ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ (α) Ο Διαδοχικός Έλεγχος (β) Ο Προσωτροφοδοτικός έλεγχος (γ) Τα Πολυμεταβλητά Συστήματα
Διαδοχικός Έλεγχος Οι περιπτώσεις ελέγχου όπου η έξοδος ενός ελεγκτή προσαρμόζει το set point ενός άλλου ελεγκτή ονομάζεται "Διαδοχικός έλεγχος" ή "Έλεγχος με αντιστάθμηση" (Cascade control). Το μπλοκ διάγραμμα καθώς και η αντίστοιχη ορολογία είναι: Κύριος Βοηθητικός Ελεγκτής Ελεγκτής set point Θερμοκρασίας πίεσης Εσωτερικός βρόγχος Πίεση ατμού Q Βαλβίδα Θερμοκρασία ή ροή του εισερχόμενου νερού Διεργασία θερμοκρασία Αισθητήρας Πίεσης Αισθητήρας Θερμοκρασίας
Υπάρχουν δύο ελεγκτές, καθένας με το δικό του στοιχείο μέτρησης, αλλά μόνο ο κύριος (Master) ελεγκτής έχει ανεξάρτητο set point και μόνο ο βοηθητικός ελεγκτής έχει έξοδο προς τη διεργασία. Ο βοηθητικός ελεγκτής, η ελεγχόμενη μεταβλητή και η συσκευή μέτρησης αποτελούν τα στοιχεία του εσωτερικού ή βοηθητικού βρόγχου.ο εξωτερικός βρόγχος περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία συμπεριλαμβανομένου και του βοηθητικού βρόγχου. Για την καλή λειτουργία είναι απαραίτητο ο εσωτερικός βρόγχος να είναι τουλάχιστον τόσο γρήγορος όσο και ο εξωτερικός, αν όχι ταχύτερος. Αν αυτό δεν μπορεί να επιτευχθεί, τότε δεν θα υπάρξει χρόνος για να συντονισθεί ο εξωτερικός ελεγκτής.
Ο τρόπος αυτός ελέγχου, συνήθως χρησιμοποιείται σε συστήματα ελέγχου ροής, στάθμης υγρών, πίεσης και θερμοκρασίας. (α) Εξωθερμικός batch αντιδραστήρας (β) Σωλήνας αποστάξεως
Παράδειγμα διαδοχικού ελέγχου Για το παρακάτω σύστημα να υπολογισθούν οι παράμετροι του ελεγκτή ή ελεγκτών. G 1 (s) Κύριος Ελεγκτής Αναλογίας (μόνο) Βοηθητικός Ελεγκτής Φορτίο L 2 (s) θc 1 - - G 2 (s) H 2 (s) = 1 G 3 (s) (s1) 2 (10s1) Φορτίο L 1 (s) G 4 (s) 1 (30s1)(3s1) θερμοκρασία θ H 1 (s) = 1
α. Σύστημα με Διαδοχικό Έλεγχο 1. Σχεδιάζεται το BODE για όλες τις συναρτήσεις, δηλαδή τις G3(s) και Η2(s) του Σχ.3.5. 2. Προστίθενται οι καμπύλες των συναρτήσεων G3(s), H2(s) για να έχουμε το BODE διάγραμμα του εσωτερικού βρόγχου (Σχ.3.6). 3. Από την καμπύλη φάσης για φ=-180 βρίσκεται το ωco και στη συνέχεια από την καμπύλη κέρδους το Aκρ = 0.0416. Επομένως το κρίσιμο κέρδος είναι Κκρ=1/Aκρ=24 και το κέρδος από την εξίσωση με τον Ziegler-Nichols, για τον εσωτερικό (δευτερεύοντα) βρόγχο είναι Kc=0.5(Kκρ)=0.5 24=12.
4. Τελικά ο εσωτερικός βρόγχος έχει τη μορφή: R 1 (s) - G 2 (s)=12 1 (10s1)(s1) 2 C (s) 1 H 2 (s)=1
Διάγραμμα BODE εσωτερικού βρόγχου
Στη συνέχεια απλοποιείται το μπλοκ διάγραμμα του εσωτερικού βρόχου στην απλούστερή του μορφή: R 1 G C 1 1G όπου G = G2(s)G3(s) = 12 / [(10s1)(s1)2] Με γνωστό το G(s) υπολογίζεται η G(s)/[1G(s)]. Τα κέρδη και οι γωνίες φάσης του G(s)/[1G(s)] δίνονται στον Πίνακα 1. 5. Υπολογίζονται το κέρδος και η γωνία φάσης δηλαδή από τις σχέσεις:, φ = =τοξεφ(-3ω) τοξεφ(-30ω)
6. Προστίθενται οι τιμές του G4(s) και της G(s) / [1G(s)] και βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης G4(s)G(s) / [1G(s)] δηλαδή το εύρος και η γωνία φάσης (Πίνακας 1). 7. Για φ = -180 βρίσκεται το εύρος Α που είναι 0.048. Επομένως Kκρ = 1/0.048 = 21 και σύμφωνα με τις εξισώσεις Ziegler-Nichols βρίσκονται οι παράμετροι του ελεγκτή στον κύριο βρόγχο (ΡΙ). Kc = 0.5 21 = 10.5 Το 1 2π 1 2π τ = = = = 9.9 min 1.2 1.2 ω 1.2 0.53 Reset = R = 1/τi = 0.10
ΠΙΝΑΚΑΣ 1. Απόκριση Συχνότητας Συστήματος με Διαδοχικό Έλεγχο. Συχν. ω rad/sec G(s)/1 A G(s) φ ο G 4 (s) A φ ο G4(s)G(s) A /1G(s) φ ο 0.1 0.93-5 0,29-88 ο 0.15 0.945-8 0,21-101 ο 0.2 0.97-12 0,14-112 ο 0.4 1.15-25 0,083-135 ο 0.061-160 ο 0.5 1.33-32 0,037-143 ο 0.049-175 ο 0.6 1.7-50 0,027-148 ο 0.046-198 ο 1.0 4.5-60 1.2 1.4-180 3.0 0.04-220
β. Σύστημα με Αναδραστικό Έλεγχο Σε αυτή την περίπτωση η G2(s)=1, δηλαδή δεν υπάρχει εσωτερικός βρόγχος. Βρίσκουμε το διάγραμμα BODE των G3(s), G4(s) οι τιμές του οποίου δίνονται στον Πίνακα 2. Από τον πίνακα αυτό για φ=-180 βρίσκουμε: ω = 0.16 και A = 0.093 Από τις εξισώσεις Ziegler-Nichols βρίσκονται οι τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή είναι : Kc = 0.5KΚρ= 0.5/0.093 = 5.38 τi = 1/1.2 2π/ω = 2π/(1.2 0.16) = 32.6 R=Reset = 1/32.6 = 0.0306
ΠΙΝΑΚΑΣ 2. Απόκριση Συχνότητας Συστήματος χωρίς Διαδοχικό Έλεγχο. Συχν. ω rad/sec A G3(s) φο G4(s) A φο A G3(s) G4(s) φο 0.1 0.70-55 0.29-88 0.2-143 0.15 0.53-73 0.21-101 0.11-174 0.2 0.41-85 0.14-112 0.057-197 0.4 0.20-120 0.053-135 0.5 0.16-133 0.037-143 0.6 0.12-143 0.027-148 1.0 0.10-170 1.2 0.045-180 3.0 0.0025-210
Διαδικασία επιλογής Ελεγκτή α) Για μοναδιαία βηματική μεταβολή στην είσοδο L2 να βρεθεί η απόκλιση της μεταβλητής θ(s). θ(s) G3 G4 = L2(s) 1 H2 G2 G3 G1 G2 G3 G4 H1 Έστω πως G2=12 και G1=10, τότε: lim θ(t) = lim sθ (s) = 1 1 / (11 12 110 121 1 1) = 0.008 t s 0 Aπόκλιση = σφάλμα = 0.008 (0.8%) Επομένως η ύπαρξη του ολοκληρωτή δεν κρίνεται απαραίτητη αφού το σφάλμα είναι πολύ μικρό και μέσα στα επιτρεπτά όρια.
β) Για βηματική είσοδο στο L1 να βρεθεί η μεταβολή θ(s). θ(s) G4 ( 1 H2 G2 G3 ) = L1(s) 1 H2 G2 G3 G4 G3 G2 G1 H1 Απόκλιση=limθ(t) = lims θ(t)=1 (112)/(112120)=0.0978=9.78% t s 0 Επομένως η χρήση ολοκληρωτή στον κύριο ελεγκτή είναι απαραίτητη για να μειωθεί το σφάλμα.
Προσωτροφοδοτικός Έλεγχος G L (s) C(s) = L(s) 1 G c (s)g u (s)g p (s) Θερμοκρασία ή ποσότητα ροής νερού στην είσοδο Ελεγκτής L (s) Φορτίο G L (s) set point - G c (s) πίεση αέρα G u (s) Θερμότης Διεργασία G p (s) C(s) θερμοκρασία block διάγραμμα
L (s) Φορτίο set point Άνοιγμα βρόγχου - Ελεγκτής Ανάδρασης D(s) M(s) G f (s) Ελεγκτής Προσωτροφοδότησης Ενεργοποιητής Διεργασία Θερμότητα G u (s) G(s) G L (s) Συνάρτησ Μεταφορά φορτίου C(s) Θερμοκρασία C(s) = L(s) [ G L (s) G(s) Gu(s) Gf(s) ] GL(s) Αν θέσουμε, Gf(s) = - τότε η C(s) γίνεται: Gu(s) Gp(s) GL(s) Gp(s) Gu(s) Gf(s) C(s) = L(s) 1 Gc(s) Gu(s) Gp(s)
Πολυμεταβλητά συστήματα ελέγχου Οι πολύπλοκες διεργασίες έχουν πολλές ελεγχόμενες μεταβλητές και πολλές μεταβλητές προσαρμογής. Θα επιθυμούσαμε βέβαια κάθε ελεγχόμενη μεταβλητή να επηρεάζεται μόνο από ένα set point αλλά αυτό είναι δύσκολο λόγω της αλληλεπίδρασης (coupling) που υπάρχει. Μια διαταραχή θα μπορούσε να επηρεάσει άλλους βρόγχους της διεργασίας με αποτέλεσμα την δημιουργία ταλαντώσεων και τελικά την αστάθεια του συστήματος. Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου είναι ένα παράδειγμα πολυμεταβλητού συστήματος ελέγχου. Το υπό έλεγχο σύστημα έχει δυο εισόδους (πορεία δρόμου και όριο ταχύτητας) και δυο ελεγχόμενες εξόδους (κατεύθυνση και ταχύτητα). Οι διαταραχές που ασκούνται στο σύστημα είναι ο άνεμος και η κυκλοφοριακή κίνηση. Τα σήματα εντολών ή είσοδοι αναφοράς είναι η κατεύθυνση της λεωφόρου και οι πινακίδες με τα όρια ταχύτητας. Το μπλόκ διάγραμμα του συστήματος δίνεται στο σχήμα:
Διαταραχή ανέμου Κατεύθυνση δρόμου Όρια ταχύτητα (μάτια) μυαλό Μονάδα Ελέγχου χέρια Ενεργοποιητής Ενεργοποιητής Θέση τιμονιού Πεταλούδα/ Φρένα Θέση Κυκλοφοριακή Διαταραχή Δυναμική Κατεύθυνση Ταχύτητα (Πόδια) Διάγραμμα πολυμεταβλητού ελέγχου αυτοκινήτου
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το σχηματικό διάγραμμα συστήματος θερμοκρασίας με πολυμεταβλητό έλεγχο όπου οι διακεκομένες γραμμές υποδηλώνουν σύνδεση με ηλεκτρονικό υπολογιστή. Αντικειμενικός στόχος είναι να ελεγχθεί η στάθμη (δηλαδή στην ουσία η συνολική ροή) και η θερμοκρασία νερού στο δοχείο. Yπάρχουν δύο είσοδοι στην διεργασία, η ροή κρύου νερού και η ροή ζεστού νερού. Έτσι οι υπό έλεγχο μεταβλητές είναι η θερμοκρασία και η συνολική ροή. Οι δε μεταβλητές προσαρμογής είναι οι ποσότητες ροής κρύου και ζεστού νερού.
Ε/Ρ Ρ/Ε Ε/Ρ Ρ/Ε LLT TT Διάγραμμα πολυμεταβλητού ελέγχου