ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.) Λύση: f ( ) ( ) ( ) ( )! f α) Ο τύος της σειράς µε κέντρο το είναι ειµέρους οσότητες: f () si ' f '() (si ) ' f ''() (cos ) ' f '''() ( si ) f f (4) (5) ' () ( cos ) ' () (si ) (cos ) (si ) Και η σειρά τώρα είναι (cos ) (si ) (cos ) si Αντικαθιστώντας τώρα, όου 3 + 6 την οσότητα τιµή του, ου µας δίνει η άσκηση βρίσκουµε: ( ) f () f ( ). Υολογίζουµε τις! 46 o 5 46, και χρησιµοοιώντας την 8 o si 46.7938. β) Ο τύος της σειράς µε κέντρο το /4 είναι Υολογίζουµε τις ειµέρους οσότητες: ( ) f ( /4) si ( ).! 4 f( ) si, f '( ) (si ) (cos ) ' 4 4 4 4 4 f ''( ) (cos ) (si ) ' 4 4 4 Και η σειρά τώρα είναι si + +... 4 4 4
o 46 Αντικαθιστώντας τώρα, όου την οσότητα 46 και χρησιµοοιώντας την 8 o τιµή του, ου µας δίνει η άσκηση βρίσκουµε: si 46. 7934. Η ακριβής τιµή, ου δίνει ένας υολογιστής τσέης είναι: η δεύτερη µέθοδος είναι ακριβέστερη και γρηγορότερη. o si 46.7934 και άρα Άσκηση. ( µον.) Χρησιµοοιώντας τα ανατύγµατα των εµλεκόµενων συναρτήσεων σε σειρές Maclauri υολογίστε τα όρια: si (i) lim e e (ii) lim si Λύση: (ι) Το ανάτυγµα Maclauri του αριθµητή είναι: 6 si +... 3! 5! και άρα το όριο γίνεται 6 si lim lim ( +..) 3! (ιι) Το ανάτυγµα Maclauri του αριθµητή και του αρονοµαστή είναι: και το όριο γίνεται 3 5 e e + + + 3 6 3 5 si + + 6 3 5 + + + lim 3 6 3 5 + + 6 Το τελευταίο αοτέλεσµα αοκτάται διαιρώντας αριθµητή και αρανοµαστή µε, και αντικαθιστώντας όου το. Άσκηση 3. (5 µον.) (α) Χρησιµοοιώντας την µέθοδο της ολοκλήρωσης κατά αράγοντες, υολογίστε τα αόριστα ολοκληρώµατα:
α i. e cos( b) d ii. l d iii. l( + ) d (β) Χρησιµοοιώντας το κριτήριο σύγκλισης ου αρουσιάζεται στην Παράγραφο. (σελ.6) του βιβλίου σας, ελέγξτε ως ρος τη σύγκλιση τις σειρές: i. ii. 4 + σύµφωνα µε το αν τα αντίστοιχα γενικευµένα ολοκληρώµατα α είδους µε τα οοία οι σειρές αυτές συνδέονται δίνουν εερασµένο ή άειρο αοτέλεσµα. Λύση (α) a i. Αν θέσουµε I e cos( b) d, µε εανειληµµένη χρήση της µεθόδου της ολοκλήρωσης κατά αράγοντες, έχουµε: ( b) ( b) ( b) ( b) a ( b) a si a si a si a si a cos I e ( ) d e ( e ) d e e ( ) b b b b b d b a si ( b) a a cos( b) a cos( b) e ( e + ( e ) d) b b b b a a si ( b) ae cos( b) a a e + e cos ( b) d. b b b ( ) ( ) a a be si b + ae cos b a Άρα αοδείξαµε ότι I I. b b Λύνοντας την τελευταία σχέση ως ρος Ι έχουµε: a ( ) + ( ) ( ) + ( ) a a e ( bsi b acos b ) e ( bsi b acos b ) ( + ) I I b b a + b ii. l ( )'l l (l )' l 3 3 3 3 3 3 3 3 l d l + c 3 3 3 9 3 3 3 3 3 d d d d iii. 3
+ d + d + + d l( ) ( )'l( ) l( ) (l( ))' l( + ) ( + )' d l( + ) ( ) d + + + l( + ) d l( + ) d + + l( + ) ( ) d l( + ) d+ d + + l( + ) + ta + c. (β) i. Θεωρούµε την συνάρτηση f( ) στο διάστηµα [,) αλλά και φθίνουσα γιατί: 3, η οοία είναι ροφανώς θετική + f '( ) ( )' (( ) )' ( ) ( )' 3 + + + <. + ( + ) Συνεώς, µορούµε να εφαρµόσουµε το κριτήριο σύγκλισης (Θεώρηµα) της σελίδας 6 του βιβλίου σας, σύµφωνα µε το οοίο το ολοκλήρωµα σειρά f ( ) και η f ( ) συγκλίνουν ή αοκλίνουν συγχρόνως. Έτσι για το γενικευµένο ολοκλήρωµα έχουµε: d ( + ) d lim ( + + ) +. + ii. Άρα η υό µελέτη σειρά αοκλίνει. + ουλεύοντας ανάλογα µε το ροηγούµενο υοερώτηµα, χρησιµοοιούµε την θετική και φθίνουσα στο διάστηµα [,) συνάρτηση f( ) για την οοία 4 ισχύει ότι: d lim ( + ). 4 4 4 4 Συνεώς, το ολοκλήρωµα και η σειρά συγκλίνουν. 4
Άσκηση 4. ( µον.) Για τον ροσεγγιστικό υολογισµό του Ι d εργαστείτε ως εξής: (α) ιαµερίστε το διάστηµα ολοκλήρωσης σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους / και ακολουθήστε τη διαδικασία ου εριγράφεται στις σελίδες 39-4 του βιβλίου σας καταλήγοντας σε δύο ακολουθίες a, b ου ροσεγγίζουν το Ι ως κάτω ροσέγγιση και άνω ροσέγγιση αντίστοιχα. (β) Μια άλλη µέθοδος για τον ροσεγγιστικό υολογισµό ορισµένων b a ολοκληρωµάτων Ι f ( ) d είναι η µέθοδος του τραεζίου, η οοία εριγράφεται αό τον εξής αλγόριθµο: Βήµα. Ορίζουµε φυσικό αριθµό. b a Βήµα. Χωρίζουµε το διάστηµα [ a,b] σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους. Βήµα 3. Ορίζουµε τα άκρα των διαστηµάτων [ a, ], [ ],... [, b, όου a +, +,..., b +. Bήµα 4. Υολογίζουµε τις οσότητες, ] A [ f ( a) + f ( )], A [ f ( ) + f ( )],., A [ f( ) + f( b)] Βήµα 5. Το ολοκλήρωµα υολογίζεται ροσεγγιστικά αό την οσότητα c A + A + + A αφού Ι lim c. Bήµα 6. Εάν η ροσέγγιση δεν είναι ικανοοιητική, ηγαίνουµε στο Βήµα και αυξάνουµε τον αριθµό των υοδιαστηµάτων στα οοία χωρίσαµε το [a, b]. Ποια αό τις ακολουθίες a, b, c των ροηγούµενων ερωτηµάτων δίνει καλύτερη ροσέγγιση του ακριβούς αοτελέσµατος για, 3, 5, ; Λύση (α) ιαµερίζοντας το διάστηµα [,] σε ίσα υοδιαστήµατα µήκους / έχουµε: k k < + < + <... < k + < k + <... <. Η λετότητα της διαµέρισης αυτής είναι λ ma{ k k, k }. εδοµένου τώρα ότι η συνάρτηση f() είναι αύξουσα στο διάστηµα [,] (f ()>, [,]), οι µέγιστες και ελάχιστες τιµές της στα υοδιαστήµατα της αραάνω διαµέρισης είναι αντίστοιχα: 5
k f f + k fk ma{ f( ), [ k, k]} ( + ). k mi{ ( ), [ k, k]} ( ), H κάτω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος εοµένως ροκύτει ως εξής (βλ. και τύο 9.9 στη σελίδα 4 του βιβλίου σας): k ( k ) ( k ) a E( f ) ( ) f ( ) ( ) k k k + + + k k k ( + ( k ) + ( ) ) k + k+ 3 k k k k k ( ) ( ) ( + ) ( )( ) + + + + 3 6 6 3 + + +. 6 Αντίστοιχα, για την άνω ροσέγγιση του ολοκληρώµατος έχουµε: k k k b E( f ) ( ) f ( ) ( ) k k k + + + k k k ( + ) ( + )(+ ) ( + k+ k ) + + 6 3 k k + + 3+ + +. 6 Παρατηρούµε εοµένως ότι: 7 7 lim a + +, lim b + +. 6 3 6 3 Συνεώς και το υό µελέτη ορισµένο ολοκλήρωµα d είναι ίσο µε 7 3.333333. (β) Ακολουθώντας τα βήµατα του Αλγορίθµου ου εριγράψαµε ιο άνω για τον υολογισµό των εί µέρους τραεζίων, έχουµε στο αράδειγµα αυτό ότι οι ροσεγγίσεις του εµβαδού για διαµερίσεις σε τραέζια : c + + + + + + + ( ) ( )...( ) 4 Θέτοντας τώρα, 3, 5, στον τύο αυτό αίρνουµε c.375, c.3585, c.34, c.335 3 5 Στον εόµενο ίνακα καταγράφουµε τις ροσεγγίσεις ου δίνουν όλες οι ροηγούµενες ακολουθίες για, 3, 5 και, µαζί µε τα αντίστοιχα σφάλµατα αφαιρώντας κάθε αοτέλεσµα αό τη σωστή αάντηση ου είναι το.333333: 6
α Σφάλµα b Σφάλµα c Σφάλµα,65,78 3,5 -,79.375 -,4 3,85,48,85 -,59.358 -,73 5,4,93,64 -,37.34 -,67,85,48,485 -,5.335 -,67 Αό τον ως άνω ίνακα συµεραίνουµε ότι οι ακολουθίες των εκτιµήσεων του εµβαδού µέσω άνω και κάτω αραλληλογράµµων έχουν αρόµοια ακρίβεια, αλλά υστερούν κατά ολύ αό τη µέθοδο των τραεζίων της οοίας τα σφάλµατα είναι ολύ µικρότερα. Ο λόγος για αυτό είναι βέβαια το γεγονός ότι τα τραέζια αοτελούν ένα µέσο όρο µεταξύ των εκτιµήσεων των άνω και κάτω αραλληλογράµµων. Άσκηση 5. (5 µον.) Χρησιµοοιώντας το γεγονός ότι αν f ( ) a ( ) είναι δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R, τότε για κάθε α, β ( -R, +R) ισχύει ότι : β α β (α) Υολογίστε το ολοκλήρωµα f ( d ) ( a( ) d) α cos d, χρησιµοοιώντας την κατάλληλη δυναµοσειρά για το cos µε. Μέχρι οιας τάξης όρους ρέει να κρατήσετε για να µορείτε να ισχυρισθείτε ότι βρήκατε το αοτέλεσµα µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων; Λύση: Χρησιµοοιώντας το ανάτυγµα του συνηµιτόνου: 4 6 cos + +...! 4! 6! υολογίζουµε το ζητούµενο ολοκλήρωµα: 4 6 8 3 5 7 cos I d (...) d (...) d +! 4! 6! 8! +! 4! 6! 8! + +... 4 96 43 356 Το αοτέλεσµα, κρατώντας στο ανάτυγµα του συνηµιτόνου όρους µέχρι και 8 ης τάξης, είναι: Ι 8.39874 7
Αν σταµατούσαµε όµως σε όρους 6 ης τάξης θα αίρναµε την εκτίµηση Ι 6.39848, η οοία είναι ακριβής όσον αφορά στα 5 ρώτα δεκαδικά ψηφία αφού ο όρος 8 ης τάξης αφαιρεί οσότητα ου είναι ερίου.3. (β) Αναλύστε την συνάρτηση y ( ) e σε σειρά Taylor µε κέντρο, µέχρι και τον 3 ( ) όρο και υολογίστε ροσεγγιστικά το ορισµένο ολοκλήρωµα 4 Πόσο διαφορετικό θα ήταν το αοτέλεσµα αν είχατε κρατήσει και όρους ( ) ; 3 Θεωρείτε ειτυχή τη ροσέγγιση µέχρι τον όρο ( ) ; Λύση: Το ζητούµενο ανάτυγµα γράφεται: 3 4 e e e ( ) + e ( ) e ( ) + e ( )...! 3! 4! Αντικαθιστώντας στο ολοκλήρωµα και κάνοντας τις ράξεις έχουµε: 3 4 e e ( ) ( ) ( ) I d ( ( ) ) d + +! 3! 4! 3 5 8 4 6 4 d e + + + 3 6 + + 4 4 4 4 4 όου σε τετράγωνες αρενθέσεις έχουµε συµεριλάβει τους όρους 4 ης τάξης του ανατύγµατος. Υολογίζοντας τα εί µέρους ολοκληρώµατα µέχρι όρους 3 ης τάξης βρίσκουµε το αοτέλεσµα: 5 8 3 7 Ι 3 e + l +.4595 e 3 8 Αν συµεριλαµβάναµε και τους όρους 4 ης τάξης θα βρίσκαµε: 6 65 5 7 5 Ι 4 e + l + +.464 e 6 4 8 9 96 Αό το γεγονός ότι τα αυτά αοτελέσµατα έχουν µικρή διαφορά, µορούµε να συµεράνουµε ότι βρίσκονται κοντά στη σωστή αάντηση. Το γεγονός αυτό ειβεβαιώνεται και αό το ότι αν υολογίζαµε το ολοκλήρωµα Ι µε τη µέθοδο των τραεζίων της Άσκησης 4, για διαµέριση σε 5 τραέζια βάσης /5 θα αίρναµε.46934 e ου είναι είσης κοντά στις ως άνω εκτιµήσεις. Ι τρα e d. Άσκηση 6. ( µον.) ίνεται η ρητή συνάρτηση 4 3 + + f( ) 5 4 3 +. Υολογίστε το αόριστο ολοκλήρωµά της Ι f ( d ) ακολουθώντας τα εόµενα βήµατα: 8
(α) Αοδείξτε ότι ο αρονοµαστής αραγοντοοιείται στην µορφή: 5-4 + 3 - ( +)(-) και αναλύστε την f() σε αλά κλάσµατα ως εξής: A B Γ + Ε ( ) + + + +, (*) f όου Α, Β, Γ,, Ε είναι σταθεροί ραγµατικοί αριθµοί. Τα δύο ρώτα κλάσµατα αντιστοιχούν στον αράγοντα, το τρίτο στον - ενώ το τέταρτο στον +. (β) Υολογίστε το ζητούµενο ολοκλήρωµα Ι χρησιµοοιώντας την ως άνω µορφή της f() (*) και τις ιδιότητες των ολοκληρωµάτων ου αναφέρονται στις σελίδες 48-49 του βιβλίου σας. Λύση Η σχέση 5-4 + 3 - ( +)(-) µορεί να ελεγχθεί εύκολα αν κανείς εκτελέσει τους ολλαλασιασµούς στο δεύτερο µέρος. Για την ανάλυση της f() σε αλά κλάσµατα εργαζόµαστε ως εξής: A B Γ + Ε f( ) + + + + + + + + + + Γ + + + Ε 4 3 A( )( ) B( )( ) ( ) ( ) ( ) Η τελευταία σχέση δίνει: Για - -B B Για Γ Γ Για - -4 4Α-8+-(- +Ε) Α+ -Ε Για 6 Α+3+4( +Ε) 5Α+4 +Ε - Για - -3Α-+-(- +Ε) 5Α-4 +Ε - Τελικά Α, Β, Γ,, Ε- και f( ) + +. Έτσι το ζητούµενο ολοκλήρωµα υολογίζεται ως εξής: Ι + + + + l ta + + c. f ( d ) d d d d ( ) d d 9
Άσκηση 7. ( µον.) Το εµβαδόν Ε του χωρίου, ου ορίζεται αό την καµύλη y( ), και τον άξονα των, δίνεται αό το ολοκλήρωµα E l d (α) Βρείτε το εµβαδόν αυτό υολογίζοντας το αόριστο ολοκλήρωµα l, τις ευθείες d, µε τη µέθοδο της αραγοντικής ολοκλήρωσης (βλ. αράδειγµα στη σελ. 5 του βιβλίου) και εφαρµόζοντας µετά το θεµελιώδες θεώρηµα του Λογισµού. Λύση: l l d l l d l ( l d) + l 4 l.8837 (β) Βρείτε τον όγκο του στερεού ου δηµιουργείται εριστρέφοντας τη συνάρτηση y l( + ) γύρω αό τον άξονα των αό έως (Υόδειξη: Χρησιµοοιείστε αν θέλετε το αοτέλεσµα του (α)). Σχεδιάστε το στερεό αυτό και εξηγείστε τη σχέση του µε το στερεό ου αράγεται αό την εριστροφή της συνάρτησης y e γύρω αό τον άξονα των y, αό έως l. Σύµφωνα µε τον τύο (..3), σελ. 76 του βιβλίου, ο ζητούµενος όγκος δίνεται αό τον τύο: V l ( + ) d. Αλλάζοντας µεταβλητές σε z + µορούµε να υολογίσουµε τον όγκο αυτό χρησιµοοιώντας το αοτέλεσµα του (α) ως εξής: V l ( + ) d l ( z) dz.8837 Τέλος, το στερεό ου σχηµατίζεται αν εριστρέψουµε τη συνάρτηση y e γύρω αό τον άξονα των y, αό έως l είναι το ίδιο µε αυτό ου µόλις υολογίσαµε, αφού η y e είναι η αντίστροφη της y l( + ), τα δε άκρα ολοκλήρωσης εύκολα δείχνεται ότι συµίτουν. Άρα και ο όγκος του στερεού αυτού είναι ίδιος µε αυτόν ου µόλις βρήκαµε δηλαδή V.8837.
Άσκηση 8. ( µον.) Ανατύξτε σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-, ] την εριοδική συνάρτηση µε γραφική αράσταση: και αοδείξτε ότι Λύση. 8 ( ) Αό το σχήµα γίνεται φανερό ότι η υό µελέτη συνάρτηση στο διάστηµα [-,] είναι σταθερά ίση µε µηδέν, ενώ στο [,] ο τύος της είναι f(), ώστε η γραφική της αράσταση να είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο (,) και τέλος το (,). Άρα ο γενικός τύος της θα είναι:, - < f( ), < Χρησιµοοιώντας τους τύους (.7)-(.) του βιβλίου σας για το διάστηµα [-,], έχουµε το ανάτυγµα Fourier της f() ως εξής: f ( ) ( a cos( ) + β si( )), όου: a f( ) d ( d+ d) ( + ) 4. si( ) a f( ) cos( d ) ( cos( d ) cos( d ) ) ( ( ) d) + + si( ) si( ) si( ) ( d) ( si( ) d) cos( ) ( ) ( cos( ) cos()) (( ) )
Η τελευταία σχέση µορεί να αναλυθεί εραιτέρω αν λάβουµε υόψη µας ότι, αν k ( ), αν k+, ως εξής:, αν k, αν k- (k ) Ανάλογα υολογίζουµε ότι: a, k,,3,. cos( ) β f ( ) si( ) d ( si( ) d si( ) d) ( ( ) d) + + cos( ) cos( ) cos( ) ( d) ( cos( ) d) + + ( ) si( ) ( + + ( ) ( ) ) ( + ). Έτσι συµεραίνουµε ότι το ζητούµενο ανάτυγµα Fourier της f() είναι: + ( ) f ( ) ( cos((k ) ) + ( si( )) 4 (k ). k Εφαρµόζοντας τον τελευταίο τύο για έχουµε: + ( ) f () ( cos()) + ( si()) 4 (k ) k. 4 (k ) 8 (k ) k k -------------------------------------------------------------------------------------------------------