Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Η έννοια της αξιοπιστίας στη συνόρθωση δικτύων Η αξιοπιστία ενός δικτύου σχετίζεται με την πιθανή ύπαρξη & διάγνωση σφαλμάτων μοντέλου και την επίδρασή τους στα αποτελέσματα της συνόρθωσης. Δεν υπάρχει ένας και μοναδικός τρόπος ελέγχου της αξιοπιστίας ενός δικτύου. Οι μέθοδοι ανάλυσης αξιοπιστίας βασίζονται κυρίως: o στον υπολογισμό κατάλληλων δεικτών αξιοπιστίας για τις παρατηρήσεις του δικτύου o στην εκτέλεση αυστηρών στατιστικών ελέγχων πάνω στα αποτελέσματα της λύσης συνόρθωσης
Τι εννοούμε όταν λέμε σφάλματα μοντέλου ; - Ύπαρξη χονδροειδών σφαλμάτων σε μία ή περισσότερες παρατηρήσεις του δικτύου. - Ύπαρξη συστηματικών επιδράσεων σε παρατηρήσεις του δικτύου, οι οποίες δεν περιγράφονται στο μαθηματικό μοντέλο. - Λανθασμένη επιλογή του πίνακα βάρους για τις παρατηρήσεις του δικτύου. - Μη-τυχαία σφάλματα σε δεσμεύσεις που εισάγονται στη συνόρθωση.
Να θυμάστε ότι.. Η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων συνόρθωσης ενός δικτύου συνδέεται άμεσα με το ερώτημα: Κατά πόσο τα αποτελέσματα της συνόρθωσης είναι ρεαλιστικά με βάση τη στατιστική ακρίβεια των παρατηρήσεων που καθορίστηκε μέσω του πίνακα βάρους P που έχει χρησιμοποιηθεί στη συνόρθωση ;
Παράδειγμα Είναι ρεαλιστικές οι παρακάτω τιμές εκτίμησης για την a-posteror μεταβλητότητα αναφοράς ; σˆ 2 o 54.402 σˆ 2 o 5.402 σˆ 2 o 1.502 σˆ 2 o 0.702 σˆ 2 o 0.040
Είναι ρεαλιστικές οι παρακάτω τιμές για τις εκτιμήσεις των συνορθωμένων σφαλμάτων ; Ακρίβεια παρατήρησης Παράδειγμα Συνορθωμένο σφάλμα παρατήρησης 1 cm 12.4 cm 1 cm 3.4 cm 1 cm 0.0 cm 10 cm 22.4 cm 5 cm 0.8 cm
Παράδειγμα Eίναι ρεαλιστικές οι παρακάτω διαφορές μεταξύ δύο λύσεων συνόρθωσης του ίδιου δικτύου ; 1 η συνόρθωση ελάχιστες δεσμεύσεις (x A, y A, x B σταθερά) xˆ C 1249. 442 m 4567. 032 m 2 η συνόρθωση πλεονάζουσες δεσμεύσεις (x A, y A, x B, y B σταθερά) yˆ C xˆ C yˆ 1249. 642 m 4567. 332 m C
Σχόλια Η ρεαλιστικότητα των αποτελεσμάτων συνόρθωσης και η αξιοπιστία της λύσης δικτύου αξιολογούνται με στατιστικούς όρους και πιθανοτίστικο τρόπο. o οι βαθμοί ελευθερίας του δικτύου (f) παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο! o η γεωμετρία του δικτύου και η ακρίβεια των παρατηρήσεων παίζουν επίσης μεγάλο ρόλο Τι πρέπει να κάνει ο χρήστης αν διαπιστώσει ότι τα αποτελέσματα δεν είναι ρεαλιστικά; (βλέπε συζήτηση στην τάξη)
Η έννοια της αξιοπιστίας στη συνόρθωση δικτύων Η δυνατότητα ανίχνευσης μη-τυχαίων σφαλμάτων στις μετρήσεις δικτύου αποτελεί ένα πολύ βασικό κομμάτι για την ανάλυση της αξιοπιστίας του. Συχνά στη βιβλιογραφία η αξιοπιστία ενός δικτύου συνδέεται εξ ολοκλήρου με την ενδεχόμενη ύπαρξη τέτοιων σφαλμάτων και το βαθμό επίδρασής τους στα αποτελέσματα (π.χ. στις συνορθωμένες συντ/νες). Υπό αυτή την έννοια, η αξιοπιστία ενός δικτύου διακρίνεται σε δύο είδη βλέπε επόμενη διαφάνεια.
Είδη αξιοπιστίας δικτύου Εσωτερική Αναφέρεται στην ικανότητα ενός δικτύου να ανιχνεύει μη-τυχαία σφάλματα στις παρατηρήσεις που έχουν χρησιμοποιηθεί για τη συνόρθωσή του. Εξωτερική Αναφέρεται στην επίδραση μη-τυχαίων σφαλμάτων τα οποία δεν ανιχνεύτηκαν κατά τον έλεγχο της εσωτερικής αξιοπιστίας στις τελικές εκτιμήσεις των συντεταγμένων.
Που πάνε τα σφάλματα των παρατηρήσεων ; b Aδx v Συνόρθωση.. baδxˆv ˆ v A ( δxˆ δx) vˆ ˆ ( ) δx ( A PA) A Pv T 1 T δx A PA A Pb T 1 T Επίδραση εξωτερικής αξιοπιστίας vˆ b Aδxˆ T 1 T ( I A( A PA) A P) v Επίδραση εσωτερικής αξιοπιστίας
Να θυμάστε ότι.. Τα συνορθωμένα σφάλματα των παρατηρήσεων σε μια λύση συνόρθωσης δικτύου δεν ταυτίζονται ποτέ με τα πραγματικά σφάλματα των μετρήσεων! Ο τρόπος με τον οποίο τα μεν αποτυπώνονται στα δε, εξαρτάται (σε μεγάλο βαθμό) από τη γεωμετρία του δικτύου, τον πίνακα βάρους, και την κατανομή των μετρήσεων ανάμεσα στα σημεία του.
Που πάνε τα σφάλματα των παρατηρήσεων ; Η ενδεχόμενη ύπαρξη χονδροειδούς σφάλματος σε κάποια παρατήρηση θα έχει τις εξής συνέπειες: - ένα μέρος αυτού του σφάλματος θα απορροφηθεί στην τιμή του συνορθωμένου σφάλματος της ίδιας παρατήρησης - ένα μέρος αυτού του σφάλματος θα απορροφηθεί στις τιμές των συνορθωμένων σφαλμάτων άλλων παρατηρήσεων - ένα μέρος αυτού του σφάλματος θα επηρεάσει τις τελικές εκτιμήσεις των συνορθωμένων συντεταγμένων.
Παράδειγμα: μία μόνο παρατήρηση έχει επηρεαστεί από μη-τυχαίο σφάλμα Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4,2 0.0000 2.4 δ 1,2 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594 2.4 Τιμή παρατήρησης με χονδροειδές σφάλμα δ 1,3 364.6720 3.0 δ 4,5 319.9293 2.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5,2 0.0000 2.3 δ 2,1 245.4697 3.2 δ 5,1 48.0936 2.3 2943.836 δ 2,3 313.2130 3.2 δ 5,3 128.3206 2.3 δ 2,4 297.8753 3.2 δ 5,4 75.4601 2.3 δ 2,5 342.3444 3.2 S 4,1 2943.743 0.67 δ 3,2 0.0000 2.6 S 4,2 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980 2.6 S 4,5 2641.905 0.66 δ 3,5 357.4528 2.6 S 4,3 2193.513 0.64
Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα δ 1,5 1.23 1.61 δ 4,2-1.93-0.73 δ 1,2 9.04 2.57 δ 4,1 2.77 2.47 δ 1,3-2.14-0.68 δ 4,5-0.84-1.75 δ 1,4-8.13-3.50 δ 5,2-0.64 0.71 δ 2,1 4.69-2.94 δ 5,1 0.58-1.37 δ 2,3 1.84 1.96 δ 5,3 0.44-0.64 δ 2,4-3.18 1.80 δ 5,4-0.38 1.30 δ 2,5-3.35-0.82 S 4,1 1.19-0.02 δ 3,2-2.19-2.21 S 4,2-1.23 0.01 δ 3,1 0.48 0.54 S 4,5 0.49 0.08 δ 3,5 1.71 1.67 S 4,3-0.27-0.08
Σημαντικά σχόλια Η μελέτη των συνορθωμένων σφαλμάτων (resduals) και του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων τους αποτελεί τη σημαντικότερη πηγή πληροφορίας για την ανάλυση εσωτερικής αξιοπιστίας σε ένα τοπογραφικό δίκτυο. Η μελέτη των παραπάνω πρέπει να γίνεται σε μια λύση συνόρθωσης που να έχει προκύψει με χρήση ελαχίστων δεσμεύσεων (γιατί;). Μικρά συνορθωμένα σφάλματα δεν είναι πάντα ένας ευνοϊκός δείκτης καλής αξιοπιστίας του δικτύου!
Χρήσιμοι δείκτες εσωτερικής αξιοπιστίας δικτύου - Αριθμοί πλεονασμού (redundancy numbers) εκφράζουν το πόσο καλά ελέγχεται κάθε παρατήρηση του δικτύου από τις υπόλοιπες. - Ελάχιστα εντοπίσιμα χονδροειδή σφάλματα (margnally detectable blunders MDBs) εκφράζουν το οριακό μέγεθος του χονδροειδούς σφάλματος που μπορεί (ενδεχομένως) να ανιχνευθεί σε κάθε παρατήρηση μέσω στατιστικών ελέγχων.
Τι είναι; Aριθμοί πλεονασμού ( 1 T 1 T) vˆ P A( NH WH) A Pv K v trace( K) f K(, ) f f Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Κ ονομάζονται αριθμοί πλεονασμού (f ) και εκφράζουν το βαθμό συνεισφοράς κάθε παρατήρησης του δικτύου στους συνολικούς βαθμούς ελευθερίας της συνόρθωσης του.
Τι είναι; Aριθμοί πλεονασμού ( 1 T 1 T) vˆ P A( NH WH) A Pv K v trace( K ) f K(, ) f f Για ασυσχέτιστες παρατηρήσεις: f 2 2 vˆ yˆ 1 2 2 v v 0 1 f f 1 f 0 good bad
Παράδειγμα 3 S 3,5 5 S 2,5 4 2 Οι πλευρομετρήσεις S 3,5 και S 2,5 θα έχουν μηδενικούς βαθμούς πλεονασμού και τα συνορθωμένα σφάλματά τους θα είναι μηδέν!
Παράδειγμα 3 5 S 2.3 4 2 Η πλευρομέτρηση S 2,3 μεταξύ των σταθερών σημείων 2 & 3 θα έχει βαθμό πλεονασμού ίσο με 1 (ελέγχεται πλήρως)!
Τι είναι; Ελάχιστα εντοπίσιμα χονδροειδή σφάλματα o v 0 f o Είναι το μικρότερο χονδροειδές σφάλμα που μπορεί ενδεχομένως (με συγκεκριμένη πιθανότητα) να εντοπιστεί μέσω στατιστικού ελέγχου σε κάθε παρατήρηση του δικτύου. o Είναι διαφορετικό για κάθε παρατήρηση του δικτύου. o Όσο μικρότερες είναι οι τιμές τους τόσο μεγαλύτερη είναι η εσωτερική αξιοπιστία του δικτύου.
Ελάχιστα εντοπίσιμα χονδροειδή σφάλματα Τι είναι; o v 0 f συνήθως επιλέγεται η τιμή δ ο = 4 Επίπεδο σημαντικότητας α Επίπεδο σημαντικότητας β Παράμετρος εκκεντρότητας δ ο 0.05 0.20 2.80 0.025 0.20 3.10 0.001 0.20 4.12 0.05 0.10 3.24 0.025 0.10 3.52 0.001 0.10 4.57
Παράδειγμα 3 5 y 4 2 1 x Γνωστός σταθμός αναφοράς Νέος σταθμός
Παράδειγμα Ακρίβεια παρατήρησης (cc, cm) Αριθμός πλεονασμού Ακρίβεια παρατήρησης (cc, cm) Αριθμός πλεονασμού δ 1,5 3.0 0.65 δ 4,2 2.4 0.37 δ 1,2 3.0 0.53 δ 4,1 2.4 0.31 δ 1,3 3.0 0.44 δ 4,5 2.4 0.31 δ 1,4 3.0 0.61 δ 5,2 2.3 0.46 δ 2,1 3.2 0.61 δ 5,1 2.3 0.58 δ 2,3 3.2 0.58 δ 5,3 2.3 0.34 δ 2,4 3.2 0.69 δ 5,4 2.3 0.56 δ 2,5 3.2 0.65 S 4,1 0.67 0.13 δ 3,2 2.6 0.57 S 4,2 0.71 0.19 δ 3,1 2.6 0.51 S 4,5 0.66 0.23 δ 3,5 2.6 0.48 S 4,3 0.64 0.19
Παράδειγμα Ακρίβεια παρατήρησης (cc, cm) ΜDB - 95% (cc, cm) Ακρίβεια παρατήρησης (cc, cm) MDB 95% (cc, cm) δ 1,5 3.0 11.1 δ 4,2 2.4 11.8 δ 1,2 3.0 12.3 δ 4,1 2.4 13.0 δ 1,3 3.0 13.6 δ 4,5 2.4 13.0 δ 1,4 3.0 11.6 δ 5,2 2.3 10.1 δ 2,1 3.2 12.3 δ 5,1 2.3 9.1 δ 2,3 3.2 12.6 δ 5,3 2.3 11.8 δ 2,4 3.2 11.5 δ 5,4 2.3 9.2 δ 2,5 3.2 11.9 S 4,1 0.67 5.6 δ 3,2 2.6 10.4 S 4,2 0.71 4.9 δ 3,1 2.6 10.9 S 4,5 0.66 4.1 δ 3,5 2.6 11.3 S 4,3 0.64 4.4
Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις έννοιες της εσωτερικής και εξωτερικής αξιοπιστίας δικτύων βλέπε βιβλίο Ρωσσικόπουλου (κεφ. 15, σελ. 359-373)
Μερικές πρακτικές συμβουλές Ο καλύτερος τρόπος για να εξασφαλίσουμε μια αξιόπιστη λύση δικτύου είναι να είμαστε πολύ προσεκτικοί στην εκτέλεση, την καταγραφή και στην (προ- & μετ-) επεξεργασία των μετρήσεων! Να θυμάστε ότι η εφαρμογή στατιστικών ελέγχων μπορεί να κάνει αποδεκτή μια λύση δικτύου που είναι εξόφθαλμα λανθασμένη! - αυτό είναι δυνατό να συμβεί σε δίκτυα με πολλές προβληματικές μετρήσεις & λίγους βαθμούς ελευθερίας. - η εμπειρία του χρήστη παίζει πάντα μεγάλο ρόλο για την τελική αξιολόγηση της αξιοπιστίας μιας λύσης δικτύου.
Συνεχίζεται.