Μαθηματικός Ορισμός Τρισδιάστατου Χώρου (R 3 ), κατ επέκτασιν του διδιάστατου Ο R 3 είναι ένα σύνολο σημείων με συντεταγμένες (x,y,z) Τα x, y και z έχουν τις εξής ιδιότητες: Το καθένα από αυτά διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών Είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους Αυτό το σύνολο σημείων ορίζει έναν καρτεσιανό χώρο τριών διαστάσεων, που συνήθως συμβολίζεται R 3
Ορισμός τρισδιάστατης καμπύλης στο χώρο R 3 Έστω C ένα σύνολο σημείων M(x,y,z) του R 3, όπου οι συντεταγμένες (x,y,z) κάθε σημείου δεν είναι ανεξάρτητες, αλλά, αντιθέτως, εξαρτώνται από την ίδια πραγματική Μεταβλητή t [α,β]. Τότε η C λέγεται τρισδιάστατη καμπύλη, κάθε σημείο M της οποίας έχει συντεταγμένες (x(t),y(t),z(t)), μονοσήμαντα προσδιοριζόμενες από το t.
Κώδικας που δημιουργεί και τυπώνει τρισδιάστατη καμπύλη
Διαχείριση χρώματος και σχήματος απεικόνισης στην plot3 t(1) t() t(n) (x(1),y(1),z(1)) (x(),y(),z()) (x(n),y(n),z(n))
Δυνατότητες διαχείρισης γραφικών στο Matlab: 1. Μεγέθυνση/Σμίκρυνση Κομβίο (κουμπί) zoom in Κομβίο zoom out Αρχικό γράφημα καμπύλης Περιοχή του ίδιου καμβά μετά από 8 κλικς και έχοντας επιλέξει zoom in
Δυνατότητες διαχείρισης γραφικών στο Matlab: Μόνο για διδιάστατα γραφικά. Επιλογή επιθυμητής περιοχής προς μεγέθυνση i. Επιλέγουμε zoom in ii. Κάνουμε κλικ και κρατώντας σταθερά το αριστερό πλήκτρο του mouse εγκιβωτίζουμε την επιθυμητή περιοχή του καμβά σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Αρχικό γράφημα καμπύλης Περιοχή του ίδιου καμβά μετά από επιλογή της επιθυμητής περιοχής
Δυνατότητες διαχείρισης γραφικών στο Matlab: Μόνο για τρισδιάστατα γραφικά 3. Περιστροφή του απεικονιζομένου γραφήματος Tο κουμπί rotate 3D Αρχικό γράφημα καμπύλης Περιεστραμμένο γράφημα καμπύλης
Δυνατότητες διαχείρισης γραφικών στο Matlab: Μόνο για τρισδιάστατα γραφικά 4. Επιλογή του σημείου παρατήρησης της απεικονιζομένης πληροφορίας Αυτή η επιλογή γίνεται με την εντολή view: i. view([a,b,c]) τοποθετεί τον παρατηρητή στο σημείο του R 3 με συντεταγμένες (a,b,c) Αρχικό γράφημα καμπύλης
Δυνατότητες διαχείρισης γραφικών στο Matlab: Μόνο για τρισδιάστατα γραφικά 4. Επιλογή του σημείου παρατήρησης της απεικονιζομένης πληροφορίας (συνέχεια) ii. Όταν η view έχει όρισμα τον αριθμό, τότε ο χρήστης βλέπει κάτοψη του γραφήματος από τον z-άξονα Αρχικό γράφημα καμπύλης
Εισαγωγή στις τρισδιάστατες επιφάνειες και υλοποίησή τους μέσω Matlab Πρόβλημα: Ζητείται να σχεδιαστούν τρεις κύκλοι παράλληλοι προς το x-y-επίπεδο με κέντρο πάνω στον άξονα των z, οι οποίοι να έχουν διαφορετικές μεταξύ τους ακτίνες. Επιδιωκόμενο αποτέλεσμα:
Συνάρτηση που υλοποιεί τμήμα κύκλου παράλληλου στο επίπεδο x-y
Αποτέλεσμα εκτέλεσης του προηγούμενου κώδικα
Κύκλοι επί επιπέδων καθέτων στον άξονα z με κέντρα επί του z και ακτίνες που ικανοποιούν τη σχέση r=k z, k: θετική σταθερά
Κώδικας υλοποίησης τυχόντος κώνου στο Matlab
Εκτύπωση των αποτελεσμάτων του προηγούμενου κώδικα Το εμφαινόμενο σχήμα λέγεται κώνος και συνιστά ένα πρώτο σημαντικό παράδειγμα επιφάνειας
Γραφική επιβεβαίωση του μονοσήμαντου προσδιορισμού κάθε σημείου του κώνου από το ζεύγος των ανεξάρτητων μεταβλητών z(z-συντεταγμένη του κέντρου του αντίστοιχου κύκλου) και φ(πολική γωνία του σημείου) Κόκκινος αστερίσκος: φ=1rad, z=-1 Πράσινος αστερίσκος: φ=.rad, z=-0.8 Aστερίσκος magenta: φ=5.4rad, z=.4
Κώδικας περιστροφής κώνου γύρω από τον άξονα x
Περιστροφή κώνου περί τον άξονα x Αρχική επιφάνεια Εστραμμένη επιφάνεια
Στροφή ήδη στραμμένου κώνου γύρω από τον άξονα των z
Για το τυχόν σημείο M(x,y,z) του R 3 OM xi y j z k Τα σημεία O, M και Ν είναι συγγραμικά (ισοδυνάμως, ανήκουν στην ίδια ευθεία) όταν και μόνον όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε OM ON
Έστωσαν Μ(x 1,y 1,z 1 ) και Ν(x,y,z ) δύο οποιαδήποτε σημεία του κώνου με > 0, ακτίνες του κύκλου που ανήκουν, και κοινό. Τότε, με βάση τον ορισμό του κώνου και δεδομένου ότι για κάθε σημείο του ισχύει προκύπτει k k r j r i r k z j y i x OM 1 1 1 1 1 1 sin cos r k z k k r j r i r k z j y i x ON sin cos Όμως, συνάγεται εύκολα ότι OM r r ON 1 Άρα τα Ο, Μ, Ν κείνται επ ευθείας 1 r r z
Κώδικας παραγωγής κώνου και γενέτειρας αυτού
Έστω M x, y, z τυχόν σημείο του κύκλου που είναι κάθετος στον άξονα z και που έχει κέντρο επ αυτού στο σημείο z cos : θετική σταθερά και [0,π] Τότε, όλα τα σημεία με συντεταγμένες [0,π] κείνται επί σφαίρας κέντρου (0,0,0) Όντως, από Πυθαγόρειο θεώρημα και πολύ γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει x y sin z x y sin cos sin cos cos Άρα κάθε τέτοιο σημείο M απέχει από το (0,0,0) σταθερή απόσταση, δηλαδή κείται επί σφαίρας κέντρου (0,0,0) και ακτίνας. sin cos sin sin z cos
Κώδικας δημιουργίας σφαίρας
Δημιουργία μεσημβρινού γεννέτειρας κύκλου
Πρόβλημα: Ζητείται να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί η επιφάνεια που δίνεται από την εξής σχέση: z e x y
Αρχική επιφάνεια Rotate 3D
Διατηρώντας τη μία ανεξάρτητη μεταβλητή σταθερή προκύπτει τρισδιάστατη καμπύλη