Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις ισχύει: g(=h(. Για ποιες τιµές του µ R η συνάρτηση ( = ln( + µ + 4 έχει πεδίο ορισµού το R ; 4. ίνεται η συνάρτηση :[7] R. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g( = ( Υπόδειξη: Αν h(= A h =R τότε: g(=(h(=(oh( δηλαδή αναζητούµε το πεδίο ορισµού της σύνθεσης oh. 5. Να βρείτε τις τιµές του α R για τις οποίες οι συναρτήσεις α ( = + 4 α και α + + α g( = είναι ίσες. 6. Βρείτε για ποιες τιµές του χ R η γραφική παράσταση της ( = e δεν είναι «κάτω» από τη γραφική παράσταση της g( = λ λ e λ (04
7. Βρείτε τα κοινά σηµεία των συναρτήσεων: ( = α και g( = ( α + 4α 4α α * R 8. ίνεται η συνάρτηση R όπου για κάθε R ισχύει: ν ( + ( = ν R ν περιττός φυσικός αριθµός µε Να βρείτε τον τύπο της. Υπόδειξη: Θέτουµε στην θέση του το και η σχέση που προκύπτει µε την αρχική δίνουν ένα σύστηµα η λύση του οποίου ν 9. ίνεται η άρτια συνάρτηση R όπου για κάθε y R ικανοποιεί την σχέση: ( + y ( + (y. είξτε ότι η έχει µη αρνητικές τιµές είξτε ότι: ( (y ( y για κάθε y R Υπόδειξη: Για =y=0 προκύπτει (0 > 0 Για y=- προκύπτει (0 < (+(-=( γιατί η είναι άρτια. Άρα.. Στη δεδοµένη σχέση θέτουµε όπου το -y: ( < (-y+(y δηλ. ( - (y < (-y και θέτοντας όπου y το y-.. 0. ίνονται οι συναρτήσεις ( = και g( = β µε α 0 και + α β 0. Να βρείτε τα α β ώστε να ισχύει: og=go. Απάντηση: β=- α R * ( = + + ( =. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση τν παρακάτω συναρτήσεων ( αν υπάρχει : αν αν > ( = + ( = ln ( = ( = e e + + + A = [0 ( = ln( ( = + + +
. Να βρείτε τη σύνθεση go για τις παρακάτω συναρτήσεις: I. (=ln g(=e = g( = ln( II. ( III. ( = g( =. ίνεται η συνάρτηση R όπου για κάθε y R ικανοποιεί την σχέση: ( + y = ( + (y. Να δείξετε ότι: I. Η είναι περιττή II. (k = k( για κάθε k R και µετά για κάθε k Z III. Αν η έχει µοναδική ρίζα να δείξετε ότι η είναι Υπόδειξη: αντιστρέψιµη και ισχύει: ( + y = ( + (y I. Για =0 προκύπτει (0=0 και αν θέσουµε y=- τότε (-= - ( II. Αν k Ν * εργαζόµαστε µε επαγωγή. Αν k Ζ - τότε III. k >0 και άρα: (-k = - k( δηλ. (k= -k( δηλ. (k= k( Αφού έχει µοναδική ρίζα αυτή είναι το 0 δηλ. (=0 και άρα =0. Θα δείξουµε ότι η είναι «-»: Έστω ( =( ( -( =0 ( +(- =0 ( - =0 - =0 =. Θέλω να δείξω ότι: ( ( + y = ( + (y ( + y = ( ( + (y + y = ( ( + ( (y +y = +y που ισχύει. ( o ( = 00 ( 4. Αν για τη συνάρτηση R ισχύει: να λύσετε την εξίσωση : ( 00 + 00 = ( + 00 Υπόδειξη: Θα δείξουµε πρώτα ότι η είναι «-»: Αν ( =( (( =((.. = Άρα η εξίσωση γίνεται.. =
5. Έστω η συνάρτηση ( = + + Υπόδειξη: I. είξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα II. Υπολογίστε την τιµή ( III. Να λύσετε την ανίσωση: ( > 0 I. < < ( < ( < + < + δηλ. γνησίως αύξουσα στο R + + < + + II. Η σαν γνησίως αύξουσα στο R αντιστρέφεται και (( = ( + + = ισχύει: και για =0 έχουµε: ( = 0 III. ( > 0 ( > ( >... 6. Αν για τη συνάρτηση R ισχύει: (+y=(+(y για κάθε y R να αποδειχθεί ότι: I. (0=0 II. Η είναι περιττή III. (ν=ν. ( ν Ν * IV. (κ=κ. ( κ Ζ 7. Αν για τη συνάρτηση R µε (0 0 ισχύει: (+y+(-y=(. (y για κάθε y R να αποδειχθεί ότι: I. Η είναι άρτια II. Βρείτε τη σταθερή συνάρτηση που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση. Υπόδειξη: Για =y=0 προκύπτει (0= Για χ=0 προκύπτει (y=(-y 8. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση: ( + y = ( + (y για κάθε y R
9. Μια συνάρτηση (0 + έχει την ιδιότητα: (y = ( + (y για κάθε y (0 + I. Να υπολογίσετε την τιµή ( II. Να δείξετε ότι: ( = ( (y y y (0 + III. Να δείξετε: ( ρ = ρ( ρ Z (0 + 0. ίνεται η αντιστρέψιµη συνάρτηση A ώστε να ισχύει: ( = ( + ( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: - - - (y + y = (y (y Υπόδειξη: Έστω ( - - = y ( = y οπότε ( = και ( y y = Θέλω να δείξω ότι: - (y y + y = + y - = ( (y - (y ( + ( - (y + y = = ( ( - που ισχύει. (y + y = (. ίνεται η συνάρτηση R µε ( > 0 για κάθε R και (α + β = (α (β για κάθε αβ R. Να αποδειχθεί ότι: I. (0= II. (ν. = [(] ν ν Ν * III. Αν η είναι αντιστρέψιµη να δείξετε ότι: - (α β = - (α + - (β για κάθε αβ (0 +. Να αποδείξετε ότι: I. = άρτια και g = άρτια. g = άρτια II. = περιττή και g = περιττή. g = άρτια III. = άρτια και g =περιττή. g = περιττή IV. = περιττή και g = άρτια. g = περιττή. Να αποδείξετε ότι: I. = άρτια και g = άρτια οg = άρτια II. = περιττή και g = περιττή οg = περιττή III. = άρτια και g =περιττή οg = άρτια
4. ίνονται οι συναρτήσεις : g : R R µε g( = - και o g : R R µε ( o g( = + 5. Να βρείτε τον τύπο της : R R 5. Αν για κάθε R ισχύει να αποδείξετε ότι: = g ( o g( = (g o ( = e + 6. Αν ( = και g( = ln να ορίσετε την g o και να e + δείξετε ότι είναι η ταυτοτική συνάρτηση στο R. 7. Αν ( = + + και g( = - + να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( o g( = (g o ( δεν έχει λύση στο R. 8. Αν για την συνάρτηση R ισχύει: (0 0 και ( + y + ( y = ( (y για κάθε y R I. Να δείξετε ότι η είναι άρτια II. Ποια σταθερή συνάρτηση ικανοποιεί την παραπάνω σχέση;