµένως η τριγωνοµετρική συνάρτηση που ϑα χρησιµοποιήσω για την αλλαγή µεταβλητών (sinθ) ορίζεται στο π/2 < θ < π/2 (για να εξασφαλίσω ότι υπάρχει η αντίστροφή της). Κάνουµε λοιπόν την εξής αλλαγή µεταβλητών: x = sinθ = x 2 = sin 2 θ = cos 2 θ = x 2 = cosθ = cosθ (αφού το πεδίο ορισµού είναι το π/2 < θ < π/2). Επίσης έχουµε ότι = cos θdθ. Εποµένως I = lim π/2 + I = lim π/2 + I = lim π/2 + I = lim + sinθ( cos 2 θ) 2 cosθ dθ cosθ x 5 b + lim x 5 = +x 2 b +x 2 lim b π/2 ( cos 2 θ) 2 d(cosθ) lim b π/2 [ cosθ 2cos3 θ + cos5 θ 3 5 = I = cos+ 2cos3 cos5 3 5 Άρα το ολοκλήρωµα συγκλίνει στο µηδέν. 2. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα: I 2 = ] = lim 4x+ lim b π/2 +cos 2cos3 3 sinθ( cos 2 θ) 2 cosθ dθ cosθ ( cos 2 θ) 2 d(cosθ) = [ cosθ 2cos3 θ + cos5 θ 3 5 4 x+ + cos5 5 κάνουµε την εξής ϐολική αλλαγή µεταβλητών: 4 (x+) = y = dy = 4 (x+) (ln4) οπότε τα όρια του ολοκληρώµατος αλλάζουν σε: x = = y = 4 x = b = y = 4 (b+) και έχουµε: 4 (b+) I 2 = lim /4 4 (x+) dy ln4 4 = 4 (b+) (x+) ln4 lim dy = /4 ) I 2 = ln4 lim ( 4 b+ 4 = 4ln4 = ] b = 4
3. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα: I 3 = rctn x x 2 rctn x = lim x 2 που ορίζεται στο [, ), ακολουθούµε την διαδικασία ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, µε u = rctnx και dv = /x 2. Εποµένως έχουµε: [ ( I 3 = lim rctn x ) ] b x x(x 2 +) Το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέρος απλοποιείται µε την µέθοδο των µερικών κλασµάτων: x(x 2 +) = A x + Bx+C x 2 + και παίρνουµε τελικά: A =, B =, C = I 3 = lim = Άρα το ολοκλήρωµα µας γίνεται: [ rctn x x(x 2 +) = x x x 2 + ( ) b b + x x ] x x 2 + Για να λύσουµε το δεύτερο ολοκλήρωµα στο δεξί µέρος, κάνουµε τον εξής µετασχη- µατισµό µεταβλητών: y = x 2 + = dy = 2x και παίρνουµε: ( ) x x 2 + = 2 ln(x2 +) = ln x2 + Οπότε το ολοκλήρωµα µας λύνεται και παίρνουµε: [ ( I 3 = lim rctn x ) ( )] b x +ln = x x2 + [ ( I 3 = lim rctn b ) ( )] ( ) b +ln +rctn ln 2 b b2 + όπου το όριο της λογαριθµικής συνάρτησης δίδεται από: ( ) ( ) lim ln b = lim ln = ln = b2 + +/b 2 και καταλήγουµε τελικά στην λύση: I 3 = π 2 ++ π 4 +ln( 2) = π 4 +ln( 2) 5
Άσκηση 5: Χρησιµοποιήστε τα κριτήρια σύγκλισης για να διερευνήσετε εάν το κάτωθι ολοκλήρωµα συγκλίνει, αφού ξεκαθαρίσετε την συµπεριφορά του στα άκρα ολοκλήρωσης: xsin 2 (/x) ln(+x) Λύση: Η συνάρτησηf(x) = xsin 2 (/x) δεν ορίζεται στο κάτω άκρο του διαστήµατος[, ) ln(+x) άρα για να ϐρούµε αν συγκλίνει ή αποκλίνει το γενικευµένο ολοκλήρωµα I πρέπει να ϐρούµε αν συγκλίνουν τα γεκικευµένα ολοκληρώµαταi καιi 2 c (, ) (µε I +I 2 ) όπου: c xsin 2 (/x) I = lim + ln(+x) xsin 2 (/x) I = lim c ln(+x) Ας ξεκινήσουµε από το I. Εχουµε x (,c] ότι x < f(x) ln(+x). Άρα χρησιµοποιώντας το κριτήριο άµεσης σύγκρισης αρκεί να αποδείξω ότι το c x ln(+x) συγκλίνει (ή ότι η f(x) αποκλίνει). Παρατηρώ ότι η συνάρτηση x g(x) = ln(+x) και η h(x) = / x είναι ϑετικές x (, c] και εποµένως µπορώ να χρησιµοποιήσω το οριακό κριτήριο λόγου, σε µια προσπάθεια να αποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της h(x) συγκλίνει (στο2 c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. της g(x) ϑα συγκλίνει και εποµένως και το Γ.Ο. της f(x) ϑα συγκλίνει. Εχουµε λοιπόν ότι: g(x) lim x + h(x) = lim x x + ln(+x) = = lim x +(+x) = που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, g(x) και h(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της h(x) συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό τηςg(x). Άρα τελικά και το Γ.Ο. τηςf(x) συγκλίνει. 6
Στην περίπτωση του γενικευµένου ολοκληρώµατος I 2, χρησιµοποιώ απευθείας το οριακό κριτήριο λόγου. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιώ την συνάρτηση x g(x) = και την f(x) που είναι ϑετικές x [c, ) και εποµένως ϑα προσπαθήσω να α- ποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της g(x) συγκλίνει (στο 2/ c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. τηςf(x) ϑα συγκλίνει. Εχουµε λοιπόν ότι: f(x) lim x g(x) = lim x xsin 2 (/x) xln(+x)(/x) 2 = lim x x 2 ln(+x) lim x ( ) 2 sin(/x) = = (/x) που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, f(x) και g(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της g(x) συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό της f(x). Αποδείξαµε λοιπόν ότι και τα δύο γενικευµένα ολοκληρώµατα I και I 2 συγκλίνουν και εποµένως και το I(= I +I 2 ) ϑα συγκλίνει. Άσκηση 6: Να υπολογίσετε το εµβαδό των χωρίου που περικλείονται από τα κάτωθι Ϲεύγη καµπύλων (προσέξτε, στη δεύτερη περίπτωση η ολοκλήρωση ϑα γίνει ως προς y):. y = f (x) = x 3 & y 2 = f 2 (x) = 2x 2. x = y 2 & x 2 = 2 y 2 Λύση:. Θέλουµε να υπολογίσουµε το εµαβαδό του χωρίου ανάµεσα στις f 2 (x) = 2x και f (x) = x 3 (δες το σχετικό γράφηµα). Καταρχάς ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία των 2 καµπύλων ϑέτοντας f (x) = f 2 (x). Βρίσκουµε δύο κοινά σηµεία, επιπλέον του (,), που είναι τα: ( 2,2 2) και ( 2, 2 2), όπως ϕαίνεται και στο γράφηµα. Άρα για να ϐρούµε το εµβαδό ολοκληρώνουµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των δύο καµπύλων, όπως έχουµε µάθει και µε όρια ολοκλήρωσης τα και 2. Εχουµε: A = 2 2 f 2 (x) f (x) = 2 2 2 2x x 3 = 2 2x x 3 (η τελευταία προκύπτει επειδή η συνάρτηση υπό ολοκλήρωση είναι άρτια) Εχουµε λοιπόν επειδή x(2 x 2 ) x [, 2] ότι: [ 2 ] 2 ] A = 2 2x x 3 = 2 [x 2 x4 2 = 2 4 Γενικά ισχύει και εύκολα αποδεικνύεται ότι εάν η f(x) µε πεδίο ορισµού [,] και πεδίο τιµών το R είναι άρτια ή περιττή, τότε ισχύει f(x) = 2 f(x) ή f(x) =, αντίστοιχα. 7
Σχήµα 2: Αριστερά το χωρίο µεταξύ των καµπύλων: f 2 (x) = 2x και f (x) = x 3. εξιά το χωρίο µεταξύ των καµπύλων: f 2 (y) = 2 y 2 και f (y) = y 2. 2. Θέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδό του χωρίου ανάµεσα στις 2 καµπύλες: x = f (y) = y 2 και x 2 = f 2 (y) = 2 y 2. Καταρχάς ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία τους ϑέτοντας f (y) = f 2 (y), τα οποία είναι τα: (,) και (, ). Άρα για να ϐρούµε το εµβαδό του Ϲητούµενου χωρίου ολοκληρώνουµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των δύο καµπύλων, όπως έχουµε µάθει και µε όρια ολοκλήρωσης τα y = και y = : A = f 2 (y) f (y) dy = 2 y 2 y 2 dy = 2 ( y 2 )dy = 4 που προκύπτει από το γεγονός ότι y 2 y [,]. Άρα έχουµε: A = 4 ] [y y3 = 8 3 3 ( y 2 )dy = 8