Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά Απόδοσης Διακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών Ψηφιακή Υλοποίηση του Συνεχούς Ελεγκτή PID
Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Συναρτήσεις Μεταφοράς z.o.h Plant () ( z) = Z ( ) Z Z ( z ) Z = = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ z.o.h / ( z) = Z = Z Z = 3 = ( z ) Z 3 = ( z ) z z + z = ( z ) Z = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές z + ( z )
Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Χώρος Κατάστασης z.o.h =Φ +Θ u k+ k k Plant! = A + B u y = D + E u ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α = 0 0 0 Φ( ) = A Θ, Β = Δηλαδή, η παράσταση στο χώρο κατάστασης του συστήµατος / 0 ( ) Θ ( ) = ( z) = C z I Φ, C = 0 z + z = A τ B dτ Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3 0 Θ Φ ( ) = A = = A τ Τ 0 B dτ = Τ 0 Τ από το προηγούµενο παράδειγµα Προφανώς ίδια µε αυτή που βγήκε αφου αναφερόµαστε στο ίδιο σύστηµα
Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Πλεονεκτήµατα : Οι ήδη γνωστές τεχνικές µπορούν να εφαρµοσθούν για τον σχεδιασµό ενός συνεχούς ελεγκτή, και µετά να προβούµε σε διακριτοποίηση. Η επιλογή της περιόδου δειγµατοληψίας µπορεί να γίνει µετά από τον σχεδιασµό του ελεγκτή. Μειονεκτήµατα : Αυτός ο τρόπος είναι προσεγγιστικός και για να βελτιωθεί η προσέγγιση πρέπει να ληφθούν υπ όψη : η διαδικασία δειγµατοληψίας, η διαδικασία παρακράτησης σήµατος, και υπολογιστικές καθυστερήσεις Γενικά, θα πρέπει η περίοδος δειγµατοληψίας να είναι πολύ µικρή για να προσοµοιάσει ο διακριτός ελεγκτής τον συνεχή, ο οποίος σχεδιάσθηκε ως κατάλληλος για το φυσικό σύστηµα Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Χαρακτηριστικά Απόδοσης Τα κριτήρια που λαµβάνονται υπ όψη για την απόδοση των συνεχών συστηµάτων κλειστού βρόχου συνήθως αναφέρονται σε συστήµατα δευτέρας τάξεως : αλλά µπορούν να επεκταθούν και σε αυτά ανώτερης τάξης, θεωρώντας τα αντίστοιχα ζεύγη συζυγών πόλων. Τα συνήθη χαρακτηριστικά είναι : Ακρίβεια παρακολούθησης σήµατος αναφοράς σε µόνιµη κατάσταση Χαρακτηριστικά µεταβατικής απόκρισης όπως : n n ευστάθεια : + ζ ω + ω = 0 χρόνος ανύψωσης : r n n r ζ % M υπερακόντιση : % M = 00 ζ 0.6 0.6 00 4.6 4.6 χρόνος αποκατάστασης : t = R{ } = ζ ωn ζ ωn t τα οποία παρατίθενται ταυτόχρονα µε τις αναγκαίες συνθήκες. Απόρριψη διαταραχών σε µόνιµη κατάσταση, και µεταβατική απόκριση Απαιτούµενη είσοδος µέγιστο µέγεθος εισόδου ενέργεια Ευαισθησία σε διαταραχές παραµέτρων t Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5 { } R < 0.8 ω ω.8 t
Διακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών r + - ( )? u ( ) y Κλασσικό Αναλογικό Σύστηµα Ελέγχου Ψηφιακό Σύστηµα Ελέγχου? r + - ( z) u z.o.h ( ) y Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6
Διακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών: Aντιστοιχία Πόλων - Mηδενιστών ( Mathd Pol Zro, MPZ) = K = n = ( + t ) ( + ) = ( + ) n = z n z K z = ( t ) z ( ) z r r + z π.χ. PID: - K + d + + = - d + + = K = d = K + t + t u u Για παρόµοια συµπεριφορά των y ελεγκτών στις z.o.h y χαµηλές συχνότητες, ( ) δηλ. ( ) ω 0 = jω 0 z~ + jω πρέπει = l l z 0 z Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7
Έστω ελεγκτής: = K = n MPZ: Παράδειγµα = + t + = l l z 0 z a = + a n=, = 0 = a = ( + ) z K z K = z = = ( + ) n = z n z K z z a z z + ( ) ( ) a a z a Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8 z = t ( z ) ( z ) a l ( ) = l = 0 0 + a l ( z) = l Kz( z+ ) = Kz z z a z a
r + - MPZ: Παράδειγµα a = + a ( ) u ( ) y συνεχ. Κλασσικό Αναλογικό Σύστηµα Ελέγχου Ψηφιακό Σύστηµα Ελέγχου? r + - ( z) ( )( ) a = u z z + z a z.o.h ( ) y Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9
MPZ: Παράδειγµα συνεχ. a λ= ( ) a z+ U z = z = a E z z µ = ( z+ ) U z = ( z) = λ E z z µ a z u U z E z + z = λ µ z ( µ λ ) U z z = E z + z = µ + λ + U z z U z E z z E z n ( ) = Z f t n z F z uk = uk + k + k µ λ Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 0
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υλοποίηση Ψηφιακού Ελεγκτή Βήµα Προσθέσεις Πολλαπλασιασµοί k = rk yk + k ( ) k uk = uk + k + k µ λ Το (k-) είναι διαθέσιµο από τον προηγούµενο «κύκλο» 3 4 ( ) µ u k k ( ) λ k+ 5 ( ) ( ) µ uk + λ k+ k Σύνολο 3 Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
PID ελεγκτής: l = l z MPZ: Υλοποίηση του PID = k + + D D + N ( z+ ) N z ( z) = k + k + k N ( z ) z 0 z ( ) ~ k = k jω k = k ( z+ ) k ( z) ~ k k ( z ) jω z+ z U z z = k + + N = N z E z D z Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές D
Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες Διανυσµάτων Η νόρµα ενός διανύσµατος =! n n = = = l = = a =!n { } = Rn µπορεί να θεωρηθεί ως ένα «µέτρο» έκφρασης του «µεγέθους» του n = = n = = = = = = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3
Η -νόρµα ενός πίνακα Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες n n A R Πινάκων. Ορίζεται ως : παριστά την ελάχιστη αυξοµείωση που θα προκαλέσει στο µέγεθος (εκφρασµένου µε την -νόρµα) οιοδήποτε στοιχείου o Πολλαπλασιασµός µε τον A A A = n λ g R [ A] n ( λ ιδιοτιµή του ), τότε: A =! n R n A [ ] λ λ g A Αν η { } f είναι πολυωνυµική συνάρτηση τότε g f ( A) = f ( λ), λ g [ A] k k οπότε g A = { λ, λ g [ A] } Επίσης ισχύει ότι Εποµένως (Θεώρηµα Caly-Halton) f ( λ) = λ I A = 0 = a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 = a n A n + a n A n + + a A + a 0 I A n = a a n A n + + a A + a 0 I n f A Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4