Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100
Κανονικι Κατανομι Θ κανονικι κατανομι (normal distribution) κεωρείται θ ςπουδαιότερθ κατανομι τθσ κεωρίασ Πικανοτιτων και Στατιςτικισ. Οι λόγοι που εξθγοφν αυτιν τθν κατανομι είναι δφο: 1) Πολλζσ τυχαίεσ μεταβλθτζσ περιγράφονται ικανοποιθτικά από τθν κανονικι κατανομι 2) Οι ιδιότθτεσ τθσ κανονικισ κατανομισ αξιοποιοφνται ςτθ Στατιςτικι Συμπεραςματολογία.
Μια από τισ πρϊτεσ εφαρμογζσ τθσ κανονικισ κατανομισ ζγινε από τισ εργαςίεσ των Laplace και Gauss οι οποίοι μελζτθςαν χωριςτά τθ κεωρία ςφαλμάτων ςτισ διάφορεσ παρατθριςεισ και παρατιρθςαν ότι τα ςφάλματα μποροφν να περιγραφοφν ικανοποιθτικά από τθν κανονικι κατανομι. Γι αυτό το λόγο τθν ονομάηουμε και κατανομι ςφαλμάτων ι κατανομι Gauss-Laplace.
Θ κανονικι καμπφλθ ζχει κωδωνοειδι μορφι, είναι ςυμμετρικι και οι «ουρζσ» τθσ πλθςιάηουν τον οριηόντιο άξονα αςυμπτωτικά. Θ μζςθ τιμι και θ διάμεςοσ ταυτίηονται. Θ κορυφι ταυτίηεται με τθ μζςθ τιμι και τθ διάμεςο. Επομζνωσ, θ περιοχι που παρουςιάηει τθ μεγαλφτερθ πυκνότητα βρίςκεται και αυτι ςτο μζςο τθσ κατανομισ.
Συνικωσ, θ ομαλι καμπφλθ μιασ ςυνεχοφσ μεταβλθτισ μπορεί να περιγραφεί από ζνα μακθματικό μοντζλο το οποίο ονομάηεται ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ. Θ ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ τθσ κανονικισ κατανομισ ζχει τον τφπο: 1 x 2 f 1 ( 2 ( x) e 2 )
Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τθν καμπφλθ τθσ ςυνάρτθςθσ πυκνότθτασ και τον άξονα των τιμϊν τθσ Χ είναι ίςο με 1 και εφράηει τθν πικανότθτα θ Χ να πάρει τιμζσ μεταξφ
Γενικά, αν θ Χ είναι μία τυχαία μεταβλθτι με μζςθ τιμι μ και τυπικι απόκλιςθ ς τότε λζμε πωσ θ Χ ακολουκεί τθν κανονικι κατανομι (γράφουμε Χ ~ Ν(μ, ς 2 ))
Θ γραφικι παράςταςθ, για οριςμζνθ τιμι των παραμζτρων μ και ς 2, είναι μια καμπφλθ ςε ςχιμα καμπάνασ, ςυμμετρικι ωσ προσ τον μζςο
Θ μζςθ τιμι μ ορίηει τον άξονα ςυμμετρίασ τθσ κατανομισ ενϊ θ τυπικι απόκλιςθ ς ορίηει το πλάτοσ τθσ κατανομισ.
Όλεσ οι κανονικζσ κατανομζσ διαφζρουν μεταξφ τουσ μόνο ωσ προσ το ςθμείο που βρίςκεται ο άξονασ ςυμμετρίασ (ο οποίοσ ορίηεται από τθ μζςθ τιμι) και ςτθν κυρτότθτά τουσ (θ οποία ορίηεται από τθν τυπικι απόκλιςθ). Αυξάνοντασ τον μζςο, μετατοπίηεται θ καμπφλθ δεξιά (εικόνα 1)
Εικόνα 1
Εικόνα 2 Αυξάνοντασ τθν τυπικι απόκλιςθ, «πλαταίνει» θ καμπφλθ.
Τυποποιθμζνθ Κανονικι κατανομι Θ ειδικι περίπτωςθ τθσ κανονικισ κατανομισ με μζςθ τιμι μθδζν (μ=0) και διακφμανςθ ζνα (ς 2 =1) ονομάηεται Τυποποιημένη ή Τυπική κανονική κατανομή και ςυμβολίηεται με Ν(0,1). Θ αντίςτοιχθ τυχαία μεταβλθτι ςυνικωσ ςυμβολίηεται με Η και θ ςυνάρτθςθ πυκνότθτάσ τθσ με φ(z).
Τυποποιθμζνθ Κανονικι κατανομι Θ ςυνάρτθςθ πυκνότθτασ πικανότθτασ τθσ Τυπικισ Κανονικισ κατανομισ είναι: 1 2 ( z) e 2 z 2, z
Υπολογιςμόσ Πικανοτιτων Στθν πράξθ, για να υπολογίςουμε τισ πικανότθτεσ που αφοροφν τισ τιμζσ τυχαίασ μεταβλθτισ που ακολουκεί κανονική κατανομή N (μ,ς 2 ), χρθςιμοποιοφμε τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής N(0,1).
Ιδιότθτεσ Φ(-z)=1-Φ(z) P(α Η β)= Φ(β)-Φ(α) P(-α Η α)=φ(α)-φ(-α)=2φ(α)-1 P(Z>α)=1-P(Z<α)=1-Φ(α) Είναι φανερό, ότι μποροφμε να υπολογίςουμε οποιαδιποτε πικανότθτα για τθ Η με βάςθ μόνο τισ τιμζσ Φ(z) του πίνακα τθσ τυποποιθμζνθσ κανονικισ κατανομισ.
Παραδείγματα P(Z 1,37)=Φ(1,37)=0,9147 P(Z>1,37)=1-P(Z 1,37)=1-Φ(1,37)=1-0,9147=0,0853 P(Z -1,55)=Φ(-1,55)=1-Φ(1,55)=1-0,9394=0.606 P(-2 Z 2)=2Φ(2)-1=2*0,9772-1=0.9544
Μποροφμε να χρθςιμοποιιςουμε τθν ακόλουκθ ςυνάρτθςθ για να μετατρζψουμε οποιαδιποτε κανονικι τυχαία μεταβλθτι ςε τυποποιθμζνθ κανονικι τυχαία μεταβλθτι
Παραδείγματα Θ περιεκτικότθτα νικοτίνθσ ςε 80 διαφορετικζσ μάρκεσ τςιγάρων βρζκθκε ότι ακολουκεί τθν κανονικι κατανομι, με μζςο 5,62 και τυπικι απόκλιςθ 0,42. Να βρεκεί θ πικανότθτα θ περιεκτικότθτα νικοτίνθσ να είναι μεγαλφτερθ από 5,72. ΛΥΣΗ Ζςτω Χ θ τυχαία μεταβλθτι που παριςτά τθ περιεκτικότθτα νικοτίνθσ. Δεδομζνου ότι μ=5,62 και ς=0,42, θ πικανότθτα να είναι μεγαλφτερθ από 5,72 ζχει ωσ εξισ: X 5,72 5,62 P(X>5,72)=1-P(X<5,72)=1- P( ) = 1- P(Z<0,24)= 1-0,42 Φ(0,24) =1-0,5948 = 0,4052 ι 40,5%