Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 10.8.086, e-mail: thanasisxenos@yahoo.gr ISBN 978-960-56-08- Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 008, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.11/199 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο www.ziti.gr Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 90 7. (10 γραμ.) - Fax: 90 7.9 e-mail: info@ziti.gr Aρμενοπούλου 7 56 5 Θεσσαλονίκη Tηλ. 10 0.70, Fax 10 11.05 e-mail: sales@ziti.gr
Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείου και περιέχει την ύλη του μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης (ή των Υπολογιστικών Μαθηματικών). Αριθμητική Ανάλυση είναι ο κλάδος της μαθηματικής επιστήμης που σχεδιάζει και κατασκευάζει αριθμητικές μεθόδους για την κατά προσέγγιση επίλυση διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων. Η ανάπτυξή της συνδέεται άμεσα με την ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Εφαρμόζεται σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως είναι η Στατιστική, η Μηχανική, η Μετεωρολογία. Μερικά από τα προβλήματα που επιλύει προσεγγιστικά είναι τα εξής: Η επίλυση γραμμικών συστημάτων με μεγάλο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων. Ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων, όταν το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις. Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, όταν η γενική λύση είναι αδύνατο να βρεθεί ή είναι περίπλοκη. Τα κεφάλαια που αναπτύσσονται είναι: 1. Βασικές έννοιες. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων. Πολυωνυμική παρεμβολή. Πολυωνυμική προσέγγιση 5. Αριθμητική ολοκλήρωση 6. Επίλυση γραμμικών συστημάτων 7. Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 8. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων.
Αριθμητική Ανάλυση Ακολουθούν ανακεφαλαίωση κατά κεφάλαιο, γενικά παραδείγματα και σύντομες λύσεις των ασκήσεων. Ιανουάριος 008 Θ. Ξένος
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες 1.1 Σφάλματα...9 1. Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς...1 1. Πεπερασμένες διαφορές...15 1. Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών...1 1.5 Γραμμικοί τελεστές... Προτεινόμενες ασκήσεις στο πρώτο κεφάλαιο...6 Κεφάλαιο Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων.1 Η μέθοδος της διχοτόμησης (Bolzano)...9. Γενική επαναληπτική μέθοδος (Picard - Peano).... Η μέθοδος Νewton - Raphson.... Η μέθοδος της τέμνουσας (Regula - Falsi)...8 Προτεινόμενες ασκήσεις στο δεύτερο κεφάλαιο...1 Κεφάλαιο Πολυωνυμική παρεμβολή.1 Παρεμβολή Lagrange.... Πολυώνυμο παρεμβολής σε μορφή Νewton...7. Πολυώνυμο παρεμβολής με πεπερασμένες διαφορές...50. Μέθοδος Aiten...5 Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο...56
6 Αριθμητική Ανάλυση Κεφάλαιο Πολυωνυμική Προσέγγιση.1 Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων...59. Εκθετική προσέγγιση με τη μέθοδο ελάχιστων τετραγώνων...6 Προτεινόμενες ασκήσεις στο τέταρτο κεφάλαιο...65 Κεφάλαιο 5 Αριθμητική Ολοκλήρωση 5.1 Ο κανόνας του τραπεζίου...68 5. Ο κανόνας Simpson...71 5. Ο κανόνας των 8...75 5. Η μέθοδος Romberg...79 5.5 Γενικευμένα ολοκληρώματα...85 Προτεινόμενες ασκήσεις στο πέμπτο κεφάλαιο...90 Κεφάλαιο 6 Επίλυση γραμμικών συστημάτων 6.1 Μέθοδος απαλοιφής του Gauss...9 6. Διόρθωση της λύσης ενός γραμμικού συστήματος... 10 6. Μέθοδοι παραγοντοποίησης (Crout και Cholesi)... 106 6. Επαναληπτικές μέθοδοι (Jacobi και Gauss - Seidel)... 11 6.5 Μέθοδος Thomas... 118 6.6 Μέθοδος SOR... 10 Προτεινόμενες ασκήσεις στο έκτο κεφάλαιο... 15 Κεφάλαιο 7 Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων 7.1 Βασικές έννοιες... 19 7. Η μέθοδος Euler... 10
Περιεχόμενα 7 7. Η μέθοδος Taylor...1 7. Οι μέθοδοι Runge - Kutta...1 7.5 Μέθοδοι πρόβλεψης - διόρθωσης...19 Προτεινόμενες ασκήσεις στο έβδομο κεφάλαιο...1 Κεφάλαιο 8 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων 8.1 Στοιχεία από τη Γραμμική Άλγεβρα...15 8. Η μέθοδος της δύναμης...16 8. Ο μετασχηματισμός Householder...17 8. Η παραγοντοποίηση QR...150 8.5 Εύρεση όλων των ιδιοτιμών ενός πίνακα...15 Προτεινόμενες ασκήσεις στο όγδοο κεφάλαιο...156 Ανακεφαλαίωση...157 Γενικά παραδείγματα...167 Σύντομες λύσεις των ασκήσεων...185 Βιβλιογραφία...05 Ευρετήριο όρων...07
1.1: Σφάλματα 9 1 ο Kεφάλαιο Βασικές έννοιες 1.1 Σφάλματα ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Σε πολλές περιπτώσεις είναι πρακτικά αδύνατο να βρεθεί η ακριβής αριθμητική τιμή ενός μεγέθους και χρησιμοποιούμε μια προσεγγιστική τιμή. Αν η προσεγγιστική τιμή είναι μεγαλύτερη από την πραγματική τιμή, τότε ονομάζεται προσέγγιση με υπέρβαση ή υπεροχή, ενώ αν είναι μικρότερη από την πραγματική, ονομάζεται προσέγγιση με έλλειψη. Για παράδειγμα, ο αριθμός = 1,7º έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία. Μια προσέγγιση αυτού με έλλειψη είναι το 1,7 και με υπέρβαση το 1,7. Με την αριθμητική προσέγγιση της λύσης ενός προβλήματος δημιουργούνται σφάλματα. Η διαφορά μεταξύ της πραγματικής και της προσεγγιστικής τιμής ενός μεγέθους ονομάζεται σφάλμα προσέγγισης ή απλώς σφάλμα. Αν συμβολίσουμε με x (ή x ή x*) μια προσέγγιση του x, τότε η ποσότητα ex = x- x ονομάζεται απόλυτο σφάλμα (ή απλώς σφάλμα) της προσέγγισης x@ x, ενώ η ποσότητα e x x- x δ = =, xπ 0 x x ονομάζεται απόλυτο σχετικό σφάλμα (ή απλώς σχετικό σφάλμα) της προσέγγισης x@ x και συχνά εκφράζεται με ποσοστό %. Στην πράξη δε γνωρίζουμε το απόλυτο σφάλμα, εφόσον δε γνωρίζουμε την πραγματική τιμή x. Το απόλυτο σφάλμα έχει ένα προκαθορισμένο όριο ανοχής, δηλαδή, με άλλα λόγια, έχει ένα άνω φράγμα σ.
10 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Έτσι, έχουμε και συχνά γράφουμε x- x σ ή x- σ x x+ σ x= x± σ. Λέμε τότε ότι το x είναι μια προσεγγιστική τιμή του x με ακρίβεια προσέγγισης σ. Για παράδειγμα, αν έχουμε x= 7,± 0,, αυτό σημαίνει ότι 7, - 0, x 7, + 0,, δηλαδή 7, x 7,6. Ο αριθμός σ ε = x είναι ένα άνω φράγμα (όριο ανοχής) του σχετικού σφάλματος. Η ισότητα x= x± σ γράφεται και ως εξής x= x(1± ε) και το ε ονομάζεται σχετική ακρίβεια προσέγγισης. Για παράδειγμα, έστω ότι μετράμε το μήκος l ενός τμήματος με ακρίβεια σ= 0,9cm και βρίσκουμε l = 5± 0,9 cm. Ένα άνω φράγμα του σχετικού σφάλματος της προσέγγισης l @ 5 cm είναι και έτσι γράφουμε l = 5(1 ± 0,0) cm. σ 0,9 ε= = = 0,0= % l 5 Αν η προσεγγιστική τιμή x του x γράφεται ως δεκαδικός αριθμός, τότε ένα ψηφίο αυτού θεωρείται βέβαιο ή σωστό, όταν το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τη μονάδα της θέσης στην οποία βρίσκεται το ψηφίο. Για παράδειγμα, στην τιμή x= 8,1± 0,0 το ψηφίο 8, που δηλώνει μονάδες, είναι βέβαιο, επειδή σ= 0,0< 1. Το ψηφίο 1 (δέκατα) είναι κι αυτό βέβαιο, επειδή 0,0 < 0,1, ενώ το ψηφίο (εκατοστά) δεν είναι βέβαιο, επειδή 0,0 > 0,01. Για να δηλώσουμε ότι όλα τα ψηφία μιας προσεγγιστικής τιμής x της x είναι βέβαια, γράφουμε xª x και αυτό σημαίνει ότι το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τη μονάδα της θέσης του τελευταίου ψηφίου του x, το οποίο μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο κατά μία μονάδα από το αναγραφόμενο. Για παράδειγμα, η γραφή xª 1, σημαίνει ότι x= 1,± 0,01, δηλαδή 1, x 1,. Επίσης, η γραφή xª 7,106 σημαίνει ότι x = 7,106± 0,0001.
1.1: Σφάλματα 11 Η προσεγγιστική τιμή γράφεται συχνά με τυποποιημένη ή εκθετική μορφή, ν δηλαδή με τη μορφή α10, όπου 1 α < 10 και ν ακέραιος αριθμός. 9 9 Για παράδειγμα, η γραφή xª 5,110 σημαίνει ότι x = (5,1± 0,1) 10, ενώ η γραφή xª 7, 10-7 σημαίνει ότι x = (7,± 0,01) 10-7. Κάθε ψηφίο ενός αριθμού που δεν είναι μηδενικό στην αρχή του αριθμού, ονομάζεται σημαντικό ψηφίο. Έτσι, ο αριθμός 85, έχει σημαντικά ψηφία, ενώ ο αριθμός 0,080 έχει σημαντικά ψηφία (αφού δεν προσμετρούνται τα δύο πρώτα μηδενικά). Στην πράξη συνήθως χρησιμοποιούμε ένα συγκεκριμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων κι επομένως κάνουμε στρογγυλοποίηση (ή στρογγύλευση) του αριθμού. Έτσι, στους υπολογισμούς υπεισέρχεται το λεγόμενο σφάλμα στρογγυλοποίησης. Για παράδειγμα, αν x=,56 και y = 0,781, η στρογγυλοποίηση σε δύο δεκαδικά ψηφία (στρογγυλοποίηση εκατοστού) δίνει x@,56 και y@ 0,8. Το απόλυτο σφάλμα στρογγυλοποίησης στην πρώτη περίπτωση είναι 0,00, ενώ στη δεύτερη περίπτωση είναι 0,00188. Γενικά, ισχύει e = x- x < 0,5 10 -ν, όταν γίνεται στρογγυλοποίηση σε ν δεκαδικά ψηφία. Αν η στρογγυλοποίηση γίνεται με ν σημαντικά ψηφία, τότε x- x -ν δ= < 5 10. x x x x Αν σε μια σειρά, όπως είναι η e = 1+ x + + +º, μας ενδιαφέρουν αριθμητικοί υπολογισμοί, δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλοι οι όροι της, οπότε!! αποκόπτονται άπειροι όροι και έχουμε το λεγόμενο σφάλμα αποκοπής. Γενικά, τα σφάλματα αυτά δημιουργούνται, όταν άπειρες μαθηματικές διαδικασίες α- ντικαθιστώνται με πεπερασμένο αριθμό διαδικασιών. Με άλλα λόγια, έχουμε μετάβαση από το μαθηματικό μοντέλο στο διακριτό μοντέλο. Εκτός από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης και αποκοπής υπάρχουν και άλλα είδη σφαλμάτων, τα οποία εμφανίζονται στα αριθμητικά δεδομένα ή αναπτύσσονται στη διάρκεια των υπολογισμών.
1 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1.1 Να υπολογισθεί το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα στην προσέγγιση 1 α) του x = από το x= 0, και β) του x= e από το x=,718. Λύση α) Απόλυτο σφάλμα: 1 1 1 x - x = - 0, = - = @ 0,00. 100 00 x x 1 Απόλυτο σχετικό σφάλμα: - = @ 0,001 = 0,1 %. x 900 β) Αν θεωρήσουμε την τιμή του e με προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων, e =,7188, τότε το απόλυτο σφάλμα είναι,7188-,718 = 0,0008 και το απόλυτο σφάλμα είναι 0,0008 0,0001 0,7188. Παράδειγμα 1. Να βρεθεί σε ποιο διάστημα μεταβάλλεται ο x ώστε ο x=, να τον προσεγγίζει με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Λύση Πρέπει να ισχύει x- x < 0,5 10 - ή - 0,005 < x -, < 0,005 ή,5 < x <,5 Παράδειγμα 1. Ποιοι αριθμοί βρίσκονται κοντά στο 0,0 με ακρίβεια δύο σημαντικών ψηφίων; Λύση Πρέπει να ισχύει x x 0,0 1- < 0,05 x ή ή 0,0 0,95 < < 1,05 x ή Επομένως, 0,019 < x < 0,01. - x < - 510, οπότε έχουμε 0,0-0,05 < 1- < 0,05 x < x <. 105 95
1.: Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς 1 1. Μετάδοση των σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Θεωρούμε τις προσεγγιστικές τιμές x,y δύο αριθμών x, y και τα αντίστοιχα σφάλματα ex = x- x, ey = y- y. α) Για την προσέγγιση x+ y@ x+ y έχουμε σφάλμα e x + y με ex+ y ex + ey (1) β) Για την προσέγγιση x- y@ x- y έχουμε σφάλμα ex - y με ex- y ex + ey () Η αιτιολόγηση των (1) και () προκύπτει από τις ισότητες e x+ y = (x+ y) -(x+ y) = (x- x) + (y- y) = ex + ey, δηλαδή ex+ y = ex + ey e x- y = (x-y)-(x- y) = (x-x)-(y- y) = ex - ey, δηλαδή ex- y = ex - ey. γ) Το σφάλμα της προσέγγισης xy @ x y είναι δ) Το σφάλμα της προσέγγισης exy @ x ey + y ex. x x @ είναι y y e ye -xe y @. x x y y Η μέγιστη τιμή του απόλυτου σχετικού σφάλματος για το γινόμενο και το πηλίκο είναι το άθροισμα των απόλυτων σχετικών σφαλμάτων των αριθμών, δηλαδή δxy δx + δy και δx δx + δy. Γενικά, για το σφάλμα e μιας ποσότητας f(x, y) ισχύει ο τύπος f f e@ ex + ey x y, όπου οι μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο (x, y). y
1 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1. Να βρεθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της έκφρασης z=,x+ 1,y, αν οι x και y είναι στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία. Λύση Αν τα σφάλματα στρογγυλοποίησης των x και y είναι e x και e y αντίστοιχα, τότε το σφάλμα της έκφρασης z είναι z z e = e. + e =,e + 1,e x y z x y x y. Επειδή, όμως οι x και y είναι στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία, ισχύει e 0,5 10 - και x e 0,5 10 - y Επομένως, z x y - e, e + 1, e (, + 1,) 0,5 10 = 0,0185 Παράδειγμα 1.5 Αν τα απόλυτα σχετικά σφάλματα των x και y έχουν μέγιστη τιμή 0, και 0, αντίστοιχα, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του απόλυτου σχετικού σφάλματος του z= x y. Λύση Αν e x,e y,e z είναι τα σφάλματα των x, y, z αντίστοιχα και δ x,δ y,δ z τα σχετικά σφάλματα αυτών, τότε έχουμε z z ez = ex + ey = ex xy+ ey x x y και και e xy e z x + x ey e e x y z x y δ = = = + = δ + δ. z x y x y Επομένως, δz δx + δx = 0,+ 0,= 0,7.
1.: Πεπερασμένες διαφορές 15 1. Πεπερασμένες διαφορές ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Η έννοια των πεπερασμένων διαφορών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην προσέγγιση μιας συνάρτησης με πολυώνυμο, η οποία θα παρουσιαστεί στο τρίτο κεφάλαιο. Θεωρούμε τα διακεκριμένα σημεία x,x, 1 º,xν του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f(x). Οι διαφορές Δf = f(x + 1) - f(x ) ή Δy = y + 1- y ή Δf = f+ 1- f ονομάζονται προς τα εμπρός διαφορές πρώτης τάξης, ενώ οι διαφορές = = + 1 - = + - + 1 + Δ f Δ(Δf ) Δf(x ) Δf(x ) f f f ονομάζονται προς τα εμπρός διαφορές δεύτερης τάξης. Γενικά, οι προς τα εμπρός διαφορές n τάξης, ορίζονται από τη σχέση n n-1 n-1 n-1 + 1 Δf = Δ(Δ f ) = Δ f - Δ f, όπου με το συμβολισμό f εννοούμε την τιμή f(x ) x f(x) Δ x 1 f 1 Δf 1 Δ Δ x f Δf 1 Δf Δf 1 x f Δf Δf Δf x f Δf Δf Δf x 5 f 5 Δf x 6 f 6 Δf 5 Δ Δf 1 Δf 5 Δ 5 Δf 1 Οι διαφορές f f(x ) f(x - 1 ) f f - 1 = - = - ή y = y - y -1
16 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες ονομάζονται προς τα πίσω διαφορές πρώτης τάξης, ενώ οι προς τα πίσω διαφορές n τάξης ορίζονται από τον αναγωγικό τύπο x f(x) n n 1 n 1 n 1 f = ( - f ) = - f - - f-1 x 1 f 1 f x f f f f x f f f5 f 5 f 5 f6 x f f5 f6 x 5 5 x 6 f 6 f 5 f f6 f 6 f 6 Οι διαφορές δf = f(x )- f(x ) = f - f 1 + 1 + 1 + ονομάζονται κεντρικές διαφορές πρώτης τάξης στο σημείο x + 1. Οι διαφορές δf = δ(δf ) = δf - δf 1 1 + - ονομάζονται κεντρικές διαφορές δεύτερης τάξης στο σημείο x. Γενικά, οι κεντρικές διαφορές περιττής και άρτιας τάξης ορίζονται από τους αναγωγικούς τύπους n - 1 n n n 1 = - 1 = - + 1- - + + δ f δ(δ f ) δ f δ f και n n 1 n 1 n 1 = - = - 1 - - 1 + - δ f δ(δ f ) δ f δ f
1.: Πεπερασμένες διαφορές 17 x f(x) δ δ δ δ 5 δ x 1 f 1 δf x f δf δf 5 δf 5 x f δf δf 7 δf 7 x f δf δf 9 δf 9 x 5 f 5 δf 5 x 6 f 6 δf 11 δf δf 5 δf 7 Για τις τιμές x 0,x 1,x, º,xn και τις εικόνες τους f(x ) ορίζουμε τις διαιρεμένες διαφορές ως εξής: i) Διαιρεμένη διαφορά πρώτης τάξης f(x 1) - f(x 0) f(x 0,x 1) = x - x ii) Διαιρεμένη διαφορά δεύτερης τάξης iii) Διαιρεμένη διαφορά n τάξης Αν οι τιμές ισχύει 1 0 f(x 1,x ) - f(x 0,x 1) f(x 0,x 1,x ) =. x - x 0 f(x 1,x, º,x n) - f(x 0,x 1,x, º,x n-1) f(x 0,x 1,x, º,x n) =. x - x n 0 x ισαπέχουν μεταξύ τους, δηλαδή x+1 -x =h για κάθε, τότε
18 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες n 0 Δf f(x 0,x 1,x, º,x n) = n. h n! Ο αριθμός h ονομάζεται βήμα της πινακοποίησης. Παράδειγμα 1.6 Να εκφραστεί η διαφορά ης τάξης Δ y 0 συναρτήσει των τιμών y 0,y 1,y,y και y μιας συνάρτησης y= f(x). Λύση Έχουμε και 0 = 1-0, 0 = 1-0 = - 1-1- 0 = - 1+ 0 Δy Δy Δy Δy Δy Δy (Δy Δy ) (Δy Δy ) Δy Δy Δy = (y-y ) -(y- y 1) + (y1- y 0) = y- y+ y1- y0 1= - 1= - - - 1 = - + 1 Δy Δy Δy (Δy Δy ) (Δy Δy ) Δy Δy Δy = (y -y ) -(y- y ) + (y- y 1) = y - y+ y- y1. Επομένως, Δ y 0 = (y - y + y -y 1 )-(y - y + y 1 - y 0 ) = y - y + 6y - y 1 + y 0. Γενικά, με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, διαπιστώνουμε ότι Για παράδειγμα έχουμε n n Ênˆ 0 =  - Á n- Ë = 0 Δy ( 1) y. 5 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 ʈ 5 0 =  - 5- = 5- + - + 1-0 Ë Á Ë Á 1 Ë Á Ë Á Ë Á Ë Á 5 = 0 Δ y ( 1) y y y y y y y = y5-5y + 10y- 10y+ 5y1- y0. Παράδειγμα 1.7 Να κατασκευαστούν οι πίνακες διαφορών Δ,, δ μέχρι και τρίτης τάξης της συνάρτησης f(x) = x - 1 για τις ακέραιες τιμές του x από 1 έως 6.
1.: Πεπερασμένες διαφορές 19 Λύση Από τους ορισμούς που δώσαμε για τις προς τα μπρος διαφορές, τις προς τα πίσω διαφορές και τις κεντρικές διαφορές, καθώς και τους πίνακες που κατασκευάσαμε γι αυτές, συμπεραίνουμε ότι Δf = f = δf και γενικά n n+ 1 1 n+ n = n+ = n+ Δf f δf. Έτσι, βρίσκοντας τις προς τα μπρος διαφορές, γνωρίζουμε και τα άλλα δύο είδη διαφορών, αφού έχουμε τις ίδιες τιμές στις ίδιες θέσεις, με μόνη διαφορά το συμβολισμό. x y= f(x) f f f 1 0 5 0 8 7 0 15 9 0 5 11 6 5 (Κάθε στοιχείο της ης, ης και ης στήλης ισούται με τη διαφορά των δύο πλησιέστερων στοιχείων της προηγούμενης στήλης). Παρατηρούμε ότι οι διαφορές δεύτερης τάξης είναι όλες ίσες με, ενώ οι διαφορές τρίτης τάξης είναι 0. Γενικά, οι διαφορές τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού είναι σταθερές, ενώ οι διαφορές τουλάχιστον +1 τάξης είναι μηδέν. Παράδειγμα 1.8 Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει Δc = c (c- 1). Λύση Έχουμε
0 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες + 1 c+ 1 Δ c = Δ(Δc ) = Δ(c - c ) = Δc - Δc + + 1 + 1 + + 1 = (c -c )-(c - c ) = c - c + c = c (c - c + 1) = c (c - 1). Παράδειγμα 1.9 Για ένα πολυώνυμο f(x) τρίτου βαθμού να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας διαφορών. x f(x) Δf Δf Δf 1 0 6 6 1 18 6 18 6 6 60 60 5 10 6 Λύση Επειδή το f(x) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού, οι διαφορές τρίτης τάξης θα είναι σταθερές, δηλαδή όλες ίσες με 6. Έτσι, έχουμε Δf = 6. Αλλά Δf = Δf - Δf, οπότε 6= Δ f -, δηλαδή Δf = 0. Ακόμη, έχουμε Δ f = Δf 5 - Δf ή 0 = Δf5-60 ή Δf5 = 90. Τέλος, επειδή Δf5 = f6- f5, έχουμε f6 = 90 + 10 = 10.
1.: Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών 1 1. Μετάδοση σφαλμάτων σε πίνακα διαφορών ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Αν κάποια από τις τιμές μιας συνάρτησης y= f(x) είναι λανθασμένη και κατασκευάσουμε τον πίνακα διαφορών, τότε μεταδίδεται το σφάλμα στις διαφορές ανώτερης τάξης με διωνυμικούς συντελεστές. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σφάλμα ε στην τιμή y5 = f(x 5) και κατασκευάζουμε έναν πίνακα διαφορών. x f(x) Δy x1 y1 Δy 1 x Δy Δy y Δy 1 Δy Δy 1 x y Δy Δy Δy x y Δy ε Δy ε x5 y5 Δy ε Δy ε Δy5 ε Δy x6 y 6 Δy 5 ε Δy 6 x7 y 7 Δy 6 Δy 7 x8 8 x9 y9 y Δy 7 Δy 8 Δy 5 Δy 6 ε ε ε ε Δy Δy 1 Δy Δy Δy Δy 5 ε ε 6ε ε ε Παρατηρούμε ότι το σφάλμα επηρεάζει μια τριγωνική περιοχή και δημιουργεί τους n συντελεστές του αναπτύγματος του (α - β) στις διαφορές ανώτερης τάξης, πολλαπλασιασμένους επί το σφάλμα ε. Στον παραπάνω πίνακα το μέγιστο απόλυτο σφάλμα είναι 6ε και η λανθασμένη τιμή της συνάρτησης βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με το 6ε. Σε περίπτωση που δύο διαφορές περιέχουν το μέγιστο απόλυτο σφάλμα (όπως στον πίνακα οι διαφορές Δ περιέχουν μέγιστο απόλυτο σφάλμα ε ), τότε η λανθασμένη τιμή της συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ των διαφορών αυτών.
Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1.10 Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχει μια λανθασμένη τιμή του τριτοβάθμιου πολυωνύμου f(x). Να διορθωθεί η τιμή αυτή. x 1 0 1 5 f(x) 1 1 0 1 1 56 115 Λύση Κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα διαφορών μέχρι ης τάξης. x f(x) Δ 1 17 1 5 6 1 1 6 1 8 0 0 8 1 0 1 1 1 1 1 8 17 1 18 5 6 56 59 5 115 Επειδή το f(x) είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο, οι διαφορές Δy θα έπρεπε να ήταν όλες μηδέν, ενώ τώρα είναι ίσες με τα γινόμενα του σφάλματος ε επί τους συντελεστές 1,, 6,, 1 του διωνύμου (α - β), οπότε είναι ε=. Το μέγιστο απόλυτο σφάλμα 1 βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με την τιμή f(1) = 1, στην οποία υπάρχει σφάλμα ε=. Άρα, η σωστή τιμή είναι f(1) = 1- =- 1. Δ Δ Δ
1.5: Γραμμικοί τελεστές 1.5 Γραμμικοί τελεστές ΘΘ... ΞΞ έ ν οο ς Τα σύμβολα Δ, και δ που γνωρίσαμε στην παράγραφο 1. ονομάζονται τελεστές διαφορών. Αν L είναι ένας απ αυτούς, τότε για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f(x), g(x) και οποιεσδήποτε σταθερές λ, μ ισχύει Lλf(x) ( + μg(x) ) = λlf(x)) ( + μl(g(x) ) και γι αυτό ο L ονομάζεται και γραμμικός τελεστής. Άλλοι γνωστοί γραμμικοί τελεστές είναι α) ο τελεστής μετατόπισης Ε, που ορίζεται από τη σχέση Ef(x) = f(x + h) ή Ey = y + 1 και β) ο διαφορικός τελεστής D, που ορίζεται από τη σχέση df(x) Df(x) = f (x) =. dx Δύο τελεστές L 1 και L ονομάζονται ίσοι, όταν για κάθε συνάρτηση f(x) ισχύει Lf(x) = Lf(x). 1 Άθροισμα των τελεστών L 1 και L ονομάζεται ο τελεστής L1+ L με (L1+ L )f(x) = L1f(x) + Lf(x) για κάθε συνάρτηση f(x). Ομοίως, για τη διαφορά L1- L ισχύει (L1- L )f(x) = L1f(x) - Lf(x). Γινόμενο των τελεστών L 1 και L, με τη σειρά αυτή, ονομάζεται ο τελεστής LL 1 με ( ) (L1L )f(x) = L1 Lf(x). Προφανώς, ισχύει LL 1 π LL 1. Δύο τελεστές L,L 1 ονομάζονται αντίστροφοι, 1 όταν ισχύει LL 1 = LL 1= 1 και τότε γράφουμε L L - 1 = 1 ή L1= L -. Οι τελεστές Δ,, δ και D εκφράζονται συναρτήσει του τελεστή Ε ως εξής: Δ= Ε- 1, Υπενθυμίζουμε ότι = 1-E -1, 1 1 δ= Ε - Ε - και 1 D= lne. h h h Δf(x) = f(x + h) - f(x), f(x) = f(x) -f(x- h) και δf(x) = f Á Ê x + ˆ -f Ê x - ˆ Ë Á Ë θεωρώντας ότι δύο οποιεσδήποτε διαδοχικές τιμές του x διαφέρουν κατά h.
Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Παράδειγμα 1.11 Να αποδειχθούν οι ισότητες 1 α) Δ= Ε- 1, β) ΕΔ = ΔΕ και γ) Δ= δε. Λύση α) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) έχουμε Δf(x) = f(x + h) - f(x) = Ef(x) - f(x) = (E- 1)f(x) που σημαίνει ότι Δ= Ε- 1. β) Ισχύει ( ) ΕΔf(x) = E( Δf(x) ) = E f(x+ h) - f(x) = Ef(x+ h) -Ef(x) και = f ((x + h) + h) - f(x + h) = f(x + h) - f(x + h) ΔΕf(x) = Δ( Ef(x) ) = Δf(x+ h) = f(x+ h) - f(x+ h), οπότε EΔ = ΔΕ. γ) Έχουμε 1 1 h h h h h δεf(x) δ Ε Ê Ê ˆˆ ÊÊ ˆ ˆ ÊÊ ˆ ˆ = ( f(x) ) = δáf x+ = f x+ + - f x+ - Ë Á Ë Á Ë Á Ë Á Á ËË = f(x+ h) - f(x) = Δf(x) κι επομένως 1 δε = Δ. Παράδειγμα 1.1 Να αποδειχθεί ότι: α) Ε y 0 y =, β) y ʈ n = Á Δ y0 Ën n= 0  και γ) nêˆ 0 = - Á -n Ën n= 0 Δy  ( 1) y. Λύση α) Ισχύει Ey 0 = Ε(Εy) 0 = Εy1= y, αφού Ey0 = y1 και Εy1= y. Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο ισχύει 0 y E y =, τότε έχουμε
1.5: Γραμμικοί τελεστές 5 + 1 0 0 + 1 E y = Ε(Ε y ) = Εy = y. Άρα, για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει 0 y E y =. β) Έχουμε y Ε y0 = και που αποδεικνύει το ζητούμενο. γ) Έχουμε ʈ n -n Ê ˆ n  Â, Ε = (Δ+ 1) = Á Δ 1 = Δ Ën Á Ën n= 0 n= 0 ʈ -n n nê ˆ 0 = - 0 = Á - 0 = - -n Ën Á Ën n= 0 n= 0  Â, Δ y (Ε 1) y E ( 1) y ( 1) y επειδή ισχύει -n 0 - n E y = y. Παράδειγμα 1.1 Για τον τελεστή μέσης τιμής 1 1-1 μ = (Ε + Ε ), να αποδειχθεί ότι 1 μ = 1+ δ. Λύση Για τον τελεστή μέσης τιμής έχουμε 1 1 1-1Ê Ê hˆ Ê hˆˆ μf(x) = ( E f(x) + E f(x) ) = f x + + f x - Ë Á Ë Á Á Ë Η ζητούμενη σχέση είναι άμεση συνέπεια των ισοτήτων 1 1 1 1 1-1 - -1 1-1 μ = (Ε + Ε ) = (E+ E Ε + Ε ) = (E+ + E ) και 1 1 - -1 δ = (E - E ) = E- + E.
6 Κεφάλαιο 1: Βασικές έννοιες Προτεινόμενες ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Άσκηση 1.1 Ποια από τις προσεγγίσεις α) 50 ± 0,5 m, β) 5 ± 0,0 m, γ),5 ± 0,01 m έχει το μικρότερο άνω φράγμα για το απόλυτο σχετικό σφάλμα; Άσκηση 1. Χρησιμοποιώντας τον προσεγγιστικό τύπο συνx @ 1-, x σε rad, να υπολογιστεί το απόλυτο σφάλμα και ένα άνω φράγμα του σχετικού σφάλματος στον υπο- π λογισμό του συν. x Άσκηση 1. Να υπολογισθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της έκφρασης x- y+,5z, αν οι αριθμοί x, y και z είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία δεκαδικά ψηφία. Άσκηση 1. Να υπολογισθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του 0,55+ 6,- 17,, αν όλοι οι αριθμοί είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία σημαντικά ψηφία. Άσκηση 1.5 Να βρεθεί το μέγιστο απόλυτο σχετικό σφάλμα του γινομένου 6,50 5,, αν οι δύο παράγοντες είναι στρογγυλοποιημένοι σε τρία σημαντικά ψηφία. Άσκηση 1.6 Οι αριθμοί x@ 1,5 και y@,00 είναι στρογγυλοποιημένοι σε δύο δεκαδικά ψηφία. Να υπολογισθεί το μέγιστο απόλυτο σφάλμα της παράστασης z= x- y+ xy. Άσκηση 1.7 Ο παρακάτω πίνακας τιμών
Προτεινόμενες ασκήσεις στο 1 ο κεφάλαιο 7 x 0 1 5 6 f(x) 0 16 7 0 15 ; αναφέρεται σ ένα πολυώνυμο f(x) τετάρτου βαθμού. Να βρεθεί η τιμή f(6). Άσκηση 1.8 Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχει μια λανθασμένη τιμή για το πολυώνυμο f(x), το οποίο έχει βαθμό. Να εντοπισθεί το σφάλμα και να διορθωθεί η λανθασμένη τιμή. x 1 0 1 5 6 f(x) 15 0 0 7 18 75 86 Άσκηση 1.9 Αν z xy =, με = 1,,, º, να αποδειχθεί ότι Δz = xδy + y + 1Δx. Άσκηση 1.10 Να αποδειχθεί ότι οι τελεστές Δ,, Ε, δ και μ αντιμετατίθενται ανά δύο.