6.1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΪΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 6. ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ -Λεπτοµέρειες της ροής Απειροστός όγκος ελέγχου - ιαφορική Ανάλυση
Περιγραφή πεδίων ταχύτητας και επιτάχυνσης Euleian, Lagangian U U(x,y,,t) U U U U a u ν w t x y u u u u a u ν w x t x y ν ν ν ν a u ν w y t x y w w w w a u ν w t x y a DU Dt D( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ν w Dt t x y D( ) ( ) (U ) ( ) Dt t ^ ^ ^ () () () () i j κ x y
Γραµµική Κίνηση και Παραµόρφωση Όλα τα σηµεία του στοιχείου έχουν την ίδια ταχύτητα (όχι ΚΛΙΣΕΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ) Με κλίσεις ταχύτητας έχουµε παραµόρφωση και περιστροφή Α : u u C: u δx x Επιµήκυνση: u ( ) δxδt x u Mεταβολή στον όγκο: ( δ t) δxδyδ x O ρυµός µε τονοποίοο όγκος µεταβάλλεται ανά µονάδα όγκου u λόγω του είναι: x 1 d( δv) ( u/ x) δt u lim δ t 0 δv dt t δ x
Στην γενική περίπτωση 1 dv u ν w U 0 δvdt x y (για ασυµπίεστη ροή). ρ: σταερό Οι κλίσεις u, x y προκαλούν γραµµική παραµόρφωση Ενώ οι κλίσεις u, y x προκαλούν γωνιακή παραµόρφωση
ΓωνιακήΚίνησηκαιΠαραµόρφωση ω oa γωνιακή ταχύτητα ω oa lim δα δ t 0 δ t tanδα δα ( ν / x) δ x δ t ν δt δx x ( ν / x) δt ν ω oa lim δ t 0 δt x δβ u ω ob lim δ t 0 δ t y H περιστροφή ω ως προς τον άξονα ορίζεται σαν µέσος όρος των ω oa, ω ob 1 ν u 1 u w 1 w Εποµένως ω ( ), ω ( ), ω ( ) Ζ y x x y x y ωω ιω jω κ x y 1 1 ω cul U i U ζ ω U Στροβιλότητα
Αν u y ν ω 0 x Γενικά αν U 0 τότε η ροή ονοµάζεται αστρόβιλη Γωνιακή Παραµόρφωση: ( ) δγ / x δ t ( u/ y) δt δγ γ δα δβ lim lim δ t 0 δt δt ν u γ x y
6. ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ DMσυσ Dt Για απειροστό στοιχείο ρευστού t 0 ρ dv ρu nda 0 t οε εε ρ ρ dv δxδyδ οε t ( u) ( ) ( w) ρ ρν ρ UndA δxy δ δ ee x y
ρ ( ρu) ( ρν) ( ρw) 0 t x y ρ Για µόνιµη ροή 0 και για ασυµπίεστη ροή ρσταερό t u ν w 0 x y Σε κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες U u l u l u l και εποµένως: ρ 1 (ρu ) 1 ( ρu ) ( ρu ) t 0
Ροϊκή Συνάρτηση u ν 0 x y ψ ψ Ροϊκή Συνάρτηση ψ(x,y) έτσι ώστε u, ν y x ψ ψ η εξίσωση συνέχειας ικανοποιείται 0 x y y x - Απλοποίηση του προβλήµατος µε µια άγνωστη, την ψ (x,y). Ροικές γραµµές γραµµές σταερού ψ dy (εξ ορισµού για την ροϊκή γραµµή) dx u
Η µεταβολή του ψ σχετίζεται µε την παροχή όγκου (x,y) (xdx, ydy) ψ ψ dψ dx dy dx udy x y Για dψ0 dy dx ν u q ψ -ψ 1
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Για µόνιµο, ασυµπίεστο, διδιάστατο ροϊκό πεδίο οι συνιστώσες της ταχύτητας δίνονται από τις σχέσεις: uy και ν4x Nα υπολογισεί η ροϊκή ανάρτηση, να σχεδιασούν οι ροϊκές γραµµές και η διεύυνση της ροής κατά µήκος των ροϊκών γραµµών. ΛΥΣΗ Από τον ορισµό της ροϊκής συνάρτησης u ϑψ και 4x ϑy ϑψ y ϑy Με ολοκλήρωση των δυο σχέσεων έχουµε: ψy f 1 (x) και ψ -x f (y) Για να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι παραπάνω σχέσεις α πρέπει: ψ -x y C, Cσταερά
(συνέχεια) Μπορούµενα προσδιορίσουµε τις ροϊκές γραµµές έτοντας ψσταερά και σχεδιάζοντας τις καµπύλες που προκύπτουν: Για ψ0 έχουµε 0 -x y (c0) ή y± x Για ψ 0 έχουµε y ψ x 1 ψ/ υπερβολές Η διεύυνση της ροής κατά µήκος µιας ροϊκής γραµµής προσδιορίζεται από τον υπολογισµό της ταχύτητας σε κάε σηµείο. Για παράδειγµα ν4x εποµένως ν>0 για x>0 και ν<0 για x<0 uy και εποµένως u>0 για y>0 και u<0 για y<0.
6.3 ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ Περιγραφή των δυνάµεων που δρουν σε µία απειροστή επιφάνεια δf δma (α) Επιφανειακές δυνάµεις: δρουν στην επιφάνεια του στοιχείου (β) υνάµεις σώµατος: κατανέµονται στο στοιχείο (β) υνάµεις σώµατος: δ Fb δmg δf x δmg x, δf y δmg y, δf δmg (α) Επιφανειακές δυνάµεις:
Κάετη τάση : σ n δfn lim δ A δa 0 ιατµητικές τάσεις: δf1 τ 1 lim δa 0 δ A δf τ lim δa 0 δ A τ xy, τ x, σ xx x: η διεύυνση της καέτου στο επίπεδο που δρα η τάση y: διεύυνση της τάσης
σ τ τ x y xx yx x δ Fsx δ δ δ x y τ σ τ x y xy yy y δ Fsy δ δ δ x y F τ τ σ x y x y x y δ s δ δ δ Εξισώσεις Κίνησης δf x δm α x δf y δm α y δf δm α σ τ τ u u u u ρ ρ x y t x y xx yx x g ( u w ) x τ σ τ ρ ρ x y t x y xy yy y g ( u w ) y τ τ σ w w w w ρ ρ x y t x y x y g ( u w )
6.4 MH ΣΥΝΕΚΤΙΚΗ ΡΟΗ - Επιδράσεις ιξώδους αµελητέες - τ 0, σ xx σ yy σ - p - Εξισώσεις Eule p u u u u ρg ρ u ν w x x t x y p ν ν ν ρg ρ u ν w y y t x y p w w w w ρg ρ u ν w t x y Αστρόβιληροή U 0 ή ζ 0 u ω 0 ή x y w ω 0 ή y y u w ω 0 ή x x
Το δυναµικό της ταχύτητας φ φ φ u, ν, w x y φδυναµικό της ταχύτητας U φ Για ρσταερό φ φ φ 0 x y U 0 0 φ εξίσωση Laplace για µη-συνεκτική, αστρόβιλη, ασυµπίεστη ροή Γραµµική ιαφορική Εξίσωση φ (x,y,) 0 φ (x,y,) 0 1 Αν και είναι λύσεις της εξίσωσης, τότε και η φ φ φ 3 1 είναι λύση της εξίσωσης
Για επίπεδη, αστρόβιλη ροή ή εξ. Laplace ικανοποιείται για φ και ψ φ x φ y 0 - Κλίση ισοδυναµικών γραµµών Για ροικές γραµµές η κλίση είναι dy u dx εποµένως οι ιδοδυναµικές γραµµές είναι κάετες στις ροικές γραµµές ΡΟΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η διδιάστατη ροή ενός µη-συνεκτικού, ασυµπίεστου ρευστού κοντά σε µία γωνία 90 ο περιγράφεται από την ροϊκή συνάρτηση ψ4xy. (α) Να προσδιορισεί το δυναµικό της ταχύτητας. (β) Να υπολογισεί η πίεση στο σηµείο του τοιχώµατος όταν η πίεση στο σηµείο 1 είναι 30kPa. (Το επίπεδο ροής x-y είναι οριζόντιο). ΛΥΣΗ Οι συνιστώσες της ταχύτητας προσδιορίζονται από την ροϊκή συνάρτηση ψ. u ψ y 4x και ψ x Εποµένως για το δυναµικό της ταχύτητας φ έχουµε u φ y 4x και φ x 4y 4y
(συνέχεια) Η ολοκλήρωση των παραπάνω σχέσεων δίνει φ x f ( y) φ y f( x) Για να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι παραπάνω σχέσεις α πρέπει φ x y C, C σταερ ά Για τη ροή αυτή ισχύει η εξίσωση Benoulli εποµένως p1 U1 p U 1 γ g γ g ρ Για 1 έχουµε p p1 ( U1 U) και για κάε σηµείο του ροϊκού πεδίου U u εποµένως ( 4x) ( 4y) U 16( x y ) U Στο σηµείο 1 U 16m /s και στο σηµείο U 4m /s εποµένως 3 3 10 3 p 30 *10 ( 16 4) 36 *10 Pa
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. 6.5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΗ ΡΟΗ Σχέσεις τάσεων-παραµορφώσεων Για κάετες τάσεις Σε καρτεσιανές συντεταγµένες Σε κυλινδρικές-πολικές συντεταγµένες Για διατµητικές τάσεις w µ p σ y µ p σ x u µ p σ yy xx u µ p σ 1 µ p σ u µ p σ u x w µ τ τ y w µ τ τ x y u µ τ τ x x y y yx xy µ τ τ 1 µ τ τ 1 µ τ τ
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Οι εξισώσεις Naie-Stokes Σε καρτεσιανές συντεταγµένες x-διεύυνση y-διεύυνση -διεύυνση x u y u x u µ ρg x p u w y u x u u t u ρ y y x µ ρg y p w y x u t ρ w y w x w µ ρg x p w w y w x w u t w ρ
ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Σε κυλινδρικές-πολικές συντεταγµένες -διεύυνση -διεύυνση -διεύυνση 1 1 µ ρg p t ρ 1 1 µ ρg p 1 t ρ 1 1 µ ρg p t ρ
6.6 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Naie-Stokes Στρωτή Ροή σε σωλήνες-ροή Poiseuille Σε κυλινδρικές συντεταγµένες 0, 0, () Οι εξισώσεις Naie-Stokes γίνονται: p 0 ρgsin 1p 0 ρgsin p 1 u 0 µ
Από (1) και () µε ολοκλήρωση έχουµε: p ρg ή p ρgy f ( sin) f ( ) ( ) 1 1 p Υδροστατική κατανοµή της πίεσης και ανεξάρτητη του και Από την (3) έχουµε: 1 u 1 p µ p Και µε ολοκλήρωση,εωρώντας το σταερό, έχουµε: u 1 p ολοκλήρωση 1 p C u C ln C µ 4µ 1 1 Για 0 η u έχει κάποια τιµή εποµένως c 1 0 Για R u 0 C 1 p R 4µ
Εποµένως η κατανοµή της ταχύτητας γίνεται: ( ) 1 p u R 4µ παραβολικό προφίλ Επίσης 4 4 πr p πr ρ Q 8µ 8µ l Όπου ρ:πτώση πίεσης l: µήκος αγωγού Μέση ταχύτητα U µεσ R p 8µ l Μέγιστη ταχύτητα U max U µεσ
Στρωτή Ροή µεταξύ δύο πλακών u 0, w,u u(y) t Οι Ν-S γίνονται: p u x 0 µ x y p y 0 ρg p const y p 0 p const x du 1p ολοκλήρωση du 1p ολοκλήρωση 1p y c 1 u y c1y c dy µ x dy µ x µ x
c 1,c από οριακές συνήκες u0 για y±h (no-slip) c 1 0 1 p c h µ x 1 p u ( y h ) Εποµένως µ x παραβολικό προφίλ q (ανά µονάδα πλάτους) h q udy h 3 h q 3µ h h 1 µ p x p x ( y h ) q dy 3 h p 3µ Μέση ταχύτητα U µεσ q/h, µέγιστη ταχύτητα U max 1.5U µεσ
Ροή Couette Η ίδια εξίσωση όπως προηγουµένως 1 p u y c1y c µ x u0 για y0 και uu για yb y 1 p u y b p y y u U ( y by) 1 b µ x U b µ U x b b b p Το προφίλ της ταχύτητας εξαρτάται από το P µ Ux p u y y Για 0 u U x U b b