1 Πολυωνυµική Παρεµβολή

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε την άγνωστη τιµή y = f(x ) σ ένα νέο σηµείο x, διάφορο από τα δεδοµένα, µε την παρεµβολή ενός πολυωνύµου P n (x), ϐαθµού το πολύ n, στα δεδοµένα. Επιλέγουµε δηλαδή το P n (x) έτσι ώστε y i = P n (x i ), i = 0, 1,..., n και προσεγγίζουµε την άγνωστη τιµή y = f(x ) στο νέο σηµείο x µε P n (x ). Το σφάλµα κολόβωσης στην προσέγγιση y P n (x ) είναι R n (x ) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x i ) όπου το ξ είναι εσωτερικό σηµείο του µικρότερου διαστήµατος [a, b] που περιέχει όλα τα δεδοµένα σηµεία x o, x 1, x,...,x n και f (n+1) η (n + 1)στη παράγωγος της f(x). Υπάρχει ένα µοναδικό πολυώνυµο P n (x) που ικανοποιεί αυτές τις απαιτήσεις. Του δίδοµε όµως διαφορετικές (ισοδύναµες) µορφές ανάλογα µε τις ανάγκες µας. Πολυώνυµο σε µορφή Lagrange: i=0 P n (x) = n j=0 [y j l j (x)] όπου l j (x) είναι τα ϐασικά πολυώνυµα Lagrange και αποτελούν τους συντελεστές του P n (x): n (x x i ) l j (x) = (x i=0 j x i ) i j Ενας εύκολος τρόπος υπολογισµού του πολυωνύµου Lagrange περιγράφεται από τον κάτωθι πίνακα. ιαφορετικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το σχήµα του Horner ή τον αλγόριθµο Aitken Neville. x o x 1 x x n Γινόµενα x o x x o x o x 1 x o x x o x n Π o (x) x 1 x 1 x o x x 1 x 1 x x 1 x n Π 1 (x) x x x x x 1 x x x x n Π (x)......... x n x n x o x n x 1 x n x x x n Π n (x) ιαγώνιο γινόµενο Π n+1 (x) 1

Οπότε τα ϐασικά πολυώνυµα Lagrange είναι l j = Π n+1(x) για j = 0, 1,...,n και το Π j (x) n 1 πολυώνυµο Lagrange είναι P n (x) = Π n+1 (x) Π j (x) y j. Πολυώνυµο σε µορφή Newton: P n (x) = y o + Df o (x x o ) + D f o (x x o )(x x 1 ) + j=0 +D n f o (x x o )(x x 1 ) (x x n 1 ) f(x o ) + f[x o, x 1 ](x x o ) + f[x o, x 1, x ](x x o )(x x 1 ) + +f[x o, x 1,...,x n ](x x o )(x x 1 ) (x x n 1 ) όπου Df o f[x o, x 1 ] = y 1 y o, D f o f[x o, x 1, x ] = Df 1 Df o f[x1, x] f[x o, x1], x 1 x o x x o x x o κ.λ.π. είναι διηρηµένες διαφορές που η kστή ορίζεται ως εξής: D k f i f[x i, x i+1,...,x i+k ] = f[x i+1, x i+,...,x i+k ] f[x i, x i+1,...,x i+k 1 ] x i+k x i Οι διηρηµένες διαφορές υπολογίζονται σχετικά εύκολα σύµφωνα µε τον ακόλουθο πίνακα (για n = 4): i x i y i Df D f D 3 f D 4 f 0 x o y o f[x o, x q ] 1 x 1 y 1 f[x o, x 1, x ] f[x 1, x ] f[x o, x 1, x, x 3 ] x y f[x 1, x, x 3 ] f[x o, x 1, x, x 3, x 4 ] f[x, x 3 ] f[x 1, x, x 3, x 4 ] 3 x 3 y 3 f[x, x 3, x 4 f[x 3, x 4 ] 4 x 4 y 4 Λόγω της συµµετρίας των διηρηµένων διαφορών, το πολυώνυµο Newton δεν εξαρτάται από την διάταξη των δεδοµένων σηµείων (από ποιο σηµείο π.χ. έχουµε χαρακτηρίσει ως x o ) Στην περίπτωση ισαπεχόντων σηµείων, το πολυώνυµο Newton απλοποιείται κάπως. Εάν x i+1 x i = h (i = 0, 1,,..., n 1), τότε x i = x o + i h (i = 1,,..., n), οπότε ο παρανοµαστής των διηρηµένων διαφορών είναι µία σταθερά (που εξαρτάται

από το σταθερό ϐήµα h). Για τον λόγο αυτό, οι διηρηµένες διαφορές µπορούν να αντικατασταθούν από πεπερασµένες διαφορές: 0 y i = y i 1 y i y i = y i+1 y i y i = y i+ y i+1 + y i 3 y i = y i+3 3y i+ + 3y i+1 y i... k y i = y i+k... όπου = j y i+k 1 + 1 k! j!(k j)! y i+k + + ( 1) k y i = k j=0 ( 1) j y i+k j j Οι πεπερασµένες διαφορές υπολογίζονται σχετικά εύκολα σύµφωνα µε τον ακόλουθο πίνακα (για n = 4): i x i y i f f 3 f 4 f 0 x o y o y o 1 x 1 y 1 y o y 1 3 y o x y y 1 4 y o y 3 y 1 3 x 3 y 3 y y 3 4 x 4 y 4 ιακόπτουµε τον υπολογισµό των πεπερασµένων διαφορών όταν τα στοιχεία µιας στήλης είναι ικανώς µικρά και σχεδόν ίσα µε κάποια σταθερά τιµή ή εάν παρακολουθούµε τα σφάλµατα στρογγυλοποίησης όταν τα στοιχεία µιας στήλης σχεδόν ταυτίζονται µε τα σφάλµατα. Με υπολογισµένες τις πεπερασµένες διαφορές, το πολυώνυµο Newton υπολογίζεται σ ένα νέο σηµείο x, όπου x = x o + p h µε p = x x o h P n (x) = y o + p y o + n = y o + k=1 p(p 1) y o + +! k y o p(p 1) (p k + 1) k!, σύµφωνα µε p(p 1) (p n) n y o n! Το σφάλµα κολόβωσης στην περίπτωση αυτή των ισαπεχόντων σηµείων λαµβάνει την 3

µορφή: R n = h n+1 f (n+1) p(p 1) (p n) (ξ) (n + 1)! Εάν x k = x o + k h, τότε η σχέση που συνδέει τις διηρηµένες και τις πεπερασµένες διαφορές είναι: f[x i, x i+1,...,x i+k ] = k y i h k k! Τόσο οι διηρηµένες όσο και οι πεπερασµένες διαφορές συσχετίζονται µε τις παραγώγους της συνάρτησης f(x). Εχοµε συγκεκριµένα ότι k f(x) = h k f (k) (ξ) όπου f (k) είναι η kστή παράγωγος της f και ξ είναι σηµείο του διαστήµατος [x, x+k h]. Παρατηρούµε ότι όταν h 0, τότε το f(x) αποτελεί µία προσέγγιση του f (k) (x) h k µε σφάλµα που τείνει στο µηδέν. Ετσι, εάν ένα πρόσθετο σηµείο x n+1 είναι γνωστό, τότε, σε περίπτωση που η f δεν µας είναι γνωστή µε αναλυτικό τύπο, µπορούµε να προσεγγίσουµε το σφάλµα κολόβωσης µε R n p(p 1) (p n) n+1 y o (n + 1)! 1.1 Παραδείγµατα Παράδειγµα 1.1 Η συνάρτηση f(x) είναι γνωστή από τον κάτωθι πίνακα και επιθυµούµε τον υπολογισµό της στο σηµείο x = 4 µέσω παρεµβολής Lagrange. x 0 1 6 y -1-3 3 1187 Σχηµατίζουµε τον πίνακα διαφορών των σηµείων: 0 1 6 Γινόµενα 0 4-0 0-1 0-0-6-48 1 1-0 4-1 1-1-6 15-0 -1 4- -6-16 6 6-0 6-1 6-4-6-40 ιαγώνιο γινόµενο -48 4

Εχουµε συνεπώς f(4) P(4) = ( 48)[ 1 48 + 3 15 + 3 16 + 1187 40 ] = 55 Παράδειγµα 1. Για την συνάρτηση y = f(x) έχουµε τον πίνακα τιµών x i 1000 1010 100 1030 1040 1050 y i 3.0000000 3.004314 3.008600 3.01837 3.0170333 3.011893 και επιθυµούµε την προσέγγιση της τιµής y = f(1001) µε παρεµβολή Newton. Παρατηρούµε ότι τα σηµεία είναι ισαπέχοντα µε h = 10 και ότι p = x xo h ηµιουργούµε τον πίνακα πεπερασµένων διαφορών: = 1001 1000 10 = 0.1. i x i y i y y 3 y 4 y 0 1000 3.0000000 0.004314 1 1010 3.004314-0.000046 0.004788 0.0000008 100 3.008600-0.0000418 0.004370 0.0000009 3 1030 3.01837-0.0000409 0.0041961 0.0000008 4 1040 3.0170333 0.0041560-0.0000401 5 1050 3.011893 ιακόπτουµε τους υπολογισµούς στην στήλη 3 y καθώς τα στοιχεία της είναι πολύ µικρά και σχεδόν σταθερά. Εχουµε P 3 (x) = y o + p y o + p(p 1) y o! + 3 p(p 1)(p ) y o 3! = 3.0000000 + 0.1 0.004314 + 0.1 0.9 0.000046 + 0.1 0.9 1.9 6 0.0000008 = 3.0004341 Εάν ϑέλουµε να προσεγγίσουµε το σφάλµα κολόβωσης, παρατηρούµε ότι 4 y o = 0.0000001 και άρα R 3 p(p 1)(p )(p 3) 4 y o.1 10 9. Για σύγκριση αναφέρουµε ότι η «άγνωστη» συνάρτηση είναι η f(x) = log(x) και άρα το «ακριβές» σφάλµα κολόβωσης είναι R 3 p(p 1)(p )(p 3) h 4 f (4)(ξ) για 1000 < ξ < 1030. Επειδή f (4)(x) = 3! x 4 log(e) έχοµε f (4) (ξ) < 3! 1000 4 log(e) και άρα R 3 < (0.1)(0.9)(1.9)(.9)104 log(e) 4(1000) 4 0.5 10 9. Η προσέγγιση του σφάλµατος δεν είναι εποµένως κακή από άποψη µεγέθους. Η ακριβής τιµή του log(1001) είναι 3.00043407747931864067 που στρογγυλοποιείται σε 3.0004341 και άρα ταυτίζεται για επτά δεκαδικά ψηφία µε την τιµή που υπολογίσαµε. Παράδειγµα 1.3 Γνωρίζουµε την συνάρτηση y = f(x) από τις τιµές της στον ακόλουθο πίνακα µε σφάλµα 0.001. 5

x i 0.50 0.75 1.00 1.5 1.50 y i 1.73.80 3.000 3.948 5.196 Επιθυµούµε τον υπολογισµό της στο σηµείο x = 0.63 µε παρεµβολή Newton. Παρατηρούµε ότι έχοµε περίπτωση ισαπεχόντων σηµείων µε h = 0.5. ηµιουργούµε εποµένως πίνακα πεπερασµένων διαφορών, όπου, επειδή γνωρίζουµε το σφάλµα στις τιµές της y µπορού- µε να παρακολουθήσουµε το σφάλµα (Υπενθύµιση: Κατά την αφαίρεση δύο προσεγγιστικών αριθµών, τ απόλυτα σφάλµατά τους αρθροίζονται)των πεπερασµένων διαφορών: i x i y i y y 3 y 4 y 0 0.50 1.73 0.548 1 0.75.80 0.17 0.70 0.056 1.00 3.000 0.8 0.016 0.948 0.07 3 1.5 3.948 0.300 1.48 4 1.50 5.196 Σφάλµα 0.001 0.00 0.004 0.008 0.016 Παρατηρούµε ότι η πεπερασµένη διαφορά 4 y o ταυτίζεται ουσιαστικά µε το σφάλµα της και για τον λόγο αυτό την απορρίπτουµε. εχόµαστε συνεπώς n = 3 Για x o = 0.50 και h = 0.5 έχοµε p = x xo h 3 p(p 1)(p ) y o 3! = 1.998940. = 0.5. Άρα P 3 (x) = y o + p y o + y o p(p 1)! + Ως εκτίµηση του σφάλµατος κολόβωσης έχουµε R 3 p(p 1)(p )(p 3) 4 y o 0.0006. (Προς σύγκριση, η «άγνωστη» συνάρτηση είναι η y = 3 x, οπότε το «ακριβές» σφάλµα κολόβωσης είναι R 3 < 4ln4 (3) (0.5) 4 (0.5)(0.48)(1.48)(.48) = 0.0009) Για την εκτίµηση του σφάλµατος που οι υπολογισµοί συνεσέφεραν στο τελικό αποτέλεσµα έχοµε: ǫ 1 0.001 + 0.5 0.00 + 0.5(0.48) 0.004 + 0.5(0.48)(1.48) 3! 0.008 0.0031. Εάν στρογγυλοποιήσουµε το αποτέλεσµα σε 1.999, σε τέσσερα σηµαντικά δεκαδικά ψηφία, ϑα εισάγουµε το σφάλµα στρογγυλοποίησης ǫ = 0.6 10 4. Υπό αυτές της συνθήκες, το ολικό σφάλµα ανέρχεται σε 0.0006 + 0.0031 + 0.00006 0.004 (0.005 εάν γνωρίζαµε το «ακριβές» σφάλµα κολόβωσης) και άρα f(0.63) = 1.999 ± 0.004 1. Ασκήσεις Άσκηση Α1.1Για το τελευταίο παράδειγµα, υπόθεσε πως ϑέλουµε να υπολογίσουµε το y = f(1.35). Παρατήρησε ότι το 1.35 κείται πλησιέστερα στο τελευταίο σηµείο 1.50 παρά στο πρώτο 6

0.50. Άρα ϕαίνεται λογικό να ϑέλουµε να προσεγγίσουµε την τιµή y = f(1.35) χρησιµοποιώντας σηµεία κοντά στο 1.50 παρά κοντά στο 0.50. Αναδιάταξε τα δεδοµένα σηµεία ξεκινώντας µε x o = 1.50, υπολόγισε τις πεπερασµένες διαφορές, και χρησιµοποιώντας το πολυώνυµο του Newton προσέγγισε την τιµή y = f(1.35). Σύγκρινε τον πίνακα πεπερασµένων διαφορών µε τον αντίστοιχο πίνακα του τελευταίου παραδείγµατος. Τι παρατηρείς; [Απάντηση: f(1.35) = 4.407 ± 0.005. Οι διαφορές που χρησιµοποιούµε εδώ αντιστοιχούν στις τελευταίες τιµές κάθε στήλης στο παράδειγµα! Εχοµε παρεµβολή προς τα πίσω, ενώ στο παράδειγµα παρεµβολή προς τα εµπρός.] Άσκηση Α1.Για δεδοµένα σηµεία (x i,y i ), i = 0,1,,3, υπολόγισε το πολυώνυµο Lagrange στις περιπτώσεις: (α) (1, 1),(, 8),(3, 7) (ϐ) ( 1.5, 14.1014),( 0.75, 0.931596),(0, 0), (0.75, 0.931596),(1.5, 14.1014). Σχεδίασε τα πολυώνυµα και σύγκρινε γραφικά στην περίπτωση (α) µε y = x 3 και στην περίπτωση (ϐ) µε y = tan(x). [Απάντηση: (α) P (x) = 6x 11x + 6. (ϐ) P 3 (x) = 4.83484x 3 1.477474x] Άσκηση Α1.3Για την συνάρτηση y = sin(x), έχουµε τις ακόλουθες τιµές (30 o,0.5000),(35 o,0.5736), (40 o,0.648),(45 o,0.7071),(50 o,0.7660),(55 o,0.819). Να προσεγγισθούν οι τιµές sin(54 o ) και sin(56 o ) και να εκτιµηθούν τα σφάλµατα κολόβωσης. [Απάντηση: sin(54 o ) = 0.80903 µε R 3 0. 10 5 και sin(56 o ) = 0.8913 µε R 0.4 10 5 ] Άσκηση Α1.4Για την συνάρτηση y = e x δεδοµένων των σηµείων (.70,0.3704), (.7,0.3676), (.74, 0.3650), (3.60, 36.598), (3.65, 38.475), (3.70, 40.447), (3.75, 4.51) να προσεγγισθούν οι τιµές e 3.6 και e 3.58 µε τετραγωνικό πολυώνυµο Newton. Να εκτιµηθούν τα σφάλµατα κολό- ϐωσης. [Απάντηση:e 3.6 37.338 µε R 0.3 10 3 και e 3.58 35.874 µε R 10 3 ] Άσκηση Α1.5Οι κάτωθι τιµές είναι δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί από την πτήση πυραύλου. Χρόνος πτήσης (sec) 0 60 10 180 40 Ταχύτητα (feet/sec) 0 400 1400 3350 700 Επιθυµούµε να γνωρίσουµε την ταχύτητα του πυραύλου την στιγµή t = 140 sec. Να χρησιµοποιηθεί προσέγγιση ϐασισµένη (α) σε γραµµική προσέγγιση, (ϐ) σε πολυώνυµο Lagrange και (γ) πολυώνυµο Newton. [Απάντηση: (α) 050 f eet/sec, (ϐ,γ) 1910 f eet/sec] 7