Αφού είναι x α > 0, από την τελευταία προκύπτουν όλες οι προς απόδειξη ανισότητες.

I Βσικά συμπεράσμτ Στις σκσεις που κολουθούν θ χρησιμοποισουμε τ επόμεν βσικά συμπεράσμτ Α, Β κι Γ: Α Έστω R κι :[,+)R συνάρτηση τέτοι, ώστε συνεχς στο [,+), πργωγίσιμη στο (,+) κι () = Ν ποδειχθεί ότι: ) Εάν, γι κάθε (,+) τότε, γι κάθε [,+) β) Εάν, γι κάθε (,+) τότε, γι κάθε [,+) γ) Εάν, γι κάθε (,+) τότε, γι κάθε [,+) δ) Εάν, γι κάθε (,+) τότε, γι κάθε [,+) Απόδειξη: Η ικνοποιεί το ΘΜΤ στο διάστημ [,], γι κάθε > Άρ υπάρχει ξ,, με ξ ξ Αφού είνι >, πό την τελευτί προκύπτουν όλες οι προς πόδειξη νισότητες Ενλλκτικά, μπορούμε ν εργστούμε στηριζόμενοι στη μονοτονί της Προσέξτε ότι εάν :[,β]r με ύξουσ Αυτό σημίνει ότι γι τους,,β wwwproogr, γι κάθε (,β) τότε η είνι, ισχύει η συνεπγωγ Το συμπέρσμ προκύπτει εάν εφρμόσουμε το ΘΜΤ στο, πίρνουμε ότι γι κάποιον ξ,β ξ, Ανάλογο συμπέρσμ έχουμε ότν, γι κάθε (,β) Τότε η είνι φθίνουσ, δηλδ γι τους,,β, οπότε, ισχύει η συνεπγωγ

Β Έστω :[,]R συνεχς στο [,] κι δύο φορές πργωγίσιμη στο (,) ) Εάν γι κάθε (,), τότε η πίρνει τη μέγιστη τιμ της στο στο β) Εάν γι κάθε (,), τότε η μέγιστη τιμ της δε μπορεί ν λμβάνετι σε εσωτερικό σημείο του (,) γ) Εάν γι κάθε (,), τότε η πίρνει την ελάχιστη τιμ της στο στο δ) Εάν γι κάθε (,), τότε η ελάχιστη τιμ της δε μπορεί ν λμβάνετι σε εσωτερικό σημείο του (,) Απόδειξη: ) Επειδ η είνι συνεχς στο [,], υπάρχει, με Εάν είνι, δεν έχουμε ν ποδείξουμε κάτι Έστω λοιπόν ότι, κι το δεν πίρνει τις τιμές, ΠΡΟΣΟΧΗ το δεν είνι κτ νάγκη μονδικό Επειδ υπάρχει η στο,, υπάρχει κι η στο, Επίσης είνι κι Η εφρμογ του ΘΜΤ στ διστμτ ύπρξη ξ, ξ με ξ ξ κι Από το ΘΜΤ γι την στο, ξ, ξ κι, ξ,, έπετι πως υπάρχει ξ ξ, ξ ξ ξ ξ ξ ξ Από τις [], [] προκύπτει ότι ξ, που γι, στο, β) Έστω, κι, γι κάθε, Αφού,, είνι κι είνι, μς οδηγεί στην ξ, με ξ είνι ΑΤΟΠΟ, φού [] [] wwwproogr

3 Επειδ στο,, η είνι γνησίως ύξουσ Άρ κι γι γι Επομένως η είνι γνησίως ύξουσ στο, κι γνησίως φθίνουσ στο, Αυτό όμως είνι ΑΤΟΠΟ, διότι στο η πίρνει μέγιστη τιμ γ) Μπορούμε ν δώσουμε μιν πόδειξη νάλογη μ εκείνη του πρώτου ερωτμτος Διφορετικά, θεωρούμε τη συνάρτηση g με g προφνώς είνι g γι την οποί Λόγω του ερωτμτος (), η g πίρνει μέγιστη τιμ στο στο Δε βλάπτει τη γενικότητ ν υποθέσουμε ότι g g [3] Τότε είνι g g, γι κάθε, Έτσι,, γι κάθε,, γι κάθε, Η [3] δίνει ότι Επομένως η λμβάνει την ελάχιστη τιμ της στο Εντελώς όμοι προκύπτει ότι εάν g λμβάνετι στο δ) Η πόδειξη νάλογη μ εκείνη του (β) g, τότε η ελάχιστη τιμ της wwwproogr

4 Γ Έστω :(,)R πργωγίσιμη κι,, με (,) -, Τότε ) η είνι γνησίως ύξουσ κι β), Απόδειξη: γι κάθε ) Έστω ότι Επειδ είνι στ διστμτ,,,, γνησίως ύξουσ στ διστμτ wwwproogr, Έχουμε κι έστω,y, y,,,,,, με y y Εάν y, y, y, y,, y, η είνι y,, τότε y Διφορετικά, έχουμε κάποι πό τις κόλουθες περιπτώσεις: y κι,, y, y κι,, y, 3 y, κι, y Θ ποδείξουμε ότι είνι y y y Θ δώσουμε την πόδειξη γι την περίπτωση, ενώ γι τις άλλες περιπτώσεις η πόδειξη είνι όμοι Στην περίπτωση λοιπόν, έχουμε y y, κι την γνησίως ύξουσ, άρ Αφού,, γι τον ίδιο λόγο θ είνι y δηλδ τελικά y y Επομένως γι,y, y y y με πως η είνι γνησίως ύξουσ β) Γι Συνεπώς έχουμε lim Άρ y, y, έχουμε y y, άρ που σημίνει y Ομοίως προκύπτει ότι

5 Σημείωση: ) Κτά το συμπέρσμ που μόλις ποδείξμε, εάν μι ισχύει συνάρτηση :(,)R είνι πργωγίσιμη κι η νισότητ γι όλ τ (,) εκτός ίσως κάποιων πεπερσμένου πλθους σημείων του (,), τότε η είνι γνησίως ύξουσ Ανάλογο ποτέλεσμ έχουμε ότν γι όλ τ (,) εξιρουμένων κάποιων πεπερσμένου πλθους σημείων του (,) Τότε η είνι γνησίως φθίνουσ β) Όπως φίνετι πό την πόδειξη δεν μς ενοχλεί εάν στ, η δεν είνι πργωγίσιμη Είνι όμως νγκίο η ν είνι συνεχς σ υτά wwwproogr

6 ΙI Ασκσεις με τις λύσεις τους Έστω :[,]R συνεχς στο [,] κι πργωγίσιμη στο (,) Εάν κι d, τότε υπάρχει ξ, με ξ Απόδειξη: Στόχος μς είνι ν εξσφλίσουμε την ύπρξη κάποιου, με κι Το ποτέλεσμ θ προκύψει με εφρμογ του θεωρμτος Rolle γι την στο διάστημ, Μπορούμε ν εργστούμε με δύο τρόπους ος τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση F :, R με F d Η F είνι συνεχς στο [,] κι πργωγίσιμη στο (,) με πράγωγο F Ακόμη, F d κι F d Από το θεώρημ Rolle έπετι ότι υπάρχει, με F ος τρόπος Εάν υποθέσουμε ότι είνι, γι κάθε,, τότε επειδ η είνι συνεχς στο (,), δε μπορεί πρά ν διτηρεί στθερό πρόσημο στο (,) Εάν λοιπόν υποτεθεί ότι είνι, γι κάθε, που είνι ΑΤΟΠΟ d,, τότε Σε άτοπο κτλγουμε κι ν υποθέσουμε ότι είνι, γι κάθε, κι συνεπώς υπάρχει, με wwwproogr

Εύκολ τώρ βλέπει κνείς ότι η ικνοποιεί το θεώρημ Rolle στο, κι άρ υπάρχει ξ,,, με ξ 7 wwwproogr

8 Έστω :[,)R συνεχς με συνεχ πράγωγο κι, γι κάθε, Εάν κι, γι κάθε, ν ποδειχθεί ότι Απόδειξη: Αφού είνι, πό τη σχέση Όμως, είνι wwwproogr κι Έτσι, η προηγούμενη νισότητ δίνει Η συνάρτηση g λοιπόν, με g Έπετι ότι γι, είνι g Με, η τελευτί δίνει Άρ, γι κάθε, Έπετι ότι ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, πίρνουμε, είνι συνεχς κι g g, δηλδ έχουμε Η υπόθεση ότι είνι περιττ Εύκολ προκύπτει πό τις κι

9 3 Έστω > κι η πργωγίσιμη συνάρτηση :[,)R γι την οποί ισχύουν κι ) N ποδειχθεί ότι κι β) εάν =, τότε lim Απόδειξη: ) Γι > είνι άρ η είνι γνησίως ύξουσ Έτσι, γι, έχουμε: κι πό την ισότητ,, προκύπτει Εφρμόζοντς το συμπέρσμ της άσκησης με τον στη θέση του κι τον στη θέση του, πίρνουμε ότι β) Από την άσκηση επίσης, με τον στη θέση του, προκύπτει ότι γι Άρ, είνι Επειδ δε είνι έπετι, γι lim, lim wwwproogr

4 Θεωρούμε τις συνεχείς συνρτσεις,g:rr με την δύο φορές πργωγίσιμη κι έτσι, ώστε ν ισχύει η ισότητ Εάν < κι Απόδειξη: g, γι κάθε R ν ποδειχθεί ότι, γι κάθε, Η είνι συνεχς στο διάστημ [,], άρ ικνοποιεί το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμς Έτσι, υπάρχουν,, γι κάθε, με, Εάν οι, συμπίπτουν με τους,, τότε δεν έχουμε ν ποδείξουμε κάτι Έστω λοιπόν ότι, Λόγω του θεωρμτος Ferma, έχουμε Με τον στη θέση του στην ισότητ [] g [] της εκφώνησης, πίρνουμε Επειδ η πίρνει την ελάχιστη τιμ της στο τη σημείωση πρκάτω) Συνεπώς είνι κι Έστω τώρ ότι, Όπως πριν είνι (βλ θ έχουμε ότι, οπότε με τον στη θέση του, η [] δίνει Η πίρνει τη μέγιστη τιμ της στο λοιπόν ότι, άρ (βλ σημείωση) Έπετι Με κι, η [] δίνει ότι, γι κάθε, Αν κάποιο πό τ, είνι το η κι το άλλο νκει στο ποδεικνύετε το συμπέρσμ, όμοι wwwproogr

Σημείωση: Έστω :(,)R κι, έτσι, ώστε, γι κάθε, υπάρχει η, τότε είνι Απόδειξη: Απ το γεγονός ότι υπάρχει η συμπερίνουμε ότι: φενός υπάρχει κι η κι (λόγω του Θ Ferma) είνι φετέρου υπάρχει η Ακόμη γι κοντά στο lim lim, Εάν Αντίθετ με ό,τι επιθυμούμε ν ποδείξουμε ς υποθέσουμε ότι είνι Τότε είνι lim, άρ, γι κοντά στο Προκύπτει ότι γι κοντά στο κι στο κι είνι είνι, ενώ γι κοντά Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ στ δεξιά κι γνησίως ύξουσ στ ριστερά του κι συνεπώς η προυσιάζει μέγιστο στο, που βέβι είνι ΑΤΟΠΟ Όμοι ποδεικνύετε ότι Έστω :(,)R κι, έτσι, ώστε, γι κάθε, Εάν υπάρχει η, τότε είνι wwwproogr

5 Έστω :[,]R πργωγίσιμη συνάρτηση κι ισχύουν οι,, Εάν, ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ, με ξ Απόδειξη: Θέλουμε ν ποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει ρίζ κάποιον ξ, Η εξίσωση όμως υτ, ισοδύνμ γράφετι έτσι, ώστε ν Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση g: [,]R, με g Όπως κι στην άσκηση κι μις κι είνι g() =, στόχος είνι ν εξσφλίσουμε την ύπρξη κάποιου, τέτοιου, ώστε συνεχεί ν εφρμόσουμε το θεώρημ Rolle γι την g στο, Πράγμτι, έχουμε g, g κι επιπλέον η g είνι συνεχς στο διάστημ, g κι εν Από το θεώρημ Bolzano έπετι ότι υπάρχει, με g Η g είνι συνεχς στο,,, πργωγίσιμη στο,, πράγωγο g κι ισχύουν οι g g wwwproogr Από το θεώρημ Rolle έπετι ότι υπάρχει ξ,, ισοδύνμ g ξ, με με

3 ξ 6 Γι R, ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει μονδικ πργμτικ ρίζ ημ Απόδειξη: Θεωρούμε τη συνάρτηση, με που προφνώς είνι συνεχς στο R Ακόμη έχουμε ημ, R, ημ Επειδ κι ημ, είνι ημ Επίσης ημ Επειδ κι ημ, έχουμε Τελικά κι το θεώρημ Bolzano εξσφλίζει την ύπρξη τουλάχιστον μίς ρίζς, γι την εξίσωση () = Εξάλλου, η είνι πργωγίσιμη στο R, με πράγωγο wwwproogr

4 Η μηδενίζετι ότν συν Θέτουμε συν ρ k k π π, kζ k π π, kζ κι έχουμε ότι, γι κάθε R με ρk κι ρ k Μένει ν ποδειχθεί ότι η ρίζ, είνι μονδικ Εάν η εξίσωση () = έχει κι δεύτερη ρίζ, kζ της εξίσωσης () = R, τότε Αλλά στο κλειστό διάστημ Ι με άκρ τους, υπάρχουν πεπερσμένου πλθους ρ k (μπορεί ν μην υπάρχει κι κνένς) Άρ στο Ι είνι διστμτος υτού, εκτός πεπερσμένου πλθους σημείων του Έτσι, σύμφων με το (Γ), η είνι γνησίως ύξουσ στο Ι, που είνι ΑΤΟΠΟ διότι Τελικά, η εξίσωση έχει μονδικ ρίζ στο R () = wwwproogr

5 7 Έστω :[,]R δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση με M κάποιον Μ > ) Αν, ποδείξτε ότι, γι κι β) ότι M M Απόδειξη: ) Στθεροποιούμε τον (,) κι θεωρούμε τη συνάρτηση g : Είνι, R με g g διότι, g διότι κι προφνώς g Η συνάρτηση g ικνοποιεί το θεώρημ Rolle σε κθέν πό τ διστμτ [,] κι [,], άρ υπάρχουν ξ, κι, ξ τέτοιοι, ώστε ξ κι g ξ g Η g ικνοποιεί το θεώρημ Rolle στο ξ, ξ, άρ υπάρχει ξ ξ, ξ, με g ξ Όμως g, άρ wwwproogr ξ

6 οπότε Προκύπτει λοιπόν ότι Αφού κι ξ ξ ξ M, έχουμε τελικά την M β) Πρόκειτι ν ορίσουμε μι νέ συνάρτηση τέτοι, ώστε ν ισχύουν οι κι Θεωρούμε την ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί Α(,()) κι Β(,()) Αυτ έχει εξίσωση y y Θεωρούμε τώρ τη συνάρτηση :[,]R με Πρτηρούμε ότι κι, [,] Άρ M, γι [,] wwwproogr

wwwproogr 7 Εφρμόζοντς το ποτέλεσμ του ερωτμτος () γι την, πίρνουμε ότι M, γι [,] Άρ M Από την ιδιότητ q p q p, γι p,qr, έχουμε ότι κι συνεπώς, λόγω της [] πίρνουμε M Επίσης, λόγω της ιδιότητς q p q p, γι p,qr, πό την προηγούμενη νισότητ έπετι ότι M, δηλδ το ζητούμενο []

8 8 Έστω : [, π] R κυρτ συνάρτηση με συνεχ πράγωγο Ν ποδειχθεί ότι Απόδειξη: π d Εφρμόζοντς την ολοκλρωση κτά πράγοντες, έχουμε π Αρκεί ν ποδείξουμε ότι π Επειδ ημ π ημ π συν d ημ d π ημ π π ημd, I π π ημd Γράφουμε π ημd ημd ημd ημd π, γι τον υπολογισμό του δεύτερου ολοκληρώμτος στο δεύτερο μέλος της προηγούμενης ισότητς θέτουμε Έχουμε u π, d = du ν = π τότε u =, ν = π τότε u = π Έτσι, το δεύτερο ολοκλρωμ γράφετι π π wwwproogr π ημd u π ημu π π π u π du ημudu π ημd,

9 μις κι μπορούμε στην τελευτί πό τις πρπάνω ισότητες ν ντικτστσουμε το u με το Συμπερίνουμε ότι I π ημd ημd π π π π ημ d π ημd Δεδομένου δε ότι η είνι κυρτ συνάρτηση, η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεπώς γι,π, έχουμε π Επίσης, γι,π, έχουμε ημ >, Επομενως εάν,π τότε π ημ που είνι το ζητούμενο Από γνωστ ιδιότητ του ολοκληρώμτος έχουμε ημd I π π wwwproogr

9 Εάν :RR συνεχς συνάρτηση, ποδείξτε ότι Απόδειξη: Στο ολοκλρωμ lim d d d εκτελούμε το μετσχημτισμό κι έχουμε: u du d ότν τότε u, Έτσι ότν τότε u d u du κι με τον στη θέση του u, έχουμε d d Όμως d d d d d d d Συνεπώς d d d d Θ έχουμε λοιπόν ποδείξει το ζητούμενο εάν εξσφλίσουμε ότι d κι lim d lim wwwproogr κι προφνώς ρκεί ν ποδείξουμε την πρώτη πό τις ισότητες υτές Μπορούμε ν εργστούμε ως εξς:

ος τρόπος Η συνάρτηση F με F d είνι συνεχς, άρ lim F F Επειδ F() =, πό την τελευτί ισότητ προκύπτει το ζητούμενο ος τρόπος Ως γνωστόν, ισχύει η d d Η, άρ κι η, είνι συνεχς στο διάστημ [,+] κι συνεπώς πίρνει μέγιστη τιμ, έστω Μ Έτσι, γι < <, έχουμε Επομένως d M, d M M d M Επειδ lim M lim M, λόγω του κριτηρίου πρεμβολς προκύπτει το ζητούμενο wwwproogr

Έστω < < ) Αποδείξτε ότι ημ d κι ότι β) ημ d 3 Απόδειξη: ) Έχουμε: ημ d συν συν d συν συν συν d συν d, Αρ d ημ συν συν συν d Όμως λόγω της τριγωνικς νισότητς, έχουμε συν συν συν d συν συν συν d, Προκύπτει ημ d συν συν συν d [] Εινι wwwproogr συν, γι κάθε R d γι κάθε συνεχ στο [,] συνάρτηση Αρ συν συν d, συν d συν d

3 Από την τελευτί κι την [] έπετι ότι d ημ συν d d ημ συν d [] Επειδη συν, προκύπτει συν d Λόγω της []κι της τελευτίς εχουμε d ημ d d β) Δικρίνουμε περιπτώσεις: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ι Εάν είνι, τότε κι πό το προηγούμενο ερώτημ έχουμε: ημ d 3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙ Έστω ότι είνι < < < Έχουμε: ημ d ημ d ημ d wwwproogr

4 κι άρ ημ d ημ d ημ d [3] Γι τον όρο ημ d, εφρμόζουμε το συμπέρσμ του ερωτμτος () γι = < λμβάνοντς ημ d Γι τον όρο έχουμε ημ d ημ, πρτηρούμε ότι επειδ, ημ ημ d d d Από την [3] λοιπόν προκύπτει ότι ημ d 3 ημ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΙΙ Εάν < <, τότε πάλι λόγω του ότι, έχουμε ημ ημ d d d 3 Σε κάθε περίπτωση επομένως, έχουμε ότι γι < < είνι ημ d 3 wwwproogr

5 Έστω :RR πργωγίσιμη συνάρτηση Αποδείξτε ότι ) εάν η είνι άρτι, τότε η είνι περιττ κι β) εάν η είνι περιττ, τότε η είνι άρτι Απόδειξη: ος τρόπος (μέσω του ορισμού της πργώγου) ) Η είνι άρτι, άρ ισχύει η ισότητ Γι τον τυχίο R, έχουμε, γι κάθε R lim lim κι επειδ γι είνι, πίρνουμε: Θέτουμε lim lim κι το τελευτίο όριο γράφετι lim Αποδείξμε δηλδ ότι γι τυχόν R ισχύει η ισότητ, μ άλλ λόγι ότι, γι κάθε R, που σημίνει πως η είνι περιττ β) Η είνι περιττ, άρ, γι κάθε R Εάν R τυχίο, εργζόμενοι όπως πριν πίρνουμε τις ισότητες: lim lim lim lim Έχουμε επομένως ποδείξει ότι wwwproogr, γι κάθε R,

6 που σημίνει πως η είνι άρτι ος τρόπος (με εφρμογ του κνόν λυσίδς) ) Η είνι άρτι, άρ, γι κάθε R Άρ, γι κάθε R έχουμε δηλδ η είνι περιττ β) Αφού η είνι περιττ, ισχύει η, Επομένως, γι κάθε R έχουμε κι άρ η είνι άρτι, γι κάθε R wwwproogr

7 Θεωρούμε τη συνεχ συνάρτηση :RR κι ορίζουμε τη συνάρτηση g με g Αν R κι υπάρχει η πράγωγος g, τότε υπάρχει κι η πράγωγος Απόδειξη: Δικρίνουμε τις κόλουθες τρεις περιπτώσεις: Ι Επειδ η είνι συνεχς στο θ έχουμε Άρ lim, γι κάθε κοντά στο, οπότε g, γι κάθε κοντά στο Συμπερίνουμε λοιπόν ότι ΙΙ Ομοίως προκύπτει ότι ΙΙΙ g g Εχουμε: g κι θ ποδείξουμε ότι g Γι είνι lim κι συνεπώς lim [] wwwproogr

8 Γι είνι, οπότε lim [] Όμως έχουμε ότι lim άρ εκ των [], [] προκύπτει ότι κι επομένως g lim Από την τελευτί κι λόγω του ότι πίρνουμε lim lim g, lim Άρ κι στην περίπτωση υτ, η υπάρχει, wwwproogr

9 3 Θεωρούμε ότι η συνάρτηση : [,] R είνι συνεχς κι έχει συνεχ πράγωγο στο [,] Βρείτε τ όρι: Απάντηση: ) lim d κι β) lim d ) Η : [,] R είνι συνεχς, άρ υπάρχουν,, κάθε, ν έχουμε: Εφόσον, είνι < < Γι, έχουμε: Ολοκληρώνοντς στο διάστημ,, πίρνουμε: d d d d d d έτσι, ώστε γι Επειδ είνι d ln ln ln, η προηγούμενη γινέτι d ln Πολλπλσιάζοντς επί >, λμβάνουμε Όμως είνι ln d ln [] ln ln lim ln lim lim lim lim Έτσι πο τις [] προκύπτει ότι wwwproogr lim d

3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Χρησιμοποισμε μόνο την συνέχει της β) Η είνι συνεχς Πρτηρώντς ότι ολοκλρωση, πίρνουμε Αρ d κι εφρμόζοντς την κτά πράγοντες d d d, d d Μις κι η είνι συνεχς στο [,], μπορούμε ν εφρμόσουμε γι υτ το συμπέρσμ του ερωτμτος (), οπότε Ακόμη, είνι κι lim lim lim d Λόγω των τριών τελευτίων ισοττων, πό τη [] προκύπτει ότι lim d [] wwwproogr

3 4 Εάν η συνάρτηση : [,+) R είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι ισχύουν οι ισότητες ποδείξτε ότι ) = κι β) lim lim κι lim, Απόδειξη: ) Αρκεί ν ποδείξουμε ότι η πίρνει τιμές κοντά στο ότν το είνι μεγάλο Γι τυχίο διστμτ R εφρμόζετι το ΘΜΤ γι την σε κθέν πό τ, κι, 3 Έτσι, υπάρχουν ξ, ξ με ξ ξ 3 κι τέτοιοι, ώστε ν ισχύουν οι ξ κι ξ 3 Η εφρμογ τώρ του ΘΜΤ γι την στο ξ, δίνει ότι υπάρχει ξ με ξ ξ κι ξ Αρ ξ ξ ξ ξ, ξ ξ ξ ξ ξ 3 ξ ξ ξ ξ [] Όμως είνι ξ ξ, άρ η πόστση μετξύ των ξ κι ξ υπερβίνει τον, δηλδ ξ ξ ξ + + ξ ξ ξ Έτσι, λόγω της [] πίρνουμε: ξ 3, Κι προκυπτει ξ 3 [] wwwproogr

3 Επειδη lim, είνι κι lim Συνεπώς lim Από την τελευτί προκύπτει πως γι επρκώς μεγάλο, οι ποστάσεις 3, γίνοντι όσο μικρές επιθυμούμε Επομένως, σύμφων με τη [], μπορούμε ν επιλέξουμε ξ, ώστε η τιμ είνι όσο θέλουμε κοντά στον Επειδ lim, προκύπτει ότι = ξ ν β) Γι R, εφρμόζουμε το ΘΜΤ γι την στο διάστημ [, + ] κι συμπερίνουμε ότι υπάρχει ξ με < ξ < + κι ξ Εξάλλου, η ικνοποιεί το ΘΜΤ στο [, ξ ], άρ υπάρχει σ(, ξ ) έτσι, ώστε Έτσι, πίρνουμε ξ σ ξ ξ σ ξ σ ξ Αλλά είνι < ξ < κι συνεπώς, με σ >, πό την τελευτί πίρνουμε ότι σ σ σ Εφόσον είνι lim κριτριο πρεμβολς πίρνουμε lim κι lim, εφρμόζοντς το wwwproogr

33 5 Έστω ότι η :RR είνι δύο φορές πργωγίσιμη κι η g:rr είνι τέτοι, ώστε g, γι κάθε R Εάν επιπλέον ισχύει η ισότητ g ν ποδειχθεί ότι υπάρχει Μ > τέτοιος, ώστε ν είνι γι κάθε R M κι M, Απόδειξη: Πολλπλσιάζουμε τη δοσμένη σχέση επί κι πίρνουμε: g, [] γι κάθε R Όμως κι Οπότε η [] δίνει την γι κάθε R Θέτουμε κι έχουμε ότι g,, R g, γι κάθε R Δίνετι ότι g, γι κάθε R κι άρ πό την προηγούμενη ισότητ προκύπτει ότι wwwproogr

34, γι < κι, γι > Εάν <, τότε η εφρμογ του ΘΜΤ στο διάστημ [,] δίνει ότι υπάρχει κάποιος ξ με ξ τέτοιος, ώστε Έτσι άρ ξ,, γι < Εάν είνι >, εφρμόζουμε το ΘΜΤ στο [,] κι πίρνουμε ότι γι κάποιον ξ, ξ Όπως πριν προκύπτει ότι Έχουμε λοιπόν ότι, γι >, γι κάθε R, σχέση που είνι ισοδύνμη με την, γι κάθε R Εάν θέσουμε M, τότε πό την τελευτί προκύπτει ότι M κι M, γι κάθε R, οπότε M κι M wwwproogr

35 6 Μελετστε κι σχεδιάστε μι πρόχειρη γρφικ πράστση γι την Απάντηση: Γι >, έχουμε: ln : (,+) R με ln ln κι Εύκολ πρτηρούμε ότι είνι, γι κάθε >, άρ η είνι κοίλη Γνωρίζουμε ότι γι κάθε >, ισχύει η νισότητ ln με το «ίσον» ν ισχύει μόνο ότν =, [] Με τον στη θέση του, πό την [] πίρνουμε Λόγω της [], έχουμε Άρ γι >, είνι ln, > ln [] Επειδ η [] είνι ισότητ ν κι μόνο ν = κι φού, προκύπτει ότι, γι > Έτσι η είνι γνησίως ύξουσ κι κοίλη wwwproogr

36 Ακόμη κι lim ln lim lim lim ln lim lim lim Μι πρόχειρη γρφικ πράστση, είνι εκείνη του διπλνού σχμτος wwwproogr

37 7 Η :[,] R είνι δύο φορές πργωγίσιμη, με () = () = κι N ποδειχθεί ότι, γι κάθε [,], γι [,] Απόδειξη: Πολλπλσιάζουμε επί e τη σχέση της υπόθεσης κι πίρνουμε γι (,) e e e, [] Θεωρούμε τη συνάρτηση Είνι e, [,] e e κι e e e, οπότε η [] δίνει ότι, γι (,) Αρ η είνι κυρτ Επομένως, σύμφων με το ποτέλεσμ του (Β), η πίρνει τη μέγιστη τιμ της σε κάποιο πό τ άκρ του διστμτος [,] Επειδ () = () = κι e Αρ η μέγιστη τιμ της είνι Δηλδ e, είνι κι () = () =, γι κάθε [,], γι κάθε [,], γι κάθε [,] wwwproogr

38 8 Εάν γι τις συνεχείς συνρτσεις,g:[,](,+) ισχύει g() < () γι κάθε [,], τότε ποδείξτε ότι υπάρχει πργμτικός ριθμός λ > έτσι, ώστε () > λg(), γι κάθε [,] Απόδειξη: Κτά την υπόθεση είνι g() >, άρ πό τη σχέση g() < () μπορούμε ν συμπεράνουμε ότι g Η συνάρτηση :[,]R με σε κάποιον,, δηλδ Εινι Εάν θέσουμε λ wwwproogr, γι κάθε [,], ως συνεχς, πίρνει ελάχιστη τιμ g, γι [,] g, πίρνουμε γι [,] g, Το ότι η τελευτί νισότητ δεν είνι γνσι, μς εμποδίζει ν ισχυριστούμε ότι έχουμε ποδείξει το ζητούμενο Θέτουμε λοιπόν Αφού είνι, έχουμε ότι λ > Ακόμη Έτσι, γι κάθε [,], έχουμε λ λ g λ,

39 κι φού g() >, πίρνουμε την ποδεικτέ 9 Βρείτε, ν υπάρχουν, πργωγίσιμες συνρτσεις,g: (,+)R γι τις οποίες ισχύουν οι ισότητες Απάντηση: Γι >, έχουμε g κι g g g g g g g g Έπετι ότι g c γι > κι γι κάποι στθερά wwwproogr c g, c R Αφιρώντς κτά μέλη τις ισότητες της υπόθεσης, πίρνουμε ότι γι > ισχύει: g g g g g g []

4 Άρ g g c g c, [] γι > κι γι κάποι στθερά c R Μετά πό πρόσθεση κτά μέλη των [], [] πίρνουμε την c c, >, ενώ μετά την φίρεσ τους προκύπτει η c c, > g Οι, g είνι οι ζητούμενες συνρτσεις wwwproogr

4 Αποδείξτε ότι γι κάθε, π 4 ημ συν συν ημ, Απόδειξη: Αρκεί ν ποδείξουμε ότι γι, π ημ ισχύει η συν lnσυν ln ημ Εάν θέσουμε = ημ, τότε γι έχουμε κι 4 συν Επομένως, ρκεί ν ποδείξουμε ότι π ln ln, γι Θ τ έχουμε κτφέρει εάν συμπεράνουμε πως γι τη συνάρτηση με είνι, γι ln ln,, Πρτηρούμε ότι η ορίζετι γι κι μάλιστ δεν ορίζετι όμως στο Επειδ όμως είνι ln ln, 4 lim ln ln ln lim lim lim προκύπτει ότι lim lim, Προκειμένου λοιπόν ν εργστούμε με μι συνάρτηση που ν ορίζετι κι στο, ντιλμβνόμστε πως η κτλληλότερη επιλογ είνι η g με Γι την g ισχύουν ln ln, g,, wwwproogr

wwwproogr 4 g κι lim lim g g Η g είνι συνεπώς συνεχς στο, άρ σε ολόκληρο το διάστημ, Στόχος μς είνι ν ποδείξουμε ότι η g είνι κυρτ κι ν εφρμόσουμε το συμπέρσμ του (Β) Η g είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο διάστημ, κι έχουμε: ln ln ln ln g κι ln ln ln ln ln ln g 3 3 3 3 3 3 Μετά τους προηγούμενους κουρστικούς υπολογισμούς, πίρνουμε επιτέλους ότι ln g Πρεπει ν ποδείξουμε πως g, γι, Αρκεί προς τούτο ν ποδείξουμε ότι η πράστση ln στην γκύλη της τελευτίς ισότητς είνι θετικ

43 Όμως γι, έχουμε διδοχικά τις,, οπότε θ θέλμε η πράστση, ln ν προκύψει θετικ γι Γι, είνι ν κι μόνο ν Θεωρούμε τη συνάρτηση κι έχουμε: κι ln ln ln ln, Έπετι ότι η είνι γνησίως ύξουσ lne ln, e ln, Αρ γι είνι wwwproogr e ln ln

Άρ πράγμτι είνι g 44, γι, Το ζητούμενο έπετι τώρ πό την εφρμογ του (Β) κι επομένως η g είνι κυρτ Εάν γι την συνεχς συνάρτηση :[,] [,+) ισχύει ότι γι κάθε [,] d, ν ποδειχθεί ότι, [,] Απόδειξη: Θέτουμε d κι έχουμε Η δοσμένη σχέση γράφετι κι φού γι [,] είνι () έχουμε () κι () Πίρνοντς ριζικά, συμπερίνουμε διότι, [] Από την [] έπετι ότι wwwproogr

45 d Επειδ () =, η τελευτί γι [,] δινει διδοχικά τις,, Έτσι, λόγω της νισότητς, d d της υπόθεσης, έπετι ότι Όμως γι [,] είνι (), οπότε πό την τελευτί συμπερίνουμε πως, γι [,] Πρτρηση: Εάν έχουμε τις ίδιες υποθέσεις λλά με την ορισμένη στο διάστημ [,] γι κάποιον >, τότε εργζόμενοι ομοίως θ συμπεράνουμε ότι wwwproogr, γι [,]

46 Εάν η συνάρτηση g:[,]r είνι συνεχς κι γνησίως ύξουσ τότε γι R, ισχύει ότι Απόδειξη: d g g g d Θεωρούμε τη συνάρτηση :[,]R με η οποί είνι γνησίως ύξουσ g, Είνι g Αρκεί ν ποδείξουμε ότι g d d [] Η είνι γνησίως ύξουσ, άρ κι γι είνι Έτσι, έχουμε: γι είνι d d Επειδ διδοχικά πίρνουμε: d d d d κι, d wwwproogr

47 Επειδ d d d d d d d προκύπτει ότι που είνι η [] d d d, d d, Πρτρηση: ) Ομοίως μπορούμε ν ποδείξουμε ότι η νισότητ g d g g ισχύει κι γι g:[,]r συνεχ κι γνησίως φθίνουσ β) Μπορούμε επίσης ν ποδείξουμε ότι η ίδι νισότητ ισχύει κι γι g:[,]r συνεχ κι ύξουσ φθίνουσ d wwwproogr

48 3 Έστω :[,π]r συνεχς συνάρτηση γι την οποί είνι π ημd συν d Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (,π) π Απόδειξη: Η είνι συνεχς στο [,π] Επομένως εάν υποθέσουμε ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο (,π), τότε η θ διτηρεί στθερό το πρόσημό της στο διάστημ υτό Επειδ είνι ημ >, γι κάθε (,π), έπετι πως η ημ θ διτηρεί επίσης στθερό πρόσημο, συμπέρσμ που ντίκειτι στο γεγονός ότι π ημd Προκύπτει λοιπόν ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστο μι ρίζ,π Θ ποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει κι δεύτερη ρίζ Ας υποθέσουμε πως ντίθετ, ο ρ είνι η μονδικ ρίζ της στο (,π) Τότε θ ισχύουν οι, γι,ρ κι, γι ρ,π ρ είτε οι, γι,ρ κι, γι ρ,π Ας υποθέσουμε πως ισχύουν οι πρώτες Γι < < ρ, έχουμε -π < -ρ < ρ <, άρ ημ( ρ) < Γι ρ < < π, έχουμε < ρ < π ρ < π, άρ ημ( ρ) > Συμπερίνουμε ότι ()ημ( ρ) <, γι κάθε (,π) \ {ρ} Αρ π ημ ρd Ανπτύσσοντς το ημ(-ρ) πίρνουμε wwwproogr

49 π π ημ ρd συνρ ημd ημρ συνd Οι δυο τελευτίες σχέσεις είνι ντιφτικές, δηλδ έχουμε ΑΤΟΠΟ π Άρ η εξίσωση έχει κι δεύτερη ρίζ στο διάστημ (,π) κι τελικά έχει τουλάχιστο δύο ρίζες σ υτό το διάστημ wwwproogr

5 4 Έστω :[,][,] συνεχς, μη στθερ συνάρτηση Αποδείξτε ότι υπάρχουν,, με ξ ξ ξ ξ κι ξ ξ Απόδειξη: Δίνετι ότι :[,][,] Αρ έχουμε ότι (), () [,] Προκύπτει ότι Θ ποδείξουμε ρχικά, πως υπάρχουν,, με τέτοιοι, ώστε Εάν υποθέσουμε το ντίθετο, τότε γι κάθε,, έχουμε Εάν στθεροποισουμε τον, τότε γι κάθε, με θ με, έχουμε Επειδ lim είνι κι lim κι υτό γι τον τυχίο, Συνεπώς ισχύει η, γι κάθε, που σημίνει ότι η είνι στθερ Αυτό όμως είνι ΑΤΟΠΟ κι άρ υπάρχουν,, wwwproogr με κι

5 Θεωρούμε (!!!) τη συνάρτηση :[,]R με Προσοχ: Είνι κι [,], άρ Επίσης, άρ κι με [,] έχουμε, άρ, οπότε Η λοιπόν είνι κλά ορισμένη στο [,] κι είνι συνεχς στο διάστημ υτό ως ποτέλεσμ πράξεων μετξύ συνεχών συνρτσεων Επιπλέον κι Δικρίνουμε περιπτώσεις: Εάν () =, τότε κι ξ κι η ποδεικτέ ισχύει γι ξ Εάν () <, τότε είνι προφνές ότι η ικνοποιεί το θεώρημ Bolzano στο διάστημ [,] Άρ υπάρχει ξ(,) με (ξ) = ξ ξ, ξ ξ δηλδ η ποδεικτέ ισχύει γι ξ Η πόδειξη είνι πλρης ξ κι ξ ξ wwwproogr

5 5 Η συνάρτηση :[,]R έχει συνεχ πράγωγο κι γι τον, ισχύει Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ, με ξ Απόδειξη: Εάν wwwproogr ξ, τότε η ποδεικτέ ισχύει γι ξ Έστω ότι Θ εξετάσουμε μόνο την περίπτωση κτά την οποί, διότι εάν μπορούμε ν εργστούμε εντελώς όμοι γι την g με g Θεωρούμε τη συνάρτηση με Η είνι συνεχς κι Η είνι συνεχς στο,, [,] Άρ η πίρνει μέγιστη τιμ στο διάστημ υτό Επειδ είνι, η μέγιστη τιμ της στο κάποιον, Η ικνοποιεί το ΘΜΤ στο διάστημ Έχουμε,, θ λμβάνετι σε, άρ υπάρχει, Είπμε πως η μέγιστη τιμ της στο κι επομένως, με λμβάνετι στον,, άρ

53 Ακόμη Έτσι κι συνεπώς Συμπερίνουμε λοιπόν ότι κι πό το θεώρημ Bolzano έπετι ότι υπάρχει,, ξ ξ με ξ ξ wwwproogr

54 6 Έστω συνάρτηση :RR δύο φορές πργωγίσιμη, γι την οποί ισχύουν οι,, Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ,, με ξ ξ ξ Απόδειξη: Θεωρούμε τη συνάρτηση, g:[,]r, με g H g είνι συνεχς κι πργωγίσιμη, με g Πρτηρούμε ότι g, οπότε ν ποδείξουμε πως g γι κάποιον,, τότε η ποδεικτέ θ προκύψει πό την εφρμογ του θεωρμτος Rolle γι την g στο διάστημ, Στόχος μς επομένως είνι ν εξσφλίσουμε την ύπρξη κάποιου,, με g Δικρίνουμε δύο περιπτώσεις: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (Ι), γι κάθε, Θεωρούμε τότε τη συνάρτηση η οποί είνι συνεχς στο κι με,,,,, πργωγίσιμη στο, Από το θεώρημ Rolle έπετι πως υπάρχει, με με πράγωγο wwwproogr

55 g, που είνι το ζητούμενο ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (ΙΙ) Η εξίσωση έχει ρίζες (τουλάχιστον μί) στο διάστημ, Ας υποθέσουμε ότι είνι g γι κάθε, Τότε η g διτηρεί στθερό πρόσημο στο, Εάν g() < γι κάθε,, τότε Αρ, γι κάθε,, γι κάθε,, δηλδ η είνι γνησίως φθίνουσ στο [,] Έπετι ότι, γι κάθε [,], που ντίκειτι στην υπόθεσ μς πως η εξίσωση έχει ρίζες στο [,] Δε μπορεί λοιπόν, πρά ν είνι g() > γι κάθε, Ας είνι ρ η μικρότερη πό τις ρίζες της εξίσωσης στο [,] Επειδ είνι θ έχουμε ότι, γι κάθε [,ρ) [] Επίσης είνι gρ, άρ wwwproogr ρ ρ

56 Αφού (ρ) =, πό την τελευτί πίρνουμε ότι ρ lim ρ ρ ρ lim ρ ρ Έπετι ότι ρ, γι κοντά στο ρ Έτσι, γι κοντά στο ρ με < ρ θ είνι () < που είνι ΑΤΟΠΟ λόγω της [] Κτλξμε σε άτοπο έχοντς υποθέσει ότι g γι κάθε, Έπετι ότι g γι κάποιον, περίπτωση (ΙΙ) έχει επιτευχθεί, οπότε ο στόχος μς κι στην wwwproogr

57 7 Ν βρεθεί, ν υπάρχει, πργωγίσιμη συνάρτηση :RR γι την οποί ισχύει η ισότητ d 4, γι R [] Απάντηση: Πργωγίζοντς στην [], πίρνουμε διδοχικά κι γι κάθε R τις ισότητες:,,, Από την τελευτί μπορούμε ν συμπερίνουμε ότι c e, γι κάθε R κι γι κάποι πργμτικ στθερά c Η [] γι = δίνει 4 4 c 4 c οπότε 4 e, R είτε 4 e, R Σε κάθε περίπτωση, η [] ισοδυνμεί με τις ισότητες 4 e 4 e d 4, e e d, e e, wwwproogr e κι η τελευτί ληθεύει γι κάθε R Άρ οι συνρτσεις e e 4 e, R κι 4 e, R επληθεύουν την [] κι συνεπώς κθεμιά τους ποτελεί λύση του προβλμτος

58 8 Έστω :[,]R δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση γι την οποί ισχύουν, κι e, γι κάθε [,] Αποδείξτε ότι η είνι γνησίως ύξουσ Απόδειξη: Αρχικά πρτηρούμε ότι πό την ισότητ Άρ οπότε Θ ποδείξουμε ότι είνι wwwproogr lim lim προκύπτει ότι, γι κοντά στο,, γι κοντά στο, γι (,] Εάν υτό δε συμβίνει, τότε υπάρχει,, με Η είνι συνεχς στο,, άρ πίρνει μέγιστη τιμ σε κάποιον, Όμως έχουμε ότι () =, κι Άρ, κι Επίσης Επειδ έχουμε e, lim, γι κοντά στο,

59 Αρ, γι κοντά στο κι κι Έπετι πως η είνι κι, γι κοντά στο κι γνησίως φθίνουσ ριστερά του γνησίως ύξουσ δεξιά του, που είνι ΑΤΟΠΟ διότι στο η πίρνει μέγιστη τιμ Έχουμε λοιπόν ότι κι φού είνι e, γι (,], έπετι ότι Έτσι η είνι γνησίως ύξουσ στο [,] Αφού, έχουμε, γι (,], γι κάθε, οπότε η είνι γνησίως ύξουσ στο [,] wwwproogr

6 9 Έστω :[,]R τρεις φορές πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχ τρίτη πράγωγο Εάν ισχύουν κι ποδείξτε ότι υπάρχει ξ,, με ξ 4 Απόδειξη: Δίνετι κι, άρ, Όμως d d d I I I d d d Επειδ είνι I Όμως, άρ, πίρνουμε d I d Εφρμόζοντς τις ισότητες πίρνουμε d d κι εργζόμενοι νάλογ, Άρ I d d Εάν Μ η μέγιστη τιμ της στο διάστημ [,], έχουμε d M d [] [] wwwproogr

6 Θέτουμε κι πίρνουμε Αρ d d, 3 4 M 3 d M Από τις [], [] κι την τελευτί προκύπτει ότι M 4 M 4 Αφού η μέγιστη τιμ της στο διάστημ [,] είνι 4 με ξ 4 θ υπάρχει ξ, Πρτρηση: Με λίγη προσοχ, μπορούμε ν ποδείξουμε ότι υπάρχει ξ, με ξ 4 Πράγμτι, εάν η μέγιστη τιμ της στο [,] είνι 4 πντού ισότητες Αυτό σημίνει ότι 4 όπου c στθερά Αφού, οπότε, πίρνουμε c =, άρ 4 c, Αλλά τότε δε μπορεί ν ισχύει 4, ΑΤΟΠΟ, τότε θ έχουμε wwwproogr

6 3 Έστω : (,+)(,+) πργωγίσιμη με συνεχ πράγωγο Βρείτε, ν υπάρχει, το όριο Απάντηση: Έστω Τότε Αρ lng g lim lng lim, ln ln lim lim lim ln ln (ΠΡΟΣΟΧΗ: οι πργωγίσεις γίνοντι ως προς Στο τελευτίο στάδιο χρησιμοποισμε Αλλά την συνέχει της πργωγου) g lng e κι επειδ η e είνι συνεχς συνάρτηση, έχουμε lim lng e e lim g wwwproogr

63 3 Γι την πργωγίσιμη συνάρτηση :RR ισχύουν οι σχέσεις () = κι Πόσο μεγάλη μπορεί ν είνι η τιμ ();, γι κάθε R Απάντηση: Πολλπλσιάζουμε την νισότητ της υπόθεσης επί κάθε R, έχουμε διδοχικά Επομένως γι τη συνάρτηση έχουμε ποδείξει ότι e e e, e e, e e e e, R,, γι κάθε R e κι γι Εξάλλου, είνι προφνές πως η ικνοποιεί το ΘΜΤ στο διάστημ [,] Αρ υπάρχει ξ(,) με Είνι ξ ξ άρ e e e e e e wwwproogr

64 e e Συνεπώς, η μέγιστη τιμ που μπορεί ν πάρει ο () είνι e e 3 Οι συνρτσεις,g:[,]r είνι συνεχείς στο [,] κι πργωγίσιμες στο (,), με g, γι κάθε, ) g g, γι κάθε, β) υπάρχει ξ, με Απόδειξη: κι g ξ ξ g ξ g ξ Τότε ) Ας υποθέσουμε πως, ντίθετ με ό,τι θέλουμε ν ποδείξουμε, υπάρχει κάποιος o, με g g o Τότε εφρμόζετι το θεώρημ Rolle γι την g στο διάστημ o, Άρ υπάρχει σ o,,, με g σ Το τελευτίο συμπέρσμ όμως ντίκειτι στην υπόθεση ότι g, γι κάθε, κι με την ντίφση υτ ολοκληρώνετι η πόδειξη σ υτό το πρώτο ερώτημ β) Η ποδεικτέ γράφετι: ξ g ξ gξ gξ ξ gξ ξ g gξ ξ gξ ξ gξ [] Οδηγούμστε στο ν θεωρσουμε τη συνάρτηση :[,]R με g g g Η είνι συνεχς στο [,] κι πργωγίσιμη στο (,) με πράγωγο g g g g Ακόμη, g g g g κι wwwproogr

wwwproogr 65 g g g g Η συνάρτηση επομένως, ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρμτος Rolle στο διάστημ [,] κι συνεπώς υπάρχει, ξ τέτοιος, ώστε ν ισχύει η ξ, δηλδ η ξ g ξ ξ g ξ ξ g g ξ ξ g ξ ξ g ξ g ξ g ξ Αφού ξ g κι g ξ g, διιρώντς πίρνουμε τη ζητούμενη