Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Μέθοδος των Πινάκων Αληθείας και Αποδεικτικές Μέθοδοι στην Προτασιακή Λογική ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παραγωγή Στην παραγωγή τα συμπεράσματα είναι αληθή οποτεδήποτε οι συνθήκες είναι αληθείς Page 3 Συνθήκη: π Συμπέρασμα: π τ Συνθήκη: π Μη - Συμπέρασμα: π τ Συνθήκες: π, τ Μη - Συμπέρασμα: π τ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Λογική Συνεπαγωγή Από ένα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συμπέρασμα φ (ή το φ αποτελεί λογικό συμπέρασμα του συνόλου Δ) συμβολίζεται Δ = φ αν και μόνο αν κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τις συνθήκες Δ ικανοποιεί και το συμπέρασμα φ. Page 4 {π} = π τ {π} # π τ {π,τ} = π τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μέθοδος των Πινάκων Αληθείας Μπορούμε να ελέγξουμε τη λογική συνεπαγωγή συγκρίνοντας τις ερμηνείες, όπως αυτές αποτυπώνονται στους πίνακες αληθείας Page 5 Δημιουργούμε δύο πίνακες: Ένα για τις υποθέσεις και ένα για το συμπέρασμα. Στον πρώτο πίνακα διαγράφουμε τις ερμηνείες που δεν ικανοποιούν όλες τις υποθέσεις. Στο δεύτερο πίνακα διαγράφουμε όλες τις ερμηνείες που δεν ικανοποιούν ο συμπέρασμα. Αν οι εναπομείνασες ερμηνείες του πρώτου πίνακα είναι υποσύνολο των ερμηνειών του δεύτερου πίνακα, τότε από τις υποθέσεις συνεπάγεται λογικά το συμπέρασμα. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 6 Από το π συνεπάγεται λογικά το π τ? π τ 1 1 1 1 1 0 1 0 π τ 1 1 1 1 1 0 1 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Page 7 Από το π συνεπάγεται λογικά το π τ? π τ 1 1 1 1 1 0 1 0 π τ 1 1 1 1 1 0 1 0 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 8 Από το {π,τ} συνεπάγεται λογικά το π τ? π τ 1 1 1 1 1 0 1 0 π τ 1 1 1 1 1 0 1 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει τον Τάσο Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο γ τ δ γ τ δ Αν είναι Δευτέρα,αγαπάει η 1 1 1 Μαρία τον Τάσο? 1 1 1 Page 9 1 1 0 1 0 1 Χ 1 0 0 Χ 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Χ 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Χ 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Χ 0 0 0 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Προβλήματα Page 10 Στην προτασιακή λογική υπάρχουν παρα πολλέςερμηνείες. Θυμηθείτε ότι αν υπάρχουν ν προτασιακές σταθερές, τότε υπάρχουν 2 ν δυνατές ερμηνείες. Επίσης, μπορεί μεταξυ των υποθέσεων α υπάρχουν σταθερές που δεν έχουν καμία σχέση με το συμπέρασμα. Πολύς χαμένος κόπος. Η λύση (?): Αποδεικτικές διαδικασίες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Πρότυπες Μορφές Μια πρότυπη μορφή (απλά μορφή) είναι μια έκφραση που ικανοποιεί τους γραμματικούς κανόνες της γλώσσας, αλλά στη θέση των σταθερών και υπο-εκφράσεων εμφανίζονται μεταμεταβλητές. Page 11 Απλή μορφή φ (ψ φ) τα φ,ψ είναι μετα-μεταβλητές, στη θέση των οποίων μπορούν να μπουν σταθερές ή υπο-εκφράσεις Στιγμιότυπο της μορφής π (π τ) Στιγμιότυπο της μορφής ( π σ) ((π τ) (π σ)) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κανόνες Συμπερασμού Ένας κανόνας συμπερασμού είναι ένας κανόνας που αποτελείται από ένα σύνολο μορφών προτάσεων που καλούνται υποθέσεις, και από ένα δεύτερο σύνολο μορφών προτάσεων που καλούνται συμπεράσματα. Page 12 φ ψ φ ψ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Στιγμιότυπα κανόνων Ένα στιγμιότυπο κανόνα είναι ένας κανόνας στον οποίο όλες οι μετα-μεταβλητές έχουν αντικατασταθεί με συνεπή τρόπο από εκφράσεις, έτσι ώστε οι υποθέσεις και τα συμπεράσματα να είναι συντακτικά νόμιμες προτάσεις Page 13 Βρέχει υγρό Βρέχει - Υγρό π (τ σ) (π τ) σ π π τ τ σ σ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ορθοί κανόνες συμπερασμού Ένας κανόνας συμπερασμού καλείται ορθός, αν και μόνο αν σε κάθε στιγμιότυπο του κανόνα από τις υποθέσεις συνεπάγονται λογικά τα συμπεράσματα. Page 14 Μodus Ponens (MP) φ ψ φ ψ Modus Tolens (MT) φ ψ ψ φ Equivalence Elimination (EE) φ ψ φ ψ ψ φ Double Negation (DN) φ φ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Απόδειξης Page 15 Όταν βρέχει το έδαφος είναι υγρό. Όταν το έδαφος είναι υγρό, τότε γλυστράει. Βρέχει. Αποδείξτε ότι το έδαφος γλυστράει. 1. βρέχει υγρό Υπόθεση 2. υγρό γλυστράει Υπόθεση 3. βρέχει Υπόθεση 4. υγρό MP (1,3) 5. γλυστράει MP (2,4) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απόδειξη (έκδοση 1 η ) Η απόδειξη ενός συμπεράσματος από ένα σύνολο υποθέσεων είναι μια ακολουθία προτάσεων που τερματίζει στο συμπέρασμα. Κάθε στοιχείο της ακολουθίας αυτής είναι ένα από τα ακόλουθα Page 16 1. μια υπόθεση 2. το αποτέλεσμα εφαρμογής ενός κανόνα συμπερασμού σε προηγούμενα στοιχεία της ακολουθίας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Ρίχνουμε ένα νόμισμα: Κεφαλή κερδίζεις. Γράμματα χάνω. Έστω ότι το νόμισμα δείχνει γράμματα. Δείξε ότι κερδίζεις. Page 17 1. κ εσυ Υπόθεση 2. γ εγω Υπόθεση 3. κ γ Υπόθεση 4. εσυ εγωυπόθεση 5. γ Υπόθεση 6. εγω MP (2,5) 7. εσυ εγω ΕΕ (4) 8. εγω εσυ ΕΕ (4) 9. εσυ ΜΡ (8,6) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Λάθος Οι κανόνες συμπερασμού εφαρμόζονται μόνο σε προτάσεις και όχι σε τμήματα αυτών. Προσοχή: Μερικές φορές (κατά λάθος) πετυχαίνει και για τμήματα προτάσεων. Page 18 1. βρέχει συνεφιά Υπόθεση 2. συνεφιά υγρό Υπόθεση ΛΑΘΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ! 3. βρέχει υγρό 1,2 1. βρέχει συνεφιά Υπόθεση 2. βρέχει υγρό Υπόθεση ΛΑΘΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ! 3. βρέχει υγρό 1,2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Αξιωματικά Σχήματα (Σχήματα Αξιωμάτων) Αν μια πρόταση είναι ταυτολογία, τότε αυτή είναι αληθής υπό οποιαδήποτε ερμηνεία. Συνεπώς, αυτή είναι αληθής υπό οποιεσδήποτε υποθέσεις. Άρα, θα πρέπει να μπορεί να αποδειχτεί ελλείψει υποθέσεων. Παράδειγμα: (π ( τ π)) Είναι ταυτολογία Πρόβλημα: Να αποδειχεί η (π ( τ π)) Λύση: Χρειαζόμαστε κάποιους κανόνες δίχως υποθέσεις για να ξεκινήσουμε. Ένα αξιωματικό σχήμα είναι μια μορφή πρότασης που μπορεί να σχηματίσει κανόνα συμπερασμού δίχως υποθέσεις. Page 19 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρότυπα Αξιωματικά Σχήματα Page 20 ΙΙ: φ (ψ φ) ID: (φ (ψ χ)) ((φ ψ) ( φ χ)) CR: ( ψ φ) (( ψ φ) ψ) (ψ φ) (( ψ φ) ψ) EQ: ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) (ψ φ) ( φ ψ) ((ψ φ) (φ ψ)) OQ: (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κανόνες και Σχήματα Αξιωματικά σχήματα και Κανόνες Συμπερασμού Page 21 φ (ψ φ) φ (ψ φ) Κανόνες Συμπερασμού ως Αξιωματικά Σχήματα φ ψ ψ φ (φ ψ) ( ψ φ) Για τη χρήση των αξιωματικών σχημάτων πρέπει να κρατήσουμε τουλάχιστον ένα κανόνα συμπερασμού. Συνήθως κρατάμε τον Modus Ponens Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ταυτολογικά Αξιωματικά Σχήματα Ένα ταυτολογικό αξιωματικό σχήμα ειναι μια μορφή πρότασης που δηλώνει ένα άπειρο σύνολο προτάσεων που είναι ταυτολογίες. Page 22 φ (ψ φ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απλή απόδειξη Οποτεδήποτε το π είναι αληθές, τότε και το τ είναι αληθές. Οποτεδήποτε το τ είναι αληθές, το σ είναι αληθές. Να δειχθεί ότι οποτεδήποτε το π είναι αληθές, το σ είναι επίσης αληθές. Page 23 1. π τ Υπόθεση 2. τ σ Υπόθεση 3. (τ σ) (π (τ σ)) ΙΙ 4. π (τ σ) ΜΡ (3,2) 5. (π (τ σ)) (( π τ) (π σ)) ID 6. (π τ) (π σ) ΜΡ (5,4) 7. (π σ) ΜΡ (6,1) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απόδειξη (επίσημη έκδοση) Η απόδειξη ενός συμπεράσματος από ένα σύνολο υποθέσεων είναι μια ακολουθία προτάσεων που τερματίζει στο συμπέρασμα. Κάθε στοιχείο αυτής της ακολουθίας μπορεί να είναι : Page 24 1. Μια υπόθεση 2. Στιγμιότυπο ενός αξιωματικού σχήματος 3. Το αποτέλεσμα της εφαρμογής ενός κανόνα συμπερασμού σε προηγούμενα στοιχεία της ακολουθίας. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Αποδειξιμότητα Page 25 Ένα συμπέρασμα φ καλείται αποδείξιμο από ένα σύνολο υποθέσεων Δ (συμβολίζεται με Δ - φ), αν και μόνο αν υπάρχει πεπερασμένη απόδειξη του συμπεράσματος από τις υποθέσεις χρησιμοποιώντας μόνο modus ponens και τα πρότυπα αξιωματικά σχήματα. Ο modus ponens και τα πρότυπα αξιωματικά σχήματα αποτελούν ένα αποδεικτικό σύστημα. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ορθότητα και Πληρότητα Ορθότητα: Ένα αποδεικτικό σύστημα καλείται ορθό αν και μονο αν οποτεδήποτε το συμπέρασμα είναι αποδείξιμο από τις υποθέσεις, τότε από τις υποθέσεις συνεπάγεται λογικά το συμπέρασμα. Page 26 (Δ - φ) (Δ = φ) Πληρότητα: Ένα αποδεικτικό σύστημα καλείται πλήρες αν και μόνο αν οποτεδήποτε το συμπέρασμα είναι λογική συνέπεια των υποθέσεων, τότε το συμπέρασμα είναι αποδείξιμο από τις υποθέσεις. (Δ = φ) (Δ - φ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Πίνακες Αληθείας και Αποδείξεις Page 27 Η μέθοδος των πινάκων αληθείας και η αποδεικτική μέθοδος επιτυγχάνουν στις ίδιες ακριβώς περιπτώσεις (βλ. ορθότητα και πληρότητα). Σε μεγάλα προβλήματα, η αποδεικτική μέθοδος συνήθως απαιτεί λιγότερα βήματα από την μέθοδο των πινάκων αληθείας. Όμως, στη χειρότερη περίπτωση η αποδεικτική μέθοδος μπορεί να απαιτήσει τόσα βήματα ή και περισσότερα από τη μέθοδο των πινάκων αληθείας. Συνήθως, οι αποδεικτικές μέθοδοι είναι συντομότερες από τους πίνακες αληθείας. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μετα-Θεωρήματα Θεώρημα Παραγωγής: Δ - (φ ψ) αν και μόνο αν Δ {φ} - ψ Page 28 Θεώρημα Ισοδυναμίας: Δ - (φ ψ) και Δ -χ, τότε ισχύει ότι Δ - χψ φ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Απόδειξη δίχως το θεώρημα Παραγωγής Πρόβλημα {π τ, τ σ} - (π σ) Page 29 1. π τ Υπόθεση 2. τ σ Υπόθεση 3. (τ σ) (π (τ σ)) ΙΙ 4. (π (τ σ)) ΜΡ (2,3) 5. (π (τ σ)) ((π τ) ( π σ)) ID 6. ((π τ) ( π σ)) ΜΡ (5,4) 7. ( π σ) ΜΡ (6,1) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Απόδειξη με το θεώρημα Παραγωγής Page 30 Πρόβλημα {π τ, τ σ} - (π σ) 1. π τ Υπόθεση 2. τ σ Υπόθεση 3. π Υπόθεση 4. τ ΜΡ (1,3) 5. σ ΜΡ (2,4) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Κανόνες στην Εξέταση Page 31 Όταν σας ζητείται να δείξετε ότι μια έκφραση είναι αληθής, τότε μπορείτε να χρησιμοποιείσετε μετα-θεωρήματα. Όταν σας ζητείται να δώσετε μια τυπική απόδειξη (ή απλά απόδειξη) θα πρέπει να δώσετε όλη την απόδειξη Όταν σας ζητείται να δείξετε ότι μια έκφραση είναι αληθής χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αξιωματικά σχήματα και συγκεκριμενους κανόνες συμπερασμού, τότε θα πρέπει να κατασκευάσετε την απόδειξη μόνο και μόνο με αυτά. Γεώργιος Βούρος