Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τ.Ε.Ι. Δυτικής Μακεδονίας Π.Μ.Σ Εφαρμοσμένης Πηροφορικής Διπωματική Εργασία Θέμα Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Επιβέπον Καθηγητής Πετράκης Ανδρέας Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τσαγκαρή Αθηνά Κοζάνη, 0
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στα μαθηματικά ονομάζουμε πίνακα ή μήτρα ν γραμμών και μ στηών μία ορθογώνια διάταξη σε σχήμα ορθογώνιου παραηογράμμου που περιέχει ν μ πήθος στοιχείων. Οι εγγραφές ή στοιχεία του πίνακα μπορούν να είναι αριθμοί ή, πιο γενικά, οποιεσδήποτε αφηρημένες ποσότητες τις οποίες μπορούμε να προσθέσουμε και να ποαπασιάσουμε. Οι πίνακες είναι ένα βασικό εργαείο για ποές περιοχές των Μαθηματικών, αναμφισβήτητη είναι όμως η χρησιμότητά του στις εφαρμογές και σε άες μεθόδους, σε επιστήμες όπως η Φυσική και η Οικονομία καθώς και η δύναμή τους σαν ερευνητικό εργαείο. Στην παρούσα διπωματική αφού αρχικά δώσαμε κάποιους ορισμούς σχετικούς με την Θεωρία Πινάκων, ασχοηθήκαμε με την Τριγωνομετρία Πινάκων. Ορίσαμε το Ημίτονο, το Συνημίτονο, την Εφαπτομένη και τη Συνεφαπτομένη ενός x αά και ενός x πίνακα και δείξαμε ότι οι Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ισχύουν και για τους Τριγωνομετρικούς Πίνακες παρουσιάζοντας και κάποια παραδείγματα.
Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ....Αριθμητική Παρεμβοή... 4. Ορισμοί... 4. Ύπαρξη και μοναδικότητα του πουωνύμου παρεμβοής... 5. Διαιρεμένες διαφορές... 8.4 Πουώνυμο παρεμβοής Newton... 9.5 Πουώνυμο παρεμβοής Hermite....6 Σφάμα παρεμβοής... 7. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα πίνακα... 8.. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα... 8.. Διαγωνιοποίηση πινάκων... 9.. Γεωμετρική Ποαπότητα... 0.4. Χαρακτηριστικό Πουώνυμο... 0.5. Αγεβρική Ποαπότητα.... Ρίζες πουωνύμου, βαθμός ποαπότητας με τη χρήση παραγώγων... 5 4. «Τριγωνομετρία Πινάκων»... 0 4. Αριθμητική παρεμβοή... 0 4...Ορισμός πίνακα x... 4... Ορισμός πίνακα... 4 4... Ορισμός Πίνακα ν ν... 6 4. Με δυναμοσειρές... 65 4. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες... 67 4.4 Παραδείγματα... 68 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 0
.Αριθμητική Παρεμβοή. Ορισμοί Η παρεμβοή αποτεεί μια από τις πέον διαδεδομένες προσεγγιστικές τεχνικές στον τομέα της αριθμητικής ανάυσης και των υποογιστικών μαθηματικών. Με τον όρο παρεμβοή εννοούμε το πρόβημα της προσέγγισης μιας συνάρτησης f της οποίας είναι γνωστές οι τιμές σε διακεκριμένα σημεία x, i 0,,,..., n άη συνάρτηση g i, από μια πιο εύχρηστη. Όταν η προσεγγιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται είναι πουώνυμο τότε η μέθοδος καείται «πουωνυμική παρεμβοή». Το κασσικό πρόβημα παρεμβοής με πουώνυμα διατυπώνεται όπως πιο κάτω: Πρόβημα: Ας είναι n διακεκριμένα σημεία x x,..., x στα οποία οι τιμές 0, n f ( x, f( x,..., f( x 0 n, της συνάρτησης f είναι γνωστές. Να βρεθεί πουώνυμο ( x, βαθμού n, το οποίο να εμφανίζει τις ίδιες τιμές με την f στα ίδια n σημεία. n ηαδή ψάχνουμε ένα πουώνυμο κάτω «συνθήκες παρεμβοής» ( x n τέτοιο ώστε να ικανοποιεί τις πιο ( x f( x, για i 0,,..., n n i i (. Τα σημεία x x,..., x καούνται «σημεία παρεμβοής» ή «κόμβοι παρεμβοής» 0, n ( x ενώ το «πουώνυμο παρεμβοής» βαθμού. n n
. Ύπαρξη και μοναδικότητα του πουωνύμου παρεμβοής Θεώρημα.: Για οποιοδήποτε σύνοο n διακεκριμένων σημείων x x,..., x 0, n και των αντίστοιχων τιμών της συνάρτησης f υπάρχει μοναδικό πουώνυμο x ( Pn τέτοιο ώστε f ( x ( x για i 0,,..., n i i Απόδειξη: Θα δώσουμε δύο τρόπους απόδειξης. Στον δεύτερο τρόπο η ύπαρξη και η μοναδικότητα του πουωνύμου παρεμβοής χωρίζεται σε δύο σκέη. x ( ax i n ος τρόπος: Ένα πουώνυμο ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβοής, i 0 i σχέση (., αν-ν οι συντεεστές a i αποτεούν ύση του γραμμικού συστήματος a ax... a x f( x n 0 0 n 0 0 a ax... a x f( x n 0 n... n a ax... a x f( x n 0 n n n Αυτό το σύστημα έχει μοναδική ύση αν-ν η ορίζουσα του δεν μηδενίζεται. Μια τέτοια ορίζουσα καείται ορίζουσα του Vandermonde και συμβοίζεται με (,,..., VDM x x x 0 n. Έτσι 0 x x... x x n n 0 0 0 0 x x... x n n VDM ( x, x,..., x........ n........ x x... x x x n n n n n n
VDM ( x, x,..., x ( x x με. 0 n 0 < i j n i j Αφού τα σημεία παρεμβοής είναι διακεκριμένα, δηαδή xi x για i j, τότε η j ορίζουσα δεν μηδενίζεται και το πρόβημα έχει μια και μοναδική ύση. ος τρόπος: Ύπαρξη: ας είναι το x ( Pn {} n l μια βάση του χώρου i i 0 P των πουωνύμων βαθμού n. Τότε μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης, δηαδή να παρασταθεί ως n n x ( bl( x (. i 0 i i με την ιδιότητα n ( x ( (, 0,,..., i bl x f x i n (. j j i i j o Αν ορίσουμε τα n x x j l P : l( x i n i, i 0,,..., n x x j 0 j i i j (.4 τότε l( x δ : { i j 0, i j i, j, i j οπότε από την (. προκύπτει ότι b i f( x i Άρα το πουώνυμο παρεμβοής υπάρχει και έχει την μορφή
n x ( f( xl ( x i i i 0 Μοναδικότητα: qx ( n υποθέτουμε ότι υπάρχει ακόμα ένα πουώνυμο παρεμβοής το P που παρεμβάει την f στα άρα ικανοποιεί τις πιο κάτω συνθήκες παρεμβοής Έστω Από τι σχέσεις (.,(.,(. έπεται ότι Οπότε το πουώνυμο n διακεκριμένα σημεία x x,..., 0, n x και q ( x f( x, i 0,,..., n (.5 n i i r ( x ( x q ( x (.6 n n n r ( x ( x q ( x 0, i 0,,..., n n i n i n i r ( x n που ανήκει στο πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν. Άρα από την (.6 προκύπτει ότι P και έχει n διακεκριμένες ρίζες θα n r ( x ( x q ( x 0 > ( x q ( x n n n n n, που επιβεβαιώνει ότι το πουώνυμο παρεμβοής είναι μοναδικό.
. ιαιρεμένες διαφορές ιαιρεμένη διαφορά πρώτης τάξης στα σημεία x, x καείται το πηίκο 0 f x f x 0 ( ( x x 0 και συμβοίζεται με f [ x, x. ηαδή 0 f x x f ( x f( x x x 0 [, 0 0 (.7 Σαν διαιρεμένη διαφορά ης τάξης στα σημεία x, x, x ορίζεται 0 f[ x, x, x 0 f [ x, x f[ x, x 0 x x 0 (.8 ενώ σαν διαιρεμένη διαφορά τάξης n στα σημεία x x,..., x ορίζεται 0, n f [ x, x,..., x f[ x, x,..., x n 0 [,,..., n f x x x 0 n x x n 0 (.9
Ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών είναι: x f f [, f [,, f [,,..., x 0 f ( x 0 f [ x, x 0 x f ( x f [ x, x, x. 0 f [ x, x. x f ( x... f [ x, x,..., x. 0 n... f [ x, x n n f [ x, x, x n n n. x n f ( x n.4 Πουώνυμο παρεμβοής Newton Ένα πουώνυμο στη μορφή Newton με κέντρα τα σημεία παρεμβοής x x,..., x 0, n γράφεται:
( x α α ( x x α ( x x ( x x... α ( x x ( x x...( x x n 0 0 0 n 0 n n i αi (.0 j i 0 j o ( x x Είναι εύκοο να δειχθεί από τις συνθήκες παρεμβοής ( x f( x i 0,,..., n ότι:, για n i i ( x f ( x α (. n 0 0 0 ( ( α α ( n 0 x f x x x 0 ( ( α α ( ( ( n 0 0 0 x f x x x a x x x x.. k i α n k k i k j i 0 j o n (. ( x f( x ( x x, k 0,,,... Οι εξισώσεις (. μπορούν να υθούν για τα α στη σειρά αρχίζοντας με α. Έτσι, i 0 το α εξαρτάται από το f ( x, το α από το f ( x και f ( x κ.ο.κ. Γενικότερα 0 0 0 το α εξαρτάται από τα f ( x, f ( x,, f ( x. Με άα όγια α εξαρτάται n 0 n n από την f στα σημεία x,..., x. 0 n Ο συμβοισμός του είναι : a f[ x, x,..., x n 0 n (. Χρησιμοποιώντας τις (. βρίσκουμε τους τύπους: a f[ x f( x (.4 0 0 0 a f[ x, x 0 f ( x f( x 0 x x 0 a f[ x, x, x 0 f( x f( x ( ( ( x x 0 ( x x ( x x 0 f x f x x x 0 0 0
Μπορούμε να συνεχίσουμε έτσι, αά προτιμούμε τον ακόουθο αναδρομικό τύπο: f[ x,..., x f[ x,..., x a f x x x k k x x k 0 k [,,...,,,,... 0 k k 0 n (.5 που είναι η διαιρεμένη διαφορά k-τάξης στα σημεία x, x,..., x. 0 k Η 0 Δικαιοογούμε αυτόν τον τύπο ως ακοούθως: f [ x, x,..., x είναι ο συντεεστής του k k x στο πουώνυμο βαθμού k που παρεμβάει η f στα x, x,..., x. Μία ματιά στο δεξιό μέος της 0 k (.5 δείχνει ότι δύο άα πουώνυμα q και r περιβάουν την f, το q παρεμβάει την f στα x,..., x 0 k και το r παρεμβάει την f στα x,..., x k βαθμού k. Η σχέση μεταξύ των πουωνύμων ( x, q ( x, r ( x k k k είναι: x xk ( x r ( x [ r ( x q ( x k k k k x x k 0 k (.6 Για να αποδείξουμε την (.6 παρατηρούμε ότι το δεξιό μέος είναι ένα πουώνυμο βαθμού 0 k. Υποογίζοντάς το στο x δίνει f ( x : 0 0 x xk rx ( [ rx ( qx ( qx ( f( x 0 0 0 0 0 x x k Υποογίζοντάς το στα είναι f ( x i και το δεξιό είναι: x ( i,,..., k το αριστερό μέος της (.6 i x x x x i k i k r( x [ r( x q( x f( x [ f( x f( x f( x i i i i i i i x x x x k 0 k 0 Όμοια στο x παίρνουμε f ( x : k k x x k k rx ( [ rx ( qx ( rx ( f( x k k k k k x x k 0 Από τη μοναδικότητα του πουωνύμου παρεμβοής, το δεξιό μέος της (.6 πρέπει να είναι συντεεστές του k ( x και η εξίσωση (.6 αποδείχθηκε. Εξισώνοντας τους k x στα δύο μέη της (.6 παίρνουμε την (.5. Πράγματι
f [ x,..., x είναι ο συντεεστής του k k x στο rx ( και 0 k f [ x,..., x ο συντεεστής του k x στο. q ( x Επειδή τα x, x,..., x και k είναι αυθαίρετα, ο αναδρομικός τύπος (.5 μπορει να 0 k γραφεί : f[ x, x,..., x, x i i j j f [ x,..., x f[ x,..., x i j i j x x j i (.7 Οι συντεεστές α, α,... α στον τύπο (.0 έχουν προσδιοριστεί από τις (.5 σαν 0 n διαιρεμένες διαφορές ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες παρεμβοής. Το πουώνυμο που προκύπτει είναι το εξής: ( x f( x f [ x, x ( x x f [ x, x, x ( x x ( x x... n 0 0 0 0 0 f [ x, x,..., x ( x x ( x x...( x x 0 n 0 n (.8 δηαδή, n ( x f[ x,..., x ( n 0 i x xj i 0 i j 0 (.9 και καείται πουώνυμο παρεμβοής Newton. Σημειώνουμε ότι αν υποθέσουμε ότι x συγκίνει στο 0 x τότε f[ x, x 0 f ( x f( x 0 x x 0 παραγώγου. ηαδή 0 0 f [ x, x f ( x 0 ( f x0 συγκίνει στην από τον ορισμό της και γενικότερα f [ x, x f ( x i i i (.0
ενώ αν και x συγκίνει στο x τότε 0 f[ x, x, x 0 0 0 f ( x 0! Γενικά αν έχουμε τα σημεία x x... x 0 n x x i i x i k τα ίδια, δηαδή..., από τα οποία μερικά μπορεί να είναι, τότε η πεπερασμένη διαφορά τάξης k δίνεται f[ x,..., x i i k ( k f ( x i k! (...5 Πουώνυμο παρεμβοής Hermite Σκοπός της παρεμβοής Hermite είναι ο προσδιορισμός ενός πουωνύμου το οποίο να συμφωνεί όχι μόνο με τις τιμές μιας συνάρτησης σε διακεκριμένα σημεία αά και με τις τιμές των παραγώγων αυτής στα ίδια σημεία. ηαδή ένα πρόβημα παρεμβοής Hermite επιπρόσθετα με τις τιμές της συνάρτησης x x,..., x διαχειρίζεται και τις τιμές της 0, n ( k f στα,..., 0, n f στα σημεία x x x. Για M f C ([ a, b, δηαδή η συνάρτηση έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι M τάξης στο διάστημα [ ab,, οι συνθήκες παρεμβοής είναι: για και όπου ( x f ( x i ( k ( k i i 0,,..., n k 0,,..., m m M (.. Η παρεμβοή Hermite, μπορεί να θεωρηθεί σαν παρεμβοή σε ποαπά σημεία. Οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα των διαιρεμένων διαφορών και το πουώνυμο του Newton. Έστω ότι έχουμε τα σημεία, στα οποία μας είναι 0 x x γνωστές οι τιμές της συνάρτησης f και της παραγώγου αυτής, f. Τότε μπορούμε να επιτύχουμε παρεμβοή Hermite στα σημεία x, x θεωρώντας το καθένα βαθμού 0 ποαπότητας. Ο πίνακας διαιρεμένων διαφορών γίνεται:
x ( f( x 0 x f x 0 0 0 ( x f ( x ( x 0 0 0 0 x ( ( f x x ( x f ( x x f x f ( x 0 f ( x f [ x, x, x 0 0 f [ x, x f [ x, x, x, x 0 0 0 f ( x f [ x, x, x 0 ( f ( x Τότε το πουώνυμο παρεμβοής γίνεται : ( x f( x f ( x ( x x f[ x x, x( x x 0 0 0 0 0, 0 f[ x, x, x, x ( x x ( x x 0 0 0 ή όγω της μοναδικότητας του πουωνύμου παρεμβοής : ( x f( x f ( x ( x x f[ x x, x ( x x 0, f[ x, x, x, x ( x x ( x x 0 0 0 Γενικά, το πουώνυμο παρεμβοής Hermite που παρεμβάει την f και την f σε n σημεία,..., 0, n x x x είναι βαθμού (n. Για να παράγουμε το πουώνυμο παρεμβοής Hermite, που ορίζεται στα πιο πάνω σημεία, χρησιμοποιούμε την σχέση z z x, για i 0,,..., n i i i (. και ορίζουμε μια νέα ακοουθία σημείων zz,..., z n (.4 0, i Κατασκευάζουμε τον πίνακα των διαιρεμένων διαφορών με τα νέα σημεία και την σχέση f [ z, z f ( x (.5 i i i
που είναι η αντίστοιχη της f [ x, x f ( x. i i i Τέος χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβοής του Newton, το πουώνυμο παρεμβοής Hermite μπορεί να παρασταθεί ως ακοούθως: n i (.6 H ( x f( z f[ z, z,..., z ( x z i n 0 0 i i j 0 Παράδειγμα: Να βρεθεί το πουώνυμο παρεμβοής Hermite που παρεμβάει την συνάρτηση f στα σημεία x, x 0 και για το οποίο ισχύουν οι εξής συνθήκες παρεμβοής: ( f ( ( f ( ( f ( ( f ( 6 Λύση: Ορίζουμε νέα ακοουθία σημείων με την βοήθεια της σχέσης οπότε θα έχουμε: για i 0 > 0 z z i i i z και z x, για i 0, για i > z και z
Κατασκευάζουμε τον πίνακα διαιρεμένων διαφορών: z f( z 0 0 z f( z 0 f ( z 0 f[ z, z, z 0 5 5 f[ z, z, z, z 5 f[ z, z 0 z f( z f[ z, z, z 9 5 z f( z f ( z 6 f ( z f[ z, z και f ( z f[ z, z. όπου 0 0 Τότε από την σχέση (. το πουώνυμο Hermite προκύπτει να έχει την μορφή ( z f( z f ( z ( z z f[ z, z, z ( z z ( z z 0 0 0 0 0 f [ z, z, z, z ( z z ( z z ( z z 0 0 ενώ αντικαθιστώντας τις τιμές παίρνουμε 94 49 5 5 5 5 z ( z z z που είναι και το επιθυμητό.
.6 Σφάμα παρεμβοής Η προσέγγιση μιας συνάρτησης f από μια άη συνάρτηση g εισάγει κάποιο σφάμα. Έτσι και στην πουωνυμική παρεμβοή, είναι δυνατό η σχέση της παρεμβαόμενης συνάρτησης f και του πουωνύμου παρεμβοής να είναι i, j,... n οπότε έχουμε ένα σφάμα πουωνυμικής παρεμβοής ε τέτοιο ώστε ε ( x f( x ( x. (.5 Το σφάμα παρεμβοής συνδέεται άμεσα με την εκογή του συνόου των σημείων παρεμβοής. Το σφάμα παρεμβοής στην περίπτωση της παρεμβοής Newton δίνεται από τον τύπο για κάποιο ξ ( ab, σημεία x x,..., 0, n x και ( n n f ( ξ ε ( x f( x ( x ( x x i ( n! i 0 (.6, όπου [ ab, το διάστημα στο οποίο ανήκουν τα διακεκριμένα n f C [ a, b. Αντίστοιχα για το σφάμα του πουωνύμου Hermite έχουμε: (n n f ( ξ ε ( x f( x H ( x ( x z n i (n! i 0 (.7 για ξ ( ab,, i 0,,... n n f C [ a, b, i i z z x i και f [ z, z f ( x i i i,
. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα πίνακα.. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ορισμός.. Εστω m N και C m A m ένας τετραγωνικός πίνακας. Ενα μη- μηδενικό διάνυσμα x C m καείται ιδιοδιάνυσμα του A και το C, ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στο διάνυσμα αυτό, αν: Ax x (. Αυτό που ϕαίνεται από την (. είναι ότι το γινόμενο Ax ειτουργεί ως ϐαθμωτό γινόμενο x που εξαρτάται από τον πίνακα A και το διάνυσμα x. Ο υποχώρος S του C m που αποτεείται από τα διανύσματα x C m τέτοια ώστε Ax x ονομάζεται ιδιοχώρος του πίνακα A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή και τα μη μηδενικά x S είναι ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή. Ορισμός.. Το σύνοο όων των ιδιοτιμών ενός πίνακα A καείται ϕάσμα του A και είναι ένα υποσύνοο του C το οποίο συμβοίζεται ως Λ(A. Τα προβήματα ιδιοτιμών έχουν ένα πού διαφορετικό χαρακτήρα από τα προβήματα τετραγωνικών ή ορθογώνιων γραμμικών συστημάτων εξισώσεων. Για ένα σύστημα εξισώσεων, το πεδίο ορισμού μπορεί να είναι ένας χώρος και το σύνοο τιμών ένας άος. Για παράδειγμα, έστω πίνακας A που αντιστοιχεί διανύσματα μήκους n με πουωνυμικούς συντεεστές σε διανύσματα μήκους m απών πουωνύμων. Το να αναζητήσουμε τις ιδιοτιμές ενός τέτοιου πίνακα A ϑα ήταν ανούσιο. Τα προβήματα ιδιοτιμών έχουν νόημα μόνο όταν οι χώροι του συνόου τιμών και το πεδίο ορισμού είναι οι ίδιοι. Αυτό αντανακά το γεγονός ότι στις εφαρμογές, οι ιδιοτιμές χρησιμοποιούνται κυρίως όταν ϑέουμε να συνθέσουμε ένα πίνακα αναδρομικά, είτε κατηγορηματικά ως δύναμη μορφή όπως: ta e, όπως, π.χ., στην ύση διαφορικών εξισώσεων. A k είτε υπονοούμενα σε συναρτησιακή Γενικά μιώντας, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα είναι χρήσιμα για δύο όγους, έναν αγοριθμικό και έναν που αφορά τη ϕυσική. Αγοριθμικά, η ανάυση ιδιοτιμών μπορεί να αποποιήσει ύσεις σε ορισμένα προβήματα, μετατρέποντας ένα περίποκο σύστημα σε συογή από ϐαθμωτά προβήματα. Οσον αφορά τη ϕυσική, η ανάυση ιδιοτιμών μπορεί να δώσει μια άποψη ως προς τη συμπεριφορά
συστημάτων που διέπονται από γραμμικές εξισώσεις, όπως, για παράδειγμα συστήματα δύο ή περισσοτέρων σωμάτων συνδεδεμένα με εατήρια διαφορετικής τάσης το καθένα που αφορούν την κινηματική... ιαγωνιοποίηση πινάκων ιαγωνιοποίηση ενός τετραγωνικού πίνακα A καείται η παραγοντοποίησή του, όταν ϕυσικά αυτή είναι δυνατή, σε A XΛΧ (. όπου X είναι αντιστρέψιμος και Λ διαγώνιος πίνακας. Η παραπάνω σχέση, (., μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως AX QΛ (. ηαδή [A [x x x [x x x m m m Αυτό κάνει ξεκάθαρο ότι αν x j είναι η j-στήη του X και j είναι το j-οστό στοιχείο του Λ, τότε, Ax x. Ετσι η j στήη του X είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του A και το j j j j-οστό διαγώνιο στοιχείο του Λ είναι η αντίστοιχη ιδιοτιμή. Η διαγωνιοποίηση εκφράζει μια ααγή ϐάσης στις «συντεταγμένες του ιδιοδιανύσματος». Αν Ax b και A XΛΧ τότε έχουμε: (X b Λ(X x (.4 Ετσι για να υποογίσουμε το Ax μπορούμε να επεκτείνουμε το x με ϐάση τις στήες του X, να εφαρμόσουμε τον Λ και να ερμηνεύσουμε το αποτέεσμα σαν ένα διάνυσμα συντεεστών ενός γραμμικού συνδυασμού των στηών του X.
.. Γεωμετρική Ποαπότητα Οπως ήδη αναφέρθηκε, το σύνοο των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν σε μια ιδιοτιμή, μαζί με το μηδενικό διάνυσμα, αποτεούν έναν υπόχωρο του C m γνωστό ως ιδιόχωρο. Εστω μια ιδιοτιμή ενός πίνακα A, τότε συμβοίζουμε τον αντίστοιχο ιδιόχωρο με ε. Ο ιδιόχωρος ε αποτεεί ένα παράδειγμα ενός αναοίωτου υποχώρου του A, δηαδή Aε ε (καθώς, αν x Aε, τότε x Ay y για κάποιο ιδιοδιάνυσμα y.τότε όμως Ax A y Ay x. Άρα τεικά x ε Η διάσταση του ε μπορεί να ερμηνευτεί ως ο μέγιστος αριθμός γραμμικώς ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή που μπορεί να ϐρεθεί. Αυτός ο αριθμός είναι γνωστός ως γεωμετρική ποαπότητα του. Η γεωμετρική ποαπότητα μπορεί να περιγραφεί επίσης σαν τη διάσταση του μηδενόχωρου του A I από τη στιγμή που αυτός ο μηδενόχωρος είναι ο ίδιος ο ε..4. Χαρακτηριστικό Πουώνυμο Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του A m m C που συμβοίζεται ως A ή απούστερα, είναι το πουώνυμο ϐαθμού m που ορίζεται ως : A (z det(zi - A (.5 Λόγω της συγκεκριμένης ϑέσης του προσήμου (, το είναι μονικό (δηαδή, ο συντεεστής του μεγιστοβάθμιου όρου, ϐαθμού m, είναι. Θεωρημα.4. Το είναι μια ιδιοτιμή του πίνακα A αν και μόνο αν A (0. Απόδειξη: Το ζητούμενο προκύπτει από τον ορισμό της ιδιοτιμής : είναι ιδιοτιμή αν και μόνο αν υπάρχει μη-μηδενικό διάνυσμα τέτοιο ώστε x A x 0. Αυτό όμως είναι ισοδύναμο με το ότι ο πίνακας I A είναι μη αντιστρέψιμος και αυτό ισχύει αν και μόνο αν det (I A 0.
Το Θεώρημα.4 έχει μια σημαντική συνέπεια. Ακόμα και αν ένας πίνακας είναι πραγματικός, κάποιες από τις ιδιοτιμές του μπορεί να είναι μιγαδικές. (Για παράδειγμα, ο πίνακας: 0 0 είναι πραγματικός αά οι ϱίζες του χαρακτηριστικού του πουωνύμου, δηαδή οι ιδιοτιμές του είναι οι ±i που είναι μιγαδικές. Στη ϕυσική, αυτό σχετίζεται με το ϕαινόμενο στο οποίο, πραγματικά δυναμικά συστήματα μπορεί να παρουσιάζουν παινδρομικές κινήσεις όπως και αυξήσεις και μειώσεις. Αγοριθμικά, σημαίνει ότι ακόμα και αν τα δεδομένα εισόδου σε ένα πίνακα προβήματος ιδιοτιμών είναι πραγματικά, τα αποτεέσματα, (ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, μπορεί να είναι μιγαδικά..5. Αγεβρική Ποαπότητα Από το ϑεμειώδες ϑεώρημα της Αγεβρας, μπορούμε να γράψουμε το μορφή: (z (z - (z - (z - A m A στη (.6 για κάποια j. Σύμφωνα με το Θεώρημα.4, κάθε οι ιδιοτιμές του A είναι κάποιο j C j είναι ιδιοτιμή του A και όες. Γενικά, μια ιδιοτιμή μπορεί να εμφανιστεί περισσότερες από μία ϕορές. Ορίζουμε ως αγεβρική ποαπότητα μιας ιδιοτιμής του A, την ποαπότητα με την οποία εμφανίζεται ως ϱίζα του πουωνύμου. Μια ιδιοτιμή είναι απή αν η αγεβρική της ποαπότητα είναι. Το χαρακτηριστικό πουώνυμο μας δίδει έναν εύκοο τρόπο υποογισμού του πήθους των ιδιοτιμών ενός πίνακα. Σημείωση: Γενικά κάθε πίνακας έχει τουάχιστον μία ιδιοτιμή. (Η ιδιοτιμή είναι μοναδική όταν η ποαπότητά της είναι όση και ο ϐαθμός του χαρακτηριστικού πουωνύμου του πίνακα δηαδή όση και η διάσταση του πίνακα. A
Παράδειγμα ο : 0 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A 0. 0 0 5 Σύμφωνα με τη θεωρία τo χαρακτηριστικό πουώνυμο του πίνακα είναι: A 0 I 0 0 5 det( 0 (5 (( ( ( (5 ( 6 9 4(5 ( 5 ( Οπότε έχουμε δύο ιδιοτιμές την και τη διπής αγεβρικής ποαπότητας 5. Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την ύση του συστήματος: 0 x 0 ( Α I x 0 0 x 0 0 0 5 x 0 0 x 0 x x 0 x x 0 x 0 x x 0 x 0 0 0 4 x 0 4x 0 Οπότε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής: u u μ u 0 Για 5 τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την ύση του συστήματος:
5 0 x 0 ( Α 5 I x 0 5 0 x 0 0 0 5 5 x 0 0 x 0 x x 0 0 x 0 x x 0 0 0 0 x 0 0x 0 x x x αυθαί ρετο Οπότε τα ιδιοδιανύσμτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής: x x 0 x x x x 0 x x 0 και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής είναι τα 0, 0 0. Παράδειγμα ο : 0 A 0 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα. det( A I i, i. Το χαρακτηριστικό πουώνυμο έχει ρίζες τις ιδιοτιμές του Α, Θα βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα.
Για i έχουμε: i x 0 ( A I x i x 0 Το σύστημα έχει ύση x ix οπότε x ix i x x x x και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι: i ν. Για i έχουμε: i x 0 ( A I x i x 0 Το σύστημα έχει ύση x ixοπότε x ix i x x x x και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι: ν i.
. Ρίζες πουωνύμου, βαθμός ποαπότητας με τη χρήση παραγώγων Μια συνάρτηση έγεται πουωνυμική αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α0, α,..., α ν, τέτοιοι ώστε : x για κάθε x R v f ( x α0 αx... αν Ο εάχιστος εκθέτης ν για τον οποίο συμβαίνει αυτό ονομάζεται βαθμός της f και συμβοίζεται degf. Είναι φανερό ότι η μηδενική συνάρτηση (που είναι πουωνυμική δεν έχει βαθμό. Οι αριθμοί α0, α,..., α ν στην παραπάνω γραφή ονομάζονται συντεεστές της f και προσδιορίζουν κατά μοναδικό τρόπο την f. Ο τύπος Taylor για πουωνυμικές συναρτήσεις: Θεωρούμε μια πουωνυμική συνάρτηση f R [ x Αφού οι και έναν πραγματικό αριθμό ρ. v,( x,( x,...,( x v αποτεούν βάση του R συνδυασμός τους: v x η f θα γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμικός f( x ( x ρ... ( x ρ v 0 ν Ας υποογίσουμε τους συντεεστές 0,,..., ν. Για τον σκοπό αυτό παραγωγίζουμε κ-φορές την παραπάνω σχέση οπότε βρίσκουμε g x, g R [ x κ f ( x κ! ( x ρ ( κ κ0,,..ν v Βάζοντας xρ παίρνουμε
f κ κ ( ρ κ0,,..ν κ! Έτσι τεικά ( ν f ( ρ f ( ρ f ( ρ f( x f( ( x ρ ( x ρ... ( x ρ!! ν! που είναι ο τύπος του Taylor για την f, στο σημείο ρ R. ν Λέμε οιπόν ότι ο πραγματικός αριθμός ρ είναι ρίζα της πουωνυμικής συνάρτησης f αν συμβαίνει f( 0. Ορισμός.: Το ρ είναι ρίζα της f τότε και μόνο όταν f ( x ( x g( x, g R x. Απόδειξη: Από τον τύπο του Taylor αν άβουμε υπόψη ότι f( 0 και από τους υπόοιπους προσθετέους βγάουμε κοινό παράγοντα το (x ρ βρίσκουμε f ( x ( x g( x όπως το θέαμε. Το αντίστροφο είναι άμεσο. Αν η προηγούμενη σχέση ισχύει, τότε βάζοντας x παίρνουμε f( ( g( 0 δηαδή το ρ είναι ρίζα της f(x. Ορισμός.: Μία πουωνυνική συνάρτηση f βαθμού ν δεν μπορεί να έχει περισσότερες από ν ανά δύο διαφορετικές ρίζες. Απόδειξη: Πράγματι, ας είναι ρ < ρ <... < ρ ν
ν ρίζες της f. Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση f ( x ( x g( x βάζοντας στη σχέση αυτή x παίρνουμε 0 f ( ( g( απ όπου g( 0 (γιατί 0. Θα έχουμε οιπόν gx ( ( x hx ( δηαδή f ( x ( x ( x h( x Συνεχίζοντας μ αυτόν τον τρόπο καταήγουμε στη γραφή f ( x ( x ( x...( x ω( x. v Το αριστερό μέος στην παραπάνω ισότητα είναι μία πουωνυμική συνάρτηση βαθμού ν (από την υπόθεση ενώ το δεξιό μέος έχει βαθμό τουάχιστον ν, αντίφαση. Στην αντίφαση αυτή πέσαμε γιατί ακριβώς υποθέσαμε ότι η f(x έχει περισσότερες από ω διακεκριμένες ρίζες. Το προηγούμενο θεώρημα έχει την εξής σημαντική συνέπεια: Αν υπάρχει ακοουθία αριθμών ρ < ρ <... < ρ ν <... που μηδενίζουν την πουωνυμική συνάρτηση f, τότε f0. Πράγματι, διότι αν ήταν f 0, τότε η f θα είχε κάποιο βαθμό έστω ν, και περισσότερες από ν ρίζες, πράγμα αδύνατο.
Λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός ρ είναι ρίζα βαθμού ποαπότητας κ της πουωνυμικής συνάρτησης f αν συμβαίνει: κ f ( x ( x g( x και g( 0. Θεώρημα.: Το ρ είναι ρίζα ποαπότητας κ της f τότε και μόνο όταν ( κ κ f( 0, f ( 0,..., f ( 0 ενώ f ( 0. Απόδειξη: Αν οι παραπάνω συνθήκες ικανοποιούνται ο βαθμός της f είναι Taylor δίνει κ και ο τύπος του κ κ ( ν f ( ρ κ f ( ρ κ f ( ρ ν f( x ( x ρ ( x ρ... ( x ρ κ! ( κ! ν! κ ( x ρ gx ( όπου f κ ( ρ g( 0. κ! Σύμφωνα με τον ορισμό οιπόν το ρ είναι ρίζα βαθμού ποαπότητας κ της f. Το αντίστροφο τώρα: αν συμβαίνει κ f ( x ( x g( x με g( 0 τότε παραγωγίζοντας την f παίρνουμε f x x g x x g κ κ ( κ( ( ( ( x ( x [ κ g( x ( x g ( x ( x κ h( x όπου βάαμε
( h x κ gx ( ( x g ( x. Είναι h( κ g( 0. Με άα όγια έχουμε κ f ( x ( x h( x και h( 0 δηαδή το ρ είναι ρίζα βαθμού ποαπότητας κ- της f ( x. Συνεχίζοντας με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε ότι το ρ είναι ρίζα ποαπότητας κ- της f ( x, κ.ο.κ. το ρ είναι ρίζα ποαπότητας της f κ ( x ενώ f κ ( ρ 0 όπως το θέαμε. Βαθμό ποαπότητας, γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε το βαθμό ποαπότητας μιας ρίζας για μια τυχαία συνάρτηση. Θα έμε ότι μια τυχαία συνάρτηση έχει ρίζα x 0, βαθμού ποαπότητας k αν και μόνο αν : f( x 0 0 f ( x 0 f 0 ( k ( x 0 0 και ( k f x0 ( 0
4. «Τριγωνομετρία Πινάκων» 4. Αριθμητική παρεμβοή ΟΡΙΣΜΟΣ Αν [ a A είναι ένας πίνακας τότε ορίζουμε: [ Sin A [ Cos A [ Tan A [ Cot A Sin[ a Cos[ a Tan[ a Cot [ a με την προϋπόθεση ότι ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Αν ο αριθμός α είναι μιγαδικός με a x yi και x, y R τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α ορίζονται από τις σχέσεις: Sin[ a Cosh[ y Sin[ x Cos[ x Sinh[ y i Cos[ a Cos[ x Cosh[ y Sin[ x Sinh[ y i Tan a Cot a Sin x Sinh[ y i Cos[ x Cosh[ y Cos[ x Cosh[ y Sin x Sinh[ y i Cos[ x Cosh[ y Cos[ x Cosh[ y όπου οι υπερβοικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί ορίζονται ως εξής: e Sinh[ x x e x
e Cosh[ x e Tanh[ x e e Coth[ x e x x x x x e e e e e x x x x x 4...Ορισμός πίνακα x Έστω A α β γ δ ένας x πίνακας. Ονομάζεται χαρακτηριστικό πουώνυμο του πίνακα αυτού το πουώνυμο: α x β c x x a x γ δ x ( ( δ ( αδ βγ Συμβοίζω με, τις ρίζες του πουωνύμου αυτού, οι οποίες έγονται ιδιοτιμές του πίνακα Α. Ορισμός του πίνακα Sin[ A ιακρίνω τις περιπτώσεις: η περίπτωση: Ο πίνακας Α έχει δύο άνισες ιδιοτιμές,. εδομένα αριθμητικής παρεμβοής : (, Sin[,(, Sin[ Πουώνυμο παρεμβοής : Sin[ Sin[ Sin[ Sin[ x ( x
Ορίζω ως Sin[ A ( A δηαδή : Sin[ Sin[ Sin[ Sin[ Sin[ A A I και μετά τις πράξεις έχουμε : Sin[ A ( a Sin[ ( a Sin[ β( Sin[ Sin[ γ ( Sin[ Sin[ ( δ Sin[ ( δ Sin[ η περίπτωση: Ο πίνακας Α έχει δύο ίσες ιδιοτιμές,. εδομένα αριθμητικής παρεμβοής : (,{ Sin[, Cos[ } δηαδή αναζητώ το πρωτοβάθμιο πουώνυμο με τις ιδιότητες: ( Sin[ και ( Cos[ Πουώνυμο παρεμβοής : x Cos x Sin Cos ( [ [ [. Ορίζω ως Sin[ A ( A δηαδή Sin[ A Cos A ( Sin Cos I και μετά τις πράξεις έχουμε :
Sin[ A acos[ Sin[ Cos[ βcos[ γ δ Cos[ Cos[ Sin[ Cos[ Όμοια αν ο πίνακας Α έχει δύο άνισες ιδιοτιμές είναι: Cos[ A ( a Cos[ ( a Cos[ β( Cos[ Cos[ γ ( Cos[ Cos[ ( δ Cos[ ( δ Cos[ και αν έχει δύο ίσες ιδιοτιμές είναι : Cos[ A asin[ Cos[ Sin[ βsin[ γ Sin[ δsin[ Cos[ Sin[ Όμοια αν ο πίνακας έχει δύο άνισες ιδιοτιμές είναι: Tan[ A ( a Tan[ ( a Tan[ β( Tan[ Tan[ γ ( Tan[ Tan[ ( δ Tan[ ( δ Tan[ και αν έχει δύο ίσες ιδιοτιμές είναι : a( Tan [ Tan[ ( Tan [ β( Tan [ Tan[ A γ( Tan [ δ( Tan [ Tan[ ( Tan [
Τέος αν ο πίνακας Α έχει δύο άνισες ιδιοτιμές είναι : Cot[ A ( a Cot[ ( a Cot[ β( Cot[ Cot[ γ ( Cot[ Cot[ ( δ Cot[ ( δ Cot[ Ενώ αν έχει δύο ίσες ιδιοτιμές είναι: a( Cot [ Cot[ ( Cot [ β( Cot [ Cot[ A γ( Cot [ δ( Cot [ Cot[ ( Cot [ 4... Ορισμός πίνακα a a a Έστω A a a a a a a ένας πουώνυμο του πίνακα αυτού το πουώνυμο: πίνακας. Ονομάζεται χαρακτηριστικό ( x Det( A xi Συμβοίζω με,, τις ρίζες του πουωνύμου αυτού, οι οποίες έγονται ιδιοτιμές του πίνακα Α. Ορισμός του Sin[ A ιακρίνω τις περιπτώσεις : η περίπτωση:
Ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, διαφορετικές ανά δυο. εδομένα αριθμητικής παρεμβοής (, Sin[,(, Sin[,(, Sin[ Πουώνυμο παρεμβοής Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Newton ή μέθοδο ιαιρεμένων ιαφορών (.4 βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x : Newton X ι F[X i FX,X [ i i F[ X i,x i,x i X 0 Sin[ F[X 0,X X Sin[ F[X 0,X,X F[X,X X Sin[ F x F x0 Sin Sin F x0, x x x 0 F x F x Sin Sin F x, x x x
[ [ [ [ Sin Sin Sin Sin F x, x F[ x0, x F x0, x, x x x 0 [( a aa a a ( a( ( Sin[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( n[ ( ( ( [( a a a a a a ( Sin [( a a a a a a ( Si Το πουώνυμο παρεμβοής προκύπτει από τον τύπο: ( [, ( [,, ( ( x F x F x x x x F x x x x x x x 0 0 0 0 0 Sin[ Sin [ Sin[ ( x ( ( ( Sin[ Sin[ ( ( Sin[ Sin [ ( x ( ( ( ( x Μετά από πράξεις έχουμε: x ( ( Sin[ ( Sin[ ( Sin[ ( ( ( ( Sin[ ( Sin[ ( Sin[ x ( ( ( ( Sin ( Sin ( Sin ( ( ( x
Ορίζω ως Sin[ A ( A Sin A δηαδή : ( Sin[ ( Sin[ ( Sin[ ( ( ( A ( Sin[ ( Sin[ ( Sin[ A ( ( ( ( Sin[ ( Sin[ ( Sin[ ( ( ( I και μετά από πράξεις έχουμε: όπου: Sin A ( [ ( ( ( [( a aa aa a ( ( Sin ( ( [ ( ( ( [( a a a a a a ( Sin ( ( [ ( ( ( [( a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin
( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin
( [ ( ( ( [( aa a aa a( ( Sin ( [ ( ( ( [( a a a a a a ( ( Sin ( [ ( ( ( [( a a a a a a ( ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin ( [ ( ( ( [( aa aa a a( ( Sin ( [ ( ( ( [( a a a a a a ( ( Sin
( [ ( ( ( [( a a a a a a ( ( Sin Όμοια αν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, διαφορετικές ανά δυο είναι: όπου: Cos A [( a aa aa ( a( ( Cos[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( os[ ( ( ( [( a a a a a a ( Cos [( a a a a a a ( C ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos aa a aa ( a Cos[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cos[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cos [( a a a a a a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos aa aa a ( a Cos[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cos[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cos [( a a a a a a ( ( Όμοια αν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, διαφορετικές ανά δυο είναι: όπου: Tan A [( a aa aa ( a ( ( Tan[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( n[ ( ( ( [( a a a a a a ( Tan [( a a a a a a ( Ta
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan
aa a aa ( a Tan[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Tan[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Tan [( a a a a a a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan aa aa a ( a Tan[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Tan[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Tan [( a a a a a a ( ( Όμοια αν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, διαφορετικές ανά δυο είναι:
Cot A όπου: [( a aa aa ( a ( ( Cot[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( t [ ( ( ( [( a a a a a a ( Cot [( a a a a a a ( Co ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot aa a aa ( a Cot[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cot[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cot [( a a a a a a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot aa aa a ( a Cot[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cot [ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cot [( a a a a a a ( ( η περίπτωση: Ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου. εδομένα αριθμητικής παρεμβοής {{,{ Sin[, Cos[ }},{, Sin[ }} Πουώνυμο παρεμβοής με τις ιδιότητες : ( Sin[, ( Cos[. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Hermite βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x :
Hermite X F [ X i i F X, X F [X i, X i,x i i i X 0 Sin[ F [ X 0, X X Sin[ F [ X 0, X, X F [ X, X X Sin[ όπου: F[ x F x F x, x '( x '( Cos [ 0 0 0 x x0 [, F x x [,, F x F x Sin Sin x x [, [, [ [ F x x F x x Sin Sin F x x x Cos [ [ ( [ [ 0 0 x x Sin Sin Cos ( Το πουώνυμο παρεμβοής προκύπτει από τον τύπο: ( x F[ x F[ x, x ( x x F[ x, x, x ( x x ( x x 0 0 0 0 0 [ [ ( [ Sin Sin Cos Sin[ Cos[ ( x ( x ( Μετά από πράξεις έχουμε:
[ [ ( [ Sin Sin Cos ( x x ( Sin Sin ( Cos ( x ( Sin Sin ( Cos ( Ορίζω Sin[ A ( A δηαδή: [ [ ( [ Sin Sin Cos Sin A A ( Sin Sin ( Cos ( A ( Sin Sin ( Cos ( I και μετά από πράξεις έχουμε: όπου: Sin A [ ( a α α α α α ( Sin ( [( a α α α α α Sin ( a Cos [ ( α α α α α ( (
[ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( [ ( a α α α α α ( Sin ( [( a α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α ( Cos (
[ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( [ ( a α α α α α ( Sin ( [( a α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α ( Cos ( Όμοια αν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου έχουμε:
Cos A όπου: [ ( a α α α α α ( Cos ( [( a α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α ( Sin ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin (
[ ( a α α α α α ( Cos ( [( a α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α ( Sin ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin (
[ ( a α α α α α ( Cos ( [( a α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α ( Sin ( Όμοια αν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου έχουμε: όπου: Tan A [ ( a α α α α α ( Tan ( [( a α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α ( ( Tan ( [ ( a α α α α α α Tan ( [( a α α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α α ( ( Tan ( [ ( a α α α α α α Tan ( [( a α α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α α ( ( Tan (
[ ( a α α α α α α Tan ( [( a α α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α α ( ( Tan ( [ ( a α α α α α ( Tan ( [( a α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α ( ( Tan ( [ ( a α α α α α α Tan ( [( a α α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α α ( ( Tan ( [ ( a α α α α α α Tan ( [( a α α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α α ( ( Tan ( [ ( a α α α α α α Tan ( [( a α α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α α ( ( Tan (
[ ( a α α α α α ( Tan ( [( a α α α α α Tan ( [ ( a α α α α α ( ( Tan ( Όμοια αν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου έχουμε: όπου: Cot A [ ( a α α α α α ( Cot ( [( a α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α ( ( Cot ( [ ( a α α α α α α Cot ( [( a α α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α α ( ( Cot ( [ ( a α α α α α α Cot ( [( a α α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α α ( ( Cot (
[ ( a α α α α α α Cot ( [( a α α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α α ( ( Cot ( [ ( a α α α α α ( Cot ( [( a α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α ( ( Cot ( [ ( a α α α α α α Cot ( [( a α α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α α ( ( Cot ( [ ( a α α α α α α Cot ( [( a α α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α α ( ( Cot (
[ ( a α α α α α α Cot ( [( a α α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α α ( ( Cot ( [ ( a α α α α α ( Cot ( [( a α α α α α Cot ( [ ( a α α α α α ( ( Cot ( η περίπτωση: Ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου. εδομένα αριθμητικής παρεμβοής {,{ Sin[, Cos[, Sin[ }} Πουώνυμο παρεμβοής με τις ιδιότητες : ( Sin, ( Cos, ( Sin Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Hermite βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x :
Hermite X i F [ X i F [ X i, X i F [ X i, X i, X i X 0 Sin[ Cos[ X Sin[ - Sin[ X Sin[ Cos[ [, '( F x x x Cos 0 0 [, '( F x x x Cos 0 [,, ''( ''( [ F x x x x Sin 0 0 Το πουώνυμο παρεμβοής προκύπτει από τον τύπο: ( x F[ x F[ x, x ( x x F[ x, x, x ( x x ( x x 0 0 0 0 0 Sin Cos ( x Sin ( x ( x x Sin Cos Cos x Sin Sin x Sin [ [ [ [ [ [ [ [ ( x Sin x [ Cos Sin x x ( Sin Cos Ορίζω Sin[ A ( A δηαδή: ( [ [ [ [ ( [ [ Sin A A Sin A Sin Cos A Sin Cos I και μετά από πράξεις έχουμε:
Sin A όπου: [ ( a α α α α [ α ( Sin ( α Cos [ ( a α α α α α α Sin α Cos [ ( a α α α α α α Sin α Cos [ ( a α α α α α α Sin α Cos [ ( a α α α α α α Sin α Cos [ ( a α α α α [ α ( Sin ( α Cos [ ( a α α α α α α Sin α Cos [ ( a α α α α α α Sin α Cos [ ( a α α α α [ ( α Sin ( α Cos Όμοια όταν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου έχουμε: όπου: Cos A [ ( a α α α α [ α ( Cos ( α Sin [ ( a α α α α α α Cos α Sin
[ ( a α α α α α α Cos α Sin [ ( a α α α α α α Cos α Sin [ ( a α α α α α α Cos α Sin [ ( a α α α α [ α ( Cos ( α Sin [ ( a α α α α α α Cos α Sin [ ( a α α α α α α Cos α Sin [ ( a α α α α [ ( α Cos ( α Sin Όμοια όταν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου έχουμε: όπου: Tan Tan A [( a α α α α α [ Tan ( Tan ( α ( Tan [( a α α α α α α [ Tan ( Tan α ( Tan [( a α α α α α α [ Tan ( Tan α ( Tan [( a α α α α α α [ Tan ( Tan α ( Tan [( a α α α α α α [ Tan ( Tan α ( Tan Tan [( a α α α α [ α [ Tan ( Tan ( α ( Tan [( a α α α α α α [ Tan ( Tan α ( Tan
[( a α α α α α α [ Tan ( Tan α ( Tan Tan [( a α α α α [ α [ Tan ( Tan ( α ( Tan Όμοια όταν ο πίνακας Α έχει τρείς ιδιοτιμές,, όπου έχουμε: όπου: Cot Cot A [( a α α α α α [ Cot ( Cot ( α ( Cot [( a α α α α α α [ Cot ( Cot α ( Cot [( a α α α α α α [ Cot ( Cot α ( Cot [( a α α α α α α [ Cot ( Cot α ( Cot [( a α α α α α α [ Cot ( Cot α ( Cot Cot [( a α α α α [ α [ Cot ( Cot ( α ( Cot [( a α α α α α α [ Cot ( Cot α ( Cot [( a α α α α α α [ Cot ( Cot α ( Cot Cot [( a α α α α [ α [ Cot ( Cot ( α ( Cot
4... Ορισμός Πίνακα ν ν Έστω a a n A a a n nn ένας πουώνυμο του πίνακα αυτού το πουώνυμο: n nπίνακας. Ονομάζεται χαρακτηριστικό Συμβοίζω με,,..., n ιδιοτιμές του πίνακα Α. x ( DetA ( xi n τις ρίζες του πουωνύμου αυτού, οι οποίες έγονται Ορισμός του πίνακα Sin[ A ιακρίνω τις περιπτώσεις: η περίπτωση: Ο πίνακας Α έχει n άνισες ιδιοτιμές βαθμού ποαπότητας.,,..., n. Όες οι ιδιοτιμές του να είναι απού εδομένα αριθμητικής παρεμβοής : (, Sin[,(, Sin[,...,(, Sin n n Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Newton ή μέθοδο ιαιρεμένων ιαφορών (.4 βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x.. Ορίζω ως Sin[ A ( A Αντίστοιχα ορίζω :
Τον πίνακα Cos[ A με δεδομένα αριθμητικής παρεμβοής : (, Cos[,(, Cos[,...,(, Cos n Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Newton ή μέθοδο ιαιρεμένων ιαφορών (.4 βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x. Cos A ( A Ορίζω ως. n Τον πίνακα Tan[ A με δεδομένα αριθμητικής παρεμβοής : (, Tan[,(, Tan[,...,(, Tan n Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Newton ή μέθοδο ιαιρεμένων ιαφορών (.4 βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x. n Ορίζω ως Tan A ( A. Και τέος τον πίνακα Cot[ A με δεδομένα αριθμητικής παρεμβοής : (, Cot[,(, Cot[,...,(, Cot n Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Newton ή μέθοδο ιαιρεμένων ιαφορών (.4 βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x. Ορίζω ως Cot[ A ( A. n η περίπτωση: Ο πίνακας Α έχει ιδιοτιμές με βαθμό ποαπότητας.
εδομένα αριθμητικής παρεμβοής με τις ιδιότητες : x ( και την ( x όταν έχω ρίζα βαθμού ποαπότητας. x (, την ( x και την ( x, όταν έχω ρίζα βαθμού ποαπότητας. x, ( ( n ( x μέχρι και ( x, όταν έχω ρίζα βαθμού ποαπότητας n. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο των ιαιρεμένων ιαφορών Hermite (.5 βρίσκω το πουώνυμο παρεμβοής ( x. Ανάογα με τη συνάρτηση την οποία έχω (Sin, Cos, Tan, Cot oρίζω ως ( A Sin A Cos A Tan A Cot A ( A ( A ( A 4. Με δυναμοσειρές Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση Sin[x αναπτύσσεται στη δυναμοσειρά: 5 7 k x x x k x Sin[ x x... (! 5! 7! (k! k για κάθε x R. Αν Α είναι ένας nxn πίνακας, ορίζω ως Sin[A το :
5 7 9 A A A A A Sin[ A A...! 5! 7! 9!! Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα του ου μέους υπάρχει πάντα. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση Cos [x αναπτύσσεται στη δυναμοσειρά: 4 6 k x x x k x Cos[ x... (! 4! 6! ( k! k για κάθε x R. Αν Α είναι ένας nxn πίνακας, ορίζω ως Cos[A το : 4 6 8 0 A A A A A Cos[ A...! 4! 6! 8! 0! Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα του ου μέους υπάρχει πάντα. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση Tan[x αναπτύσσεται στη δυναμοσειρά: 5 7 k k x x 7x Bk ( Tan[ x x... x 5 5 ( k! k k π π για κάθε x,. Αν Α είναι ένας nxn πίνακας, ορίζω ως Tan[A το : 5 7 k k A A 7A Bk ( Tan[ A A... A 5 5 ( k! k k Το άθροισμα του ου μέους υπάρχει υπό προϋποθέσεις. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση Cot[x αναπτύσσεται στη δυναμοσειρά: 5 k x x x Bk Cot[ x... x x 45 945 ( k! k k
για κάθε x (0, π. Αν Α είναι ένας nxn πίνακας, ορίζω ως Cot[A το : A A A B Cot[ A A... A 45 945 ( k! 5 k k k k Το άθροισμα του ου μέους υπάρχει υπό προϋποθέσεις. Όπου B n είναι οι αριθμοί του Bernoulli και είναι: B ( n!... π 4 n n n n n n ή προσεγγιστικά B n n 4 π e n π n 4. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Sin [ A Cos [ A I Sin[ A TanA SinACosA Cos[ A Cos[ A Cot[ A Cos[ A Sin[ A Sin[ A I Tan [ A ( Cos [ A Cos [ A I Cot [ A ( Sin [ A Sin [ A Ταυτότητες που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς της «γωνίας» Α Sin[ A Sin[ A Cos[ A
Cos A Cos A Sin A Tan[ A Tan[ A I Tan [ A Cot [ A I Cot[ A Cot[ A Ταυτότητες που αναφέρονται στους τριγωνομετρικούς αριθμούς του αθροίσματος ΑΒ, αν και μόνο αν ABBA : Sin[ A B Sin[ A Cos[ B Cos[ A Sin[ B Cos[ A B Cos[ A Cos[ B Sin[ A Sin[ B Tan[ A Tan[ B Tan[ A B I Tan[ A Tan[ B Cot[ A Cot[ B I Cot[ A B Cot[ A Cot[ B 4.4 Παραδείγματα ο παράδειγμα: Έχουμε τον πίνακα και με: π π π 6 π 5π π A 6 π π π 6 6 6, με ιδιοτιμές π, π, π 4 6
A π 5π 5π 6 44 44 π 7π 5π 48 44 π π π 6 Βρίσκουμε το αποδείξαμε. Sin A κάνοντας χρήση των τύπων που [( a aa aa ( a ( ( Sin[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( n[ ( ( ( [( a a a a a a ( Sin [( a a a a a a ( Si π π π π ( ( ( ( Sin 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Sin 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π π ( ( ( ( Sin[ 6 4 6 6 9 4 6 ( π π ( π π ( π π
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin π ( ( ( Sin 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Sin 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Sin 4 6 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin π ( ( ( Sin 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Sin 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Sin 4 6 6 9 6 ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin 5π ( ( ( ( Sin 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Sin 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Sin 44 4 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin 5π ( ( ( ( Sin 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Sin 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Sin 44 4 6 9 6 ( ( (
aa a aa ( a Sin[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Sin[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Sin [( a a a a a a ( ( π π π π 7 5 ( ( ( ( Sin 48 6 4 6 6 4 6 4 ( ( ( 7π π π 5 π π ( ( ( ( Sin 48 6 6 9 6 6 4 ( ( ( 7π π π 5 π ( ( ( ( Sin 48 4 6 9 4 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin 5π ( ( ( ( Sin 4 4 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Sin 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Sin 44 4 6 9 6 ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin [( a a a a a a a ( Sin π ( ( ( Sin 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Sin 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Sin 4 6 6 9 6 ( ( ( ( aa aa a ( a Sin[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Sin[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Sin [( a a a a a a ( ( π π π π ( ( ( ( Sin 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Sin 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π ( ( ( ( Sin[ π 6 4 6 6 9 4 6 ( ( (
Το αποτέεσμά είναι ο πίνακας: Sin[ A ( ( ( ( Βρίσκουμε το αποδείξαμε. Cos A κάνοντας χρήση των τύπων που [( a aa aa ( a ( ( Cos[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( s[ ( ( ( [( a a a a a a ( Cos [( a a a a a a ( Co π π π π ( ( ( ( Cos 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Cos 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π π ( ( ( ( Cos[ 6 4 6 6 9 4 6 ( π π ( π π ( π π
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos π ( ( ( Cos 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Cos 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Cos 4 6 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos π ( ( ( Cos 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Cos 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Cos 4 6 6 9 6 ( ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos 5π ( ( ( ( Cos 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cos 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cos 44 4 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos 5π ( ( ( ( Cos 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cos 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cos 44 4 6 9 6 ( ( ( (
aa a aa ( a Cos[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cos[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cos [( a a a a a a ( ( π π π π 7 5 ( ( ( ( Cos 48 6 4 6 6 4 6 4 ( ( ( 7π π π 5 π π ( ( ( ( Cos 48 6 6 9 6 6 4 ( ( ( 7π π π 5π π π π ( ( ( ( π Cos 48 4 6 9 4 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos 5π ( ( ( ( Cos 4 4 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cos 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cos 44 4 6 9 6 ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos [( a a a a a a a ( Cos π ( ( ( Cos 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Cos 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Cos 4 6 6 9 6 ( ( ( ( aa aa a ( a Cos[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cos[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cos [( a a a a a a ( ( π π π π ( ( ( ( Cos 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Cos 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π ( ( ( ( Cos[ π 6 4 6 6 9 4 6 ( ( (
Το αποτέεσμά είναι ο πίνακας: ( ( Cos[ A ( ( ( ( Βρίσκουμε τον πίνακα τύπων που αποδείξαμε. Tan A κάνοντας χρήση των [( a aa aa ( a ( ( Tan[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( n[ ( ( ( [( a a a a a a ( Tan [( a a a a a a ( Ta π π π π ( ( ( ( Tan 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Tan 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π π ( ( ( ( Tan[ 6 4 6 6 9 4 6 ( π π ( π π ( π π
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan π ( ( ( Tan 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Tan 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Tan 4 6 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan π ( ( ( Tan 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Tan 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Tan 4 6 6 9 6 ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan 5π ( ( ( ( Tan 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Tan 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Tan 44 4 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan 5π ( ( ( ( Tan 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Tan 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Tan 44 4 6 9 6 ( ( (
aa a aa ( a Tan[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Tan[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Tan [( a a a a a a ( ( π π π π 7 5 ( ( ( ( Tan 48 6 4 6 6 4 6 4 ( ( ( 7π π π 5 π π ( ( ( ( Tan 48 6 6 9 6 6 4 ( ( ( 7π π π 5π π π π ( ( ( ( π π Tan[ π 48 4 6 9 4 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan 5π ( ( ( ( Tan 4 4 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Tan 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Tan 44 4 6 9 6 ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan [( a a a a a a a ( Tan π ( ( ( Tan 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Tan 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Tan 4 6 6 9 6 ( ( ( aa aa a ( a Tan[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Tan[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Tan [( a a a a a a ( ( π π π π ( ( ( ( Tan 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Tan 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π ( ( ( ( Tan[ π 6 4 6 6 9 4 6 ( ( (
Το αποτέεσμά είναι ο πίνακας: Tan[ A Τέος ο πίνακας που αποδείξαμε είναι: Cot A, κάνοντας χρήση των τύπων [( a aa aa ( a ( ( Cot[ ( ( ( ( ( [ ( ( ( ( ( t [ ( ( ( [( a a a a a a ( Cot [( a a a a a a ( Co π π π π ( ( ( ( Cot 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Cot 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π π ( ( ( ( Cot[ 6 4 6 6 9 4 6 ( π π ( π π ( π π
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot π ( ( ( Cot 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Cot 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Cot 4 6 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot π ( ( ( Cot 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Cot 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Cot 4 6 6 9 6 ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot 5π ( ( ( ( Cot 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cot 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cot 44 4 6 9 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot 5π ( ( ( ( Cot 44 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cot 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cot 44 4 6 9 6 ( ( (
aa a aa ( a Cot[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cot[ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cot [( a a a a a a ( ( π π π π 7 5 ( ( ( ( Cot 48 6 4 6 6 4 6 4 ( ( ( 7π π π 5 π π ( ( ( ( Cot 48 6 6 9 6 6 4 ( ( ( 7π π π 5 π ( ( ( ( Cot 48 4 6 9 4 6 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot 5π ( ( ( ( Cot 4 4 6 4 6 6 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cot 44 6 6 9 4 ( ( ( 5 π ( ( ( ( Cot 44 4 6 9 6 ( ( (
( ( ( ( ( ( ( ( ( [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot [( a a a a a a a ( Cot π ( ( ( Cot 6 4 6 6 6 ( ( ( π ( ( ( Cot 6 6 6 9 4 ( ( ( π ( ( ( Cot 4 6 6 9 6 ( ( ( aa aa a ( a Cot[ ( ( ( ( [ ( ( ( ( Cot [ ( ( ( [( ( ( [( a a a a a a ( ( Cot [( a a a a a a ( ( π π π π ( ( ( ( Cot 6 6 4 6 6 6 4 6 4 ( ( ( π π π π π ( ( ( ( Cot 6 6 6 6 9 6 6 4 ( ( ( π π π ( ( ( ( Cot[ π 6 4 6 6 9 4 6 ( ( (
Το αποτέεσμά είναι ο πίνακας: Cot[ A ο παράδειγμα: Έχουμε τον πίνακα 4π π π 5π π A π π π, με ιδιοτιμές,, 0 0π 4π π και με: A 4π π π 9 9 9 5π π π 9 9 0π 4π π 9 9 Βρίσκουμε το αποδείξαμε. Sin A κάνοντας χρήση των τύπων που
[ ( a αα αα α ( Sin ( [( a αα αα α Sin ( [ ( a αα αα α( Cos ( 4π π 4π π 4π π 4π π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( 4π 4π π π [ ( ( ( Cos 9 π ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( 5π π 5π π 5π π 5π π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( 5π 5π π π [ ( ( ( Cos 9 5 π (
[( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α ( Cos ( 0π π 0π π 0π π 0π π [( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( 0π 0π π π [ ( ( ( Cos 9 5 π ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( π π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( π π π π [ ( ( ( Cos 9 π (
[ ( a α α α α α ( Sin ( [( a α α α α α Sin ( [ ( aα α αα α( Cos ( [ ( π Sin [ π Sin[0 9 π π ( ( π π π [ ( π ( Cos π ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( 4π π 4π π 4π π 4π π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( 4π 4π π π [ ( ( ( Cos 9 π (
[ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( π π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( π π π π [ ( ( ( Cos 9 π ( [ ( a α α α α α α Sin ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( π π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 9 π π ( ( π π π π [ ( ( ( Cos 9 π (
[ ( a α α α α α ( Sin ( [( a α α α α α Sin ( [ ( aα α αα α( Cos ( π π π π π π [ ( ( π Sin [ ( π Sin[0 9 π π ( ( π π π [ ( ( ( π Cos π ( Το αποτέεσμά είναι ο πίνακας: 5 Sin[ A 5 Βρίσκουμε το αποδείξαμε. Cos A κάνοντας χρήση των τύπων που
[ ( a αα αα α ( Cos ( [( a αα αα α Cos ( [ ( a αα αα α( Sin ( 4π π 4π π 4π π 4π π [ ( ( Cos [ ( Cos[0 9 9 9 π π ( ( 4π 4π π π [ ( ( ( Sin 9 π ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( 5π π 5π π 5π π 5π [ ( ( Cos [ ( Cos[0 9 9 π π ( ( 5π 5π π π [ ( ( ( Sin 9 5 π (
[ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( 0π π 0π π 0π π 0π [ ( ( Cos [ ( Cos[0 9 9 π π ( ( 0π 0π π π [ ( ( ( Sin 9 5 π ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( π [ ( ( Cos [ ( Cos[0 9 9 π π ( ( π π π π [ ( ( ( Sin 9 π (
[ ( a α α α α α ( Cos ( [( a α α α α α Cos ( [ ( aα α αα α( Sin ( [ ( π Cos [ π Cos[0 9 π π ( ( π π π [ ( π( Sin π ( [ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( 4π π 4π π 4π π 4π [ ( ( Cos [ ( Cos[0 9 9 π π ( ( 4π 4π π π [ ( ( ( Sin 9 π (
[ ( a α α α α α α Cos ( [( a α α α α α α Cos ( [ ( a α α α α α α ( Sin ( π [ ( ( Cos [ ( Cos[0 9 9 π π ( ( π π π π [ ( ( ( Sin 9 π ( [ ( a α α α α α α SIn ( [( a α α α α α α Sin ( [ ( a α α α α α α ( Cos ( π [ ( ( Sin [ ( Sin[0 9 9 π π ( ( π π π π [ ( ( ( Cos 9 π (