ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Ειαγωγικά Στα προηγούµενα κεφάλαια, αχοληθήκαµε µε τη µελέτη πεδίων που η δηµιουργία τους οφείλονταν την παρουία ακίνητων ηλεκτρικών φορτίων. Στη υνέχεια και πριν δώουµε πολύ επιγραµµατικά τις βαικές χέεις που α- ναφέρονται ένα πεδίο που αναπτύεται ένα αγώγιµο µέο και οφείλεται την ύπαρξη κινούµενων φορτίων, ειάγουµε την έννοια του ηλεκτρικού ρεύµατος και της πυκνότητας ρεύµατος. Η πυκνότητα ρεύµατος J, αν N είναι ο αριθµός των φορτίων (ωµατιδίων) ανά µονάδα όγκου, q η τιµή του φορτίου κάθε ωµατιδίου και υ η κοινή ταχύτητα των N ω- µατιδίων, ορίζεται από τη χέη J = Nq υ (5.) Αν έχουµε υνεχή κατανοµή φορτίων, µε χωρική πυκνότητα ρ, η (5,) γράφεται ως J = ρυ (5.) Το ηλεκτρικό ρεύµα δια µιας επιφάνειας S, που εκφράζει το υνολικό φορτίο που διέρχεται από την επιφάνεια αυτή τη µονάδα του χρόνου, δίνεται από τη χέη 4

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ dq = = d dt J S (5.3) S 5. Εξίωη της υνέχειας Σύµφωνα µε την αρχή της διατήρηης του φορτίου, αν Q είναι το υνολικό φορτίο µέα έναν όγκο V, οποιαδήποτε χρονική µεταβολή του φορτίου Q είναι ίη µε τη ροή του ηλεκτρικού ρεύµατος δια της επιφάνειας S που περικλείει τον όγκο V, ιχύει δηλαδή η ρdv = d t V J S (5.4) S Με εφαρµογή του θεωρήµατος του Gauss (ή του Green) το δεύτερο µέλος της (5.4), έχουµε ρ dv + dv = V t J (5.5) V Από την (5.5), που ιχύει για οποιονδήποτε όγκο V, προκύπτει η ρ J + =, (5.6) t που είναι γνωτή ως εξίωη της υνέχειας. Στις µόνιµες κατατάεις όπου όλα τα µεγέθη είναι χρονικά αµετάβλητα, η (5.6) καταλήγει την J =, (5.7α) που αποτέλει τη διαφορική διατύπωη του νόµου του Kirchhoff. Από την (5.7α) µε ολοκλήρωη τον όγκο V και εφαρµογή του θεωρήµατος του Gauss, προκύπτει η d S =, (5.7β) J S που αποτελεί την ολοκληρωτική διατύπωη του νόµου του Kirchhoff και εκφράζει ότι το ρεύµα που ειέρχεται τον όγκο V από την επιφάνεια S είναι ίο µε το ρεύµα που εξέρχεται από την S. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.3 Νόµος του Ohm Aν είναι η ειδική αγωγιµότητα ενός µέου, η χέη J = E, (5.8) αποτελεί τη ηµειακή διατύπωη του νόµου του Ohm. Η άλλη διατύπωη του ίδιου νόµου, βαίζεται την έννοια της αντίταης (ή αγωγι- µότητας) µεταξύ δύο ηλεκτροδίων ένα µέο µε αγωγιµότητα. Σύµφωνα µε τη διατύπωη αυτή, αν από ένα ηλεκτρόδιο εξέρχεται ένα ρεύµα που υλλέγεται από ένα άλλο η- λεκτρόδιο, τότε η αντίταη R µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων δίνεται από τη χέη (νόµος του Ohm) R = U /, (5.9) όπου U είναι η τάη (διαφορά δυναµικού) µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων. Με την ειαγωγή της ειδικής αντίταης ρ = / και της αγωγιµότητας G = / R, οι χέεις (5.8) και (5.9) γράφονται, αντίτοιχα, και µε τη µορφή J = E / ρ, (5.) και G = / U (5.) 5.4 Ηλεκτροτατική ιορροπία Έτω ένα οµογενές µέο µε ειδική αγωγιµότητα και διηλεκτρική ταθερά ε, το οποίο είναι διανεµηµένο ένα φορτίο µε χωρική πυκνότητα ρ. Η εξίωη της υνέχειας (5.6), επειδή ιχύει η D = ρ, (5.) δηλαδή, η ε E = ρ, (5.3) και ο νόµος του Ohm (5.8), γράφεται διαδοχικά ή ρ J = (5.4) t 43

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ή ρ E = t (5.5) ρ = ε ρ t (5.6) Αν ρ (,, xyz) είναι η χωρική πυκνότητα κατά τη χρονική τιγµή t =, από την ο- λοκλήρωη της (5.6), έχουµε ρ t dρ ρ dt = t = ln ρ ln ρ = ln ρ = ρ e ε ρ ε ρ ρ όπου T = ε/, είναι η χρονική ταθερά χαλάρωης του µέου. t/ T, (5.7) 5.5 Ωµική αντίταη αγωγού τυχαίας διατοµής Σύµφωνα µε την (5.9), η αντίταη R ενός αγωγού τυχαίας διατοµής, µπορεί να γραφεί µε τη µορφή E dl E dl U () l () l R = = = J ds E ds, (5.8) S όπου U η διαφορά δυναµικού τα άκρα του αγωγού, το υνολικό ρεύµα δια του αγωγού, S οποιαδήποτε διατοµή του αγωγού και () l οποιοδήποτε δρόµος εντός του αγωγού που ενώνει τα δύο άκρα του. Η χωρητικότητα της διάταξης, αν ε είναι η διηλεκτρική ταθερά του υλικού του α- γωγού, ύµφωνα µε την (3.3), δίνεται από τη χέη S Q ε E ds S C = = U E d () l l (5.9) Από τις (5.8) και (5.9) προκύπτει η πολύ βαική χέη ε RC =, (5.) από την οποία υπολογίζεται η αντίταη όταν είναι γνωτή η χωρητικότητα και αντίτροφα. 44

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Σύµφωνα µε την (5.8), η αντίταη ενός αγωγού µήκους l και ταθερής διατοµής S δίνεται από τη γνωτή χέη 5.6 Πυκνωτές µε απώλειες l l R = = ρ (5.) S S Στη υνέχεια, και µε βάη τα προηγούµενα υµπεράµατα, χεδιάζουµε τα ιοδύνα- µα ( RC, ) κυκλώµατα µε τοιχεία, για µερικά απλά υτήµατα πυκνωτών που το διηλεκτρικό τους υλικό έχει ειδική αγωγιµότητα. (i) ε, R RC ε = C R (ii) ε, ε, C R C RC RC ε = ε = (iii) ε, ε, R R C C RC RC ε = ε = Σχήµα 5- Ως παράδειγµα, ας ζητήουµε να χεδιάουµε το ιοδύναµο ( RC, ) κύκλωµα για τη διάταξη του χήµατος 5-, που έχει βάθος ίο µε τη µονάδα και όπου ε ε3 = ε = ε = ε = ε. 8 = 4 6 45

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ l L 3 () ε () ε, L L A (3) ε 3 (4) ε 4 (5) ε, 5 B L (6) ε 6 (7) ε, 7 3 (8) ε 8 l l l 3 Σχήµα 5- Με βάη τα ιοδύναµα κυκλώµατα του χήµατος 5-, χεδιάζουµε το παρακάτω ζητούµενο ιοδύναµο κύκλωµα (χήµα 5-3), C R C R 5 A B C 3 C 4 R 7 C 5 C 6 C 8 C 7 Σχήµα 5-3 όπου C L L L3 = ε = ε, C = ε l + l, l + l3 R =, L 3 3 l l 3 3 46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 C L L L l3 = ε = ε, C 5 = ε5, R5 l = L, L L C 6 = ε6 = ε, l l 3 3 l l C L 7 = ε7, R7 l 3 L 3 = l, L L C 8 = ε8 = ε l l 3 3 5.7 Εξίωη Laplace και οριακές υνθήκες Από τις χέεις (.3), (5.7α) και (5.8) προκύπτει και για το µόνιµο πεδίο ροής η εξίωη Laplace φ = (5.) Αν φ είναι κάποια υνάρτηη που ικανοποιεί την εξίωη Laplace (5.) (ή την ι- οδύναµη ( φ) = ) και τις οριακές υνθήκες του θεωρούµενου προβλήµατος, τότε, η φ αποτελεί τη µία και µοναδική λύη του προβλήµατος. Ας θεωρήουµε, τη υνέχεια, δύο οµογενή, γραµµικά και ιότροπα µέα και, που διαχωρίζονται από µια επιφάνεια ee (χήµα 5-4). e (), ε J t J J n J n e e e E n E E t E n Et E e (α) Σχήµα 5-4 (β) Στην περίπτωη αυτή, εκτός από τις γνωτές οριακές υνθήκες E = E (5.3) t t και ιχύει και η D D = ρ, (5.4) n n s J = J, (5.5) n n 47

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ που εκφράζει τη υνέχεια της κάθετης υνιτώας της πυκνότητας του ρεύµατος πάνω τη διαχωριτική επιφάνεια. Από τις (5.3), (5.4) και το νόµο του Ohm, χέη (5.8), προκύπτει η υνθήκη για τις εφαπτοµενικές υνιτώες της πυκνότητας του ρεύµατος J J = (5.6) t t Επίης, οι (5.4) και (5.5) που µπορεί να γραφούν και ως ε E εe = ρ (5.7) n n s En En =, (5.8) οδηγούν τις εκφράεις E = E (5.9) n n και ρ s ε ε = E n (5.3) Οι (5.9) και (5.3) δίνουν, αντίτοιχα, την κάθετη υνιτώα E n της ένταης E και την πυκνότητα επιφανειακών φορτίων ρ s, αν υνάρτηη της κάθετης υνιτώας E n της ένταης E. Ας διακρίνουµε, τη υνέχεια, τις εξής δύο ειδικές περιπτώεις: (α) Το µέο είναι µονωτικό ( = ), ενώ το µέο αγώγιµο ( ). Στην περίπτωη αυτή, λόγω των (5.9) και (5.3), έχουµε και E n = (και άρα E Et s n Η εικόνα των δυναµικών γραµµών φαίνεται το χήµα 5-5. = ) (5.3) ρ = εe (5.3) 48

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 e E () () ε, = ε, E Σχήµα 5-5 (β) Το µέο είναι υπεραγώγιµο, ιχύει δηλαδή η >> (5.33) Στην περίπτωη αυτή, από την (5.6), επειδή η J t πρέπει να είναι πεπεραµένη, προκύπτει, ότι J t (και άρα J Jn = ) (5.34) ηλαδή, οι γραµµές ροής (ρευµατικές γραµµές) το µέο είναι κάθετες την επιφάνεια διαχωριµού (χήµα 5-6). Αφού, όµως, τα διανύµατα J και E είναι υγγραµικά, και οι δυναµικές γραµµές του διανύµατος E το µέο είναι, επίης, κάθετες τη διαχωριτική επιφάνεια (ιοδυναµική επιφάνεια). Ιχύει, υνεπώς, η E = E (και άρα E = E n ) (5.35) t t e J, ε () J n () Σχήµα 5-6 49

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Τέλος, από την (5.9), επειδή και η E n πρέπει να είναι πεπεραµένη, προκύπτει ότι δηλαδή, ο όγκος είναι ιοδυναµικός. En (και άρα E En = ), (5.36) 5.8 Γειωτές 5.8. Σφαιρικός γειωτής Έτω ότι µέα το έδαφος που θεωρείται ένα οµογενές, ιότροπο, άπειρης έκταης µέο µε ειδική αγωγιµότητα, τοποθετείται µια αγώγιµη φαίρα µε αγωγιµότητα πολύ µεγαλύτερη από τη ( ). Αν υποτεθεί ότι φαίρα διαχέει το έδαφος ένα υνολικό ρεύµα (χήµα 5-7), το ρεύµα αυτό, λόγω φαιρικής υµµετρίας, διανέµεται ο- µοιόµορφα τις διάφορες ακτινικές διευθύνεις έχοντας την ίδια τιµή πυκνότητας ρεύµατος πάνω τις οµόκεντρες φαιρικές επιφάνειες. dr a r P J Σχήµα 5-7 Σε µια ακτινική απόταη r, η πυκνότητα του ρεύµατος J και η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E, λόγω της υπάρχουας φαιρικής υµµετρίας, έχουν, αντίτοιχα, τις εκφράεις J = r (5.37) 4πr 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 και E = J = r, (5.38) 4πr όπου r είναι το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Η τάη U OP µεταξύ τυχόντος ηµείου O της επιφάνειας (ή του εωτρικού) της φαίρας και τυχόντος ηµείου P του χώρου είναι U OP P Η (5.39), λόγω της (5.38), καταλήγει την a r = φ φ = Edr (5.39) U OP = 4π a r (5.4) Όταν το ηµείο P αποµακρυνθεί το άπειρο έχουµε την τάη διάβαης V από το ηλεκτρόδιο µέχρι το άπειρο U = O, V = 4πa (5.4) Το δυναµικό του ηµείου P, ως προς την επιφάνεια της άπειρης φαίρας, που είναι ιοδυναµική επιφάνεια του πεδίου δυναµικού φ =, είναι φ = P 4πr (5.4) Αντίτοιχα, το δυναµικό της επιφάνειας της φαίρας είναι φ = O 4πa, (5.43) δηλαδή η τάη διάβαης V είναι ίη εξ οριµού µε το δυναµικό του φαιρικού ηλεκτροδίου. Ο λόγος V R 4πa ονοµάζεται αντίταη διάβαης από το ηλεκτρόδιο µέχρι το άπειρο, και παριτάνει την = = (5.44) αντίταη που παρουιάζει ο χώρος τη διάβαη του ρεύµατος από την επιφάνεια της φαίρας µέχρι την επιφάνεια της άπειρης φαίρας. 5

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Αν θεωρήουµε ένα φαιρικό τρώµα ακτίνας r και πάχους dr, η αντίταή του dr τη διέλευη του ρεύµατος, ύµφωνα µε την (5.) είναι dr dr = (5.45) 4πr Η ολοκλήρωη της (5.45) δηλαδή η άθροιη όλων των εν ειρά υνδεδεµένων α- πειροτών φαιρικών τρωµάτων από r = a µέχρι r µας δίνει και πάλι τη υνολική αντίταη διάβαης R dr = = 4πr 4πa a (5.46) Η αντίταη διάβαης R, όταν το µέο το οποίο διαχέεται το ρεύµα είναι το έ- δαφος, ονοµάζεται και αντίταη γείωης του φαιρικού ηλεκτροδίου (γειωτή). 5.8. Ηµιφαιρικός γειωτής Στην περίπτωη του επιφανειακού ηµιφαιρικού γειωτή (χήµα 5-8), επειδή η επιφάνεια του εδάφους µπορεί να θεωρηθεί ως µια τοµή κατά ωλήνα του πεδίου του χήµατος 5-7, αν θεωρήουµε την εικόνα του ηµιφαιρίου, αναγόµατε την περίπτωη ενός φαιρικού γειωτή που διαχέει διπλάιο ρεύµα. = a r Σχήµα 5-8 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 U ΟP V A B U AB U a = r OP V U OA U OB a 3 4 5 6 r/ a A B Σχήµα 5-9 Έτι, ύµφωνα µε τα υµπεράµατα της προηγούµενης παραγράφου, έχουµε J = r, (5.47) πr E = r, (5.48) πr V R =, (5.49) πa = πa, (5.5) a UOP = V π = a r r Στο χήµα 5-9, φαίνεται η µεταβολή της U υναρτήει του λόγου r/ a. OP (5.5) Από την περιτροφή του διαγράµµατος του χήµατος 5-9 περί τον κατακόρυφο άξονα υµµετρίας, χηµατίζεται µια επιφάνεια που ονοµάζεται χωνί τάης. Το διάγραµµα του χήµατος, διευκολύνει τον υπολογιµό της τάης U AB µεταξύ δύο τυχόντων ηµείων A και B του εδάφους. Αν τα ηµεία A και B βρίκονται την επιφάνεια του εδάφους και η 53

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ απόταή τους είναι ίη µε το µέο βήµα ενός ανθρώπου, η τάη U AB ονοµάζεται βηµατική τάη. 5.8.3 Γραµµική πηγή πεπεραµένου µήκους ελλειψοειδής γειωτής Έτω γραµµική πηγή AB µήκους l, που διαχέει οµοιόµορφα ρεύµα ένταης ένα µέο µε αγωγιµότητα (χήµα 5-). Το δυναµικό φ P, το τυχόν ηµείο P( xy, ) του µέου, που προκύπτει από την υπέρθεη (ολοκλήρωη) των δυναµικών των τοιχείων dζ του αγωγού, έχει την έκφραη φ P ( x + l) + ( x + l) + y = ln 8 πl ( x l) + ( x l) + y (5.5) y P(x,y,z) r A ζ dζ B x l l Σχήµα 5- Από την (5.5) προκύπτει ότι οι ιοδυναµικές επιφάνειες είναι υνετιακά ελλειψοειδή εκ περιτροφής περί την AB µε ετίες τα άκρα A και B. Οι δυναµικές και οι ρευµατικές γραµµές του πεδίου είναι υπερβολές οµοετιακές µε τις ιοδυναµικές επιφάνειες. 54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 y A B x l l a a Σχήµα 5- Το πεδίο του ελλειψοειδούς γειωτή (χήµα 5-) είναι το ίδιο µε το πεδίο της γραµµικής πηγής και ιχύουν οι ίδιες ακριβώς χέεις. Αν a είναι το µήκος του µεγάλου ηµιάξονα ενός αγώγιµου ελλειψοειδούς, το ως προς το άπειρο δυναµικό της επιφάνειάς του, λόγω της (5.) (x = a, y = ), γράφεται επίης και ως φ O = V = ln οπότε η αντίταη γείωης R δίνεται από την a + l 8πl a l, (5.53) R a + l = ln 8πl a l (5.54) 55

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ = l a A B x (α) y = l a x y (β) Σχήµα 5- Με τοµή κατά ωλήνα προκύπτει το πεδίο της γραµµικής πηγής (ή του επιφανειακού ηµι-ελλειψοειδούς γειωτή) το ηµιχώριο (χήµατα 5-(α) και 5-(β)). Στην περίπτωη αυτή, θεωρώντας το κατοπτρικό ηµιχώριο, αν είναι το διαχεόµενο από την πηγή ρεύµα, τα δυναµικά φ P, φ O και η αντίταη R προκύπτουν από τις (5.5), (5.53) και (5.54), αντίτοιχα, για διπλάιο ρεύµα, δίνονται δηλαδή από τις χέεις φ P x + l + ( x + l) + y = ln 4 πl ( x l) ( x l) y φ O + +, (5.55) ln a + = l 4πl a l, (5.56) 56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 R a + l = ln (5.57) 4πl a l Από την (5.55) και τις (.3) και (5.8) υπολογίζεται εύκολα η ηλεκτρική ένταη E και η πυκνότητα του ρεύµατος J. 5.8.4 Λεπτός κυλινδρικός γειωτής Έτω τώρα ένας λεπτός κυλινδρικός (ωληνωτός) γειωτής µήκους l και διαµέτρου d (χήµα 5-3), που διαχέει το έδαφος ρεύµα. Αν A και B είναι τα κέντρα των δύο βάεων του γειωτή, το πεδίο µπορεί να υπολογιτεί προεγγιτικά αν γίνει η παραδοχή ότι το ρεύµα διαχέεται το χώρο από ένα λεπτό ελλειψοειδές εκ περιτροφής περί την AB που έχει ετίες τα A και B και προεγγίζει γεωµετρικά το γειωτή. Θεωρούµε, δηλαδή, ότι η ένταη διαχέεται το χώρο από τη γραµµική πηγή AB. Για ηµεία, όχι πολύ κοντινά το ωλήνα και ιδιαίτερα τα άκρα του η προέγγιη είναι αρκετά ικανοποιητική. y A Μ B d x l l Σχήµα 5-3 Το δυναµικό το ηµείο M, ( d /), ύµφωνα µε την (5.5) δίνεται από την φ M = π l + l + d ln + + /4 8 l l l d /4 (5.58) Το δυναµικό αυτό, που είναι το δυναµικό του γειωτή, λαµβάνεται ως η τάη διάβαεως V µέχρι το άπειρο. Η αντίταη διάβαης (ή γείωης) R δίνεται, υνεπώς, από τη χέη 57

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ R V l + l + d /4 ln πl l + l + d = = 8 /4 (5.59) Επειδή, υνήθως, l >> d, η (5.59) µπορεί να γραφεί και µε την απλούτερη µορφή R 4l ln (5.6) 4πl d M = l y B d x Σχήµα 5-4 Στην περίπτωη του επιφανειακού ωληνωτού γειωτή του χήµατος 5-4, αν θεωρήουµε το κατοπτρικό τµήµα του γειωτή ως προς τον άξονα y, προκύπτουν (εφόον φυικά l d ) οι τύποι της γραµµικής πηγής αλλά πολλαπλαιαµένοι επί αφού η ίδια ένταη, τώρα, διαχέεται το ηµιχώριο. Έτι έχουµε φ P x + l + ( x + ) + y = ln 4 πl x l + ( x l) + y, (5.6) και V R 4l = ln (5.6) πl d 4l = ln (5.63) πl d 58

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Τα δυναµικά των ηµείων της επιφάνειας του εδάφους ( x = ), αν το ρεύµα αντικαταταθεί από την (5.6) την (5.6), θα δίνονται από την φ P V + + = ln ln( 4ld) + + ( yl) ( yl) (5.64) 5.9 Νόµος του Joule Σύµφωνα µε το νόµο του Joule η ιχύς P που καταναλίκεται ε µια ωµική αντίταη R που διαρρέεται από ρεύµα δίνεται από τη χέη P = R (5.65) Η ηµειακή µορφή του ίδιου νόµου είναι η p = J E = J J = E E, (5.66) όπου p = dp/ dv, είναι η ιχύς των ανά µονάδα όγκου του αγωγού θερµικών απωλειών (ειδική ιχύς απωλειών Joule). Τέλος, αναφέρουµε την αρχή των ελαχίτων απωλειών, ύµφωνα µε την οποία η πυκνότητα του ρεύµατος J διανέµεται το αγώγιµο µέο κατά τέτοιο τρόπο (ακολουθεί δηλαδή το νόµο του Ohm J = E ) ώτε να παράγεται το ελάχιτο ποό θερµότητας. 59

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. Παραδείγµατα 5. Ο κυκλικός αγωγός ενός µονοπολικού καλωδίου έχει διάµετρο a και περιβάλλεται από ένα κοίλο µεταλλικό κυλινδρικό περίβληµα εωτερικής διαµέτρου b. Η διαφορά δυνα- µικού ανάµεα τον αγωγό και το περίβληµα είναι U. Στον µεταξύ του περιβλήµατος και του αγωγού χώρο πρόκειται να τοποθετηθούν δύο µονωτικά τρώµατα Ι και ΙΙ µε ειδικές ηλεκτρικές αγωγιµότητες και = 3, αντίτοιχα. Ζητούνται: (α) Αν τα δύο µονωτικά τρώµατα έχουν το ίδιο πάχος t = t = ( b a)/, ποιό µονωτικό πρέπει να τοποθετηθεί εωτερικά και ποιό εξωτερικά ώτε να έχουµε καλύτερη µόνωη (λιγότερες απώλειες); Επίης, την περίπτωη που τα µονωτικά τρώµατα τοποθετηθούν µε την αντίθετη ειρά, ποιος είναι ο λόγος των νέων απωλειών ε χέη µε τις προηγούµενες; (β) Ποιά πρέπει να είναι τα πάχη των δύο τρωµάτων, ώτε οι απώλειες να είναι ίδιες ανεξάρτητα από τη ειρά τοποθέτηης; Ποιο είναι τότε το ρεύµα απωλειών; () () a A 3 O A A t b t U Σχήµα 5-5 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 (α) Έτω ότι τοποθετούµε εωτερικά το µονωτικό τρώµα () µε ειδική αγωγιµότητα και εξωτερικά το () µε ειδική αγωγιµότητα = 3. Αν είναι το ανά µονάδα µήκους του καλωδίου οµοιόµορφα διαχεόµενο ρεύµα και J η µε ακτινική διεύθυνη πυκνότητα της ένταης του ρεύµατος ε απόταη r από τον άξονα, ιχύει προφανώς η J = r, () πr όπου r είναι το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Από τη χέη J = E που υνδέει την ηλεκτρική πεδιακή ένταη και την πυκνότητα της ένταης του ρεύµατος και την () έχουµε E = r (), πr και E = r, (3), πr όπου E, και E, οι ηλεκτρικές πεδιακές εντάεις τα τρώµατα () και (), αντίτοιχα. Με ολοκλήρωη κατά µήκος του δρόµου AAA 3, έχουµε για τη διαφορά δυναµικού U, αν λάβουµε υπόψη τις () και (3) A3 A A3 E r,, A A A a+ t b a + t U = d = E dr + E dr dr dr b = + = ln + ln π a r a+ t r π a a + t Από την (4) προκύπτει το ανά µονάδα µήκους ρεύµα απωλειών υναρτήει της τάης U (4) = πu a + t b ln + ln a a + t (5) Κατ αναλογία προς τα παραπάνω, είναι φανερό ότι την περίπτωη όπου το µονωτικό () τοποθετείται εωτερικά και το () εξωτερικά, το ρεύµα απωλειών, ύµφωνα µε την (5), δίνεται από τη χέη 6

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ πu = a + t b ln + ln a a + t Οι (5) και (6) για = 3, και t = ( b a)/, δίνουν (6) και π U π U = = b + a b ln ln b a b + a 3 b a ln + + a b + a /3 π U π U = = b + a b ln ln b a b + 3 a b a ln + + a b + a /3 Από τις (7) και (8), επειδή, όπως εύκολα µπορεί να διαπιτωθεί, ιχύει η ανιότητα (7) (8) υµπεραίνουµε ότι /3 /3 b a b b a b + + > a b + a a b + a, (9) <, () δηλαδή η µόνωη είναι καλύτερη κατά την τοποθέτηη εωτερικά του µονωτικό () και εξωτερικά του (). Επίης, από τις (7) και (8), προκύπτει ο ζητούµενος λόγος /3 b a b ln + P a b a U + κ = = = = () /3 P U b a b ln + a b + a όπου P και P οι απώλειες τα µονωτικά () και (), αντίτοιχα. (β) Για τον υπολογιµό του πάχους t, επειδή πρέπει να ιχύει η =, εξιώνοντας τα δεύτερα µέλη των (5) και (6), έχουµε a + t b a + t b ln + ln = ln + ln a a + t a a + t ή ή / / / / a t b a t b ln + + ln a = a t a + a + t 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 a + t a + t = a a t + a a + t / / / / b b ή / / a + t b = a a + t / / ή a t b a a t + = () + οπότε και Από τη δεκτή λύη της () προκύπτει ότι t = ab a, (3) t = b a t = b ab (4) Στην περίπτωη αυτή, η διαχωριτική επιφάνεια των δύο τρωµάτων έχει ακτίνα r δ, που όπως φαίνεται από τις (3) και (4) είναι rδ = a + t = ab, (5) δηλαδή είναι ίη µε το γεωµετρικό µέο των a και b, και φυικά δεν εξαρτάται από τις τιµές των αγωγιµοτήτων και. Το ρεύµα απωλειών την περίπτωη αυτή, όπως φαίνεται από τις (5) και (6), µε αντικατάταη του πάχους t από την (3), είναι 3 πu 4πU = = b b b ln + ln ln a a a Από την (6), για = 3, έχουµε + (6) Γενικά, αν = λ, έχουµε 3πU b ln a 3 = (7) 3 4πλU = b ( λ + )ln a (8) 63

r ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5. ίνεται κοίλη αγώγιµη φαίρα εωτερικής διαµέτρου r την κοιλότητα της οποίας βρίκεται άλλη υγκεντρική φαίρα εξωτερικής διαµέτρου x. Ανάµεα τις δύο φαίρες παρεµβάλλεται οµογενές υλικό ειδικής αγωγιµότητας. Η µέγιτη επιτρεπόµενη τιµή της πυκνότητας ρεύµατος το µεταξύ των φαιρών υλικό είναι J. Αν από την εωτερική προς την εξωτερική φαίρα επιβληθεί ταθερή τάη U, ζητούνται: (α) Ποια είναι η περιοχή τιµών της x ώτε η µέγιτη παρατηρούµενη πυκνότητα ρεύ- µατος J max να είναι µικρότερη της επιτρεπόµενης J ; (β) Η υνθήκη µεταξύ των U, J, r και ώτε η πιο πάνω περιοχή της x ν αντιτοιχεί ε µια µόνον τιµή. (γ) Πότε το πρόβληµα δεν έχει λύη, δηλαδή, πότε δεν υπάρχει τιµή της x για την οποία ιχύει Jmax J ; (δ) Για την αριθµητική µέη τιµή της περιοχής των τιµών της ακτίνας x την ερώτηη (α), να υπολογιτεί η αντίταη διάβαης µεταξύ των δύο φαιρών, η ένταη του ρεύµατος και η µέγιτη πυκνότητα ροής J max που παρουιάζεται. x r dr U Σχήµα 5-6 Ας υπολογίουµε, αρχικά, την αντίταη διάβαης R δ µεταξύ των δύο φαιρών. Αν είναι η ένταη του ρεύµατος που ρέει από τον εωτερικό προς τον εξωτερικό οπλιµό, 64

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 τότε, η πυκνότητα J () r του ρεύµατος και η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E () r ε µια ακτινική απόταη r, δίνονται, αντίτοιχα, από τις J() r = r, () 4πr E() r = r () 4πr όπου r είναι το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Η διαφορά δυναµικού U µεταξύ των δύο φαιρών, λόγω της (), δίνεται από την r r U = d = dr E r = x x 4πr 4π x r (3) Από την (3), υπολογίζεται η αντίταη διάβαης R δ R δ U = = 4π x r (4) Η ίδια χέη µπορεί να προκύψει και µε τον εξής υλλογιµό: Αν θεωρήουµε ότι η ζητούµενη αντίταη αποτελείται από τις εν ειρά υνδεδεµένες αντιτάεις υγκεντρικών φαιρικών φλοιών απειροτού πάχους, επειδή η αντίταη dr δ ενός τέτοιου φλοιού ακτίνας r και πάχους dr είναι dr dr δ 4πr, (5) από την ολοκλήρωη της (5) παίρνουµε και πάλι R δ = = r dr 4π x r 4π x r (6) (α) Από τις () και (4) έχουµε U Jr () = (7) 4πRδ r Όπως βλέπουµε από την (7) η πυκνότητα Jr () της ένταης του ρεύµατος λαµβάνει τη µέγιτη τιµή όταν η ακτίνα r λάβει την ελάχιτη τιµή, όταν δηλαδή έχουµε r Πρέπει, υνεπώς, να ιχύει η ανιότητα = x. 65

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ J U = < J (8) max 4πRδ x Με αντικατάταη της R δ από την (7) την (8) προκύπτει U r ( r x) x < J (9) ή x Ur rx + < () J Για να ιχύει η (), πρέπει η τιµή της ακτίνας x να βρίκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου του πρώτου µέλους, να ιχύει δηλαδή η U r U r x r r 4 x x r r 4 = + > > = J J () Ώτε, λοιπόν, για να έχουµε Jmax < J, πρέπει η ακτίνα x της εωτερικής φαίρας να βρίκεται το διάτηµα που καθορίζει η διπλή ανιότητα (). (β) Στην περίπτωη του ερωτήµατος (β) πρέπει, προφανώς, το τριώνυµo να έχει µια διπλή ρίζα, να ιχύει δηλαδή η ή r Ur 4 =, J Jr = U () 4 (γ) Για να µη έχει το πρόβληµα λύη πρέπει το x να βρίκεται εκτός του διατήµατος των ριζών, δηλαδή πρέπει ή Ur x > r + r 4, (3) J Ur x < r r 4 J (4) (δ) Η αριθµητική µέη τιµή x m των x και x είναι: 66

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 x + x r x Έτι, από την (6), για x = xm = r /, υπολογίζεται η αντίταη διάβαης Rδ = 4π = x r 4πr m = = (5) m Το ολικό ρεύµα και η µέγιτη πυκνότητα J max, λόγω των (6) και (8) δίνονται από (6) U = = 4πrU (7) R δ και J U 4U = = (8) r max 4πRδ xm 5.3 Ηµιφαιρικός επιφανειακός γειωτής ακτίνας r διαχέει το έδαφος ρεύµα. Η ειδική ηλεκτρική αγωγιµότητα του εδάφους είναι και η µέγιτη επιτρεπόµενη πυκνότητα ρεύ- µατος αυτό J. Ζητούνται: (α) Η αντίταη διάβαης για κανονική λειτουργία. (β) Η αντίταη διάβαης όταν η διάπαη προχωρήει µέχρι ακτίνα x. (γ) Προδιορίτε το είδος της διαδικαίας που χαρακτηρίζει την εξέλιξη της διάπαης. r = x Σχήµα 5-7 67

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ (α) Για κανονική λειτουργία η αντίταη διάβαης, ύµφωνα µε την (5.5), είναι R = πr () (β) Όταν η διάπαη προχωρήει µέχρι την ακτινική απόταη x, το τµήµα του ε- δάφους το οποίο έλαβε χώρα η διάπαη, υµπεριφέρεται αν υπεραγώγιµο υλικό και εποµένως αποκτά το δυναµικό U του γειωτή. Για να περιοριτεί η διάπαη µέχρι τα η- µεία της φαιρικής επιφάνειας ακτίνας x, πρέπει η πυκνότητα ρεύµατος τα ηµεία αυτά, να είναι ίη µε τη µέγιτη επιτρεπόµενη πυκνότητα J. Πρέπει δηλαδή ή Jx ( ) = J () = J (3) πx Από την (3) υπολογίζεται η απόταη x x = (4) πj o και, εποµένως, η αντίτοιχη αντίταη διάβαης είναι R J πx π = = (5) (γ) Το δυναµικό U του γειωτή ως προς το άπειρο για διάπαη του εδάφους µέχρι την ακτίνα x, είναι J U = Edr = dr = dr = (6) x x x πr πx Η (6), αν λάβουµε υπόψη την (3), γράφεται Από την (7), επειδή du dx J U = x (7) J = >, (8) 68

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 παρατηρούµε ότι για αύξηη του x (( dx > ) ), απαιτείται αύξηη του δυναµικού U ( du > ), δηλαδή για να επεκταθεί κι άλλο η διάπαη χρειάζεται να αυξηθεί η τιµή της επιβαλλόµενης τάης U (ευταθής διαδικαία). 5.4 Επίπεδη µεταλλική πλάκα ταθερού πάχους t και ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας, έχει διατοµή που περιορίζεται από τα ηµικύκλια ABC και ABC και τα ευθύγραµµα τµήµατα AA και CC. Ζητείται ο υπολογιµός της αντίταης της πλάκας, όταν επιβληθεί ταθερή διαφορά δυναµικού V : (α) Μεταξύ των τµηµάτων AA και CC. (β) Μεταξύ των τµηµάτων ABC και ABC. B B b a P ρ O ϕ A A C C Σχήµα 5-8 (α) Ας θεωρήουµε το ύτηµα των κυλινδρικών (πολικών) υντεταγµένων του χή- µατος. Αν φ = είναι το δυναµικό του τµήµατος CC και φ = V είναι το δυναµικό του τµήµατος AA, έχοντας υπόψη και το αντίτοιχο ηλεκτροτατικό πρόβληµα (παράδειγµα κεφαλαίου 4.3) παρατηρούµε ότι η υνάρτηη ικανοποιεί την εξίωη Laplace V φϕ ( ) = ϕ () π 69

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ φ φ φ φ V φ = ρ + + = = ϕ = ρ ρ ρ ρ ϕ z ρ ϕ ρ ϕ π () και τις οριακές υνθήκες και φ () = (3) φπ ( ) = V (4) Άρα, η υνάρτηη δυναµικού φ δίνεται από την (). Η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E και η πυκνότητα ρεύµατος J, λόγω της (), δίνονται, αντίτοιχα, από τις φ V E = φ = ϕ = ϕ (5) ρ ϕ ρ π V J = E = ϕ (6) ρπ Το ρεύµα, που διέρχεται από µια τυχούα διατοµή ϕ = const., υπολογίζεται από την (6) και έχει τιµή CC b t d t b = d = V J S ρ = V ln S π ρ π (7) a Από την (7), προκύπτει η ζητούµενη αντίταη µεταξύ των ηλεκτροδίων AA και a V π R = = (8) t ln( b/ a) (β) Στη δεύτερη περίπτωη η υνάρτηη δυναµικού δίνεται αό την που ικανοποιεί την εξίωη Laplace φ = C + ρ, (9) C ln φ φ ρ ρ ( C C ln ρ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = + = () Οι ταθερές C και C που υπολογίζονται από τις αρχικές υνθήκες φ () a = και φ () b = V, έχουν τις τιµές lna C = V () ln( b/ a) 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 και C = V () ln( b/ a) Η (9) µετά την αντικατάταη των () και () γράφεται V ρ φρ ( ) = ln (3) b ln a a Η πυκνότητα της ένταης του ρεύµατος είναι φ J( ρ) = φ = ρ, (4) ρ όπου ρ το µοναδιαίο διάνυµα κατά την ακτινική διεύθυνη. Από την αντικατάταη της (3) την (4) έχουµε V J( ρ ) = ρ (5) ln( b/ a) ABC Σηµείωη: Η ολοκλήρωη της (5) πάνω ένα ηµικύκλιο ρ = const., δίνει το υνολικό ρεύµα π π V πtv = t J( ρρ ) dϕ= t ρdϕ= (6) θ= ln( b/ a) ρ ln( b/ a) ϕ= Τέλος, από την (6) προκύπτει η αντίταη R µεταξύ των ηλεκτροδίων ABC και V ln( b/ a) R = = π t (7) Μια ενδιαφέρουα µέθοδος υπολογιµού πάνω και κάτω φραγµάτων της αντίταης µεταξύ δύο ηλεκτροδίων είναι η µέθοδος Rayleigh-Maxwell. Η µέθοδος αυτή βαίζεται το γεγονός ότι η αντίταη ενός µέου µε απώλειες αυξάνεται ή µειώνεται, όταν αντίτοιχα αυξηθεί ή µειωθεί η ειδική αντίταη ενός τµήµατος του µέου, χωρίς να γίνει κα- µιά άλλη µεταβολή το µέο. Έτι, αν θεωρήουµε µια ειρά από επιφάνειες από τις οποίες η πρώτη υµπίπτει µε το πρώτο ηλεκτρόδιο και η τελευταία µε το δεύτερο ηλεκτρόδιο, ενώ οι ενδιάµεες δεν τέ- 7

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ µνονται µεταξύ τους και υποτεθεί, ότι κάθε µια τέτοια επιφάνεια αντικαθίταται από ένα τρώµα απειροτού πάχους και άπειρης αγωγιµότητας, η αντίταη R την περίπτωη αυτή είναι µικρότερη από την αρχική αντίταη R του µέου. Μόνο την περίπτωη ό- που οι επιφάνειες είναι όλες ιοδυναµικές, η αντίταη του υτήµατος είναι ίη µε την αρχική αντίταη R του µέου. Ανάλογα, αν εκλέξουµε µια ειρά από ωλήνες µε τοιχώµατα απειροτού πάχους, που έχουν αρχή το πρώτο ηλεκτρόδιο και πέρας το δεύτερο ηλεκτρόδιο, χωρίς να τέµνονται µεταξύ τους, και θεωρήουµε ότι τα τοιχώµατα αντικαθίτανται από ένα τέλειο µονωτικό µέο, έτι ώτε το ρεύµα να ρέει µόνο µέα από αυτούς τους ωλήνες, τότε, η αντίταη R + του υτήµατος είναι µεγαλύτερη από την αρχική αντίταη R του µέου. Μόνο την περίπτωη όπου οι ωλήνες υµπίπτουν µε τους πραγµατικούς ρευµατικούς ωλήνες του πεδίου, η αντίταη του υτήµατος είναι ίη µε την αρχική αντίταη του µέου. Τα ζεύγη R και R + ορίζουν κάτω και πάνω φράγµατα, αντίτοιχα, της πραγµατικής αντίταης R µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων, ιχύει δηλαδή η + R R R (8) J A a A O C ρ ρ C ρ dρ Σχήµα 5-7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ας ζητήουµε τώρα να εφαρµόουµε τη µέθοδο Rayleigh-Maxwell το πρόβληµα που µόλις εξετάαµε. Για τον προδιοριµό ενός πάνω φράγµατος R +, θεωρούµε υπεραγώγιµα επίπεδα µηδενικού πάχους που διέρχονται από το κέντρο O. Έτι, η αντίταη dr µεταξύ των τµηµάτων DD και EE, υπολογίζεται από την εν παραλλήλω ύνδεη των αντιτάεων dr µεταξύ των τοιχείων δδ και ε ε. Αλλά d dr = ρϕ tdρ (9) και tdρ dg=, () ρϕ d όπου dg είναι η αγωγιµότητα µεταξύ των τµηµάτων δδ και εε. Από την () παίρνουµε t d t b = dg ρ = ln dr dϕ ρ dϕ a b a () ή dr = dϕ () tln( b/ a) Ολοκλήρωη της () δίνει π π R + = dϕ tln( b/ a) = (3) tln( b/ a) Για τον προδιοριµό ενός κάτω φράγµατος R, θεωρούµε ρευµατικούς ωλήνες που τα µηδενικού πάχους τέλεια µονωτικά τοιχώµατά τους, υµπίπτουν µε τις επιφάνειες οµοαξονικών κυλίνδρων (µε άξονα διά του O ). Έτι, η αντίταη dr του διαγραµµιµένου ωλήνα του χήµατος είναι dr = πρ tdρ (4) Η αντίτοιχη αγωγιµότητα είναι td dg = = ρ dr π ρ (5) 73

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Η ολοκλήρωη της (5) δίνει ένα πάνω φράγµα της αγωγιµότητας µεταξύ των τµηµάτων AA και CC b t dρ t b G + = ln π ρ = π a a (6) Από την (6), υπολογίζεται το κάτω φράγµα R R π = = (7) + G tln( b/ a) Αν χηµατίουµε τη διπλή ανιότητα (8), για τις (3) και (7), έχουµε π π R (8) tln( b/ a) tln( b/ a) Από την (8) προκύπτει και πάλι η ακριβής τιµή της χέης (8). Ας ηµειώουµε ότι η (8) οδήγηε την ακριβή τιµή της αντίταης, επειδή από τη γεωµετρία του προβλή- µατος κατά ύµπτωη εκλέξαµε τις πραγµατικές ιοδυναµικές επιφάνειες και τους πραγµατικούς ωλήνες ροής. ιαφορετικά, όπως θα δούµε την επόµενη άκηη, θα παίρναµε ένα ζεύγος τιµών που θα έφραζαν την ακριβή τιµή της αντίταης. Αν ακολουθήουµε την ίδια πορεία και για το δεύτερο κέλος της άκηης, εναλλάοντας µόνο το ρόλο των ρευµατικών γραµµών και των ιοδυναµικών επιφανειών, φθάνουµε και πάλι το αποτέλεµα της χέης (7). Η επαλήθευη της χέης αυτής α- φήνεται ως άκηη τον αναγνώτη. 5.5 Να υπολογιτούν πάνω και κάτω φράγµατα της αντίταης µεταξύ των δύο βάεων ενός κολούρου κώνου, που είναι γεµάτος µε υλικό ειδικής αγωγιµότητας. ίνονται οι α- κτίνες των βάεων a και b (a < b ) και η απόταή τους h. Θα επιχειρήουµε να προδιορίουµε πάνω και κάτω φράγµατα της αντίταης R, µε τη µέθοδο Rayleigh-Maxwell. Για τον προδιοριµό ενός κάτω φράγµατος R, θεωρούµε µια ειρά από υπεραγώγιµα επίπεδα φύλλα, παράλληλα προς τις βάεις του κώνου. 74

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η αντίταη dr µεταξύ των δύο φύλλων του χήµατος που απέχουν από την κορυφή O απόταη z, είναι dz dr = () πr Το κάτω φράγµα R, προκύπτει από την εν ειρά ύνδεη των dr, δηλαδή από την ολοκλήρωη της () από z = h έως z = h + h. Ολοκληρώνοντας την () έχουµε O θ h a z r(z) dz h b z Σχήµα 5- R Η () αν λάβουµε υπόψη τις χέεις r z θ = tan, a h tan θ z= h + h dz = () π r z= h = και b = ( h + h)tanθ, (3) 75

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ γράφεται ή R h + h dz = = π tan θ h z π tan θ h h + h h =, π ( h tan θ )( h + h)tanθ h R = (4) πab O l () θ θ θ h dr dϕ a r l() θ rdrdϕ l () θ 3 d R h dl J b Σχήµα 5- Για τον προδιοριµό ενός πάνω ορίου R + της αντίταης R, θεωρούµε ότι όλες οι ρευµατικές γραµµές, διέρχονται από την κορυφή O. Έτι, αν την πάνω βάη θεωρήου- 76

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 µε ένα δακτύλιο ακτίνας r και πάχους dr, και ενώουµε τα ηµεία του τοιχείου rdrdϕ του δακτυλίου µε την κορυφή O, χηµατίζεται ο διαγραµµιµένος ρευµατικός ωλήνας του χήµατος που το διπλά διαγραµµιµένο τοιχείο του έχει αντίταη 3 dr = dl l sin θdθdϕ (5) Η αντίταη του ρευµατικού ωλήνα, υπολογίζεται από την ολοκλήρωη της (5) και είναι ή dr l ( θ) dl = = sin θθϕ dd l ( θ) l sin θθϕ dd l( θ) l( θ) cosθ cosθ b a b a = =, sin θdd θ ϕ h h h + dϕtan θdθ ah bh ( b a) dr= (6) hab tan θdθdϕ Η αντίτοιχη αγωγιµότητα είναι dg hab = = tan θdθdϕ (7) dr ( b a) Από την διπλή ολοκλήρωη της (7) παράλληλη ύνδεη αντιτάεων προκύπτει ένα κάτω φράγµα G για την αγωγιµότητα µεταξύ των δύο βάεων του κολούρου κώνου G hab π θ πhab = tan θdθdϕ = ln (8) ( b a) ϕ= θ= ( b a) cosθ Το αντίτοιχο πάνω φράγµα R + της αντίταης είναι R + ( b a) = = (9) G π hab ln cos θ ή, επειδή cos θ = h ( b a) + h, () 77

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ + a b h πr π R + R R π R e% = R 6 6, 6, 6,,,,,, 3 4 6,,,, 6 3, 3,4 3,,68 5, 5,5 5,,5,,,6,6 6,,9,54,66 3,333 3,399 3,366,98 6,667 6,699 6,683,5 6,5,5,5,,5,5,5, 5, 5, 5,, 6,75,79,77,66,5,75,6,98,75,768,758,5 6,5,64,55 9,44,833,898,866 3,75,666,699,683,983 R + ( b a) = π hab ( b a) h ln + h () Τελικά, από τις (4) και () προκύπτει ότι η αντίταη R βρίκεται το διάτηµα 78

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 h ( b a) R πab π hab b a ln + h Στον παραπάνω πίνακα φαίνονται οι τιµές των φραγµάτων R, R +, της µέης τιµής + R = ( R + R )/ και της εκατοτιαίας απόκλιης (των φραγµάτων από τη µέη τιµή), για διάφορες τιµές των ακτίνων a, b και του ύψους h. Εύκολα παρατηρούµε ότι τα φάλµατα που προκύπτουν για τις περιπτώεις όπου οι ακτίνες a και b δεν διαφέρουν ηµαντικά µεταξύ τους, είναι πολύ µικρά, ενώ την ειδική περίπτωη του κυλίνδρου (όπου a = b) τα δύο φράγµατα ταυτίζονται µε την ακριβή τιµή της αντίταης. () 5.6 Ο χώρος µεταξύ δύο µεταλλικών ελλειψοειδών εκ περιτροφής µε ηµιάξονες a = 4 (cm), b =, 65 (cm), a = 5 (cm), b = 4 (cm), έχει πληρωθεί µε υλικό ειδικής αγωγιµότη- τας =, 5 (Ω - cm - ). Ζητείται: (α) Να ελεγχθεί αν τα ελλειψοειδή είναι οµοετιακά ή όχι. (β) Να υπολογιτεί η αντίταη διάβαης µεταξύ των δύο ελλειψοειδών και η ένταη του ρεύµατος όταν η τάη µεταξύ των ελλειψοειδών είναι V. (γ) Να καθοριτεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταη E και η πυκνότητα του ρεύµατος J τα ηµεία Α, Β, Γ και. y Γ O A B x V Σχήµα 5-3 79

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ και (α) Η ετιακή απόταη τις δύο περιπτώεις δίνεται από τις χέεις: l = a b = 6(cm) () l = a b = 6(cm) () Άρα, τα δύο ελλειψοειδή είναι οµοετιακά µε ετιακή απόταη l = l = l = 6(cm) (3) (β) Το δυναµικό το τυχόν ηµείο P του πεδίου, ύµφωνα µε την (5.5), δίνεται από τη χέη φ P ( x + l) + ( x + l) + y = ln 8 πl ( x l) + ( x l) + y (4) Ειδικά για τα ηµεία A(4(cm),) και B(5(cm), ) από την (4) έχουµε φ Α 4+ 3 + (4+ 3) = ln = ln 7 8πl 4 3 + (4 3) 8πl (5) και φ Β 5+ 3 + (5+ 3) = ln = ln 4 8πl 5 3 + (5 3) 8π (6) Η διαφορά δυναµικού U ΑΒ = φα φβ µεταξύ των δύο ελλειψοειδών, λόγω των (5) και (6), δίνεται από την 7 U = ΑΒ ln 8πl 4 (7) Έτι, η ζητούµενη αντίταη διάβαης είναι U ΑΒ 7 RΑΒ = = ln =,97 (Ω) (8) 8πl 4 και το ρεύµα, για U ΑΒ = (V), UΑΒ 8πlUΑΒ = = = 33,68 (A) (9) R 7 ΑΒ ln 4 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 (γ) Τα ηµεία Α και Β βρίκονται πάνω τον άξονα x. Όπως φαίνεται από την (4), το δυναµικό ενός τυχόντος ηµείου P( x, ) του άξονα, δίνεται από τη χέη φ P ( x + l) = ln 8 πl ( x l) () Από τη χέη όµως E = φ, και την (), προκύπτει E φp P = E x Px = = x x 4 π( x l ) x () Αντίτοιχα, για την πυκνότητα του ρεύµατος J = E και την () έχουµε J P τον άξονα x, από τη χέη JP = x () 4 π( x l ) Ειδικά, για τα ηµεία A(4(cm), ), B(5(cm), ), από τις () και () προκύπτει E Α = 53, 53 (V/m), J Α = 388, 8 (A/m ), (3α) E Β = 67, 4 (V/m) και J Β = 675, (A/m ) (3β) Τα ηµεία Γ και, είναι ηµεία του άξονα y. Το δυναµικό ενός τυχόντος ηµείου P(, y ) του άξονα αυτού, ύµφωνα µε την (4), δίνεται από τη χέη φ P l + l + y = ln 8πl l + l + y (4) Η πεδιακή ένταη EP = EPyy και η πυκνότητα ρεύµατος J P είναι, υνεπώς, φp EP = y = y (5) y 4π y y + l και Γ (,, 65(cm)) και (, 4(cm)) από τις (5) και (6) προκύπτει Ειδικά για τα ηµεία JP = y (6) 4π y y + l E Γ =, 67 (V/m), J Γ = 56,67 (A/m ), (7α) E Β = 536, 3 (V/m), και J Β = 34, 8 (A/m ) (7β) 8

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ 5.7 Ένας γειωτής αποτελείται από ένα ύτηµα τριών κυλινδρικών ηλεκτροδίων µήκους l που είναι τοποθετηµένα κατακόρυφα µέα το έδαφος έτι, ώτε το ένα άκρο τους να βρίκεται την επιφάνεια του. Τα τρία ηλεκτρόδια είναι τοποθετηµένα ε διάταξη ιοπλεύρου τριγώνου πλευράς a. Ζητείται να βρεθεί η αντίταη διάβαης της διάταξης και η απόταη a για την οποία επιτυγχάνεται ελάχιτη τιµή της αντίταης. ίνεται ότι η διάµετρος των η- λεκτροδίων είναι πολύ µικρή ε χέη µε το µήκος τους, ενώ θεωρούνται επίης δοµένα: το µήκος των ηλεκτροδίων l, η διάµετρός τους d και η ειδική αγωγιµότητα του εδάφους. A B P Γ 3 l έδαφος () () (3) d r a P r3 d a r a d Σχήµα 5-4 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αν είναι το υνολικό ρεύµα που διαχέει ο γειωτής το έδαφος και,, 3 τα ρεύµατα που διαχέονται από τα τρία ηλεκτρόδια, λόγω υµµετρίας, ιχύει, προφανώς, η = = 3 = /3 () Το δυναµικό φ, ε κάθε ηµείο του χώρου προκύπτει από την υπέρθεη των δυναµικών των πεδίων που δηµιουργούν τα τρία ηλεκτρόδια ξεχωριτά. Έτι, ένα τυχόν ηµείο P της επιφάνειας του εδάφους που απέχει από τα τρία η- λεκτρόδια αποτάεις r, r και r 3, αντίτοιχα, ύµφωνα µε την (5.6) (για x = ), το δυναµικό δίνεται από τη χέη φ P l + l + r l + l + r = ln + ln 4πl l + l + r 4πl l + l + r l + l + r 3 + ln 4πl l + l + r 3 3 3 3 3 3 3, () ή, λόγω της () και επειδή είναι l = l = l 3 = l l l r l l r l l r + + + + + + 3 φp = ln ln ln + + πl (3) l + l + r l + l + r l + l + r3 Για τα ηµεία Α της επιφάνειας του εδάφους που ανήκουν την εξωτερική επιφάνεια του ωληνωτού ηλεκτροδίου (), αν λάβουµε υπόψη την (5.7) και ότι d a, r = d/, r = r3 = a d/ a, από την (3) προκύπτει φ Α 4 ln l ln l l a ln l l a + + + + = πl + + d l l a l l a + + + + ή φ Α 4 ln l ln l l a + + = 6πl + d l l a + + (4) Είναι προφανές, ότι η ίδια χέη ιχύει και για τα δυναµικά φ Β και φ Γ των ηλεκτροδίων () και (3), αντίτοιχα, αφού φα = φβ = φγ = V, (5) 83

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ όπου V το δυναµικό, του τριγωνικού γειωτή. Από τις (4) και (5), έχουµε V 4 ln l ln l l a + + = + 6πl d l l a + + (6) και είναι Η ζητούµενη αντίταη διάβαης R δ του τριγωνικού γειωτή προκύπτει από την (6) R δ V 4 ln l ln l l a + + = = 6πl + d l l a + + (7) Η (7), επειδή η αντίταη διάβαης (γείωης) R κάθε ηλεκτροδίου, ύµφωνα µε την (5.63) δίνεται από τη χέη γράφεται R 4l = ln, (8) πl d R δ R l + l + a ln 3 6πl l + l + a = + (9) Είναι προφανές ότι η R δ γίνεται ελάχιτη όταν η απόταη a γίνει µέγιτη. Έτι, για a, έχουµε ή R δ,min = Rδ = + a R ln 3 6πl R 3 R δ,min = () Παρατηρούµε από την () ότι όταν οι µεταξύ των ηλεκτροδίων αποτάεις είναι πολύ µεγάλες, η υνολική αντίταη διάβαης της διάταξης είναι ίη µε το /3 της αντίταης διάβαης του κάθε ηλεκτροδίου, δηλαδή, έχουµε περίπτωη παράλληλης ύνδεης τριών ίων αντιτάεων. 84

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.8 Ηλεκτρικό ρεύµα ένταης προάγεται υγκεντρωµένο ένα ηµείο P που απέχει απόταη h από τη διαχωριτική επίπεδη επιφάνεια δύο µέων µε διηλεκτρικές ταθερές ε, ε και ειδικές ηλεκτρικές αγωγιµότητες και. Το ηµείο P βρίκεται το µέο µε διηλεκτρική ταθερά ε και ειδική αγωγιµότητα. Ζητείται ο υπολογιµός της πυκνότητας επιφανειακών φορτίων που αναπτύονται τη διαχωριτική επιφάνεια λόγω της ροής του ηλεκτρικού ρεύµατος. z z z P(,,h) () P(,,h) () r A(x,y,z) h h h r, ε r, ε, ε (+) O O O, ε x, ε x, ε x h Β(x,y,z) ( Πραγµατικό πεδίο Πεδίο το χώρο (Ι) Πεδίο το χώρο (ΙΙ) Σχήµα 5-5 Θεωρούµε ότι η διαχωριτική επιφάνεια υµπίπτει µε το επίπεδο z =, ενός καρτειανού υτήµατος υντεταγµένων και ότι η ηµειακή πηγή εντάεως είναι τοποθετη- µένη το ηµείο P( x =, y =, z = h). Όπως και το αντίτοιχο ηλεκτροτατικό πρόβληµα, έτι κι εδώ ζητούµε να προδιορίουµε δύο υναρτήεις δυναµικού φ και φ για τα µέα (Ι) και (ΙΙ) αντίτοιχα, έτι, ώτε να ικανοποιούν την εξίωη Laplace και τις ακόλουθες οριακές υνθήκες τη διαχωριτική επιφάνεια z = : (α) Συνέχεια της εφαπτοµενικής υνιτώας της ηλεκτρικής πεδιακής ένταης (ή, υνέχεια της τιµής του δυναµικού), και P (,,-h) (α) (β) (γ) (β) Συνέχεια της κάθετης υνιτώας της πυκνότητας του ηλεκτρικού ρεύµατος. () 85

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Προς το κοπό αυτό, θεωρούµε ότι το πεδίο το χώρο () είναι ιοδύναµο µε το πεδίο που δηµιουργούν δύο ηµειακές πηγές ρεύµατος και τοποθετηµένες τα ηµεία P(,, h ) και P (,, h), αντίτοιχα, αφού όµως το µέο () αντικαταταθεί από το µέο () (χήµα 5-5(β)). Ανάλογα, για το πεδίο το χώρο () θεωρούµε µια ηµειακή πηγή ρεύµατος τοποθετηµένη το ηµείο P(,, h ) αφού όµως το µέο () αντικαταταθεί από το µέο (ΙΙ) (χήµα 5-5(γ)). Οι υναρτήεις δυναµικού φ και φ έχουν τις εκφράεις φ = + 4π r r = + x + y + z h x + y + z + h / / 4 π ( ) ( ( ) φ = = 4 r 4 x + y + ( z h) και / π π (για z > ) () (για z < ) () Ο προδιοριµός των ρευµάτων και, γίνεται από τις (), () και τις δύο οριακές υνθήκες (α) και (β). Προς το κοπό αυτό, από την ιότητα των εφαπτοµενικών υνιτωών της ένταης E, ε µια τυχούα διεύθυνη x, πάνω το επίπεδο z =, επειδή E = φ, έχουµε φ φ = x x z= z= (3) ή, λόγω των () και (), x x x + = 4 π ( x y h ) ( x y h ) + + + + 4 π ( x + y + h ) 3/ 3/ 3/ Επίης, από την ιότητα των καθέτων υνιτωών της πυκνότητας ρεύµατος, το ε- πίπεδο z =, επειδή J = E = φ, έχουµε ( Jn ) ( Jn ) z= z= ή = z z= z z= και, λόγω των (), (), (4) = (5) φ φ, (6) 86

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 h h h + = 4 π ( x y h ) ( x y h ) + + + + 4 π ( x + y + h ) 3/ 3/ 3/ Από τις (4) και (7) προκύπτει το ύτηµα των εξιώεων (7) + = (8) και = +, (9) η επίλυη του οποίου δίνει = () + και = () + Με αντικατάταη των (), () τις () και () προκύπτουν οι εκφράεις της υνάρτηης δυναµικού τα δύο τµήµατα του πεδίου. Η ζητούµενη πυκνότητα επιφανειακών φορτίων ρ s πάνω το επίπεδο z =, υπολογίζεται από την ρs = D D = ε E εe, () n n n n όπου D n, E n και D n, E n οι κάθετες υνιτώες της διηλεκτρικής µετατόπιης και της ηλεκτρικής πεδιακής ένταης (το επίπεδο z = ) τα µέα () και (), αντίτοιχα. s Από την () και τις () και () έχουµε φ φ ρ = ε ε z z= z z= ε h ε h ε h = + 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 3/ 3/ 3/ π x + y + h π x + y + h π x + y + h, ή ρ s h ε ε ε = + 4 π( x + y + h ). (3) 3/ Η (3), λόγω των () και (), γράφεται ρ s h( ε ε) = 4 π ( )( ) 3/ + x + y + h (4) 87

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Από την (4) παρατηρούµε ότι την περίπτωη όπου µεταξύ των διηλεκτρικών ταθερών ε, ε και των ειδικών αγωγιµοτήτων και ιχύει η χέη =, (5) ε ε η πυκνότητα των επιφανειακών φορτίων τη διαχωριτική επιφάνεια z =, είναι παντού µηδεν. 5.9 Σε βάθος β από την επιφάνεια του εδάφους βρίκονται δύο οριζόντιοι ευθύγραµµοι παράλληλοι αγωγοί µεγάλου µήκους και αµελητέας διατοµής. Από τον ένα (τον δεξιά το επίπεδο χεδίαης) προάγεται το έδαφος υνεχές ρεύµα ένταης ανά µονάδα µήκους που απάγεται από το δεύτερο αγωγό. Αν α είναι η µεταξύ των δύο αγωγών οριζόντια απόταη και η ειδική αγωγιµότητα του εδάφους ζητούνται: (α) Να βρεθούν τα ως προς το άπειρο, δυναµικά των ηµείων του εδάφους και ειδικότερα τα δυναµικά των ηµείων της επιφάνειας του. (β) Να προδιοριτούν τα ηµεία της επιφάνειας του εδάφους, όπου η τιµή του δυναµικού είναι µηδέν, µέγιτη και ελάχιτη. Επίης, να υπολογιτούν οι ακραίες αυτές τιµές του δυναµικού. (γ) Να προδιοριτεί η διεύθυνη και η φορά της ηλεκτρικής ροής πάνω την επιφάνεια του εδάφους. (δ) Να βρεθεί η µέγιτη τάη µεία της επιφάνειας του εδάφους. V max που είναι δυνατό να µετρηθεί ανάµεα ε δυο η- (ε) Περιγράψτε πώς, αν δεν είναι γνωτή η θέη των αγωγών µέα το έδαφος, είναι δυνατή η εύρεη ηµείων µε διαφορά δυναµικού V max µόνο µε µέτρηη των τάεων ανάµεα ε ηµεία της επιφάνειας του εδάφους. Επίης, να εξηγηθεί πώς είναι δυνατό, όταν δίνονται τα και, να προδιοριτεί η θέη των αγωγών µέα το έδαφος (δηλαδή οι αποτάεις α και β ) µε µετρήεις πάνω την επιφάνεια του εδάφους; 88

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 O = β z έδαφος x A α α B (α) P(x,y,z) h () () h h Σχήµα 5-6(α)-(δ) () P(x,y,z) (+) (β) (γ) (δ) h () (α) Θεωρούµε ότι οι δύο αγωγοί είναι παράλληλοι προς τον άξονα z ενός καρτειανού υτήµατος υντεταγµένων που η αρχή του O βρίκεται πάνω την επιφάνεια του εδάφους (επίπεδο y = ) και ε ίη απόταη από τους δύο αγωγούς (χήµα 5-6(α)). Έτω, επίης, ότι A και B είναι τα ίχνη των δύο αγωγών το επίπεδο z =. Τα µεγέθη του πεδίου ε κάθε ηµείο του χώρου, προκύπτουν από την υπέρθεη των µεγεθών του πεδίου του κάθε αγωγού ξεχωριτά. Χρειάζεται εποµένως προηγούµενα, να επιλύουµε το πεδιακό πρόβληµα ενός αγωγού παράλληλου προς την επίπεδη διαχωριτική επιφάνεια δύο µέων µε ειδικές αγωγιµότητες και (χήµα 5-6(β)) που διαχέει οµοιόµορφα ένα ρεύµα ανά µονάδα µήκους. 89

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Το πρόβληµα επιλύεται µε τη µέθοδο των εικόνων, µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ε- πιλύθηκε το πρόβληµα 5.8. Έτι, το πεδίο τα ηµεία του µέου (), προκύπτει από την υπέρθεη των δύο γραµµικών πηγών ρεύµατος και (χήµα 5-6(γ)), ενώ το µέο () από τη γραµµική πηγή (χήµα 5-6(δ)), όπου = () + και = () + Στην περίπτωη όπου το µέο () είναι το έδαφος ( = ) και το µέο () ο περιβάλλων χώρος ( = ) οι () και () δίνουν = (3) και = (4) Το πεδίο, λοιπόν, τα ηµεία P του εδάφους, υπολογίζεται εύκολα από το ιοδύναµο ύτηµα του χήµατος 5-6(ε), που περιλαµβάνει και τις κατοπτρικές πηγές, τα υµµετρικά ηµεία A και B των A και B, ως προς την επιφάνεια του εδάφους. Έτι, αν r A, r B, r Α και r Β είναι οι αποτάεις του ηµείου P από τις τέερις πηγές, και r είναι οι αποτάεις ενός ηµείου αναφοράς των δυναµικών απείρως αποµακρυµένου ( r r r r r >> r, r, r, r ) από τις πηγές, τότε, τα δυναµικά το A, A, B, B, A B A B ηµείο P που οφείλονται αυτές είναι, αντίτοιχα β β A A r r A O r r r r A α α y B B r Β r Β P r x Σχήµα 5-6(ε) 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 φ P,A dr = = = r r EA() r dr ln, (5) ra π r A r π ra r και φ P,A φ φ P,B P,B r = ln, (6) π r A r = ln (7) π r B r = ln, (8) π r όπου η ηµαία του υµβόλου φ P,A είναι: το δυναµικό το ηµείο P που οφείλεται τη γραµµική πηγή που διέρχεται από το ηµείο A. Ανάλογη είναι και η ηµαία των άλλων υµβόλων φ P,A, φ P,B και φ P,B. Από την υπέρθεη των (5), (6), (7) και (8) προκύπτει το δυναµικό φ P το τυχόν η- µείο P του εδάφους φ φ φ φ φ B A A P = P,A + P,A + P,B + ln P,B = (9) π rr B B ή, αν εκφράουµε τις r A, r B, r A και r B ε καρτειανές υντεταγµένες ( x α) ( y β) )(( x α) ( y β) + + + + + φp(,, xyz) = ln. () 4 π ( x α) + ( y β) )(( x α) + ( y + β) Ειδικά, για τα ηµεία της επιφάνειας του εδάφους όπου ra = r A, rb = r B και y =, από τις (9) και () προκύπτει ra ( x + α) + β φ() x = ln = ln () π rb π ( x α) + β (β) Από την () υµπεραίνουµε ότι για τα ηµεία µηδενικού δυναµικού της επιφάνειας του εδάφους (εκτός των ηµείων του απείρου: x =± ) ιχύει η δηλαδή µηδενικό δυναµικό έχουν όλα τα ηµεία του άξονα z. rr x = x =, () 9

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Τα ηµεία µέγιτου και ελάχιτου δυναµικού προκύπτουν από το µηδενιµό της πρώτης παραγώγου dφ / dx και το πρόηµο της δεύτερης παραγώγου d φ / dx. Έτι, από την () εύκολα παρατηρούµε ότι για έχουµε ενώ για x x α β = = + +, (3) d φ d φ = και <, (4) dx dx x x α β = = +, (5) έχουµε d φ d φ = και > (6) dx dx ηλαδή, η (3) καθορίζει τα ηµεία µέγιτου δυναµικού και η (6) τα ηµεία ελάχιτου δυναµικού. Εξ άλλου, όπως εύκολα φαίνεται, η φ () x είναι περιττή υνάρτηη ως προς x ( φ() x = φ( x) ), και υνεπώς, αφού για για x = α + β έχουµε θέη ελάχιτου και αντίτροφα. x = α + β έχουµε θέη µέγιτου φ( x) φ max x = α + β Ο x = α + β x φ min Σχήµα 5-6 (τ) 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Από την αντικατάταη των (3) και (5) την () προκύπτει η µέγιτη τιµή και η ελάχιτη τιµή φ min του δυναµικού φ ( ) ( ) α+ α + β + β α+ α + β = φ = ln = ln π α + β α + β π β max min φ max Στο χήµα 5-6(τ) παρίταται γραφικά η µεταβολή του δυναµικού φ () x πάνω την επιφάνεια του εδάφους, υναρτήει της απόταης x. (γ) Είναι φανερό ότι την επιφάνεια του εδάφους, επειδή η κάθετη αυτήν υνιτώα J n της πυκνότητας του ρεύµατος είναι ίη µε µηδέν (τον αέρα = και Jn = Jn), η πυκνότητα του ρεύµατος J έχει τη διεύθυνη του άξονα x. Προκειµένου να προδιορίουµε τη φορά της J (ή της E ) από την () και την µηδενική υνιτώα της ένταης E είναι η δηλαδή, για E z, έχουµε (7) E = φ, επειδή η µοναδική µη E φ α x ( α + β ) = E x x = = x x π ( x + α) + β ( x α) + β x, (8) η ηλεκτρική ροή έχει τη φορά του θετικού ηµιάξονα x, ενώ για η ηλεκτρική ροή έχει τη φορά του αρνητικού ηµιάξονα x. x > α + β, (9) x < α + β, () (δ) Η µέγιτη τάη V max που µπορεί να µετρηθεί θα είναι, προφανώς, η τάη µεταξύ των ηµείων µέγιτου δυναµικού φ max και των ηµείων ελάχιτου δυναµικού φ min. Έτι, από την (7) προκύπτει α+ α + β Vmax = φmax φmin = φmax = ln. () π β ε) Για την απάντηη το τελευταίο ερώτηµα, θεωρούµε ότι τερεώνουµε τον αρνητικό ακροδέκτη του οργάνου του χήµατος 5-6(ζ) ένα τυχόν ηµείο K της επιφάνειας του εδάφους και µετρούµε τη διαφορά δυναµικού V PK µεταξύ του K και ενός άλλου τυχόντος ηµείου P της επιφάνειας. Στη υνέχεια, µετακινούµε το θετικό ακροδέκτη του 93

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ οργάνου, τα ηµεία της περιφέρειας που γράφεται µε κέντρο το K και ακτίνα την KP. Μόλις το όργανο ηµειώει ένδειξη V PK ίη µε την προηγούµενη ένδειξη V PK, ηµειώνουµε το ηµείο P, οπότε γνωρίζουµε ότι οι αγωγοί είναι παράλληλοι προς την PP, ενώ η κάθετη από το K την PP µας δίνει τη διεύθυνη του άξονα x. Στη υνέχεια, αρχίζουµε και µετακινούµε το θετικό ακροδέκτη πάνω την KK, αρχικά δεξιά του K και µετά αριτερά του K. Οι τιµές που καταγράφει το όργανο αυξάνουν (ή µειώνονται) µονότονα όο ο θετικός ακροδέκτης µετακινείται προς τα δεξιά µέχρις ενός ηµείου P οπότε αρχίζουν να φθίνουν (ή να αυξάνουν) µονότονα. Το ηµείο αυτό µας καθορίζει τη θέη µέγιτου (ή ελάχιτου) δυναµικού. Παρόµοια, από τη µετακίνηη του θετικού ακροδέκτη προς τα αριτερά εντοπίζουµε και το ηµείο ελάχιτου (ή µέγιτου) δυναµικού P. Η διαφορά δυναµικού µεταξύ των δύο ηµείων P και P µας δίνει τη µέγιτη τάη V max. Είναι φανερό, ότι την περίπτωη που το ηµείο K, είναι αριτερά του P ή δεξιά του P, η µετακίνηη του θετικού ακροδέκτη γίνεται υνεχώς προς την ίδια κατεύθυνη. V η µεταξύ τους µέγιτη διαφορά δυναµικού, οι αποτάεις a και β, που καθορίz P V P O K P K y P θέη ελαχίτου l = α + β l = α + β θέη µεγίτου α α (Άγνωτες θέεις αγωγών) Σχήµα 5-6 (ζ) Αν l είναι η απόταη των ηµείων P και P που εντοπίτηκαν προηγούµενα και 94

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ζουν επακριβώς τη θέη των αγωγών (αφού η αρχή O βρίκεται το µέο της PP ), υπολογίζονται, λόγω των (3) και (), από το ύτηµα των εξιώεων και α + β = l () ln π α+ α + β β = V (3) 5. Σ ένα οµοιόµορφο πεδίο ροής J εκτεινόµενο ένα απέραντο οµογενές και ιότροπο µέο ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας, ειάγεται φαίρα ακτίνας R και ειδικής ηλεκτρικής αγωγιµότητας. Να αποδειχτεί ότι η πυκνότητα J του ηλεκτρικού ρεύµατος µέα τη φαίρα δίνεται από την 3 J = J, + και να βρεθεί ο λόγος της θερµότητας που παράγεται τον όγκο της φαίρας προς τη θερµότητα που θα παράγονταν τον ίδιο όγκο, αν ολόκληρος ο χώρος είχε ειδική αγωγιµότητα. z P( r, θϕ, ) θ R J J Σχήµα 5-7 95

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΜΟΝΙΜΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Όπως και το αντίτοιχο ηλεκτροτατικό πρόβληµα, έτι κι εδώ, ζητούµε να προδιορίουµε δύο υναρτήεις δυναµικού φ, φ που δίνουν τα δυναµικά µέα κι έξω από τη φαίρα αντίτοιχα, της µορφής B φ = Ar + cos θ + C r B φ = Ar + cos θ + C r (για r (για r R ), () R ), () όπου οι ταθερές A, A, B, B, C και C υπολογίζονται από τις εξής οριακές υνθήκες: (α) Ιότητα των εφαπτοµενικών υνιτωών της ηλεκτρικής πεδιακής ένταης πάνω την επιφάνεια της φαίρας ( r = R) : Πρέπει δηλαδή να ικανοποιείται η φ φ = r θ r θ r= R r= R (3) ή, λόγω των () και (), η B B AR + AR R = + R (4) (β) Ιότητα των καθέτων υνιτωών της πυκνότητας ρεύµατος για r = R. Η υνθήκη αυτή δίνει φ φ = r r= R r r= R, (5) B B A 3 A = 3 R R (6) (γ) Η υνάρτηη φ πρέπει να λαµβάνει πεπεραµένες τιµές για οποιαδήποτε τιµή των r και θ. Πρέπει, εποµένως, να ιχύει η B = (7) (δ) Η πυκνότητα του ρεύµατος τα ηµεία του χώρου που απέχουν πάρα πολύ από το κέντρο της φαίρας, πρέπει να εξακολουθεί να είναι J. Έτι, για r, είναι και φ = Arcos θ + C = Az + C (8) 96

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 J ϕ J = J = z = E = = A z z z (9) ή J = A () (ε) Συνέχεια του δυναµικού πάνω τη διαχωριτική επιφάνεια: φ( R) = φ( R). Για την ικανοποίηη της υνθήκης αυτής, οι () και () δίνουν B B AR cos θ C AR + + = + cos θ + C R R () Από την () προκύπτει και πάλι η (4) και η C = C () Μετά τον υπολογιµό των ταθερών A, A, B, B, C, C από τις (4), (6), (7), () και () και την αντικατάταή τους τις () και () έχουµε και 3J φ = r cos θ + C + (3) φ J 3 = R r cosθ C 3 + + + r (4) Από την (3) που γράφεται και ως 3J φ = z + C +, (5) υπολογίζεται η ένταη E και η πυκνότητα του ρεύµατος J το εωτερικό της φαίρας: ϕ 3J E = z = z (6) z + και J 3 = E = J (7) + Από τις (6) και (7) παρατηρούµε ότι το πεδίο το εωτερικό της φαίρας είναι ο- µοιόµορφο και παράλληλο προς την αρχική διεύθυνη του εξωτερικού πεδίου. ύο ειδικές περιπτώεις που αξίζει να εξετατούν είναι οι ακόλουθες: (α) Όταν έχουµε υπεραγώγιµη φαίρα, όταν δηλαδή είναι 97