ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΩΝ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: κα ΛΗΔΑ ΘΩΜΟ Θεσσαλονίκη Ιανουάριος 26

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή 2. Βασικές έννοιες και θεωρήματα 2.. Η κατανομή Poisso 2.2. Η εκθετική κατανομή 2.3. Η διαδικασία γέννησης θανάτου 2.4. Ο Νόμος του Little 3. Ουρές αναμονής στα νοσοκομεία 3.. Αναμονή για κρεβάτι η ουρά M/M/ 3.2. Αναμονή για κρεβάτι η ουρά M/M//K 3.3. Τηλεφωνικά ραντεβού για εξέταση ουρές με πολλαπλές αναχωρήσεις 3.4. Εξέταση στα τακτικά ιατρεία ουρά με πηγή πελατών πεπερασμένη 3.5. Ο στόλος των ασθενοφόρων η ουρά CQL 3.6. Εξέταση σε εφημερία η ουρά CQQ 4. Η συνάρτηση κόστους 5. Επίλογος 2

Εφαρμογές της Θεωρίας Ουρών Αναμονής στην Οικονομία: η περίπτωση των νοσοκομείων. Εισαγωγή Ο άνθρωπος, ως μέλος των σύγχρονων αστικών κοινωνιών, στηρίζεται συχνά στις υπηρεσίες των άλλων για να ικανοποιήσει τις ανάγκες του. Τράπεζες, δημόσιες υπηρεσίες, νοσοκομεία και άλλοι φορείς είναι μερικά από τα παραδείγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδειχθεί ο παραπάνω συλλογισμός. Σε όλα αυτά τα παραδείγματα τα συστήματα εξυπηρέτησης όπως ονομάζονται διακρίνουμε κοινά χαρακτηριστικά. Ένα σύνολο εξυπηρετητών, με πεπερασμένη δυνατότητα εξυπηρέτησης, προσπαθεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση για υπηρεσίες. Σε όρους των παραπάνω παραδειγμάτων οι εξυπηρετητές μπορεί να είναι οι ταμίες των τραπεζών, οι υπάλληλοι στις δημόσιες υπηρεσίες, οι γιατροί και οι νοσοκόμες στα νοσοκομεία. Καθένας από αυτούς, αντιμετωπίζει τη ζήτηση του κοινού για τραπεζικές συναλλαγές, γραφειοκρατικές υπηρεσίες, καθώς και νοσοκομειακή περίθαλψη. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η δυνατότητα κάθε συστήματος για εξυπηρέτηση είναι πεπερασμένη. Αντίθετα, η ζήτηση του κοινού είναι μεταβλητή και δεν υπόκειται σε περιορισμούς. Εύλογο είναι λοιπόν πολλές φορές η ζήτηση για εξυπηρέτηση να υπερβαίνει τη δυνατότητα του συστήματος, με αποτέλεσμα το σχηματισμό ουράς. Σε αυτό ακριβώς το σημείο παρεμβαίνει η θεωρία ουρών αναμονής, προσπαθώντας να κατανοήσει τη δομή των συστημάτων εξυπηρέτησης και να δώσει λύσεις και προτάσεις για την καλύτερη λειτουργία αυτών. Είναι φανερό λοιπόν πως η μελέτη της εν λόγω θεωρίας δεν γίνεται μόνο λόγω του μεγάλου επιστημονικού ενδιαφέροντος που παρουσιάζει, αλλά και διότι παρέχει πολύ 3

χρήσιμα εργαλεία κατάλληλα για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων που αφορούν στη ζωή του σύγχρονου ανθρώπου. Ένα από τα προβλήματα στα οποία μπορεί να εφαρμοστεί η θεωρία ουρών αναμονής είναι η οργάνωση και διαχείριση των νοσοκομείων. Μπορεί κανείς εύκολα να φανταστεί γιατί το συγκεκριμένο πρόβλημα παρουσιάζει μεγάλο κοινωνικό και οικονομικό ενδιαφέρον. Όσον αφορά στην κοινωνική του διάσταση, αντιλαμβανόμαστε πως όταν κάποιος εισέρχεται σε ένα νοσοκομείο στη θέση του ασθενούς, βιώνει μια σαφώς δυσάρεστη εμπειρία. Έτσι, οτιδήποτε δεν λειτουργεί τέλεια του προκαλεί επιπλέον εκνευρισμό και δυσαρέσκεια. Ως εκ τούτου, σε πολλές περιπτώσεις η κατάσταση της υγείας του ασθενούς επηρεάζεται από το χρόνο που αυτός είναι αναγκασμένος να περιμένει και δεν αφήνει πολλά περιθώρια για αργοπορία. Αναμφισβήτητα λοιπόν οι ουρές αναμονής αποτελούν δυσάρεστο χαρακτηριστικό των νοσοκομείων και οι οποιεσδήποτε προσπάθειες από την πλευρά του ερευνητή θα πρέπει να γίνονται με στόχο τον περιορισμό του μεγέθους αυτών. Μια προσεκτικότερη ματιά σε όλες τις διαστάσεις του προβλήματος παρ όλ αυτά, φανερώνει πως οι ουρές αναμονής αποτελούν αναγκαίο κακό της νοσοκομειακής πραγματικότητας. Η αντίθετη περίπτωση, η απουσία δηλαδή ουρών αναμονής, βεβαιώνει πως το έμψυχο και άψυχο δυναμικό του νοσοκομείου παραμένει για κάποιο χρονικό διάστημα αδρανές. Το γεγονός αυτό ζημιώνει το νοσοκομείο, αφού και οι εργαζόμενοι αλλά και τα μηχανήματα απορροφούν χρήματα, χωρίς στην ουσία να εργάζονται όσο θα έπρεπε. Με άλλα λόγια το ενδιαφέρον του ερευνητή δεν εστιάζεται στην προσπάθεια να εξαλείψει τις ουρές αναμονής. Στην πραγματικότητα, στόχος του είναι να μελετήσει το σύστημα της ουράς, να κατανοήσει τη δομή του και να προτείνει λύσεις για την αποτελεσματικότερη διαχείριση αυτού. Πολλοί ερευνητές έχουν ασχοληθεί κατά καιρούς με τη μελέτη και εφαρμογή της θεωρίας ουρών στα νοσοκομεία. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι, αφού διερευνήσει σε ποια σημεία ενός νοσοκομείου δημιουργούνται ουρές αναμονής, να παρουσιάσει συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα των εν λόγω 4

εργασιών, και κατ επέκταση να προτείνει εργαλεία κατάλληλα για τη μελέτη ενός νοσοκομειακού συστήματος. 2. Βασικές έννοιες και θεωρήματα 2.. η κατανομή Poisso Η κατανομή Poisso είναι η κατανομή των σπάνιων γεγονότων και χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε τον αριθμό των εμφανίσεων ενός φαινομένου στη μονάδα του χρόνου. Η τυχαία μεταβλητή X που ακολουθεί την κατανομή Poisso έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο: λ k Ρ(Χ=k) = e -λ, k! k =,, 2, (2..) Η κατανομή Poisso συνδέεται σε μεγάλο βαθμό με τη θεωρία ουρών αναμονής. Σε ένα σύστημα ουράς, ας ορίσουμε με X(t) την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των αφίξεων πελατών στο χρονικό διάστημα (, t). Ας ορίσουμε ακόμα για s t την πιθανότητα: p i, j (s, t) = prob{x(t)=j / X(s)=i} (2..2) Τέλος, ας υποθέσουμε ότι η διαδικασία των αφίξεων γίνεται με τον παρακάτω τρόπο: Αφίξεις που εμφανίζονται σε ξένα μεταξύ τους χρονικά διαστήματα είναι ανεξάρτητες. Για αρκετά μικρό Δt, υπάρχει μια σταθερά λ τέτοια ώστε η πιθανότητα να γίνει μια άφιξη στο διάστημα (t, t+δt) να δίνεται από τις σχέσεις: 5

p (t, t+δt) = λδt + o(δt) (2..3) i,i p i,i+ (t, t+δt) = λδt + o(δt) (2..4) p i, j(t, t + Δt) = o(δt) (2..5) j= i+ 2 p i, j (t, t+δt) = για i<j (2..6) όπου ο(δt) περιλαμβάνει όλους τους όρους που τείνουν στο μηδέν πολύ πιο γρήγορα από το Δt, δηλαδή ο(δt) καθώς Δt. Δt Αποδεικνύεται πως ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα : Έστω Χ(t) μια τυχαία διαδικασία η οποία ικανοποιεί τις παραπάνω υποθέσεις, τότε ( λt) p, (, t) = e -λt! =,, 2,... (2..7) Το θεώρημα δηλώνει πως για ένα δεδομένο χρονικό διάστημα (, t) ο αριθμός των αφίξεων πελατών σε αυτό το διάστημα, ακολουθεί την κατανομή Poisso με παράμετρο λt. Πολλές φορές βέβαια οι πελάτες ενός συστήματος μπορούν να χωριστούν σε δυο τύπους. Ο διαχωρισμός αυτός δεν δημιουργεί πρόβλημα στην ανάλυσή μας αφού ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 2: Έστω Χ(t), t μια διαδικασία Poisso με παράμετρο λ και έστω ότι αυτή εμφανίζεται σε δυο μορφές και 2. Υποθέτουμε ότι δεδομένης μιας εμφάνισης τότε αυτή έχει πιθανότητα p να είναι της μορφής και πιθανότητα p να είναι της μορφής 2. Έστω Χ i (t) (i =, 2) η στοχαστική διαδικασία που εκφράζει τον αριθμό των εμφανίσεων του φαινομένου στη μορφή i στο χρονικό διάστημα (, t). Οι στοχαστικές διαδικασίες Χ (t), Χ 2 (t) είναι Poisso διαδικασίες 6

με παραμέτρους λp και λ( p) αντίστοιχα. Επιπλέον, οι Χ (t), Χ 2 (t) είναι ανεξάρτητες Poisso διαδικασίες. 2.2 Η εκθετική κατανομή Μια τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί την εκθετική κατανομή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που δίνεται από: f(x) = λe -λx, x> (2.2.) Η εκθετική κατανομή είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την διαδικασία Poisso όπως αποδεικνύεται από το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 3: Οι τυχαίες μεταβλητές Τ, Τ 2,,Τ, που εκφράζουν το χρόνο ανάμεσα σε δυο διαδοχικές αφίξεις σε μια Poisso διαδικασία αφίξεων είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή, δηλαδή prob{t x} = e -λx, x, =, 2,,... (2.2.2) Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της εκθετικής κατανομής είναι ότι έχει την ιδιότητα της αμνησίας. Με αυτό εννοούμε πως η γνώση των παρελθουσών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής η οποία κατανέμεται εκθετικά δεν παίζει ρόλο στην πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών της. Για να εξηγήσουμε τα παραπάνω καλύτερα ας θεωρήσουμε πως μια άφιξη γίνεται σε χρόνο t =. Σε αυτή τη χρονική στιγμή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου μέχρι την επόμενη άφιξη δίνεται σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα από τη σχέση (2.2.2). Στη συνέχεια, ας υποθέσουμε ότι έχουν περάσει t δευτερόλεπτα και δεν έχει παρατηρηθεί καμία άφιξη. Ο υπολογισμός της συνάρτησης πυκνότητας 7

πιθανότητας και σε αυτή την περίπτωση είναι ο ίδιος. Διαφέρει μόνο στο ότι ο χρόνος ανάμεσα στις δυο αφίξεις ~ t είναι τουλάχιστον t και γίνεται ως εξής: ~ ~ P( t t+to/ t >t)= ~ P(t < t t + t ~ P( t > t ) λ(t+ t) λt e + e λt ( e ) ~ ~ ) P( t t + t ) P( t = ~ P( t > t ) = t ) = λt e (e λt ) λt e = e -λt Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει πως η κατανομή του χρόνου μέχρι την επόμενη άφιξη, δεδομένου ότι έχουν περάσει t δευτερόλεπτα από την τελευταία άφιξη, είναι ίδια με την χωρίς περιορισμούς κατανομή του χρόνου ανάμεσα στις αφίξεις. 2.3 Η διαδικασία γέννησης θανάτου Η διαδικασία γέννησης θανάτου είναι η κατάλληλη για να μελετήσουμε αλλαγές στο μέγεθος ενός πληθυσμού. Όταν ο πληθυσμός τη χρονική στιγμή t έχει μέγεθος k, ενώ τη χρονική στιγμή t+δt έχει μέγεθος k+,τότε λέμε ότι σημειώθηκε μια γέννηση. Αντίθετα, αν τη χρονική στιγμή t+δt ο πληθυσμός έχει μέγεθος k, τότε λέμε ότι παρατηρήθηκε ένας θάνατος. Θα πρέπει να σημειωθεί πως οι έννοιες γέννηση και θάνατος δεν χρησιμοποιούνται με την κυριολεκτική τους σημασία. Η λέξη γέννηση σηματοδοτεί την ένταξη σε ένα σύνολο με ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό, ενώ η λέξη θάνατος την απομάκρυνση από αυτό. Για παράδειγμα σε ένα σύστημα ουράς η γέννηση αντιστοιχεί στην ενσωμάτωση στην ουρά ενώ ο θάνατος στην απομάκρυνση από αυτή και την εξυπηρέτηση του πελάτη. Ας υποθέσουμε πως ο ρυθμός γεννήσεων είναι λ όταν υπάρχουν πελάτες στο σύστημα, ενώ ο αριθμός των θανάτων είναι μ. Είναι προφανές ότι είναι μ = 8

και λ >. Για τη διαδικασία γέννησης θανάτου ισχύουν οι παρακάτω πιθανότητες: prob{ακριβώς μια γέννηση στο διάστημα (t, t+δt) / υπάρχουν άτομα στον πληθυσμό} = λ Δt + o(δt) prob{καμία γέννηση στο διάστημα (t, t+δt) / υπάρχουν άτομα στον πληθυσμό} = λ Δt + o(δt) prob{περισσότερες από μια γεννήσεις στο διάστημα (t, t+δt) / υπάρχουν άτομα στον πληθυσμό} = o(δt) prob{ακριβώς ένας θάνατος στο διάστημα (t, t+δt) / υπάρχουν άτομα στον πληθυσμό} = μ Δt + o(δt) prob{κανένας θάνατος στο διάστημα (t, t+δt) / υπάρχουν άτομα στον πληθυσμό} = μ Δt + o(δt) prob{περισσότεροι από ένας θάνατοι στο διάστημα (t, t+δt) / υπάρχουν άτομα στον πληθυσμό} = o(δt) Συμβολίζουμε με Χ(t) τον αριθμό των πελατών στο σύστημα ουρά και σημείο εξυπηρέτησης στο χρόνο t και με p (t) την πιθανότητα: p (t) = prob{x(t)=} (2.3.) Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα p (t+δt) σε συνάρτηση με τις πιθανότητες να έχουμε ένα συγκεκριμένο αριθμό από πελάτες στο χρόνο t. Μπορεί να βρεθούμε στην κατάσταση να έχουμε πελάτες στο σύστημα τη χρονική στιγμή t+δt αν συμβεί κάποιο από τα εξής: έχουμε πελάτες τη χρονική στιγμή t και δεν σημειώνεται καμία αλλαγή έχουμε πελάτες τη χρονική στιγμή t και στο διάστημα (t, t+δt) σημειώνεται μια γέννηση έχουμε + πελάτες τη χρονική στιγμή t και στο διάστημα (t, t+δt) σημειώνεται ένας θάνατος Τα παραπάνω ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους, συνεπώς έχουμε: 9

p (t+δt) = p (t)[ λ Δt +o(δt)][ μ Δt +o(δt)] + p - (t)[λ - Δt +o(δt)] + p + (t)[μ + Δt +o(δt)] + o(δt), (2.3.2) p (t+δt) = p (t)[ λ Δt +o(δt)] + p (t)[μ Δt +o(δt)] + o(δt), = (2.3.3) Αν κάνουμε τις πράξεις και λάβουμε υπόψη ότι οι όροι (Δt) 2 συμπεριληφθούν μέσα στο ο(δt) παίρνουμε: πρέπει να p (t+δt) = p (t) (λ +μ )p (t) Δt + λ - p - (t) Δt + μ + p + (t) Δt + o(δt), (2.3.4) p (t+δt) = p (t) λ p (t) Δt + μ p (t) Δt + o(δt), = (2.3.5) Μεταφέροντας τα p (t) και p (t) αντίστοιχα στο πρώτο μέλος και διαιρώντας με Δt παίρνουμε: p (t + Δt) p (t) Δt = (λ +μ )p (t) + λ - p - (t) +μ + p + (t) + o(δt) / Δt, (2.3.6) p (t + Δt) p (t) Δt = λ p (t) + μ p (t) + o(δt) / Δt, = (2.3.7) Παίρνοντας τα όρια καθώς Δt, τα αριστερά μέλη των εξισώσεων (2.3.6) και (2.3.7) αντιστοιχούν στις παραγώγους των p (t) και p (t) αντίστοιχα. dp (t) dt = (λ +μ )p (t) + λ - p - (t) + μ + p + (t), (2.3.8) dp (t) = λ p (t) + μ p (t), = (2.3.9) dt Όταν το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας υπάρχει το lim t p (t) = p. Δηλαδή ουσιαστικά, στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας η

πιθανότητα να έχουμε πελάτες δεν εξαρτάται από το χρόνο που λειτουργεί το σύστημα αρκεί μόνο αυτός να είναι αρκετά μεγάλος ώστε να έρθει το σύστημα σε αυτή την κατάσταση. Είναι φανερό ότι όταν το p (t) γίνει ανεξάρτητο από το χρόνο τότε Δηλαδή: dp (t) dt = και οι εξισώσεις (2.3.8) και (2.3.9) γίνονται: = (λ +μ )p + λ - p - + μ + p +, (2.3.) = λ p + μ p, = (2.3.) p + = λ μ + μ + p λ μ - + p - (2.3.2) p = λ p (2.3.3) μ Λύνοντας επαναληπτικά το σύστημα φτάνουμε στη λύση: λi p = p, (2.3.4) i = μ i όπου το p υπολογίζεται από τη συνθήκη p = =, οπότε p = [ + λ i = i = μ i ] - (2.3.5)

2.4 Ο Νόμος του Little Όταν μελετάμε ένα σύστημα ουράς μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε κάποια μέτρα λειτουργικότητας αυτής. Κατ αρχάς αν είναι Q ο αριθμός των πελατών στο σύστημα σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, ενδιαφερόμαστε για τη μέση τιμή αυτού L=E(Q). Ακόμα, αν είναι Q q η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τους πελάτες στην ουρά όταν αυτή είναι σε κατάσταση ισορροπίας, τότε η μέση τιμή L q =E(Q q ) είναι ένα άλλο μέτρο λειτουργικότητας. Ομοίως αν T q εκφράζει το χρόνο που ένας πελάτης πρέπει να περιμένει στην ουρά για να εξυπηρετηθεί, ενδιαφερόμαστε για τη μέση τιμή αυτού W q =E(T q ). Τέλος, αν Τ είναι ο χρόνος που ένας πελάτης πρέπει να καταναλώσει στην ουρά συμπεριλαμβανομένου και του χρόνου εξυπηρέτησης, τότε W=E(T). Ο Νόμος του Little είναι μια απλή σχέση που συνδέει τα παραπάνω μέτρα λειτουργικότητας μεταξύ τους, αλλά και με τον μέσο ρυθμό αφίξεων στο σύστημα. Έτσι, αν λ c είναι το μέσο ποσοστό πελατών που εισέρχονται στο σύστημα ουράς τότε, σύμφωνα με το Νόμο του Little: L = λ c W (2.4.) Η σχέση αυτή είναι πολύ χρήσιμη λόγω της γενικότητάς της. Αξίζει να σημειωθεί ότι ισχύει για κάθε ουρά G/G/k. Τίποτα δεν χρειάζεται να υποτεθεί ούτε για το σύστημα, ούτε για τη διαδικασία αφίξεων. Μπορεί επιπλέον να δειχθεί ότι ισχύουν: L q = λ c W q (2.4.2) L = L q + μ λ (2.4.3) W q = μ L (2.4.4) 2

3. Ουρές αναμονής στα νοσοκομεία 3. Αναμονή για κρεβάτι η ουρά M/M/ Θεωρούμε το ακόλουθο σύστημα ουράς. Υποθέτουμε πως οι αφίξεις στο σύστημα εμφανίζονται σύμφωνα με τη διαδικασία Poisso με παράμετρο λ και πως οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή την εκθετική και παράμετρο μ. Έστω ότι υπάρχουν εξυπηρετητές στο σύστημα οι οποίοι εργάζονται παράλληλα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Οι πελάτες που έρχονται σχηματίζουν ουρά με τη σειρά που καταφθάνουν. Μόλις ένας εξυπηρετητής ελευθερωθεί, παίρνει τον πρώτο από την ουρά για να τον εξυπηρετήσει. Ένας πελάτης που καταφθάνει, όταν είναι ελεύθεροι περισσότεροι από ένας εξυπηρετητές, διαλέγει κάποιον στην τύχη. Μια ουρά με αυτή την πειθαρχία χαρακτηρίζεται ως ουρά M/M/ και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σωστότερη διαχείριση των κρεβατιών σε μια κλινική νοσοκομείου. Είναι φανερό πως υπάρχει καθαρή αναλογία στη δομή ενός θαλάμου με δεδομένο αριθμό κρεβατιών και στην ουρά που μόλις περιγράψαμε. Οι εξυπηρετητές είναι τα κρεβάτια του θαλάμου και οι ασθενείς οι οποίοι φθάνουν στο νοσοκομείο ζητώντας νοσηλεία είναι οι πελάτες του συστήματος. Κατά την άφιξη ενός ασθενούς, αν κάποιο κρεβάτι είναι άδειο, τότε αυτός μπορεί να εισέλθει για νοσηλεία. Η διάρκεια της νοσηλείας αντιστοιχεί στο χρόνο εξυπηρέτησης του συστήματος. Σε αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή όλα τα κρεβάτια είναι κατειλημμένα, ο ασθενής περιμένει σε λίστα αναμονής. Σκοπός μας είναι να καθορίσουμε τον κατάλληλο αριθμό κρεβατιών, ούτως ώστε ο μέσος χρόνος αναμονής των ασθενών στο σύστημα να είναι αποδεκτός και η πιθανότητα του ενδεχομένου ενός άδειου κρεβατιού να είναι όσο το δυνατό μικρότερη. 3

Προχωρώντας στη μελέτη του συστήματος παρατηρούμε πως ενώ ο ρυθμός αφίξεων των πελατών είναι σταθερός και ίσος με λ, η παράμετρος του χρόνου εξυπηρέτησης μ μεταβάλλεται. Πράγματι, αν υπάρχουν περισσότεροι από πελάτες στο σύστημα, όλοι και οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι και ο καθένας τους προκαλεί μια αναχώρηση με παράμετρο μ. Η μέση παράμετρος των αναχωρήσεων από το σύστημα είναι μ. Όταν υπάρχουν λιγότεροι από πελάτες, τότε μόνο εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι και η μέση παράμετρος των αναχωρήσεων από το σύστημα είναι μ. Με άλλα λόγια: μ = μ μ (3..) Ακολουθώντας διαδικασία όμοια με αυτή της διαδικασίας γέννησης θανάτου βρίσκουμε πως η πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα δίνεται από: p = λ!μ p < λ -!μ (3..2) Για να υπολογίσουμε το p χρησιμοποιούμε τη σχέση την (3..2) μας δίνει: p = = η οποία μαζί με p = [ = λ!μ + r ] λ όπου r =!( r) μ (3..3) Τώρα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τα μέτρα λειτουργικότητας του συστήματος. Το μήκος της ουράς L q δίνεται από: 4

λ λμ L q = ( )p = μ p 2 = ( )!(μ λ) (3..4) Από το Νόμο του Little παίρνουμε τη μέση τιμή του χρόνου αναμονής μέχρι την εξυπηρέτηση: W q = λ μ L q = μ p 2 λ ( )!(μ λ) (3..5) Εκτός από τη μέση τιμή ενδιαφέρον παρουσιάζει και η κατανομή του χρόνου αναμονής στην ουρά. Θεωρούμε Τ q την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το χρόνο αναμονής στην ουρά και W q (t) την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητάς της. Τότε: W q (t) = prob{t q t} = [prob{ + αναχωρήσεις σε χρόνο t / ο = πελάτης βρίσκει πελάτες στο σύστημα}p] + W q () (3..6) λ όπου W q () = prob{t q = } = prob{ } = p = μ p (3..7) = λ! μ Συνδυάζοντας τις (3..6) και (3..7) παίρνουμε: λ (μ λ)t ( e ) μ W q (t) = p λ ( )! μ λ μ + p λ! μ = 5

λ μ λ ( -)! μ = p p λ (μ λ)t e μ λ ( )! μ λ + μ p λ ( -)! μ λ (μ λ)t e μ W q (t) = p λ ( )! μ (3..8) Τέλος, για να βρούμε το μέσο χρόνο αδράνειας ενός εξυπηρετητή υποθέτουμε πως όταν όλοι είναι ελεύθεροι τότε εκλέγεται ένας στην τύχη, ενώ και οι τρεις έχουν ίση πιθανότητα να εκλεγούν. Έτσι: prob{ ένας εξυπηρετητής αδρανής} = = p (3..9) Αφού έχουμε υπολογίσει όλα τα παραπάνω μέτρα λειτουργικότητας είμαστε σε θέση να πάρουμε κάποιες αποφάσεις σχετικά με το σύστημα της ουράς. Κατ αρχήν μπορούμε να αποφασίσουμε πόσα κρεβάτια πρέπει να υπάρχουν σε μια συγκεκριμένη κλινική ενός νοσοκομείου. Στην πράξη αυτό μπορεί να γίνει όταν πρέπει να γίνουν συστάσεις για την κατασκευή μιας νέας πτέρυγας, ή ακόμα και για την κατασκευή ενός νέου νοσοκομείου. Από την άλλη μας δίνεται η δυνατότητα να μελετήσουμε την ουρά σε ένα ήδη υπάρχον νοσοκομείο. Έτσι είμαστε σε θέση να αξιολογήσουμε τις συνέπειες κάποιον πράξεων, όπως για παράδειγμα η αύξηση του αριθμού των κρεβατιών. Όπως γίνεται φανερό από τις παραπάνω σχέσεις, αυτό που χρειάζεται να γνωρίζουμε είναι η παράμετρος των αφίξεων λ και η παράμετρος του χρόνου εξυπηρέτησης μ. Για ένα νοσοκομείο που λειτουργεί ήδη αυτά μπορεί να καθοριστούν από τα αρχεία του ή από μετρήσεις. Όταν θέλουμε να κάνουμε προβλέψεις για ένα νέο νοσοκομείο οι πιθανές παράμετροι θα πρέπει να 6

εκτιμηθούν λαμβάνοντας υπ όψη την ηλικιακή και φυλετική δομή του πληθυσμού που αναμένεται να εξυπηρετηθεί από το νοσοκομείο. 3.2 Αναμονή για κρεβάτι η ουρά M/M//K Θεωρούμε την ουρά M/M/ της προηγούμενης παραγράφου με την επιπλέον υπόθεση ότι ο χώρος αναμονής είναι πεπερασμένος. Έτσι δεν μπορούν σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή να υπάρχουν στο σύστημα περισσότεροι από Κ πελάτες. Η συγκεκριμένη δομή φαίνεται να ταιριάζει περισσότερο στην ελληνική πραγματικότητα. Πράγματι, ένας ασθενής ο οποίος παραπέμπεται για νοσηλεία είτε από γιατρό του νοσοκομείου είτε από ιδιώτη γιατρό, υπάρχει η πιθανότητα να μη βρει διαθέσιμο κρεβάτι. Σε αυτή την περίπτωση ο ασθενής νοσηλεύεται προσωρινά στους χώρους του νοσοκομείου, αλλά όχι στην πτέρυγα που τον ενδιαφέρει. Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε πως το σύστημα έχει περιορισμένο χώρο αναμονής, ο οποίος αντιστοιχεί στο χώρο όπου οι ασθενείς νοσηλεύονται προσωρινά. Η μελέτη του συστήματος παρουσιάζει ομοιότητες με αυτό της προηγούμενης παραγράφου. Η διαφορά είναι πως εδώ η παράμετρος των αφίξεων δεν είναι σταθερή άλλα ισχύει ότι: λ = λ K K (3.2.) Για την παράμετρο του χρόνου εξυπηρέτησης ισχύει ότι και προηγουμένως. Έτσι για την πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα βρίσκουμε: 7

λ p = p!μ λ p K (3.2.2)!μ όπου το p υπολογίζεται από τη συνθήκη K p = = από όπου προκύπτει ότι: p = [ = λ! μ λ +! μ K λ μ λ μ + ] λ μ λ λ [ + (K + ) ] λ = (3.2.3) =! μ! μ μ Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε το αναμενόμενο μήκος της ουράς L q : K p ( ρ) L q = ( )p = 2 =!( ρ) ρ{ ρ K + ( ρ) (K +)ρ K } (3.2.4) όπου ρ = μ λ L Στη συνέχεια, από το Νόμο του Little W q = q λ και λαμβάνοντας υπ όψη ότι λ =λ( p k ) δηλαδή ο ρυθμός αφίξεων είναι λ όταν οι πελάτες στο σύστημα είναι λιγότεροι από K υπολογίζουμε τον μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά W q : p ( ρ) W q = 2!( ρ) μ { ρ K + ( ρ)(k + )ρ λ K! μ K p K } (3.2.5) 8

Χρησιμοποιώντας τα μέτρα λειτουργικότητας της ουράς μπορούμε να προχωρήσουμε σε ανάλυση όμοια με αυτή της προηγούμενης παραγράφου. Το επιπλέον στοιχείο είναι πως εδώ έχουμε ακόμα μια παράμετρο ελέγχου η οποία είναι το K, δηλαδή η μέγιστη δυνατότητα του συστήματος. 3.3 Τηλεφωνικά ραντεβού για εξέταση ουρές με πολλαπλές αναχωρήσεις Θεωρούμε μια ουρά M/M/ στην οποία η εξυπηρέτηση παρέχεται σε γκρουπ μεγέθους r. Με άλλα λόγια, όταν ο εξυπηρετητής είναι ελεύθερος δέχεται μια ομάδα r πελατών από την ουρά και τους παρέχει εξυπηρέτηση μαζικά. Αν, την ώρα που ο εξυπηρετητής είναι διαθέσιμος, υπάρχουν λιγότεροι από r πελάτες στο σύστημα, τότε δέχεται αυτούς τους λιγότερους από r. Οι πελάτες φτάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια Poisso διαδικασία αφίξεων με παράμετρο λ. Ο χρόνος εξυπηρέτησης για κάθε γκρουπ κατανέμεται εκθετικά με παράμετρο μ. Μελετώντας αυτό το σύστημα μπορούμε να εκτιμήσουμε τον αριθμό των ασθενών που πρέπει να εξετάζονται καθημερινά σε μια νοσοκομειακή κλινική. Ο εξυπηρετητής του συστήματος αντιστοιχεί στην κλινική, ενώ οι πελάτες στους ασθενείς. Οι πελάτες καταφθάνουν στο σύστημα με την έννοια ότι τηλεφωνούν για να κλείσουν ραντεβού για εξέταση. Αν δεν υπάρχει δυνατότητα να εξετασθούν τη συγκεκριμένη μέρα, τοποθετούνται σε λίστα αναμονής. Έχουμε έτσι το σχηματισμό μιας ουράς από την οποία οι πελάτες εξυπηρετούνται μαζικά. Πράγματι, από τους υπεύθυνους για τον προγραμματισμό του νοσοκομείου καθορίζεται ο μέγιστος αριθμός r των ασθενών που θα εξετασθούν σε μια μέρα. Αυτός ο αριθμός στη συνέχεια χρησιμοποιείται ως βάση για τον καθορισμό των ραντεβού κατά τη διάρκεια της ημέρας. Αν είναι p η πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστημα, τότε εργαζόμενοι όπως στην περίπτωση γέννησης θανάτου παίρνουμε: 9

(λ+μ)p = μp +r + λp - (3.3.) λp = μ(p +p 2 + +p r ) (3.3.2) χρησιμοποιώντας πιθανογεννήτριες, P(z) = = k p k z k, βρίσκουμε ότι: P(z) = rρ z r k= r+ k r pk (z z ) ( + rρ) z r + λ, όπου ρ = μr (3.3.3) Το πολυώνυμο στον παρονομαστή έχει r+ ρίζες από τις οποίες προφανώς η μια είναι η μονάδα. Από τις υπόλοιπες r ρίζες μπορεί να δειχθεί [5] ότι οι r είναι τέτοιες ώστε z <, ενώ η τελευταία την οποία συμβολίζουμε με z, είναι τέτοια ώστε z >. Από την άλλη, το πολυώνυμο του αριθμητή είναι βαθμού r. Από τις r ρίζες του η μια είναι η z =. Επιπλέον, η P(z) είναι φραγμένη για z < και έτσι οι υπόλοιπες r ρίζες του αριθμητή ταυτίζονται με τις αντίστοιχες r ρίζες του παρονομαστή για της οποίες ισχύει z <. Σύμφωνα με τα παραπάνω, και αφού κάνουμε τις κατάλληλες απλοποιήσεις, καταλήγουμε στη σχέση: P(z) = z z z (3.3.4) Αυτή η σχέση μπορεί να αντιστραφεί και έτσι να πάρουμε την κατανομή του αριθμού των πελατών στο σύστημά μας: p = ( ) ( ) z z (3.3.5) Στη συνέχεια, υπολογίζουμε κατά τα γνωστά τα μέτρα λειτουργικότητας του συστήματος L q και W q. 2

L q = = ( )p z = z 2 = z (z ) (3.3.6) W q = L λ q = λ z (z ) Είμαστε λοιπόν σε θέση να επιλέξουμε το κατάλληλο r, ούτως ώστε να μην παρουσιάζονται μεγάλοι χρόνοι αναμονής για τους ασθενείς ούτε μεγάλοι χρόνοι αδράνειας για τους εξυπηρετητές. Ο ρυθμός των αφίξεων λ προσεγγίζεται από τον αριθμό των τηλεφωνημάτων που λαμβάνει το τηλεφωνικό κέντρο του νοσοκομείου ανά ημέρα, ενώ η αναμονή αντιστοιχεί στις ημέρες που μεσολαβούν από την ημέρα του τηλεφωνήματος ως την ημέρα της εξέτασης. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να παρατηρήσουμε πως η μεταβλητή r ανήκει στο σύνολο των ακεραίων οπότε οι συναρτήσεις στις οποίες παρουσιάζεται δεν είναι συνεχείς. Η επιλογή του r λοιπόν δεν μπορεί να γίνει με χρήση παραγώγων. Αντίθετα, για δεδομένες τιμές των παραμέτρων λ και μ δίνουμε στην παράμετρο r διάφορες τιμές και επιλέγουμε αυτή που μας δίνει το μικρότερο χρόνο αναμονής και τον μικρότερο χρόνο αδράνειας για τους εξυπηρετητές. 3.4 Εξέταση στα τακτικά ιατρεία ουρά με πηγή πελατών πεπερασμένη Στα συστήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα δεν υπήρχε κανένας περιορισμός στις αφίξεις των πελατών. Μπορούμε να πούμε λοιπόν πως τα συστήματα αυτά τροφοδοτούνται από μια πηγή με άπειρη χωρητικότητα, με την έννοια ότι η πηγή έχει τη δυνατότητα να τροφοδοτεί τις ουρές συνέχεια. Στην παράγραφο αυτή θα υποθέσουμε ότι η πηγή από όπου προέρχονται οι πελάτες έχει μέγεθος r. 2

Η συγκεκριμένη πειθαρχεία ουράς μπορεί να εφαρμοστεί για τον καθορισμό των ραντεβού στα τακτικά ιατρεία ενός νοσοκομείου. Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι δυνατόν να καθορίσουμε των αριθμό των ασθενών που βρίσκονται στη λίστα αναμονής και εξυπηρετούνται μαζικά. Ο αριθμός αυτός ταυτίζεται με το μέγεθος του πληθυσμού r της πηγής που τροφοδοτεί το σύστημα. Έτσι κάθε μέρα, τα τακτικά ιατρεία τα οποία απασχολούν γιατρούς, πρέπει να εξυπηρετήσουν τους r ασθενείς οι οποίοι καθορίζονται σύμφωνα με τα δεδομένα της προηγούμενης παραγράφου. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ταυτίζεται με τον χρόνο που ο γιατρός απασχολείται από κάποιον ασθενή. Το ζητούμενο είναι να καθοριστεί ο ρυθμός αφίξεων λ δηλαδή να οριστεί κατάλληλα το σύστημα των ραντεβού έτσι ώστε ο χρόνος αναμονής για τους ασθενείς αλλά και ο χρόνος αδράνειας για τους γιατρούς να είναι όσο το δυνατό μικρότερος. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί ως μια διαδικασία γέννησης θανάτου με: λ = (r )λ r r (3.4.) και μ = μ μ (3.4.2) Κατά τα γνωστά βρίσκουμε: r λ p = p μ r! λ p r (3.4.3)! μ 22

με r p = =, οπότε: p = [ r λ μ + = = r r! λ! μ ] (3.4.4) Ο μέσος αριθμός ασθενών στο σύστημα είναι: r L = p (3.4.5) = ενώ ο μέσος αριθμός των ασθενών στην ουρά είναι : r L q = ( )p = p p =L p ( p )= = - r = L + ( )p = r = - = - = L q = L +p = r λ ( ) (3.4.6) μ Σε αυτό το σημείο πρέπει να παρατηρήσουμε πως η επιτυχία του συστήματος των ραντεβού εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την ακρίβεια με την οποία έχει καθοριστεί ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης μ, αλλά και ο αριθμός των πελατών r που θα εξετασθούν σε μια μέρα. Όσον αφορά το χρόνο εξυπηρέτησης, αυτός μπορεί να περιλαμβάνει τη λήψη ενός σύντομου ιστορικού του ασθενούς, την εξέταση και την παροχή συμβουλών από το γιατρό. Η παράμετρος r καθορίζεται σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. 23

3.5 Ο στόλος των ασθενοφόρων η ουρά CQL Θεωρούμε ένα σύστημα εξυπηρέτησης με Ν εξυπηρετητές, στο οποίο οι πελάτες που καταφθάνουν μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες. Στους πελάτες υψηλής προτεραιότητας (τύπος ) και στους πελάτες χαμηλής προτεραιότητας (τύπος 2). Και οι δυο τύποι πελατών φθάνουν στο σύστημα σύμφωνα με μια Poisso διαδικασία αφίξεων με παραμέτρους λ και λ 2 αντίστοιχα (ισχύει λ +λ 2 =λ). Οι χρόνοι εξυπηρέτησης κατανέμονται εκθετικά με κοινή παράμετρο μ και λ λ για τους δυο τύπους πελατών (ισχύει ρ = και ρi = i, i =, 2). μ μ Σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης τέτοιου είδους υπάρχει η δυνατότητα να μειώσουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου οι πελάτες υψηλής προτεραιότητας να περιμένουν λόγω μη διαθεσιμότητας των εξυπηρετητών. Για να το επιτύχουμε, μπορούμε να θεωρήσουμε μια τιμή διακοπής Ν για τους εξυπηρετητές, ως εξής. Κάθε φορά που Ν ή περισσότεροι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, οι πελάτες τύπου 2 δεν γίνονται δεκτοί στην εξυπηρέτηση αλλά τοποθετούνται σε ουρά. Όταν και οι Ν εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, οι πελάτες τύπου απορρίπτονται από το σύστημα. Ένα τέτοιο σύστημα ουράς αναφέρεται ως απλό σύστημα διακοπής όπου οι πελάτες χαμηλής προτεραιότητας σχηματίζουν ουρά, ενώ οι πελάτες υψηλής προτεραιότητας απορρίπτονται ή από τα αρχικά CQL (imple Cutoff priority disciplie with Low priority customers Queue ad High priority customers Lost). Η λέξη απλό αναφέρεται στο ότι η διακοπή εξαρτάται μόνο από τον αριθμό των εξυπηρετητών που είναι απασχολημένοι. Μια τέτοια πειθαρχία ουράς βρίσκει εφαρμογή στη διαχείριση των ασθενοφόρων του νοσοκομείου. Οι δυο τύποι πελατών είναι, οι επείγουσες κλήσεις οι οποίες εμφανίζονται τυχαία και απαιτούν άμεση μεταφορά στο νοσοκομείο (τύπος ), και οι κλήσεις ρουτίνας οι οποίες αφορούν συνήθως προγραμματισμένες μεταφορές στο νοσοκομείο ή μεταφορές από ένα νοσοκομείο σε άλλο και οι οποίες έχουν το περιθώριο να καθυστερήσουν για κάποιο μικρό 24

χρονικό διάστημα χωρίς να υπάρξει πρόβλημα στην υγεία του ασθενούς (τύπος 2). Όταν οι ασθενείς τύπου 2 δεν βρίσκουν διαθέσιμο ασθενοφόρο μπορούν να περιμένουν και έτσι έχουμε το σχηματισμό ουράς. Αντίθετα οι ασθενείς τύπου πρέπει να μεταφερθούν άμεσα στο νοσοκομείο, αφού τυχόν καθυστερήσεις ενδέχεται να επιβαρύνουν την κατάσταση της υγείας τους. Γι αυτό το λόγο, οι πελάτες αυτού του τύπου, αν δεν βρουν διαθέσιμο ασθενοφόρο, αναζητούν εναλλακτικούς τρόπους μεταφοράς απορρίπτονται όπως λέμε από το σύστημα. Είναι σημαντικό να βεβαιωθούμε πως με μια θετική πιθανότητα υπάρχει πάντα ασθενοφόρο διαθέσιμο για τους ασθενείς τύπου. Έτσι, από το στόλο των Ν ασθενοφόρων που διαθέτει ένα νοσοκομείο, επιλέγουμε ένα επίπεδο διακοπής Ν ως εξής. Αν Ν ή περισσότερα ασθενοφόρα είναι απασχολημένα, τότε πέραν αυτού εξυπηρετούνται μόνο επείγουσες κλήσεις. Στόχος μας είναι να επιτύχουμε γρήγορη ανταπόκριση στις επείγουσες κλήσεις, αλλά και αποδεκτούς χρόνους αναμονής για τις κλήσεις ρουτίνας. Ορίζουμε με p(m 2, ) την πιθανότητα m 2 πελάτες τύπου 2 να περιμένουν, ενώ εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι. Οι εξισώσεις στην κατάσταση σταθερής ισορροπίας προκύπτουν ακολουθώντας όμοια βήματα με αυτά που ακολουθήσαμε στη διαδικασία γέννησης θανάτου. (λ+μ)p(, )= λp(, )+(+)μp(, +), N (3.5.) (λ+n μ)p(, N )= λp(, N )+(N +)μp(, N +)+N μp(, N ), =N, m 2 = (3.5.2) (λ+n μ)p(m 2, N )= λ 2 p(m 2,N )+(N +)μp(m 2, N +)+N μp(m 2 +, N ), =N, m 2 (3.5.3) (λ+μ)p(m 2, )= λ p(m 2, )+λ 2 p(m 2, )+(+)μp(m 2, +), N + N (3.5.4) (λ 2 +Nμ)p(m 2, N)= λ p(m 2, N )+λ 2 p(m 2, N), =N (3.5.5) 25

Η λύση της εξίσωσης (3.5.) δίνεται όπως και στην περίπτωση της ουράς M/M/N (βλ. παράγραφο 3.) ρ p(, )= p! όπου p =p(, ) N (3.5.6) Για να λύσουμε τις εξισώσεις (3.5.2) (3.5.5)χρησιμοποιούμε την πιθανογεννήτρια συνάρτηση πάνω στην ουρά χαμηλής προτεραιότητας: m2= P * m2 (z, )= z p(m, ) (3.5.7) 2 Πολλαπλασιάζοντας τις (3.5.2) (3.5.5) με z 2 και αθροίζοντας για όλα τα m 2, μ παίρνουμε ένα σύνολο εξισώσεων διαφορών. Λύνοντάς τες παίρνουμε την πιθανογεννήτρια P * (z, ). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την P * (z, ) υπολογίζουμε την πιθανότητα p να έχουμε πελάτες στο σύστημα. p = p ρ N! N N p ρ ρ N! N ρ (N, N) 2 L N N (3.5.8) N L = ρ 2L (N N όπου p =[ ρ ρ +! (N )! N (N, N) ] (3.5.9), N) N i k k! και L (k, N)= ρ (3.5.) i! i= k Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το μέσο χρόνο αναμονής: 26

Ν N k 2 p ρ 2 ρ (L (k,n)) L= Ν 2 μ ρ k= N k! k N ρ2 (L (N, N)) (3.5.) Είναι φανερό πως για να υπολογίσουμε αριθμητικά τα παραπάνω μέτρα λειτουργικότητας πρέπει να γνωρίζουμε τους ρυθμούς αφίξεων λ και λ 2 και για τους δυο τύπους ασθενών, καθώς και το ρυθμό εξυπηρέτησης μ. Σε αυτό το σημείο πρέπει να παρατηρήσουμε πως από το θεώρημα 2 της παραγράφου 2. προκύπτει πως, δεν είναι απαραίτητο να γίνει ξεχωριστά καταγραφή των ρυθμών αφίξεων για τους δυο τύπους ασθενών. Μπορούμε να καταγράψουμε τον γενικό ρυθμό αφίξεων τηλεφωνικών κλήσεων, λ. Στη συνέχεια, αν γνωρίζουμε ότι μια κλήση αντιστοιχεί σε ασθενή τύπου με πιθανότητα p και σε ασθενή τύπου 2 με πιθανότητα p, τότε λ =λp και λ 2 =λ( p). Μπορούμε λοιπόν, επιλέγοντας τον κατάλληλο αριθμό ασθενοφόρων Ν, να επιτύχουμε το στόχο μας. Με άλλα λόγια, για τους ασθενείς τύπου να έχουμε με θετική πιθανότητα πάνω από ένα συγκεκριμένο αριθμό ασθενοφόρων διαθέσιμα ανά πάσα στιγμή ενώ, για τους ασθενείς τύπου 2 να βεβαιωθούμε πως ο χρόνος αναμονής είναι αποδεκτός και δεν ξεπερνάει ένα συγκεκριμένο όριο. 3.6 Εξέταση σε εφημερία η ουρά CQQ Η εξέταση των ασθενών σε ημέρες εφημερίας διαφέρει από την εξέταση στα τακτικά ιατρεία. Αφ ενός δεν υπάρχει κάποιο σύστημα ραντεβού το οποίο να διαχειρίζεται τις αφίξεις. Αφ ετέρου, οι ασθενείς που φτάνουν σε ένα νοσοκομείο σε ημέρα εφημερίας μπορούν να χωριστούν σε δυο κατηγορίες. Στους ασθενείς με υψηλή και στους ασθενείς με χαμηλή προτεραιότητα. Λόγω αυτού του διαχωρισμού, το σύστημα παρουσιάζει πολλές ομοιότητες με αυτό που εξετάσαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Η διαφορά μεταξύ τους είναι ότι εδώ και οι ασθενείς με υψηλή προτεραιότητα σχηματίζουν ουρά, σε 27

περίπτωση που φθάνοντας στο νοσοκομείο βρουν όλους τους γιατρούς απασχολημένους. Κάνοντας λοιπόν τις ίδιες υποθέσεις όπως και προηγουμένως και με την επιπλέον υπόθεση πως έχουμε σχηματισμό ουράς τύπου, παίρνουμε τις αντίστοιχες σχέσεις. Ορίζουμε αρχικά p(m, m 2, ) την πιθανότητα να περιμένουν m ασθενείς τύπου, να περιμένουν m 2 ασθενείς τύπου 2 και να είναι απασχολημένοι εξυπηρετητές και παίρνουμε: (λ+μ)p(,, )= λp(,, )+(+)μp(,, +), N (3.6.) (λ+n μ)p(,, N )= λp(,, N )+(N +)μp(,, N +)+N μp(,, N ), =N, m 2 = (3.6.2) (λ+n μ)p(, m 2, N )= λ 2 p(, m 2,N )+(N +)μp(, m 2, N +)+ +N μp(, m 2 +, N ), =N, m 2 (3.6.3) (λ+μ)p(, m 2, )= λ p(, m 2, )+λ 2 p(, m 2,)+(+)μp(, m 2, +), N + N (3.6.4) (λ+nμ)p(, m 2, N)= λ p(, m 2, N )+λ 2 p(, m 2, N)+Νμp(, m 2, N), =N, m = (3.6.5) (λ+nμ)p(m, m 2, N)= λ p(m, m 2, N)+λ 2 p(m, m 2,N)+Nμp(m +, m 2, N), =N, m (3.6.6) Όπως και προηγουμένως, η λύση της (3.6.) δίνεται από: ρ p(,, )= p! όπου p =p(,, ) N (3.6.7) Οι υπόλοιπες εξισώσεις λύνονται με τη μέθοδο των πιθανογεννητριών από όπου παίρνουμε: 28

p = p ρ N! N N p ρ ρ N! N ρ (N, N) 2 N N N N p ρ ρ N N N! N ρ 2(N, N) N ρ =N (3.6.8) N όπου (j, N) = ρ -j j! [ = i N ρ ρ N + i! N! N ρ i j ] (3.6.9) Ν N- k 2 N 2 2 p ρ ρ ((k, N)) ρ N Ν και L= 3 2 μ ρ + k= N k! k N! (N ρ) (N ρ 2(N, N)) (3.6.) 4. Η συνάρτηση κόστους Στις προηγούμενες παραγράφους αναφερθήκαμε στις παραμέτρους ελέγχου τις οποίες μπορούμε να μεταβάλλουμε σε ένα σύστημα ουράς, ούτως ώστε να επιτύχουμε το στόχο μας. Για παράδειγμα μπορούμε να μεταβάλλουμε τον αριθμό των κρεβατιών σε ένα θάλαμο, ή τον αριθμό διακοπής στα ασθενοφόρα και έτσι να επηρεάσουμε τα μέτρα λειτουργικότητας του εκάστοτε συστήματος. Βέβαια, πριν από κάθε ενέργεια θα πρέπει να λάβουμε υπ όψη και το κόστος που αυτή συνεπάγεται για το νοσοκομείο. Αν παρατηρήσουμε πιο προσεκτικά θα αντιληφθούμε ότι το συνολικό κόστος είναι το άθροισμα δυο παραμέτρων. Του κόστους παρακράτησης (holdig cost) και του κόστους έλλειψης (shortage cost). 29

Το κόστος παρακράτησης αναφέρεται στο κόστος που προκύπτει από την αδράνεια ενός εξυπηρετητή. Πιο συγκεκριμένα, το κόστος παρακράτησης ενός άδειου κρεβατιού μπορεί να αποτελείται από δαπάνες για θέρμανση, φωτισμό, κλιματισμό, καθαριότητα και μισθούς νοσοκόμων. Όλα αυτά συνήθως παρέχονται σε ένα θάλαμο με κριτήριο τον αριθμό των κρεβατιών που αυτός περιέχει, ανεξάρτητα αν τα κρεβάτια είναι γεμάτα ή άδεια. Με λίγα λόγια, σε κάθε κρεβάτι αντιστοιχεί ένα μερίδιο από τις δαπάνες του θαλάμου, ενώ στην περίπτωση που αυτό παραμένει άδειο δεν αντιστοιχούν καθόλου έσοδα. Ομοίως ένας αδρανής γιατρός ή ένα σταθμευμένο ασθενοφόρο έχουν κόστος παρακράτησης το οποίο σχετίζεται με το μισθό του γιατρού ή του πληρώματος του ασθενοφόρου αντίστοιχα, καθώς και το κόστος των μηχανημάτων που παραμένουν αχρησιμοποίητα. Από την άλλη, το κόστος έλλειψης σχετίζεται με το κόστος από την αδυναμία του συστήματος να εξυπηρετήσει τους πελάτες. Πράγματι, όταν ένας ασθενής ζητήσει οποιαδήποτε είδους υπηρεσία από ένα νοσοκομείο εξέταση, μεταφορά με ασθενοφόρο, νοσηλεία ενδέχεται όλοι οι εξυπηρετητές του αντίστοιχου συστήματος να είναι απασχολημένοι και έτσι ο ασθενής να αναγκασθεί να περιμένει. Στην περίπτωση που ο χρόνος αναμονής είναι μεγάλος, ο ασθενής είναι πολύ πιθανό να αποχωρήσει από το σύστημα χωρίς να εξυπηρετηθεί και να αποταθεί σε άλλο νοσοκομείο ή ιδιωτική κλινική. Το κόστος μιας τέτοιας ενέργειας για το νοσοκομείο είναι πρώτ απ όλα κοινωνικό, αφού κάτι τέτοιο αποτελεί πλήγμα για το κύρος του νοσοκομείου, αλλά και οικονομικό, λόγω της απώλειας χρημάτων από τα ασφαλιστικά ταμεία. Καθώς ο αριθμός των εξυπηρετητών αυξάνει, η πιθανότητα καθώς και το κόστος έλλειψης μειώνονται, ενώ ο αναμενόμενος αριθμός αδρανών εξυπηρετητών καθώς και το κόστος παρακράτησης αυξάνονται. Το συνολικό κόστος αρχικά τείνει να μειωθεί, καθώς ο αριθμός των εξυπηρετητών αυξάνεται, έως ότου προσεγγίσει το ελάχιστο. Από εκείνο το σημείο και έπειτα κυριαρχεί το κόστος παρακράτησης και το συνολικό κόστος αυξάνεται ξανά. Στόχος μας είναι, 3

επιλέγοντας τον κατάλληλο αριθμό εξυπηρετητών, να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση του συνολικού κόστους. Βέβαια και εδώ ισχύει αυτό που αναφέρθηκε στην παράγραφο 3.3, ότι δηλαδή επειδή οι παράμετροι των αντικειμενικών συναρτήσεων ανήκουν στο σύνολο των ακεραίων, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τις συνήθεις μεθόδους του διαφορικού λογισμού για τη βελτιστοποίηση των συναρήσεων. 5. Επίλογος Όπως έγινε φανερό από την ανάλυση που προηγήθηκε, ένα νοσοκομείο μπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα σύνολο σταθμών, από τους οποίους ο καθένας έχει τη δυνατότητα σχηματισμού ουράς. Με την εξυπηρέτηση να κατέχει εξέχουσα σημασία και με τη ζωή και το θάνατο συχνά να εξαρτώνται από την αποτελεσματικότητα των λειτουργιών, το νοσοκομείο είναι ένα καλό αντικείμενο έρευνας. Τα πλεονεκτήματα της θεωρητικής θεμελίωσης είναι μεγάλα. Πρώτον, παρέχει μια διαισθητική ματιά στη δομή της διαδικασίας που λαμβάνει χώρα και μπορεί να δώσει κάποιες ενδείξεις για τις αιτίες των παρατηρούμενων γεγονότων. Δεύτερον, δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουμε τι θα γίνει σε εναλλακτικές περιπτώσεις. Πράγματι, νέες προτάσεις όπως κάποιο είδος αναδιοργάνωσης για παράδειγμα μπορεί να ελεγχθεί στην πράξη, όμως συνήθως δεν είναι εφικτό να πάρουμε ικανοποιητικές αποφάσεις ανάμεσα σε ένα μεγάλο αριθμό διαθέσιμων εναλλακτικών εμπειρικά. Αντίθετα, αυτό μπορεί να γίνει θεωρητικά. Η θεωρία ουρών αναμονής είναι μια μαθηματική έρευνα των συστημάτων αναμονής. Μέσα από αυτή την έρευνα είναι πιθανό να απομονώσουμε παράγοντες όπως το μέσο μήκος της ουράς, το μέσο χρόνο που ένας πελάτης πρέπει να περιμένει στην ουρά πριν την εξυπηρέτηση, τον αναμενόμενο αριθμό πελατών στο σύστημα, τον αναμενόμενο χρόνο που ένας πελάτης δαπανά στο σύστημα και 3

πολλά άλλα χαρακτηριστικά. Με αυτή τη γνώση, είναι δυνατό να αλλάξουμε τη διαδικασία λήψης των αποφάσεων όσον αφορά τις ουρές αναμονής, από μια ποιοτική σε μια ποσοτική διαδικασία, βελτιώνοντας έτσι τις αποφάσεις μας και τις επιπτώσεις αυτών. 32

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Βασιλείου Π. Χ. Γ. (2), Στοχαστκές Μέθοδοι στις Επιχειρησιακές Έρευνες, Εκδόσεις Ζήτη 2. Φ. Κολυβά Μαχαίρα, Ε. Μπόρα Σέντα (998), Στατιστική, Θεωρία και Εφαρμογές, Εκδόσεις Ζήτη 3. Bailey N. T. J. (954), Queuig for Medical Care, Applied tatistics, 3, 37 45 4. Esogbue A. O., igh A. J. (976), A tochastic Model for a Optimal Priority Bed Distributio Problem i a Hospital Ward, Operatios Research, 24, pecial Issue o Health Care, 884 898 5. Kleirock L. (975), Queuig ystems, volume : Theory, Joh Wiley & os 6. Paico J. A. (969), Queuig Theory: A tudy of Waitig Lies for Busiess, Ecoomics ad ciece, Pretice Hall 7. Taylor I. D.., Templeto J. G. C. (98), waitig Time i a Multi erver Cutoff Priority Queue ad Its Applicatio to a Urba Ambulace ervice, Operatios Research, 28, 68 88 8. Worthigto D. J. (987), Queuig Models for Hospital Waitig Lists, The Joural of the Operatioal Research ociety, 35, 43 422 33