ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης του κεφ.1. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. () = 1 + 4 ii. () = 1 ηµ + i. Η συνάρτηση ορίζεται, αν και μόνο αν 1 0και 4 0. Επιλύουμε την κάθε ανίσωση χωριστά και μετά θα βρούμε τις κοινές λύσεις τους. Το σύνολο των κοινών λύσεων των ανισώσεων θα είναι το πεδίο ορισμού της. 1 0 0 0 ( )( ) 0 0 1ή 1ή >, 4 0 4 4 4 1 7 Έτσι έχουμε: 1 0 1ή > 1 1ή < 7 1 7 4 0 D = 1,1 (,7]. Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι [ ] 1
ii. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν 1 ηµ 0 και 0. Επειδή 1 ηµ 0 ηµ 1 ( ηµ 1 για κάθε ). Έχουμε: 1 ηµ 0 0 0 0 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι D = [0, + ).
Άσκηση. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. () = + + 4 ii. () = i. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν + + 4 0. Μια προφανής ακέραια ρίζα του πολυωνύμου είναι το -1. Εφαρμόζοντας το σχήμα Horner για τον ακέραιο -1 θα έχουμε: Έτσι ο +1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου και άρα το πολυώνυμο γράφεται: P = + + 4 = + 1 ( + 4). ( ) ( ) Πρόσημο πολυωνύμου: Άρα: + + 4 0 1 Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = [ 1, + ). ii. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν 0.
Έχουμε: 0 Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D =. 4
Άσκηση. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. () = ln( + 9) ii. ( ) = ( + συν ) i. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν + 9> 0 < < + 9> 0 Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = (,). ii. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν + συν > 0. Έχουμε: + συν > 0 συν > ( συν 1 για κάθε ). Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D =. 5
Άσκηση 4. Να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι τιμή των παρακάτω συναρτήσεων: 1, 1 i. () = 5, > 1 ii. () = 1, 6, < i. Εξετάζουμε αν υπάρχει 1 ώστε () =. Έτσι έχουμε: () = 1= = 4 1 1 1 αδύνατη. Εξετάζουμε αν υπάρχει > 1 ώστε () =. Έτσι έχουμε: () = 5= = 8 = = > 1 > 1 > 1 > 1 άρα ()=, οπότε το είναι τιμή της. ii. Εξετάζουμε αν υπάρχει ώστε () =. Έτσι έχουμε: () = 1= 1 = 9 = 10 = 10 άρα (10)=, οπότε το είναι τιμή της. 6
Άσκηση 5. Δίνονται οι συναρτήσεις και με τύπους ( ) = + και () = + 4. i. Εξετάστε αν η C τέμνει τους άξονες. ii. Εξετάστε αν η C και η C έχουν κοινά σημεία. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι D =. Το πεδίο ορισμού της είναι D = (,4]. i. Για να τέμνει η C τον άξονα, θα πρέπει το 0 να είναι τιμή της. Θα εξετάσουμε αν υπάρχει D ώστε () = 0. Έτσι έχουμε: () = 0 + 4 = 0 + 4 = 0 = 4 4 4 4 Άρα υπάρχει το 4 D, ώστε ( 4) = 0. Επομένως η C τέμνει τον άξονα, στο (4,0). Για να τέμνει η C τον άξονα y y, θα πρέπει το 0 D. Παρατηρούμε ότι το 0 D. Έτσι η C τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,(0)) ή Α(0,). ii. Για να υπάρχουν κοινά σημεία των C και C, θα πρέπει να υπάρχουν D D ώστε () = (). Δηλαδή η εξίσωση () = () θα πρέπει να έχει λύση στο σύνολο D D =,4. ( ] Έτσι έχουμε: () = () + = + 4 (+ ) = + 4 D D 4 4 4 + + = + + = = 0 5 4 = = 4 ή 4 4 4 5 0 0 Είναι ( 0) = ( 0) =. Άρα οι C και C έχουν ένα κοινό σημείο το Α(0,). 7
Άσκηση 6. Για ποιες τιμές του, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα, όταν ( ) = 4. Η ορίζεται στο. Για να υπάρχουν σημεία της C που να βρίσκονται κάτω από τον άξονα, αρκεί να υπάρχουν, ώστε () < 0. Έχουμε: () < 0 4 < 0 ( 4) < 0 Για το πρόσημο του πολυωνύμου ( 4) έχουμε τον παρακάτω πίνακα. Έτσι έχουμε: < ή 0 < < < ( 4) 0 8
Άσκηση 7. Για ποιες τιμές του, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της, όταν ( ) = e και ( ) = e +. Οι, ορίζονται στο. Έχουμε: () > () e > e + e e > 0 D D > (e ) e 0 Θέτουμε όπου e =ω> 0, έτσι έχουμε: ω ω > 0, ω > 0 Το τριώνυμο ω ω έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και. Η ανίσωση αληθεύει αν και μόνο αν ω< 1ή ω>. Έτσι έχουμε: 0 ω< 1 ή ω> ω> > > ω> 0 ω> 0 ω ω > e ln ω ω > 0 9
Άσκηση 8. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να εξετάσετε αν το 0 είναι τιμή της. iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iv. Να βρείτε το (). v. Να επιλύσετε την εξίσωση ()=0. vi. Να επιλύσετε τις ανισώσεις ( ) 0 < 0. > και ( ) i. Το σύνολο των τετμημένων των σημείων της Έτσι το πεδίο ορισμού της είναι: D = 6,0 (0, 4) [ ) C είναι [ ) 6,0 (0, 4). ii. Το 0 είναι τιμή της γιατί η ευθεία με εξίσωση y= 0 τέμνει την C στο σημείο Α( 6, 0). iii. Το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της C είναι το σύνολο [ 0, 4] { } Έτσι το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο [ 0, 4] { }.. iv. Η ευθεία = τέμνει την C στο σημείο Β(, ). Άρα () =. v. Οι ρίζες της εξίσωσης () = 0, είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της C με τον άξονα. Παρατηρούμε ότι η C με τον άξονα έχει ένα μόνο κοινό σημείο το Α( 6,0). Έτσι η εξίσωση () = 0 έχει μια μόνο ρίζα την = 6. 10
vi. Το σύνολο λύσεων της ανίσωσης () > 0 (αντίστοιχα () < 0) είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της C των οποίων οι τεταγμένες τους είναι θετικές (αντίστοιχα αρνητικές). Έτσι έχουμε: > 0 6,0 0, ( ) ( ) ( ) ( ) < 0 [, 4) 11
Άσκηση 9. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων,, φ, h. i. ii. iii. iv. Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις,, φ, h είναι περιττές. 1
i. Η είναι περιττή, γιατί η C είναι συμμετρική ως προς την αρχή του συστήματος αναφοράς. ii. Η δεν είναι περιττή, γιατί το iii. Η φ δεν είναι περιττή, γιατί το για ένα ακόμη λόγο. Υπάρχει το iv. Η h δεν είναι περιττή γιατί υπάρχει το 1 D αλλά το 1 D. 0 Dφ αλλά το φ( 0) = 1 0. Η φ δεν είναι περιττή και D φ αλλά Dφ. 1 Dh ώστε ( ) h 1 = 0 1 = h(1). 1
Άσκηση 10. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = ln. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i. y = () ii. y = () iii. y = ( 1) iv. y = ( + 1) v. y= ( ) + 1 vi. y= ( ) 1 i. Η ορίζεται αν και μόνο αν > 0 0. Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D \{ 0} Έχουμε: ln, > 0 () = ln( ), < 0 =. Η γραφική παράσταση της αποτελείται από δυο κλάδους. Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y = ln με >0 και ο άλλος η συμμετρική της ως προς τον y y. Έτσι έχουμε: ii. Αρχικά παριστάνουμε γραφικά την y = () και έπειτα την y = (). (βλέπε σχήμα) 14
iii. Η γραφική παράσταση της y = ( 1) θα προκύψει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα δεξιά. iv. Η γραφική παράσταση της y ( 1) = + θα προκύψει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα αριστερά. 15
v. Η γραφική παράσταση της y = () + 1 θα προκύψει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα προς τα πάνω. vi. Η γραφική παράσταση της y= ( ) 1 θα προκύψει, αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της κατά μια μονάδα προς τα κάτω. 16
17
Άσκηση 11. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο., 0 () =, < 0 Να παρασταθούν γραφικά οι παρακάτω συναρτήσεις: i. y = () ii. y = () iii. y = ( ) iv. y = ( ) v. y = () 1 y = () vi. ( ) ( ) i. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = () αποτελείται από δυο κλάδους. Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης με τύπο y= για 0 και ο άλλος η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y= για < 0. ii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = () προκύπτει από την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (), αν θεωρήσουμε την συμμετρική αυτής ως προς. 18
iii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = ( ) προκύπτει από την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (), αν θεωρήσουμε την συμμετρική αυτής ως προς τον άξονα y y. iv. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = ( ) προκύπτει από την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = (), αν θεωρήσουμε την συμμετρική αυτής ως προς την αρχή του συστήματος αναφοράς. 19
v. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = () αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα. vi. Αν () 0 είναι y = 1 () () = 0 Αν () < 0 είναι y = 1 () + () = () Άρα έχουμε: 0, αν () 0 y = (), αν () < 0 0
1
Άσκηση 1. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = ln ln 1 και ( ) = ln. 1 Να εξετάσετε αν =. Στην περίπτωση που είναι, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) = (). Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν > 0και 1 > 0. > 0 0 0,1 1 > 0 1 Επομένως D \{ 0,1} =. Η συνάρτηση ορίζεται αν και μόνο αν 0 ( 1) 0 0 1 > > < D =, 0 (1, + ). Άρα έχουμε D D οπότε:. Επομένως ( ) ή > 1. 1 > 0 Για κάθε D είναι: ( ) = ln = ln = ln = ln ln 1 = () 1 1 1 Άρα ( ) = () για κάθε (, 0 ) (1, + ). Έτσι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) (, 0 ) (1, + ). Επομένως οι συναρτήσεις και είναι ίσες στο (, 0 ) (1, + ). = () είναι το σύνολο
Άσκηση 1. Δίνονται οι συναρτήσεις και με ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις: +,, = και () = 1. ln Η ορίζεται αν και μόνο αν > 0 > 0 (0,1) (1, + ) ln 0 1. D = 0,1 (1, + ). 1 Η ορίζεται αν και μόνο αν 1 0. 1 Επομένως D =,. Επομένως ( ) 1 Είναι D D = 0,. Επομένως ορίζονται οι συναρτήσεις + και στο 1 0,. Οπότε: ( + )( ) = ( ) + ( ) = + 1 ln 1 ( )() = ()() = 1 = ln ln Επειδή: 1 1 1 0 0< D D < 0< 1 0< < () 0 1 1 0 1 0 Ορίζεται το πηλίκο και έχουμε: () 1 ( ) ln = = =, 0< < () 1 ln 1
Άσκηση 14. Δίνονται οι συναρτήσεις και με τύπους Να βρείτε τις συναρτήσεις o και o. () = 4, () = + 1. Η ορίζεται στο D [, ] = και η ορίζεται στο D =. α) Για να ορίζεται η συνάρτηση o πρέπει και αρκεί το σύνολο { } Α = D () D. 1 Έχουμε: D + 1 1 () D ( + 1) [, ] Επομένως Α [,1] o. 1 = οπότε ορίζεται η o. Το σύνολο Α 1 θα είναι το πεδίο ορισμού της Ο τύπος της o είναι: (o)() = (()) = ( + 1) = 4 ( + 1) = + για κάθε 1 β) Για να ορίζεται η o πρέπει και αρκεί το σύνολο Α { D () D} Έχουμε: D [, ] [, ] () D 4 Επομένως Α [, ] =. = οπότε ορίζεται η o. Το σύνολο Α είναι το πεδίο ορισμού της o. Ο τύπος της o είναι: ( )( ) ( ) ( ) ( ) o 4 4 1 = = = + για κάθε 4
Άσκηση 15. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 o ). Αν (ΒΓ)=4 και (ΑΒ)=, να εκφράσετε την προβολή της κάθετης πλευράς ΑΓ πάνω στην υποτείνουσα ως συνάρτηση του. Η προβολή της ΑΓ πάνω στην ΒΓ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ. Είναι (ΑΒ)= και (ΒΓ)=4. Από πρόταση της Γεωμετρίας έχουμε: ( )( ) (ΑΓ) ΒΓ ΓΔ Έτσι έχουμε: = και (ΑΓ) = (ΒΓ) (ΑΒ). ( ΓΔ) (ΑΓ) (ΒΓ) (ΑΒ) = = (ΒΓ) (ΒΓ) 4 = = 4 4 4 Άρα αν ( ΓΔ) = () τότε ( ) = 4. 4 Η ορίζεται αν και μόνο αν > 0και ( ) > 0. Έτσι έχουμε: 4 > 0 < 16 < 4 4 0 < < 4 > 0 > 0 > 0 Είναι φανερό ότι 0< < 4, αφού (ΑΒ)= και ΑΒ κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα μήκους (ΒΓ)=4. Έτσι το πεδίο ορισμού της είναι D = (0, 4). 5
Άσκηση 16. Να βρεθεί η συνάρτηση ώστε: 1 =, για κάθε. ( ) Θέτω ω+ 1 1=ω =. Από τη σχέση έχουμε: ω+ 1 ( ω ) =, ω Θεωρώ σαν ( ) + 1 =, και ( ) 1, Εξετάζω αν ισχύει ( o)( ) = κ( ) για κάθε. Έχουμε: D () D 1 = και κ ( ) =,. Άρα D o =. Είναι D κ =, άρα Do = D κ. Έχουμε: 1+ 1 o () = (()) = 1 = = =κ() ( ) ( ) για κάθε. Άρα η συνάρτηση που επιλέξαμε είναι η ζητούμενη. 6
Άσκηση 17. Το κόστος μονάδων ενός προϊόντος είναι K() = 4. Αν η τιμή πώλησης μιας μονάδας του προϊόντος είναι Π() = 5 τότε: i. Να εκφράσετε το κέρδος Ρ ως συνάρτηση του. ii. Να βρείτε πότε η επιχείρηση θα έχει κέρδος και πότε ζημιά. i. Οι εισπράξεις από την πώληση μονάδων του προϊόντος θα είναι: Ε() = Π() = ( 5), > 0 Το κέρδος P() θα είναι: Ρ() = E() K() Ρ() = ( 5) ( 4 ) Ρ() = 5 + 4 + Ρ() = 5 + 4, > 0 ii. Η επιχείρηση θα έχει κέρδος όταν Ρ() > 0 και η ζημιά όταν Ρ() < 0. Το τριώνυμο 5 + 4 έχει ρίζες τους αριθμούς 1 και 4. Είναι Ρ() > 0 αν 0 < < 1 ή > 4 και Ρ() < 0 αν 1 < < 4. 7
Άσκηση 18. Να προσδιοριστεί συνάρτηση : R R έτσι ώστε: i. ( 1) = για κάθε R. ii. () = για κάθε R. i. Στη σχέση που δίνεται θέτουμε όπου 1 = ω = ω + 1. Άρα η σχέση γίνεται: (ω) = (ω + 1) ή (ω) = ω + ω + 1 ή (ω) = ω + ω Έτσι έχουμε: () = +, R. ii. Στη σχέση που δίνεται θέτουμε όπου = ω = ω. Άρα η σχέση γίνεται: (ω) = ω ή (ω) = ω 7 Έτσι έχουμε: () = 7, R. 8
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Δίνεται η συνάρτηση :. Να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση ( ) ii. Η συνάρτηση h( ) ( ) + ( ) = είναι άρτια. ( ) ( ) = είναι περιττή. iii. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο R γράφεται σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. i. Είναι D = και επιπλέον έχουμε: ( ) + [ ] ( ) ( ) =, ( ) + () ( ) =, ( ) = ( ) για κάθε. Άρα άρτια. ii. Είναι D h = και επιπλέον έχουμε: ( ) [ ] ( ) h ( ) =, ( ) () h ( ) =, ( ) ( ) h ( ) =, h( ) = h ( ) για κάθε. 9
Άρα h περιττή. iii. Έστω τότε έχουμε: ( ) h( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + = + = ( ) ( ) ( ) + + ( ) () = = = () Άρα ( ) h ( ) ( ) + = για κάθε. Επομένως κάθε συνάρτηση ορισμένη στο R γράφεται σαν άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. 0
Άσκηση. Δίνονται οι συναρτήσεις και ώστε ( ) = ln, > 0 και ( ) i. Να βρεθεί συνάρτηση t ώστε to =. ii. Να βρεθεί συνάρτηση φ ώστε oφ =. 1 =, > 0. i. Αφού to = τότε Dto = D = ( 0, + ) και ( to )( ) ( ) 1 Είναι ( to )( ) = ( ) t ( ( ) ) = ( ) t ( ln) =. Θέτουμε ln =ω = e ω. Οπότε έχουμε: 1 ω t ( ω ) = t ω ( ω) = e, ω t ( ) = e, e Άρα η ζητούμενη συνάρτηση t είναι: t = e, ( ) = για κάθε > 0. ii. Αφού oφ= τότε Doφ D (0, ) oφ = για κάθε > 0. 1 1 Είναι ( ϕ ( ) ) = ( ) ln( ϕ ( )) = ϕ ( ) = e. Άρα η ζητούμενη συνάρτηση φ είναι: ( ) 1 φ = e, > 0 = = + και ( )( ) ( ) 1
Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) = 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης h με h ( ) = ( ln 1) + ( ). Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = [ 1,1]. Θέτουμε t ( ) = (ln 1). Το πεδίο ορισμού της t είναι το σύνολο D = { > 0 ln 1 D } t. > 0 > 0 > 0 ln 1 D 1 ln 1 1 0 ln > 0 > 0 1 e 0 ln e e e 1 e Άρα D t [1, e ] =. Θέτουμε ( ) = ( ). Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο D = { : D }. 1 D 1 1 Άρα D = [1, ]. Είναι D t D = [1, ]. Το σύνολο αυτό είναι το πεδίο ορισμού της h. Έτσι D h = [1, ]. Ο τύπος της h είναι: h ( ) = ( ln 1) + ( ) = = 1 (ln 1) + 1 ( ) = ln + ln + + 4
Άσκηση 4. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α=[1,]. Να δείξετε ότι ορίζονται οι παρακάτω συναρτήσεις και να βρεθεί το πεδίο ορισμού των: i. h ( ) = ( 1) ii. φ( ) = ( 6) i. Θέτω () = 1, 0. Αφού h() ( 1) h = = o (). = τότε ( ) ( ) H h ορίζεται όταν: Α= 01 1 { } ( ) ( ) Πράγματι 0 0 ( 1) [1,] 1 1 0 0 4 9 4 9 Άρα D h = [4,9]. ii. Θέτω ( ) = 6,. Αφού φ( ) = ( 6) τότε ( ) ( ) H φ ορίζεται όταν: Α= 1 6 { } ( ) ( ) φ = = o () Πράγματι D () D ( 6) [1,] 1 6 7 8 7 [ 7, ] Άρα =. Dφ 7, Ημερομηνία τροποποίησης: /8/011