Ασκήσεις στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου 4. Παραγοντοποίηση

Ασκήσεις στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου 4. Παραγοντοποίηση

1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ a. 15αχ 12χ + 3χ = 3 5αχ 3 4χ+3= 3 (5αχ 4χ+1) Όταν πάλι έχουμε ίδιες μεταβλητές θα βγάζουμε κοινό παράγοντα την κοινή μεταβλητή (απ' όλους τους όρους) αλλά στον μικρότερο εκθέτη. π.χ. b. 15χ 4 12χ 3 +3χ 2 = 3χ 2 (5χ2 4χ+1) c. 15α 3 β 2 γ 5α 2 β 3 γ 2 20α 4 β 4 γ 3 χ = 5α 2 β 2 γ(3α βγ 4α 2 β 2 γ 2 χ) d. λα 2 + κβα λαβ κβ 2 = (λα 2 λαβ) + (κβα κβ 2 ) = λα(α β) + κβ(α β) = (α β)(λα+κβ) e. 9χ 2 1 Παρατηρούμε την παράσταση και βλέπουμε ότι : έχουμε διαφορά, έχουμε τετράγωνο χ 2, 9=3 2, 1 = 4 2 Άρα η 9χ 2 1 γράφεται: 3 2 χ 2 4 2 =(3χ) 2 4 2 Άρα έχουμε διαφορά τετραγώνων και γράφουμε: (3χ+4)(3χ 4) f. (κ+λ) 2 4 = Παρατηρούμε την παράσταση και βλέπουμε ότι : έχουμε δύο όρους, έχουμε διαφορά,έχουμε τετράγωνο (κ+λ) 2 και 4=2 2 Άρα (κ+λ) 2 2 2 = [(κ+λ)+2][(κ+λ) 2] = (κ+λ+2)(κ+λ 2) g. (χ+2ω) 2 (ψ 2ω) 2 = Παρατηρούμε την παράσταση και βλέπουμε ότι : έχουμε δύο όρους, έχουμε διαφορά, έχουμε δύο τετράγωνα Άρα [(χ+2ω)+(ψ 2ω)][(χ+2ω) (ψ 2ω)] = (χ+2ω+ψ 2ω)(χ+2ω ψ+2ω) = (χ+ψ)(χ ψ+4ω) h. 2αβ+αγ = α (2β+γ) i. 10χ 2 10φ 2 +10ω 2 = 10(χ 2 φ 2 +ω 2 ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (i) 9χ 2 +χψ+ψ 2 =(3χ) 2 + (ψ) 2 + 2 3 χψ = (3χ+ψ) 2 (ii) κ 2 χ 2 +ψ 2 2κψχ = κ 2 χ 2 2κψχ+ψ 2 = (κχ) 2 + (ψ) 2 + 2 κχ ψ = (κχ ψ) 2 (iv ) (α+β) 2 2(α+β)χ+χ 2 = (α+β) 2 + ( χ) 2 2 (α+β) χ = (α+β χ) 2 1

2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: 1. Έστω το τριώνυμο: χ 2 2χ 8 Έχουμε τους εξής συνδυασμούς για το α και το β: α β = 8 1 ( 8) = 8 ( 1) 8 = 8 2 ( 4) = 8 ( 2) 4 = 8 1+( 8) = 7 Απ' αυτούς διαλέγουμε εκείνο που μπορεί να δώσει α+β = 2 ( 1)+8= +7 2+( 4) = 2 ( 2)+4 = +2 Άρα : α =2 και β = 4 τότε γράφεται: χ 2 2χ 8 = (χ+2)(χ 4) 2. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : 2χ 2-3χ+1 Θέτω 2χ 2-3χ+1=0 Λύνω την εξίσωση: Δ= β 2-4αγ=(-3)2-4.2.1=1>0 οπότε οι ρίζες τις εξίσωσης είναι : Τότε έχουμε: 2χ 2-3χ+1=2(χ-1)(χ-1/2) 3. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : Επειδή δεν υπάρχει κοινός παράγοντας,αλλά θέλουμε να το εμφανίσουμε στην προηγούμενη μορφή, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τον συντελεστή του χ 2. Θέτω 2χ = y Αντικαθιστώ το y = 2x = = 2

3 Βγάζω κοινό παράγοντα το 2 και έχω = 4. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : Θέτω όπου παραδείγματος 5. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : και ακολουθώ την μεθοδολογία του 3 ου θέτω όπου. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : Ως προς την μεταβλητή χ Αναζητούμε δύο αριθμούς με γινόμενο 4y 9y=3y και 4y + 9y = 13y Άρα και άθροισμα 13y 7. Σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να βρούμε τους διαιρέτες του σταθερού όρου για να παραγοντοποιήσουμε. Δοκιμάζουμε ποιοί μηδενίζουν το πολυώνυμο και στις τους θέτουμε στο (χ-ρ). Έπειτα κάνω διαίρεση πολυωνύμου και πολλαπλασιάζω το τριώνυμο που προκύπτει με το (χ-ρ). Oι διαιρέτες του είναι : ±1, ±2, ±3, ± Με δοκιμές προκύπτει ότι μηδενίζεται για χ = -2 Άρα (χ+2) Κάνοντας τη διαίρεση προκύπτει και η παραγοντοποίηση δίνει (χ+2) 3

4 8.Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 Έστω y = x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1. Τότε (x 1)y = (x 1)( x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1) = x 1 =(x 3 ) 2 1 2 = (x 3 1)(x 3 +1) =(x 1)(x 2 +x+1)(x+1)(x 2 x+1). Διαιρούμε και τα δύο μέλη με (x 1) και έχουμε: y=(x+1)(x 2 +x+1)(x 2 x+1) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: (1) x 7 +x +x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 (2) x 8 +x 7 +x +x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 1. Να γραφούν ως γινόμενα a. 2 α +8 m. b. c. d. e. f. g. h. n. o. p. q. i. j. k. l. + 4

5 r. 1 4( 1) y. z. s. aa. bb. t. cc. u. v. w. dd. ee. ff. x. 2. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα: a. 3αx - 12xψ 2 b. 27x 3 ψ 3-1 c. 5x 2 α - 15xα 3 d. 27α 3 + x 3 e. 12αx - 3αψ - 4αx + αψ f. 3α 2 + 12α +1 g. 5αx + αψ - 15x - 3ψ h. 4x 4 + 1 + 4x 2 i. x (3α - α) + ψ (α - 3α) j. x 2 + 4x -21 k. 12x 5 ψ 4-8x 3 ψ 3 + 1x 3 ψ 2 l. ψ 2-1ψ + 0 5

m. 25x 2-9ψ 4 n. 5x 3-20x 2 + 20x o. 3x 2 ψ - 12ψ 3 p. 2x 3 + 4x 2-1x q. 50x 2-2ψ 2 r. α 2-3αβ + 2β 2 s. 3α 3-12α t. 2α + α 2 - α (α + 2) u. x 3-27 v. x 3 + 3x 2-4x -12 w. x 2-2xψ + ψ 2-1u 2 3. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα: a. 9u 2 - x 2-4xψ - 4ψ 2 b. (α - 2) (1 - u) - (α 2-4) c. (4x 2-9) - 3 (2x + 5) (2x - 3) d. α 2 + 25α 2-10αα - α 2 e. 9x 2 + x + 1 - u 2 f. x 4 + 8x g. 1 - (x 2-8) 2 h. 2αx - αψ + αx - 3αψ i. (x + 5) (3x + 5) - x 2 + 25 j. (α + 3) (α - 1) 2-4 (α + 3) k. (u + 5) (x - 2) 2-9 (u + 5) l. x 2 + x -12 - αx + 3α

7 m. 4x 2 - ψ 2 + 4ψ - 4 n. x 2 - ψ 2 + 2x + 2ψ o. 2x 3-12x 2 + 18x p. 2ux - 5ψ + 2uψ - 5x q. α 2 - α - x + 2αx + x 2 r. αβ 3 - α 3 β s. (α 2-1) (α 2 + 9) - (α 2 α - α) t. xψ 2 + 2x 2 ψ + x 3 u. x 2 (x -3) - (4x +13) (x - 3) - x 2 +9 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: a. 3x 2 - x = 0 b. 9x 2 + x + 1 = 0 c. x 2-5x + = 0 d. (u + 3) (u - 1) 2-4 (u + 3) = 0 e. (x - 4) 2-2x = 0 f. 48x 2-3 = 0 g. ψ 2-9 = 0 h. x 3 + 8x 2 + 15x = 0 i. (u - 1) 2-4 = 0 5. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις a. 3α + β b. 2x 8 c. 8ω 2 + ω d. 8α 2 β + 4αβ 2 e. 2x 2 2xy +2x f. α 2 β + αβ 2 αβ g. 2α 3 4α 2 + α 2 β h. 2 xy 18 y + 8 y 2 7

i. x (α β) + y (α β) j. α(x+y)+β(x + y) l. α 2 (α 2) 3 (2 α) m. 4x (x 1) x + 1 k. (3x 1) (x 2) (x + 4)(x 2) n. 2x 2 (x 3) x(x 3) 2. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις a. 2x + ω + x 2 + 3xω = b. x 3 + 2x 2 + 4x + 8 = c. x + y + αx + αy = d. x 3 2x 2 x + 2 = e. x 3 3 x 2 + 3x - 1 = f. χ 2-4χ+4 = χ 2-2.χ.2+2 2 =(χ 2) 2 4. x 2 +x+9 = g. χ 2-2χ+1= 5. x 2-4x+9= h. x 2 +4x+4= 7. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις a. x 2-4 = b. x 2-9 = c. 4x 2-9y 2 = d. 4 x 2 y 9 = e. (x+2α)(x-2α) = 2 f. 4x 9 2x 2 3 3 2x 3 2x 3

g. χ 3 - χ 2 + 9χ = h. χ 3-5χ 2 + 4χ = i. x 3 4x = j. 2x 5 4x 4 + 2x 3 4x 2 = k. x 5 1x =x(x 4-1) = x[(x 2 ) 2-4 2 ]= x(x 2-4)(x 2 +4) =x(x 2-2 2 )(x 2 +4) =x(x- 2)(x+2)(x 2 +4) l. 5x 2-20x +x 2-4 m. αx 2 αy 2 +x y n. (α-β)(χ+y) 2 +(β-α) = (α-β)(χ+y) 2 - (α-β)=(α-β)[(χ+y) 2-1]=(α-β)(χ+y-1)(χ+y+1) o. 3(χ+5)(χ-2) 2-12χ -0 p. (α+1)(α+2) -(α 2-4) q. (4x+y) 2 +1x 2 y 2 r. (x-y)(2κ-λ)+(x 2 y 2 ) s. α(x+y) 2 +β(x+y) 2-4α -4β t. 9x 2-12αx + 4 α 2 = (3x) 2-2.3x.2α+(2α) 2 =(3x-2α) 2 u. α 2 x 2 α 2 β 2 x 2 +β 2

7 8. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: a. 2κ-4λ b. 5x - 5ω c. χαω + χβω d. 3x 9α k. x 2-3 l. x 2-81 m. 9x 2-25y 2 n. x 4 - y 2 /4 e. β 8y o. x -y f. x 2 3x g. 12α 2 + 3α h. x 2-5x i. 2x 3 + x 2 p. χ 2-4χ+4 q. χ 2 +2χ+1 r. χ 2 +8χ+1 s. χ 2 -χ+9 j. x 3 21x 2 t. χ 2-4χ+9 9. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) 3χy²+χ²y+12χ²y², β)1χ²yα-24χy²α²+32χyα. γ) αχ+βy+α-βχ-αy-β, δ) 1-χ+χ²-χ 3 +χ 4 -χ 5 +χ -χ 7. ε) 4x²-(3y-1)², ζ) 9(x+2y)² - 1(2x-3y)². η) 25x²+40xy+1y², θ) 4χ³-20χ²+25χ 10. Να γίνουν γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις: α) (2χ-4)(χ²-1)-(3χ-)(χ-1)² β) χ²+(2α+1)χ+α²+α γ) (α+β+1) 2 - (α-β-1) 2 7

11. Να γίνουν γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις: α) α) 9χ²-25y² β) 49y²-4χ² γ) χ²-4χ+3 δ) χ²+5χ+4 ε) y 2 + 2y+ 1 στ) χ 2 χ - ψχ +ψ + ω ωχ ζ) χ 3 (χ + 1) χ(χ + 1) η) χ(α β) + ψ(β α) θ) 24χ 3 + 81ψ 3 ι) α α 3 κ) 2χ 4 18χ 2 λ) 4χ 4 + 8χ + ψ 3 ψ 2 μ) κ 3 2κ 2 + 27λ 3 + 18λ 2 ν) 2χ(2χ 2 4) + χ 3 2χ