Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες του θεωρήματος μέσης τιμής και μονοτονίας συνάρτησης. 4
Περιεχόμενα ενότητας Θεώρημα μέσης τιμής. Μονοτονία συνάρτησης. 5
Θεώρημα του Rolle (1) Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή στο κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b). Εάν f(a) = f(b), τότε υπάρχει c στο διάστημα (a, b) τέτοιο ώστε f c = 0. H παράγωγος αποτελεί εφαπτομένη της συνάρτησης f, δηλαδή δείχνει την κλίση της συνάρτησης, η οποία όταν πάρει την τιμή μηδέν σε συγκεκριμένο σημείο παριστάνεται με παράλληλη ευθεία προς τον άξονα x 6
Θεώρημα του Rolle (2) 7
Θεώρημα μέσης τιμής (1) Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x = c στο διάστημα (a, b) για το οποίο να ισχύει: f c = f b f(a) b a Η f c είναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο c, ενώ η f b f(a) b a είναι η κλίση (εφαπτομένη) της χορδής που ενώνει τα σημεία (a, f(a)) και (b, f(b)) Χορδή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία μιας καμπύλης. Η κλίση της χορδής παριστάνει τον μέσο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο διάστημα ab. 8
Θεώρημα μέσης τιμής (2) 9
Θεώρημα μέσης τιμής (3) Υποθέτοντας ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα Δ και με βάση το Θεώρημα Μέσης Τιμής, προκύπτουν τα ακόλουθα πορίσματα: f x = 0 σε κάθε σημείο στο διάστημα Δ, εάν και μόνο αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο Δ. Εάν f x = g x για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η συναρτήσεις f και g διαφέρουν το πολύ κατά μια σταθερά c, δηλαδή f x = g x + c, c R, για κάθε x Δ. Εάν f x > 0 για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η f είναι αύξουσα στο διάστημα Δ. Εάν f x < 0 για κάθε x (σημείο) στο διάστημα Δ, τότε η f είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ. 10
Παράδειγμα 1 (1) Έστω η συνάρτηση f x = x 2 2x στο διάστημα [ 10, 10]. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος Rolle. 11
Παράδειγμα 1 (2) Λύση: Συνθήκες για την εφαρμογή του θεωρήματος Rolle είναι η συνέχεια και διαφορισιμότητα της συνάρτησης f. Πράγματι, η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. Επιπλέον, προϋπόθεση αποτελεί η ισότητα f( 10) = f(10). Όμως, f 10 = ( 10) 2 2 10 = 100 + 20 = 120 f 10 = (10) 2 2 10 = 100 20 = 80 Επομένως, f 10 f 10 Παρόλα αυτά, η συνάρτηση f x = 2x 2 έχει ρίζα στο διάστημα [ 10, 10], καθώς f c = 2c 2 = 0 c = 1. Συνεπώς, οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle είναι αναγκαίες και όχι ικανές. 12
Μονοτονία συνάρτησης (1) Ορισμός 1: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 < f x 2 Το γράφημα της παραπάνω συνάρτησης είναι γραμμή ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 13
Μονοτονία συνάρτησης (2) 14
Μονοτονία συνάρτησης (3) Ορισμός 2: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 > f x 2 Το γράφημα της παραπάνω συνάρτησης είναι γραμμή κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 15
Μονοτονία συνάρτησης (4) 16
Μονοτονία συνάρτησης (5) Ορισμός 3: Μια συνάρτηση f ορίζεται αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 f x 2 Ορισμός 4: Μια συνάρτηση f ορίζεται φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 f x 2 17
Μονοτονία συνάρτησης (6) Ορισμός 5: Μια συνάρτηση f ορίζεται σταθερή σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της εάν για κάθε x 1, x 2 του εν λόγω διαστήματος ισχύει: x 1 < x 2 τότε f x 1 = f x 2 Ορισμός 6: Μια συνάρτηση f ορίζεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, αντίστοιχα ονομάζεται μονότονη όταν είναι αύξουσα ή φθίνουσα. 18
Θεώρημα 1 (1) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα A = [a, b] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, b), τότε αν f x > 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι αύξουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x < 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. 19
Θεώρημα 1 (2) αν f x 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο εν λόγω διάστημα. αν f x = 0 για κάθε σημείο του διαστήματος (a, b), η συνάρτηση είναι σταθερή στο εν λόγω διάστημα. Σημειώνεται ότι το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Για παράδειγμα, αν διαπιστώσουμε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση f αυτό δεν σημαίνει ότι η παράγωγος συνάρτηση θα είναι υποχρεωτικά μεγαλύτερη του μηδενός, δηλαδή f x > 0. 20
Παράδειγμα 2 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = 2x 21
Παράδειγμα 2 (2) Λύση: Η συνάρτηση f, ως πολυωνυμική, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f είναι: f x = 2x = 2 > 0 η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Στο παρακάτω γράφημα της συνάρτησης, φαίνεται ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα, καθώς η γραμμή της συνάρτησης είναι ανοδική από τα αριστερά προς τα δεξιά. 22
Παράδειγμα 2 (3) 23
Παράδειγμα 3 (1) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f x = 4x 3 x 2 x + 1 24
Παράδειγμα 3 (2) Λύση: Η συνάρτηση f, ως πολυωνυμική, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f είναι: f x = 12x 2 x 1 f x = 0 12x 2 x 1 = 0 Η διακρίνουσα της εξίσωσης 12x 2 2x 1 = 0 είναι Δ = β 2 4αγ = ( 2) 2 4 12 ( 1) = 52 και οι ρίζες της εξίσωσης είναι 25
Παράδειγμα 3 (3) x 1,2 = β ± β2 4aγ 2 ± 52 x 2a 1,2 = 2 12 2 + 52 x 1 = x 24 1 = 2 + 52 24 2 52 x 2 = x 24 2 = 2 52 x 1 = 0,384 x 2 = 0,217 24 Στον παρακάτω πίνακα προσήμων ξεκινάμε με το πρόσημο + διότι το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου όρου (12x 2 ) στην εξίσωση 12x 2 2x 1 = 0 είναι θετικό. 26
Παράδειγμα 3 (4) x 0,217 0,384 + f + + f Η μονοτονία της συνάρτησης είναι: γνησίως αύξουσα από (, 0,217), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, γνησίως φθίνουσα από ( 0,217, 0,384), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι κατερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά και γνησίως αύξουσα από (0,384, + ), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι πάλι ανοδική από τα αριστερά προς τα δεξιά. 27
Παράδειγμα 3 (5) 28
Παράδειγμα 4 (1) Λύση: To πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Α = R {1}, καθώς ο παρονομαστής θα πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή x 1. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι: Παραγωγος αθροισματος f 1 x = ( x 1 + x) = ((x 1) 1 +x) = ( x 1 1 ) +x Παραγωγος σύνθετης συναρτησης (u 1 ) = 1u 1 1 u = 1 x 1 1 1 x 1 + 1 = = x 1 2 1 1 + 1 = (x 1) 2 + 1 = 29
Παράδειγμα 4 (2) Εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν: f x = 0 1 x 1 2 + 1 = 0 1 x 1 2 = 1 1 x 1 2 = 1 x 1 2 = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x = 2 x = 0 30
Παράδειγμα 4 (3) x 0 2 + f + + f Στον πίνακα προσήμων ξεκινάμε με το πρόσημο + διότι το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου όρου (x 2 ) στην εξίσωση (x 1) 2 = 1 (x 1) 2 1 = 0 = f x είναι θετικό. Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι η μονοτονία της συνάρτησης είναι: γνησίως αύξουσα από (, 0), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι ανερχόμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά. 31
Παράδειγμα 4 (4) Λύση: To πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλο το R. Η συνάρτηση F είναι σύνθετη συνάρτηση και συνεπώς η παράγωγός της θα στηριχθεί στον κανόνα: F x = fog (x) και F x = f g x g (x) 1 ος τρόπος: Έστω F x = fog x = e x2 2x Θέτουμε όπου u = g x Συνεπώς, F(x) = f(g(x)) = x 2 2x και f(u) = e u 32
Παράδειγμα 4 (5) x 0 2 + f + + f γνησίως φθίνουσα από (0, 2), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι κατερχόμενη ααπό τα αριστερά προς τα δεξιά και γνησίως αύξουσα από (2, + ), καθώς η καμπύλη της συνάρτησης είναι πάλι ανοδική από τα αριστερά προς τα δεξιά. 33
Παράδειγμα 4 (6) 34
Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN 978-960-93-3978-0. 35