ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ()) () 4.6-4,8 θεωρί
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 4.9 Οι δοσμένοι τύποι συνρτήσεων φυσικά δεν προδιθέτουν γι υπολογισμό πργουσών. Απλοποιούμε λοιπόν με πράξεις τους δοσμένους τύπους κι έχουμε :. Είνι 4 f 4 6 Οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις, β. Είνι F ημ c, όπου c R. f ln 4 5 5 5 4 5 Οπότε οι πράγουσες της f στο, είνι οι συνρτήσεις 4 5 F ln c ln c 4 4 5 4, γ. Είνι, όπου c R. l log og f 4 4 5 4 f 4 4 4 4 6 5 Οπότε οι πράγουσες της f στο, είνι οι συνρτήσεις 5 4 F 4 4 6 5 c 5 4 6 4 5 4 F 5 c, όπου c R. 6 5 ΑΣΚΗΣΗ 4.. Μετσχημτίζουμε τον τύπο της συνάρησης κι έχουμε : f, οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F c,όπου c R. β. Όμοι έχουμε f ημ συν ημ συν ημ ημ ημ οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις
F ημ c,όπου c R. γ. Όμοι έχουμε f ln ln ln ln οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F ln c,όπου c R. δ. Όμοι έχουμε f οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F ημ c,όπου c R. ΑΣΚΗΣΗ 4.. έχουμε f F c,όπου c R. οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις β. έχουμε π 5 π 5 π f 5 π οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F γ. έχουμε π 5 c,όπου c R. ln ln f οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσει δ. έχουμε f 7log log 7 7 7 7 7 F c,όπου c R.
οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F 7 c,όπου c R. ΑΣΚΗΣΗ 4..Κάνουμε σχήμ Hornr γι το πολυώνυμο του ριθμητή κι έχουμε - - - οπότε η συνάρτηση γράφετι f οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F - ++c= c 4 4 4ln c β.κάνουμε σχήμ Hornr γι το πολυώνυμο του προνομστή κι έχουμε - οπότε η συνάρτηση γράφετι f οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις F ln +c=ln +c ΑΣΚΗΣΗ 4..Κάνουμε την Ευκλείδι διίρεση :
Y Π οπότε η ρητή συνάρτηση γράφετι f Όμως A B A( ) B( ) Από την () προκύπτει A( ) B( ) Γι χ= η () Β=5 Γι χ= η () A A Από τις σχέσεις, προκύπτει f 5 οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις ln +5 ln c= ln +5ln F c β.κάνουμε την Ευκλείδι διίρεση : Π 4 Y οπότε η ρητή συνάρτηση γράφετι
f Όμως A B A( ) B Από την () προκύπτει A( ) B Γι χ=- η () -Β=-5 B 5 Γι χ= η () A A Από τις σχέσεις, προκύπτει 5 f οπότε οι πράγουσες της f είνι οι συνρτήσεις 5 5 F ln ln c ln ln c ΑΣΚΗΣΗ 4.4 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ π,π οπότε η συνάρτηση F ημ cείνι πράγουσ της f στο διάστημ π,. η συνάρτηση F c είνι πράγουσ της f στο διάστημ,π. γι ν είνι τώρ η η συνάρτηση F είνι πράγουσ της f στο διάστημ π,π,ρκεί ν είνι συνεχής στο. Δηλδή m lim F li F F c c,οπότε ν θέσουμε c πίρνουμε c c. Κτά συνέπει οι πράγουσες της f στο διάστημ π,π είνι οι συνρτήσεις F ημ c, ημ c, F c, c, c ΑΣΚΗΣΗ 4.5 ) f, f 6 β) i)θ Bolzano γι την f στο, ii)θμτ γι την f στο,
ΑΣΚΗΣΗ 4.6 Επειδή f (), έχουμε διδοχικά: f () f() c, c R Γι ν διέρχετι η f πό το σημείο A(,) πρέπει κι ρκεί f() ή, ισοδύνμ, c, δηλδή c 4. Επομένως, f() 4. ΑΣΚΗΣΗ 4.7 Γι κάθε έχουμε : f f f f f f f f f f f f f f f c f c Γι,η () γράφετι f c c c,οπότε πό σχέση () προκύπτει ότι f f : Γι έχουμε ( f συνεχής) f lim f lim Κτά συνέπει πό, f,, ΑΣΚΗΣΗ 4.8 f εφ ΑΣΚΗΣΗ 4.9 f c ΑΣΚΗΣΗ 4. f ΑΣΚΗΣΗ 4. f ΑΣΚΗΣΗ 4.
f με ΑΣΚΗΣΗ 4. 4 f c ) f 4 β) ΑΣΚΗΣΗ 4.4 )Δείξτε ότι g β) f, R β) ln G c ΑΣΚΗΣΗ 4.5 Γι, η δοσμένη σχέση γράφετι f ln... f ΑΣΚΗΣΗ 4.6 i) Έχουμε d d d d d 4 4 6 i i) Έχουμε 4 4 d d d d 4 4 d 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.7 i) Έχουμε ln ln ln d ln ln d d ln ln ln
i) Έχουμε / ln ln ln ln d d ln ln d d ln 4 ln ln 4 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.8 Η δοσμένη σχέση με διίρεση ( f ) γράφετι : f f ( ) f ( ) f ( ) f( ),οπότε f( ) β β f β ( ) d f ( ) d f( ) f( ) d ln f( ) d β β β f ( ) d f ( ) d f( ) f(β) β ln υπ β ln f(β) ln f() f() ln f( ) d ln f( ) ΑΣΚΗΣΗ 4.9 Έχουμε 4 I d d d d ΑΣΚΗΣΗ 4. Έχουμε I d d d 4 d d 8 ΑΣΚΗΣΗ 4. Κάνουμε σχήμ Hornr γι το πολυώνυμο του προνομστή κι έχουμε
- οπότε η συνάρτηση γράφετι f Οπότε I d ln ln ΑΣΚΗΣΗ 4. Από τη σχέση ημ προκύπτει ότι ημ γι κάθε π/ π/ π/ π/ π -ημ d= -ημd συν 8 π,,οπότε ΑΣΚΗΣΗ 4. ) Η συνάρτηση f είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο R,οπότε f με Είνι f = f - + f () + f() ο.ε. f() = Το πρόσημο της f φίνετι πό τον πρπάνω πίνκ,πό τον οποίο κι προκύπτει ότι Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο, κι γνησίως ύξουσ στο,.
Έχει ολικό ελάχιστο το f β) Είνι f f f γι κάθε R. d= d= γ) Είνι ΑΣΚΗΣΗ 4.4 ) Η συνάρτηση g : με τύπο g( ) είνι κυρτή στο διότι g( ) Συνεπώς η εφπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο του γρφήμτος της βρίσκετι κάτω πό το γράφημ της g Είνι, g(), g () φού g ( ) κι άρ η εφπτομένη στο σημείο A(,) έχει εξίσωση y. Από τ πρπάνω έχουμε () Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f( ) Η ρχική νισότητ γι δίνει ( ) το οποίο ντίκειτι στην () Έτσι, f( ) κι ως συνεχής διτηρεί στθερό πρόσημο Από την ρχική έινι f() f() άρ f( ) β) Αφού f( ) θ ισχύει υπο f d f d 4 Η πράστση μέσ στο ολοκλήρωμ γράφετι f( ) 5 f( ) γιτί f( ) λόγω υπόθεσης γιτί Δ κτά συνέπει f f ( ) 5 d ( ) 5 d υποθ f( ) d d d 5d 4 5 8 4 5 ΑΣΚΗΣΗ 4.5 Η συνάρτηση g Έχουμε 8 4 7 5 5 είνι φνερά συνεχής στο,.
4 8 8 4 4 4 4...... 7 5 5 5 Άρ η συνάρτηση g 4 7 5 8 g 4 4 5 / 4 7 5 / 4 8 Είνι d= 5 4 d=... / / 4 / ΑΣΚΗΣΗ 4.6 / Η συνάρτηση g R,κτά συνέπει κι στο,. Πρτηρούμε ότι, οπότε 4 4 4 είνι φνερά συνεχής στο 4 4 4 κι κτά συνέπει 4 4 4 5 4, οπότε Άρ η συνάρτηση g γράφετι 4 4 4 4 4 4. g 5 4 4 6 Είνι 4 4 4 d= -6+ d= ΑΣΚΗΣΗ 4.7 ) Κάνουμε την Ευκλείδι διίρεση : - + - κι έχουμε =, οπότε I d d d
d d. Όμως d d d... 8... ln 9 β) Κάνουμε την Ευκλείδι διίρεση : Π Y οπότε η ρητή συνάρτηση γράφετι f Όμως A B A( ) B( ) Από την () προκύπτει A B A A B B 5 Από τις σχέσεις, προκύπτει A( ) B( ) A B A B f 5, οπότε 5 I d d d d 5 d ln 5 ln...
ΑΣΚΗΣΗ 4.8 Έχουμε ln d ' = ln ( )d = ln d = ln d ΑΣΚΗΣΗ 4.9 Έχουμε = ln = ln ln 4( ) = ln 4 + 4 = 4 4 + 4 = 4 I f d f d f f d f f d 6 f f f d f f d Όμως f f f f f f 6 d = d = d = ln ln Οπότε πό την σχέση προκύπτει ότι I ln ΑΣΚΗΣΗ 4.4 π Είνι tημ tdt... π,οπότε π π π π I t tdt d d d ημ συν π π συν π ημπ
π π π ημ π ημ π d ημ π ημ π d π π π ημπ συν π πημπ ημ πσυν π συν π π πημ π συν π ΑΣΚΗΣΗ 4.4 ) Έχουμε ότι Το πεδίο ορισμου της f ln είνι, A f Η f είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο, κι είνι ln f Βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της ln f ln f Είνι ln f ln ln f + - f f ΟΜ Το πρόσημο της f φίνετι στον πρπάνω πίνκ,πό τον οποίο προκύπτει ότι η συνάρτηση f : Είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ, κι γνησίως φθίνουσ στο, Έχει τοπικό μέγιστο το μέγιστο. f,όμως σν συνεχής στο,θ είνι κι ολικό ln Είνι lim f lim lim ln
Οπότε η f,σν συνεχής θ έχει Σ.Τ. το διάστημ, Το πεδίο ορισμου της g είνι Ag R Η g είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο R κι είνι g με g g - + g g ΟΕ Το πρόσημο της g φίνετι στον πρπάνω πίνκ,πό τον οποίο προκύπτει ότι η συνάρτηση g : Είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ, κι γνησίως ύξουσ στο, Έχει τοπικό ελάχιστο το g,όμως σν συνεχής στο,θ είνι κι ολικό ελάχιστο. Είνι lim g lim lim. DH Όμως lim κι lim lim lim. Οπότε η g,σν συνεχής θ έχει Σ.Τ. το διάστημ,. β) Η πράστση μέσ στο ολοκλήρωμ γράφετι : ln ln Π 4 ln Π Ομως a a ln ln ln - - Οπότε το ολοκλήρωμ γράφετι με πρόσθεση κτά μέλη (λόγω ()) πίρνουμε ότι ln ln I d d 4 4 4 I d ln 4 d...
ΑΣΚΗΣΗ 4.4 θέτουμε ln u d du d du d du διφορίζουμε ln ln νέ άκρ u ln ln κι u ln ln έχουμε ln u I d udu = ΑΣΚΗΣΗ 4.4 θέτουμε ln u d du d du d du διφορίζουμε ln ln νέ άκρ u ln ln ln κι u ln ln ln έχουμε. I d ln ln ln du ulnu.συνεχίζουμε με νέ ντικτάστση κι θέτουμε lnu t,οπότε d lnu dt lnu du dt du dt u κι όμοι έχουμε ulnu ulnu t ln ln I du du dt ln ln t lnln lnln ln ln ln. ΑΣΚΗΣΗ 4.44 9 9 9 Το ολοκλήρωμ γράφετι I d d d θέτουμε u οπότε διφορίζουμε τη ν σχέση κι πίρνουμε u u u du d udu d udu d udu d u οπότε 4 d u u du
νέ άκρ u κι u 9 πό έχουμε 9 4 4 I d u u u u du u u du 4 8 4 4 8 4 6 4 6 4 u u u du u du u du u du 9 9 9 7 5 u u u 96 4 8 4... 7 5 5 ΑΣΚΗΣΗ 4.45 H συνάρτηση f ίνι πολυωνυμική κι κτά συνέπει είνι πργωγίσιμη στο R. Έχουμε 5 4 f 5. Κτά συνέπει η f είνι γνησίως ύξουσ στο R,άρ είνι κι,οπότε είνι κι νντιστρέψιμη. Είνι 5 f 5 6 4 f d f d f d d d f 7 5 7 5 7 5... 7 5 7 5 7 5 ΑΣΚΗΣΗ 4.46 Θέτουμε β υπο I f d I f β d β Κάνουμε ντικτάστση β u β u Διφορίζουμε κι είνι β β d du d du d du d du
νέ άκρ είνι u β β κι u β β β β β β β I f d u f u du u f u du u f u du β β β β β β β β β f u du uf u du f u du I I f u du β β I β f d I f d β β ΑΣΚΗΣΗ 4.47 Θέτουμε f d c Η δοσμένη σχέση γράφετι f c f c Αντικθιστούμε στην σχέση () την τιμή της f c c c c d c d c c c Θεωρούμε την συνάρτηση g, R g με ( ) g - + g + g ο.ε. g κτά τ γνωστά προκύπτει ότι η,είνι μονδική ρίζ της εξίσωσης. Οπότε πό την σχέση έχουμε c c c κι πό () προκύπτει ότι f c f
ΑΣΚΗΣΗ 4.48 Θέτουμε β t όπότε β β β β β f( ) d β t f β t dt ( β) f( t) dt tf( t) dt ( β) f( ) d f( ) d β Άρ β Έχουμε β f( ) d f( ) d β β β β f( ) d f( ) d f( ) d () Θέτουμε β u οπότε β β β β f( ) d f β u du f( u) du β β Η σχέση () γράφετι β β β f( ) d f( ) d f( ) d β f( ) d β β ΑΣΚΗΣΗ 4.49 () Είνι lim f( ) lim λ λ υπ lim λ λ (β)είνι I d d ln = ln ΑΣΚΗΣΗ 4.5 () Είνι f( ) lim lim υπ lim 4 (β) η ευθεί ψ λ β είνι πλάγι σύμπτωτη της συνάρτησης f( ) ότν f( ) λ lim υπ κι
β lim f( ) λ lim lim lim lim lim Άρ η ευθεί ψ=χ είνι πλάγι σύμτωτη της συνάρτησης f( ) στο (γ)είνι I f( ) d d d ln =ln ΑΣΚΗΣΗ 4.5 ) Θέτουμε όπου το 4- κι πό το σύστημ που προκύπτει βρίσκουμε f()=668-. β) Είνι g()= 668 ln, (, ) (,+ ). g( ) Επειδή lim = = κι lim (g()-)= = -, η C f δεν έχει οριζόντιες ή πλάγιες σύμπτωτες.είνι lim g()= κι lim g()= +, lim g()= - οπότε η C f έχει κτκόρυφη σύμπτωτη την ευθεί =. γ) Είνι h()= (668-)= - +668, κι h ( ) d = =[h ()] - ( ) h ( ) d =βh (β)- h ()-[h()] = βh (β)- h ()-h(β)+h(). Γι ν ισχύει η ισότητ h ( ) d =h()-h(β),ρκεί βh (β)- h ()=, γι κτάλληλες τιμές των, β.έχουμε h ()= - +6= = ή = 6. Επιλέγοντς = κι β= 6 πίρνουμε το ζητούμενο.
ΑΣΚΗΣΗ 4.5 ημt Αν F dt,τότε έχουμε t 4 ημt Η συνάρτηση f t ορίζετι γι κάθε t R με t 4 t 4 t t t Κτά συνέπει f,,, Όμως το νήκει στο υποδιάστημ A,στο οποίο η f είνι συνεχής., του f A,οπότε, A. F 6 Αν F 9 u du,τότε έχουμε Η συνάρτηση 9 9 u u u u, Κτά συνέπει, Η συνάρτηση Όμως το f f u u ορίζετι γι τ κάθε u R με A,στο οποίο η f είνι συνεχής. g 6 ορίζετι γι κάθε R,οπότε Ag R. νήκει στο A,,οπότε πιτούμε ν ισχύει : f Ag R R R g, 6, 6 9, οπότε A F,. Η συνάρτηση F είνι άθροισμ των συνρτήσεων,,,. AF AF A F F F,οπότε Είνι 4 ημt ημ F dt 9 u du 9 4 4 t 4 4 ημ F 9 4 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.5 Η σχέση () γι,γράφετι ισοδύνμ
f f t dt f f t dt έχουμε κι ν πργωγίσουμε κι τ δύο μέλη f f f f t f f f Με ολοκλήρωση πίρνουμε : Από την () γι f t t dt f t dt t προκύπτει f f. Από την () γι κάθε έχουμε t ln f t dt ln f ln f t dt ln f ln t t, οπότε f ΑΣΚΗΣΗ 4.54 Έχουμε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, Οι πράγουσες της f,δίνοντι πό τον τύπο Όμως υποθ F f t dt c c. Κτά συνέπει είνι F f t dt F f t dt c. Όμως t t t t t t t f t dt dt dt dt dt t t t t t t t t dt dt dt dt t t t t t t t t t t t dt d t t t t t Οπότε πό την σχέση προκύπτει F f t dt F
ΑΣΚΗΣΗ 4.55 ) Γι το πεδίο ορισμού της f πρέπει οπότε A f, ln ln ln, κι R,οπότε β) Φνερά η f είνι συνεχής στο οι πράγουσες της f,δίνοντι πό τον τύπο υπο F f t dt c Αλλά F f tdt c c =,οπότε F f t dt Όμως f t dt ln lnt t lnt dt θέτουμε lnt u διφορίζουμε d lnt du lnt dt du dt du t νέ άκρ u ln t ln κι u ln t ln t Οπότε πό την σχέση προκύπτει t ln ln ln t u ln ln ln f t dt dt du lnu lnudu ln u du ln u t lnt u κι πό τη σχέση () προκύπτει ότι το σύνολο των πργουσών είνι ln F f t dt ln u ln ln ln ΑΣΚΗΣΗ 4.56 Θέτοντς στη δοθείσ σχέση όπου το, προκύπτει πως g() g ().Όμως, η g πργωγίσιμη στο [,] ως πράξεις μετξύ πργωγίσιμων. Συνεπώς, πό Roll, f ( r ) υπάρχει r (,) ώστε g( r) f ( ) Επειδή,, R,ισχύει πως Άρ, R : g( ) g() Β ΛΥΣΗ Με την ντικτάστση στην δοθείσ έχουμε πως f ( t ) f ( t ) g() g() dt dt
f ( t ) f ( t ) κι επειδή dt τότε έχουμε πως Οπότε βάζοντς στην δοθείσ έχουμε g( ) g() γι κάθε Συνεπώς η g είνι στθερή συνάρτηση στο. ΑΣΚΗΣΗ 4.57 θέτουμε t u t u (με t στθερά) d t du t d du d du d du διφορίζουμε νέ άκρ u t t κι u t t έχουμε t t f( ) f ( t ) f( t u) f ( u) f( t u) f ( u) G( t) d du du f( ) f ( t ) t f( t u) f( u) f( t u) f( u) Αυτην κι την ρχικη τις προσθετουμε κι: t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f t f t u f u f u f t u f t u f u G( t) d du du f( ) f( t ) f( t u) f( u) f( t u) f( u) t f( u) du f( t u) f( u) δηλδή G t t f( u) f( t) f() f( t) f() f( t u) f( u) f( t t) f( t) f( t ) f() f() f( t) άρ G t f ( t ) f () f() f( t) με t R Από την () προκύπτει φνερά ότι η G t είνι πργωγίσιμη στο R με f( t) f() f ( t) f G t f() f( t) f( t) f() Από την () γι προκύπτει με t R f () f f () f f () G f() f() 4 f () 4 f()
ΑΣΚΗΣΗ 4.58 Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση G( ) f ( t) dt Έχουμε G( ) G( ) Γι τη συνάρτηση G ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Roll στο διάστημ,., ώστε G( ) () Κτά συνέπει υπάρχει έν τουλάχιστον χ Όμως G( ) ( ) f ( t) dt ( f ( t) dt) = f ( t) dt f ( ) οπότε G( ) f ( t) dt f ( ).Κτά συνέπει η () γράφετι ισοδύνμ f ( t) dt f ( ) f ( ) f ( t) dt ΑΣΚΗΣΗ 4.59 t t οπότε γι έχουμε t t t t t t dt dt lim t t dt lim dt t t ) Γι κάθε t R είνι Όμως t t dt dt ln t ln t t lim dt lim ln t t Οπότε πό την σχέση προκύπτει ότι t lim t dt β) Λόγω του ) ερωτήμτος, στο ζητούμενο όριο έχουμε προσδιοριστί,οπότε f t dt f tdt f t lim lim lim lim lim lim DLH
ΑΣΚΗΣΗ 4.6 Είνι : f t dt f t dt f t dt f lim f t dt lim lim =lim συν συν DLH συν ημ f t dt f f f lim lim f f f. DLH ημ συν Οπότε λόγω της υπόθεσης είνι f f 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.6 Η εξίσωση της ευθείς γράφετι y = g() = Οι τετμημένες των σημείων τομής των δύο γρφικών πρστάσεων είνι οι λύσεις της εξίσωσης f() = g() 4 = + 6 = = ή = Το διάστημ ολοκλήρωσης είνι το [, ] Η διφορά f() g() = 4 + = + 6 Πρόσημο της διφοράς f() g() + f() + Ε = (f() g())d = (4 )d = ( 6)d = = + 6 = 8 7 9 8 = 5 6
ΑΣΚΗΣΗ 4.6 i) f () = 6, f() = κι f () = 6 Άρ η εφπτομένη στο Α είνι : y = 6( ) y = 6 ii) Ανζητούμε το εμβδό του μικτογράμμου τριγώνου ΟΒΑ, όπου το Β είνι το σημείο τομής της εφπτομένης με τον άξον των. Γι y =, η y = 6 =, άρ Β, Φέρνουμε ΑΓ Ζητούμενο εμβδόν :, οπότε Γ(, ) Ε = (Μικτόγρμμο ΟΓΑ) (Τρίγωνο ΒΓΑ) = f () d g() d = d 6 d = d (6 )d = = ( ).. =. 4 = + 4 = 4 = 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.6 Κοινό πεδίο ορισμού είνι το [, + )
Κοινά σημεί των C f, 9( ) = ( + ) ή = 5 C g : f() = g() ( ) 9 9 9 = + + 7 + = = Πρόσημο της διφοράς f() g() : f() g() f() g() + 9( ) ( + ) 9 9 + + 7 + 5 E = 5 f() g() d = 5 (f() g())d = 5 ( )d = 5 5 5 5 d d = ( ) d ( )d = 5 5 5 ( ) = 5 4 (4 ) ( 5 ) 6 5 = ΑΣΚΗΣΗ 4.64 i) f () = f () = Εξίσωση της εφπτόμενης στο Α(, ) : y f() = f ()( ) y = ( ) y = + Η εφπτόμενη στο Α τέμνει τον άξον των στο σημείο με τετμημένη την λύση της εξίσωσης + = = Το ζητούμενο εμβδόν χωρίζετι πό τον άξον των y σε δύο μέρη.
Ε = ( )d ( )d = = = 4 4 ii) Εξετάζουμε ν υπάρχει τιμή του με έτσι ώστε ν ισχύει Ε ( )d 6 4 4 6 + 6 + = = 6 ή = 6 Από υτές, στο διάστημ [, ] νήκει η = 6 Άρ η ευθεί = 6 χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμβδικά τμήμτ. Ανζητώντς ευθεί = με φθάνουμε σε δύντη εξίσωση, άρ δεν υπάρχει τέτοι ευθεί. ΑΣΚΗΣΗ 4.65
ΑΣΚΗΣΗ 4.66
ΑΣΚΗΣΗ 4.67 ΑΣΚΗΣΗ 4.68 Γι την f έχουμε ότι είνι συνεχής με θετικές τιμές στο διάστημ [,] κτά συνέπει γι το εμβδόν Ε του ζητούμενου χωρίου θ είνι : d d d d 9 d 9 d 9 6 d 5.
ΑΣΚΗΣΗ 4.69 ) Θέτουμε στη δοθείσ όπου το +6 : f(+6)+f(+)= () Θέτουμε στη δοθείσ όπου το + : f(+)+f()= () Από () κι () : f(+6)=f(). 5 5 5 β) f( 7) d = f( 6) d = f( ) d u 6 f( u) du. ΑΣΚΗΣΗ 4.7 Έστω f t dt g t dt h t dt f t dt h t dt f t h t dt f t dt g t dt f t g t dt Άρ πό θεώρημ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον έν, ώστε f t dt g t gt h t dt. Η g h. Επομένως η φ είνι γνησίως ύξουσ. Άρ η λύση υτή είνι μονδική. ΑΣΚΗΣΗ 4.7 ) Επειδή η συνάρτηση h() - g() είνι συνεχής στο [, β] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων κι γι κάθε [, β] είνι h() > g() h() - g() > έχουμε : ( h( ) g( )) d > h( ) d - g( ) d > h( ) d > g( ) d. β) i) Πργωγίζουμε τ δύο μέλη της f() f() = κι πίρνουμε : f () + f () f() = f ()(+ f() ) = f () = ii) Γι κάθε > έχουμε < f() < f () f( ) (),. f ( ) < f() f() < f () < f( ) f( ) < f () (). Αρκεί λοιπόν ν ποδείξουμε την ().
Η f είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ) φού είνι πργωγίσιμη στο. Σύμφων με το θεώρημ μέσης τιμής υπάρχει έν f( ) f( ) τουλάχιστον ξ(, ) τέτοιο ώστε f (ξ) =. Όμως < ξ < f () < f (ξ) < f () (), φού πό την () γι κάθε : f( ) f ( ) f () = > ( f () >, πό την () ), οπότε η f είνι γνησίως f( ) ( ) ύξουσ. Όμως f () = =. Έτσι πό την () προκύπτει η (). f = ( ) iii) Η f είνι συνεχής στο [, ] (ως πργωγίσιμη στο ) κι γι κάθε [, ] είνι f() (f() = κι γι κάθε > είνι < < f() ). Επομένως Ε = f( ) d. Επειδή το συμπέρσμ του ερωτήμτος () εξκολουθεί ν ισχύει κι ότν h() g() γι κάθε [, β] με το = ν μην ισχύει πντού στο [, β] ( η πόδειξη όμοι ) θ έχουμε : f() f () ( γι κάθε [, ] με το = ν ισχύει μόνο γι = ) d < f d ( ) < f ( ) d [ 4 ] < E < [f()] - ( ) f( ) d [ 4 ] < E 4 < E 4 < E E < [f()] - E E < f() E < f() Άρ 4 < Ε < f().
ΑΣΚΗΣΗ 4.7 ) Έχουμε ln f ( ) d + 4 d = ln f ( ) d [ln f ( ) ] d = lnf() = f() =, γι κάθε [, ]. f ( ) β) Ι = f ( ) f ( ) d f ( ) f ( ) f ( ) = d = f ( ) f ( ) = f ( ) - d f ( ) f ( ) Άρ Ι = Ι =,5 d u f ( u) + f ( u) f ( u ) du = Ι. ΑΣΚΗΣΗ 4.7 i) Θεωρώ την συνάρτηση g f udu uf udu g f u du uf u du f u du f f f u du Είνι Άρ η g είνι γνησίως ύξουσ. Έχω Η () λόγω της () δίνει f(u)du g g g g uf(u)du uf(u)du f(u)du uf(u)du f(u)du ii) Έχουμε h f(u)du f(u)du uf(u)du f f(u)du uf(u)du f g. f(u)du f(u)du f(u)du Άρ η h είνι γνησίως ύξουσ
ΑΣΚΗΣΗ 4.74 ) Η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στο ως άθροισμ πργωγίσιμων συνρτήσεων διότι η f είνι συνεχής στο κι η z z ( ) πργωγίσιμη ως πολυωνυμική. Άρ g () = ( z f( t) dt) z ( ) = z = z f( ) ( ) - z z = z f( ) - z z. β) Πρτηρούμε ότι g() = z f( t) dt z ( ) =, άρ γι κάθε z ισχύει g() g(), δηλδή το g() = είνι ολικό ελάχιστο της g. Επιπλέον το είνι εσωτερικό σημείο του κι η g είνι πργωγίσιμη στο, οπότε σύμφων με το θεώρημ του Frmat g () = z f( ) - z z = z - z z = z z z. f( ) γ) Έχουμε : z z z z z z z z z z = z z = z z w w w w w w w = (w + )( w + ) w w = w w + w + w + w + w = - R(w) = - z w R(z ) =. δ) Αρκεί ν δείξουμε ότι β < διότι τότε εφρμόζετι το θεώρημ του Bolzano γι την f στο [, ] ( η f είνι συνεχής στο [, ] κι θ είνι f()f() < ). Έχουμε R(z ) = < κι z = ( + βi ) = β +βi, άρ β < ( β)( + β) < a ρνητικού - άρ είνι ρνητικός. + β < β < -, δηλδή ο β είνι μικρότερος του ΑΣΚΗΣΗ 4.75 Ισοδύνμ ρκεί ν δείξουμε ότι d d Η συνάρτηση f έχει πράγωγο f με,
f + f f min f ma κι πό τον πίνκ προκύπτει ότι f.όμως η f γι τ των, (φού δεν είνι στθερή). Κτά συνέπει, πίρνει κι άλλες τιμές εκτός d f d d d d Η συνάρτηση g έχει πράγωγο f με, f - f f f κι πό τον πίνκ προκύπτει ότι ma min g.όμως η g γι τ εκτός των, (φού δεν είνι στθερή). Κτά συνέπει, πίρνει κι άλλες τιμές d g d d d d Προσθέτουμε τις σχέσεις, κι πίρνουμε ΑΣΚΗΣΗ 4.76 f ( ) d d ) Γι το ολοκλήρωμ f ( ) d θέτουμε = f(t), t[, β], οπότε f ( ) d = f (t)dt. Γι = f() πίρνουμε t =, ενώ γι = f(β) πίρνουμε f ( ) t = β ( η f είνι ). Το f ( ) d είνι κλώς ορισμένο φού η f ( ) f είνι συνεχής ( f συνεχής C f συνεχής γρμμή f C συνεχής
γρμμή, φού οι C f, C είνι συμμετρικές ως προς την y = f συνεχής ). Έτσι είνι f f ( ) f ( ) d = f ( ) tf ( t) dt. Επομένως : f ( ) f ( ) d + f ( ) d = ( f ( t) tf ( t)) dt = [ tf(t)] f ( ) = βf(β) f(). β) f () = + 5 4 >, γι κάθε. Άρ η f είνι κι σύμφων με το () θ είνι : f f () ( ) d = f f () ( ) d = f() f() f ( ) d = = + ΑΣΚΗΣΗ 4.77 f () = + =. 6 ( 5 ) d >, γι κάθε. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. Έχουμε : f() = f ( ) f() = + 6 t dt = t dt = = 6, φού ν > 6 6 τότε 6 t t t dt >, ενώ ν < 6 τότε dt = dt <. 6 6 ΑΣΚΗΣΗ 4.78. Η δοσμένη γράφετι: f f f f f f f f f Άρ f c όμως f
οπότε c c κι f τελικά f ln β. f t dt lim () Γι το μετσχημτισμό του f t dt θέτουμε: u t u t u t οπότε du dt Άρ f udu f u du Οπότε το δοσμένο όριο () ισούτι: lim f u du L' H f συνεχής f f f lim ln γ. 5 5 h t f t dt t f t dt 5 5 h f f 5 5 h t f tdt t f t dt 5 h f f 5 h ln ln h h h 5 5 6 ln ln
7 Επίσης g 7 κι g Άρ h g 6 Οπότε πό βσικό θεώρημ έχουμε: Όμως άρ 5 h t f t dt g h g c c c Τελικά h g. h g c δ. Α λύση: Αρκεί ν λυθεί ντί της 5 t 7 f tdt 8 ή h g 7 8 Θεωρούμε την 7 φ() = στο [,] 7 8 φ() συνεχής σν διφορά συνεχών στο [, ] 8 7 8, Άρ υπάρχει έν τουλάχιστον 7 7 8 Επίσης 7 7 8 6
Άρ Β λύση: γνησίως ύξουσ κι η ρίζ ξ είνι μονδική. Με θεώρημ Bolzano πάμε ότν οι συμβτικές λύσεις γι κάποιο λόγο δεν εφρμόζοντι. Εδώ όμως η δοσμένη εξίσωση γράφετι: 8 4 7 Όμως ως γνωστό πό την άλγεβρ Α λυκείου (!) έχει μονδική ρίζ την 7 7 8 η οποί βρίσκετι στο (, ) διότι: 7 7 7 8 8