ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Σεπτεμβρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7/0/009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ. 0.8 ΘΕΜΑ. 0.7 ΘΕΜΑ..0 ΘΕΜΑ. 0.7 ΘΕΜΑ.3 0.8 ΘΕΜΑ 3..0 ΘΕΜΑ 3. 0.7 ΘΕΜΑ 3.3 0.8 ΘΕΜΑ 4. 0.9(0.3,0.3,0.3) ΘΕΜΑ 4. 0.5 ΘΕΜΑ 4.3 0.6 ΘΕΜΑ 5. 0.8 ΘΕΜΑ 5. 0.5 ΘΕΜΑ 5.3 0.7 ΘΕΜΑ 5.4.5 ΣΥΝΟΛΟ Επιτρέπεται η χρήση ενός μόνο συνόλου από τα βιβλία της κατάστασης του μαθήματος καθώς και οι σημειώσεις που υπάρχουν στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Οι λύσεις γράφονται στις αριθμημένες σελίδες. Οι οπίσθιες σελίδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν πρόχειρα. Απαγορεύεται η χρήση άλλων σελίδων. Τα κινητά δεν θα είναι επάνω στα θρανία και πρέπει να είναι κλειστά καθ όλη τη διάρκεια της εξέτασης διαφορετικά επισύρουν ποινή αποκλεισμού από αυτήν. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΘΕΜΑ ο Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός συστήματος 5 4 3 ψ (s) s + s + s (a+ 4+ N 0) + s (a+ 4+ N 0) + sa(4+ N 0) + a(4+ N 0 ) όπου Ν 0 είναι το τελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας.. Εάν το a μεταβάλλεται στο διάστημα (-, ), να προσδιοριστεί για ποιές τιμές του a δεν είναι δυνατόν να αποφανθείτε για την ευστάθεια του συστήματος. (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα -3 - - 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 Άλλο. Να προσδιοριστεί για ποιές τιμές του a οι ρίζες του πολυωνύμου έχουν πραγματικό μέρος μικρότερο του -. (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα >.5 >3.8 >4.89 >5.63 >7.4 >.4 >5.3 >8.7 >.5 <.4 <.89 <.36 <3.45 <4.78 <5.69 <7.0 <8.4 <.5 Άλλο Λύση ος Τρόπος Το χαρακτηρηστικό πολυώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως ακολούθως ψ (s) s + s + s (a + 4 + N ) + s (a + 4 + N ) + sa(4 + N ) + a(4 + N ) 5 4 3 0 0 0 4 0 0 4 0 0 s (s + ) + s (a + 4 + N )(s + ) + a(4 + N )(s + ) (s + ) s + s (a + 4 + N ) + a(4 + N ) (s + )(s + a)(s + 4 + N 0) Για την ευστάθεια του συστήματος δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν συμπεράσματα όταν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει διπλές ρίζες επάνω στο φανταστικό άξονα (χρειάζεται τότε και η μήτρα Α). Από τη μορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύμου προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει όταν ή a0 a4+n 0. Συνεπώς οι σωστές απαντήσεις ανάλογα με τον αριθμό μητρώου θα είναι N 0 0 N 0 N 0 N 0 3 N 0 4 N 0 5 N 0 6 N 0 7 N 0 8 N 0 9 a0 a4 a0 a5 a0 a6 a0 a7 a0 a8 a0 a9 a0 a0 a0 a a0 a a0 a3. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ρίζα την s - η οποία δεν εξαρτάται από το a και η οποία έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του -. Συνεπώς δεν υπάρχει τιμή του a ώστε οι ρίζες του πολυωνύμου να έχουν πραγματικό μέρος μικρότερο του -. ος Τρόπος Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η διάταξη Routh η οποία για το δοθέν χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα έχει τη μορφή s 5 a+n 0 +4 a(n 0 +4) s 4 a+n 0 +4 a(n 0 +4) 0

s 3 0 0 s 3 4 (a+n 0 +4) s 0.5(a+N 0 +4) a(n 0 +4) s (a+n 0 +4) -4a(N 0 +4) s 0 a(n 0 +4) Καθώς η τρίτη γραμμή μηδενίζεται, το βοηθητικό πολυώνυμο θα είναι 4 B(s) s + s (a + 4 + N 0) + a(4 + N 0) και η τρίτη γραμμή ξαναγράφεται χρησιμοποιώντας τους συντελεστές του πολυωνύμου db(s) + + + ds 3 4s s(a 4 N 0) Εάν επόμενη γραμμή μηδενίζεται για μία τιμή του a, θα υπάρχουν πολλαπλές ρίζες στο βοηθητικό πολυώνυμο και εάν αυτές είναι επάνω στο φανταστικό άξονα δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν συμπεράσματα για την ευστάθεια. Η γραμμή που αντιστοιχεί στο s δεν μηδενίζεται για καμία τιμή του a καθώς θα απαιτούσε την ικανοποίηση του συστήματος a+ 4+ N0 0 a(4+ N ) 0 ή ισοδύναμα τον μηδενισμό του 4+Ν 0 ο οποίος είναι αδύνατος. Η γραμμή που αντιστοιχεί στο s μηδενίζεται όταν (a+n 0 +4) -4a(N 0 +4)0 ή ισοδύναμα an 0 +4 Για την τιμή αυτή το δεύτερο βοηθητικό πολυώνυμο που αντιστοιχεί στη σειρά του s θα είναι B(s) s(4+ N) + (4+ N) 0 0 0 οπότε οι δύο τελευταίες γραμμές της διάταξης γίνονται s (N 0 +4) s 0 (N 0 +4) Επειδή στην πρώτη στήλη της διάταξης Routh, όπως έχει διαμορφωθεί δεν υπάρχουν αλλαγές προσήμου, δεν θα υπάρχουν ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου στο δεξιό ημιεπίπεδο και συνεπώς οι ρίζες του βοηθητικού πολυωνύμου B(s) θα είναι πολλαπλές επάνω στον φανταστικό άξονα. Η γραμμή που αντιστοιχεί στο s 0 μηδενίζεται όταν a(n 0 +4)0 ή ισοδύναμα a0 Για την τιμή αυτή το βοηθητικό πολυώνυμο Β(s) έχει διπλή ρίζα την s0 επάνω στο φανταστικό άξονα και συνεπώς δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν συμπεράσματα για την ευστάθεια του συστήματος.. Θέτοντας 3

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο γίνεται ˆ s - + s ψ (s) ψ(sˆ ) (sˆ ) + (sˆ ) + (sˆ ) (a+ 4+ N ) + (sˆ ) (a+ 4+ N ) + 5 4 3 0 0 + (sˆ )a(4 + N 0) + a(4 + N 0) 5 4 3 4 3 sˆ 0sˆ + 40sˆ 80sˆ + 80sˆ 3 + sˆ 8sˆ + 4sˆ 3sˆ+ 6 + 3 + { s ˆ 6sˆ + sˆ 8 + s ˆ 4sˆ+ 4 } (a + 4 + N 0) + {(sˆ ) + } a(4 + N 0) ŝ 9s ˆ + (36 + a + N )s ˆ (76 + 5N + 5a)s ˆ + (80 + 8N + a + an )sˆ 3 4N 8a an ψˆ(s) ˆ 5 4 3 0 0 0 0 0 0 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο θα έχει ρίζες με πραγματικό μέρος μικρότερο του - εάν και μόνο εάν το πολυώνυμο ψ(s) ˆ ˆ είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Από το θεώρημα του Stodola αυτό είναι αδύνατο αφού οι συντελεστές του πεμπτοβάθμιου και του τεταρτοβάθμιου όρου είναι ετερόσημοι. ΘΕΜΑ ο + _ K G(s) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς s + as+ a G(s) s + s+ με Κ>0,. Να δειχθεί ότι τμήματα του γεωμετρικού τόπου είναι τόξα περιφέρειας της οποίας ζητείται να προσδιοριστεί το κέντρο και η ακτίνα.. Εάν a *(Ν 0 +5) a (Ν 0 +5) + όπου Ν 0 το τελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας, να σχεδιαστεί ο Γεωμετρικός Τόπος των Ριζών της G(s) λαμβάνοντας υπόψη το ερώτημα (). 3. Εάν στην είσοδο αναφοράς εφαρμοστεί βηματική συνάρτηση, στην έξοδο θα εμφανιστεί μία αποσβεννύμενη ταλάντωση κυκλικής συχνότητας ω d. Να προσδιοριστούν τα όρια μεταβολής της ω d καθώς μεταβάλλεται το Κ και να ευρεθεί η τιμή του Κ ώστε το ω d να λαμβάνει την μέγιστη τιμή του. Λύση. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου θα είναι Έστω ψ (s) D (s) + KN (s) s + s + + K(s + a s + a ) c G G + + + + + ( K)s ( Ka )s ( Ka ) 4

s x+ jy ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Αντικαθιστώντας στο ψ(s) λαμβάνεται ψ (s) ( + K)(x y + jxy) + ( + Ka )(x + jy) + ( + Ka ) 0 c Εξισώνοντας τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των δύο μελών της εξίσωσης λαμβάνεται το σύστημα των εξισώσεων Από τη δεύτερη εξίσωση λαμβάνεται ή επιλύοντας ως προς Κ ( + K)(x y ) + ( + Ka )x + ( + Ka ) 0 ( + K)xy + ( + Ka )y 0 y0 x K x + a Αντικαθιστώντας την τιμή του Κ στην πρώτη εξίσωση, λαμβάνεται ή ισοδύναμα ή ή ή x x x + (x y ) + + a x+ + a x + a x + a x + a 0 (a )(x y ) + (4x xa )x + (4x + a a x a ) 0 (a )(x + y ) (4x + a a x a ) 0 a a a x + y x+ 0 a a + y a a a a (a ) (a a ) x + + a a a (a ) Η τελευταία σχέση είναι η εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο και ακτίνα a (x K,y K),0 a R (a ) + (a a ) (a ) 5

ος Τρόπος Έστω s x+ jy σημείο του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών. Αυτό θα ικανοποιεί τη σχέση G(s) G(x + jy) K Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της τελευταίας εξίσωσης λαμβάνονται οι σχέσεις Re{ G(x + jy) } K Im G(x + jy) 0 { } Η πρώτη σχέση χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του Κ. Η δεύτερη σχέση εκφράζει την εξίσωση του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών. Για την συγκεκριμένη συνάρτηση μεταφοράς θα είναι (x + jy) + a (x + jy) + a x y + ax + a + j(xy + ay) Im{ G(x+jy) } Im Im (x + jy) + (x + jy) + x y + x + + j(xy + y) x y ax a j(xy ay) x y x j(xy y) Im + + + + + + + 0 x y + x + + j(xy + y) x y + x + j(xy+ y) Από την τελευταία σχέση, καθώς ο παρονομαστής είναι πραγματικός αριθμός, λαμβάνεται x y + ax + a [ xy + y] + x y + x + [ xy + ay] 0 Καθώς η λύση y0 δίνει σημεία του Τόπου επάνω στον πραγματικό άξονα, από την τελευταία σχέση προκύπτει x y + ax+ a [ x+ ] + x y + x+ [ x+ a] 0 ή ισοδύναμα ax ax + x + y a + 4x ay + a 0 ή ( a ) a a x + x+ y + 0 a a Η τελευταία σχέση ταυτίζεται με εκείνη του ου τρόπου και δεν χρειάζεται να επαναληφθεί η συνέχεια.. Για Ν 0 5 θα είναι a 0 a 0 οπότε ο γεωμετρικός τόπος θα είναι τόξα κύκλου με κέντρο το σημείο και ακτίνα a 99 (x K, y K),0,0 ( 5.5,0) a 8 6

(a ) + (a a ) 8 + 8 R 4.6 (a ) 8 Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα 5 Root Locus 4 3 Imaginary Axis 0 - - -3-4 -5 - -0-8 -6-4 - 0 Real Axis 3. Το ω d θα είναι ίσο με το φανταστικό μέρος του πόλου για την αντίστοιχη τιμή του Κ. Τα μηδενικά του συστήματος θα είναι οι ρίζες του πολυωνύμου οι οποίες είναι ψ (s) s + a s + a s + (N + 5)s + (N + 5) + z 0 0 (N0 + 5) ± 4(N0 + 5) 4(N0 + 5) 4 s, ( N0 + 5) ± j Οι πόλοι του συστήματος είναι οι ρίζες του πολυωνύμου οι οποίες είναι ψ + + p (s) s s ± 4* s, ± j Επομένως η ελάχιστη τιμή του ω d θα είναι rad/sec. Η μέγιστη τιμή του ω d θα είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου του γεωμετρικού τόπου των ριζών, δηλαδή θα είναι 7

+ (N + 8) + (N + 5) + (N + 5) ω (a ) (a a ) 0 0 0 dmax R (a ) (N0 + 8) 4 [ ] [ ] (N + 8) + (N + 4) 4 + (N + 4) 0 0 0 (N0 + 8) 4 Για τις διάφορες τιμές του N 0 θα είναι N 0 0 N 0 N 0 N 0 3 N 0 4 ω dmin ω dmin ω dmin ω dmax.69 ω dmax 3.6 ω dmax 3.64 ω dmin ω dmax.4 ω dmin ω dmax 4.6 ω dmin ω dmax 4. N 0 5 N 0 6 N 0 7 N 0 8 N 0 9 ω dmin ω dmin ω dmin ω dmax 5. ω dmax 5.59 ω dmax 6.08 ω dmin ω dmax 6.58 Για τη μέγιστη τιμή του ω d η τετμημένη του σημείου θα είναι η τετμημένη του κέντρου του κύκλου, οπότε θα είναι x a a K x + a x a 4 a a + a a (N + 5) + 4(N + 5) (N + 4) 4 (N + 5) + + 4(N + 5) 4(N + 5) δηλαδή είναι ανεξάρτητο της τιμής του Ν 0. 0 0 0 (N 0 0 0 0 + 4) ος Τρόπος Το μέγιστο ω d θα συμβαίνει για το σημείο του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών s o το οποίο έχει τη μεγαλύτερη απόσταση από τον άξονα των πραγματικών. Καθώς αυτό είναι το σημείο τομής της περιφέρειας του κύκλου με τη μεσοκάθετο του τμήματος που συνδέει τον πόλο + j με το μηδενικό (N0 + 5) + j, η οποία ταυτίζεται με τη μεσοκάθετο του τμήματος που συνδέει τον πόλο j με το μηδενικό (N0 + 5) j, θα είναι (s + j)(s + + j) o o K G(s o) (so + N0 + 5 j)(so + N0 + 5 + j) επειδή (s + j) (s + N + 5 j) o o 0 (s + + j) (s + N + 5 + j) o o 0 3 ος Τρόπος Εάν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου γραφεί ώστε ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του να είναι ίσος με τη μονάδα, θα ισχύει 8

Από την τελευταία σχέση προκύπτει Το ω d θα είναι + Ka + Ka ψ (s) s + ζω s +ω s + s + + K + K c n n ω n + Ka + K + Ka + Ka + K ζ ω + K (+ K) + Ka n + Ka (+ Ka ) ω d ωn ζ + K 4( +Κ )(+ Ka ) Για τις τιμές των a, a που δίδονται θα είναι 4+ 8Κ+ 4 Κ(a a ) + 4Κ a Κ a ( +Κ) K(N0 + 4) ω d 4+ 8Κ+ 4 Κ (N0 + 4) + 4Κ + ( +Κ ) ( + K) Παραγωγίζοντας το ω d ως προς Κ λαμβάνεται d ω (N + 4) ( + K) K(N + 4) ( + K) ( + dk K(N + 4) K(N + 4) + + ( + K) ( + K) d 0 0 N0 4) 0 0 ( K ) Για Κ> η συνάρτηση ω d (Κ) είναι φθίνουσα και συνεπώς η μία ελάχιστη τιμή του ω d θα είναι ω dmin ω d K Για Κ< η συνάρτηση (Κ) είναι αύξουσα και συνεπώς η μία ελάχιστη τιμή του ω d θα είναι ω dmin ω d K 0 Η μέγιστη τιμή του ω d θα συμβαίνει όταν Κ και θα είναι (N0 + 4) ω dmax + 4 ΘΕΜΑ 3 o Για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος δίδεται ότι η ονομαστική συνάρτηση μεταφοράς του προς έλεγχο συστήματος είναι + _ K G(s) 9

s+0.5(+n ) G N(s)6 s-3s+ όπου Ν είναι το προτελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας.. Να σχεδιαστεί το διάγραμμα Nyquist της G Ν (s) αφού πρώτα προσδιοριστούν τα σημεία τομής του με τον πραγματικό και τον φανταστικό άξονα.. Εάν ο ελεγκτής K(s) είναι σταθερά ανεξάρτητη του s, χρησιμοποιώντας το θεώρημα ευστάθειας του Nyquist, να προσδιοριστούν οι τιμές του Κ ώστε το αντισταθμισμένο σύστημα να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. 3. Εάν το προς έλεγχο σύστημα μεταβάλλεται και η συνάρτηση μεταφοράς του είναι s+0.5(+n ) G(s)G N(s)+Δ(s)6 + Δ(s) s-3s+ όπου Δ(s) ευσταθής συνάρτηση μεταφοράς η οποία ικανοποιεί την ανισότητα Δ(jω) < 0. να προσδιοριστεί η περιοχή του μιγαδικού επιπέδου μέσα στην οποία θα υπάρχει το διάγραμμα Nyquist της G(s) και να ευρεθεί η περιοχή μεταβολής του Κ, ώστε όλη η οικογένεια των συστημάτων να είναι ευσταθής. Λύση Εάν γραφεί θα είναι b0.5(+n ) 3 b+jω (b+jω)(-ω +j3ω) b(-ω )-3ω (3b+)ω-ω G N (jω)6 6 6 +j6 X+jY -ω -j3ω (-ω -j3ω)(-ω +j3ω) (-ω )+9ω (-ω )+9ω Για την τομή του διαγράμματος με τον άξονα των πραγματικών αριθμών τίθεται 3 (3b+)ω-ω Υ 6 0 (-ω )+9ω Από τη λύση της εξίσωσης προκύπτουν τα ω που αντιστοιχούν στις τομές ως εξής ω 0 x ω x ± 3b+ ω Για τις ανωτέρω τιμές τα σημεία τομής προκύπτουν 3x b(-ω )-3ω Χ 6 (-ω )+9ω ω0 3b b(-ω )-3ω b(-3b)-3(+3b) 6 ω± 3b+ Χ 6 6 - - (-ω )+9ω 9b +9(+3b) 3 0

b(-ω )-3ω Χ 36 ω 0 (-ω )+9ω Για την τομή του διαγράμματος με τον άξονα των φανταστικών αριθμών τίθεται b(-ω )-3ω Χ6 0 (-ω )+9ω Από τη λύση της εξίσωσης προκύπτουν τα ω που αντιστοιχούν στις τομές ως εξής ω ± y ω y b 3+b Για τις ανωτέρω τιμές τα σημεία τομής προκύπτουν b b 6 - +3b Y 6 b(3+b) 9b +9(+3b) 3 (3b+)ω-ω 3+b 3+b b (-ω )+9ω ω 3+b b b -6 - +3b Y 6 - b(3+b) 9b +9(+3b) 3 (3b+)ω-ω 3+b 3+b b (-ω )+9ω ω - 3+b 3 (3b+)ω-ω Y6 3 ω 0 (-ω )+9ω Τα σημεία τομής με τους άξονες για τα διάφορα Ν θα είναι Ν 0 Ν Ν Ν 3 Ν 4 Ν 5 Ν 6 Ν 7 Ν 8 Ν 9 (.5,0) (-,0) (0,0) (0,.87) (3,0) (-,0) (0,0) (0,.83) (4.5,0) (-,0) (0,0) (0,3.67) (6,0) (-,0) (0,0) (0,4.47) (7.5,0) (-,0) (0,0) (0,5.4) (9,0) (-,0) (0,0) (0,6) (0.5,0) (-,0) (0,0) (0,6.74) (,0) (-,0) (0,0) (0,7.48) (3.5,0) (-,0) (0,0) (0,8.) (5,0) (-,0) (0,0) (0,8.95) (0,-.87) (0,-.834) (0,-3.67) (0,-4.47) (0,-5.4) (0,-6) (0,-6.74) (0,-7.48) (0,-8.) (0,-8.95) Το διάγραμμα Nyquist G N (s) για Ν 5 φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα

8 Nyquist Diagrams From: U() 6 4 Imaginary Axis To: Y() 0 - -4-6 -8-4 - 0 4 6 8 0 Real Axis. Το σύστημα ανοικτού βρόχου έχει σαν πόλους τις ρίζες του παρονομαστή της G N (s) οι οποίες είναι 3± 9-4* 3± p, δηλαδή έχει δύο πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο. Για να είναι ευσταθές το σύστημα κλειστού βρόχου πρέπει το σημείο -/Κ να περιτριγυρίζεται δύο φορές ανθωρολογιακά (καθώς το s διαγράφει μία φορά ωρολογιακά το D περίγραμμα) από το διάγραμμα Nyquist που φαίνεται στο Σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει ή ισοδύναμα 3. Από τη σχέση της G(s) λαμβάνεται οπότε θα είναι - < - < 0 K 0.5 < Κ s+b G(s) - G N(s) G(s) - 6 Δ(s) s-3s+ G(jω) - G N(jω) Δ(jω) < 0.

Η ανωτέρω σχέση σημαίνει ότι κάθε σημείο του διαγράμματος Nyquist της G(jω) βρίσκεται σε ένα κύκλο με κέντρο το αντίστοιχο σημείο της G N (jω) και ακτίνα ίση με 0.. Με κέντρο κάθε σημείο της G N (jω) και ακτίνα ίση με 0. γράφεται κύκλος. Στην ταινία που δημιουργείται θα βρίσκεται το διάγραμμα Nyquist της G(s). Αυτό φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα που κατασκευάστηκε με τη βοήθεια του προγράμματος MATLAB. clear all for I:000 a(i)i*0.05*(i-); center(i)6*(a(i)+3)/(a(i)^-3*a(i)+); radius(i)0.; for K:00 t(i,k)center(i)+radius(i)*exp(i**pi*(k-)/99); tr(i,k)real(t(i,k)); ti(i,k)imag(t(i,k)); end end plot(tr,ti,'g',tr,-ti,'g') axis equal 6 4 0 - -4-6 -5 0 5 0 Επειδή το διάγραμμα Nyquist τέμνει τον πραγματικό άξονα υπό γωνία περίπου 45 ο, η πράσινη ζώνη θα τέμνει τον πραγματικό άξονα στο διάστημα (.4,-.86). Για να εξασφαλίζεται η ευστάθεια όλης της οικογένειας των συστημάτων κλειστού βρόχου το σημείο -/Κ πρέπει να περιτριγυρίζεται δύο φορές ανθωρολογιακά από το διάγραμμα Nyquist της G(s). Αυτό θα συμβαίνει εάν ή ισοδύναμα -.86 < - < -0. K 0.5376 < Κ < 0 3

ΘΕΜΑ 4 ο Δίδεται σύστημα που περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως 0 0 0 0 u(k) 0 0 x(k+) 0 0 x(k)+ 0 y(k) x(k) x(0) 0 u(k) 0 0 a 0 0. N 0 0 όπου Ν είναι το τρίτο από το τέλος ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας.. α) Να ευρεθεί η τιμή ή οι τιμές του a για να είναι το σύστημα μη ελέγξιμο. (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα Κάθε a 0 0.5 0.9.5.8..7 3. a 3.6 4. 4.5 4.9 5.4 6.3 6.8 7. 8. Άλλο a β) Να ευρεθεί η τιμή ή οι τιμές του a για να είναι το σύστημα μη παρατηρήσιμο. (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα Κάθε a 0 0.5 0.9.5.8..7 3. a 3.6 4. 4.5 4.9 5.4 6.3 6.8 7. 8. Άλλο a γ) Εάν a το σύστημα είναι (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Ασυμπτωτικά Ευσταθές Ευσταθές Ασταθές Δεν μορώ να αποφανθώ. Είναι επιθυμητό το σύστημα να οδηγηθεί στην κατάσταση x(m) 5 0 Εάν a, να προσδιοριστεί ο ελάχιστος αριθμός βημάτων Μ για να επιτευχθεί ο στόχος. (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Μ Μ Μ3 Μ4 Δεν επιτυγχάνεται ο στόχος 3. Εάν σαν κόστος της οδήγησης θεωρηθεί το M- J(M) u (i)+u (i) i0 να προσδιοριστεί η είσοδος u (0) όταν επιτυγχάνεται ο στόχος με τον ελάχιστο αριθμό βημάτων και την ελάχιστη τιμή του κόστους J(Μ). (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Δεν επιτυγχάνεται - -0.5 0 0.4 0.8..5 3 ο στόχος 3.6 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 8 Άλλο u (0) 4

Λύση.α Η μήτρα ελεγξιμότητας θα είναι 0 0 0 N 0 a+0.n 0.a+0.0N 0 P c B AB AB 0 0 0 Για την εύρεση του βαθμού της μήτρας ελεγξιμότητας τη μετατρέπουμε σε κάνω τριγωνική με πράξεις επί των γραμμών της. Αφαιρώντας από την τρίτη γραμμή την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί Ν λαμβάνεται 0 0 0 ˆP c 0 0 0 0 0 a-0.9n 0.a-0.99N 0 Για να είναι ο βαθμός της μήτρας ελεγξιμότητας μικρότερος του 3 πρέπει η τελευταία γραμμή της μήτρας ˆP c να μηδενίζεται. Αυτό οδηγεί στο σύστημα των εξισώσεων a-0.9n 0.a-0.99N 0 Οι δύο εξισώσεις είναι συμβιβαστές και η περιγραφή δεν είναι ελέγξιμη όταν a0.9n Για τα διάφορα Ν το a προκύπτει Ν 0 Ν Ν Ν 3 Ν 4 Ν 5 Ν 6 Ν 7 Ν 8 Ν 9 a0 a0.9 a.8 a.7 a3.6 a4.5 a5.4 a6.3 a7. a8..β Η μήτρα παρατηρησιμότητας θα είναι 0 0 0 0 C 0 0 CA 0 0 0 0 P o CA 0 0 Ο βαθμός της μήτρας παρατηρησιμότητας είναι πάντα ίσος με <3. Συνεπώς το σύστημα είναι μη παρατηρήσιμο για όλες τις τιμές του a..γ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της περιγραφής του συστήματος θα είναι z- 0 0 -a 0 z-0. ψ(z)det(zi3-a)det 0 z- 0 (z-) (z-0.) Το πολυώνυμο δεν έχει ρίζες εκτός του μοναδιαίου κύκλου αλλά έχει διπλή ρίζα την z επάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου. Για να είναι ευσταθές το σύστημα πρέπει η μήτρα Α να διαγωνιοποιείται στην ιδιοτιμή αυτή και αυτό συμβαίνει όταν η μήτρα έχει τόσα 5

ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα στην ιδιοτιμή z όση είναι και η πολλαπλότητα της ρίζας, δηλαδή όταν ισχύει z- 0 0 0 0 0 rank(zi3-a) zrank 0 z- 0 zrank 0 0 0 n-3- -a 0 z-0. -a 0 0.9 Επειδή η τελευταία σχέση ισχύει, το σύστημα είναι ευσταθές αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθές.. Εάν ο στόχος μπορεί να επιτευχθεί σε ένα βήμα, θα πρέπει να ικανοποιείται η σχέση 0 0 0 0 u(0) u(0) x() 5 0 0 x(0)+ 0 0 u(0) u(0) 0 0 0. N 0 N 0 Από την τελευταία σχέση πρέπει να ισχύουν οι εξισώσεις u(0) u(0)5 N u (0)0 Καθώς το Ν είναι μεταξύ του 0 και του 9 το σύστημα των εξισώσεων δεν είναι συμβιβαστό και ο στόχος δεν μπορεί να επιτευχθεί σε ένα βήμα. Εάν ο στόχος μπορεί να επιτευχθεί σε δύο βήματα, θα πρέπει να ικανοποιείται η σχέση u() 0 0 u ( u() u() )+u (0) x() 5 A x(0)+ [ B AB ] 0 0 u ()+u (0) u(0) u(0) 0 N 0 + 0.N 0 Nu ()+( + 0.N )u (0) u(0) Από την τελευταία σχέση πρέπει να ισχύουν οι εξισώσεις u ()+u (0) u ()+u (0)5 N u ()+( + 0.N )u (0)0 Το σύστημα των εξισώσεων έχει οικογένεια λύσεων 0.N -9 u() -0.9N 0 N u(0) -0.9N u()x u(0)5-x όπου x αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Συνεπώς ανεξάρτητα από την τιμή του Ν το σύστημα μπορεί να οδηγηθεί στην επιθυμητή κατάσταση σε δύο βήματα και Μ είναι ο ελάχιστος αριθμός βημάτων. 3. Το κόστος της οδήγησης για τον ελάχιστο αριθμό βημάτων θα είναι 6

J() u (i)+u (i) u (0)+u ()+u (0)+u ()c+x +(5-x) x -0x+5+c i0 Η ελάχιστη τιμή του J θα συμβαίνει όταν ή ισοδύναμα dj 4x-00 dx x.5 Συνεπώς ανεξάρτητα της τιμής του Ν θα είναι u (0)u ().5 7

ΘΕΜΑ 5 ο y Μ θ θ g Μ A Κ B Ο Ο x Στο σύστημα του σχήματος δύο μάζες Μ και Μ είναι στερεωμένες στα άκρα αβαρών ράβδων μήκους L και μπορούν να περιστραφούν ως προς άξονες Ο και Ο που βρίσκονται στα άλλα άκρα των αβαρών ράβδων. Το ελατήριο με σταθερά Κ είναι συνδεδεμένο στα μέσα των αβαρών ράβδων. Το ευθύγραμμο τμήμα Ο Ο είναι οριζόντιο και η απόσταση Ο Ο D είναι μεγαλύτερη του 4L ώστε να μην υπάρχει περίπτωση σύγκρουσης των μαζών. Οι μετακινήσεις υποτίθενται μικρές και η απόσταση Ο Ο αρκετά μεγάλη ώστε το ελατήριο να θεωρείται οριζόντιο για τα ζεύγη (θ,θ ). Το ελατήριο ασκεί μηδενική δύναμη όταν το μήκος του είναι Ο Ο. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g είναι κατακόρυφη, όπως στο Σχήμα.. Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς το διάνυσμα T x θ θ& θ θ&. Εάν Μ Μ, να προσδιοριστούν τα σημεία ισορροπίας του συστήματος. 3. Εάν g0m/s, Lm, M kg και Κ0Ν/m, να ευρεθεί το γραμμικοποιημένο μοντέλο του συστήματος στην περιοχή ενός σημείου ισορροπίας. Τί συμπεράσματα εξάγετε από την ευστάθεια ή την αστάθεια του ανωτέρω γραμμικού μοντέλου ως προς την ευστάθεια του σημείου ισορροπίας του συστήματος; 4. Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήματος ως προς το διάνυσμα T x θ θ& θ θ& Λύση εάν το ελατήριο δεν θεωρείται οριζόντιο κατά την κίνηση των μαζών.. Η επιμήκυνση του ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα θα είναι Δ D L ημθ ( ) + L ημθ ( ) 8

Συνεπώς η τάση του ελατηρίου θα είναι F ελ Κ* Δ D Κ[L ημ( θ ) + L ημ( θ )] Ας θεωρηθεί η περιστροφή της μάζας Μ ως προς τον άξονα Ο που φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα. y θ Μ g A F ελ Ο Στο σύστημα δρούν οι ακόλουθες δυνάμεις οι οποίες δημιουργούν ροπές ως προς το Ο ως εξής Το βάρος της μάζας Μ με ροπή Η δύναμη της τάσης του ελατηρίου με ροπή Τ Μ ημ θ gl* ( ) T F L συν( θ ) ΚL [ ημ( θ ) +ημ( θ )] συν( θ ) ελ Εφαρμόζοντας το νόμο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση, λαμβάνεται d θ d θ J Μ (L) T + T MgL ημ( θ) ΚL [ ημ( θ ) + ημ( θ)] συν( θ ) dt dt ή ισοδύναμα d g K dt L 4Μ θ ημθ ( ) [ ημθ ( ) +ημθ ( )] συνθ ( ) Ας θεωρηθεί η περιστροφή της μάζας Μ ως προς τον άξονα Ο που φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα. 9

θ F ελ B Μ g Ο Στο σύστημα δρούν οι ακόλουθες δυνάμεις οι οποίες δημιουργούν ροπές ως προς το Ο ως εξής (οι ροπές θεωρούνται θετικές εάν τείνουν να αυξήσουν τη γωνία θ ). Το βάρος της μάζας Μ με ροπή Τ ˆ Μ gl* ημ ( θ ) Η δύναμη της τάσης του ελατηρίου με ροπή ˆT F L συνθ ( ) ΚL [ ημθ ( ) +ημθ ( )] συνθ ( ) ελ Εφαρμόζοντας το νόμο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση, λαμβάνεται d θ d θ J Μ (L) Tˆ ˆ + T MgL ημ( θ) ΚL [ ημ( θ ) + ημ( θ)] συν( θ ) dt dt ή ισοδύναμα θ ημθ ( ) [ ημθ ( ) +ημθ ( )] συνθ ( ) d g K dt L 4Μ Οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς το διάνυσμα x που δίδεται θα είναι x& x g K x (x) [ (x) (x)] (x) & ημ ημ +ημ 3 συν L 4Μ x& x 3 4 g K x (x ) [ (x ) (x )] (x ) & 4 ημ 3 ημ +ημ 3 συν 3 L 4Μ. Εάν Μ Μ Μ, τα σημεία ισορροπίας προκύπτουν από τις λύσεις του συστήματος των εξισώσεων x 0 g K ημ(x ) [ ημ (x ) + ημ(x 3)] συν (x ) 0 L 4Μ 0

x4 0 g K ημ(x 3) [ ημ (x ) + ημ(x 3)] συν (x 3) 0 L 4Μ Πρώτη περίπτωση Από τη δεύτερη και τέταρτη εξίσωση, εάν θεωρηθεί λαμβάνεται ή ισοδύναμα ή ισοδύναμα ημ(x 3)[ ημ (x ) + ημ(x 3)] συν(x 3) 0 ημ(x ) συν(x ) ημ(x ) συν(x ) 3 3 εφ (x ) εφ (x 3) x x 3 Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση, λαμβάνεται καθώς ημ(x ) δεν μηδενίζεται εξ υποθέσεως gμ συν (x ) Κ L Είναι προφανές ότι για να υπάρχει πραγματική γωνία x πρέπει gμ ΚL Το φυσικό νόημα του περιορισμού είναι το ακόλουθο. Εάν το Κ είναι αρκετά μικρό ώστε να μην ισχύει η ανισότητα, η δύναμη του ελατηρίου είναι μικρή και η ροπή της ως προς το σημείο περιστροφής δεν μπορεί να αντισταθμίσει τη ροπή του βάρους με αποτέλεσμα οι μάζες να κινηθούν προς τα κατώτερα σημεία της διάταξης. Εάν gμ π 0 θ e τοξσυν ΚL τα σημεία ισορροπίας που προκύπτουν θα είναι [ ] [ ] x θ 0 θ 0 T e e e x θ 0 θ 0 T e e e Δεύτερη περίπτωση Εάν είναι σαφές ότι ημ(x 3)[ ημ (x ) + ημ(x 3)] συν (x 3) 0

συν(x 3) 0 διαφορετικά από την τέταρτη εξίσωση προκύπτει ότι και αδύνατο αφού πρέπει Εάν ημ (x 3) 0 συν (x ) + ημ (x ) 3 3 [ ημ (x ) +ημ (x 3)] 0 προκύπτει από τη δεύτερη και τέταρτη εξίσωση ότι οπότε ημ (x ) ημ (x 3) 0 x x3 kπ με k ακέραιο. Το ίδιο συμπέρασμα εξάγεται εάν υποτεθεί ότι ημ (x 3) 0 3. Το γραμμικοποιημένο μοντέλο του συστήματος θα είναι x& Ax όπου f f f f x x x3 x 4 f f f f x x x3 x 4 A f3 f3 f3 f3 x x x3 x4 f4 f4 f4 f 4 x x x3 x4 Καθώς x x f f f f3 f3 f3 f f f4 f4 0 x x x x x x x x x x 3 4 3 4 4 f x f x 3 4 f g K συν(x ) [ συν (x ) ημ (x ) ημ(x ) ημ(x 3 )] x L 4Μ e

3 f K συν(x 3) συν(x ) x 4Μ 3 f4 K συν(x ) συν(x 3) x 4Μ f4 g K συν(x 3) [ ημ(x ) ημ(x 3) ημ (x 3) +συν (x 3)] x L 4Μ θα είναι για τις τιμές που δίδονται α. Για το σημείο ισορροπίας θα είναι Οι ιδιοτιμές της Α είναι x x 0 3 0 0 0 g K K 0 0 0 0 0 L 4M 4M.4645 0-3.5355 0 Α 0 0 0 0 0 0 K g K -3.5355 0.4645 0 0 0 4M L 4M -.36.36 0 +.439i 0 -.439i Επειδή το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές και το μη γραμμικό σύστημα θα είναι ασταθές στο σημείο αυτό ισορροπίας β. Για το σημείο ισορροπίας θα είναι x x π 3 0 0 0 g K K 0 0 0 0 0 L 4M 4M -8.5355 0-3.5355 0 Α 0 0 0 0 0 0 K g K -3.5355 0-8.5355 0 0 0 4M L 4M Οι ιδιοτιμές της Α είναι 0 + 3.4743i 3

0-3.4743i 0 +.36i 0 -.36i Επειδή το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ευσταθές αλλά έχει πόλους επάνω στον φανταστικό άξονα δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν συμπεράσματα για το μη γραμμικό σύστημα στο σημείο αυτό ισορροπίας γ. Για τις τιμές που δίδονται θα είναι Για το σημείο ισορροπίας θα είναι gμ 0* συν (x ) συν (x 3) ΚL 0* x π x τοξσυν 4 3 0 0 0 g K K 0 0 0 + 0 0 4L 8M 8M 5.3033 0 -.7678 0 Α 3 0 0 0 0 0 0 K g K -.7678 0 5.3033 0 0 + 0 8M 4L 8M Οι ιδιοτιμές της Α 3 είναι -.659 -.8803.659.8803 Επειδή το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές και το μη γραμμικό σύστημα θα είναι ασταθές στο σημείο αυτό ισορροπίας Για το σημείο ισορροπίας θα είναι x π x 4 3 4

0 0 0 g K K 0 0 0 + 0 0 4L 8M 8M 5.3033 0 -.7678 0 Α 4 0 0 0 0 0 0 K g K -.7678 0 5.3033 0 0 + 0 8M 4L 8M Οι ιδιοτιμές της Α 4 είναι -.659 -.8803.659.8803 Επειδή το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές και το μη γραμμικό σύστημα θα είναι ασταθές στο σημείο αυτό ισορροπίας 4. y θ g Μ g A F ελ d Κ d Fελ θ B θ Ο Ο x Μ g Στην περίπτωση αυτή το σύστημα εμφανίζει τη μορφή του ανωτέρω Σχήματος. Οι συντεταγμένες των μέσων των ράβδων Α και Β αντίστοιχα ως προς το ορθογώνιο σύστημα x-y που φαίνεται στο Σχήμα θα είναι Η επιμήκυνση του ελατηρίου θα είναι xa L ημ( θ ) ya L συν( θ ) xb L ημ( θ ) + D yb L συν( θ ) 5

Δ D (x x ) + (y y ) D A B A B [L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D] + [L συν( θ ) L συν( θ )] D Συνεπώς η τάση του ελατηρίου θα είναι F ελ Κ* Δ D Κ [L ημθ ( ) + L ημθ ( ) + D] + [L συνθ ( ) L συνθ ( )] D Η γωνία θ που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με την οριζόντιο θα είναι yβ y Α L συν( θ) L συν( θ) θ τοξεϕ τοξεϕ xβ xα L ημ( θ ) + L ημ( θ) + D Η απόσταση d του Ο από το ΑΒ θα είναι L συν( θ) L συν( θ) d L συν( θ θ ) Lσυν θ τοξεϕ L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D Ας θεωρηθεί η περιστροφή της μάζας Μ ως προς τον άξονα Ο. Εφαρμόζοντας το νόμο του Νεύτωνα λαμβάνεται d θ d θ J Μ (L) M gl ημ( θ) Fελd dt dt L συν( θ) L συν( θ) MgL ημ( θ) Κ [L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D] + [L συν( θ) L συν( θ)] D *Lσυν θ τοξεϕ L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D Η απόσταση d του Ο από το ΑΒ θα είναι L συν( θ) L συν( θ) d L συν( θ +θ ) Lσυν θ +τοξεϕ L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D Ας θεωρηθεί η περιστροφή της μάζας Μ ως προς τον άξονα Ο. Εφαρμόζοντας το νόμο του Νεύτωνα λαμβάνεται d θ d θ J Μ (L) M gl ημ( θ) Fελd dt dt L συν( θ) L συν( θ) MgL ημ( θ) Κ [L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D] + [L συν( θ) L συν( θ)] D *Lσυν θ + τοξεϕ L ημ( θ ) + L ημ( θ ) + D Οι εξισώσεις καταστάςεως θα είναι x& x g Κ L συν(x 3) L συν(x ) x & ημ(x ) [L ημ (x ) + L ημ (x 3) + D] + [L συν(x 3) L συν(x )] D *Lσυν x τοξεϕ L 4ΜL L ημ (x ) + L ημ (x 3) + D x& x 3 4 g K L συν(x 3) L συν(x ) x & 4 ημ(x 3) [L ημ (x ) + L ημ (x 3) + D] + [L συν(x 3) L συν(x )] D *Lσυν x3 +τοξεϕ L 4ΜL L ημ (x ) + L ημ (x 3) + D 6