ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ () A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (,β), τότε να αποδείξετε ότι το f( ) είναι τοπικό μέγιστο της f. Μονάδες 7 A. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 A. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[α,β], παράγουσα της f β α αν G είναι μια στο [α,β], τότε το f(t)dt = G(α) G(β). β) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο και ισχύει f() g() κοντά στο, τότε lim f() lim g(). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f () = για κάθε (α, ) (,β), είναι σταθερή στο (α, ) (,β). δ) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y = f() έχει ακριβώς μια λύση ως προς. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() =,. + 1 B1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. Μονάδες 6 B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η f είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Μονάδες 9 B. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. Μονάδες 7 B4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β1, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες ΘΕΜΑ Γ Γ1. Να λύσετε την εξίσωση 1 =,. Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: σχέση f () = ( 1) για κάθε Μονάδες 4 που ικανοποιούν την και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 Γ. Αν f() = 1,, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 4 Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: όταν [, + ). f( ημ + ) f( ημ ) = f(+) f() Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: π ( ) f ( ) = f()+ f () ημ d = π και f() ( ) lim = 1 ημ f() + = f f() + για κάθε. Δ1. Να δείξετε ότι f(π ) = π (μονάδες 4) και f () = 1 (μονάδες ). Μονάδες 7 Δ. α) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο. (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. (μονάδες ) Δ. Να βρείτε το ημ + συν lim f() + Μονάδες 6. Μονάδες 6 Δ4. Να δείξετε ότι π f(ln ) < d < π. Μονάδες 6 1 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 1. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό Βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 141 Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 46 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β1. f ( ), 1 για κάθε, άρα 1 f ( 1) H f είναι παραγωγίσιμη για κάθε ως ρητή με : f '() ( 1) ( 1) f ( ) - + f () - + f γν. φθίνουσα Ο.Ε. γν. αύξουσα Άρα : f (,] και f [, ). Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το f ( ) Σελίδα 1 από 8

Β. H f είναι παραγωγίσιμη για κάθε, ως ρητή με ( 1) 4 ( 1) 1 f ''() ( 1) ( 1) 4 f ''() ή - f () - + - f () Σ.Κ. Σ.Κ. Η f κοίλη για, και για, και η f κυρτή για,. Η f παρουσιάζει σημείο καμπής για 1, 4 και για το σημείο το σημείο 1,. 4, f, δηλαδή Β. f ( ),. 1 Η f είναι συνεχής στο άρα δεν παρουσιάζει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Για πλάγιες - οριζόντιες έχω : Στο είναι : f ( ) 1 lim lim lim lim και limf ( ) lim f ( ) lim lim 1 1 άρα η ευθεία ( ) : y 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Στο είναι : f ( ) 1 lim lim lim lim και limf ( ) lim f ( ) lim lim 1 1 άρα η ευθεία ( ) : y 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο.. Σελίδα από 8

Β4. Για κάθε και f f ( ) f ( ) f ( ), άρα η f είναι άρτια με άξονα συμμετρίας τον ( ) 1 1 y y. Πίνακας μεταβολών : - f () - + + - f () - - + + f () Σελίδα από 8

ΘΕΜΑ Γ Γ1. 1,. 1 ος Τρόπος : Έστω g() 1, g,συνεπώς έχω να λύσω την εξίσωση g ( ). Παρατηρώ ότι, η προφανής ρίζα της εξίσωσης g ( ). Η g είναι παραγωγίσιμη για κάθε g() ( 1) με g ( ) ( 1) ή 1 - + g () - + g γν. φθίνουσα Ο.Ε. γν. αύξουσα Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το g ( ), δηλ. g ( ) g() g( ) για κάθε, οπότε στην εξίσωση g ( ) η προφανής ρίζα είναι και μοναδική ως θέση ακροτάτου. ος Τρόπος : Ισχύει : ln 1 για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για 1. Για το, για κάθε, έχω : ln 1 για κάθε. Άρα ln 1 1 1 για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για 1. Άρα η μοναδική ρίζα της εξίσωσης 1 είναι η. Γ. Είναι : f ( ) 1 f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Για είναι : f ( ) g() f ( ) f () g( ) Για είναι : f ( ) άρα g ( ) άρα f ( ) και f συνεχής, άρα η f διατηρεί πρόσημο στο (, ) Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) (1) Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) () Για είναι : f ( ) άρα g ( ) άρα f ( ) και f συνεχής, άρα η f διατηρεί πρόσημο στο (,) Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) () Αν f ( ) τότε f ( ) g( ) (4) 1. Σελίδα 4 από 8

Τελικά : 1 ον από (1), () f ( ) 1, αφού για, f ( ) ον από (1), (4) ον από (), () 1, f ( ) 1, 1, f ( ) 1, αφού για, f ( ) αφού για, f ( ) 4 ον από (), (4) f ( ) 1, αφού για, f ( ) Γ. f () 1 παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( 1) H f παραγωγίσιμη στο με f ( ) ( 1) 4 (*) για κάθε και το = ισχύει μόνο για, όπου f είναι συνεχής, άρα η f κυρτή στο. (*) για κάθε είναι 1 ( 1) και 4 για κάθε. Γ4. Έστω h( ) f ( ) f ( ), [, ), h παραγωγίσιμη στο [, ) με : h ( ) f ( ) f ( ) f Για έχουμε f ( ) f ( ) h( ) f : ή και h συνεχής στο [, ) ως πράξεις συνεχών άρα h γνησίως αύξουσα στο [, ) άρα «1-1» στο [, ). Έτσι : f 11 f f ( ) f ( ) h h( ) Καθώς : για κάθε και το «=» ισχύει μόνο για. Σελίδα 5 από 8

ΘΕΜΑ Δ Δ1 ( d f ( ) d f ( ) d f ) f ( ) f ( )( ) d f ( ) d f ( )( ) f d f f ( )( ) ( ) ( ) d f ( )( ) f ()( 1) f ( ) d f ( ) f () f ( ) d f ( ) f (). Θεωρώ την f ( ) R( ), για κάθε κοντά στο μηδέν, με limr( ) 1 Άρα : f ( ) R( ) Η f συνεχής στο, έτσι : lim f ( ) f () Άρα : lim f () f ( ) lim R( ) f : ή έτσι : f ( ) f () f ( ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο, έτσι : f ( ) f () f () lim R( ) lim lim ( ) 11 1 R Άρα : f ( ) 1. Δ α) 1 ος Τρόπος : lim f ( ) Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο. Τότε καθώς είναι παραγωγίσιμη για κάθε από Θ.Frmat f ( ). f f ( ) f ( ) Τα μέλη στη σχέση (1) είναι παραγωγίσιμα (,, f ( ) ( ) παραγωγίσιμες, άρα f, f ( f ( )) παραγωγίσιμες, ως σύνθεση παραγωγίσιμων) οπότε με παραγώγιση της (1) έχουμε : f ( ) f ( ) 1 f f ( ) f ( ) () Η σχέση () για γίνεται : f ( ) f ( ) f ( ) 1 f ( ) f ( ) 1 f, άρα f ( ) f () που είναι άτοπο καθώς f ( ) 1, επομένως η f δεν παρουσιάζει ακρότατα. Σελίδα 6 από 8

ος Τρόπος : Τα μέλη στη σχέση ( ) άρα f, f ( f ( )) είναι παραγωγίσιμα (,, f ( ) f() f(f()) παραγωγίσιμες, παραγωγίσιμες, ως σύνθεση παραγωγίσιμων) οπότε μετά από f() f() παραγώγιση έχουμε : f '() 1 f '(f())f '() f '()[ f '(f())] 1 Για = ισχύει η ισότητα Για έχουμε ότι 1, άρα και f() f() f '()[ f '(f())] f '() f '(f()) Επιπλέον έχουμε f ()=1, άρα f ( ) για κάθε. β) Από Δ. α) έχουμε ότι f ( ) για κάθε και η f συνεχής (η f δυο φορές παραγωγίσιμη), άρα από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επιπλέον : f ( ) 1, άρα τελικά f ( ) για κάθε, δηλαδή f. Δ. f ( ) Άρα : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ή Άρα : lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) άρα από κριτήριο παρεμβολής : lim f ( ) lim f ( ) Δ4 1 ος Τρόπος : f f (ln ) Καθώς 1 ln f (ln ) f () f (ln ) και η ισότητα ισχύει (ln ) μόνο για 1. Άρα : f d. 1 f f (ln Επίσης : f f f ) f (ln ) ln (ln ) ( ) (ln ) και η ισότητα ισχύει μόνο για. Άρα : f (ln) f (ln ) f (ln ) d 1 d d ln 1 d 1 1 1 f (ln ) ln ln1 d 1 f (ln ) d. 1 (ln ) Άρα τελικά : f d 1 Σελίδα 7 από 8

ος Τρόπος : Θέτω u ln, άρα du 1 d d du. Για 1 είναι u Για είναι u f (ln ) f ( u) Έτσι έχω : d du 1 Οπότε αρκεί να δείξω ότι : f f ( u) du f ( u) du. Είναι : u f () f ( u) f ( ) f ( u) και η ισότητα ισχύει μόνο για u και u, άρα : f ( u) du du f ( u) du ( ) f ( u). du Πιο αναλυτικά : η f συνεχής στο [, ] με f ( u) και η ισότητα ισχύει μόνο για u άρα : f ( u) du Επιπλέον f ( u) f ( u) και η ισότητα ισχύει μόνο για u άρα : f ( u) du du f ( u) du f ( u) du f ( u). Οπότε τελικά προκύπτει το ζητούμενο : du f ( u). du Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη Σελίδα 8 από 8