HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες z g1 x, y και z g x, y στο επίπεδο Oxy. Το τριπλό ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f,, είναι ίσο με g x, y b x g x, y f x, y, z d f x, y, z dzdydx f x, y, z dzdydx. R g x, y a x g x, y 1 1 1 και R η προβολή του x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο Για f x, y, z 1, το τριπλό ολοκλήρωμα,, στερεού. b x g x, y f x y z d d dzdydx δίνει τον όγκο του a x g x, y 1 1 Αλλαγή συντεταγμένων Κυλινδρικές συντεταγμένες Η θέση ενός σημείου P στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων δίνεται από τη διατεταγμένη 3 άδα r,, z, x rcos όπου y rsin και xyz,, οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου P. z z
Στοιχείο όγκου Το τριπλό ολοκλήρωμα f,, x y z dxdydz μίας συνεχούς συνάρτησης f x, y, z στο χωρίο μπορεί να εκφραστεί σε κυλινδρικές συντεταγμένες ως cos, sin, μετασχηματίζεται το με την αλλαγή συντεταγμένων. ' f r r z rdrddz, όπου ' το χωρίο στο οποίο Σφαιρικές συντεταγμένες Η θέση ενός σημείου P στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων δίνεται από τη διατεταγμένη 3 άδα r,,, όπου x rsincos y rsinsin και xyz,, οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σημείου P. z rcos Στοιχείο όγκου Το τριπλό ολοκλήρωμα f,, x y z dxdydz μίας συνεχούς συνάρτησης f x, y, z στο χωρίο μπορεί να εκφραστεί σε σφαιρικές συντεταγμένες ως χωρίο στο οποίο μετασχηματίζεται το με την αλλαγή συντεταγμένων. ' f rsin cos, rsin sin, rcos r sin drd d, όπου ' το
Ασκήσεις 1. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από την φράσσεται πάνω από τo επίπεδο xyz 10. x y 4 και. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται πάνω από την x y z 4 και κάτω από το επίπεδο z 1. 3. Ένα ημισφαιρικό δοχείο ακτίνας 5cm είναι μερικώς γεμάτο με νερό, η στάθμη του οποίου απέχει 3cm από την κορυφή του ημισφαιρίου. Βρείτε τον όγκο του νερού. 3 5
Λύσεις 1. Το στερεό του οποίου τον όγκο θέλω να υπολογίσω φαίνεται παρακάτω (είναι αυτό με τις κόκκινες ακμές): (επίπεδο) (κύλινδρος ακτίνας βάσης και άξονα τον z z) Στη συγκεκριμένη περίπτωση συμφέρει η χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων (δύο ενδείξεις που συνηγορούν σε αυτή την επιλογή είναι ότι η περιοχή ολοκλήρωσης αποτελεί τμήμα κυλίνδρου και ότι η «σκιά» του στερεού στο επίπεδο Oxy είναι τμήμα κυκλικού δίσκου). Οφείλω να εκφράσω τις εξισώσεις, τόσο του επιπέδου z 10 x y, όσο και του κυλίνδρου x y 4 χρησιμοποιώντας τις κυλινδρικές συντεταγμένες. Έτσι, η εξίωση του επιπέδου γίνεται z 10 rcos rsin και η εξίσωση του κυλίνδρου γίνεται r 4 r. Ο όγκος του στερεού μπορεί να υπολογιστεί από το 3πλό ολοκλήρωμα rdzdrd Υπολογισμός ορίων ολοκλήρωσης:. Όρια ολοκλήρωσης ως προς z Δεδομένου ότι επιλέγω να ολοκληρώσω πρώτα ως προς z, θεωρώ σταθερά r και και βρίσκω τα όρια ολοκλήρωσης στην κατακόρυφη διεύθυνση. Τα όρια αυτά μπορούν να είναι συνάρτηση των r και θ. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα όρια ολοκλήρωσης είναι: zmin 0 και zmax 10 rcos rsin. Όρια ολοκλήρωσης ως προς r Για τον υπολογισμό των ορίων ολοκλήρωσης ως προς r σχεδιάζω κατ αρχήν τη «σκιά», R, του στερεού στο επίπεδο Oxy. Στη συνέχεια, σταθεροποιώ την τιμή της και βρίσκω τα όρια ολοκλήρωσης της r κατά
μήκος της ακτίνας που αντιστοιχεί στη δεδομένη τιμή της. Τα όρια αυτά μπορούν να είναι συνάρτηση της θ. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα όρια ολοκλήρωσης είναι: rmin 0 και rmax. Παρατηρείστε ότι τα όρια στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ανεξάρτητα της τιμής του. Όρια ολοκλήρωσης ως προς Από τη «σκιά» του στερεού φαίνεται ότι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς είναι min 0 και max /. Τα όρια αυτά είναι σε κάθε περίπτωση καθαροί αριθμοί. Τελικά, ο όγκος του στερεού δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα: / 10rcosrsin / / 8 8 rdzdrd 10r r cos r sin drd 0 cos sind 3 3 0 0 0 0 0 0 16 10 3 Είναι προφανές, ότι ο υπολογισμός του ζητούμενου όγκου θα μπορούσε να γίνει χρησιμοποιώντας διπλό ολοκλήρωμα (ολοκλήρωση της f x, y 10x y στο επίπεδο χωρίο R).
. Το στερεό του οποίου τον όγκο θέλω να υπολογίσω φαίνεται παρακάτω (είναι αυτό με τις κόκκινες ακμές): (σφαίρα ακτίνας με κέντρο την αρχή των αξόνων) (επίπεδο) Στη συγκεκριμένη περίπτωση συμφέρει η χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων δεδομένου ότι η «σκιά» του στερεού στο επίπεδο Oxy είναι τμήμα κυκλικού δίσκου). Οφείλω να εκφράσω τις εξισώσεις, τόσο του επιπέδου z 1, όσο και της σφαίρας x y z 4 σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Έτσι, η εξίωση του επιπέδου παραμένει z 1 ενώ η εξίσωση της σφαίρας γίνεται r z 4. Ο όγκος του στερεού μπορεί να υπολογιστεί από το 3πλό ολοκλήρωμα rdzdrd Υπολογισμός ορίων ολοκλήρωσης:. Όρια ολοκλήρωσης ως προς z Δεδομένου ότι επιλέγω να ολοκληρώσω πρώτα ως προς z, θεωρώ σταθερά r και και βρίσκω τα όρια ολοκλήρωσης στην κατακόρυφη διεύθυνση. Τα όρια αυτά μπορούν να είναι συνάρτηση των r και θ. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα όρια ολοκλήρωσης είναι: zmin 1 και zmax 4 r. Παρατηρήστε ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση τα όρια εξαρτώνται μόνο από την r. Όρια ολοκλήρωσης ως προς r Για τον υπολογισμό των ορίων ολοκλήρωσης ως προς r σχεδιάζω κατ αρχήν τη «σκιά», R, του στερεού στο επίπεδο Oxy.
Η τομή του επιπέδου z 1 και της επιφάνειας της σφαίρας r z 4 είναι προφανώς κύκλος, ο οποίος επαληθεύει την εξίσωση r 1 4 r 3 r 3, συνεπώς έχει ακτίνα ίση με 3. Άρα, η «σκιά» R είναι κυκλικός τομέας ακτίνας 3. Στη συνέχεια, σταθεροποιώ την τιμή της και βρίσκω τα όρια ολοκλήρωσης της r κατά μήκος της ακτίνας που αντιστοιχεί στη δεδομένη τιμή της. Τα όρια αυτά μπορούν να είναι συνάρτηση της θ. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τα όρια ολοκλήρωσης είναι: rmin 0 και rmax 3. Παρατηρείστε ότι τα όρια στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ανεξάρτητα της τιμής του. Όρια ολοκλήρωσης ως προς Από τη «σκιά» του στερεού φαίνεται ότι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς είναι min 0 και max /. Τα όρια αυτά είναι σε κάθε περίπτωση καθαροί αριθμοί. Τελικά, ο όγκος του στερεού δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα: 1 4 4 / 3 4 r / 3 / 3 3/ r rdzdrd r r r drd r d 3 0 0 1 0 0 0 0 / 0 5 5 d 6 1
3. Ζητώ να βρω τον όγκο του χωρίου (αυτού με μπλε χρώμα), δηλ. του τμήματος του ημισφαιρίου ακτίνας 5 και κέντρου (0,0,0) που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων z 0 και z. Επιλέγω να χρησιμοποιήσω κυλινδρικές συντεταγμένες, οπότε η εξίσωση του ημισφαιρίου γίνεται r z 5, ενώ ο ζητούμενος όγκος δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα rdrdzd. Υπολογισμός ορίων ολοκλήρωσης: Όρια ολοκλήρωσης ως προς r Δεδομένου ότι επιλέγω να ολοκληρώσω πρώτα ως προς r, θεωρώ σταθερά z και και βρίσκω τα όρια ολοκλήρωσης κατά την ακτινική διεύθυνση (διεύθυνση των r ). Τα όρια αυτά μπορούν να είναι συνάρτηση των z και θ. Από το διπλανό σχήμα, προκύπτει εύκολα ότι τα όρια ολοκλήρωσης είναι: rmin 0 και r max 5 z.
Όρια ολοκλήρωσης ως προς z Τα όρια ολοκλήρωσης ως προς z μπορούν να είναι συνάρτηση μόνο του (και όχι του r), εφόσον η ολοκλήρωση ως προς z προηγείται αυτής ως προς και ακολουθεί την ολοκλήρωση ως προς r. Προφανώς, τα όρια αυτά είναι zmin 0 και zmax. Όρια ολοκλήρωσης ως προς Τα όρια ολοκλήρωσης ως προς είναι καθαροί αριθμοί και είναι min 0 και max. Τελικά, ο όγκος του νερού δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα: 3 5 z 5 5 z z z 3 14 rdrdzd dzd d 3 0 0 0 0 0 0 0