Σηµειακή σύγκλιση σειρών Fourier: το ϑεώρηµα του Carleson

Σηµειακή σύγκλιση σειρών Fourier: το ϑεώρηµα του Carleson ιπλωµατική Εργασία Νικόλαος Σκαρµόγιαννης Επιβλέπων : Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206

Περιεχόµενα Εισαγωγή. Η εικασία του Luzin...............................2 Το ϑεώρηµα του Carleson........................... 2 2 Το ϑεώρηµα Carleson-Hunt 5 2. Θεωρήµατα παρεµβολής............................ 6 2.2 Ο µεγιστικός τελεστής των Hardy-Littlewood................. 2 2.3 Θεώρηµα Stein-Weiss............................. 28 2.4 Θεώρηµα Carleson-Hunt........................... 32 3 Μετασχηµατισµός Hilbert 35 3. Οι τελεστές P y και Q y............................. 35 3.2 Υπαρξη του µετασχηµατισµού Hilbert..................... 46 3.3 Εκθετικές εκτιµήσεις για τον µετασχηµατισµό Hilbert............ 54 4 Τροποποιηµένος µετασχηµατισµός Hilbert 59 4. Τροποποιηµένος µετασχηµατισµός Hilbert.................. 60 4.2 Γενικευµένοι συντελεστές Fourier....................... 65 4.3 Οι συναρτήσεις Sn(x; f; ω ) και ο τελεστής M................ 78 5 Απόδειξη του ϑεωρήµατος Carleson-Hunt 87 5. Εισαγωγή.................................... 87 5.2 Κατασκευή των συνόλων S και VL...................... 88 5.3 Τα σύνολα G k, Y, Xk και X......................... 93 5.4 Εκτιµήσεις για την P k (x; ω) και το σύνολο δεικτών G k............ 98 5.5 Η διάσπαση Ω(p, r) του ω.......................... 05 5.6 Τα σύνολα T, U και E N........................... 0 5.7 Εκτιµήσεις για τα στοιχεία p / G rl...................... 9 iii

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5.8 Η τελική εκτίµηση για την S n(x; χ F ; ω )................... 26 5.9 Απόδειξη του ϑεωρήµατος........................... 33

Κεφάλαιο Εισαγωγή. Η εικασία του Luzin Εστω f : R C µια 2π-περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιµη στο [ π, π]. Η σειρά Fourier της f είναι η σειρά (..) k= c k e ikx, όπου οι συντελεστές Fourier c k ορίζονται από τις (..2) c k = π f(x)e ikx dx. 2π π Γράφουµε συνήθως f(k) := c k, k Z. Οι σειρές αυτές είχαν µελετηθεί στον 8ο αιώνα από τους D. Bernoulli, Euler, Lagrange και άλλους. Γνώριζαν ότι αν µια συνάρτηση αναπτύσσεται όπως στην (..) τότε οι συντελεστές υπολογίζονται από την (..2). Ο Bernoulli, µελετώντας την κίνηση µιας χορδής που είναι στερεωµένη στα άκρα της, έδωσε τη σχέση y(x, t) = k= c k sin πkx l cos(ρkt) για τη ϑέση της, όπου l είναι το µήκος της χορδής και ο συντελεστής ρ εξαρτάται από τις ϕυσικές της ιδιότητες. Το 753, ο Euler παρατήρησε ότι η σχέση αυτή έχει µια παράδοξη συνέπεια : η αρχική ϑέση της χορδής ϑα έπρεπε να δίνεται από την f(x) = k= c k sin πkx l.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εκείνη την εποχή, οι καµπύλες ονοµάζονταν συνεχείς αν ορίζονταν από τύπο, και γεω- µετρικές αν µπορούσε κανείς να τις σχεδιάσει µε το χέρι. Ο Bernoulli πίστευε ότι κάθε συνάρτηση µπορούσε να αναπαρασταθεί µε αυτόν τον τρόπο, και ο Fourier επιβεβαίωσε στο ϐιβλίο του Théorie analytique de la Chaleur (822) ότι κάτι τέτοιο µπορεί να γίνει σε πολύ γενικό πλαίσιο. Γενικά, το ϑέµα αυτό συνδέεται στενά µε τον ορισµό της έννοιας της συνάρτησης. Πυρήνας Dirichlet και κριτήρια Dini-Jordan Ο Dirichlet µελέτησε (το 829) τη σύγκλιση της σειράς (..). Απέδειξε ότι η σειρά συγκλίνει στο f(x + 0) + f(x 0) 2 για κάθε τµηµατικά συνεχή και µονότονη συνάρτηση. Για να µελετήσουµε τη σηµειακή σύγκλιση ϑεωρούµε τα µερικά αθροίσµατα τα οποία γράφονται στη µορφή s n (x; f) = (..3) s n (x; f) = 2π π n k= n π f(k)e ikx, f(t)d n (x t) dt, όπου D n είναι ο πυρήνας του Dirichlet, ο οποίος ορίζεται από την n D n (t) = e ikt = sin ( n + ) 2 t sin t. k= n 2 Για σταθερό x, η f s n (x; f) είναι ένα ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές, ορισµένο στον L [ π, π]. Ο πυρήνας του Dirichlet είναι 2π-περιοδική συνάρτηση, και το ολοκλή- ϱωµά του είναι ίσο µε, όµως δηλαδή η { D n } n δεν είναι ϕραγµένη. D n log n Με τη ϐοήθεια της ολοκληρωτικής αναπαράστασης (..3) και του λήµµατος Riemann- Lebesgue, µπορούµε να δείξουµε τις παρακάτω ϐασικές συνθήκες που εξασφαλίζουν τη σηµειακή σύγκλιση της σειράς Fourier της f στην f. Θεώρηµα.. (κριτήριο Dini). Αν f L [ π, π] και π τότε s n (x; f) f(x) όταν n. 0 f(x + t) + f(x t) 2f(x) dt t <,

.. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ LUZIN 3 Θεώρηµα..2 (κριτήριο Jordan). Αν η f L [ π, π] έχει ϕραγµένη κύµανση σε κάποιο ανοικτό διάστηµα που περιέχει το x, τότε s n (x; f) f(x+0)+f(x 0) 2 όταν n. Σηµειώνουµε ότι οι δύο αυτές συνθήκες (Dini και Jordan) εξαρτώνται µόνο από τις τιµές της f σε µια αυθαίρετα µικρή περιοχή του x. Αυτό είναι ένα γενικό ϕαινόµενο και είναι γνωστό ως αρχή τοπικότητας του Riemann: η σύγκλιση της σειράς Fourier στο f(x) εξαρτάται µόνο από τις τιµές της f σε µια περιοχή του x. Αξίζει επίσης τον κόπο να σηµειώσουµε ότι τα δύο κριτήρια είναι ανεξάρτητα. Η f(x) = / log(x/2π) ικανοποιεί την συνθήκη του Jordan αλλά όχι αυτήν του Dini, ενώ η g(x) = x α sin(/x) στο (0, π), όπου 0 < α <, ικανοποιεί τη συνθήκη του Dini αλλά όχι αυτήν του Jordan. Σειρές Fourier συνεχών συναρτήσεων Οι συνθήκες Dini και Jordan εξασφαλίζουν ότι η σειρά Fourier µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f συγκλίνει σηµειακά στην f. Αυτό δεν είναι σωστό για τις συνεχείς συναρτήσεις. Ο Du Bois Reymond κατασκεύασε µια συνεχή συνάρτηση που η σειρά Fourier της αποκλίνει σε ένα σηµείο. Το ίδιο αποτέλεσµα µπορούµε να δείξουµε χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα Banach- Steinhaus. Θεωρούµε τον T n (f) = s n (0; f) σαν γραµµικό συναρτησοειδές στο χώρο C(T) των συνεχών συναρτήσεων στο [ π, π] που παίρνουν την ίδια τιµή στα άκρα π και π. Από το ϑεώρηµα Banach-Steinhaus έχουµε sup n T n < αν και µόνο αν για κάθε f C(T) ισχύει sup n T n (f) <. Οµως, µπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι T n = D n = 4 log n + O(), π2 και αυτό αποδεικνύει ότι υπάρχει f C(T) τέτοια ώστε lim sup s n (0; f) =. n Από το άνω ϕράγµα για την D n προκύπτει άµεσα το εξής. Πρόταση..3. Αν f L [ π, π] τότε, για κάθε x, ( 4 ) s n (x; f) π 2 log n + C f. Ο Hardy απέδειξε το εξής ισχυρότερο αποτέλεσµα. Θεώρηµα..4 (Hardy). Αν f L [ π, π] τότε, για κάθε σηµείο Lebesgue της f έχουµε lim n s n (x; f) log n = 0.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Επιπλέον, αν η f είναι συνεχής σε κάποιο ανοικτό διάστηµα I, η σύγκλιση αυτή είναι οµοιό- µορφη σε κάθε κλειστό J I. Ενα γενικό ϑεώρηµα των Menshov και Rademacher για ορθοκανονικά συστήµατα δίνει µια ικανή συνθήκη για την σύγκλιση σχεδόν παντού της σειράς Fourier µιας συνάρτησης f στην f. Θεώρηµα..5 (Menshov-Rademacher). Εστω (γ n ) µια αύξουσα ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε την εξής ιδιότητα : για κάθε f L 2 [ π, π], s n (x; f) lim = 0 n γ n+ σχεδόν για κάθε x. έχουµε Τότε, αν η f L [ π, π] ικανοποιεί την k= f(k)γ k 2 <, s n (x; f) f(x) σχεδόν παντού. Από το προηγούµενο ϑεώρηµα του Hardy η υπόθεση του Θεωρήµατος..5 ικανοποιείται µε γ n = log n. Η υπόθεση ότι lim n s n (x; f)/γ n+ 0 στο Θεώρηµα..5 µπορεί να αντικατασταθεί από την sup n s n (x; f) γ n+ < σχεδόν παντού. Αυτό προκύπτει από ένα γενικό επιχείρηµα του Banach, και ανάγει το πρόβληµα της (σχεδόν παντού) σηµειακής σύγκλισης µιας σειράς Fourier στο να δοθούν κατά σηµείο άνω ϕράγµατα για το µεγιστικό τελεστή sup s n (x; f). n Αθροισιµότητα Παρόλο που ο Du Bois Reymond είχε κατασκευάσει µια συνεχή συνάρτηση που η σειρά Fourier της αποκλίνει σε κάποιο σηµείο, ο Féjer απέδειξε ότι µπορούµε να «ϐρούµε» µια συνεχή συνάρτηση από τη σειρά Fourier της. µερικών αθροισµάτων σ n (x; f) = n + Ο Féjer ϑεώρησε τους µέσους όρους των n s k (x; f). Εδειξε µια ολοκληρωτική αναπαράσταση γι αυτούς τους µέσους όρους: σ n (x; f) = π f(t)f n (x t) dt, 2π π k=0

.. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ LUZIN 5 όπου F n είναι ο πυρήνας του Féjer F n (t) = n + n D k (t) = k=0 n k= n ( k ) e ikt. n + Η σηµαντική ιδιότητα του πυρήνα F n είναι ότι µπορεί να γραφτεί στη µορφή (..4) F n (t) = n + ( ) sin (n+)t 2 2 sin t, 2 δηλαδή είναι µια ϑετική συνάρτηση µε F n =, και για κάθε δ > 0 έχουµε lim n F n (t) = 0 οµοιόµορφα ως προς δ < t π. Γενικότερα, λέµε ότι µια ακολουθία (k n ) περιοδικών συναρτήσεων είναι πυρήνας αθροισιµότητας αν : (i) Για κάθε n ισχύει π 2π π k n(t) dt =. (ii) Υπάρχει C > 0 τέτοιος ώστε k n C για κάθε n. (iii) Για κάθε δ > 0 ισχύει lim n k n (t) dt = 0. 2π δ< t π Το ϑεώρηµα του Féjer µπορεί να διατυπωθεί για κάθε πυρήνα αθροισιµότητας. Θεώρηµα..6 (Féjer). Εστω (k n ) ένας πυρήνας αθροισιµότητας. Αν f : R C είναι µια συνεχής 2π-περιοδική συνάρτηση, τότε (k n f)(x) f(x) οµοιόµορφα. Επιπλέον, για κάθε p < και για κάθε f L p [ π, π] έχουµε lim k n f f p = 0. n Ενα άλλο σηµαντικό παράδειγµα πυρήνα αθροισιµότητας µας δίνει ο πυρήνας του Poisson. Ο πυρήνας αυτός εµφανίζεται όταν ϑεωρούµε τη σειρά Fourier της f ως τις συνοριακές τιµές µιας µιγαδικής συνάρτησης που ορίζεται στον ανοικτό µοναδιαίο δίσκο. Για κάθε f L [ π, π] η σειρά f(k)z k + k=0 f( k)z k k= συγκλίνει στον ανοικτό µοναδιαίο δίσκο και ορίζει µια µιγαδική αρµονική συνάρτηση u(z). Τότε, u(re iθ ) = k= f(k)r k e ikθ = π f(t)p r (θ t) dt, 2π π

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ όπου P r (θ) είναι ο πυρήνας του Poisson που δίνεται από την (..5) P r (θ) = k= r k e ikθ = r 2 2r cos θ + r 2. Εύκολα ελέγχουµε ότι η οικογένεια (P r (θ)) είναι πυρήνας αθροισιµότητας (εδώ η µετα- ϐλητή r παίζει το ϱόλο του n, και αντί για n παίρνουµε r ). Εχουµε έτσι την επόµενη πρόταση. Πρόταση..7. Αν f L p [ π, π], p <, ή f C(T), οπότε την ϑεωρούµε σαν συνάρτηση στον L [ π, π], έχουµε lim P r f f p = 0. r Στη συνέχεια ϑεωρούµε f L [ π, π] και εξετάζουµε αν (F n f)(x) f(x) ή (P r f)(x) f(x) σχεδόν παντού. Από την Πρόταση..7 έπεται ότι αυτό ισχύει για κάποια υπακολουθία F kn f ή P rn f. δίσκο. Η συνάρτηση u(re iθ ) = (P r f)(θ) είναι αρµονική συνάρτηση στον ανοικτό µοναδιαίο Αυτό που ϑα ϑέλαµε είναι κάποιο ϑεώρηµα το οποίο να εξασφαλίζει ακτινική σύγκλιση µιας αρµονικής συνάρτησης στην lim r u(re iθ ). Το πρώτο ϑεώρηµα αυτού του τύπου αποδείχτηκε από τον Fatou το 905: µια ϕραγµένη και αναλυτική συνάρτηση στον ανοικτό µοναδιαίο δίσκο έχει ακτινικά όρια σχεδόν σε κάθε σηµείο του συνόρου. Το ίδιο ισχύει για την περίπτωση των σ n (x; f): Θεώρηµα..8. Εστω f L [ π, π]. Σχεδόν για κάθε x [ π, π] έχουµε lim r (P r f)(x) = f(x) και lim σ n(x; f) = f(x). n Η συζυγής συνάρτηση εδοµένου ότι η {e ikt } n Z είναι πλήρες ορθοκανονικό σύστηµα του L 2 [ π, π], έχουµε την ταυτότητα Parseval Επεται ότι k= f(k) 2 = π f(x) 2 dx. 2π π lim f s n(f) 2 = 0. n Αποδεικνύεται ότι το ίδιο ισχύει για κάθε < p <. Θεώρηµα..9. Εστω < p <. Για κάθε f L p [ π, π] ισχύει lim f s n(f) p = 0. n

.. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ LUZIN 7 Στην περίπτωση p = αυτό δεν ισχύει. Για να αποδείξουµε το Θεώρηµα..9 αρκεί να αποδείξουµε ότι οι νόρµες των τελεστών s n : L p [ π, π] L p [ π, π] είναι οµοιόµορφα ϕραγµένες. Γιατί, αν sup n s n p p C, για κάθε f και ε > 0 µπορούµε να ϐρούµε πολυώνυµο p ε τέτοιο ώστε f p ε p < ε και, για n µεγαλύτερο από τον ϐαθµό του p ε έχουµε f s n (f) p f p ε p + s n (p ε ) s n (f) p ε + Cε. Το γεγονός ότι sup n s n p p < αποδείχτηκε από τον M. Riesz το 928. Θεώρησε τον τελεστή που ορίζεται στο χώρο των τριγωνοµετρικών πολυωνύµων από την ( R c k e ikt) = c k e ikt. k k 0 Ο τελεστής R είναι ορθογώνια προβολή στον L 2 [ π, π]. Η αξιοσηµείωτη ιδιότητα του R είναι ότι µπορούµε να γράψουµε s n (f) = e int R(e int f) e i(n+)t R(e i(n+)t f). Αν λοιπόν καταφέρουµε να δείξουµε ότι ο R επεκτείνεται σε ϕραγµένο τελεστή στον L p [ π, π], τότε έπεται ότι οι νόρµες των s n είναι οµοιόµορφα ϕραγµένες, όπως ϑέλαµε. Ο τελεστής R συνδέεται στενά µε τη συζυγή αρµονική συνάρτηση. Θεωρούµε µια δυναµοσειρά (a k + ib k )z k. k>0 Το πραγµατικό και το ϕανταστικό της µέρος, για z = e it, είναι οι u(t) = (a k cos kt b k sin kt) και v(t) = k sin kt + b k cos kt). k>0 k>0(a Λέµε ότι η v = ũ είναι η συζυγής σειρά της u. Ο τελεστής H που απεικονίζει την u στην ũ = v πρέπει να ικανοποιεί τις H(cos kt) = sin kt και H(sin kt) = cos kt, ή ισοδύναµα, H(e ikt ) = ( i) sign(k)e ikt. Οι δύο τελεστές συνδέονται µέσω της R(f(θ)) + e iθ R(e iθ f(θ)) = f(θ) + ih(f(θ)). Συνεπώς, ο H επεκτείνεται σε ϕραγµένο τελεστή στον L 2 [ π, π].

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μπορούµε να δώσουµε µια ολοκληρωτική αναπαράσταση για τον H. L [ π, π], µε σειρά Fourier την Θα λέµε ότι η είναι η συζυγής σειρά της. k= k= συζυγής σειρά είναι η σειρά Fourier της H(f). f(k)e ikx. ikx ( i) sign(k) f(k)e Εστω f Αν f L 2 [ π, π] τότε από τα παραπάνω είναι σαφές ότι η Μπορούµε να εκφράσουµε τα µερικά αθροίσµατα της συζυγούς σειράς σαν συνέλιξη n s n (x; f) = ( i)sign(k) f(k)e ikx = π f(t) 2π D n (x t) dt, k= n π όπου D n είναι ο συζυγής πυρήνας Dirichlet n D n (t) = 2 sin kt = cos t 2 cos ( n + ) 2 t sin t. 2 k= Μπορούµε επίσης να αποδείξουµε ένα κριτήριο σύγκλισης, όµοιο µε το κριτήριο Dini. Θεώρηµα..0 (Pringsheim). Εστω f L [ π, π] µια 2π-περιοδική συνάρτηση και έστω x [ π, π] τέτοιο ώστε π 0 Τότε, η συζυγής σειρά συγκλίνει στο σηµείο x. Εχουµε επίσης f(x + t) f(x t) dt t <. lim s n(x; f) = π f(x t) f(x + t) n 2π 0 tan t dt. 2 Με τις υποθέσεις του Θεωρήµατος..0 αποδεικνύεται ότι υπάρχει η πρωτεύουσα τιµή, και lim s n(x; f) = π n 2π (pv) f(x t) π tan t dt. 2 Για µια παραγωγίσιµη συνάρτηση ϐλέπουµε έτσι ότι Hf(x) = 2π (pv) π π f(x t) tan t 2 Ο Luzin απέδειξε το 98 ότι, αν f L 2 [ π, π] τότε η πρωτεύουσα τιµή υπάρχει και είναι ίση µε Hf(x) σχεδόν παντού. Αργότερα, το 99, ο Privalov απέδειξε ότι αν f L [ π, π] τότε η πρωτεύουσα τιµή υπάρχει σχεδόν παντού. dt.

.. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ LUZIN 9 Μετασχηµατισµός Hilbert στο R Είναι ευκολότερο να µελετήσουµε το µετασχηµατισµό Hilbert στο R παρά στο µοναδιαίο κύκλο T. Ολα όσα έχουµε πει για τις σειρές Fourier έχουν το ανάλογο τους στο R. Αν f L (R) τότε ο µετασχηµατισµός Fourier της f ορίζεται ως εξής: f(ξ) = f(x)e 2πixξ dx. Αυτό αντιστοιχεί στους συντελεστές Fourier f(k). Τα µερικά αθροίσµατα της σειράς Fourier έχουν ως ανάλογο την όπου S a (x; f) = a a f(ξ)e 2πixξ dξ = D a (t) = sin(2πat). πt Οι µέσοι Féjer έχουν ως ανάλογο το σ a (x; f) = a S t (x; f) dt = a 0 f(t)d a (x t)dt, f(x ξ)f a (ξ) dξ, όπου ( ) sin(πξa) 2. F a (ξ) = a Το ϱόλο του µοναδιαίου δίσκου παίζει το ηµιεπίπεδο {(x, y) : y > 0} στο R 2. Για κάθε f L (R) ορίζουµε, σε αυτό το ηµιεπίπεδο, την αναλυτική συνάρτηση F (z) = πi πξ f(t) t z dt. Αν η f είναι πραγµατική συνάρτηση τότε το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος της F είναι οι και u(x, y) = π v(x, y) = π y (x t) 2 f(t) dt + y2 x t (x t) 2 f(t) dt. + y2 Για µια γενική f, οι συναρτήσεις u και v που ορίζονται από αυτά τα ολοκληρώµατα είναι αρµονικές συζυγείς συναρτήσεις. Ο µετασχηµατισµός Hilbert ορίζεται από την Hf(x) = π (pv) f(t) x t dt.

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µελέτη αυτού του µετασχηµατισµού είναι ισοδύναµη µε αυτήν του µετασχηµατισµού στο µοναδιαίο κύκλο. Πράγµατι, αν f L [ π, π] και αν ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση f : R C η οποία µηδενίζεται έξω από το [ 2π, 2π] και είναι ίση µε την περιοδική επέκταση της f στο [ 2π, 2π], τότε για κάθε x ( π, π) ισχύει Συνεπώς, Hf(x) = 2π π π π Hf(x) = 2π (pv) ( f (x t) tan t 2 f (x t) dt. t t >π π π f (x t) tan t 2 dt. 2 ) dt + t π (pv) f (x t) t Αν συµβολίσουµε µε H R και H T τους δύο µετασχηµατισµούς, παίρνουµε H R f(x) H T f (x) C f, και έτσι µπορούµε να µεταφέρουµε αποτελέσµατα που ισχύουν από τον ένα µετασχηµατισµό στον άλλον. dt Η εικασία του Luzin Οταν ο Luzin δηµοσίευσε την εργασία του, γνώριζε το ϑεώρηµα του Fatou: f L [ π, π], το ολοκλήρωµα Poisson για κάθε 2π π π r 2 f(t) dt 2r cos(t x) + r2 συγκλίνει σχεδόν παντού στην f(x). Γνώριζε επίσης το ϑεώρηµα Riesz-Fischer: αν (a 2 k + b2 k ) < k= τότε υπάρχει συνάρτηση f L 2 [ π, π] µε σειρά Fourier την (a k cos kx + b k sin kx). k= Μπορούσε να συµπεράνει, µε τις ίδιες υποθέσεις, ότι υπάρχει η συζυγής συνάρτηση g L 2 [ π, π] µε σειρά Fourier την ( b k cos kx + a k sin kx). k=

.. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ LUZIN Συνεπώς, οι συντελεστές a k και b k έχουν ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις συναρτήσει της f και συναρτήσει της g. Η αναλυτική συνάρτηση k= (a k ib k )(re ix ) k έχει δύο αναπαραστάσεις, τις 2π π π ( r 2 )f(t) 2r cos(t x) + r 2 dt και π 2π π 2rg(t) sin(t x) 2r cos(t x) + r 2 dt. Το ϑεώρηµα του Fatou µας δίνει ότι το δεύτερο ολοκλήρωµα συγκλίνει σχεδόν παντού στην f(x) όταν r. Ο Luzin απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα. Θεώρηµα.. (Luzin). Εστω f L 2 [ π, π]. Τότε, ( π 2rg(t) sin(t x) lim r 2π π 2r cos(t x) + r 2 dt ) g(x t) 2π η< t <π tan t dt 2 σχεδόν παντού, όπου η = η(r) είναι η µοναδική λύση της cos x = 2r/( + r 2 ) στο διάστηµα (0, π/2). Ετσι, είχε αποδείξει ότι για κάθε f L 2 (R) 2π (pv) π π σχεδόν παντού. Στη συνέχεια παρατήρησε ότι s n (x; f) = g(x t) tan t 2 n (a k cos kx + b k sin kx) k= π = 2π π g(x + t) ( tan t 2 dt = f(x) cos ( n + ) ) 2 t sin t dt. 2 Συνεπώς, η s n (x; f) f(x) σχεδόν παντού ισχύει αν και µόνο αν π (..6) lim (pv) cos nt g(x + t) dt = 0 σχεδόν παντού. n π t Γνώριζε επίσης ότι για κάθε g L 2 (R) η πρωτεύουσα τιµή π g(x + t) (..7) (pv) dt π t υπάρχει σχεδόν παντού. = 0 Παρατήρησε ότι αυτό δεν οφείλεται στο ότι η g(x + t)/t είναι «µικρή». Άλλωστε, είχε παράδειγµα συνεχούς συνάρτησης f για την οποία υπάρχει σύνολο A ϑετικού µέτρου, τέτοιο ώστε f(x + t) f(x t) t dt = +

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ για κάθε x A. Οµως, η απόδειξη που διέθετε για την (..7) χρησιµοποιούσε µιγαδικές µεθόδους. Μέσα από αυτήν την απόδειξη δεν µπορούσε να δει µε ποιόν τρόπο η αλληλοεξουδετέρωση ϑετικών και αρνητικών τιµών είχε ως αποτέλεσµα την ύπαρξη της πρωτεύουσας τιµής. Εκανε την εικασία ότι µια πιο κατασκευαστική απόδειξη ϑα εξηγούσε αυτό το ϕαινόµενο και ότι δεν ϑα επηρεαζόταν από την παρουσία του όρου cos nt στην (..6). Εκανε έτσι την εικασία ότι κάθε f L 2 [ π, π] έχει σειρά Fourier που συγκλίνει σχεδόν παντού, δηλαδή s n (x; f) f(x) σχεδόν παντού στο [ π, π]. Ο Carleson απέδειξε την εικασία του Luzin, το 966. Αργότερα, ο Hunt απέδειξε ότι το ίδιο ισχύει για κάθε f L p [ π, π] αν < p. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αποδείξεις της ύπαρξης της Hf, για f L p (R), µε πραγµατικές µεθόδους είχαν δοθεί : πρώτα από τον Besikovitch το 926 για p = 2, µετά από τον Titchmarsh το 926 για p >, και τέλος από τον Besikovitch για p =. Οµως αυτές οι αποδείξεις δεν ικανοποιούσαν τον Luzin γιατί ήταν πολύπλοκες. Οπως αποδείχτηκε, αυτή ήταν η σωστή πορεία. Τα αποτελέσµατα και οι τεχνικές που ανέπτυξαν αυτοί οι συγγραφείς, χρειάζονται στην απόδειξη του ϑεωρήµατος του Carleson..2 Το ϑεώρηµα του Carleson Σκοπός µας σε αυτήν την εργασία είναι να παρουσιάσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Carleson. Σε αυτήν την σύντοµη παράγραφο δίνουµε την εισαγωγή της διάσηµης εργασίας του 966: «Σε αυτήν την εργασία εισάγουµε µια νέα µέθοδο για να εκτιµήσουµε τα µερικά αθροίσµατα µιας σειράς Fourier. Η µέθοδος δίνει πολύ ακριβή αποτελέσµατα και, ειδικότε- ϱα, µας επιτρέπει να λύσουµε το επί πολλά χρόνια ανοικτό πρόβληµα της σύγκλισης σχεδόν παντού για συναρτήσεις στον L 2. Συµβολίζουµε µε s n (x; f) το n-οστό µερικό άθροισµα της σειράς Fourier µιας συνάρτησης f L [ π, π], και αποδεικνύουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα. Θεώρηµα.2.. (α) Αν για κάποιον δ > 0 ισχύει (.2.) τότε π f(x) (log + f(x) ) +δ dx <, π s n (x; f) = o(log log n), σχεδόν παντού. (ϐ) Αν f L p, < p < 2, τότε s n (x; f) = o(log log log n), σχεδόν παντού.

.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ CARLESON 3 (γ) Αν f L 2, τότε η s n (x; f) συγκλίνει σχεδόν παντού. Παρατηρήσεις.2.2. (α) Το αποτέλεσµα αυτό πρέπει να συγκριθεί µε το παράδειγµα του Kolmogorov µιας σχεδόν παντού αποκλίνουσας σειράς Fourier συνάρτησης στον L. Αν µελετήσουµε λεπτοµερώς την κατασκευή των Hardy-Rogosinski, ϐλέπουµε ότι στην πραγµατικότητα ισχύει το εξής. Για δοθείσα ε(n) 0, n, υπάρχει συνάρτηση f L τέτοια ώστε s n (x; f) O(ε(n) log log n) σχεδόν παντού. Το καλύτερο ως τώρα γνωστό αποτέλεσµα σε αυτήν την περίπτωση είναι o(log n). (ϐ) Το καλύτερο ως τώρα γνωστό αποτέλεσµα εδώ είναι το ϑεώρηµα Littlewood-Paley, το οποίο δίνει s n (x; f) = o((log n) /p ) σχεδόν παντού. Είναι µάλλον ϕανερό από την απόδειξη του (γ) ότι στην πραγµατικότητα έχουµε σύγκλιση σχεδόν παντού και σε αυτήν την περίπτωση, οπότε ϑα δώσουµε µόνο το περίγραµµα της απόδειξης του (ϐ). (γ) Αυτό το αποτέλεσµα ήταν εικασία του Luzin. Το καλύτερο προηγούµενο αποτέλεσµα ήταν το ϑεώρηµα Kolmogorov-Seliverstov-Plessner, το οποίο έδινε s n (x; f) = o( log n) σχεδόν παντού. Η απόδειξη είναι πολύ τεχνική και είναι χρήσιµο να δώσουµε εδώ µια πολύ σύντοµη περιγραφή της ιδέας πίσω από την απόδειξη. Υποθέτουµε ότι η f είναι πραγµατική συνάρτηση, και επεκτείνουµε την f περιοδικά. Στη συνέχεια ϑεωρούµε τον τροποποιηµένο τύπο Dirichlet 4π (.2.2) s e int f(t) n(x; f) = dt, π < x < π. 4π x t Αν ω είναι ένα υποδιάστηµα του ( 4π, 4π), συµβολίζουµε µε E ω (f) τη µέση τιµή της f πάνω από το ω. Θεωρούµε κατάλληλη ξένη κάλυψη Ω = {ω ν } του ( 4π, 4π). Αν x ω ν = ω (x), γράφουµε (.2.3) s n(x; f) = e int f(t) dt + E ωµ (e int f) dt x t µ ν ω µ x t + e int f(t) E ωµ (e int f) dt. µ ν ω µ x t ω (x) Αν το x ϐρίσκεται «γνήσια» µέσα στο ω, τότε η κύρια συνεισφορά προέρχεται από τον πρώτο όρο. Αν το ω έχει µήκος 2π 2 s, όπου s είναι ένας ακέραιος, τροποποιούµε σε αυτόν τον όρο τον n, παίρνοντας τον πλησιέστερο προς αυτόν ακέραιο της µορφής h 2 s. Αυτό δίνει µικρή µόνο µεταβολή στην τιµή του ολοκληρώµατος, Μετά από

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ αυτήν την τροποποίηση και µια αλλαγή µεταβλητής x = 2 s ξ, t = 2 s τ, έχουµε ένα ολοκλήρωµα που έχει την ίδια µορφή µε το s n(x; f) αλλά είναι περιορισµένο στο ω. Τώρα, µπορούµε να επαναλάβουµε το επιχείρηµα. Για να αποδείξουµε ότι ο δεύτερος όρος είναι µικρός, επιλέγουµε την κάλυψη Ω έτσι ώστε οι µέσες τιµές E ωµ (e int f) να είναι όλες µικρές, και συγκεκριµένα της ίδιας τάξης µεγέθους µε το π π e int f(t) dt. Στον τρίτο όρο, τέλος, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι ο αριθµητής έχει ολοκλήρωµα ίσο µε 0 πάνω σε κάθε ω µ. Με αυτόν τον τρόπο µπορούµε να µετατρέψουµε µια ιδιοµορφία πρώτου ϐαθµού σε ιδιοµορφία δεύτερου ϐαθµού, την οποία µπορούµε να χειριστούµε ευκολότερα. Η κατάσταση ϑα έπρεπε να συγκριθεί µε την διαφορά των παρακάτω τετριµµένων τύπων : δ dt t = dt log(δ ) αλλά δ δ t 2 <. Για κάθε συνδυασµό διαστηµάτων ω (x) και ακεραίων n στη σχέση (.2.3) παίρνουµε ένα ειδικό σύνολο στο οποίο οι όροι που περισσεύουν δεν είναι µικροί. Στην απόδειξη του (α), την οποία παρουσιάζουµε πρώτη, επιτρέπουµε µε µια έννοια όλους τους συνδυασµούς (n, ω ). Η ϐελτίωση που χρειάζεται για να πάρουµε το (γ) είναι µια προσεκτική µελέτη και επιλογή εκείνων των(n, ω ) τα οποία είναι απαραίτητα. Η ταυτότητα του Parseval παίζει ϑεµελιώδη ϱόλο και για να πάρουµε το αποτέλεσµα για τον L p χρειάζεται ένα αρκετά καλό υποκατάστατό της. Οπως ϑα δούµε, ένα επιχείρηµα παρεµβολής ϑα µας ϐοηθήσει να αποδείξουµε το (ϐ).» Σε αυτή την εργασία ϑεωρούµε γνωστά ϐασικά αποτελέσµατα της Θεωρίας Μέτρου (µεταξύ αυτών και το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue). Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουµε κάποια ϑεωρήµατα παρεµβολής και αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα Carleson-Hunt κάνοντας την υπόθεση ότι κάποιος τελεστής M είναι τύπου p για < p <. Στα υπόλοιπα κεφάλαια αποδεικνύουµε ότι αυτή η υπόθεση ισχύει. Στο Κεφάλαιο 3 µελετάµε το µετασχηµατισµό Hilbert και αποδεικνύουµε κάποιες εκθετικές εκτιµήσεις που ϑα χρειαστούν στη συνέχεια. Το Κεφάλαιο 4 είναι πιο τεχνικό : σε αυτό εισάγονται τα δυαδικά διαστήµατα και οι γενικευµένοι συντελεστές Fourier. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5, το οποίο είναι πολύ τεχνικό, αποδεικνύουµε ότι υπάρχει µόνο ένα µικρό σύνολο στο οποίο δεν µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι ότι η σειρά Fourier µιας L 2 -συνάρτησης f συγκλίνει σηµειακά στην f. Αποδεικνύοντας ότι αυτό το σύνολο έχει µηδενικό µέτρο παίρνουµε το ϑεώρηµα. Η παρουσίασή µας ϐασίζεται στο ϐιβλίο [5] των O. G. Jørsboe και L. Mejlbro, το οποίο µε τη σειρά του δίνει µια λεπτοµερή και εκτεταµένη παρουσίαση του αρχικού άρθρου του Carleson. Εχουµε επίσης χρησιµοποιήσει το ϐιβλίο [] του J. Arias de Reyna, το οποίο είναι κι αυτό αφιερωµένο στην απόδειξη του ϑεωρήµατος του Carleson.

Κεφάλαιο 2 Το ϑεώρηµα Carleson-Hunt Στην Παράγραφο 2. εισάγουµε την έννοια του ασθενούς και ισχυρού τύπου ενός τελεστή και αποδεικνύουµε ένα ϑεώρηµα παρεµβολής το οποίο είναι ειδική περίπτωση του ϑεωρήµατος του Marcinkiewicz. Στην Παράγραφο 2.2 εισάγουµε τον µεγιιστικό τελεστή των Hardy-Littlewood Θ και αποδεικνύουµε ότι ο Θ είναι τύπου p για κάθε < p <. Στην Παράγραφο 2.3 αποδεικνύουµε ένα άλλο κλασικό ϑεώρηµα παρεµβολής, το ϑεώρη- µα Stein-Weiss. Τέλος, στην Παράγραφο 2.4 αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα Carleson-Hunt κάνοντας την υπόθεση ότι κάποιος τελεστής M, ο οποίος ορίζεται εκεί, είναι τύπου p για κάθε < p <. Για τεχνικούς λόγους ϑεωρούµε µόνο πραγµατικές συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες σε κάποιο ϕραγµένο διάστηµα, γράφουµε όµως τους συντελεστές Fourier τους χρησιµοποιώντας τις µιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις. Αυτή η υπόθεση απλουστεύει πολύ την δουλειά που απαιτείται για τις εκτιµήσεις στα επόµενα κεφάλαια, και δεν χάνουµε σε γενικότητα διότι, αν f είναι µια µιγαδική συνάρτηση, µπορούµε να ϑεωρήσουµε τις δύο πραγµατικές συναρτήσεις Re(f) και Im(f) στη ϑέση της. Θα υποθέτουµε πάντα ότι η f είναι ολοκληρώσιµη, δηλαδή f L (I), όπου I είναι ένα ϕραγµένο διάστηµα. Τα περισσότερα από τα αποτελέσµατα αυτού του Κεφαλαίου ισχύουν για συναρτήσεις f L (R). Οι αποδείξεις τους όµως είναι συχνά διαφορετικές, και ίσως πιο πολύπλοκες. Για το λόγο αυτό, αποφεύγουµε να αποδείξουµε αυτά τα ϑεωρήµατα στην πιο γενική τους µορφή. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT 2. Θεωρήµατα παρεµβολής Εστω f µια συνάρτηση µε πραγµατικές τιµές, ορισµένη σε ένα διάστηµα [ A, A], και ας υποθέσουµε ότι f L [ A, A]. Για κάθε y 0 ϑεωρούµε το σύνολο (2..) E y := {x [ A, A] : f(x) > y}. Ορισµός 2... Η συνάρτηση κατανοµής λ f της f είναι η συνάρτηση λ f [0, 2A] που ορίζεται από την : [0, ) (2..2) λ f (y) = m(e y ) = m({x [ A, A] : f(x) > y}), όπου m είναι το µέτρο Lebesgue στο R. εν είναι δύσκολο να ελέγξουµε ότι 0 λ f (y) 2A για κάθε y 0, λ f (y) 0 όταν y +, και η λ f είναι ϕθίνουσα συνάρτηση. Επιπλέον, η λ f είναι συνεχής από δεξιά : αυτό ϕαίνεται από την n= E y+ n = E y, που ισχύει για κάθε y 0. Επεται ότι η λ f έχει το πολύ αριθµήσιµα το πλήθος σηµεία ασυνέχειας. Ειδικότερα, η λ f είναι µετρήσιµη συνάρτηση. Εστω T ένας τελεστής από τον L [ A, A] στον M[ A, A], την κλάση όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων στο [ A, A]. Ο τελεστής T δεν είναι αναγκαστικά ορισµένος σε ολόκληρο τον L [ A, A], ϑα είναι όµως πάντα ορισµένος στις απλές συναρτήσεις, δηλαδή τους πεπερασµένους γραµµικούς συνδυασµούς των χαρακτηριστικών συναρτήσεων µετρήσιµων υποσυνόλων του [ A, A], καθώς και στις συνεχείς συναρτήσεις. Ειδικότερα, το πεδίο ορισµού D(T ) του T ϑα είναι πυκνό στον L [ A, A]. Σε ό,τι ακολουθεί, ο T ϑα είναι είτε γραµµικός τελεστής (δηλαδή το D(T ) ϑα είναι γραµµικός χώρος και ϑα ισχύει T (af + bg) = at (f) + bt (g) για κάθε f, g D(T ) και για κάθε a, b R ή a, b C) ή υπογραµµικός τελεστής (δηλαδή το D(T ) ϑα είναι γραµµικός χώρος και ϑα ισχύουν οι T (af) = a T (f) και T (f + g) T (f) + T (g) για κάθε f, g D(T ) και για κάθε a R ή a C). Ορισµός 2..2. Λέµε ότι ο τελεστής T είναι ισχυρού τύπου p για κάποιον p αν υπάρχει σταθερά A p > 0 τέτοια ώστε (2..3) T f p A p f p για κάθε f D(T ).

2.. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 7 Παρατήρηση 2..3. Συχνά ϑεωρούµε τελεστές T ισχυρού τύπου (p, q), όπου p, q. Λέµε ότι ο τελεστής T είναι ισχυρού τύπου (p, q) αν υπάρχει σταθερά A p,q > 0 τέτοια ώστε T f q A p,q f p για κάθε f D(T ). Σε αυτήν την εργασία µας είναι αρκετό να ϑεωρήσουµε µόνο την περίπτωση p = q. Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν για τους επόµενους ορισµούς. Παρατηρήστε ότι αν ένας τελεστής T είναι ισχυρού τύπου p για κάποιον p < τότε ο T µπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρο τον L p [ A, A] λόγω συνέχειας, αφού το πεδίο ορισµού D(T ) του T ϑα είναι πυκνό στον L p [ A, A], και ο T είναι ϕραγµένος γραµµικός τελεστής στον L p [ A, A]. Ορισµός 2..4. Λέµε ότι ο τελεστής T είναι ασθενούς τύπου p για κάποιον p < αν υπάρχει σταθερά A p > 0 τέτοια ώστε (2..4) λ T f (y) για κάθε f D(T ) και για κάθε y > 0. ( Ap y ) p f p p Παρατηρήστε ότι, για κάθε y > 0, T f p p = T f(x) p dx y p λ T f (y). Συνεπώς, αν ο T είναι ισχυρού τύπου p για κάποιον p <, τότε (2..5) λ T f (y) y p T f p p δηλαδή ο T είναι αθενούς τύπου p. σωστό. ( Ap y ) p f p p, Αργότερα ϑα δώσουµε ένα παράδειγµα που δείχνει ότι το αντίστροφο δεν είναι γενικά Θα χρειαστούµε επίσης τις ακόλουθες σχετικές έννοιες. Ορισµός 2..5. Λέµε ότι ο τελεστής T είναι περιορισµένου τύπου p για κάποιον p < αν υπάρχει σταθερά A p > 0 τέτοια ώστε (2..6) T χ E p A p χ E p = A p (m(e)) /p για κάθε µετρήσιµο σύνολο E [ A, A].

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Ορισµός 2..6. Λέµε ότι ο τελεστής T είναι περιορισµένου ασθενούς τύπου p για κάποιον p < αν υπάρχει σταθερά A p > 0 τέτοια ώστε ( ) p Ap (2..7) λ T χe (y) χ E p p = y για κάθε µετρήσιµο σύνολο E [ A, A]. ( Ap y ) p m(e) Είναι ϕανερό ότι αν ο T είναι ισχυρού τύπου p τότε ο T είναι περιορισµένου τύπου p, και αν ο T είναι ασθενούς τύπου p τότε ο T είναι περιορισµένου ασθενούς τύπου p. Επιπλέον, αν ο T είναι περιορισµένου τύπου p τότε ο T είναι περιορισµένου ασθενούς τύπου p. Για την απόδειξη των ϑεωρηµάτων παρεµβολής αυτής της παραγράφου ϑα χρειαστούµε το επόµενο λήµµα, που συνδέει τη συνάρτηση κατανοµής λ f της f µε την f p. Λήµµα 2..7. Εστω f L [ A, A]. Για κάθε p < έχουµε (2..8) f p p = f(x) p dx = py p λ f (y) dy. Ειδικότερα, (2..9) f = 0 0 λ f (y) dy. Απόδειξη. Από το ϑεώρηµα Fubini έχουµε ( ) f(x) f(x) p dx = py p dy dx = = 0 0 0 py p m({x [ A, A] : f(x) > y}) dy py p λ f (y) dy. Παρατηρήστε ότι αν f / L p [ A, A] τότε τα δύο µέλη της (2..8) απειρίζονται. Το επόµενο λήµµα είναι το πρώτο αποτέλεσµα παρεµβολής που αποδεικνύουµε. Λήµµα 2..8. Εστω p 0 < p <. Αν ο T είναι περιορισµένου ασθενούς τύπου p 0 και p τότε ο T είναι περιορισµένου τύπου p για κάθε p (p 0, p ). Απόδειξη. Συµβολίζουµε µε λ την συνάρτηση κατανοµής της T χ E. γνωρίζουµε ότι υπάρχουν σταθερές A 0 και A, τέτοιες ώστε Από τις υποθέσεις λ(y) ( A0 y ) p0 m(e) και λ(y) ( A y ) p m(e)

2.. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 9 για κάθε µετρήσιµο σύνολο E και για κάθε y > 0. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 2..7 έχουµε T χ E p p = p y p λ(y) dy + p y p λ(y) dy 0 ( ) p m(e) y p p0 A p 0 0 dy + y p p A p dy 0 ( ) = p m(e) A p 0 0 + A p, p p 0 p p άρα όπου A p = p /p (A p 0 0 T χ E p A p (m(e)) /p, ) + A p /p, p p 0 p p για κάθε p (p 0, p ). Παρατηρήστε ότι η σταθερά A p είναι ϕραγµένη όταν το p (p 0, p ) είναι «µακρυά» από τα p 0 και p. Πολύ σχετικό είναι το επόµενο ϑεώρηµα, το οποίο είναι ειδική περίπτωση ενός ϑεωρή- µατος του Marcinkiewicz. Θεώρηµα 2..9. Εστω p 0 < p < και έστω T ένας υπογραµµικός τελεστής ασθενούς τύπου p 0 και p. Τότε, ο T είναι ισχυρού τύπου p για κάθε p (p 0, p ). Πιο συγκεκριµένα, αν και για κάθε y > 0, τότε λ T f (y) = m({x : T f(x) > y}) λ T f (y) = m({x : T f(x) > y}) T f p p K p f p p, ( A0 y ( A y ) p0 f p 0 p 0 ) p f p p όπου ( K p = p 2 p + ) p p 0 p p A p p p 0 p p 0 0 A p p p 0 p p 0. Απόδειξη. Επιλέγουµε A = A p 0 p p 0 0 A p p p 0.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Παρατηρήστε ότι (2..0) A p 0 0 Ap 0 p = A p Ap p = A p 0 p p p p 0 0 A p p p 0 p p 0. Χρησιµοποιώντας αυτή τη σταθερά A ορίζουµε, για κάθε y > 0, τις συναρτήσεις f y (x) = f(x) χ f(x) Ay (x) και f y (x) = f(x) χ f(x) >Ay (x). Προφανώς έχουµε f(x) = f y (x) + f y (x) και, από την υπογραµµικότητα του T έχουµε λ T f (2y) λ T fy (y) + λ T f y(y), που λόγω των υποθέσεων ϕράσσεται από A p 0 0 y p 0 f y (x) p 0 dx + A p y p f y (x) p dx. Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα Fubini και τον ορισµό της σταθεράς A γράφουµε T f p p = p(2y) p λ T f (2y) d(2y) = p 2 p y p λ T f (2y) dy 0 0 ( ) p 2 p A p 0 0 y p 0 y p f(x) p 0 dx dy 0 { f(x) >Ay} ( ) + p 2 p A p y p y p f(x) p dx dy 0 { f(x) Ay} ( ) f(x) /A = p 2 p A p 0 0 f(x) p 0 y p p0 dy dx 0 ( ) + p 2 p A p f(x) p dx = p 2 p (A p 0 0 Ap 0 p = p 2 p A p 0 p p p p 0 0 A p p p 0 p p 0 p p 0 y p p dy f(x) /A f(x) p dx + A p Ap p ( p p 0 + p p όπου, στο τέλος, χρησιµοποιήσαµε την (2..0). ) f p p, p p ) f(x) p dx Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα.

2.2. Ο ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΩΝ HARDY-LITTLEWOOD 2 Θεώρηµα 2..0. Εστω p 0 < και έστω T ένας υπογραµµικός τελεστής ασθενούς τύπου p 0 και ισχυρού τύπου +. Τότε, ο T είναι ισχυρού τύπου p για κάθε p (p 0, + ). Πιο συγκεκριµένα, αν λ T f (y) = m({x : T f(x) > y}) ( A0 y ) p0 f p 0 p 0 για κάθε y > 0, και τότε T f A f, T f p p p 2 p A p 0 0 Ap p 0 f p p p p. 0 Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε τον ίδιο συµβολισµό µε αυτόν της απόδειξης του Θεωρήµατος 2..0. Επιλέγουµε σαν A τον A. Τότε, f y A y και T f y y, άρα λ T f y(y) = 0. Ετσι έχουµε λ T f (2y) λ T fy (y) A p 0 0 y p 0 f(x) p 0 dx, και (ακριβώς όπως στην απόδειξη του Θεωρήµατος 2..9) T f p p p 2 p A p 0 0 το οποίο αποδεικνύει το ϑεώρηµα. ( A ) p0 p p p 0 f p p, 2.2 Ο µεγιστικός τελεστής των Hardy-Littlewood Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ορίσουµε τον µεγιστικό τελεστή των Hardy-Littlewood και ϑα αποδείξουµε εκτιµήσεις γι αυτόν, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 2..0. Εστω f L (R). Ορίζουµε τον µεγιστικό τελεστή Θ ως εξής: (2.2.) Θf(x) = sup t>0 2t x+t x t f(y) dy, x R. Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση Θf είναι µετρήσιµη : πράγµατι, είναι κάτω ηµισυνεχής ως supremum συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, ο τελεστής f Θf, ορισµένος στον L (R), είναι υπογραµµικός.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Θεώρηµα 2.2.. Ο τελεστής Θ είναι ισχυρού τύπου + και ασθενούς τύπου. Πιο συγκεκριµένα, ο Θ ικανοποιεί τις (2.2.2) Θf f και (2.2.3) λ Θf (y) = m({x : Θf(x) > y}) 4 y f για κάθε y > 0. Από το Θεώρηµα 2.2. και το Θεώρηµα 2..0 συµπεραίνουµε αµέσως ότι ο τελεστής Θ είναι ισχυρού τύπου p για κάθε < p <. Απόδειξη. Στις εφαρµογές που ϑα µας απασχολήσουν αργότερα, χρειαζόµαστε µόνο συναρτήσεις µε συµπαγή ϕορέα, ας υποθέσουµε λοιπόν για την απόδειξη ότι η f έχει συµπαγή ϕορέα. Είναι ϕανερό ότι η (2.2.2) ικανοποιείται. Για την απόδειξη της (2.2.3) µπορούµε επίσης να υποθέσουµε ότι η f είναι µη αρνητική. Εστω y > 0. Για κάθε x {t : Θf(t) > y} µπορούµε να ϐρούµε ένα διάστηµα I x (µε κέντρο το x) τέτοιο ώστε I x f(t) dt > y m(i x ). είχνουµε πρώτα ότι το σύνολο {Θf > y} είναι ϕραγµένο. Υποθέτουµε ότι ο ϕορέας της f περιέχεται στο διάστηµα [ M, M] για κάποιον M > 0, ϑεωρούµε τυχόν x {Θf > y} και διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: (α) Αν x < M τότε για κάθε 0 < t < M x έχουµε ενώ αν t M x έχουµε 2t x+t x t f(z) dz = 2t απ όπου ϐλέπουµε ότι Ετσι, x+t M Θf(x) = sup t>0 2t x+t x t f(z) dz 2t x+t x t f(z) dz = 0, 2(M + x) f(z) dz x+t M f(z) dz 2 M + x f. {Θf > y} (, M) = {x < M : 2 M + x y < f } = 2(M + x) f, ( f ) M, M, 2y

2.2. Ο ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΩΝ HARDY-LITTLEWOOD 23 το οποίο είναι ϕραγµένο σύνολο. (ϐ) Αν x > M τότε για κάθε 0 < t < x M έχουµε ενώ αν t x M έχουµε 2t x+t x t f(z) dz = 2t απ όπου ϐλέπουµε ότι M x t Θf(x) = sup t>0 2t x+t x t f(z) dz 2t x+t x t f(z) dz = 0, M f(z) dz 2(x M) x t f(z) dz 2(x M) f. 2(x M) f, Ετσι, {Θf > y} (M, + ) = {x > M : 2(x M)y < f } = ( M, M + f ), 2y το οποίο είναι ϕραγµένο σύνολο. Συνδυάζοντας τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι το {Θf > y} είναι ϕραγµένο. Χρησιµοποιώντας αυτό, ϐλέπουµε ότι µπορούµε να υποθέσουµε ότι όλα τα διαστήµατα I x περιέχονται σε κάποιο διάστηµα [ B, B]. Εστω x τέτοιο ώστε Θf(x) > y. Τότε υπάρχει διάστηµα I x = (a x, b x ) µε Παρατηρούµε ότι για κάθε u I x ισχύει b x a x f(z) dz > y. m(i x ) I x bx a x f(z) dz 2Θf(u). Πράγµατι, αν u a x < b x u έχουµε I x (u (b x u), u + (b x u)) άρα b x a x bx a x f(z) dz b x a x = 2 2(b x u) ενώ αν b x u < u a x όµοια παίρνουµε b x a x bx u+(bx u) u (b x u) u+(bx u) u (b x u) f(z) dz 2 a x 2(u a x ) f(z) dz b x u f(z) dz 2Θf(u), u+(u ax) u (u a x) u+(bx u) u (b x u) f(z) dz 2Θf(u). f(z) dz

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Αυτό αποδεικνύει ότι I x { u : Θf(u) > y } 2 και το τελευταίο σύνολο περέχεται όπως είδαµε σε κάποιο διάστηµα [ B, B], όπου το B = B y εξαρτάται από το y. Ισχυριζόµαστε τώρα ότι υπάρχει µια ακολουθία (I n ) (που επιλέγεται από την κλάση των διαστηµάτων I x που ορίσαµε παραπάνω) ξένων ανά δύο διαστηµάτων, τέτοια ώστε ( ) ( ) m I n 4 m I x. n= x Ας υποθέσουµε προς στιγµήν ότι αυτός ο ισχυρισµός έχει αποδειχθεί. Τότε, ολοκληρώνου- µε την απόδειξη γράφοντας ( ) ( ) m({x : Θf(x) > y}) m I x 4m I n = 4 m(i n ) 4 y x n= I n f(y) dy = 4 y n= n= n= In f(y) dy 4 y f. Αποδεικνύουµε τώρα τον ισχυρισµό (ο οποίος είναι ένα ϑεώρηµα τύπου Besicovitch). Εστω S η κλάση των διαστηµάτων που ϑεωρήσαµε παραπάνω. Θέτουµε a = sup{m(i x ) : I x S } και επιλέγουµε ένα διάστηµα I από την S τέτοιο ώστε m(i ) > 3a 4. Θεωρούµε τώρα την κλάση S 2 των διαστηµάτων I x που είναι ξένα προς το I, ϑέτουµε a 2 = sup{m(i x ) : I x S 2 }, και επιλέγουµε I 2 από την S 2 τέτοιο ώστε m(i 2 ) > 3a 2 4. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο. Αν η διαδικασία σταµατήσει µετά από πεπερασµένα το πλήθος ϐήµατα τότε το συµπέρασµα ισχύει προφανώς, υποθέτουµε λοιπόν ότι προκύπτει µια ακολουθία (a k ) πραγµατικών αριθµών µε a k 0 και µια ακολουθία ξένων διαστηµάτων (I k ) µε m(i k ) 0 όταν k. Θεωρούµε ένα διάστηµα I x και τον µικρότερο k για τον οποίο I x / S k. Τότε, I x I k και m(i k ) 3 4 m(i x). Επεται ότι I x J k, όπου J k είναι το διάστηµα που έχει το ίδιο κέντρο µε το I k και µήκος m(j k ) = 4m(I k ). αυτήν την παρατήρηση ϐλέπουµε ότι ( ) ( ) m I x 4m I n, x n= Χρησιµοποιώντας και η απόδειξη είναι πλήρης. Σηµειώνουµε ότι η σταθερά 4 που εµφανίζεται στην (2.2.3) δεν είναι η καλύτερη δυνατή. Σηµείωση. Ο τελεστής Θ δεν είναι ισχυρού τύπου. Για παράδειγµα, αν ϑεωρήσουµε την f(x) = χ (0,) (x) τότε η Θf δεν είναι καν ολοκληρώσιµη. Αν x < 0 και 0 < t x έχουµε 2t x+t x t f(s) ds 2t 0 x t f(s) ds = 0.

2.2. Ο ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΩΝ HARDY-LITTLEWOOD 25 Αν x < 0 και x t < x έχουµε 2t x+t x t Τέλος, αν x < 0 και t x έχουµε 2t x+t x t f(s) ds = 2t x+t 0 f(s) ds = 2t Κάνοντας την γραφική παράσταση ϐλέπουµε ότι Θf(x) = sup t>0 2t x+t x t 0 f(s) ds = x + t. 2t f(s) ds = 2t. f(s) ds = 2( x) για κάθε x < 0. Συνεπώς, 0 Θf(x) dx =. Πόρισµα 2.2.2. Ο τελεστής Θ είναι ισχυρού τύπου p για κάθε < p <. Πιο συγκεκρι- µένα, έχουµε (2.2.4) Θf p p 2 p 4p p f p p για κάθε < p <. Απόδειξη. Συνδυάζουµε το Θεώρηµα 2.2. και το Θεώρηµα 2..0, µε p 0 =, A 0 = 4 και A =. Στα επόµενα, αν g(x) είναι µια συνάρτηση µε πραγµατικές τιµές, ορίζουµε το ϑετικό µέρος της g(x) να είναι η συνάρτηση g + (x) = max{g(x), 0}. Ενα πολύ γνωστό παράδειγµα είναι η συνάρτηση log +. Θεώρηµα 2.2.3. Ο τελεστής Θ ικανοποιεί την (2.2.5) (Θf(x) 2) + dx 8 f(x) log + ( f(x) ) dx. Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι f 0 και ότι η f log + f είναι ολοκληρώσιµη. Για κάθε y > 0 ϑεωρούµε τις συναρτήσεις f y (x) = f(x) χ f(x) y (x) και f y (x) = f(x) χ f(x)>y (x).

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Από τον ορισµό είναι ϕανερό ότι Θf y y, άρα m({x : Θf(x) > 2y}) m({x : Θf y (x) > y}). Χρησιµοποιώντας την (2.2.3) για τη συνάρτηση f y παίρνουµε (2.2.6) m({x : Θf(x) > 2y}) 4 f y (x) dx. y Ολοκληρώνοντας την (2.2.6) στο [, ) παίρνουµε m({x : Θf(x) > 2y}) dy = = 4 = 4 = 4 = 4 ( 4 y ( 4 y R R {f(x)>} {f(x)>} R R ) f y (x) dx dy ) f(x)χ {f(x)>y} (x) dx dy ( ) f(x) f(x) y dy dx f(x) log f(x) dx f(x) log f(x)χ {log f>0} (x) dx f(x) log + (f(x)) dx. Το αριστερό µέλος ισούται µε 2 2 m({x : Θf(x) > t}) dt = 2 (Θf(x) 2) + dx, και έτσι έπεται το Ϲητούµενο. Αργότερα ϑα χρειαστούµε τα επόµενα δύο απλά λήµµατα. Λήµµα 2.2.4. Εστω f L (R). Για κάθε x R ορίζουµε µια συνάρτηση F x : R R µε F x (t) = t 0 f(x + y) dy. Τότε, F x (t) 2 t Θf(x) για κάθε x R και t R.

2.2. Ο ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ ΤΩΝ HARDY-LITTLEWOOD 27 Απόδειξη. Γράφουµε x+t x+t F x (t) = f(y) dy x+ t f(y) dy f(y) dy x x x t 2 t Θf(x). Λήµµα 2.2.5. Εστω f L (R). Τότε, σχεδόν για κάθε x R. Απόδειξη. Επεται από το γεγονός ότι f(x) Θf(x) Θf(x) 2t x+t x t f(y) dy για κάθε t > 0, και από το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue για ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, από το οποίο έχουµε 2t x+t όταν t 0 +, σχεδόν για κάθε x R. x t f(y) dy f(x) Σηµείωση. Από το Λήµµα 2.2.5 και το Θεώρηµα 2.2. έπεται ότι : αν f L (R) L (R) τότε f = Θf. Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια εκθετική εκτίµηση για την Θf, στην περίπτωση που f L και η f(x) µηδενίζεται έξω από ένα συµπαγές υποσύνολο του R. Θεώρηµα 2.2.6. Εστω c > 0 και έστω f µια ουσιωδώς ϕραγµένη συνάρτηση που ο ϕορέας της περιέχεται σε ένα διάστηµα I µήκους A. Τότε, για κάθε y > 0 έχουµε (2.2.7) λ Θf (y) = m({x : Θf(x) > y}) 2e c A f y ( exp c y f Απόδειξη. Από το Θεώρηµα 2.2. έχουµε Θf f (µάλιστα, σε αυτήν την περίπτωση έχουµε ισότητα). Αν λοιπόν y f τότε το αριστερό µέλος της (2.2.7) µηδενίζεται και η εκτίµηση που Ϲητάµε ισχύει τετριµµένα. ).

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Εστω 0 < y < f. Αν x {t : Θf(t) > y} και dist(x, I) = d > 0, τότε εφαρµόζοντας την (2.2.) παίρνουµε δηλαδή απ όπου συµπεραίνουµε ότι Θέτουµε t = y < Θf(x) f(s) ds A 2d I 2d f, d = dist(x, I) A 2 m({x : Θf(x) > y}) A + 2 A 2 y f f, y f y (0, ). Τότε, αρκεί να δείξουµε ότι + t 2ec t e ct, t (0, ), το οποίο είναι ισοδύναµο µε την απλή ανισότητα ( + t)e ct 2e c, t (0, ) άρα η απόδειξη του ϑεωρήµατος είναι πλήρης. ( = A + f ). y 2.3 Θεώρηµα Stein-Weiss Σε αυτήν την παράγραφο υποθέτουµε ότι όλες οι συναρτήσεις που µελετάµε είναι ορισµένες σε ένα σταθερό διάστηµα [ A, A]. Εστω T ένας τελεστής περιορισµένου τύπου p, όπου < p <. ηλαδή, υπάρχει µια σταθερά A p > 0 τέτοια ώστε, για κάθε µετρήσιµο σύνολο E [ A, A], (2.3.) T χ E p A p χ E p = A p (m(e)) /p. Εστω q ο συζυγής εκθέτης του p, δηλαδή p + q =, και έστω f Lq [ A, A]. Ορίζουµε µια συνολοσυνάρτηση γ στην κλάση όλων των Borel συνόλων E που περιέχονται στο [ A, A], ϑέτοντας (2.3.2) γ(e) = (T χ E )f dx. Από την ανισότητα του Holder ϐλέπουµε ότι η γ είναι καλά ορισµένη, και εύκολα ελέγχουµε ότι η γ είναι µια αριθµήσιµα προσθετική συνολοσυνάρτηση που είναι απολύτως συνεχής ως προς το µέτρο Lebesgue. Πράγµατι, A A γ( ) = T χ (x)f(x) dx = T (0)(x)f(x) dx = 0 A A

2.3. ΘΕΩΡΗΜΑ STEIN-WEISS 29 διότι T (0) = 0 αφού ο T είναι γραµµικός. Εστωσαν (E n ) n= ξένα ανά δύο Borel υποσύνολα του [ A, A]. Θα δείξουµε ότι γ ( = E n) = n= γ(e n), ή ισοδύναµα A A ( T χ n= En ) (x)f(x) dx = n= A Θέτουµε E = n= E n. Παρατηρούµε ότι, για κάθε k N, A χ E χ k n= E n = χ n=k+ E n. T χ En (x)f(x) dx. Άρα, χ E χ k = E n p = χ n=k+ E n p = m ( n=k+ E n) /p 0 όταν k, διότι m ( n=k+ E ) n και n= m(e n) 2A <. Επεται ότι n=k+ m(e n ) T χ E T χ k = E n p = T χ n=k+ E n p A p χ n=k+ E n p 0, δηλαδή T χ k = E n T χ E στον L p [ A, A], και αφού f L 2 [ A, A] από την ανισότητα Holder συµεραίνουµε ότι (T χ k = E n )f (T χ E )f στον L [ A, A]. Με άλλα λόγια, k n= A A T χ En (x)f(x) dx = A A (T χ k = E n )(x)f(x) dx A A (T χ E )(x)f(x) dx, δηλαδή το οποίο αποδεικνύει την k γ(e n ) γ(e), n= ( ) γ E n = γ(e n ). n= n= Άρα, το γ είναι προσηµασµένο µέτρο στην B([ A, A]). Τέλος, αν E είναι ένα Borel υποσύνολο του [ A, A] µε m(e) = 0 τότε χ E = 0 στον L [ A, A] και από την γραµµικότητα του T έχουµε T χ E = 0, απ όπου ϐλέπουµε αµέσως ότι A γ(e) = (T χ E )(x)f(x) dx = 0. A

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT ηλαδή, το γ είναι απολύτως συνεχές ως προς το µέτρο Lebesgue. Από το ϑεώρηµα Radon- Nikodym µπορούµε να ϐρούµε µια (µονοσήµαντα ορισµένη σχεδόν παντού) συνάρτηση h τέτοια ώστε (2.3.3) γ(e) = h(x)dx = E για κάθε Borel σύνολο E [ A, A]. χ E h dx = T χ E f dx Ξεκινώντας από αυτή τη σχέση, ορίζουµε έναν τελεστή T στον L q [ A, A] ϑέτοντας (2.3.4) T f = h. Ο T είναι γραµµικός και συµπεριφέρεται τυπικά σαν τον συζυγή τελεστή του T. Για παράδειγµα, αν g είναι µια απλή συνάρτηση, τότε (2.3.5) A A T g f dx = A A g T f dx. Λήµµα 2.3.. Υποθέτουµε ότι ο γραµµικός τελεστής T είναι περιορισµένου τύπου p για κάποιον < p <. Τότε, ο T είναι αθενούς τύπου q, όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Απόδειξη. Από την υπόθεση υπάρχει σταθερά A p > 0 τέτοια ώστε (2.3.6) T χ E p A p χ E p = A p (m(e)) /p για κάθε µετρήσιµο σύνολο E [ A, A]. Θα αποδείξουµε ότι υπάρχει σταθερά B q > 0 τέτοια ώστε (2.3.7) λ T f (y) για κάθε f L q [ A, A] και για κάθε y > 0. ( Bq y ) q f q q Εστω f L q [ A, A] και έστω h := T f. Ορίζουµε λ(y) = λ h (y) = m(e y ) όπου, ως συνήθως, E y = {x : h(x) > y}. Γράφουµε E y = E + y E y, όπου E + y = {x : h(x) > y} και E y = {x : h(x) < y}. Τέλος, ορίζουµε λ + (y) = m(e y + ) και λ (y) = m(ey ). Παρατηρήστε ότι λ(y) = λ + (y) + λ (y).

2.3. ΘΕΩΡΗΜΑ STEIN-WEISS 3 Για την λ + (y) έχουµε την εξής εκτίµηση : yλ + (y) = y χ E + y dx = χ E + y y dx χ E + y h dx = = T χ E + y f dx T χ E + y p f q A p χ E + y p f q χ E + y T f dx = A p (m(e + y )) /p f q = A p (λ + (y)) q f q, όπου χρησιµοποιήσαµε τον ορισµό του T, την ανισότητα Holder και την (2.3.6). αυτήν την ανισότητα προκύπτει ότι είτε λ + (y) = 0 ή Από (λ + (y)) /q A p y f q. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουµε ανάλογη ανισότητα για την λ (y), άρα ( ) q λ(y) = λ + (y) + λ Ap (y) 2 f q y q, που είναι ακριβώς η (2.3.7) µε B q = 2 /q A p. Θεώρηµα 2.3.2 (Stein-Weiss). Εστω < p 0 < p <. Αν ο γραµµικός τελεστής T είναι περιορισµένου τύπου p 0 και p τότε ο T είναι ισχυρού τύπου p για κάθε p (p 0, p ). Απόδειξη. Εστω p (p 0, p ). Από το Λήµµα 2..8 έχουµε ότι ο T είναι περιορισµένου τύπου p για κάθε p (p 0, p ) και εφαρµόζοντας το Λήµµα 2.3. ϐλέπουµε ότι ο T είναι αθενούς τύπου q για κάθε q (q, q 0 ), όπου q i είναι ο συζυγής εκθέτης του p i. Επιλέγουµε p 0 < p µε p 0 < p 0 < p < p < p. Τότε, ο T είναι ασθενούς τύπου q και q 0, όπου q i είναι ο συζυγής εκθέτης του p i. Από το ϑεώρηµα του Marcinkiewicz (Θεώρηµα 2..9) συµπεραίνουµε ότι ο T είναι ισχυρού τύπου q, όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. Ειδικότερα, ο T είναι ϕραγµένος γραµµικός τελεστής στον L q [ A, A], άρα ο συζυγής γραµµικός τελεστής (T ) adj είναι ϕραγµένος γραµµµικός τελεστής στον L p [ A, A]. Επίσης, για κάθε απλή συνάρτηση f έχουµε T f, (T ) adj L p [ A, A] και για κάθε g L q [ A, A] ισχύει (T ) adj f g dx = f(t g) dx και (T f)g dx = f T g dx. Αφού A A (T f (T ) adj )g dx = 0

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT για κάθε g L q [ A, A], συµπεραίνουµε ότι T f = (T ) adj f για κάθε απλή f. Οµως, οι απλές συναρτήσεις είναι πυκνές στον L p [ A, A] και από τη συνέχεια του (T ) adj και τη γραµµικότητα των T και (T ) adj έχουµε ότι ο T είναι οµοιόµορφα συνεχής στις απλές συναρτήσεις, αφού αν f, f 2 είναι απλές συναρτήσεις έχουµε T f T f 2 p = T (f f 2 ) p = (T ) adj (f f 2 ) p (T ) adj f f 2 p. Συνεπώς, ο T επεκτείνεται σε ϕραγµένο γραµµικό τελεστή σε ολόκληρο τον L p [ A, A], που δεν είναι άλλος από τον (T ) adj. Αφού ο (T ) adj είναι ισχυρού τύπου p, έπεται ότι το ίδιο ισχύει και για τον T. 2.4 Θεώρηµα Carleson-Hunt Σε αυτήν την παράγραφο αποδεικνύουµε το ϑεώρηµα Carleson-Hunt κάνοντας την υπόθεση ότι ο τελεστής M που ϑα οριστεί παρακάτω είναι ισχυρού τύπου p για κάθε < p <. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού είναι ο στόχος της εργασίας. Θα ϑεωρήσουµε συναρτήσεις f που ορίζονται στο διάστηµα [ π, π]. Χρησιµοποιούµε κάποια πολύ γνωστά αποτελέσµατα για τους χώρους L p [ π, π], τα οποία δεν ϑα αποδείξουµε : (i) Αν q p τότε (2.4.) L p [ π, π] L q [ π, π]. (ii) Εστω ε > 0. Για κάθε f L p [ π, π], p <, µπορούµε να ϐρούµε πολυώνυµο p ε τέτοιο ώστε (2.4.2) f p ε p < ε. (iii) Εστω p, έστω f L p [ π, π] και έστω (f n ) ακολουθία στον L p [ π, π] τέτοια ώστε f n f p 0 όταν n. Τότε, µπορούµε να ϐρούµε υπακολουθία (f kn ) της (f n ) τέτοια ώσττε (2.4.3) f kn (x) f(x) σχεδόν για κάθε x [ π, π]. Από τον εγκλεισµό (2.4.) έπεται ότι L p [ π, π] L [ π, π] για κάθε p. Εστω f L [ π, π]. Τότε, οι συντελεστές Fourier c n, n Z, ορίζονται καλά από την σχέση c n = 2π π π f(t)e int dt, n Z.

2.4. ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT 33 Συµβολίζουµε µε s n (x; f) το µερικό άθροισµα n s n (x; f) = c k e ikx, n 0 k= n της σειράς Fourier της f. Στη συνέχεια ϑα εξετάσουµε µόνο την περίπτωση όπου < p <. Συµβολίζουµε µε F την κλάση των συναρτήσεων µε τιµές στο [0, ]. Ορίζουµε έναν τελεστή M : L p [ π, π] F ως εξής: (2.4.4) Mf(x) = sup{ s n (x; f) : n 0}. Είναι ϕανερό ότι ο M είναι υπογραµµικός, δηλαδή M(f + g) Mf + Mg. Οπως ϑα δούµε, ισχύει το εξής πολύ ϐαθύ ϑεώρηµα : Θεώρηµα 2.4.. Ο τελεστής M είναι ισχυρού τύπου p για κάθε < p <. Ακριβέστερα, για κάθε < p < υπάρχει σταθερά C p > 0 τέτοια ώστε (2.4.5) Mf p C p f p για κάθε f L p [ π, π]. εχόµενοι το Θεώρηµα 2.4. µπορούµε εύκολα να δείξουµε το ϑεώρηµα Carleson- Hunt. Θεώρηµα 2.4.2 (Carleson-Hunt). Εστω < p. Για κάθε f L p [ π, π] έχουµε s N (x; f) f(x) σχεδόν για κάθε x [ π, π] όταν N. Απόδειξη. Αφού L [ π, π] L p [ π, π] για κάθε < p <, µπορούµε να περιοριστούµε στην περίπτωση < p <. Θεωρούµε ακολουθία (g n ) στον C 2 [ π, π] τέτοια ώστε f g n p 0. Για κάθε N N, για κάθε n N και για κάθε x [ π, π] έχουµε s N (f; x) = s N (f g n ; x) + s N (g n ; x). Άρα, s N (f; x) f(x) s N (f g n ; x) + s N (g n ; x) f(x).

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CARLESON-HUNT Αφού η g n είναι C 2 -συνάρτηση στο [ π, π] έχουµε ότι lim s N(g n ; x) = g(x) N για κάθε x [ π, π]. Άρα, για κάθε n N και για κάθε x [ π, π] έχουµε h(x) := lim sup N s N (f; x) f(x) lim sup s N (f g n ; x) + g n (x) f(x) N sup s N (f g n ; x) + g n (x) f(x) n M(f g n )(x) + g n (x) f(x). Άρα, για κάθε n N έχουµε 0 h M(f g n ) + g n f. Ειδικότερα, h p M(f g n ) p + g n f p. Από το Θεώρηµα 2.4. έχουµε M(f g n ) p C p f g n p (ο M είναι ισχυρού τύπου p). Συνεπώς, h p C p f g n p + f g n p = (C p + ) f g n p 0 όταν n. Επεται ότι h p = 0, άρα h(x) = 0 σχεδόν για κάθε x [ π, π]. ηλαδή, lim sup s N (f; x) f(x) = h(x) = 0 N σχεδόν για κάθε x [ π, π], το οποίο αποδεικνύει ότι s N (f; x) f(x) σχεδόν για κάθε x [ π, π].

Κεφάλαιο 3 Μετασχηµατισµός Hilbert Σε αυτό το κεφάλαιο ορίζουµε τον µετασχηµατισµό Hilbert και τον µεγιστικό µετασχηµατισµό Hilbert. Ακολουθούµε το ϐιβλίο [3] του Garsia (η κλασική αναφορά είναι το ϐιβλίο [0] του Titchmarsh). Οι δύο µετασχηµατισµοί ορίζονται τυπικά στην Παράγραφο 3.. Από τον ορισµό έπεται άµεσα ότι ο µεγιστικός µετασχηµατισµός Hilbert είναι καλά ορισµένος. Το γεγονός όµως ότι ο µετασχηµατισµός Hilbert είναι επίσης καλά ορισµένος, δεν είναι και τόσο προφανές. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού δίνεται στην Παράγραφο 3.2. Χρησιµοποιούµε δύο ϐοηθητικούς µετασχηµατισµούς P y και Q y, οι οποίοι σε συνδυασµό µε τον µεγιστικό τελεστή των Hardy-Littlewood µας ϐοηθούν να αποδείξουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Hilbert. Επιπλέον, αποδεικνύουµε ότι ο µετασχηµατισµός Hilbert και ο µεγιστικός µετασχηµατισµός Hilbert είναι τελεστές τύπου p για κάθε < p <. Τέλος, στην Παράγραφο 3.3 αποδεικνύουµε κάποιες εκθετικές εκτιµήσεις για τον µετασχηµατισµό Hilbert και τον µεγιστικό µετασχηµατισµό Hilbert. Τα αποτελέσµατα αυτά είναι της ίδιας ϕύσης µε την εκθετική εκτίµηση που αποδείξαµε στο Θεώρηµα 2.2.6 για τον µεγιστικό τελεστή των Hardy-Littlewood. 3. Οι τελεστές P y και Q y Ορισµός 3... Εστω f L (R). ορίζεται από την (3..) H y f(x) = π Για κάθε y > 0 ϑεωρούµε τη συνάρτηση H y f που { x t y} f(t) dt, x R. x t Ο µετασχηµατισµός Hilbert Hf της f ορίζεται κατόπιν ως εξής: (3..2) Hf(x) = lim H yf(x) = f(t) y 0 + π (pv) x t dt, 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ HILBERT όπου (pv) σηµαίνει «κύρια τιµή» (principal value). Οπως ϑα δούµε στη συνέχεια, η συνάρτηση Hf(x) ορίζεται σχεδόν παντού. Θεωρούµε επίσης τον µεγιστικό µετασχηµατισµό Hilbert H f της f, ο οποίος ορίζεται από την (3..3) H f(x) = sup{ H y f(x) : y > 0}. Στις εφαρµογές ϑα ϑεωρούµε συναρτήσεις f που ορίζονται σε κάποιο ϕραγµένο διάστηµα. Ετσι, χωρίς περιορισµό της γενικότητας, µπορούµε να υποθέτουµε στη συνέχεια ότι όλες οι συναρτήσεις f, g,... που εξετάζουµε έχουν συµπαγή ϕορέα. Αν κάνουµε αυτήν την υπόθεση, κάποιες από τις αποδείξεις γίνονται απλούστερες. Αξίζει όµως τον κόπο να σηµειώσουµε ότι τα αποτελέσµατα ισχύουν γενικότερα. Ορισµός 3..2. Για κάθε y > 0 ορίζουµε δύο γραµµικούς τελεστές P y και Q y, που σχετίζονται µε τον H y, ως εξής: (3..4) P y f(x) = π και y f(t) (x t) 2 + y 2 dt, x R (3..5) Q y f(x) = π x t f(t) (x t) 2 dt, x R. + y2 Εύκολα ελέγχουµε ότι οι P y f(x) και Q y f(x) είναι καλά ορισµένες για κάθε x R και τυπικά έχουµε Q 0 f(x) = Hf(x). Πράγατι, έστω f L (R). Για κάθε y > 0 και για κάθε x, t R, 0 y (x t) 2 + y 2 y y 2 = y, άρα y f(t) (x t) 2 dt + y2 f(t) y dt = y f <, δηλαδή η P y f(x) ορίζεται καλά. Η γραµµικότητα του P y είναι προφανής.