ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ 1/2 έκδοση SPM1-2015b-01

Copyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 210-7722332

Περιεχόμενα 1. Μετασχηματισμός Fourier (FFT) 2. Χρονικά παράθυρα (time domain windows) 3. Χρονικοί δείκτες (time domain indices) 4. Αποδιαμόρφωση με μετασχηματισμό Hilbert 5. Κυρτώγραμμα (kurtogram) 6. Διαφορά φάσης 7. Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier (STFT - Short term Fourier transform) 8. Μετασχηματισμός κυματιδίων (Wavelet transform)

Μετασχηματισμός Fourier

Μετασχηματισμός Fourier αποσυνθέτει κάθε περιοδική συνάρτηση ή περιοδικό σήμα στο άθροισμα (ενδεχομένως άπειρο) ενός συνόλου απλών συναρτήσεων ταλάντωσης, δηλαδή ημιτόνων και συνιμητόνων (ή σύνθεση εκθετικών).... με πλάτος φάση γωνία θεώρημα Parseval Ο μετασχηματισμός Fourierδιακριτού χρόνου είναι μία περιοδική συνάρτηση που ορίζεται από τους όρους μιας σειράς Fourier

Μετασχηματισμός Fourier: σειρά Fourier ισχύει... όπου... (Ι) μια συνάρτηση f(x) μπορεί να παρασταθεί από γραμμικό συνδυασμό sin κα cos... όπου Lτο πεδίο τιμών της συνάρτησης από (Ι)... όπου F m συνδυασμός A m και B m και περιλαμβάνει πληροφορίες πλάτους και φάσης

Μετασχηματισμός Fourier: σειρά Fourier?Πως από μια συνάρτηση f(x) μπορεί να λάβω το F m... ΤΡΙΚ... Πολ/σιάζω και τις 2 πλευρές της εξίσωσης... με... και ολοκληρώνω ως προς x

Μετασχηματισμός Fourier πλάτος Α σήμα x(t) χρόνος

Μετασχηματισμός Fourier Real Real (cos) Imaginary (sin) https://understandingecstasy.wordpress.com/2010/12/26/hearing-with-the-fourier-transform/

Μετασχηματισμός Fourier απεικόνιση της προσέγγισης του ενός τετραγωνικού παλμού με τη λήψη των πρώτων 4 όρων της σειράς Fourier https://www.youtube.com/watch?v=r18gi8lskfm

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση ημιτόνου Amp πλ λάτος plitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Σ x(t)*cos(2πft) = -8,8e -15 1 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 χρόνος time (sec) df=0,2 Hz Hz 0 1 2 3 4 5 6

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση ημιτόνου Amp plitude πλ λάτος 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Σ x(t)*cos(2πft) = -5,7e -15 2 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 χρόνος time (sec) df=0,2 Hz Hz 0 1 2 3 4 5 6

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση ημιτόνου Amp plitude πλ λάτος 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Σ x(t)*cos(2πft) = 74,5 4,8Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 χρόνος time (sec) df=0,2 Hz Hz 0 1 2 3 4 5 6

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση ημιτόνου Amp plitude πλ λάτος 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Σ x(t)*cos(2πft) = 100 5Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 χρόνος time (sec) df=0,2 Hz Hz 0 1 2 3 4 5 6

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση ημιτόνου Amp plitude πλ λάτος 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Σ x(t)*cos(2πft) = 77,5 5,2Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 χρόνος time (sec) df=0,2 Hz Hz 0 1 2 3 4 5 6

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση ημιτόνου Amp πλ plitude λάτος 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Σ x(t)*cos(2πft) = -1,0e -14 6Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 χρόνος time (sec) df=0,2 Hz Hz 0 1 2 3 4 5 6

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού + f s /2 + 0 πλάτος - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού A k T k A k /2 + f s /2 + f k =1/T k 0 πλάτος - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού + f s /2 + πλάτος 0 - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού T b A b A b /2 + f s /2 + πλάτος f b =1/T b 0 - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού A o DC + f s /2 A o /2 + 0 πλάτος - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού + f s /2 + 0 πλάτος - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού + f s /2 + πλάτος 0 - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση τετραγωνικού παλμού A o + f s /2 + πλάτος 0 - f s /2 -

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση πριονοτής συνάρτησης 1 η αρμονική συνιστώσα 2 η αρμονική συνιστώσα 3 η αρμονική συνιστώσα 4 η αρμονική συνιστώσα 5 η αρμονική συνιστώσα 20 η αρμονική συνιστώσα

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση σύνθετου σήματος Τ ο χρόνος (sec) σύνθεση με 1 ημιτονοειδές σήμα χρόνος (sec)

σύνθεση με 2 ημιτονοειδή σήματα Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση σύνθετου σήματος χρόνος (sec) χρόνος (sec) σύνθεση με 3 ημιτονοειδή σήματα

Μετασχηματισμός Fourier πλάτος Β: DC συνιστώσα πλάτος Α: χρονικό σήμα A ο A 1 A ο πλάτος C: AC συνιστώσα χρόνος χρόνος ʄ A 1 T 1 χρόνος πλάτος DC A 1 f o =0 f 1 =1/T 1 συχνότητα

Μετασχηματισμός Fourier ʄ... μετασχηματισμός Fourier μεταφορά πληροφοριών από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας

Μετασχηματισμός Fourier ʄ... μετασχηματισμός Fourier μεταφορά πληροφοριών από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας κύρια συνιστώσα κύρια συνιστώσα

Μετασχηματισμός Fourier ο FFTδιασπά το χρονικό σήμα σε μια σειρά από ημίτονα και αξιολογεί κάθε ένα ξεχωριστά. σύνθετη κυματομορφή ανάλυση σε απλά ημίτονα πλάτος συχνότητα (Hz)

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση στάσιμων σημάτων πλάτος FFT χρόνος (sec) πλάτος συχνότητα (Hz)

Μετασχηματισμός Fourier: ανάλυση μη στάσιμων σημάτων πλάτος FFT δείγματα πλάτος συχνότητα (Hz)

Χρονικά παράθυρα

Χρονικά παράθυρα καταγραφή db καταγραφή Hz db διαρροή ενέργειας Ο μετασχηματισμός Fourier εφαρμόζεται σε ένα χρονικά περιορισμένο τμήμα του χρονικού σήματος μέσα από ένα τετραγωνικό παράθυρο, το φάσμα του οποίου ευθύνεται για τη μεταφορά ισχύος των αρμονικών συνιστωσών σε όλο το εύρος του φάσματος. Hz

Χρονικά παράθυρα καταγραφή N δείγματα τετραγωνικό παράθυρο Παράθυρο Hanning εφαρμογή χρονικού παραθύρου FFT FFT x(n) sec περιορισμός διαρροής ενέργειας με εφαρμογή διαφόρων χρονικών παραθύρων w(n) sec x(n) w(n) sec db Hz

Χρονικά παράθυρα περιορισμός διαρροής ενέργειας με εφαρμογή χρονικών παραθύρων περιοδικό σήμα συγκέντρωση ενέργεια σε 1 συχνότητα μη περιοδικό σήμα διαρροή ενέργεια μη περιοδικό σήμα με παράθυρο Hann περιορισμένη διαρροή ενέργεια

Χρονικά παράθυρα επιλογή κατάλληλου παραθύρου ανάλογα με την εφαρμογή flat top rectangular window (none) τύπος σήματος καλή ανάλυση πλάτους καλή ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας χρονικό παράθυρο

Χρονικά παράθυρα

Χρονικοί δείκτες

Χρονικοί δείκτες: μέση τετραγωνική τιμή (rms) ορισμός... περιγράφει την ενέργεια που περικλίει ένα σήμα τ 1 1 2 1 N 2 xrms = x t dt x n τ = N 0 ( ) ( ) n= 0 κατάλληλοτητα εφαρμογής δείκτη... στρεπτικέςδυνάμεις...κατάλληλος κρουστικοίπαλμοί....ικανοποιητικός φαινόμενατριβής.....κατάλληλος

Χρονικοί δείκτες: μέση τετραγωνική τιμή (rms) RMS 1 > RMS 2 > RMS 3

Χρονικοί δείκτες: μέση τετραγωνική τιμή (rms) τετραγωνικός παλμός επίπεδο κορυφής επίπεδο RMS ημιτονοειδές σήμα επίπεδο κορυφής επίπεδο RMS μετρούμενο σήμα επίπεδο κορυφής επίπεδο RMS

Χρονικοί δείκτες: κύρτωση (kurtosis) ορισμός... 4 η στατιστική ροπή (moment) του σήματος, η οποία περιγράφει την κατανομή των τιμών της χρονοσειράς (πλάτη σήματος) γύρω από τη μέση τιμή αυτού K M 1 N N 1 ( x( n) x ) 4 n= 0 = = 4 4 σ N 1 2 1 N n= 0 ( x( n) x ) 4 κατάλληλοτητα εφαρμογής δείκτη... στρεπτικέςδυνάμεις...ακατάλληλος κρουστικοίπαλμοί....κατάλληλος φαινόμενατριβής.....ακατάλληλος σύγκριση κορυφής κατανομής με αυτή της κανονικής (θόρυβος) κρουστικότητα σήματος λεπτόκυρτη μεσόκυρτη πλατύκυρτη

Χρονικοί δείκτες: κύρτωση (kurtosis)

Χρονικοί δείκτες: κύρτωση (kurtosis) ΠΗΓΑΙΟ ΣΗΜΑ επίδραση θορύβου στην κύρτωση... ΘΟΡΥΒΟΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΟ ΣΗΜΑ Κ > 1 Κ > 2 Κ 3

Χρονικοί δείκτες: δείκτης κορυφής (crest factor) ορισμός... ο λόγος της μέγιστης τιμής (πλάτους) του σήματος και της RMS τιμής αυτού μέγιστη τιμή PV (peak) δείκτης κορυφής CF rms τιμή DC σύγκριση αιχμηρότητας σήματος κατάλληλοτητα εφαρμογής δείκτη... στρεπτικέςδυνάμεις...ακατάλληλος κρουστικοίπαλμοί....κατάλληλος φαινόμενατριβής.....ακατάλληλος

Χρονικοί δείκτες: δείκτης λοξότητας (skewness factor) ορισμός... 3 η στατιστική ροπή (moment) σήματος, η οποία περιγράφει τη συμμετρία των τιμών της χρονοσειράς (πλάτη σήματος) γύρω από τη μέση τιμή αυτού S M 1 N N 1 ( x( n) x ) 3 n= 0 = = 3 3 σ N 1 2 1 N n= 0 έλεγχος συμμετρίας ( x( n) x ) 3 κατάλληλοτητα εφαρμογής δείκτη... στρεπτικέςδυνάμεις...ακατάλληλος κρουστικοίπαλμοί....κατάλληλος φαινόμενατριβής.....ακατάλληλος θετική λοξότητα S > 0 αρνητική λοξότητα S < 0

Χρονικοί δείκτες: λοιποί δείκτες Clearance Factor: CLF = max 1 1 N N n= 0 ( x ) ( ) x n 2 Shape Factor: SF = 1 N x rms N 1 n = 0 ( ) x n max ( x ) Impulse Factor: IF = 1 1 N N n = 0 ( ) x n

Μετασχηματισμός Hilbert

Αποδιαμόρφωση με μετασχηματισμό Hilbert συνελιξη αναλυτικό σήμα όπου

Αποδιαμόρφωση με μετασχηματισμό Hilbert X R (t) Ζωνοπερατό φίλτρο f L. f H X F (t) Hilbert μετασχηματισμός X H (t) αναλυτικό σήμα A(t)=X F (t) + j X H (t) Περιβάλλουσα (ENVELOPE) = A(t) = (XF(t) 2 + XHF(t) 2 ) 1/2

Αποδιαμόρφωση με μετασχηματισμό Hilbert διαμορφώνον σήμα Α1 A 1 T 1 0 F 1 συχνότητα [Hz] φέρον σήμα T 2 Α2 A 2 διαμορφωμένο χρονικό σήμα T 2 ʄ 0 Α1/2 F 2 Α2 συχνότητα [Hz] Α1/2 0 F 2 - F 1 F 2 F 2 +F 1 συχνότητα [Hz] T 1 Αποδιαμόρφωση με ΗΤ Α1 T 1 0 F 1 συχνότητα [Hz]

Κυρτώγραμμα

Κυρτώγραμμα (kurtogram) αυτοματοποιημένη επιλογή υψίσυχνης διεγερμένης περιοχής κυρτώγραμμα υπολογισμός κύρτωσης

Κυρτώγραμμα φάσμα... x f s

Κυρτώγραμμα SK 1,1 SK 1,2

Κυρτώγραμμα SK 1,1 SK 1,2 SK 2,1 SK 2,2 SK 2,3 SK 2,4

Κυρτώγραμμα αποδιαμόρφωση με HT δίχως φιλτράρισμα συχνότητα βλάβης & αρμονικές

Κυρτώγραμμα φιλτράρισμα & αποδιαμόρφωση με HT f d 2f d 3f d

Διαφορά φάσης Vibration Phase Analysis https://www.youtube.com/watch?v=rahgxxt405e

Διαφορά φάσης Κοινά συμπτώματα (πληροφορίες) σε άρκετούς τύπους βλάβης συχνότητα περιστροφής άξονα και αρμονικές της 1. Αζυγοσταθμία 2. Κακή ευθυγράμμιση αξόνων 3. Κακή ευθυγράμμιση τροχαλιών 4. Εκκεντρότητα 5. Απευθυγραμμισμένα ρουλεμάν κύλισης 6. Μηχανική χαλαρότητα 7. Συντονισμός 8. Ευκαμψία βάσης στήριξης 9. Λυγισμένος άξονας

Διαφορά φάσης : μεθοδολογία 1 A V B V A Ax B Ax A V A H χρόνος

Διαφορά φάσης: μεθοδολογία 1 A B Βαθυπερατό φίλτρο σήμα αναφοράς Βαθυπερατό φίλτρο FFT υπολογισμός φάσης 1x υπολογισμός φάσης φ 1 = 150 ο Δφ=φ 1 -φ 2 =90 ο φ 2 = 60 ο

Διαφορά φάσης: μεθοδολογία 2 Δφ=90 ο αισθητήριο μετατόπισης σήμα αναφοράς μετρούμενο σήμα μάζα αζυγοσταθμίας ταχόμετρο σχισμή αναφοράς

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier προβλήματα μετασχηματισμού Fourier... T 1 T 2 T 2 T 1 sec Hz sec t 1 t 2 F 1 =1/T 1 F 2 =1/T 2 Hz

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier F 1 = 5 Hz & F 2 = 25 Hz & F 3 = 50 Hz στάσιμο (stationary) σήμα προβλήματα μετασχηματισμού Fourier... φάσμα χρόνος (sec) συχνότητα (Hz) μη στάσιμο (non stationary) σήμα φάσμα χρόνος (sec) συχνότητα (Hz)

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier χρόνος (sec) FFT FFT FFT FFT FFT FFT FFT χρόνος (sec)

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier δείγματα FT X συχνότητα (Hz) συχνότητα (Hz) χρόνος (sec)

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier πλάτος

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier T 1 T 2 T 3 T 4 χρόνος (sec) t 1 t 2 t 3 t 4 STFT t 1 t2 t 3 F 2 =1/T 2 F 3 =1/T 3 F 4 =1/T 4 t4 F 1 =1/T 1

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier f f καλή ανάλυση στο πεδίο του χρόνου t καλή ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας t συχνότητα f χρόνος t πλάτος παραθύρου

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier πλάτος παραθύρου= 0.1 χρονικό βήμα= 10 msec Amplitude Amplitude Frequency Time step Time step Amplitude Frequency Πλατιά παράθυρα δίνουν καλή συχνοτική ευκρίνεια, αλλά φτωχή ευκρίνεια χρονική

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier πλάτος παραθύρου= 0.02 χρονικό βήμα= 10 msec Amplitude Amplitude Frequency Time step Time step Amplitude Στενά παράθυρα δίνουν καλή χρονική ευκρίνεια, αλλά φτωχή συχνοτική ευκρίνεια Frequency

Παραθυρικός μετασχηματισμός Fourier 1. Η εφαρμογή του παραθύρου περιορίζει τη διαρροή ενέργειας 2. Απώλεια δεδομένων επειδή το παράθυρο στα άκρα τίνει στο μηδέν 3. Ανάκτηση δεδομένων με υπερκάλυψη παραθύρων απώλεια δεδομένων υπερκάλυψη (overlap)

Μετασχηματισμός Κυματιδίων

Κυματίδια: σύγκριση WT & STFT STFT WT συχνότητα συχνότητα χρόνος χρόνος STFT: το πλάτος του παραθύρου καθορίζει την ανάλυση στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας

Κυματίδια: σύγκριση WT & STFT STFT WT

Κυματίδια συντελεστής ολίσθησης στο χρόνο CWT συντελεστής κλίμακας ψ ψ 1 x ( τ, s) = Ψx ( τ, s) = κλίμακα= 1/συχνότητα σταθερά κανονικοποίησης σήμα προς ανάλυση s t x ( t) t τ ψ dt s μετασχηματισμός κυματιδίου εάν το σήμα περιλαμβάνει μια συνιστώσα που αντιστοιχεί στον συντελεστή κλίμακας s (ή a), το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού WT σε αυτή τη συγκεκριμένη θέση λαμβάνει μια μεγάλη τιμή. μητρική συνάρτηση κυματιδίου

Κυματίδια συχεχής WT διακριτός WT ψ(t): μητρική συνάρτηση κυματιδίου (mother wavelet) s: παράμετρος κλίμακας (συχνότητας) b: παράμετρος χρόνου ψ(t): μητρική συνάρτηση κυματιδίου s: δυαδική παράμετρος κλίμακας b: δυαδική παράμετρος χρόνου

Κυματίδια μητρικό κυματίδιο παράγοντας μορφής G s πραγματικό μέρος φανταστικό μέρος Heisenberg πλαίσιο διαστολή/συστολή κυματιδίου Daughterκυματίδιο (G s =6) κλίμακα s συχνότητα ω χρόνος t ολίσθηση κυματιδίου στο χρόνο καθυστέρηση d

Κυματίδια: συντελεστής κλίμακας για ημιτονοειδή σήματα κλίμακα (scale) a... διάταση (stretching) ή συμπίεση (compressing) του σήματος f(t)=sin(t) a=1 f(t)=sin(2t) a=1/2 f(t)=sin(4t) a=1/4

Κυματίδια: συντελεστής κλίμακας κυματιδίου κλίμακα (scale)α... διάταση (stretching) ή συμπίεση (compressing) του σήματος f(t)=ψ(t) a=1 f(t)=ψ(2t) a=1/2 f(t)=ψ(4t) a=1/4

Κυματίδια: συντελεστής κλίμακας κυματιδίου σήμα πεδίο κλίμακας - χρόνου κλίμ μακα a χρόνος (msec)

Κυματίδια: αρχή λειτουργίας μικρής κλίμακας συντελεστές υπολογιζόμενος συντελεστής μικρής κλίμακας κυματίδιο συμπίεση κυματιδίου χρονικό σήμα μεγάλης κλίμακας κυματίδιο μεγάλης κλίμακας συντελεστές υπολογιζόμενος συντελεστής χρόνος διάταση κυματιδίου

Κυματίδια: αρχή λειτουργίας Υψιπερατό φίλτρο Hi αρχικό χρονικό σήμα Βαθυπερατό φίλτρο Lo f 2 λεπτομερείς συντελεστές cd 1 (detail coefficients) f 2 συντελεστές προσέγγισης ca 1 (approximation coefficients)

Κυματίδια: αρχή λειτουργίας αρχικό χρονικό σήμα Hi Hi Lo Hi ca1 Lo ca2 Level 1 Level 2 Level 3 Lo cd1 cd2 cd3 ca3 ca3 cd3 cd1 cd2 συχνότητα συχνότητα συχνότητα

Κυματίδια: κλασικά Κλασικά κυματίδια δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A1 D1 A1 D1 συχνότητα

Κυματίδια: κλασικά Κλασικά κυματίδια δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A1 D1 A2 D2 A2 D2 D1 συχνότητα

Κυματίδια: κλασικά Κλασικά κυματίδια δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A3 A2 A1 D3 D2 D1 θόρυβος: D1 + D2 + D3 A3 D3 D2 D1 συχνότητα

Κυματίδια: πακέτο κυματιδίων (wavelet packets) Πακέτο κυματιδίων δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A1 D1 A1 D1 συχνότητα

Κυματίδια: πακέτο κυματιδίων (wavelet packets) Πακέτο κυματιδίων δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A1 D1 AD2 DD2 A1 AD2 DD2 συχνότητα

Κυματίδια: πακέτο κυματιδίων (wavelet packets) Πακέτο κυματιδίων δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A1 D1 AD2 DD2 AAD3 DAD3 A1 AAD3 DAD3 DD2 frequency

Κυματίδια: πακέτο κυματιδίων (wavelet packets) Πακέτο κυματιδίων δενδρόγραμμα αποσύνθεσης σήματος S: αρχικό σήμα A1 D1 AA2 DA2 AD2 DD2 AAA3 DAA3 ADA3 DDA3 AAD3 DAD3 ADD3 DDD3 AAA3 DAA3 ADA3 DDA3 AAD3 DAD3 ADD3 DDD3 συχνότητα

Κυματίδια t = 0 scale = 1 Ψ(s,t) Inner product x(t) κλίμακα (scale) X χρόνος (translation time)

Κυματίδια 20 Hz 50 Hz 120 Hz WTπλάτος χρόνος (translation time)

Κυματίδια 10 Hz 20 Hz 60 Hz 120 Hz κλίμακα α (scale) χρόνος (translation time)

Κυματίδια: Ανασύνθεση σήματος - αποθορυβοποίηση αρχικό σήμα με θόρυβο WT ανασύνθεση σήματος με συντελεστές από WT σήμα μετά από αποθορυβοποίηση με WT

Κυματίδια: Ανασύνθεση σήματος - αποθορυβοποίηση

Αναφορές Window function https://en.wikipedia.org/wiki/window_function Spectrum Analyser from KEUWLSOFT http://keuwl.com/spectrumanalyser/ http://nautil.us/blog/the-math-trick-behind-mp3s-jpegs-and-homer-simpsons-face Fourier series https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%a3%ce%b5%ce%b9%cf%81%ce%ad%cf%82_%ce%a6 %CE%BF%CF%85%CF%81%CE%B9%CE%AD Choose The Right FFT Window Function When Evaluating Precision ADCs http://electronicdesign.com/analog/choose-right-fft-window-function-when-evaluating-precision-adcs Understanding resolution in the FFT vibration spectrum.mp4 https://www.youtube.com/watch?v=am1tg6lw6uq Spectrum analysis process https://www.youtube.com/watch?v=qgtce_k711y Continuous wavelet transform by Mahdi Vasighi

Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ.ΑντωνιάδηςΙ..... antogian@central.ntua.gr Δρ.ΓιακόπουλοςΧ.... chryiako@central.ntua.gr