ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα d d d y y d 7 d sin d / y dy d d 8 os d sin d d d d / d. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα d d d d 7 d d. Να υπολογίσετε τα παρακάτω καταχρηστικά ολοκληρώματα d d d / d / os sin d / d. Ο ρυθμός παραγωγής μιας ποσότητας P ενός χημικού είναι dp dt t O χρόνος t μετριέται σε λεπτά και P σε mols. Να βρεθεί η ποσότητα του χημικού που παράγεται μεταξύ t= και t=.
. Να σχεδιαστεί η περιοχή που περικλείουν οι καμπύλες και έπειτα να υπολογιστεί το εμβαδόν της. α y και y β y και y. Να υπολογιστεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής του σχήματος y y y y 7. Η θερμοκρασία κατά τη διάρκεια μιας μέρας δίνεται από τη σχέση T t όπου t= αντιστοιχεί στις π.μ. Να βρεθεί η μέση τιμή της θερμοκρασίας μεταξύ μ.μ και μ.μ. 8. Η στήλη του νερού σε ένα μέρος της θάλασσας έχει βάθος m. Η πυκνότητα του μπακαλιάρου αριθμός ψαριών ανά κυβικό μέτρο είναι ρ = / + κατακόρυφη κατανομή. Να υπολογιστεί ο συνολικός αριθμός μπακαλιάρων στη στήλη του νερού. Να υπολογιστεί το βάθος στο οποίο η πυκνότητα είναι μέγιστη. Να υπολογιστεί ο αριθμός μπακαλιάρων μεταξύ και μέτρα. d Να βρεθεί το ποσοστό του συνολικού αριθμού μπακαλιάρων στη στήλη του νερού που βρίσκετε μεταξύ και μέτρα.. Η μπλε φάλαινα τρέφεται με κριλ μήκους - m. Έστω ότι η πυκνότητα των κριλ αριθμός ανά κυβικό μέτρο είναι ρ =.7 -., όπου σε μέτρα η απόσταση από την ακτή οριζόντια κατανομή. Αν το άνοιγμα του στόματος της φάλαινας έχει επιφάνεια ενός m, m m
Να υπολογιστεί ο αριθμός των κριλ που καταναλώνει μια φάλαινα σε μια διαδρομή m από την ακτή. Σε ποια απόσταση από την ακτή η πυκνότητα των κριλ είναι μέγιστη? Πόσα κριλ θα καταναλώσει? Να υπολογιστεί ο αριθμός των κριλ που καταναλώνει μια φάλαινα σε μια διαδρομή m κατά μήκος της ζώνης με τη μέγιστη πυκνότητα.. Να βρεθεί ο τύπος που δίνει τον όγκο ενός κώνου ακτίνας και ύψους, περιστρέφοντας την ευθεία που φαίνεται στο σχήμα γύρω από τον -άξονα. y,. Να βρεθεί o όγκοs των στερεών που προκύπτουν περιστρέφοντας την περιοχή που περικλείεται από τις παρακάτω καμπύλες γύρω από τον -άξονα. Να σχεδιάσετε τις περιοχές. α y, y, στο πρώτο τεταρτημόριο β y, y / γ y, y,
Απαντήσεις. θέτουμε = d=d d d d d d ' d d d Γράφουμε d A B Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε Α=, Β= - και C= -. Επομένως, d d d d C ανάλυση σε μερικά κλάσματα A B C. Βρίσκουμε ότι: 7 7 7 A B. Γράφουμε. Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε 7 A B. Βρίσκουμε ότι: Α= - και Β= 8. Επομένως, 8 [ ] d 8 θέτουμε =+ y d=ydy / y y y dy d y θέτουμε = / + d=/ -/ d / d d θέτουμε =- d= d. Επειδή =-, =+/. / / 7 d / / d d / / d
os os os sin os sin 8 d d d d os sin os d os sin os d os sin 8 Επομένως, 8 os sin ή 8 os sin με =. A B C D Γράφουμε ανάλυση σε μερικά κλάσματα Απαλείφοντας τους παρανομαστές έχουμε A B C D. Βρίσκουμε ότι: Α=/8, Β= /,C=-/8 και D= /. Επομένως, d d d d A B C D 8 os, με αντικατάσταση = os sin ολοκλήρωση κατά μέρη d d d tn d d d / / 8 / d με αντικατάσταση = -. θέτουμε = / d=d d d θέτουμε = ημ d=συνd d θέτουμε = d= - d d d d [ ] [ ]
θέτουμε =ημ d=συνd d d d d θέτουμε =+ d=d / / / / / d d d θέτουμε = + d=d d d. Μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης ] [ d d d Μη φραγμένη συνάρτηση d d d το ολοκλήρωμα αποκλίνει Μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης d d d d d Μη φραγμένο διάστημα ολοκλήρωσης / / d d Μη φραγμένη συνάρτηση ] [ sin / sin os d d d
7 Η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο. / είναι αντιπαράγωγος της / ] [ ] [ / / / d d.ποσότητα του χημικού που παράγεται μεταξύ t= και t= mols t dt t,. Να σχεδιαστεί η περιοχή που περικλείουν οι καμπύλες και έπειτα να υπολογιστεί το εμβαδόν της. α / / / / d d d β 7 d
. y y A y y A d d 7. _ T t dt dt C. t dt t 8. d 7 μπακαλιάροι στη στήλη του νερού.,8 Η πυκνότητα είναι μέγιστη σε βάθος m. d 7, d,%.,,,7 d,7.,. Η πυκνότητα είναι μέγιστη στα m από την ακτή. Στα m από την ακτή η πυκνότητα είναι ρ=7, κριλ/m. Επομένως η φάλαινα θα καταναλώσει 7,=8.7 κριλ σε μια διαδρομή m κατά μήκος της ζώνης με τη μέγιστη πυκνότητα. 8
.. α d V β 8 / d d V γ d d V y, y=/ d d f V