Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ο ΓΕΛ Ν ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ

Περιεχόμενα Φυλλαδίου και σειρά διδασκαλίας σε σχέση με το σχολικό βιβλίο Από το Κεφ ο : Οι Πραγματικοί Αριθμοί Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Πραγματικοί Αριθμοί Πράξεις στους Πραγματικούς Ιδιότητες Δυνάμεις Αξιοσημείωτες ταυτότητες Μέθοδοι απόδειξης Εισαγωγή στην απόδειξη Απαγωγή σε άτοπο Διάταξη Πραγματικών Αριθμών(εκτός από τα διαστήματα) Έννοια της διάταξης Ιδιότητες των ανισοτήτων (εκτός της απόδειξης της ιδιότητας 4) 4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών (μόνο τετραγωνικές ρίζες) Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού( μόνο ορισμός) Ορισμός της απόλυτης τιμής Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

ΘΕΜΑ Α-ΘΕΩΡΙΑ Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; Το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; 4 Η διαφορά δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; 5 Πότε χρειάζεται να βρίσκουμε, όπως λέμε, ένα αντιπαράδειγμα; 6 Το πηλίκο δύο φυσικών αριθμών είναι φυσικός αριθμός; 7 Γιατί δεν επιτρέπεται να διαιρούμε με το μηδέν ; 8 Ποιοι είναι οι ακέραιοι αριθμοί; 9 Έστω ένας ακέραιος αριθμός α Ποιος είναι ο επόμενος ακέραιος του και ποιος ο προηγούμενος ακέραιος του α; 0 Το άθροισμα δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; Το γινόμενο δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; Η διαφορά δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; Το πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών είναι ακέραιος αριθμός; 4 Πότε ένας ακέραιος αριθμός λέγεται άρτιος ή ζυγός και πότε περιττός ή μονός; 5 Ποια είναι η γενική μορφή που έχει ένας άρτιος και ποια ένας περιττός αριθμός; 6 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο αρτίων είναι άρτιος αριθμός 7 Γιατί χρειάζεται να αποδείξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι αληθής; 8 Τι είναι η εικασία και τι η απόδειξη; 9 Πότε θεωρούμε ότι μία πρόταση είναι αληθής; 0 Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ενός αρτίου και ενός περιττού είναι περιττός Πως εφαρμόζουμε την αποδεικτική μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο; Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο α ο αριθμός α(α + ) είναι άρτιος(διακρίνοντας περιπτώσεις) 4 Ποια είναι τα πολλαπλάσια του ; 5 Ποιας μορφής είναι τα πολλαπλάσια του ; 6 Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του 7 Πότε ένας ακέραιος αριθμός α ονομάζεται πρώτος; Απάντηση: Ένας ακέραιος αριθμός α ονομάζεται πρώτος αν: Είναι διάφορος του 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

Είναι διάφορος των ± Οι μόνοι διαιρέτες του είναι οι αριθμοί ±,±α 8 Ποιοι είναι οι ρητοί αριθμοί; 9 Πως λέγεται ένα κλάσμα όπου έχουν γίνει όλες οι απλοποιήσεις; 0 Πως προκύπτουν οι Πραγματικοί Αριθμοί; Πότε ένας πραγματικός αριθμός λέμε ότι είναι ρητός και πότε ότι είναι άρρητος; Πότε δυο πραγματικοί αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι; Ποιος αριθμός δεν έχει αντίστροφο; Ποιοι αριθμοί έχουν αντίστροφο τον εαυτό τους; Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και ποιο του πολλαπλασιασμού; 4 Συμπληρώστε τις ισοδυναμίες: b = 0 Û 5 Έστω δυο ισχυρισμοί Α και Β b ¹ 0 Û Πότε οι ισχυρισμοί Α και Β συνδέονται με το σύμβολο της ισοδυναμίας( Û ) Πότε οι ισχυρισμοί Α και Β συνδέονται με το σύμβολο της συνεπαγωγής( Þ ) Πότε γράφουμε Α ή Β και πότε γράφουμε Α και Β 6 Πως ορίζεται η νιοστή δύναμη ενός πραγματικού αριθμού α, όπου ν ακέραιος; ( Για n ³, n =, n = 0 και n αρνητικό ) 7 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο(με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάμεις και οι πράξεις που σημειώνονται): k l = -k ( b ) k æ ö = k l = k ( ) l ç èb ø 8 Τι ονομάζουμε ταυτότητα; = 9 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: i ( + b ) = ii ( - b ) = iii ( + b ) ( - b ) = iv ( - b ) = v ( + b ) = vi + b = vii = viii - b ( + b + g) = k æ ö = ç = èb ø Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 6

40 Πότε μια αποδεικτική διαδικασία λέγεται ευθεία απόδειξη; 4 Έστω δυο αριθμοί α, β ( b ¹ 0) Τι λέμε λόγο του α ως προς β; 4 Τι ονομάζουμε αναλογία; 4 Έστω η αναλογία: g = b d που να προκύπτουν από αυτήν με b d ¹ 0 Να γράψετε όσες ιδιότητες των αναλογιών γνωρίζεται 44 Πότε ένας αριθμός α λέγεται μεγαλύτερος από έναν αριθμό β; Πως συμβολίζεται; 45 Πότε ένας αριθμός α λέγεται μικρότερος από έναν αριθμό β; Πως συμβολίζεται; 46 Τι γνωρίζετε για το άθροισμα και τι για το γινόμενο θετικών αριθμών; 47 Τι γνωρίζετε για το άθροισμα και τι για το γινόμενο αρνητικών αριθμών; 48 Τι γνωρίζετε για το γινόμενο και τι για το πηλίκο ομοσήμων αριθμών; 49 Τι γνωρίζετε για το γινόμενο και τι για το πηλίκο ετερόσημων αριθμών; 50 Τι γνωρίζετε για το τετράγωνο ενός αριθμού; 5 Συμπληρώστε τις ισοδυναμίες: + b = 0 Û + b > 0 Û 5 Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε στα μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό; 5 Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αριθμό; 54 Μπορούμε να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε, να διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες της ίδιας φοράς; 55 Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α και πως συμβολίζεται; 56 Να αναφέρετε ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών που γνωρίζετε 57 Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α; Δώστε τον γεωμετρικό και τον αλγεβρικό ορισμό 58 Να αναφέρετε ιδιότητες των απολύτων τιμών που προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 6

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ένα κλάσμα ορίζεται όταν ο παρονομαστής του δεν είναι μηδέν Όταν μας ζητούν να βρούμε πότε ορίζεται μια παράσταση που περιέχει κλάσματα θέτουμε όλους τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων διαφορετικούς από το μηδέν και προσδιορίζουμε τις τιμές για τις οποίες η παράσταση έχει νόημα πραγματικού αριθμού Αν στα μέλη μιας ισότητας υπάρχει κοινός παράγοντας, τότε ο παράγοντας αυτός διαγράφεται μόνο όταν δεν είναι μηδέν!!! Μπορούμε να προσθέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε ισότητες κατά μέλη, χωρίς κανένα περιορισμό για τους αριθμούς 4 Μπορούμε και στα μέλη μιας ισότητας να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό 5 Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε και στα μέλη μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό που προσέχουμε όμως να είναι διαφορετικός του μηδενός 6 Όταν δίνεται στην υπόθεση μιας άσκησης αναλογία, συνήθως, θέτουμε τους ίσους λόγους με λ και εργαζόμαστε αντικαθιστώντας στην αναλογία(σχέση) που θέλουμε να αποδείξουμε 7 Για να αποδείξουμε μια ταυτότητα ακολουθούμε ένα από τα παρακάτω: Κάνουμε πράξεις στο ο μέλος της ταυτότητας μέχρι να καταλήξουμε στο ο μέλος Κάνουμε πράξεις στο ο μέλος της ταυτότητας μέχρι να καταλήξουμε στο ο μέλος Κάνουμε πράξεις ταυτόχρονα και στα μέλη μέχρι να καταλήξουμε με ισοδυναμίες σε πρόταση που να ισχύει 8 Η μέθοδος της <<απαγωγής σε άτοπο>> : θεωρούμε ότι αυτό που θέλουμε να δείξουμε δεν ισχύει και με λογικούς συλλογισμούς καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση 9 Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε σε γινόμενο μια παράσταση 0 Η παραγοντοποίηση γίνεται: Με κοινό παράγοντα Κατά ομάδες Χρησιμοποιώντας γνωστές ταυτότητες Με συνδυασμό όλων των προηγούμενων Ιδιότητες των ανισοτήτων: > b Û - b > 0 < b Û - b < 0 Αν > 0 και b > 0, τότε + b > 0 και b > 0 4 Αν < 0 και b < 0, τότε + b < 0 και b > 0 5 Αν b, ομόσημοι, τότε b > 0 και 0 b > Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 6

6 Αν b, ετερόσημοι, τότε b < 0 και 0 b < 7 Για κάθε αριθμό α ισχύει ³ 0 8 Αν > b και b > g, τότε > g 9 Αν > b, τότε + g > b + g 0 Αν > b και g > d, τότε + g > b + d Αν > b και g > 0, τότε g > b g Αν > b και g < 0, τότε g < b g Φροντίζουμε οι ανισότητες να έχουν την ίδια φορά πριν τις προσθέσουμε κατά μέλη Δεν έχουμε το δικαίωμα να αφαιρούμε κατά μέλη ανισότητες, γι αυτό και πολλαπλασιάζουμε με το -, ώστε αντί για αφαίρεση να κάνουμε πρόσθεση 4 Δεν έχουμε το δικαίωμα να διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες, γι αυτό και αντιστρέφουμε τα κλάσματα αλλάζοντας φορά, ώστε αντί για διαίρεση να κάνουμε πολλαπλασιασμό(βεβαίως, για να αντιστρέψουμε και τα δυο μέλη μιας ανισότητας αλλάζοντας φορά, πρέπει και τα δυο μέλη να είναι ομόσημοι αριθμοί) 5 Μπορούμε να υψώσουμε και τα δυο μέλη μιας ανισότητας στο τετράγωνο αν πρώτα βεβαιωθούμε ότι και τα δυο μέλη είναι μη αρνητικοί αριθμοί 6 Η απόλυτη τιμή του δεν είναι ποτέ αρνητικός αριθμός 7 Η απόλυτη τιμή του είναι μεγαλύτερη από κάθε αρνητικό αριθμό 8 Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια απόλυτη τιμή Δηλ - = 9 Πως μπορούμε να βγάλουμε το απόλυτο από μια παράσταση; Απάντηση: Αρκεί να γνωρίζουμε το πρόσημο της παράστασης μέσα στο απόλυτο Τότε: Αν A ³ 0, τότε A = A Αν A 0, τότε A =- A 0 Όταν δεν ξέρουμε το πρόσημο του υπόρριζου πάντα κατά την διαγραφή της ρίζας θα βάζουμε απόλυτο Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 6

ΘΕΜΑ Α - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Ένας ρητός αριθμός k θα είναι ίσος με το 0 αν και μόνο αν κ = 0 l Ένα γινόμενο δεν είναι μηδέν όταν κανένας παράγοντάς του δεν είναι μηδέν Αν προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε δύο ρητούς το αποτέλεσμα είναι επίσης ρητός αριθμός 4 Το γινόμενο δυο άρρητων είναι άρρητος 5 Αν ( -) = y ( -) tόte = y 6 Αν (α-β)(β-γ)(γ-α) ¹ 0 τότε α ¹ β ¹ γ ¹ α 7 Η ισότητα ( - ) 0 = ισχύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό 8 ( ) 0 0 - =- 9 ( ) 0 - =- - - = 4 7 0 ( ) 0 0 = (- 0) 0 4 0 6 - (- ) = (- ) ( - b) = ( b - ) 4 ( + b) = (-b - ) 5 ( - b) = ( b - ) 6 Για κάθε αριθμό α ισχύει: ³ 7 Για κάθε αριθμό α ισχύει: ³ 8 Για κάθε αριθμό α ισχύει: - 9 Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: > 0 0 Αν b >, τότε > b Αν α ³ 0 και β > 0 τότε α + β > 0 Αν α > β > 0 τότε α² - β² > 0 Αν α ³β τότε α β > 0 4 Αν α = β τότε α β > 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 6

5 α² + β² 0 Û α = β = 0 6 Αν α > β και γ > δ τότε α - γ > β δ 7 α² + β² 0 Û α = β = 0 8 Αν α > β και γ > δ τότε α γ > βδ 9 Αν α < β < 0 τότε -α < -β 0 Αν α > β Û α γ > β γ Αν < b b τότε > = 6 + = 5 4 Το διπλάσιο του 5 είναι το 0 5 Το μισό το είναι το 6 Δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές 7 - = - 8-7+ 4 = - 7 + 4 9 Η εξίσωση - + = 0 είναι αδύνατη 40 Αν + y = 0, τότε = 0 ή y = 0 4 ³ 4 + = + 4 = 44 Αν, τότε - = - 45 α = β Û α =β 46 α < β Û α <β 47 α < β Þ α<β 48 α<β Þ α < β 49 - y = y - 50 Aν α + β = 0 Û α +β =0 5 +y =0 Û = y 5 Aν α<β<γ<δ τότε β-γ < α-δ Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 6

5 Αν α < 0 τότε A = - είναι ίσο με το 6 54 Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει - α = -α 55 Για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει = 56 Αν < 0 τότε = - 57 + y = + y 58 + y = 0 Û = y = 0 59 + y = + y 60 Αν α < 0 τότε α β = - α β 6 Αν αβ ³ 0 τότε α β = α β 6 Αν α > 0 και β<0 τότε - b = - b 6 Για κάθε πραγματικό α ισχύει (-α) = α 64 Αν α < β < 0 τότε - α > - β 65 Αν > y τότε y ( - y ) 66 (5 ) = 5 + + = y 67 Αν <, τότε 6 +9 = 68 = 69 Αν < 0, τότε = ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Το μισό του αριθμού 6 6 είναι ίσο με: Α 6, Β 6, Γ 5 6, Δ Αν β < 0 η παράσταση Α = - β - β είναι ίση με: Α β, Β β, Γ -β, Δ -β, Ε 0 Αν α < τότε η παράσταση Α = α + - α + - α - είναι ίση με: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 6

Α - α, Β α -, Γ α +, Δ α -, Ε - α 4 Αν α = β = 0 προκύπτει ότι: Α α = 0 ή β = 0 Β α = 0 και β = 0 Γ α = 0 και β ¹ 0 Δ α ¹ 0 ή β ¹0 5 Η ισότητα α + α = α ισχύει όταν: Α α < 0, Β α 0, Γ α > 0, Δ α ³ 0 6 Η ανίσωση ³ - αληθεύει για: Α < 0, Β για κάθε πραγματικό, Γ ³ 0, Δ Δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα 7 Αν α < 0 < β τότε η παράσταση Α = α - β - α - β είναι ίση με: Α -α, Β α, Γ β, Δ -β 8 Αν < 0 η παράσταση A = 4 + είναι ίση με: Α 0 Β 4 Γ Δ E - 9 9 Αν > 0 η παράσταση A = + είναι ίση με: Α0 Β 6 Γ 9 Δ Ε 4 0 Η παράσταση ( -) ( + ) είναι ίση με : Α Β 0 Γ 4 Δ Ε - H τετραγωνική ρίζα του είναι ίση με: Α Β Γ Δ H παράσταση 7-7 + είναι ίση με: Α 5 Β 6 Γ 4 Δ - Ε Η ισότητα + + - + = ισχύει όταν : Α <, B, Γ >, Δ ³ Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

4 Αν ισχύει b b - 4 + 4 + - 6 + 9 = 0 τότε: Α α = και β ¹ 0, Β α = και β =, Γ α = ή β =, Δ α ¹ και β ¹ 5 Αν < 0 < y η τιμή της παράστασης A= - y + - y ισούται με : Α- Β - Γ + Δ 0 Ε y ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α σε ένα στοιχείο από τη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β 5 5 α 5 5 4 5 β δεν ορίζεται 5 ( 5) 6 5 γ 5 Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α με τις συζυγείς τους στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α) + 5 (7 + ) Β) + 7 0 + 7 Γ) + + 5 0 + 7 Δ) + 7 0 4 + 5 5 5 6 7 + 7 5 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Δύο φυσικοί αριθμοί α, β έχουν άθροισμα 6 Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το γινόμενο τους ; Β Για τους φυσικούς αριθμούς α, β είναι γνωστό ότι και οι δύο διαφορές α β και β α είναι φυσικοί αριθμοί Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για τους αριθμούς α, β; Β Να δείξετε ότι η διαφορά δύο αρτίων είναι άρτιος Β4 Να δείξετε ότι η διαφορά δύο περιττών είναι άρτιος Β5 Να δείξετε ότι το γινόμενο δύο περιττών είναι περιττός Β6 Να δείξετε ότι το γινόμενο ενός αρτίου με ένα οποιοδήποτε ακέραιο είναι άρτιος Β7 Να δείξετε ότι το άθροισμα ενός αρτίου και ενός περιττού είναι αριθμός περιττός Β8 Αν κ=λ να δείξετε ότι οι αριθμοί α= 0+λ-κ και β =5κ-0-4λ είναι αντίθετοι Β9 Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: y+ Α= 0y -5[-4 y(-4-)] για =,, y=-7,77 και B = για =, y = + y Β0 Να λυθεί η εξίσωση: ( -4)(+)=0 Β α)για ποιες τιμές του ορίζονται τα κλάσματα: A= - 4 ( -) και - B= ( - )( + ) ; β)να δείξετε ότι οι Α, Β είναι αντίστροφοι Β Να γράψετε ως γινόμενο παραγόντων τα: i 6 + ii αβ + α iii αβ 5α β + 5 Β Να γίνουν οι πολλαπλασιασμοί i (y + z t) ii ( + α) (y + z t) iii (α) (y + z t) iv (α + β γ)(κ λ + μ) Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

Β4 Να γράψετε σαν ένα κλάσμα τις παραστάσεις : A= 5, 6 B=, 7 G= 5, 6 b D= g d Β5 Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες : i (5α ) + (5α + ) = 50α + ii (α + β) (α + β ) = αβ(α + β) Β6 Συμπληρώστε τις ισότητες ώστε να προκύψουν αναπτύγματα ταυτοτήτων: α) 9 - = ( - χ) ( + ) β) 8α + = (α + ) ( - + 4) γ) ( + β ) = + 6α β+ δ) χ 4 - = ( + χ ) ( 4) Β7 Να απλοποιηθεί το κλάσμα: ( + y)( -) - + y-y Β8 Να γίνουν οι πράξεις: α) + + bg g b -c c + 4 c+ c β) - + - c- c -8c c+ c -4 c-y y-w w-c γ) + + cy yw wc Β9 Να βρείτε τις γωνίες ενός τριγώνου αν είναι γνωστό ότι είναι ανάλογες με τους αριθμούς, και 5 Β0 Οι αριθμοί α και β είναι ανάλογοι των αριθμών και 5 και ισχύει α+β=40 Να βρείτε τους αριθμούς α και β Β Έστω α,β,γ,δ τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί Να αποδείξετε ότι: i α-β-γ+δ=0, ii ο αριθμός β+γ είναι περιττός, iii ο αριθμός α+γ είναι άρτιος, Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 6

iv ο αριθμός (α+γ)(β+δ) είναι πολλαπλάσιο του 4 Β Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι και οι αριθμοί γ,δ είναι αντίστροφοι, να βρείτε την τιμή της παράστασης: A= d -é- -( b + ) ù- d ( g + ) ë û Β i) Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση α β + αβ α β ii) Αν για τους αριθμούς α,β ισχύει α β + αβ = α +β, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι Β4 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ( -) + 4( -) + - ii) y(y -) + y 4y - 9-9 iii) (ω + ) ω 4 - (ω + ) - (α + )(α - ) - 4(α + ) iv) α + α Β5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) α - 4 α + α + α - 6 α + α ii) + + 5 + 6-4 + iii) 4y - 9 y : 4y -y + 9 y + y - y Β6 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) - 4 + - - 8 - + 6y ii) - + + y - y - 4y iii) y - 6 - + y -5y + 6 y - y - y y + - - y + y - y iv) Β7 Έστω ότι α < β Να αποδείξετε ότι: α 6α < 6β β 5(α + ) < 5(β + ) γ 6(α β) < α β Β8 Έστω ότι α < β και γ < δ Να αποδείξετε ότι: α + γ β + δ α α + γ < β + δ β α 5δ < β 5γ γ + 4< + 4 Β9 Aν ισχύει (α β)(α²+) ³ 0 να συγκρίνετε τα α και β Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 6

Β0 Έστω ότι α < β και γ < δ Να αποδείξετε ότι: αγ αδ βγ + βδ > 0 Β Να δείξετε ότι α + 4 ³ 4α για κάθε α πραγματικό αριθμό Β Να δείξετε ότι : α α 0α + 6 > 0 β α α + > 0 γ α + β 4α + 4 0 δ α 4α + 5 > 0 ε- α + 6α < 0 στ α α + > 0 Β Δείξτε ότι: y ( y ) + ³ - - Β4 Να δείξετε ότι α + β + γ ³ αβ + βγ + αγ για κάθε α, β, γ πραγματικούς αριθμούς Β5 Να αποδείξετε ότι: α Αν α > 0 τότε + β Αν α < 0 τότε + - Β6 Αν ισχύει α και < β < 4, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις α α + β β α β γ α + β αβ Β7 Aν ισχύει < α < και - < β < -, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή κάθε παράστασης α 4α β β α + β γ αβ δ - α β ε α β στ - α β Β8 Αν ισχύει β 4 και < α <, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις α α + β β α β γ α β δ α² - β Β9 Aν ισχύει - α < - και -4 < β < -, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή κάθε παράστασης α 4α β + β α + β γ - αβ δ β α ε (α + β) β στ β α αβ Β40 Αν α + β = να δείξετε ότι : α β Β4 Αν 0 < α < β να διατάξετε κατά σειρά μεγέθους από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 6

τους αριθμούς α β α +,, β α αββ Β4 Να βρείτε τις παρακάτω απόλυτες τιμές: α) 5 β) - γ) - δ) - ε) p- στ) p- 7 Β4 Να βρείτε τις παρακάτω απόλυτες τιμές: α) 7-6 β) p- 6 γ) p- 6 δ) ( p- ) ε) p- 6 Β44 Να βρείτε τις παρακάτω απόλυτες τιμές: α) c -cy+y β) -c + 6c- 9 γ) p -6p+ 9 δ) -p + p- Β45 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές: Α= - - + Β= + - -( - ) Γ= + - - Β46 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές: Α= c- + c- 5 Β= c- 0 + 5 -c Γ= 4-c + 6-c i) αν c< ii) αν <c< 5 iii) αν 5 <c Β47 Αν < b < 0 να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : A= + b - + b - - b B= -b - -b - b - b * Β48 0 Αν y, Î, να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η παράσταση: A y y = + + y y Β49 Αν < b < g να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: b - + b -g Α=, Β= b -g + -b - - g + b - -g Β50 Αν < δείξτε ότι: + - - = + + - Β5 Αν < και - y<4 να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η παράσταση Α=4-5y+9 Β5 Αν ισχύει << και -<y<- βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 7 από 6

A = 4 - y, B = + y, G = -, D = y -, y E y = -, Z = - y Β5 Υπολογίστε την πλευρά τετραγώνου εμβαδού 44 cm Β54 Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλλους; α),,,, β) 8, 7, 8, 6,, 6 Β55 Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι; i) α= 8, β=, γ=, δ=, ε=, στ= ii) α= +, β=, γ=, δ= +, ε= 7 Β56 Να βρείτε μία δεκαδική προσέγγιση του 5 «με το χέρι» δηλαδή χωρίς να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή, υπολογιστή, κινητό κτλ Β57 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) και 0 β) 5 και + γ) και δ) και ε) 0+ 5 και 5 + Β58 Να κάνετε τις πράξεις : α) 6 9 β) 86+ 5 9 γ) δ) 8 + 7 50 ε) 75 + Β59 Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 8 από 6

Α) Β) Γ) Δ) Ε) Β60 Nα δείξετε ότι ο αριθμός ( 5 + ) είναι ρητός Ομοίως αν, y είναι θετικοί ρητοί, να δείξετε ότι ο αριθμός ( + ) είναι ρητός Β6 Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = + όπου, οι λύσεις των παρακάτω εξισώσεων : i) = 7 ii) = 7 Β6 Δίνεται ότι 5 = Nα βρείτε τον Β6 Aν να απλοποιήσετε την παράσταση Α = ( + ) + ( ) Β64 Nα αποδείξετε ότι : α) ο αριθμός + είναι τετραγωνική ρίζα του αριθμού 6(+ ) β) ο αριθμός είναι τετραγωνική ρίζα του αριθμού + ), > > 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 9 από 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας α) Πόσοι αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στο 8 και το 5 8 ; β) Υπάρχει αριθμός ανάμεσα στον, και στον, ; Αν ναι, γράψτε έναν γ) Υπάρχει πραγματικός αριθμός α μεγαλύτερος του 5 8 με την ιδιότητα: << ανάμεσα στον 5 8 και τον α να μην υπάρχει άλλος αριθμός >> ; δ) Υπάρχει ο μικρότερος θετικός πραγματικός αριθμός; Αν ναι, ποιος είναι αυτός; ε) Υπάρχει ο επόμενος πραγματικός αριθμός του 4,; Αν ναι, ποιος είναι αυτός; στ) Μπορείτε να βρείτε έναν αριθμό ανάμεσα στον 0,99 και στον ; Ανάμεσα στον 0,899 και στον 0,9; Τι Παρατηρείτε; Γ Ο αριθμός α είναι περιττός και ο αριθμός αβ + είναι άρτιος Να αποδείξετε ότι ο β είναι περιττός Γ Για τον αριθμό χ είναι γνωστό πως ( )( )( ) = 0 Ποιες είναι οι τιμές που μπορεί να πάρει το γινόμενο ( + )( + )( + ); Γ4 Αν οι αριθμοί κ, λ είναι αντίθετοι και οι αριθμοί μ, ν είναι αντίστροφοι να βρείτε την τιμή της παράστασης : A=n-é-k-( l+ 8) ù-n( m+ ) ë û Γ5 Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες : i (α β ) = α + β αβ, με δεδομένο ότι α + β = ii (α + β) +(α + β) (α β) + (α + β)(α β) + (α β) = 8α Γ6 Να απλοποιηθεί το κλάσμα: -9 - ( + ) ( + ) - 8( + ) Γ7 Να γίνουν οι πράξεις: æ 4mn ö : æ m n mn ç m+n- ç - - ö è m+nø èm+n n-m m -n ø α) æ ö æ ö ç b ç b +b : ç - - -b : ç + b b + - ç -b ç +b è ø è ø β) ( ) ( ) Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 0 από 6

Γ8 Οι αριθμοί α και β είναι ανάλογοι των αριθμών 4 και 6 και ισχύει α+β= i Να βρείτε τους αριθμούς α και β ii Να βρείτε την τιμή της παράστασης: A= -é- -é-( b -) -b( -) ë ùû ù ë û Γ9 Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i α β ( ) ii α β ( ) + = + b - b + = - b + b iii α + β = ( + b) - b( + b) iv α β ( b) b( b) + = - + - Γ0 Αν α + β = και α + β = 8 να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α = αβ, B=α + β και Γ= ( α-β) Γ Αν α + β = 4 και α β = να υπολογίσετε τις παραστάσεις i) α + β ii) α + β iii) α β α β + iv) + Γ i) Να αποδείξετε ότι (α β)(α + β)(α + β )(α 4 +β 4 ) = α 8 β 8 ii) Να υπολογίσετε το γινόμενο 9 0 000 Γ i) Να αποδείξετε ότι æ 4ö æ 4ö ç α + - ç α - = è αø è αø 6 ii) Να υπολογίσετε τον αριθμό æ ö æ ö = ç 0 + - ç 0 - è 50 ø è 50 ø - y - y Γ4 i) Να αποδείξετε ότι: + y = ( + y) ii) Να υπολογίσετε την παράσταση 79-58 + 79 Γ5 i) Αν Α = + και Β = -, να αποδείξετε ότι + A + B = Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

ii) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ορθογωνίου τριγώνου 40 99,, 40 40 αποτελούν μήκη πλευρών Γ6 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις æ + öæ ö i) ç - ç+ è + -øè 4 - ø ii) é + ê + ë - - ù ú : û ( -) ( -) - iii) æ ç è αβ öæ α α + β ö æ α β ö æ α β - ç + iv) α + β øè β α - β ö ç + - : ç + ø è β α ø è β α ø Γ7 α Αν α, β θετικοί τότε α > β Û α > β β Αν α,β αρνητικοί τότε α > β Û α < β Γ8 Αν α -, δείξτε ότι α + α + α Γ9 Αν α, β οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και α > β να δείξετε ότι α > β Γ0 Αν < και y < να δείξετε ότι + y < + y Γ Να δείξετε ότι 4 4 α + β ³ α β + αβ Γ Να αποδείξετε ότι: α α + β + (α + β) β για κάθε α, β, γ πραγματικούς αριθμούς α + β + γ + ³ (α + β + γ) Γ Αν 0 < α < να αποδείξετε ότι + ³ 4 α - α Γ4 Να δείξετε ότι æα+ βö ç ³ αβ è ø για κάθε α, β πραγματικούς αριθμούς Γ5 α Αν α, β ομόσημοι να δείξετε ότι α + β ³ β α β Αν α, β ετερόσημοι να δείξετε ότι α + β - β α Γ6 Να βρείτε τα, y αν: α + y 6 + 0y = - 4 β + y 4y γ + y - y + + 0 Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

Γ7 Έστω ότι α < β < γ Να αποδείξετε ότι: α + β α + β + γ α α < < β β α < < γ α + β α β Γ8 Για θετικούς αριθμούς α, β, γ να αποδείξετε ότι : < + + α + β + α + β Γ9 α Να αποδείξετε ότι : + y ( + y) β Αν ισχύει α,β > 0 και α + β =, να αποδείξετε ότι + ³ α β 4 και æ ö æ ö 5 ç α+ + ç β+ ³ è αø è βø Γ0 Αν 0 < α < β, να συγκρίνετε τους αριθμούς α α β,, β α β (αβ) 0 και β 0 Γ Αν 0 < α < β, να συγκρίνετε τους αριθμούς α α 5 5 β, β 9 α, 9 β γ α 0 β 7, β 0 α 7 Γ Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β, για τους οποίους ισχύει α < β < - Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους επόμενους αριθμούς α 0, α, β, α, β + β α 4, β 4, (α ) 4, (β + ) 4, 0 γ α 7, β 7, (α ) 7, (β + ) 7, 0 Γ Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) + + - + - = 0 Γ4 Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων α) +8 β) ( 5) ( + 5):[( + ) ] γ) Aν = 5 και = 5+, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = + Γ5 Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει : i) + +>0 για κάθε єr ii) +<0 για κάθε єr Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα από 6

Γ6 Aν = να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 6 + 8 + Γ7 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ= 4 cm και εμβαδόν 4 cm Nα βρείτε α) ΒΓ Α Β β) ΑΓ Δ Γ8 Aν ισχύουν + = + 9 και = 9 +, να αποδείξετε ότι : + = + Γ9 Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει ότι : i) Nα υπολογίσετε τους α και β ii) Nα αποδείξετε ότι : + ( )= + +5=0 Γ Γ40 Να απαλλαγεί από τα απόλυτα η παράσταση Γ = -y - y- + - --, αν < < y Γ4 Να αποδείξετε ότι η παράσταση A = --- + - όταν < < είναι ανεξάρτητη του ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ Αν + = και ¹ 0 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= +, Β= +, Γ= 4 +, 4 Δ= 7 + 7 æ ö Δ Αν ç + = è ø και ¹ 0 να αποδείξετε ότι + = 0 Δ Αν - = και ¹ 0 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 4 από 6

Α= + και Β= - Δ4 i) Να αποδείξετε ότι α α + β + (α - β) α + β = α + (α - β) 59 + 85 ii) Να υπολογίσετε την παράσταση 59 + 74 * Δ5 Αν α,β,γî R, α+ β+ γ = και + = 0, Δ6 Αν >, δείξτε ότι: 4 - < - + να αποδείξετε ότι α β γ α + β + γ = Δ7 Αν < α < να συγκρίνετε τους αριθμούς α και α + α Δ8 Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α = α + β και Β = α β + αβ, αν α,β < 0 Δ9 Να συγκρίνεται τους αριθμούς Α = α² - αβ + β² και Β = ( α-β ) Δ0 Αν > y > 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς y - + y και - y + y Δ Αν 0 < α < β, να δείξετε ότι α + 5α- β + 5β- α < β Δ Δίνεται η παράσταση Α = α 6α + 5 α Να εκφράσετε την παράσταση Α ως άθροισμα τριών τετραγώνων β Να δείξετε ότι: α + 5 > 6α Δ Να δείξετε ότι α 4 α + Δ4 Να δείξετε ότι (α + β )( + y ) ³ (α + βy) για κάθε α, β,,y πραγματικούς αριθμούς Δ5 Αν α,β ομόσημοι με α ¹ β, δείξτε ότι : æβ ö æ+ βö ç < β < + β ç è ø è ø Δ6 α Να δείξετε ότι : (α + β) ³ 4αβ β Αν επιπλέον α, β θετικοί με α + β = να δείξετε ότι: Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 5 από 6

i) αβ 4 ii) æ öæ ö çα + çβ + ³ 9 iii) α + β è α øè β ø iv) α 4 + β 4 8 Δ7 Έστω α,β,γ > 0 Να αποδείξετε ότι α β α + ³ β α β (α + β)(β + γ)(γ + α) ³ 8αβγ æ γ αν επιπλέον ισχύει α + β + γ = τότε öæ öæ ö ç - 8 α ç - - ³ β ç γ è øè øè ø Δ8 Για τους αριθμούς α και β ισχύει αβ + > α + β > α Να αποδείξετε ότι α > 0 και β < 0 β Να αποδείξετε ότι < - α α- α γ Να συγκρίνετε τους αριθμούς β, β β Δ9 Αν α, β θετικοί να συγκρίνετε τους αριθμούς α - β και - β - α αβ Δ0 Αν > 0, να αποδείξετε ότι + i) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της παράστασης + ; ii) Για ποια τιμή του η παράσταση αυτή παίρνει την ελάχιστη τιμή της; Χωρίς φιλοδοξία δεν ξεκινά τίποτα Χωρίς δουλειά δεν τελειώνει τίποτα Φ:ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ Σελίδα 6 από 6