Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές, 1, με πιθανότητα αντίστοιχα,.15,.75 και.1. Να βρείτε την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας F(x) και να κάνετε το γράφημά της.. Η διάρκεια ζωής, σε ώρες, του λαμπτήρα μάρκας Α είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την 1 / x x > 1 f( x) x 1 α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση είναι όντως συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας β. Να βρείτε την αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας γ. Να βρείτε την πιθανότητα, ο λαμπτήρας να έχει διάρκεια ζωής μεταξύ 15 και ωρών 3. Αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών και είναι η 1/ x, y 1 f( x, y) διαφορετικά α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου E = {( x, y) \ x 1,1/ y 1} β. Να βρείτε την από κοινού αθροιστική κατανομή των τυχαίων μεταβλητών και. γ. Να βρείτε τις περιθωριακές κατανομές των τυχαίων μεταβλητών και. 4. Αν είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, με συνάρτηση πιθανότητας x 1/ x = 1,,3... f( x) διαφορετικά Να υπολογιστεί η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y = X 5. Έστω οι τυχαίες μεταβλητές και που έχουν τις ακόλουθες κατανομές πιθανοτήτων x f ( x ) y f ( y ) -4.5-1.5 1.5 1.5 3.5.5 1
Να βρείτε τη μέση τιμή των δυο μεταβλητών και τη διασπορά των τιμων τους γυρω από τη μέση τιμή. 6. Έστω ότι μια τυχαία μεταβλητή έχει Ε() = 3.5 και Var( X ) =.9. Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής = 3 +. 7. Περιοδεύων πωλητής ενός καταναλωτικού προϊόντος επισκέπτεται νέους πελάτες και έστω = όταν ο υποψήφιος πελάτης δε δέχτηκε διαφημιστικό μήνυμα για το προϊόν και = 1 όταν δέχτηκε. Αν ο αριθμός των προϊόντων που πουλάει ο πωλητής σε μια επίσκεψη, η κατανομή πιθανοτήτων των και είναι η εξής: 1 ( ) x 1 f ( y )..17.7.3.3.3 y.3.47.3 f x.4.56 1. α. Αν ο πωλητής πρόκειται να επισκεφθεί κάποιον ο οποίος δέχτηκε διαφημιστικό μήνυμα για το προϊόν, ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσει ένα προϊόν; Ποια η πιθανότητα να πουλήσει δυο; β. Σε πάρα πολύ μεγάλο αριθμό επισκέψεων σε υποψήφιους πελάτες οι οποίοι δέχτηκαν το διαφημιστικό μήνυμα για το προϊόν, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των προϊόντων που θα πουληθούν; Ποια η διακύμανση; 8. Να υπολογίσετε τον θεωρητικό συντελεστή συσχέτισης των τυχαίων μεταβλητών και οι οποίες έχουν την ακόλουθη κατανομή πιθανοτήτων: -.5.5-1. 1. y ( ) 1 4 f ( x ) x f y 4/6 1. Είναι ασυσχέτιστες οι μεταβλητές και ; Είναι ανεξάρτητες;
9. Έστω η μέση ετήσια τιμή fixing δολαρίου των ΗΠΑ και η μέση ετήσια τιμή του πετρελαίου στη διεθνή αγορά (δολάρια/βαρέλι) και δίνονται 1 παρατηρήσεις των και για την περίοδο 1974-1985. Να υπολογιστεί ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης των και. Έτος x y 1974 3.79 11.584 1975 36.889 1.7 1976 37.9 11.51 1977 37.17 1.4 1977 37.416 1.7 1978 43.6 16.97 1979 55.47 8.67 198 66.78 3.5 1981 87.889 33.47 198 11.681 9.31 1983 138.197 8.47 1984 148.641 8. 1. Από σχετική εμπειρική έρευνα προέκυψε η ακόλουθη κατανομή πιθανοτήτων του αριθμού των παιδιών ανά οικογένεια x: 1 3 4 f ( x ).431.173.174.113.19 Να υπολογιστεί η πιθανότητα για μια οικογένεια που επιλέγεται τυχαία να έχει περισσότερα από 1 παιδιά; 11. Δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων του αριθμού των ημερών που χρειάζεται η επιχείρηση ΤΑΔΕ για να εκτελέσει μια παραγγελία x: 1 3 4 5 f ( x ).5.5.45.15.1 Έστω Α το ενδεχόμενο η παραγγελία να εκτελεστεί σε 3 το πολύ ημέρες και Β το ενδεχόμενο η παραγγελία να εκτελεστεί σε ή 3 μέρες. Ζητείται να υπολογιστούν: α. Το A και η PA ( ) β. Το A B και η PA ( B) γ. Είναι τα Α, Β ανεξάρτητα; Είναι ασυμβίβαστα; δ. Ο μέσος αριθμός των ημερών που απαιτείται ανά παραγγελία καθώς και η διακύμανση και η τυπική τους απόκλιση. 1. Σε τυχερό παιχνίδι ρίχνεται ένα ζάρι και έστω το χρηματικό ποσό σε ευρώ που παίρνει ο παίχτης σε κάθε ρίψη του ζαριού. Αν η κατανομή πιθανοτήτων της είναι όπως παρακάτω, να υπολογιστεί η μέση τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση της. 3
όψη ζαριού x f ( x ) 1-5 -3 3-5 4-5 5 1 6 11 Ένα παρόμοιο παιχνίδι είδαμε στη Διάλεξη 5 (Παράδειγμα 5, βλέπε παραδείγματα Διάλεξης 5 στο site). Αν έπρεπε να παίξετε σε ένα από τα δυο, ποιο θα προτιμούσατε και γιατί; 13. Δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων της τυχαίας μεταβλητής x: -6-3 -6 18 4 6 ( ) f x Να μετασχηματιστεί η, έτσι ώστε να έχει μέση τιμή και διακύμανση 1. Ασκήσεις από το βιβλίο: Δ. ατζηνικολάου, Στατιστική για Οικονομολόγους, Β Έκδοση, Ιωάννινα 4.1. Έστω η τυχαία μεταβλητή = αριθμός αγοριών σε οικογένειες που έχουν τρία παιδιά, όπου η πιθανότητα να γεννηθεί αγόρι είναι ίση με την πιθανότητα να γεννηθεί κορίτσι, δηλαδή 1/. (α) Ποιά είναι η συνάρτηση πιθανότητας της υπό μορφήν πίνακα; πό μορφήν διαγράμματος; (β) Ποιά είναι η συνάρτηση κατανομής της υπό μορφήν εξισώσεως; πό μορφήν διαγράμματος; (γ) Να υπολογίσετε το μέσο και τη διακύμανση της. 4.. Έστω ότι η ασυνεχής τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη συνάρτηση πιθανότητας: f(x) = cx για x = 1,, 3, 4, 5 και f(x) = για άλλες τιμές της. Ποιά είναι η τιμή της σταθεράς c; 4.3. Έστω ότι η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας δύο ασυνεχών τυχαίων μεταβλητών και είναι (x + y) / 4, για x =, 1, και y =, 1,, 3 f ( x, y), για άλλες τιμές των x και y. (β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ( =, = 1) και Ρ( 1, ). (γ) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πιθανότητας f x (x) και f y (y). (δ) Να υπολογίσετε τα Ε(), Ε(), Ε( ), Ε( ), Var(), Var(Y), Ε(), Cov(X, Y) και ρ. (ε) Να δείξετε ότι οι και δεν είναι στατιστικά ανεξάρτητες. (στ) Να δοθεί η συνάρτηση g(y x=). (ζ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(=1 =). (η) Να υπολογίσετε τις ποσότητες Ε( =) και Var(Y =). 4
4.4. Έστω ότι για τις τυχαίες μεταβλητές και είναι γνωστό ότι Ε() =, Ε() = 6, Var() = 1, Var(Y) = 3 και Cov(X, Y) = 1. Αν Ζ = 5, να υπολογίσετε τις ποσότητες Ε(Ζ) και Var(Ζ). 4.5. Έστω ότι η συνεχής τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f(x) = cx για < x < και f(x) = για οποιεσδήποτε άλλες τιμές της. (α) Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς c. (β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(,5 < < 1,5) και Ρ( > 1). (γ) Να δοθεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (ή απλά συνάρτηση κατανομής) της. (δ) Να υπολογίσετε το μέσο και τη διακύμανση της. 4.6. Ν αποδείξετε ότι το Θεώρημα 4.4 του βιβλίου ισχύει και όταν έχουμε περισσότερες από δύο τυχαίες μεταβλητές, 1,..., n, n >. 4.7. Ν απαντήσετε σ όλα τα ερωτήματα του Παρ. 4.9 του βιβλίου, αν η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των και είναι (x + y) / 1, για < x < 6, < y < 5 f ( x, y), για άλλες τιμές των x και y. 4.9. Έστω ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τριών συνεχών τυχαίων μεταβλητών, 1, και 3, είναι 9 x1 x x3, για < x1 <, < x < 4, < x3 < 1 f ( x1, x, x3) 56, για άλλες τιμές των xi, i = 1,, 3. (α) Να υπολογισθούν οι περιθωριακές συναρτήσεις f i ( xi ), i = 1,, 3. (β) Είναι οι μεταβλητές 1, και 3 στατιστικά ανεξάρτητες; (γ) Να βρεθεί η προσδοκώμενη τιμή Ε( 1 3 ). (δ) Να βρεθεί η πιθανότητα Ρ( 1 1,, 3,5). 4.1. Έστω ότι το κέρδος () που αποκομίζει ένας εργολάβος οικοδομών από την κατασκευή μίας οικοδομής είναι μία συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1 ( x + 1), για 1 < x < 5 f ( x) 18, για άλλες τιμές του x, όπου οι μονάδες μετρήσεως είναι εκατ. δρχ. και όπου αρνητικοί αριθμοί υποδηλώνουν ζημίες. (α) Κατ αρχή, να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση έχει όλες τις προϋποθέσεις για να είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. (β) Πόσο είναι το αναμενόμενο κέρδος από μία συγκεκριμένη οικοδομή; (γ) Ποιά είναι η πιθανότητα ο εργολάβος ν αποκομίσει ζημία από μέχρι και 1 εκατ. δρχ. από μία συγκεκριμένη οικοδομή; 5