Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο ελεύθερο άκρο της µια δύναµη µέτρου F=mg/, που ο φορέας της είναι συνεχώς κάθετος στην ράβδο. i) Nα δείξετε ότι η ράβδος δεν εκτελεί ανακύκλωση. ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I=mL /3 της ράβ δου ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛYΣH: i) H εφαρµοζόµενη στο ελεύθερο άκρο A της ράβδου δύναµη F, έχει περί τον άξονα περιστροφής της σταθερή ροπή, µέτρου τ 1 =FL υπό την επίδραση της οποίας η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται από την θέση ευσταθούς ισορ ροπίας της OA 0. Εάν Κ(φ) είναι η κινητική ενέργεια της ράβδου στην θέση όπου η γωνιακή της εκτροπή είναι φ, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέρ γειας-έργου θα ισχύει η σχέση: K() - 0 = W F + W m g K() = FL - mg (L - L"#) K() = - (1 - "#) (1) H (1) για φ=π δίνει: Σχήµα 1 K() = - (1 - "#) K() = ( - ) < 0 ()
H () εγγυάται ότι η ράβδος δεν µπορεί να εκτελέσει ανακύκλωση. ii) Κατά την κίνηση της ράβδου το βάρος της m g παρουσιάζει ροπή περί τον άξονα περιστροφής της, η οποία αντιστέκεται στην περιστροφή της, το δε µέτρο της είναι: = mg(km) = "µ# / (3) Eπειδή η γωνία φ αυξάνεται, σύµφωνα µε την (3) θα αυξάνεται και το µέτρο της ροπής του βάρους και έστω ότι, υπάρχει γωνία φ * για την οποία ισχύει: (3) 1 = FL = µ" * / / = µ" * / ηµφ * = 1/ φ * = π/6 ή φ * = 5π/6 Για φ=5π/6 η σχέση (1) δίνει: K(5 / 6) = K(5 / 6) = 5 6 - " # 1 + 3 % ' " 5 # 6 - - 3 % ' < 0 () H () δηλώνει ότι η ράβδος δεν µπορεί να φθάσει στην θέση φ=5π/6. Aκόµη για φ=π/ η (1) δίνει: K( / ) = - K( / ) = " # - % ' < 0 δηλαδή η ράβδος δεν µπορεί να φθάσει στην οριζόντια θέση. Ας δούµε όµως ποια είναι η ανώτατη θέση στην οποία µπορεί να φθάσει η ράβδος. Εάν φ 0 είναι η γω νιακή εκτροπή της ράβδου που αντιστοιχεί στην ανώτατη θέση της, τότε στην θέση αυτή η κινητική της ενέργεια είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: (1) K( 0 ) = 0 0 = 0 - (1 - "# 0 ) 0 / = 1 - "# 0 0 + "# 0 = µε φ 0 <π/ (5) H (5) είναι µια σχέση που δεν µπορεί να λυθεί αλγεβρικά ως προς φ 0, µπορεί όµως να λυθεί αριθητικά µε την βοήθεια υπολογιστή που χρησιµοποιεί κατάλλη λο µαθηµατικό πρόγραµµα. Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι: Για 0 φ<φ * θα ισχύει τ 1 >τ, που σηµαίνει ότι η ράβδος θα επιταχύνεται, ενώ για φ * <φ φ 0 ισχύει τ 1 <τ και η ράβδος θα επιβραδύνεται, οπότε για φ=φ * η ράβδος θα παρουσιάζει την µέγιστη γωνιακή της ταχύτητα max. Eφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, µεταξύ της αρχικής της θέ σεως και της θέσεως όπου φ=φ * =π/6, παίρνουµε την σχέση:
K "# - K % = W F + W m g I max - 0 = FL" * + (1 - #%" * ) ml max 6 = ("/6) + [1 - #%("/6)] L max 6 = g" + g(1-3 / ) L max 6 = g" + g( - 3) max = g" + 6g( - 3) L max = g(" + 1-6 3) L (6) Παρατήρηση: Σχήµα H συνάρτηση Κ(φ) / 0 φ φ 0 παρουσιάζει για φ=π/6 τοπικό µέγιστο µε µέγιστη κινητική ενέργεια της ράβδου που δίνεται από την σχέση: K mam = K( / 6) = 6 - " 1 - # 3 % ' K mam = " # 6 - + 3 % ' > 0 ενώ για φ=0 και φ=φ 0 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο µε ελάχιστη κινητική ενέργεια ίση µε µηδέν. Η γραφική παράσταση της Κ(φ) φαίνεται στο σχήµα (). P.M. fysikos Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται στο ελεύθερο άκρο της µια δύναµη µέτ ρου F=mg 3 /, που ο φορέας της είναι συνεχώς κάθετος στην ράβδο. Nα εξετάσετε εάν η ράβδος εκτελεί ανακύκλωση και να µελετήσετε πως µεταβάλλεται η κινητική της ενέργεια σε συνάρτηση µε την γω νιακή της εκτροπή από την θέση ευσταθούς ισορροπίας της.
Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: H εφαρµοζόµενη στο ελεύθερο άκρο A της ράβδου δύναµη F, έχει στα θερή ροπή περί τον τον άξονα περιστροφής της, µέτρου τ 1 =FL υπό την επίδρα ση της οποίας η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται από την θέση ευσταθούς ισορροπίας της OA 0. Εάν Κ(φ) είναι η κινητική ενέργεια της ράβδου στην θέση όπου η γωνιακή της εκτροπή είναι φ, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου θα ισχύει η σχέση: K() - 0 = W F + W m g K() = FL - mg (L - L"#) K() = - (1 - "#) (1) Σχήµα 3 H (1) για φ=π δίνει: K() = - (1 - "#) K() = ( 3 - ) > 0 () H () εγγυάται ότι η ράβδος θα εκτελέσει ανακύκλωση, που σηµαίνει ότι δεν θα µηδενιστεί ποτέ η κινητική της ενέργεια δηλαδή το πεδίο ορισµού της (1) είναι το ηµιάνοικτο διάστηµα [0,+). Παραγωγίζοντας την (1) ως προς την γωνιακή εκτροπή φ της ράβδου παίρννουµε την σχέση: dk() d = - "µ µε 0 " < +# (3) Παρατηρούµε από την (3) ότι η παράγωγος της Κ(φ) είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισµού της [0,+) και εποµένως τα πιθανά ακρότατα που παρουσι άζει η Κ(φ) θα ικανοποιούν την σχέση: dk() d (3) = 0 0 = - µ" µ" = 3 = " / 3 + #" % = " / 3 + #" µε λ=0, 1,, ()
Θεωρώντας την δεύτερη παράγωγο της Κ(φ) έχουµε: d K() = - "# (5) d Για φ=π/3+λπ (λ=0, 1,, ) έχουµε: d K() = - "#(% / 3 + %) = - d που σηµαίνει ότι στις θέσεις φ=π/3+λπ η κινητική ενέργεια της ράβδου παρου σιάζει τοπικά µέγιστα κάθε δε µέγιστο έχει µεγαλύτερη τιµή από το προηγού µενό του. Για φ=π/3+λπ (λ=0, 1,, ) έχουµε: d K() = - "#(% / 3 + %) = d < 0 > 0 Σχήµα δηλαδή στις θέσεις φ=π/3+λπ (λ=0, 1,, ) η κινητική ενέργεια της ράβδου παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα κάθε δε ελάχιστο έχει µεγαλύτερη τιµή από το προηγούµενό του. Παρατηρήσεις: Α Για φ=0 η κινητική ενέργεια της ράβδου επίσης παρουσιάζει τοπικό ελά χιστο µε µηδενική τιµή, ενώ για " +# δεν υπάρχει όριο για την Κ(φ), που σηµαίνει ότι η κινητική ενέργεια της ράβδου δεν µπορεί να απειριστεί. Β Στις θέσεις των τοπικών µεγίστων της Κ(φ) η ροπή του βάρους της ράβδου περί τον άξονα περιστροφής της είναι αντίθετη της αντίστοιχης ροπής της δύνα µης F, δηλαδή η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στις θέσεις αυτές είναι µηδενική. Το ίδιο συµβαίνει και στις θέσεις των τοπικών ελαχίστων της Κ(φ) µε εξαίρεση την θέση φ=0.
Γ Με βάσει τα όσα εκτέθηκαν παραπάνω η γραφική παράσταση της Κ(φ), θεω ρούµενη µε ελεύθερη εκτίµηση έχει την µορφή που φαίνεται στο σχήµα () P.M. fysikos Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται στο ελεύθερο άκρο της µια δύναµη µέτ ρου F=mg 3 /, που ο φορέας της είναι συνεχώς κάθετος στην ράβδο. Nα µελετηθεί η κίνηση της ράβδου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I=mL /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛYΣH: Εξετάζουµε την ράβδο κατά µια τυχαία στιγµή t που η γωνιακή της εκτροπή από την θέση ευσταθούς ισορροπίας OA 0 είναι φ. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παιρ νουµε την σχέση: ( " ) = I # ' 1 + = I " ' (1) Σχήµα 5 όπου 1, οι ροπές περί τον άξονα περιστροφής της ράβδου των δυνάµεων F και m g αντιστοίχως και ' η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου κατά την θεω ρούµενη χρονική στιγµή t. Eάν z 0 είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επί πεδο κινήσεως της ράβδου, του οποίου η φορά επιλέγεται συµβατικά ώστε να αντιστοιχεί σε αριστερόστροφη περιστροφή της ράβδου, τότε η διανυσµατική σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών που έχει την µορφή: 1 z 0 + z 0 = ml 3 "' z 0 FL - µ" = ml d# 3 dt mg 3 L - µ" = ml 3 d# dt g 3 - gµ" = L d " 3 dt
3 3g L - 1g L µ" = d " dt d dt + 1g L "µ = 3 3g L () H σχέση () αποτελεί µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως που η λύση της δεν είναι εφικτή µε αναλυτικό τρόπο. Είναι όµως δυνατή η προσεγ γιστική της λύση µέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί κατάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα. Το πρόγραµµα αυτό θα µας απαντήσει µε πολύ καλή προσέγγιση, µε βάση βέβαια και τις αρχικές συνθήκες κινήσεως της ράβδου, ποια είναι µορφή της συνάρτησης φ=f(t). P.M. fysikos