Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σηµειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους Αύγουστος 2008.

Πρόλογος Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν το µεγαλύτερο µέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού µαθήµατος της Αριθµητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάµηνο 7-8, στο Μαθηµατικό τµήµα του Πανεπιστηµίου Αιγαίου. Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για την περαιτέρω διευκόλυνση των φοιτητών/τριών στα πλαίσια του «Προγράµµατος Αναµόρφωσης Σπουδών» (ΕΠΕΑΕΚ) και σε καµιά περίπτωση δεν αποτελούν ένα ολοκληρωµένο σύγγραµµα εισαγωγής στην Αριθµητική Ανάλυση. Πρόκειται για την πρώτη τους έκδοση και εποµένως υπάρχουν ελλείψεις, κυρίως σε παραδείγµατα και σε αποδείξεις θεωρηµάτων, ενώ απαιτούνται αρκετές βελτιώσεις. Σε σχέση µε το υλικό που διδάχτηκε στο µάθηµα οι περισσότερες ελλείψεις παρουσιάζονται στο 3 ο κεφάλαιο, δηλαδή στην επίλυση των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων. Εποµένως, οι σηµειώσεις αυτές πρέπει να χρησιµοποιηθούν µόνο συµπληρωµατικά µε το επίσηµο σύγγραµµα του µαθήµατος, δηλαδή την «Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση» των Γ.. Ακρίβη και Β.Α. ουγαλή, 5 η αναθεωρηµένη έκδοση, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 6. Η νέα έκδοση των παρόντων σηµειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους 8-9. Αύγουστος 8 Κώστας Χουσιάδας

Πίνακας περιεχοµένων Κεφάλαιο : Εισαγωγή.. Κατηγορίες σφαλµάτων ή λαθών.. Προσέγγιση αριθµών µε αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Σηµαντικά ψηφία. Κεφάλαιο : Αριθµητική υπολογιστή.. Αναπαράσταση αριθµών ως προς οποιαδήποτε βάση.. Αναπαράσταση των αριθµών στον υπολογιστή.3. Αριθµητικές πράξεις στον υπολογιστή και επιρροή των σφαλµάτων στρογγύλευσης στους υπολογισµούς.4. Σφάλµατα στον υπολογισµό αθροισµάτων.5. Αριθµητική ευστάθεια αλγορίθµων.6. Κατάσταση προβληµάτων Κεφάλαιο : Αριθµητική επίλυση µη-γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων.. Εισαγωγή.. Μέθοδος ιχοτόµησης.3. Επαναληπτικές µέθοδοι.4. Θεώρηµα σταθερού σηµείου Baach (ή θεώρηµα συστολής).5. Σύγκλιση και ταχύτητα σύγκλισης ακολουθιών.6. Ακολουθίες υψηλής τάξης σύγκλισης.7. Μέθοδος Newto-Raphso.8. Μέθοδος τέµνουσας (ή εφαπτοµένης) Κεφάλαιο 3: Αριθµητική επίλυση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων 3.. Εισαγωγή 3.. Ο αλγόριθµος της πίσως αντικατάστασης 3.3. Ο αλγόριθµος της εµπρός αντικατάστασης 3.4. Απαλοιφή Gauss 3.4.. Απαλοιφή Gauss µε οδήγηση 3.5. Aνάλυση LU 3.6. Ανάλυση Cholesky για συµµετρικούς και θετικά ορισµένους πίνακες 3.7. Τριδιαγώνια συστήµατα 3.8. Επαναληπτικές µέθοδοι επίλυσης γραµµικών συστηµάτων

3.8.. Η µέθοδος Jacob 3.8.. Η µέθοδος Gauss-Sedel 3.8.3. Η µέθοδος διαδοχικής υπερχαλάρωσης (SOR) 3.9. Κριτήρια σύγκλισης των επαναληπτικών µεθόδων. Κεφάλαιο 4: Προσέγγιση συναρτήσεων και παρεµβολή 4. Εισαγωγή 4. Ύπαρξη και µοναδικότητα του πολυωνύµου παρεµβολής 4.3 Σφάλµα της πολυωνυµικής παρεµβολής 4.4 Κατασκευή του πολυωνύµου παρεµβολής 4.5. Οι κίνδυνοι της πολυωνυµικής παρεµβολής και η συνάρτηση του Ruge 4.6. Παρεµβολή Hermte 4.7. Παρεµβολή µε κυβικές sples Κεφάλαιο 5: Αριθµητική διαφόριση 5.. Εισαγωγή 5.. Υπολογισµός παραγώγων µε χρήση του πολυωνύµου παρεµβολής 5.3. Η µέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών 5.3.. Τύποι πεπερασµένων διαφορών προς τα εµπρός. 5.3.. Τύποι πεπερασµένων διαφορών προς τα πίσω. 5.3.. Τύποι κεντρικών πεπερασµένων διαφορών. Κεφάλαιο 6: Αριθµητική ολοκλήρωση 6.. Εισαγωγή 6.. Μέθοδος ορθογωνίου 6.3. Μέθοδος τραπεζίου 6.4. Μέθοδος Smpso Βιβλιογραφία Παράρτηµα Π. Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Π. Νόρµες συναρτήσεων, διανυσµάτων και πινάκων 3

Κεφάλαιο Εισαγωγή Εφαρµοσµένα µαθηµατικά: ένας τεράστιος και χαοτικός τοµέας των µαθηµατικών ο οποίος ασχολείται µε τις µαθηµατικές τεχνικές που αναπτύσσονται και χρησιµοποιούνται στις άλλες επιστήµες, στις εφαρµογές και την τεχνολογία. Τι είναι η Αριθµητική Ανάλυση: Ίσως ο βασικότερος κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών. Η αριθµητική ανάλυση είναι σχεδόν συνώνυµη µε τα υπολογιστικά µαθηµατικά. Στόχος: Η προσεγγιστική επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων που συναντώνται σε όλες τις επιστήµες και την τεχνολογία. Συνήθως έχουµε µαθηµατικά µοντέλα τα οποία περιγράφουν διάφορα φαινόµενα ή/και διεργασίες τα οποία εµπλέκουν συνεχείς συναρτήσεις και µεταβλητές. Επειδή η αναλυτική επίλυση είναι σπάνια δυνατή, επιλύουµε το πρόβληµα προσεγγιστικά αφού πρώτα το διακριτοποιήσουµε. Έτσι: από συνεχείς διαδικασίες σε διακριτές διαδικασίες (τονίζεται ότι ο Η/Υ µπορεί να χειρισθεί µόνο νούµερα) άπειρες διαδικασίες πεπερασµένες διαδικασίες (οι πρώτες απαιτούν άπειρο χρόνο για να διεκπεραιωθούν) Το διακριτό πρόβληµα που προκύπτει το ονοµάζουµε αριθµητική µέθοδο. Κάθε διακριτό πρόβληµα (ή αριθµητική µέθοδος) για να εφαρµοσθεί (κυρίως στον ηλεκτρονικό υπολογιστή) απαιτεί µια πεπερασµένη, λογική σειρά καλά ορισµένων αριθµητικών πράξεων και λογικών εκφράσεων. Το σύνολο αυτών των βηµάτων ονοµάζεται αλγόριθµος. H αριθµητική ανάλυση χωρίζεται µε δύο µέρη: I. Θεωρητικό µέρος: Κατασκευή αλγορίθµων και µελέτης της ακρίβειάς του και της ευστάθειάς του, δηλαδή ανάλυση των σφαλµάτων τους. II. Πρακτικό µέρος: Υλοποίηση των αλγορίθµων µε τον βέλτιστο τρόπο ή µε έναν τρόπο σχεδόν βέλτιστο (σε σχέση µε την ταχύτητα εκτέλεσης του υπολογιστή και την απαιτούµενη µνήµη) Συνεπώς η διαδικασία επίλυσης ενός µαθηµατικού προβλήµατος αριθµητικά έχει ως εξής: 4

Κατασκευάζουµε το µαθηµατικό πρόβληµα το οποίο περιγράφεται µε συνεχείς συναρτήσεις (Θεωρία) Κατασκευάζουµε το αντίστοιχο µαθηµατικό πρόβληµα το οποίο περιγράφεται µε διακριτές συναρτήσεις (αριθµητική µέθοδος) και το οποίο προσεγγίζει το αρχικό πρόβληµα (Θεωρία) Μελέτη της ακρίβειας και της ευστάθειας (Πράξη) Κατασκευή αλγορίθµου (Πράξη) Υλοποίηση αλγόριθµου (µε βέλτιστο τρόπο). b Παράδειγµα: I = f d µε [ ] a f:a,b Ανάπτυξη αριθµητικής µεθόδου-διακριτού σχήµατος. Η µέθοδος του ορθογωνίου: ( ) b a b a I f = a+ k k = Η µέθοδος τραπεζίου: b a b a I f ( a) f a k f ( b) = + = + + = k = όπου ο αριθµός των υποδιαστηµάτων (θετικός ακέραιος αριθµός). Θεωρητική µελέτη: Πόσο ακριβείς είναι οι παραπάνω µέθοδοι? Είναι ευσταθείς? (η έννοια της ευστάθειας θα εξηγηθεί παρακάτω) Πρακτική εφαρµογή: Ποιοι οι αντίστοιχοι αλγόριθµοι? Πως αυτοί οι αλγόριθµοι υλοποιούνται? Σχόλια πάνω στη θεωρία / πράξη: 5

I. Θεωρητικά µπορεί µια µέθοδος να είναι ακριβής/ευσταθής, πρακτικά όµως να είναι µη-υλοποιήσιµη. II. Πρακτικά ένας αλγόριθµος µπορεί να δίνει αποτελέσµατα, αλλά χωρίς θεωρητική µελέτη δεν ξέρουµε κατά πόσο µπορούµε να τα εµπιστευτούµε ή όχι. III. Οι αριθµητικές µέθοδοι για την επίλυση ενός προβλήµατος µπορεί να είναι πολλές. Με βάση τα θεωρητικά και πρακτικά χαρακτηριστικά επιλέγουµε κάθε φορά ποια από τις διαθέσιµες θα εφαρµόσουµε. Μιλήσαµε για προσεγγιστική επίλυση ενός προβλήµατος που σηµαίνει ότι τα αποτελέσµατά µας θα περιέχουν κάποιο σφάλµα σε σχέση µε την ακριβή τους τιµή. Για να µετρήσουµε αυτό το σφάλµα, αλλά και άλλους λόγους, χρησιµοποιούµε δύο ποσότητες: (a) Το απόλυτο σφάλµα: E = πρ πρ (b) Το σχετικό σφάλµα: RE =, όπου η πραγµατική τιµή του µεγέθους που µας ενδιαφέρει και πρ η χρησιµοποιούµενη προσεγγιστική του τιµή. Το σχετικό σφάλµα δίνεται συνήθως και πρ ως ποσοστό επί τις εκατό, δηλαδή: RE = %, Να σηµειωθεί ότι οι παραπάνω ορισµοί µπορούν να συναντηθούν στην βιβλιογραφία χωρίς τις απόλυτες τιµές. Στο σηµείο αυτό θέτουµε το παρακάτω ερώτηµα: ποια ποσότητα αντιπροσωπεύει καλύτερα την προσέγγισή µας και γιατί? Η µελέτη µερικών παραδειγµάτων θα µας βοηθήσει να απαντήσουµε. Παράδειγµα Ι: Έστω = 3. και = 3.. Τότε E = 3. 3. =., 3. 3. RE = =. 3 = 3. %. 3. Παράδειγµα ΙΙ: Έστω πληθυσµός = και πρ =. Τότε E = και RE =. % Παράδειγµα ΙΙΙ: Έστω ποσότητα φαρµάκου που πρέπει να χορηγηθεί σε έναν ασθενή =. gr και =. 5 gr η ποσότητα που πραγµατικά χορηγείται. Τότε E = 5. πρ πρ και. 5 RE = = 5. = 5%.. 6

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το RE είναι καλύτερος δείκτης ακρίβειας, σε σχέση µε το E για την εκτίµηση µίας προσέγγισης... Κατηγορίες σφαλµάτων ή λαθών ιακρίνουµε δύο µεγάλες κατηγορίες σφαλµάτων: I. Λάθη λόγω µαθηµατικού φορµαλισµού µη κατάλληλο σύστηµα εξισώσεων ανακρίβειες στις τιµές παραµέτρων του προβλήµατος (π.χ. g = 98. η σταθερά βαρύτητας) ή λάθη στα αρχικά δεδοµένα. II. Λάθη κατά την αριθµητική επίλυση λάθη λόγω προσέγγισης των αριθµών (roud-off error) π.χ. π = 3. 459, =. 333, δηλαδή όταν αγνοούµε πολλά από τα 3 ψηφία των αριθµών λάθη αποκοπής (trucato error) π.χ. 3 e = + + + +, δηλαδή όταν αντικαθιστούµε! 3! σφαλµα αποκοπης απειροσειρές µε πεπερασµένες σειρές. Στόχος στο πρώτο κεφάλαιο αυτών των σηµειώσεων είναι η µελέτη των λαθών λόγω προσέγγισης των αριθµών, ενώ στα επόµενα κεφάλαια εξετάζονται κυρίως τα λάθη αποκοπής και η επίδρασή τους στα αποτελέσµατα των αλγορίθµων... Προσέγγιση αριθµών µε αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Σηµαντικά ψηφία. Έστω ότι θέλουµε να κάνουµε πράξεις µε αριθµούς που έχουν είτε άπειρα ψηφία (π.χ., π κ.τ.λ.) ή τόσα πολλά που πρακτικά είναι αδύνατο να τις πραγµατοποιήσουµε. Τότε χρησιµοποιούµε προσεγγίσεις αυτού του αριθµού σε «k» σηµαντικά ψηφία. Λέµε ότι ένας αριθµός πρ προσεγγίζει την ακριβή τιµή του αριθµού µε k σωστά σηµαντικά ψηφία όταν k είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει: 7

πρ k + 5., (*) Η προσέγγιση πρ προκύπτει µε δύο διαδικασίες: I. Αποκοπή: Ξεκινάµε από το πιο αριστερό µη-µηδενικό ψηφίο και µετράµε «k» ψηφία αγνοώντας τα υπόλοιπα. II. Στρογγυλοποίηση: Παρατηρούµε το «k +» ψηφίο του αριθµού. Αν είναι 5, τότε αυξάνουµε το «k» τελευταίο ψηφίο κατά και αγνοούµε τα υπόλοιπα. Παρατήρηση: η προσέγγιση ενός αριθµού γίνεται πιο εύκολα αν φέρουµε τον αριθµό στην κανονική µορφή κινητής υποδιαστολής (βλέπε παρακάτω). Παράδειγµα: Έστω π = 3. 45965... και ότι ζητείται η προσέγγισή του µε 5 σηµαντικά ψηφία µε αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Άρα, ( 5) Αποκοπή: π = 3. 45965 π απ. = 3. 45 ( 5) Στρογγυλοποίηση: π = 3. 45 9 65 π. 3. 46 ο στρ = ' 6 ' -Το απόλυτο και το σχετικό σφάλµα στην αποκοπή είναι 4 απ. = 96536 και E. 4 απ. = 9494, αντίστοιχα. Εποµένως, από την (*), προκύπτει 5 RE. k =. -Οµοίως, το απόλυτο και το σχετικό σφάλµα στην στρογγυλοποίηση είναι 5 στρ. = 73464 και E. 5 στρ. = 33958 αντίστοιχα. Εποµένως, από την (*), RE. προκύπτει k = 6. Παρατήρηση: γενικά ισχύει ότι το απόλυτο σφάλµα στην στρογγυλοποίηση είναι µικρότερο ή ίσο του απολύτου σφάλµατος στην αποκοπή, Eστρ. Eαπ. και το ίδιο ισχύει και για το σχετικό σφάλµα, REστρ. REαπ.. 8

Kεφάλαιο ο Αριθµητική του ηλεκτρονικού υπολογιστή.. Αναπαράσταση αριθµών ως προς οποιαδήποτε βάση Στην καθηµερινή µας ζωή χρησιµοποιούµε το -δικό σύστηµα αναπαράστασης αριθµών. Η βάση είναι το και τα ψηφία τα,,,...,9. Κάθε αριθµός όµως µπορεί, χωρίς καµία δυσκολία, ως προς οποιαδήποτε βάση. Αυστηρά γράφουµε: ± a a a aa.a a a όπου a β, =,,N N N N 3 προσηµο ακεραιο µερος κλασµατικο µερος β Ο κάθε αριθµός έχει δύο µέρη: το ακέραιο µέρος, πριν την υποδιαστολή το κλασµατικό µέρος, µετά την υποδιαστολή Το κάθε ένα από αυτά µπορεί να γραφεί σε µορφή σειράς Ακεραιο µερος= N k ak = a + a + a + + an k = N β β β β Κλασµατικο µερος= k = k a kβ = a + a + a 3 + 3 β β β Εποµένως, ο αριθµός µπορεί να γραφεί ως εξής: N k N N k όπου ak β k = ± ( 3 ) = ± a a aa.a a a a β, k =, N Συνήθως ισχύει β 6 (αν και β > 6 είναι εφικτό, αλλά δεν προσφέρει κάποια πλεονεκτήµατα). Στους υπολογιστές β = 86,,. I. Μετατροπή ακεραίου από βάση β σε βάση ( ) aa aa = aβ β = 9

Άµεσος τρόπος Σχήµα Horer II. Μετατροπή κλασµατικού αριθµού ( < < ) από βάση β σε βάση k kβ k= = ( 3 ) β =.a a a a a III. Μετατροπή ακεραίου από βάση σε βάση β σύµφωνα µε τον αλγόριθµο της διαίρεσης (δείτε και σχήµα Horer) IV. Μετατροπή κλασµατικού από βάση σε βάση β Παρατηρήσεις σχετικά µε την µετατροπή αριθµών από το ένα σύστηµα αριθµών σε ένα άλλο. η Παρατήρηση: Ο ακέραιος παραµένει πάντα ακέραιος σε οποιοδήποτε σύστηµα και αν τον εκφράσουµε. Η µετατροπή ενός αριθµού σε βάση β βάση γίνεται χωρίς καµία δυσκολία. Παράδειγµα: Ο αριθµός ( 53473) = 3 + 7 8 + 4 8 + 3 8 3 + 5 8 4 = ( 33) 8 Μετατροπή στον υπολογιστή Ο υπολογισµός της ποσότητας A( β ) N k = akβ, µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους k= a. Άµεσος τρόπος: N β β β β A = a + a + a + + a N έχουµε N όρους για τον υπολογισµό του ο N οστός όρος απαιτεί N πολλαπλασιασµούς ο N όρος απαιτεί N πολλαπλασιασµούς

ο ος όρος απαιτεί πολλαπλασιασµό ο ος όρος απαιτεί πολλαπλασιασµούς Άρα N + N + N + + = k = N k = ( + ) N N επιπλέον έχουµε N προσθέσεις και εποµένως το σύνολο των πράξεων είναι ( + ) N N 3 + N = N + N + N = N + N προσθεσεις πιο σηµαντικος ορος οι πολλαπλασιασµοι λιγοτερο σηµαντικος b. Σχήµα Horer: ( ) ( β) = + β + β ( + + β ( N + Nβ) ) A a a a a a συνολο πολλαπλασιασµων: N Εποµένως ο τρόπος (a) είναι O( N ), ενώ ο (b) είναι O( N ) και άρα το σχήµα Horer είναι πολύ πιο γρήγορο από ότι ο άµεσος τρόπος. Επεξήγηση του όρου O ( ) Ερώτηση: έχει πραγµατικά αξία το γεγονός ότι η µία µέθοδος είναι τάξης O( N ) και η άλλη O( N )? Αλγόριθµος: p a N για = N,, p a + p β (a) Κώδικας Fortra:

p= a N Do = N,, () p= a + p*β Ed do (a), (b) flop (floatg pot operato) flop: η πιο συχνή πράξη που χρησιµοποιούµε/συναντούµε στα υπολογιστικά µαθηµατικά και στους υπολογιστές. Για τον λόγο αυτό το flop έχει καθιερωθεί ως µονάδα µέτρησης των πράξεων στους αλγορίθµους. Η ταχύτητα ενός επεξεργαστή στους Η/Υ αλλά και των µεγάλων υπερυπολογιστικών συστηµάτων µετράται σε αριθµό flops/µονάδα χρόνου. (b) η Παρατήρηση: Η µετατροπή ενός κλασµατικού αριθµού, < <, από σύστηµα µε βάση το β σε σύστηµα µε βάση το δεν παρουσιάζει επίσης καµία δυσκολία. Επίσης, ένας κλασµατικός παραµένει πάντα κλασµατικός σε όποιο σύστηµα και αν εκφραστεί, όµως το πλήθος ψηφίων µπορεί από πεπερασµένο να γίνει άπειρο. Παράδειγµα: (. ) = + = ( 5. ) + ( 5. ) = ( 75. ) 3 η Παρατήρηση: Η µετατροπή ενός ακεραίου µε βάση το σε ακέραιο µε βάση το β γίνεται σύµφωνα µε τον αλγόριθµο της διαίρεσης. Πρώτα εκφράζουµε τον αριθµό στο νέο σύστηµα: β β β β β = (... )... = a a aa = a = a + a + + a + a Στην συνέχεια τον εκφράζουµε σύµφωνα µε το σχήµα Horer: ( ( ( ) ) ) = β... β β a β + a + a + a +... + a 3

Αν διαιρέσουµε τον παραπάνω αριθµό µε «β», το υπόλοιπο είναι το a. Αν τον νέο αριθµό που προκύψει τον διαιρέσουµε µε «β», το υπόλοιπο είναι το a. Συνεχίζουµε µέχρι να φτάσουµε σε ένα αποτέλεσµα διαίρεσης το οποίο να είναι αριθµός µικρότερος του «β», ο οποίος και είναι το ψηφίο a. Παράδειγµα: θέλουµε να εκφράσουµε τον αριθµό 9 στο σύστηµα µε β=4. Ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα. () ιαιρούµε τον αριθµό µε το 4. Το ακέραιο µέρος του αποτελέσµατος είναι 5 και το υπόλοιπο είναι, εποµένως a =. () ιαιρούµε το 5 µε το 4 οπότε έχουµε ως αποτέλεσµα το 3 και υπόλοιπο, εποµένως a =. (3) ιαιρούµε το 3 µε το 4 οπότε έχουµε ως αποτέλεσµα το 3 και υπόλοιπο, εποµένως a =. Επιπλέον, εφόσον το αποτέλεσµα της διαίρεσης είναι 3 < β = 4, άρα αυτό είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθµού στο νέο σύστηµα, δηλαδή a 3 = 3. 9 = = 3 Συνολικά έχουµε: ( aaaa ) 3 4 4 4 η Παρατήρηση: Η µετατροπή ενός κλασµατικού αριθµού, < <, από σύστηµα µε βάση το σε σύστηµα µε βάση β, ( a a a ) β =, βασίζεται στην εξής διαδικασία: Γράφουµε.... β τον αριθµό σύµφωνα µε τον ορισµό του, στο νέο σύστηµα: a a a a β 3 β β β β = 3 β =. a a... a = a = + + +... + Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη µε «β», έχουµε: a a 3 a β = ( a. a... a ) = a... β + + + + όπου είναι προφανές ότι το a είναι το β β β ακέραιο µέρος του β και (. a... a ) το κλασµατικό µέρος του. Πολλαπλασιάζουµε β διαδοχικά µε «β» το κλασµατικό µέρος του αποτελέσµατος και κάθε φορά, προσδιορίζουµε το επόµενο ψηφίο, σύµφωνα µε το ορισµό που δίνεται παραπάνω. Έτσι αν έχουµε πολλαπλασιάσει φορές µε «β» τότε θα έχουµε: 3

(....)... β = a a a a = a β + a β + + a β + a οπότε τελικά το κλασµατικό + β + µέρος του αποτελέσµατος είναι µηδέν. Τότε η διαδικασία τερµατίζεται. Παράδειγµα: θέλουµε να εκφράσουµε τον κλασµατικό αριθµό.965 στο σύστηµα µε β=, δηλαδή στο δυαδικό σύστηµα. Ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: () Πολλαπλασιάζουµε τον αριθµό µε το. Το αποτέλεσµα είναι.85, οπότε το ακέραιο µέρος είναι και το κλασµατικό.85, εποµένως a = () Πολλαπλασιάζουµε τον κλασµατικό αριθµό.85 µε το. Το αποτέλεσµα είναι.65, οπότε το ακέραιο µέρος του αποτελέσµατος είναι και το κλασµατικό.65, εποµένως a =. (3) Πολλαπλασιάζουµε τον κλασµατικό αριθµό.65 µε το. Το αποτέλεσµα είναι.5, οπότε το ακέραιο µέρος του αποτελέσµατος είναι και το κλασµατικό είναι.5, εποµένως a 3 =. (4) Πολλαπλασιάζουµε τον κλασµατικό αριθµό.5 µε το. Το αποτέλεσµα είναι.5, οπότε το ακέραιο µέρος του αποτελέσµατος είναι και το κλασµατικό είναι.5, εποµένως a 4 =. (5) Πολλαπλασιάζουµε τον κλασµατικό αριθµό.5 µε το. Το αποτέλεσµα είναι., οπότε το ακέραιο µέρος του αποτελέσµατος είναι και το κλασµατικό είναι, εποµένως a 5 =..965 =.... =.. Εδώ θα πρέπει να σηµειωθεί Συνολικά έχουµε: ( a a a a ) 3 ότι υπάρχει η πιθανότητα η σειρά των δυαδικών ψηφίων a να µην τερµατίζεται, δηλαδή να µην καταλήγουµε ποτέ σε µηδενικό κλασµατικό µέρος. Σε αυτήν την περίπτωση η διαδικασία διακόπτεται όταν υπολογίσουµε όλα τα bts που είναι διαθέσιµα για την συγκεκριµένη µεταβλητή. Τότε ο αντίστοιχος πραγµατικός αριθµός θα είναι αποθηκευµένος στον υπολογιστή µε κάποιο σφάλµα στρογγύλευσης, κάτι βέβαια που δεν συνέβη µε τον αριθµό.965, στο παραπάνω παράδειγµα... Αναπαράσταση των αριθµών στον υπολογιστή 4

Επειδή η µνήµη του υπολογιστή αποτελείται από εκατοµµύρια διακόπτες οι οποίοι µπορούν (ο καθένας από αυτούς) να είναι σε δύο µόνο καταστάσεις, «κλειστός» ή «ανοιχτός», δηλαδή, σε ή κατάσταση και οι οποίοι ονοµάζονται bts για αυτό ο κατάλληλος τρόπος αντιπροσώπευσης των αριθµών στον υπολογιστή είναι µε βάση το, β =. Επίσης ισχύει: byte = 8 bts, word =,, ή 4 bytes. Αναπαράσταση ενός ακεραίου µε χρήση byte: Ελάχιστος αριθµός = Μέγιστος αριθµός = 7 6 5 4 3 55= = + + + + + + + Εφόσον σε κάθε θέση έχουµε µόνο δύο δυνατότητες, αν έχω γενικά θέσεις διαθέσιµες τότε προκύπτουν: = αριθµοί Εποµένως ο ελάχιστος αριθµός είναι ο και µέγιστος ο. Άρα µε byte µπορούµε να αναπαραστήσουµε συνολικά 8 = = 56 ακεραίους. Λόγω ότι πρέπει να λάβουµε υπόψη θετικούς και αρνητικούς αριθµούς, k,. ιάφοροι τρόποι έχουν προταθεί για την αναπαράσταση αριθµών στον υπολογιστή. Σήµερα όλοι οι υπολογιστές αναπαριστούν τους πραγµατικούς αριθµούς µε τους λεγόµενους αριθµούς κινητής υποδιαστολής (floatg pot umbers), δηλαδή µε την µορφή: ( ) e epoet =±.ddd3 β matssa 5

όπου β η βάση του συστήµατος, η οποία είναι πάντα ακέραια (συνήθως β = ) e εκθέτης ο οποίος είναι επίσης ακέραιος d β, = 3,,, Όταν d, η µορφή λέγεται κανονικοποιηµένη και η αναπαράσταση κάθε αριθµού µε τον τρόπο αυτό είναι µοναδική.. 598 =. 598 Παράδειγµα : Παράδειγµα : 3. =.. 5 =. 5 Παράδειγµα 3: 3 Στο σηµείο αυτό να τονισθεί ότι η προσέγγιση αριθµών σε «k» ψηφία, είτε µε αποκοπή είτε µε στρογγυλοποίηση, είναι ιδιαίτερα εύκολη αν ο αριθµός γραφεί στην κανονικοποιηµένη µορφή κινητής υποδιαστολής. Απλά πρέπει να κρατήσουµε τα πρώτα «k» ψηφία του κλασµατικού µέρους του αριθµού, να αγνοήσουµε τα υπόλοιπα ψηφία του και να αφήσουµε το εκθετικό µέρος του αριθµού ανέπαφο. Παράδειγµα : Ο αριθµός π = 3. 45965 σε κανονικοποιηµένη µορφή κινητής υποδιαστολής γίνεται ως εξής: π =. 345965. Η προσέγγιση σε 5 σηµαντικά ψηφία µε αποκοπή και στρογγυλοποίηση αντίστοιχα είναι π =. 345 και π =. 346. αποκ στρ Παράδειγµα : Ο αριθµός = 39. 689 σε κανονικοποιηµένη µορφή κινητής υποδιαστολής γίνεται. 4 = 39689. Η προσέγγιση σε 5 σηµαντικά ψηφία µε αποκοπή και 6

στρογγυλοποίηση αντίστοιχα είναι o 4 39 39 = απ κ. =. και 4 =. 39 = στρ 39.. Σε 3 δεκαδικά ψηφία είναι 4 =. 3 απ κ = 3 και o 4 33 33 = στρ. =. Λόγω του γεγονότος ότι οι πραγµατικοί αριθµοί µπορεί να απαιτούν άπειρα ψηφία για να αναπαρασταθούν είµαστε αναγκασµένοι στον Η/Υ να κρατάµε µόνο ένα πεπερασµένο πλήθος ψηφίων, t, δηλαδή µόνο τους ρητούς αριθµούς: e epoet =±.dd d 3...d t dt β matssa Οι αριθµοί µηχανής ενός υπολογιστή είναι ένα σύνολο ρητών αριθµών, γραµµένων σύµφωνα µε την κανονικοποιηµένη µορφή κινητής υποδιαστολής. Το σύνολο αυτό χαρακτηρίζεται από 4 παραµέτρους: a. Την βάση του αριθµητικού συστήµατος, β b. Το πλήθος, t, των ψηφίων του κλάσµατος των αριθµών c. Το κάτω φράγµα του εκθέτη, L (Lower) d. Το άνω φράγµα του εκθέτη, U (Upper) Όλοι οι παραπάνω παράµετροι είναι ακέραιοι. Ισχύει ότι m < και L e U. Φυσικά, επειδή το Μ είναι ένα πεπερασµένο σύνολο δεν υπάρχει η δυνατότητα να αναπαρασταθούν ακριβώς όλοι οι πραγµατικοί αριθµοί. Χαρακτηριστικά του συνόλου Μ : = + + t a. Πεπερασµένο πλήθος αριθµών ( β ) β ( U L ) Σχόλιο: όσο αυξάνουν τα t, U, L τόσο µεγαλώνει το πλήθος των αριθµών που µπορούν να αναπαρασταθούν. Ερώτηση: Γιατί δεν τα αυξάνουµε? b. Έχει ελάχιστο, κατά απόλυτη τιµή, m m{ } L Μ, όπου m =. β t ψηφια 7

U Μ, όπου M = β t β d. τα στοιχεία του συνόλου δεν είναι ισαπέχοντα e. Κάθε πραγµατικός αριθµός, µε m< < M αναπαριστάται από την µηχανή µε c. Έχει µέγιστο, κατά απόλυτη τιµή, M ma{ } τον πιο κοντινό του τον οποίο συµβολίζουµε µε fl( ), δηλαδή µε κάποιο σφάλµα. Ισχύει ότι fl u, όπου, t β, για στρογγυλοποιηση u = t β, για αποκοπη Απόδειξη για την περίπτωση της αποκοπής: e =.d d d d d β Έστω 3 t t+ και 3 e fl =.d d d d β, τότε έχουµε t t fl. d β.d d β = = =.ddd dd.ddd t t+ e t+ t+ t+ e 3 t t+ β 3 { t } { + }.d ma.d t+ d t+ β β β β.d d d d m. fl β t t t t+ = = t, για αποκοπη f. εν αποτελεί σώµα. Παράδειγµα : Έστω σύνολο αριθµών κινητής υποδιαστολής = ( β =,t = 5,U =,L = ) έστω οι αριθµοί α, βγ Μ, µε α =., αποτέλεσµα του αθροίσµατος α β γ ος τρόπος, ( α + β) + γ : Μ Μ και β 5 = 3, γ 5 = 3. Ζητείται το + +. Έχουµε, α β γ ( α β) γ α ( β γ) + + = + + = + +. Αρχικά γράφουµε τους αριθµούς σε µορφή κινητής υποδιαστολής. ηλαδή + 4 4 ( α ) =, fl ( β ) =. 3, fl ( γ ). 3 fl. =. Έχουµε z = fl( fl( α) + fl ( β) ) =. = fl. 3 z =. 5 ψηφια + + + 8

( ( γ )) ος τρόπος, α + ( β + γ) : fl z + fl = fl. +. 3 =. ( ( α ) + ( ( β) + ( γ) )) fl fl fl fl fl + 4 + ( β) ( γ) 3 3 6 ( ( β) ( γ) ) 6 4 6 ( α) ( α) fl + fl =. +. =. fl fl + fl =. =. = z fl + z =. 6 +. =. +. 6 =. 6 fl fl + z =. 4 Άρα στον υπολογιστή η πρόσθεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα ( α + β) + γ α + ( β + γ) Εποµένως η σειρά που γίνονται οι πράξεις στον υπολογιστή έχουν σηµασία. Παράδειγµα : Έστω β = και 5 t =. Ο αριθµός (, 5,L,U) Μ διότι 5 =.. Ο αριθµός (, 5,L,U) Μ διότι 5 4 =.. Άθροισµα: 5 + =. =. 6 ψηφια Μ διότι έχει 6 σηµαντικά ψηφία. L Παράδειγµα 3: Έστω ο αριθµός. β Μ και το τετράγωνο αυτού: (. β L ) (. β L ) =. β L =. β L Προφανώς L < L και εποµένως. β L Μ. Γενικά στον ηλεκτρονικό υπολογιστή απλά προσεγγίζουµε τους αριθµούς µε άλλους αριθµούς πεπερασµένης ακρίβειας. Συναντάµε δύο είδη προβληµάτων: U > ma Μ β t overflow error (λάθος υπερχείλισης) β I. Αν { } < m Μ. β = β uderflow error (λάθος υπεκχείλισης) L L II. Αν { } 9

Πιο σηµαντικό είναι το overflow error γιατί έτσι οι υπολογισµοί σταµατάνε και η ροή του προγράµµατος διακόπτεται. Στο uderflow error, αν δηλαδή m{ } συνήθως στους περισσότερους υπολογιστές, =. < Μ τότε, Παράδειγµα 4: Έστω οι αριθµοί = 589. 6, y =. 77344. Ζητείται το αποτέλεσµα του αθροίσµατος σε υπολογιστή µε β =, t = 5, U L προκύπτει µε στρογγυλοποίηση. Άρα έχουµε Ο σε µορφή αριθµού κινητής υποδιαστολής 5 ψηφια προσεγγιση µε 4 στρογγυλοποιηση 4. 589 6 f l =. 5893 Ο y σε µορφή αριθµού κινητής υποδιαστολής προσεγγιση µε. 77344 f l y =. 7734 στρογγυλοποιηση 5 ψηφια 4 fl + fl y =. 58937734 πραξη ακριβης προσέγγιση µε στρογγυλοποίηση 4 ( ) 5894 z = fl f l + f l y =. Βρίσκουµε ότι: + y = 589. 337344, ακριβές άθροισµα 4 + = 58937344 fl fl y. 4 ( ) 5894 fl fl + fl y =., άθροισµα στον υπολογιστή 4 ( + ) = 5893 fl y. = = µε δεδοµένο ότι το fl ( ) Παρατηρούµε ότι όλα τα παραπάνω αθροίσµατα είναι διαφορετικά µεταξύ τους!!! Παράδειγµα 5: Η αυστηρά µαθηµατική λύση της εξίσωσης + = είναι η =. Όµως, έστω 5 4 = 4 Μκαι το Μ. Εχουµε fl ( ) 4. = και ( ) fl. =.. Άρα. 4 + = και fl ( ) fl (. 4). + = =.

Προφανώς κάθε µε < β t είναι λύση της εξίσωσης + =. Η ποσότητα t β ονοµάζεται έψιλον της µηχανής και είναι ο µικρότερος αριθµός ο οποίος αν προστεθεί στην µονάδα δίνει αποτέλεσµα µεγαλύτερο του, δηλαδή είναι ο µικρότερος αριθµός για τον οποίο ισχύει + ε >. Αλγόριθµος προσεγγιστικού υπολογισµού του ε : ε εφόσον + ε > ε ε Αντίστοιχος κώδικας σε fortra-9 για το ε σε µεταβλητές διπλής ακρίβειας. eps =.d do y =.d + eps f( y >.d ) the eps = eps /.d elsef( y <=.d ) the et edf eddo prt*,.d*eps

Άσκηση: βρείτε όλους τους αριθµούς του συνόλου αριθµών κινητής υποδιαστολής, ( β,t 3,U,L ) M = M = = = = αναλυτικά. Είναι οι αριθµοί ισαπέχοντες? Ποιος είναι ο µέγιστος και ποιος ο ελάχιστος αριθµός αυτού του συνόλου? Υπόδειξη: Η µορφή των αριθµών που ανήκουν στο σύνολο αυτό είναι a ±.ddd, a, d =,. Υπολογίστε όλους τους θετικούς κλασµατικούς αριθµούς (δηλαδή τους (.ddd ) ) και όλους τους αριθµούς της µορφής a και συνδυάστε τα αποτελέσµατα..3. Αριθµητικές πράξεις στον υπολογιστή και επιρροή των σφαλµάτων στρογγύλευσης στους υπολογισµούς Έστω και ότι ζητάµε το αποτέλεσµα της πράξης Έχουµε ( ) fl fl fl y = z όπου z Μ, fl Μ, fl ( y) Μ. = +,,, y Παρατήρηση Έχουµε fl u, t β, στρογγυλευση u = t β, αποκοπη Η παραπάνω πρόταση είναι ισοδύναµη µε την εξής:

= ( + ) όπου ε ε fl ε Απόδειξη: = µε ε u fl fl fl = ( + ε) = ε ε = u ε u. Πολλαπλασιασµός: Έστω,y. Επιπλέον, ε, ε, ε3 µε ε u, ε u, και ε3 u τέτοια ώστε: = ( + ), fl ( y) y ( ε ) fl ε = + ενώ για το γινόµενο στον υπολογιστή θα είναι ( ) ( ε) ( ε) ( ε3) z = fl fl fl y = + y + + ή ( ε ε ε εε εε εε εεε ) ( ε ε ε ) z = y + + + + + + + y + + + 3 3 3 3 3 Το σχετικό σφάλµα, σ, θα είναι: Άρα z y y y ( ε ε ε ) + + + y 3 σ = = ε+ ε + ε3 ε + ε + ε3 y z y y ε + ε + ε 3 µε ε u 3 ε u ε 3u = ε u 3 Συνεπώς z y y 3 u σ 3u ιαίρεση: ( ε) ( ε)( ε3) ε3 ε ( ε ) fl + + + : z = fl y fl = + = y + y + Άρα ( + ε)( + ε3) ( + ε)( + ε3) y ( + ε ) y ( + ε) σ = = y ( + ε )( + ε ) ( + ε ) ( 3)( 3 ) σ ε ε ε ε ε 3 3 = = + + + + = 3

( ) + ε + ε ε +Ο ε ε + ε ε ε + ε + ε 3u 3 3 3 Εποµένως, όπως και προηγουµένως: σφαλµα 3 u σ 3u Υπενθυµίζεται ότι: = + + + + + < 3 4..., Πρόσθεση και αφαίρεση: ( ) ( ε) ( ε) ( ε3) + y : z = fl fl + fl y = + + y + + άρα το σχετικό σφάλµα σ θα δίνεται από την σχέση : ( + ε) + ( + ε) ( + ε3) ( + ) z + y y y σ = = + y + y ( + ) ε+ yε ε u y + y ε σ ε3+ ε3 + u + + y + y + y Εποµένως όταν οι αριθµοί,y είναι οµόσηµοι τότε + y = + y και άρα η παραπάνω σχέση διαµορφώνεται ως εξής: ε + yε σ ε + + y 3 Όταν όµως οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι και ταυτόχρονα ισχύει y + y τότε το άνω φράγµα στην σχέση (**) τείνει στο άπειρο! u (**) Παράδειγµα : Έστω =. 45478 και y =. 455944 και έστω σύνολο αριθµών κινητής υποδιαστολής = ( β =,t = 5,U =,L = ) 3 z = fl( fl + fl( y) ) = fl (. 4543. 456) =. 7 =. 7 Το σχετικό σφάλµα θα είναι M M. Έχουµε ότι: ( + ) ( + y) z y σ = 88 4 ενώ το αντίστοιχο άνω φράγµα αν οι αριθµοί ήταν οµόσηµοι θα ήταν u β σφάλµα στην αφαίρεση µπορεί να είναι πολύ µεγαλύτερο από το σφάλµα στην πρόσθεση (Άσκηση: βρείτε πόσο ακριβώς είναι το σχετικό σφάλµα αν οι αριθµοί και y ήταν πράγµατι οµόσηµοι). t 5 4 = = = (!!) που δείχνει ότι το 4

Παράδειγµα : Έστω = 4585 και y = 4585 και έστω σύνολο αριθµών M M. Έχουµε ότι + y =. κινητής υποδιαστολής = ( β =,t = 5,U =,L = ) Όµως στο σύνολο που δόθηκε θα είχαµε 9 9 ( ) z = fl fl + fl y = fl. 4585. 4585 =!!!!! Το παράδειγµα δείχνει ότι όταν έχουµε αφαίρεση µεγάλων αριθµών δηµιουργείται σηµαντικό πρόβληµα. Παράδειγµα 3: Έστω = 789 και y = 789 και έστω σύνολο αριθµών κινητής υποδιαστολής = ( β =,t =,U =,L = ) M M. Έχουµε ότι. = 88836996, y. = 8883379 και y. = 56847. Τα µηδενικά στο τέλος του αποτελέσµατος είναι ένδειξη της απώλειας ακρίβειας. Εναλλακτικά µπορούµε να υπολογίσουµε οποίο έχει πολύ µεγάλη ακρίβεια. y y = =. 56846894 + y το Παράδειγµα 4: Να υπολογιστεί η συνάρτηση f = s για πολύ µικρές τιµές του, δηλαδή για <<. Επειδή lm s = θα αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα της αφαίρεσης σχεδόν ίσων αριθµών. Έτσι κάνουµε ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης γύρω από το έχουµε: = και 3 5 7 3 5 7 9 9 f = + + O( ) = + + O( ). Άρα για πολύ µικρές τιµές 3! 5! 7! 3! 5! 7! του µπορούµε να διατηρήσουµε µόνο τον ο ή και τον ο όρο της σειράς και να µην έχουµε πρόβληµα µε τους υπολογισµούς (γιατί?). Άσκηση : Υπολογίστε την συνάρτηση f δηλαδή για + = l <<. Οµοίως για την συνάρτηση f για πολύ µικρές τιµές του, ( + ) l =. 5

Άσκηση : Αναδιαµορφώστε την έκφραση για µεγάλες τιµές του. Ποιο + πρόβληµα θα παρουσιασθεί στον υπολογισµό της αρχικής έκφρασης? ιορθώνεται µε την εναλλακτική έκφραση και γιατί? Χρήσιµες σχέσεις (αναπτύγµατα Taylor γύρω από το =) s O 3! 5! 7! 3 5 7 9 = + + cos! 4! 6! 4 6 8 = + + O ( ) 7 ta O 3 5 35 3 5 7 9 = + + + + ep O! 3! 4! 3 4 5 = + + + + + l O 3 4 5 3 4 5 6 ( + ) = + + +.4. Σφάλµατα στον υπολογισµό αθροισµάτων Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την σειρά S = + = + k + k k k+. Επειδή k= k= ισχύει = k + k k k+ έχουµε ότι S = + + + +... + 3 3 4 +, S = οπότε προκύπτει ότι S 9 = 9., S 99 = 99., S 999 = 999. κτλ, και φυσικά + lm S =. Ας αγνοήσουµε προς το παρόν ότι γνωρίζουµε τα παραπάνω και ας υποθέσουµε ότι προσπαθούµε να υπολογίσουµε την σειρά απευθείας. Ένας απλός αλγόριθµος για τον υπολογισµό του αθροίσµατος είναι ο εξής: S =, Sk = Sk + k k ( + ) για k = 3,,,...,N. ιαφορετικά µπορούµε να γράψουµε: S Για k = 3,,,...,N κάνε: S S + k k ( + ) 6

Αν όµως ο αλγόριθµος αυτός εφαρµοσθεί σε έναν υπολογιστή µε β =,t= τότε θα πάρουµε: S 9 =. 9 S 99 =. 993 S 999 =. 9993 S =. 99989997 9999 Έστω τώρα ότι αλλάζουµε την σειρά µε την οποία υπολογίζουµε τους όρους του αθροίσµατος. ηλαδή: T = ( + ) T = T +, k = 3,,,..., για k = 3,,,...,N. k k T = T + ( k)( k+ ) Ο αντίστοιχος αλγόριθµος είναι: T ( + ) Για k = 3,,,...,, κάνε T T +. k k+ T T + Τότε το πρόβληµα εξαφανίζεται και ο υπολογισµός µέχρι και τον όρο S 9999 γίνεται µε µηδενικό σφάλµα. Παρόλο που ξέρουµε ότι η πρόσθεση δεν έχει την προσεταιριστική ιδιότητα στον υπολογιστή, για πιο λόγο ο δεύτερος αλγόριθµος δίνει καλύτερα αποτελέσµατα από τον πρώτο? Ας δούµε το πρόβληµα λίγο πιο γενικά και ας υποθέσουµε ότι δίνονται στο πλήθος αριθµοί των οποίων θέλουµε να βρούµε το άθροισµά τους, s = a Για να απλοποιήσουµε την ανάλυση θα θεωρήσουµε ότι όλοι k = k οι όροι του αθροίσµατος είναι αριθµοί µηχανής, δηλαδή ότι = = 3 fl a a, k,,,..., καθώς επίσης ότι οι αριθµοί είναι διατεταγµένοι σε αύξουσα σειρά. Για λόγους ευκολίας θα συµβολίζουµε fl( s ) k = s. Ο αλγόριθµος υπολογισµού του αθροίσµατος k s, δίνεται από τον αναδροµικό τύπο, s = a, s = s + a για k = 34,,,...,. Εποµένως στον υπολογιστή θα έχουµε: k k k = = ( k) = ( ( k ) + ( k) ) k = ( k + k) fl s fl a a, fl s fl fl s fl a s fl s a για k = 34,,,...,. k k 7

k = έχουµε: s = fl( s + a ) = fl( a + a ) = ( a + a )( + ε ) Για Για k = 3 έχουµε: (( ε ) ) ( ε ) ( ε ) s = fl s + a = fl a + a + + a = a + a + + a + 3 3 3 3 k = έχουµε: ( ) ( ε ) ( ε ) Για 4 s4 = fl s3+ a4 = fl a+ a + + a3 + + a4 = { ( a a )( ε) a3 ( ε) a4}( ε3) = + + + + + + Για λόγους ευκολίας θα σταµατήσουµε στον 4 ο όρο χωρίς βλάβη της γενικότητας. Κάνοντας πράξεις στην τελευταία σχέση θα έχουµε: { ( ε ) ( ε ) }( ε ) { } ( ε ε ε ) ( ε ε ε ) ( ε ε ) ε s = a + a + + a + + a + = a + a + a + a + a + + + 4 3 4 3 3 4 3 + a + + + a + + a + O.Y.T. 3 3 3 4 4 Όµως s 4 = a + a + a 3 + a 4 οπότε έχουµε: s 4 = s4 + a ε+ ε + ε3 + a ε+ ε + ε3 + a3 ε + ε3 + a4ε4 + O.Y.T. s s = a ε + ε + ε + a ε + ε + ε + a ε + ε + a ε + O.Y.T. 4 4 3 3 3 3 4 4 s s a 3u+ a 3u+ a u+ a u 4 4 3 4 Η τελευταία σχέση δίνει ότι το άνω φράγµα για το απόλυτο λάθος του αθροίσµατος ελαχιστοποιείται όταν οι αριθµοί είναι σε φθίνουσα σειρά!! Άσκηση: Υλοποιήστε τους αλγορίθµους (*) και (**) χρησιµοποιώντας αρχικά µεταβλητές απλής ακρίβειας (real(4)) και στην συνέχεια µεταβλητές διπλής ακρίβειας (real(8)) και διαπιστώστε την συµπεριφορά τους όσον αφορά τα αποτελέσµατα που δίνουν..5. Αριθµητική ευστάθεια αλγορίθµων Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα αλγόριθµο ονοµάζουµε την πεπερασµένη σειρά καλά ορισµένων µαθηµατικών πράξεων και λογικών εκφράσεων που υλοποιούν ένα διακριτό σχήµα (ή αριθµητική µέθοδο). Λόγω όµως των σφαλµάτων στρογγύλευσης, που πάντα υφίστανται, κάποιοι αλγόριθµοι είναι τέτοιοι ώστε τα σφάλµατα αυτά να συσσωρεύονται µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το τελικό αποτέλεσµα να είναι εντελώς ανακριβές. Ένας τέτοιος αλγόριθµος ονοµάζεται αριθµητικά ασταθής αλγόριθµος. ιαφορετικά πρόκειται για έναν αριθµητικά ευσταθή αλγόριθµο. Αν ένας αλγόριθµος είναι ασταθής σε καµία περίπτωση δεν πρέπει να εµπιστευόµαστε τα αποτελέσµατά του. Ο τρόπος µε τον οποίο διαπιστώνουµε αν ένας αλγόριθµος είναι ευσταθής είναι διαταράσσοντας κατά µικρές ποσότητες τα δεδοµένα του. Αν το αποτέλεσµα αλλάξει κατά πολύ τότε έχουµε σηµαντική ένδειξη ότι ο αλγόριθµος είναι ασταθής. 8

Η ευστάθεια και η ακρίβεια (θεωρητικό σφάλµα προσέγγισης) ενός αλγορίθµου είναι τα κύρια ποιοτικά χαρακτηριστικά του. Παράδειγµα ο : Ο υπολογισµός της ποσότητας e για µεγάλα θετικά, µε χρήση της σειράς Taylor. Η συνάρτηση 3 4 ( ) ( ) e µπορεί να προσεγγιστεί µε την σειρά S ( ) = + + +... +, 6 4! lm S ( ) για την οποία γνωρίζουµε ότι = e. Έστω επίσης υπολογιστής µε = ( β =,t = 5,U =,L = ) M M και = 55.. Τότε οι πρώτοι όροι της σειράς είναι οι., -5.5, 5.5, -7.73, 38.9, -4.94, 38.446, -3.8,,.768, -.69, 6.983, -3.49, +.5997 το 55. άθροισµα των οποίων δίνει.6363. Όµως e =. 48677 και εποµένως το προηγούµενο αποτέλεσµα δεν έχει κανένα σηµαντικό ψηφίο σωστό! Το πρόβληµα δηµιουργείται διότι για όλους τους αριθµούς που είναι µεγαλύτεροι από το το αντίστοιχο απόλυτο σφάλµα προσέγγισης είναι της ίδιας τάξης (δηλαδή είναι του ίδιου µεγέθους) µε το αποτέλεσµα! Παράδειγµα ο : Ο αριθµητικός υπολογισµός του ολοκληρώµατος = =, =,,3,... για µεγάλες τιµές του. Ας δούµε πρώτα µερικά I e d = χαρακτηριστικά αυτής της σχέσης: (α) (β) (γ) e e e e d d I < < < + + e d e d I+ I > e e e d d= I e + + από όπου συµπεραίνουµε ότι lm I lm = lm I =. + = = = Εύρεση αναδροµικού τύπου: I e d e d( ) d( e ) = = = = = = = 9

= = = =. Για = έχουµε = e e d = e d= I = = = = = = = = = =, οπότε έχουµε τον τύπο: I = e d= e e d= e = = e e I = I, >, I = (*) e Έστω τώρα υπολογιστής µε = ( β =,t = 6,U =,L = ) M M. Έχουµε ότι I = =.36787944744 fl( I) =.367879. Εκτελούµε τις πράξεις και βρίσκουµε: e fl ( I ) =.644 < 3 fl ( I3 ) =.774 < 4 fl ( I4 ) =.794 < 5 fl ( I5 ) =.4548 < 6 fl ( I6 ) =.7 < 7 fl ( I7 ) =.6 < 8 fl ( I8 ) =.87 > 9?? fl I =.6848 <?? 9 Παρατηρούµε ότι ο 8 ος όρος της ακολουθίας είναι µεγαλύτερος από τον 7 ο, ενώ ο 9 ος είναι αρνητικός! Τι πήγε στραβά? Μία χοντροειδής ανάλυση σφάλµατος θα µας δείξει τι ακριβώς συνέβη. Θα υποθέσουµε ότι όλες οι πράξεις γίνονται χωρίς σφάλµα εκτός από το σφάλµα που εισέρχεται στην τιµή του όρου I. Έχουµε δηλαδή I = I, >, I = και e fl I = fl I, >, I =.367879 Αφαιρώ τις τελευταίες σχέσεις κατά µέρη και έχουµε: ( ( ) ) fl I I = fl I I, >, fl I I = 4.4 ε ε ε 7. Είτε: 7 =, >, = 4.4 µε γενική λύση ε ( )! ε ε ε ε = που δείχνει ότι όσο µικρό και αν είναι το αρχικό λάθος τελικά lm ε =. Εποµένως ο αλγόριθµος αυτός είναι ασταθής διότι τα σφάλµατα στρογγύλευσης συσσωρεύονται µέχρι που καθιστούν τα αποτελέσµατα εντελώς ανακριβή. Εναλλακτικός αλγόριθµος µε υπολογισµό από µεγάλα προς µικρά. I I = I I = οπότε ο αναδροµικός τύπος έχει ως εξής: 3

Ik = a<, k + k >> I I =, = k, k,..., I = e όπου, προς το παρόν, παραβλέπουµε ότι δεν γνωρίζουµε το α ακριβώς. Ακολουθώντας k ε k αντίστοιχη διαδικασία όπως και προηγουµένως θα έχουµε ε = ( ) που σηµαίνει k! ότι όσο µεγάλο λάθος και αν είχαµε εισάγει στον αρχικό όρο I k αυτό το σφάλµα θα εκµηδενιζόταν πολύ γρήγορα. Να σηµειωθεί ότι αφού < I k άρα το µέγιστο k + αρχικό σφάλµα στο I k δεν ξεπερνά την ποσότητα. Ο αλγόριθµος αυτός έχει την k + ιδιότητα ότι το αρχικό σφάλµα φθίνει, δηλαδή δεν συσσωρεύεται, και έτσι πρόκειται για ευσταθή αλγόριθµο. Παράδειγµα 3 ο : Ο υπολογισµός του π µέσου του αναδροµικού τύπου Π = Π = > Π 3/ +,, (δείτε την 4 η άσκηση της ης εργασίας)., ο οποίος αποτυγχάνει για µεγάλες του.6. Κατάσταση προβληµάτων Καλά τοποθετηµένα προβλήµατα ονοµάζονται τα προβλήµατα τα οποία (α) έχουν µοναδική λύση και (β) η λύση τους εξαρτάται συνεχώς από τα δεδοµένα του προβλήµατος. Αριθµητικά επιλύουµε µόνο προβλήµατα που έχουν µοναδική λύση. Όµως λόγω των σφαλµάτων προσέγγισης, κάθε µαθηµατικό πρόβληµα λύνεται σε περιβάλλον διαταραχών και εποµένως µας ενδιαφέρει κατά πόσο ο αντίστοιχος αλγόριθµος είναι ευαίσθητος σε αλλαγές των δεδοµένων του προβλήµατος. Έτσι, λέµε ότι ένα πρόβληµα βρίσκεται σε καλή κατάσταση όταν µικρές αλλαγές στα δεδοµένα του προβλήµατος προκαλούν µικρές αλλαγές στην λύση του, δηλαδή όταν το πρόβληµα δεν είναι ευαίσθητο σε διαταραχές των δεδοµένων του. Σε διαφορετική περίπτωση, όταν δηλαδή 3

µικρές αλλαγές στα δεδοµένα προκαλούν µεγάλες αλλαγές στην λύση, λέµε ότι το πρόβληµα βρίσκεται σε κακή κατάσταση. Αν ένα πρόβληµα βρίσκεται σε κακή κατάσταση τότε οποιαδήποτε αριθµητική µέθοδο και να ακολουθήσουµε, αυτή θα είναι ασταθής, λόγω της παρουσίας των σφαλµάτων προσέγγισης. Εποµένως, πρακτικά µπορούµε να επιλύσουµε µόνο καλά τοποθετηµένα προβλήµατα που βρίσκονται σε καλή κατάσταση. Φυσικά ο αντίστοιχος αλγόριθµος µπορεί να είναι ευσταθής είτε ασταθής. Παράδειγµα: Έστω η αλγεβρική εξίσωση 6 το ελαφρά διαταραγµένο πρόβληµα 6 6 δ = = µε πολλαπλότητα 6. Έστω = το οποίο αντιστοιχεί στο αρχικό πρόβληµα αν απλά αλλάξουµε τον σταθερό όρο κατά την ποσότητα αυτού του προβλήµατος είναι ( π ) 6. Οι λύσεις δ = + ep k/3, k =,,,3,4,5. Εποµένως έχουµε δ = + ep ( πk/3) = ep ( πk/3) = όπου φαίνεται ότι η αλλαγή του ενός και µόνο συντελεστή (δεδοµένο) του προβλήµατος προκάλεσε αλλαγή στο µέτρο της λύσης κατά, δηλαδή φορές µεγαλύτερη από την αντίστοιχη αλλαγή του συντελεστή! Προφανώς το πρόβληµα αυτό δεν βρίσκεται σε καλή κατάσταση. 3

Κεφάλαιο ο Επίλυση µη-γραµµικών εξισώσεων.. Εισαγωγή Το πρόβληµα µε το οποίο θα ασχοληθούµε στην συνέχεια είναι η αριθµητική επίλυση της µη-γραµµικής αλγεβρικής εξίσωσης f ( ) =, όπου θα περιοριστούµε σε πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικών µεταβλητών. ηλαδή θα µελετήσουµε το πρόβληµα της προσέγγισης πραγµατικών ριζών της συνάρτησης, τέτοιων ώστε f ( ) =. Όπως είναι γνωστό, υπάρχουν αναλυτικές λύσεις για πολυωνυµικές συναρτήσεις µέχρι και 4 ου βαθµού (τύποι Carado). Στην γενική περίπτωση όµως αναλυτικές λύσεις είτε δεν υπάρχουν είτε είναι εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν. Συνήθως µία αριθµητική µέθοδος παράγει µία ακολουθία προσεγγίσεων της λύσης,,, η οποία ακολουθία υπό κάποιες προϋποθέσεις συγκλίνει, δηλαδή lm = Συµβολισµός: Έστω I και, τότε Συχνά γράφουµε και ή αντίστοιχα = { :, συνεχης} C I f f I f = { : "" φορες συνεχως παραγωγισιµη στο } C I f C I f I C[ a, b ] αντί για C( [ a, b ]) C( a, b ) αντί για C( ( a, b )) C ( a, b ) αντί για C (( a, b )) *,.. Μέθοδος ιχοτόµησης Είναι η απλούστερη µέθοδος εύρεσης ριζών και βασίζεται στο θεώρηµα της ενδιάµεσης τιµής: 33

Έστω g C[ a, b] και ξ πραγµατικός αριθµός που ανήκει στο διάστηµα που ορίζουν τα g ( a ) και g ( β ). Τότε, υπάρχει [ ab, ], τέτοιο ώστε g = ξ. Πριν προχωρήσουµε, ορίζουµε την συνάρτηση προσήµου sg ( ) : +, αν > sg =, αν <, αν = Η ιδέα της µεθόδου της διχοτόµησης είναι η εξής: έστω f C[ a, b] ετερόσηµες τιµές στα άκρα του [ ab, ], δηλαδή sg ( f ( a) ) sg ( f ( b) ) και ότι η f έχει τότε, µε βάση το θεώρηµα της ενδιάµεσης τιµής, το σηµείο ξ = ανήκει στο διάστηµα που ορίζουν τα f ( a ) και f ( b ). Άρα υπάρχει [ ab, ] f = που τέτοιο ώστε σηµαίνει ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης f ( ) =. Πιο συγκεκριµένα, υπολογίζουµε την ποσότητα a+ b =. Τότε για το µέσον του διαστήµατος [ ab, ], υπάρχουν οι εξής δυνατότητες: a. f ( ) = ή b. f ( ) ( ) f < ειτε f ( ) > Αν ισχύει η περίπτωση (a), τότε προφανώς ρίζα της f ( ) = είναι το. ( Αν ισχύει η περίπτωση (b), τότε η ρίζα βρίσκεται στο a, ] είτε στο, b). Συγκεκριµένα: Αν sg ( f ( a) ) sg ( f ( )), τότε η ρίζα βρίσκεται στο (, ) Αν sg f ( b) sg f ( ), τότε η ρίζα βρίσκεται στο b., a, 34

Γεωµετρική ερµηνεία: f ( ) f ( b ) f ( ) a a+ b = b f ( a ) ( f ( a) ) ( f ( b) ) f a f b < sg = sg > sg =+ ( f ( a) ) sg ( f ( b) ) Στο παραπάνω παράδειγµα βλέπουµε ότι sg ( f ( a) ) sg ( f ( )) θα βρίσκεται στο διάστηµα (, ) Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία στο νέο διάστηµα ( a, ) που ψάχνουµε να βρούµε βρίσκεται στο διάστηµα ( a, ) εγκλωβισµένη σε ένα διάστηµα µικρότερο του αρχικού. Μήκος αρχικού διαστήµατος: Μήκος νέου διαστήµατος: και εποµένως η ρίζα a όπως είναι φανερό από το σχήµα. ( ) b a >. Είναι προφανές ότι η ρίζα, δηλαδή βρίσκεται a+ b b a a = > δηλαδή, ακριβώς το µισό του αρχικού διαστήµατος. Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία θεωρώντας ως άκρα του διαστήµατος εύρεσης των ριζών τα νέα άκρα όπως προσδιορίστηκαν προηγουµένως. Η διαδικασία αυτή συγκλίνει µε την έννοια ότι σε πεπερασµένο πλήθος βηµάτων υπολογίζουµε µία ρίζα της εξίσωσης f ( ) =, είτε την εγκλωβίζουµε σε ένα διάστηµα, όσο µικρό θέλουµε και όσο βέβαια είναι εφικτό αφού στον υλεκτρονικό υπολογιστή πάντα περιοριζόµαστε από την ακρίβειά του. 35

Παράδειγµα: Να βρεθεί µε την µέθοδο της διχοτόµησης µια ρίζα της 3 = + 3 3 στο [, ] f κάνοντας τουλάχιστον 4 επαναλήψεις. Λύση: Είναι: και άρα f = + 3 3= 4< f = 8+ 4 6 3= > f f < [, ] Επιπλέον, εξετάζουµε την µονοτονία της συνάρτησης f και βρίσκουµε ότι 3 3 3, [, ] f = + = + > άρα η f ( ) είναι αύξουσα στο [, ] και εποµένως η ρίζα που θα έχει θα είναι µοναδική. Υπολογίζουµε: +.5 = = f (.5) =.875 <, άρα η ρίζα [.5,.].5 +.75 = = f (.75) =.7875 >, άρα η ρίζα [.5,.75].5 +.75.65 = = f (.65) =.94336 <, άρα η ρίζα [.65,.75].65 +.75 3 = =.6875 αυτή είναι η ζητούµενη ρίζα. Επίσης, ισχύει =.5, =.5, 3 =.65 Πρόταση: Έστω f C[ a, b] µε sg ( f ( a) ) sg ( f ( b) ) και { } η ακολουθία των προσεγγίσεων που προκύπτει από την µέθοδο της διχοτόµησης. Τότε, είτε κάποιο N, είτε lm N σφάλµα ισχύει: Απόδειξη: Θέτουµε a I [ a b], =, όπου ( ab, ) a και b N ρίζα της εξίσωσης b a, =,,3, = για f =. Για το b, οπότε συµβολίζουµε µε I [ a, b ], άρα και τα διαδοχικά διαστήµατα ( =,, ) τα οποία δηµιουργεί η µέθοδος της 36

διχοτόµησης. Έστω, το µέσον κάθε διαστήµατος I, οπότε προφανώς ισχύει I+ I. Επειδή σε κάθε περίπτωση που δεν ισχύει N Έχουµε I υπάρχει ρίζα της εξίσωσης f ( ) =, τα διαστήµατα αυτά (σε = ) είναι άπειρα στο πλήθος. b a b a b a b a = = = = για k = η παραπάνω ισότητα δίνει: b a b a b a = = (*) επιπλέον για την αντίστοιχη προσέγγιση της ρίζας ισχύει b k a b a = k a + b = Εποµένως στην επανάληψη της µεθόδου έχουµε ότι η απόσταση του k από το θα είναι κατά απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του µισού µήκους του τρέχοντος διαστήµατος: (*) b a b a =, =,,,... H παραπάνω σχέση µας λέει ότι το τελικό σφάλµα της ρίζας είναι άνω φραγµένο από την ποσότητα b a, η οποία τείνει στο µηδέν καθώς. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για να υπολογιστεί εκ των προτέρων ο αριθµός των απαιτούµενων επαναλήψεων της µεθόδου για την εύρεση της ρίζας µε συγκεκριµένη ακρίβεια. Πράγµατι, αν θέλουµε να υπολογίσουµε την ρίζα µίας εξίσωσης µε ακρίβεια µικρότερη ή ίση µε ε αυτό σηµαίνει ότι: b a b a ε ε b a ε l( b a) lε + l b a l b a ε l ( b a) l ε l l l ε l Εποµένως αν πάρουµε τον κοντινότερο ακέραιο στην ποσότητα επιτύχουµε την επιθυµητή ακρίβεια. l (( b a) ε ) l θα Αλγόριθµος: 37

ίνουµε δεδοµένα b, a και πλάτος τελικού διαστήµατος ε.. Υπολογίζουµε το. b a l ε = t l Υπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος και τα f ( a ) και f ( b ) b a = a+ και το f ( ).. Έλεγχος: εάν f ( ) = τότε έξοδος. ιαφορετικά, (εάν f : Aν sg ( f ) = sg ( f ( a) ), τότε v. αλλιώς a b Επαναλαµβάνουµε τα βήµατα () και () φορές v. Τυπώνουµε a, b, b a,, f ( ) Στο πρώτο βήµα του αλγορίθµου η συνάρτηση t() δίνει τον κοντινότερο ακέραιο στην ποσότητα χ. Π.χ. t(7.3)=7 και t(.5)=. Σχόλια: Η µέθοδος της διχοτόµησης, µε την προϋπόθεση ότι ( f ( a) ) f ( b) συγκλίνει εφόσον η f ( ) είναι συνεχής στο [, ] ab, αλλά συγκλίνει αργά. sg sg, Η µεγαλύτερη ακρίβεια που µπορούµε να επιτύχουµε στον υπολογιστή (δηλαδή το ελάχιστο ε ) είναι φυσικά ίση µε την απόσταση δύο αριθµών κινητής υποδιαστολής στο διάστηµα που ψάχνουµε να βρούµε την ρίζα. Παράδειγµα:: Έστω η συνάρτηση 3 εξίσωσης f ( ) = στο διάστηµα (,3). Παρατηρούµε ότι: f f f = 5 και ότι ζητάµε την ρίζα της = 8 4 5= < sg sg 3,3 3 = 7 6 5= 6> ( f ) ( f ) Επιπλέον, ισχύει: 3, (,3) 6 f = > f = > η f ( ) είναι αύξουσα στο (,3 ) 38

συνεπώς, η ρίζα (,3) είναι η µοναδική ρίζα στο διάστηµα αυτό. Έστω, ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την ρίζα µε ακρίβεια 5, δηλαδή 5. Εφαρµόζοντας την σχέση (**) για τις ελάχιστες απαιτούµενες επαναλήψεις παίρνουµε b a l ε 7 l.3. Επαναληπτικές µέθοδοι Λόγω του γεγονότος ότι η µέθοδος της διχοτόµησης συγκλίνει πολύ αργά έχουν αναπτυχθεί άλλες µέθοδοι, οι οποίες ονοµάζονται επαναληπτικές, για τις οποίες όµως δεν γνωρίζουµε εκ των προτέρων πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για να συγκλίνουν µε την εκάστοτε επιθυµητή ακρίβεια. Αρχικά, δίνουµε ορισµένους ορισµούς. Ορισµός σταθερού σηµείου: Έστω ϕ µία συνάρτηση και ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της. Αν ισχύει ( ) = ϕ, τότε το λέγεται σταθερό σηµείο της ϕ. Στις επαναληπτικές µεθόδους έχουµε µια εξίσωση f ( ) = την οποία γράφουµε σε µία ισοδύναµη µορφή της ϕ =. Ξεκινάµε από µία αρχική τιµή της λύσης, και παράγουµε µία ακολουθία προσεγγίσεων της λύσης σύµφωνα µε την σχέση = ϕ ( ), ή ϕ Αν η { } συγκλίνει σε ένα σηµείο και η τότε το είναι σταθερό σηµείο της Πράγµατι: = +, ϕ, δηλαδή ϕ ( ) ϕ είναι συνεχής στο σηµείο αυτό, =. συνεχεια ( ) ( ) = lm = lmϕ = ϕ lm = ϕ Άρα = ϕ ( ) και εφόσον ικανοποιείται η σχέση αυτή, άρα f ( ) = είναι ισοδύναµη µε την ϕ = ). f = (εφόσον η Πρόταση: Κάθε συνεχής συνάρτηση ϕ :[ ab, ] [ ab, ] έχει στο διάστηµα [ ab, ] τουλάχιστον ένα σταθερό σηµείο. 39

Απόδειξη: Λόγω υπόθεσης ([ ab, ]) [ ab, ] ϕ ισχύει ότι: { ϕ ( a) = a} ή { ϕ ( b) = b} ή { ϕ( a) > a και ϕ( b) < b} Αν ισχύει µια από τις πρώτες προτάσεις, τότε ήδη υπάρχει ένα σταθερό σηµείο στο [ ab, ]. Έστω ότι ισχύει η 3 η πρόταση. Ορίζουµε την συνάρτηση :[, ] = ϕ, η οποία φυσικά είναι συνεχής στο [, ] g g a b µε ab ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Έχουµε: = ϕ < g a a a = ϕ > g b b b Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής και διάστηµα που ορίζουν τα g ( a ) και Επιλέγουµε ξ που ανήκει στο g b, υπάρχει, τέτοιο ώστε g( ) ξ =, οπότε g ( ) ϕ( ) ϕ( ) = = =. = ξ. Γεωµετρική ερµηνεία y y = b ϕ ( b) ϕ ( a) y = ϕ a a b Παρατηρούµε ότι οι συναρτήσεις y = ϕ και y σηµείο, το οποίο ονοµάζεται σταθερό σηµείο της ϕ. = έχουν τουλάχιστον ένα κοινό Παρατήρηση: Η συνθήκη του θεωρήµατος είναι ικανή, αλλά όχι αναγκαία συνθήκη. 4

Παράδειγµα: Έστω ϕ :[, + ] [,] µε ϕ =. Η ϕ είναι συνεχής στο [, + ]. Επιπλέον, ισχύει ϕ = και ϕ = όπου, σηµεία της ϕ, αλλά όµως δεν ισχύει ([, ] ) [, ] ϕ + +. [, + ] είναι σταθερά Ορισµός συνθήκης Lpschtz Έστω, I και υπάρχει ϕ : I, θα λέµε ότι η ϕ ικανοποιεί την συνθήκη Lpschtz αν L, τέτοια ώστε ϕ ϕ y L y, y I ( η ϕ είναι οµοιόµορφα συνεχής στο I ). H µικρότερη σταθερά για την οποία ισχύει η προηγούµενη ανισότητα ονοµάζεται σταθερά Lpschtz. Όταν L < η ϕ είναι συστολή στο I. Παράδειγµα: Έστω [ aa] ϕ ϕ :,, a> µε ϕ =. Έχουµε ϕ( y) y ( y)( y) ( y) ( y) ϕ Άρα, ισχύει ϕ ϕ = = + = + ϕ( y) ( y) ( y) ( y) ( y ) = + + ϕ ϕ y ma + y y = a y y, I y L y µε L= a<, y I. Αρα η ϕ είναι Lpschtz. Αν επιπλέον ισχύει a< a< τότε είναι συστολή. Σχόλιο: η συνθήκη Lpschtz είναι µια συνθήκη οµαλότητας για συναρτήσεις, η οποία είναι πιο ισχυρή από την απλή συνέχεια και εποµένως αν µία συνάρτηση ικανοποιεί την συνθήκη Lpschtz είναι και συνεχής αλλά όχι το αντίθετο. ιαισθητικά σηµαίνει ότι η συνάρτηση είναι περιορισµένη στο πόσο γρήγορα αλλάζει. Έτσι, µια γραµµή που συνδέει σηµεία της συνάρτησης ποτέ δεν θα έχει µεγαλύτερη κλίση από ένα συγκεκριµένο αριθµό που λέγεται σταθερά Lpschtz. Παρατήρηση η : Κάθε συνάρτηση C [ a, b] ϕ ικανοποιεί την συνθήκη του Lpschtz µε L= ma ϕ. Πράγµατι, από το θεώρηµα µέσης τιµής έχουµε ότι, y [ a, b] I υπάρχει ξ ( ab, ) τέτοιο ώστε ma ξ I, ϕ ϕ y = ϕ ξ y ϕ ϕ y = ϕ ξ y ϕ ξ y = 4

ma ϕ y ϕ ϕ y L y I όπου παραπάνω έχει χρησιµοποιηθεί το γεγονός ότι εφόσον η ϕ είναι συνεχής στο [ ab, ], άρα έχει µέγιστο στο διάστηµα αυτό. Έτσι, στο προηγούµενο παράδειγµα εναλλακτικά θα µπορούσαµε να υπολογίζουµε την παράγωγο της συνάρτησης και να βρούµε αν έχει µέγιστο, κατά απόλυτη τιµή, στο διάστηµα που µας ενδιαφέρει. ηλαδή: [ a, b] οπότε και καταλήγουµε στο ίδιο συµπέρασµα όπως και προηγουµένως. ϕ = ma ϕ = a< Παρατήρηση η : Αν ϕ C ( a, b) Lpschtz. Παράδειγµα: Έστω ϕ :(,) µε ϕ = και ϕ = στο Ποιο είναι το lm + + y + y, τότε δεν ικανοποιεί κατ ανάγκη την συνθήκη του,. y ϕ ϕ( y) = y = + y ϕ ϕ( y) = y ma y y, I + y + y ma + y, I y =? Παρατηρούµε ότι ma + y, I y =, αφού και εποµένως δεν υπάρχει µέγιστο. Άρα η ϕ δεν ικανοποιεί τη συνθήκη Lpschtz. Συνεπώς, υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις που δεν ικανοποιούν τη συνθήκη Lpschtz. Παράδειγµα ο : Αν ϕ : µε ϕ =, τότε ma ϕ = η ϕ δεν είναι Lpschtz. Παράδειγµα ο : Έστω ϕ = ή ϕ, αν > =, αν µε ϕ, αν > =, αν < 4

όµως ϕ ϕ = ma = άρα η ϕ είναι Lpschtz. H ϕ δεν είναι παραγωγίσιµη στο = αλλά είναι Lpschtz. Εναλλακτικά: ϕ ϕ y = y y, άρα Lpschtz µε L =.4. Θεώρηµα σταθερού σηµείου Baach ή θεώρηµα συστολής Έστω :[ ab, ] [ ab, ] ϕ µια συστολή µε σταθερά L ( µοναδικό σηµείο, δηλαδή [, ]: ϕ είναι a) καλά ορισµένη (, [ a, b] < ), τότε η ϕ έχει στο [, ] ab =. Για κάθε [ ab] ), b) συγκλίνει στο, ( lm = ) και c) σε ότι αφορά τα σφάλµατα ισχύουν τα εξής *. L L ma ( a, b ) L. L L. L Απόδειξη: Ύπαρξη λύσης [ ab, ] ισχύει a ϕ b τετριµµένες περιπτώσεις ϕ ( a) = a ή ( b) Για a Για b ϕ = b = έχουµε ϕ( a) a a ϕ( a) = έχουµε ϕ b b b ϕ b, ab ένα η = ϕ ( ) Εφόσον η ϕ είναι Lpschtz η ϕ είναι συνεχής στο [ ab, ]. Εποµένως και η συνάρτηση 43

g = ϕ είναι συνεχής στο [ ab, ]. Επιπλέον, ισχύει ϕ ϕ g a = a a ab g = = g b = b b Μοναδικότητα λύσης Έστω και y µε y σταθερά σηµεία της ϕ, τότε ϕ [, ]:: ϕ ( ) ϕ( y ) y L y L = άτοπο διότι η ϕ είναι συστολή µε σταθερά L < = y µοναδικό Καλά ορισµένη ακολουθία Πράγµατι, εφόσον [ ab], τότε ϕ ( ) [ a, b] [ a, b] [ ], =. Όµοια = ϕ a, b Το ίδιο ισχύει και για τα 3, 4,, και επαγωγικά έχουµε ότι [, ],. Άρα η { } a b είναι καλά ορισµένη ακολουθία. Σύγκλιση Από Lpschtz έχουµε: = ϕ ϕ L = Lϕ ϕ L = L άρα εποµένως, Συνεπώς, ισχύει L lm lm L = lm = lm = L L ma a, b * a a b b L Εκτίµηση του (c.), δηλαδή του L. Έχουµε 44

Επίσης, έχουµε k ϕ = ϕ L ϕ = ϕ L = L 3 + L = + + + + k + k + k + k + k + + + + L + L + + L = + k + k + k + k + k + k + Όµως, ισχύει η ταυτότητα στην οποία αντικαθιστώντας µε α =, άρα Τέλος, αν θέσουµε y ( ) = L L + L + + k k ( ) α β = α β α + α β + + αβ + β ν ν ν ν ν ν β = L και ν = k λαµβάνουµε την σχέση ( ) k k k L = L + L+ + L + L k L + k L lm + k L L k L L L = και y = ϕ y = ϕ = θα έχουµε L L y y y L L Να τονισθεί ότι αν στο θεώρηµα συστολής η συνθήκη Lpschtz ισχύει µε L =, τότε η ακολουθία { } µε [ ab] δεν συγκλίνει αναγκαστικά. Παράδειγµα η, ϕ :[, + ] [, + ] µε [ + ] και ϕ,,, +,,, η οποία δεν συγκλίνει ποτέ στην ρίζα =. =, τότε παίρνουµε την ακολουθία Σχόλια για τις εκτιµήσεις σφάλµατος: 45

. Η εκτίµηση L δεν είναι πρακτικά χρήσιµη, γιατί το δεξί µέλος ( ) περιέχει το άγνωστο σηµείο. L. Η εκτίµηση L L L Πράγµατι, Άρα,. ϕ είναι καλύτερη της εκτίµησης = ϕ L ϕ L = Lϕ L 3 3 L. Η εκτίµηση L L L L L L (*) είναι εκτίµηση εκ των υστέρων, ενώ η L (**) είναι εκτίµηση εκ των προτέρων. Εκτίµηση εκ των L υστέρων σηµαίνει ότι για να υπολογίσουµε το άνω φράγµα του σφάλµατος, δηλαδή το δεξί µέλος της ανισότητας (*), πρέπει να έχουµε υπολογίσει την ποσότητα που µας ενδιαφέρει (δηλαδή το ). Αντίθετα το δεξί µέλος της (**) µπορεί να υπολογιστεί από την αρχή για οποιαδήποτε τιµή του (µε δεδοµένα φυσικά τα L, και αφού υπολογίσουµε το ). Ακολοθούν ποιοτική περιγραφή µίας συγκλίνουσας και µίας αποκλίνουσας ακολουθίας. Τα βέλη δείιχνουν την πορεία των υπολογισµών. 46