Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13

Άσκηση 1 η 4 η Εργασία ΔEO13 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων της. Τα παραγόμενα προϊόντα στη συνέχεια αποθηκεύονται σε δύο ιδιόκτητους αποθηκευτικούς χώρους (Α1, και Α2 αντίστοιχα). Κατόπιν, η ζήτηση της αγοράς καλύπτεται μέσω τεσσάρων συνεργαζόμενων εμπόρων χονδρικής που αποτελούν τα κέντρα διανομής των προϊόντων της (Δ1, Δ2, Δ3, και Δ4 αντίστοιχα). Η επιχείρηση χρησιμοποιεί ιδιόκτητο στόλο οχημάτων για τη μεταφορά των προϊόντων της από το εργοστάσιο στους αποθηκευτικούς χώρους, και στη συνέχεια για τη μεταφορά τους από τις αποθήκες στα κέντρα διανομής. Στους παρακάτω πίνακες, καταγράφονται η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί μηνιαία από το εργοστάσιο στις αποθήκες, και η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί μηνιαία από τις αποθήκες στα κέντρα διανομής. Οι τιμές αφορούν πλήρη φορτία (το πλήρες φορτίο αποτελεί τη μονάδα μέτρησης) των διαθέσιμων μεταφορικών μέσων της επιχείρησης. Ο μέγιστος συνολικός αριθμός μηνιαίων φορτίων που είναι δυνατό να αποσταλούν από το εργοστάσιο στα κέντρα διανομής, όπως φαίνεται και στον πίνακα, ανέρχεται σε 54 φορτία. Αποθήκη Εργοστάσιο Α1 Α2 Ε 31 23 Αποθήκη Κέντρο Διανομής Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Α1 5 6 4 Α2 8 7 5 Χρησιμοποιείστε κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βοηθήσετε τη διοίκηση της επιχείρησης να καταρτίσει το μηνιαίο πρόγραμμα διανομής των προϊόντων της, για τον υπολογισμό του μέγιστου αριθμού φορτίων που είναι δυνατό να μεταφερθούν από τους χώρους παραγωγής δια μέσω των αποθηκευτικών χώρων στα κέντρα διανομής, με σκοπό την προώθησή τους στην αγορά. Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη Τηλέφωνο επικοινωνίας : 674473322

Άσκηση 2 η Η χρηματιστηριακή εταιρεία ΧΑ διαθέτει έναν αντικριστή 1 για τη διενέργεια των συναλλαγών στο Χρηματιστήριο Αθηνών. Ο αντικριστής επικοινωνεί μέσω μιας τηλεφωνικής γραμμής με την εταιρεία μέσω της οποίας του διαβιβάζονται οι εντολές των πελατών. Δέχεται κατά μέσο όρο τρεις (3) κλήσεις (εντολές) ανά λεπτό (ο αριθμός των κλήσεων ακολουθεί την κατανομή Poisson) και απαιτούνται κατά μέσο όρο 15 δευτερόλεπτα για την εξυπηρέτηση μιας κλήσηςεντολής (ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή). Ο αριθμός των πελατών της ΧΑ θεωρείται πολύ μεγάλος (πρακτικά άπειρος). Το κόστος του αντικριστή ανέρχεται σε 20 ανά λεπτό ενώ το κόστος για έναν πελάτη που εξυπηρετείται ή περιμένει, ανέρχεται σε 50 ανά λεπτό. Ερώτημα 1. Η ΧΑ ενδιαφέρεται να προσδιορίσει με την παρούσα διαμόρφωση λειτουργίας τα εξής μέτρα απόδοσης: Βαθμός απασχόλησης αντικριστή 1. Πιθανότητα άμεσης απάντησης σε μια κλήση 2. Μέσος αριθμός κλήσεων σε αναμονή 3. Μέσος αριθμός κλήσεων είτε σε αναμονή είτε σε εξυπηρέτηση 4. Μέσος χρόνος αναμονής μιας κλήσης 5. Μέσος χρόνος μέχρι και την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης μιας κλήσης 6. Συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος (ανά λεπτό) Ερώτημα 2. Η ΧΑ εξετάζει το ενδεχόμενο να συνεργαστεί με περισσότερους από έναν αντικριστές έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος (ανά λεπτό). 8. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός αντικριστών που πρέπει να διαθέτει; Για το βέλτιστο σχήμα που βρήκατε στο ερώτημα 8, προσδιορίστε τα εξής μέτρα απόδοσης:. Πιθανότητα άμεσης απάντησης σε μια κλήση 10. Μέσος χρόνος αναμονής μιας κλήσης 11. Μέσος χρόνος μέχρι και την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης μιας κλήσης Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη Τηλέφωνο επικοινωνίας : 674473322

Άσκηση 3 η Το επιτελείο δύο πολιτικών, Α και Β, οι οποίοι είναι οι βασικοί διεκδικητές της θέσης του αιρετού Περιφερειάρχη στις επικείμενες εκλογές, συσκέπτεται προκειμένου να αποφασίσει τη στρατηγική των δύο τελευταίων ημερών. Επειδή πρόσφατες δημοσκοπήσεις έδειξαν ότι η μάχη θα είναι ιδιαίτερα αμφίρροπη, οι δύο υποψήφιοι επιθυμούν να περάσουν τις δύο τελευταίες ημέρες της εκστρατείας τους στις δύο μεγάλες πόλεις της περιφέρειας που είναι η Μακρυχώρα και η Μεγαλόπολη. Προκειμένου να εξοικονομήσουν όσο το δυνατόν περισσότερο χρόνο για να τον περάσουν με τους ψηφοφόρους, οι στρατηγικές που προτείνονται είναι να ταξιδεύουν τη νύχτα και να έχουν μια πλήρη ημέρα στη διάθεσή τους σε κάθε μία εκ των δύο πόλεων, ή να επιλέξουν μία εξ αυτών για παραμονή δύο ημερών. Οι επιτελείς του πολιτικού Α κατέληξαν στον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος δίνει το πλήθος των ψήφων που εκτιμάται ότι θα κερδηθούν ή θα απολεσθούν ανάλογα με τον πιθανό συνδυασμό στρατηγικών του ιδίου και του αντιπάλου του. Πλήθος ψήφων που κερδίζει ο Πολιτικός Α (μετρημένες σε μονάδες των 10.000 ψήφων) Β Στρατηγική 1 ημέρα σε κάθε πόλη 2 ημέρες στη Μακρυχώρα 2 ημέρες στη Μεγαλόπολη 1 ημέρα σε κάθε πόλη 0 2 2 Α 2 ημέρες στη Μακρυχώρα 3 4 3 2 ημέρες στη Μεγαλόπολη 2 3 4 Ερώτημα 1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. Ερώτημα 2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε πολιτικό. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη Τηλέφωνο επικοινωνίας : 674473322

Άσκηση 4 η Η βιομηχανία ΧΥΖ παρασκευάζει τροφές για σκύλους και γάτες και τις διαθέτει σε μία συγκεκριμένη αλυσίδα σούπερ μάρκετ. Η τροφή για σκύλους αποφέρει καθαρό κέρδος 700 ευρώ ανά τόνο και η τροφή για γάτες 400 ευρώ ανά τόνο. Στο τελικό στάδιο της παραγωγής οι τροφές συσκευάζονται με ένα ειδικό μηχάνημα. Όταν το μηχάνημα συσκευάζει τροφή για σκύλους, έχει δυνατότητα συσκευασίας 6 τόνων ανά ώρα, ενώ όταν συσκευάζει τροφή για γάτες έχει δυνατότητα συσκευασίας 4 τόνων ανά ώρα. Λόγω απρόβλεπτων βλαβών, αλλά και της προγραμματισμένης συντήρησης, το μηχάνημα συσκευασίας λειτουργεί 8 ώρες ανά ημέρα. Από προηγούμενη έρευνα αγοράς είναι γνωστό ότι για κάθε 5 τόνους τροφής για σκύλους η βιομηχανία πρέπει να παράγει τουλάχιστον 2 τόνους τροφής για γάτες. Επιπλέον, η βιομηχανία πρέπει να τροφοδοτεί την αλυσίδα σούπερ μάρκετ με τουλάχιστον 20 τόνους τροφής ανά ημέρα, από τους οποίους τουλάχιστον 10 τόνοι να είναι τροφή για σκύλους. Η βιομηχανία αναζητεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα συνολικά της κέρδη. Ερώτημα 1. Να διαμορφώσετε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για τον καθορισμό του βέλτιστου σχεδίου παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη της βιομηχανίας. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές που χρησιμοποιείτε και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. Χρησιμοποιήστε τη γραφική μέθοδο για να σκιαγραφήσετε την εφικτή περιοχή και να βρείτε τη βέλτιστη λύση του μοντέλου που διαμορφώσατε. Τα αποτελέσματα της επίλυσης να τα διατυπώσετε με όρους της εκφώνησης του προβλήματος. Ερώτημα 2. Να χρησιμοποιήσετε το Εxcel για να επιλύσετε αλγεβρικά το μοντέλο σας και να επιβεβαιώσετε τα αποτελέσματα του προηγούμενου ερωτήματος. Να συμπεριλάβετε στο αρχείο Word της εργασίας που θα παραδώσετε, το φύλλο εργασίας με τα δεδομένα μετά την επίλυση, την αναφορά απάντησης (answer report) και την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report) ως εικόνες από το Excel. Ερώτημα 3. Να αξιοποιήσετε κατάλληλα τα προηγούμενα αποτελέσματα από το Excel, προκειμένου να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: 1. Υποθέστε ότι η βιομηχανία θέλει να αυξήσει τις πωλήσεις τροφής για σκύλους και αποφασίζει να μειώσει το κέρδος της σε 500 Ευρώ ανά τόνο. Πώς θα επηρεάσει η απόφαση αυτή το σχέδιο παραγωγής και το κέρδος της βιομηχανίας; 2. Υποθέστε ότι, λόγω αυξημένων βλαβών, ο ημερήσιος χρόνος λειτουργίας του μηχανήματος συσκευασίας μειώνεται κατά δύο ώρες. Πώς θα επηρεάσει το γεγονός αυτό τα κέρδη της βιομηχανίας; Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη Τηλέφωνο επικοινωνίας : 674473322

Άσκηση 5 η Η εταιρεία «ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ» κατασκευάζει έπιπλα γραφείου και έχει συνάψει ένα συμβόλαιο ύψους 6.500.000 ευρώ για την προμήθεια του γραφειακού εξοπλισμού ενός οργανισμού. Στη συμφωνία προβλέπονται παραγγελίες για τρία είδη γραφείων καθένα από τα οποία απαιτεί συγκεκριμένο χρόνο επεξεργασίας στο τμήμα ξυλουργείου και στο τμήμα βαφής. Ο κατωτέρω Πίνακας 1 παραθέτει τα μεγέθη παραγγελιών και τους απαιτούμενους χρόνους ανά τμήμα και ανά είδος γραφείου. ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Αριθμός γραφείων που έχουν 3000 2000 00 παραγγελθεί Απαιτούμενος χρόνος στο τμήμα 2 ώρες 1,5 ώρες 3 ώρες ξυλουργείου (για ένα γραφείο) Απαιτούμενος χρόνος στο τμήμα βαφής (για ένα γραφείο) 1 ώρα 2 ώρες 1 ώρα Η εταιρεία δεν διαθέτει τον απαιτούμενο χρόνο για να παράγει όλη την παραγγελία μέσα στην προβλεπόμενη ημερομηνία παράδοσης. Διαθέτει 10.000 εργατοώρες στο τμήμα ξυλουργείου και 5.000 εργατοώρες στο τμήμα βαφής. Υπάρχει εναλλακτική λύση η εταιρεία να δώσει υπεργολαβία (κατασκευή από άλλη εταιρεία) μέρους της παραγγελίας. Τα στοιχεία κόστους κατασκευής και υπεργολαβίας ανά είδος γραφείου εκτίθενται στον παρακάτω Πίνακα 2: ΠΙΝΑΚΑΣ 2 Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ) 500 830 1.300 Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ) 610 70 1.450 Ερώτημα 1. Να αναπτύξετε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που όταν επιλυθεί να μπορεί να απαντήσει στο ερώτημα: «Πόσα γραφεία από κάθε είδος θα παράγει μόνη της και πόσα γραφεία από κάθε είδος θα δώσει ως υπεργολαβία έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος κατασκευής»; Να χρησιμοποιήσετε το Εxcel για να επιλύσετε αλγεβρικά το μοντέλο σας και να απαντήσετε στο ερώτημα. Να συμπεριλάβετε στο αρχείο Word της εργασίας που θα παραδώσετε το φύλλο εργασίας με τα δεδομένα μετά την επίλυση, την αναφορά αποτελεσμάτων και την αναφορά ευαισθησίας (εικόνες από φύλλα Εxcel) Ερώτημα 2. Πόσο είναι το κέρδος της ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ; Ερώτημα 3. Η εταιρεία εξετάζει το ενδεχόμενο να αυξήσει κατά 500 τις εργατοώρες σε ένα από τα δύο τμήματα (ξυλουργείο ή βαφής) με κόστος 20.000 ευρώ. Να χρησιμοποιήσετε τις προηγούμενες αναφορές του Εxcel για να βρείτε σε ποιο τμήμα συμφέρει την ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ να διαθέσει τις επιπλέον εργατοώρες. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το νέο συνολικό κέρδος και κατόπιν να βρείτε το νέο σχέδιο παραγωγής και υπεργολαβίας. Tech and Math - Εκπαιδευτική πύλη Τηλέφωνο επικοινωνίας : 674473322

ΑΣΚΗΣΗ 1 Α1 4 Ε 31 ΕΕ 23 5 8 Δ1 7 6 Δ2 Δ3 Δ4 5 Έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης ροής φορτίων εμπορευμάτων από το εργοστάσιο Ε διαμέσου των αποθηκών Α1 και Α2 προς την αγορά μέσω των 4 διανομέων Δ1,Δ2,Δ3,Δ4. Ξεκινάμε επιλέγοντας ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής (δ.ρ.), όπως για παράδειγμα το Ε Α1 Δ2 με δ.ρ. =, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 Δ2. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε και σε κάθε εισροή προσθέτουμε. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα: Α2

Ε Α1 Δ2 Α1 4 Ε 22 ΕΕ 23 5 8 Δ1 Α2 0 7 6 5 Δ2 Δ3 Δ4 Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής, όπως για παράδειγμα το Ε Α2 Δ3 με δ.ρ. =, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α2 Δ3. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε και σε κάθε εισροή προσθέτουμε. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:

Ε Α1 Δ2 Ε Α2 Δ3 Α1 4 Ε 22 ΕΕ 14 5 Δ1 8 Α2 0 7 6 Δ2 0 5 Δ3 Δ4 Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής, όπως για παράδειγμα το Ε Α2 Δ2 με δ.ρ. = 7, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α2 Δ2. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 7 και σε κάθε εισροή προσθέτουμε 7. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα: Ε Α1 Δ2 Ε Α2 Δ3 Α1 4 Ε 22 ΕΕ 7 16 5 Δ1 8 Α2 0 0 6 Δ2 0 5 Ε Α2 Δ2 7 7 Δ3 Δ4

Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής, όπως για παράδειγμα το Ε Α2 Δ1 με δ.ρ. = 7, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Ε Α2. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 7 και σε κάθε εισροή προσθέτουμε 7. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα: Ε Α1 Δ2 Ε Α2 Δ3 Α1 4 Ε 22 ΕΕ 0 23 5 Δ1 7 1 Α2 0 0 6 Δ2 0 5 Ε Α2 Δ2 7 7 Ε Α2 Δ1 7 Δ3 Δ4 Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής, όπως για παράδειγμα το Ε Α1 Δ3 με δ.ρ. = 6, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 Δ3. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 6 και σε κάθε εισροή προσθέτουμε 6. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα:

Ε Α1 Δ2 Ε Α2 Δ3 15 Α1 4 16 Ε ΕΕ 23 5 Δ1 7 1 Α2 0 0 0 Δ2 0 5 Ε Α2 Δ2 7 7 Ε Α2 Δ1 7 Ε Α1 Δ3 6 6 Δ3 Δ4 Συνεχίζουμε επιλέγοντας πάλι ένα οποιοδήποτε μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής, όπως για παράδειγμα το Ε Α1 Δ1 με δ.ρ. = 5, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 Δ1. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 5 και σε κάθε εισροή προσθέτουμε 5. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα: Ε Α1 Δ2 Ε Α2 Δ3 21 Α1 4 11 Ε ΕΕ 23 0 5 Δ1 7 1 Α2 0 0 0 Δ2 0 5 Ε Α2 Δ2 7 7 Ε Α2 Δ1 7 Ε Α1 Δ3 6 Ε Α1 Δ1 5 6 Δ3 Δ4 0 0

Τέλος συνεχίζουμε επιλέγοντας το τελευταίο εναπομείναν μονοπάτι με θετική δυναμικότητα ροής, που είναι το Ε Α1 Δ4 με δ.ρ. = 4, όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δ.ρ., δηλ. την ακμή Α1 Δ4. Σε κάθε εκροή αφαιρούμε 4 και σε κάθε εισροή προσθέτουμε 4. Μετά τις αναπροσαρμογές έχουμε το σχήμα: Ε Α1 Δ2 Ε Α2 Δ3 25 Α1 7 Ε ΕΕ 23 0 5 Δ1 7 1 Α2 0 0 0 Δ2 0 5 Ε Α2 Δ2 7 7 Ε Α2 Δ1 7 0 Ε Α1 Δ3 6 Ε Α1 Δ1 5 Ε Α1 Δ4 4 4 6 Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε πλέον να στείλουμε φορτία σε κανέναν διανομέα, άρα η μέγιστη ροή φορτίων είναι: ++7+7+6+5+4 = 47 φορτία. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δ3 Δ4 Από την στιγμή που οι πελάτες αναμένουν σε μία τηλεφωνική γραμμή («ουρά αναμονής») με πειθαρχία FIFO, έχουμε να κάνουμε με μία ουρά αναμονής τύπου M/M/1. Ο ρυθμός κλήσεων είναι: λ = 3 κλήσεις / λεπτό ενώ για να βρούμε τον ρυθμό εξυπηρέτησης χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών: Σε 15 δευτερόλεπτα εξυπηρετείται 1 κλήση Σε 60 δευτερόλεπτα εξυπηρετούνται μ; κλήσεις 0

μ = 1 * (60 / 15) => μ = 4 κλήσεις / λεπτό Παρατηρούμε αρχικά ότι μ > λ, άρα το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση (στατιστικής) ισορροπίας και επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στους υπολογισμούς σύμφωνα με τους τύπους του συστήματος Μ/Μ/1. Επίσης έχουμε για τα κόστη: Κόστος αναμονής ανά λεπτό cw = 50ευρώ Κόστος λειτουργίας ανά λεπτό cs = 20ευρώ Σε κατάσταση ισορροπίας λοιπόν έχουμε για τους βασικούς δείκτες λειτουργικότητας του συστήματος: λ 3 1. Βαθμός απασχόλησης του συστήματος ρ= = = 0, 75 = 75% μ 4 2. Πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης = Πιθανότητα να μην υπάρχει κανείς πελάτης στο σύστημα = P0 = 1 ρ = 1 0,75 = 0,25 = 25% 2 2 3 3. Μέσο μήκος της ουράς αναμονής: L = λ q 2, 25 μμ ( λ) = 4(4 3) = 4 = πελάτες λ λ 3 4. Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα: L= = L q + = + = 3 πελάτες μ λ μ 4 4 λ L q 3 5. Μέσος χρόνος αναμονής: W 4 q = = = = = 0,750 λεπτά μμ ( λ) λ 3 4 1 3 6. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα: W L = = = = 1 λεπτό μ λ λ 3 7. Συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος: TC1 = cwl + css = 50*3+ 20*1 = 170 ευρώ / λεπτό 8. Το εναλλακτικό σχέδιο πρόσληψης ενός αντικρυστή σημαίνει ότι τότε θα υπάρχει ουρά αναμονής Μ/Μ/2 με τα εξής δεδομένα: Ρυθμός αφίξεων (κλήσεων): λ = 3 κλήσεις / λεπτό Ρυθμός εξυπηρέτησης: μ = 4 κλήσεις / λεπτό Συνολικός ρυθμός εξυπηρέτησης s μ = 8 κλήσεις / λεπτό, δηλ. s μ > λ, άρα το σύστημα ισορροπεί.

Σε κατάσταση ισορροπίας λοιπόν έχουμε για τους βασικούς δείκτες λειτουργικότητας του συστήματος: 1 1 P0 = = s 1 n s 1 n 2 ( λ / μ) ( λ / μ) sμ (3/4) (3/4) 8 * * n= 0 n! + s! sμ λ + n= 0 n! 2! 8 3 1 1 1 P 0 = = = 0 1 2 (3 / 4) (3 / 4) (3 / 4) 8 3 8 3 + + * 1 + + * 1 + + 0! 1! 2! 5 4 32 5 4 20 5 P 0 = = 0,4545 1 Μέσο μήκος ουράς αναμονής: L q ( λ s ) λμ 2 = μ (3 / 4) *3*4 5 27 * P 2 0 * 2 ( s 1)!( sμ λ) = 1!5 11 = 220 => 27 L q = = 0,1227 πελάτες 220 Μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα: λ 27 3 48 L= L q + = + = = 0,8727 πελάτες μ 220 4 55 Άρα το συνολικό κόστος θα είναι για 2 υπαλλήλους ίσο με: 48 20 TC2 = cwl + css = 50* + 20* 2 = =83,6364 ευρώ / λεπτό 55 11 Κάνουμε στο EXCEL τους υπολογισμούς και για συστήματα με s=3,4 αντικρυστές και βλέπουμε ότι:

Υπολογισμοί Δεικτών Λειτουργικότητας Συστήματος M/M/s Μέσος ρυθμός άφιξης (λ) Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης (μ) Μοναδιαίο κόστος αναμονής (cw) Μοναδιαίο κόστος εξυπηρέτησης (cs) λ / μ = 3 4 50 20 0,7500 Θέσεις εξυπηρέτησης (s=2) 1 2 3 4 Po, πιθανότητα να μην υπάρχει πελάτης στο σύστημα = Lq,μέσο μήκος ουράς αναμονής = Wq, μέσος χρόνος αναμονής = L, μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα = W, μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα = ρ, βαθμός απασχόλησης του συστήματος = P1 = πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης (Ρο+Ρ1) = Συνολικό κόστος ανά λεπτό λειτουργίας = TC(s) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Το μικρότερο συνολικό κόστος επιτυγχάνεται με 2 αντικρυστές και είναι 83,6364 ευρώ ανά λεπτό λειτουργίας. Επίσης τότε έχουμε: TC(s) 0,2500 0,4545 0,4706 0,4722 2,2500 0,1227 0,0147 0,0018 0,7500 0,040 0,004 0,0006 3,0000 0,8727 0,7647 0,7518 1,0000 0,20 0,254 0,2506 0,7500 0,3750 0,2500 0,1875 0,340 0,755 170 83,6364 8,2353 117,5884 0 1 2 3 4 s. Πιθανότητα άμεσης απάντησης σε μια κλήση = P0 + P1 = 0,755 = 7,55% 10. Μέσος χρόνος αναμονής μιας κλήσης = Lq = 0,1227 κλήσεις 11. Μέσος χρόνος μέχρι και την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης μιας κλήσης = W = 0,20 λεπτά

ΑΣΚΗΣΗ 3 Ερώτημα 1 Πρόκειται καταρχήν για παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Εφαρμόζουμε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών και έχουμε: Β1 Β2 Β3 1 2 ημέρες 2 ημέρες Ελάχιστο ημέρα στη στη σε Μακρυχώρα Μεγαλόπολη γραμμών κάθε πόλη 1 ημέρα σε 0-2 2 Α1 κάθε πόλη -2 Α2 2 ημέρες 3 4-3 στη Μακρυχώρα -3 Α3 2 στη ημέρες 2 3-4 Μεγαλόπολη -4 Μέγιστο στηλών 3 4 2 2 # -2 minimax 2 maximin Δηλαδή minimax = 2-2 = maximin, άρα δεν υπάρχει ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές. Ερώτημα 2 Προχωρούμε διαγράφοντας τυχόν υπάρχουσες υποδεέστερες στρατηγικές. Παρατηρούμε τα στοιχεία της Α3 γραμμής είναι μικρότερα ή ίσα από τα αντίστοιχα στοιχεία της Α2 γραμμής, άρα η στρατηγική Α3 είναι υποδεέστερη της Α2 κι έτσι διαγράφουμε την Α3: Β1 Β2 Β3 Α1 0-2 2 Α2 3 4-3 Α3 2 3-4 Παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να διαγράψουμε καμία στρατηγική για τον B και έτσι ο Πίνακας Πληρωμών του παιγνίου γίνεται: -2

Β1 Β2 Β3 Α1 0-2 2 Α2 3 4-3 Παρατηρούμε ότι πρόκειται για παίγνιο 2 x n, για την ακρίβεια 2 x 3, δηλ. 2 γραμμών και 3 στηλών, το οποίο θα επιλύσουμε γραφικά ονομάζοντας x την πιθανότητα ο παίκτης A να ακολουθήσει τη στρατηγική A1 και (1-x) την πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική A2: Β1 Β2 Β3 Α1 x 0-2 2 Α2 1-x 3 4-3 Για τον παίκτη A οι αναμενόμενες τιμές εισπράξεων για τις τρεις στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει ο B θα είναι: V(A,B1) = 0*x +3*(1-x) = - 3*x + 1 V(A,B2) = (-2)*x + 4*(1-x) = - 6*x + 4 V(A,B3) = 2*x + (-3)*(1-x) = 5*x -3 Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη A. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1,2,3) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο B και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη A είτε της A1 είτε της A2. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί π.χ. στο V(A, B1) συνδέουμε το 0 του άξονα Α1 με το 3 του άξονα Α2, για το V(A, B2) συνδέουμε το -2 του άξονα Α1 με το 4 του άξονα Α2 και για την ευθεία V(A, B3) συνδέουμε το 2 άξονα Α1 με το 3 του άξονα Α2 κι έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

2 A1 V=0,1818 0-2 B2 K 1 - x = 4 / 11 B3 B1 x = 7 / 11 Επειδή ο παίκτης A επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με πιο έντονες μπλε γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το υψηλότερο (maximin) σημείο δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, η στρατηγική Β1 από την πλευρά του παίκτη Β απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του maximin σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών: Β2 Β3 y 1-y Α1 x -2 2 Α2 1-x 4-3 Ας ονομάσουμε y την πιθανότητα ο παίκτης B να ακολουθήσει τη στρατηγική B2, οπότε (1-y) θα είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την B3. Τότε για τον παίκτη Β οι A2 4 3-3

αναμενόμενες τιμές εισπράξεων για τις δύο στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει ο Α θα είναι: V(B,A1) = (-2)*y +2*(1-y) = - 4*y + 2 V(B,A2) = 4*y + (-3)*(1-y) = 7*y - 3 Θέτοντας V(A,B2) = V(A,B3) έχουμε: -6*x + 4 = 5*x 3 => 4 + 3 = 5*x + 6*x => 7 = 11*x => 11*x = 7 => x = 7 / 11 => 1 x = 4 / 11 ή αριθμητικά: x = 0,6364 => 1 x = 0,3636 Θέτοντας V(B,A1) = V(B,A2) έχουμε: -4*y + 2 = 7*y - 3 => 2 + 3 = 7*y + 4*y => 5 = 11*y => 11*y = 5 => y = 5 / 11 => 1 y = 6 / 11 ή αριθμητικά: y = 0,4545 => 1 y = 0,5455 Η τιμή του παιγνίου προκύπτει λ.χ. από: V = V(A,B2) = - 6*x + 4 = -6*7 / 11 + 4 => V = 2 /11 ή V = 0,1818 Το οποίο είναι κέρδος για τον Α και ισόποση ζημία για τον Β. Δηλαδή, τελικά, ο πολιτικός Α αναμένεται ότι θα κερδήσει 0,1818*10000 = 1818 ψήφους συνολικά ακολουθώντας το μεικτό σχήμα στρατηγικών με πιθανότητες: (A1,A2,A3) = (7 / 11, 4 / 11, 0) (B1,B2,B3) = (0, 5 / 11, 6 / 11 ) Η ερμηνεία των πιθανοτήτων έχει ως εξής: Στις 11 φορές που παίζεται το παίγνιο ο Α ακολουθεί 7 φορές την στρατηγική Α1 και, 4 φορές την Α2 ενώ ο Β ακολουθεί 5 φορές την Β2 και 6 φορές την Β3. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ερώτημα 1 Έστω ότι η εταιρεία θα παρασκευάσει τελικά σε μία ημέρα: x1 = τόνους τροφής για σκύλους x2 = τόνους τροφής για γάτες Επειδή το κέρδος ανά τόνο τροφής για σκύλους και γάτες είναι 700 ευρώ και 400 ευρώ αντίστοιχα, το συνολικό κέρδος σε μία ημέρα θα είναι: z=700*x1 + 400*x2

Αυτό το κέρδος πρέπει να μεγιστοποιηθεί κάτω από τους περιορισμούς στις διαθέσιμες ώρες λειτουργίας του μηχανήματος συσκευασίας για κάθε είδος τροφής, τον περιορισμό που προκύπτει από την αναλογία μεταξύ των δύο ποσοτήτων και τον περιορισμό για την ολική ζήτηση της αγοράς, συνολικά και ανά είδος τροφής. Αναλυτικά: Περιορισμός ωρών λειτουργίας του μηχανήματος συσκευασίας: Το μηχάνημα συσκευάζει 6 τόνους τροφής σκύλων σε 1 ώρα Το μηχάνημα συσκευάζει x1 τόνους τροφής σκύλων σε Τ1; Ώρες Τ1 = 1 * x1 / 6 ώρες = x1/6 ώρες Το μηχάνημα συσκευάζει 4 τόνους τροφής γατών σε 1 ώρα Το μηχάνημα συσκευάζει x2 τόνους τροφής γατών σε Τ2; Ώρες Τ2 = 1 * x2 / 4 ώρες = x2/4 ώρες Άρα έχουμε για 8 ώρες ότι: T1+T2 8 => x1 / 6 + x2 / 4 8 => 2*x1 + 3*x2 6 Περιορισμός αναλογίας μεταξύ των δύο ποσοτήτων τροφής: Για 5 τόνους σκυλοτροφής πρέπει να παράγονται τουλάχιστον 2 τόνοι γατοτροφής Για x1 τόνους σκυλοτροφής πρέπει να παράγονται τουλάχιστον x2; τόνοι γατοτροφής x2 2 * x1 / 5 => -2 * x1 / 5 + x2 0 => -2*x1 + 5*x2 0 Περιορισμός ολικής ζήτησης της αγοράς: x1 + x2 20 Περιορισμός ολικής ζήτησης της αγοράς για σκυλοτροφή: x1 10 Δηλαδή τελικά έχουμε το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Maximize z=700*x1 + 400*x2 Υπό τους περιορισμούς: 2*x1 + 3*x2 6 (1)

-2*x1 + 5*x2 0 (2) x1 + x2 20 (3) x1 10 (4) και φυσικά x1 0 (5) x2 0 (6) Χαράζουμε πρώτα τις ευθείες των περιορισμών κάνοντας γραφικές παραστάσεις των αντιστοίχων ισοτήτων και κατόπιν βρίσκουμε την εφικτή περιοχή του προβλήματος. 2*x1 + 3*x2 =6 => x2 =32 2/3*x1 (1α) -2*x1 + 5*x2 = 0 => x2 = 2/5*x1 x1 + x2 =20 => x2 = 20 x1 (2α) (3α) x1=10 (4α) Θέτοντας x1 = 0 στην (1α) βρίσκουμε το σημείο (0,32) ενώ για x2 =0 βρίσκουμε x1=48, δηλ. το σημείο (48,0). Θέτοντας x1 = 0 στην (2α) βρίσκουμε το σημείο (0,0) ενώ για x1 =5 βρίσκουμε x2=2 δηλ. το σημείο (5,2). Θέτοντας x1 = 0 στην (3α) βρίσκουμε το σημείο (0,20) ενώ για x2 =0 βρίσκουμε x1=20, δηλ. το σημείο (20,0). Η (4α) είναι η κατακόρυφη ευθεία στο σημείο (4,0). Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη των (1α) και (2α) βρίσκουμε το σημείο τομής: 32 2/3*x1 = 2/5*x1 => 32 = 2/3*x1 + 2/5*x1 => 16/15 * x1 = 32 => 16*x1 = 32*15 => 16*x1 = 480 => x1 = 30 άρα x2 = 2/5*x1 =2/5*30 = 12 κι έχουμε το σημείο Γ(30, 12). Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη των (2α) και (3α) βρίσκουμε το σημείο τομής: 20 x1 = 2/5*x1 => 20 = 2/5*x1 + x1 => 7/5 * x1 =20 => 7*x1 = 20*5 => 7*x1 = 100 => x1 = 100/7 άρα x2 = 2/5*x1 =2/5*100/7 = 40/7 κι έχουμε το σημείο Δ(100/7, 40/7). Θέτοντας την (3α) στις (1α), (2α) και (4α) αντίστοιχα βρίσκουμε: x2 =32 2/3*x1 = x2 =32 2/3*10 = 76/3 δηλ. η τομή είναι το σημείο B(10, 76/3)

x2 = 2/5*x1 =2/5*10 = 4 δηλ. η τομή είναι το σημείο (10, 4) x2 = 20 x1 = 20 10 δηλ. η τομή είναι το σημείο A(10, 10) Ετσι η εφικτή περιοχή είναι η κίτρινη περιοχή του σχήματος: x2 32 20 12 (5) (1α) A B (4α) 10 Η αντικειμενική συνάρτηση είναι: z=700*x1 + 400*x2 Δ (3α ) 20 Γ(30,12) και ο υπολογισμός της σε κάθε κορυφή δίνει το αντίστοιχο συνολικό κέρδος της εταιρείας: Κορυφή Τιμή z Α(10, 10) 11000 Β(10, 76/3)= Β(10, 25.33) 51400/3 = 17133.33 Γ(30, 12) 25800 Βέλτιστη Δ(100/7, 40/7) = Δ(14.2, 5.71) 86000/7 = 12285.71 Άρα η βιομηχανία θα έχει το μέγιστο κέρδος ίσο με 25800 ευρώ όταν κατασκευάσει 30 (2α) 48 x1

x1 = 30 τόνους σκυλοτροφή και x2 = 12 τόνους γατοτροφή. Τότε η αντικειμενική συνάρτηση είναι: 25800=700*x1+400*x2 => 400*x2 = 25800-700*x1 => x2 = 64,5 1,75*x1 και είναι η έντονη κόκκινη διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα μας. Ερώτημα 2 Με την βοήθεια της επίλυσης του EXCEL έχουμε τον ακόλουθο πίνακα δεδομένων και αποτελεσμάτων, αφού μετατρέψουμε το πρόβλημα στην κανονική του μορφή: Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους Σκυλοτροφή x1 Γατοτροφή x2 30 12 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ Κέρδος 700 400 25800 Περιορισμός ωρών λειτουργίας συσκευασίας 2 3 6 <= 6 Περιορισμός αναλογίας των δύο ποσοτήτων 2-5 0 <= 0 Συνολική ζήτηση τροφών -1-1 -42 <= -20 Συνολική ζήτηση σκυλοτροφής -1 0-30 <= -10

Κελί προορισμού (Μέγιστο) Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή $E$8 Κέρδος ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ 0 25800 Ρυθμιζόμενα κελιά Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή $C$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x1 0 30 $D$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x2 0 12 Περιορισμοί Κελί Όνομα Τιμή κελιού Τύπος Κατάσταση Απόκλιση $E$11 Συνολική ζήτηση τροφών ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ -42 $E$11<=$G$11 Μη υποχρεωτικός 22 $E$10 Περιορισμός αναλογίας των δύο ποσοτήτων ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ 0 $E$10<=$G$10 Υποχρεωτικός 0 $E$12 Συνολική ζήτηση σκυλοτροφής ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ -30 $E$12<=$G$12 Μη υποχρεωτικός 20 $E$ Περιορισμός ωρών λειτουργίας συσκευασίας ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ 6 $E$<=$G$ Υποχρεωτικός 0 Ρυθμιζόμενα κελιά Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή κόστος συντελεστής αύξηση μείωση $C$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x1 30 0 700 1E+30 433,3333333 $D$5 Ημερήσια ποσότητα παραγόμενης τροφής σε τόνους x2 12 0 400 650 2150 Περιορισμοί Τελική Σκιώδης Περιορισμός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή τιμή R.H. Side αύξηση μείωση $E$11 Συνολική ζήτηση τροφών ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ -42 0-20 1E+30 22 $E$10 Περιορισμός αναλογίας των δύο ποσοτήτων ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ 0 81,25 0 6 106,6666667 $E$12 Συνολική ζήτηση σκυλοτροφής ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ -30 0-10 1E+30 20 $E$ Περιορισμός ωρών λειτουργίας συσκευασίας ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΕΡΔΟΣ 6 268,75 6 1E+30 50,2857142 Ερώτημα 3 1. Από την ανάλυση ευαισθησίας βλέπουμε ότι αν μειωθεί το κέρδος ανά τόνο σκυλοτροφής κατά 200 ευρώ και γίνει 500 ευρώ, η μείωση αυτή είναι εντός της επιτρεπόμενης μείωσης και μάλιστα 200<433,33. Επομένως δεν θα αλλάξει η βέλτιστη λύση x1=30, x2 =12 και τα συνολικά κέρδη θα είναι τώρα: z = 500*x1+400*x2 = 500*30+400*12 = 1800 ευρώ 2. Η σκιώδης τιμή του περιορισμού ωρών εργασίας του μηχανήματος συσκευασίας είναι 268,75 άρα ο περιορισμός αυτός είναι δεσμευτικός και η τιμή αυτή είναι το (οριακό) κέρδος που προκύπτει αν αυξήσουμε τις ώρες συσκευασίας κατά 1 ώρα ή, επειδή έχουμε κάνει απλοποίηση στον περιορισμό (1) πολλαπλασιάζοντας με 12, είναι το ίδιο με την αύξηση του δεξιού μέλους του (1) κατά 12 μονάδες. Επομένως μία μείωση κατά 2 ώρες (ισοδύναμα μείωση του δεξιού μέλους του (1) κατά 2*12 = 24 μονάδες) θα επιφέρει μείωση στο κέρδος κατά: 24 * 268,75 = 6450 ευρώ και το κέρδος θα γίνει 25800 6450 = 1350 ευρώ. ΑΣΚΗΣΗ 5

Ερώτημα 1. Έστω ότι έχουμε τους ακόλουθους ορισμούς μεταβλητών: X1=αριθμός γραφείων τύπου 1 που παράγει η εταιρεία μόνη της X2=αριθμός γραφείων τύπου 2 που παράγει η εταιρεία μόνη της X3=αριθμός γραφείων τύπου 3 που παράγει η εταιρεία μόνη της Y1=αριθμός γραφείων τύπου 1 που θα δώσει ως υπεργολαβία Y2=αριθμός γραφείων τύπου 2 που θα δώσει ως υπεργολαβία Y3=αριθμός γραφείων τύπου 3 που θα δώσει ως υπεργολαβία Τότε προφανώς το συνολικό κόστος της επιχείρησης θα είναι: Z=500*X1+830*X2+1300*X3+610*Y1+70*Y2+1450*Y3 Το οποίο φυσικά θέλει να ελαχιστοποιήσει κάτω από κάποιους περιορισμούς. Περιορισμός συνολικής παραγγελίας γραφείων ανά τύπο γραφείου: X1+Y1 = 3000 X2+Y2 = 2000 X3+Y3 = 00 Περιορισμός απαιτούμενου χρόνου στο τμήμα ξυλουργείου ανά τύπο γραφείου: 2*Χ1+1,5*Χ2+3*Χ3 10000 Περιορισμός απαιτούμενου χρόνου στο τμήμα βαφής ανά τύπο γραφείου: Χ1+2*Χ2+Χ3 5000 Συνοπτικά η επιχείρηση έχει να λύσει το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Minimize Z=500*X1+830*X2+1300*X3+610*Y1+70*Y2+1450*Y3 Υπό τους περιορισμούς: X1+Y1 = 3000 X2+Y2 = 2000 X3+Y3 = 00 2*Χ1+1,5*Χ2+3*Χ3 10000 Χ1+2*Χ2+Χ3 5000 X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3 0 Εισάγουμε το πρόβλημα σε μορφή κατανοητή από το EXCEL και έχουμε:

Τύπος Γραφείου Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Γραφεία που κατασκευάζονται 3000 550 00 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία 0 1450 0 Απαιτούμενες ώρες ξυλουργείου ένα γραφείο) Απαιτούμενος ώρες βαφής (για ένα γραφείο) Αν επιλύσουμε με το EXCEL το πρόβλημα θα βρούμε ότι: Αναφορά απάντησης: (για 2 1,5 3 1 2 1 Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ) 500 830 1300 Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ) 610 70 1450 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 3000 =` 3000 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 2000 =` 2000 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 00 =` 00 Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου 525 <= 10000 Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής 5000 <= 5000 Περιορισμός Συνολικού κόστους 4533000 <= 6500000 Συνολικό Κόστος 4533000 Τύπος Γραφείου Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Γραφεία που κατασκευάζονται 3000 550 00 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία 0 1450 0 Απαιτούμενες ώρες ξυλουργείου ένα γραφείο) Απαιτούμενος ώρες βαφής (για ένα γραφείο) (για 2 1,5 3 1 2 1 Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ) 500 830 1300 Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ) 610 70 1450 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 3000 =` 3000 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 2000 =` 2000 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 00 =` 00 Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου 525 <= 10000 Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής 5000 <= 5000 Συνολικό Κόστος 4533000

Κελί προορισμού (Ελάχιστο) Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή $E$14 Συνολικό Κόστος Γραφείο 1 4533000 4533000 Ρυθμιζόμενα κελιά Κελί Όνομα Αρχική τιμή Τελική τιμή $E$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 1 3000 3000 $F$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 2 550 550 $G$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 3 00 00 $E$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 1 0 0 $F$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 2 1450 1450 $G$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 3 0 0 Περιορισμοί Κελί Όνομα Τιμή κελιού Τύπος Κατάσταση Απόκλιση $E$11 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 Γραφείο 1 00 $E$11=$G$11 Υποχρεωτικός 0 $E$12 Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου Γραφείο 1 525 $E$12<=$G$12 Μη υποχρεωτικός 475 $E$ Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 Γραφείο 1 3000 $E$=$G$ Υποχρεωτικός 0 $E$10 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 Γραφείο 1 2000 $E$10=$G$10 Μη υποχρεωτικός 0 $E$13 Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής Γραφείο 1 5000 $E$13<=$G$13 Υποχρεωτικός 0 Αναφορά ευαισθησίας: Ρυθμιζόμενα κελιά Τελική Μειωμένο Αντικειμενικός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή κόστος συντελεστής αύξηση μείωση $E$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 1 3000 0 500 3,5 1E+30 $F$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 2 550 0 830 140 7,1 $G$3 Γραφεία που κατασκευάζονται Γραφείο 3 00 0 1300 80,00000022 1E+30 $E$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 1 0 3,5 610 1E+30 3,5 $F$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 2 1450 0 70 7,1 140 $G$4 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία Γραφείο 3 0 80,00000022 1450 1E+30 80,00000022 Περιορισμοί Τελική Σκιώδης Περιορισμός Επιτρεπόμενη Επιτρεπόμενη Κελί Όνομα τιμή τιμή R.H. Side αύξηση μείωση $E$11 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 Γραφείο 1 00 1370 00 211,1111111 00 $E$12 Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου Γραφείο 1 525 0 10000 1E+30 475 $E$ Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 Γραφείο 1 3000 570 3000 380 200 $E$10 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 Γραφείο 1 2000 70 2000 1E+30 1450 $E$13 Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής Γραφείο 1 5000-70 5000 633,3333333 1100 Ερώτημα 2. Το κέρδος της ΕΠΙΠΛΑ ΑΕ είναι: ΚΕΡΔΟΣ = ΕΣΟΔΑ ΕΞΟΔΑ = 6500000 4533000 = 167000 ευρώ Ερώτημα 3. Από την αναφορά ευαισθησίας παρατηρούμε ότι η σκιώδης τιμή του περιορισμού εργατοωρών βαφής είναι 70, διάφορη του μηδενός, άρα ο περιορισμός είναι δεσμευτικός. Η τιμή αυτή εκφράζει το (οριακό) κόστος από την αύξηση των εργατοωρών βαφής κατά 1 ώρα κι επειδή είναι αρνητική σημαίνει ότι μία αύξηση

εργατοωρών βαφής θα οδηγήσει σε μείωση του συνολικού κόστους κατά 70 ευρώ. Επομένως συμφέρει στην βιομηχανία να κάνει την επένδυση στην αύξηση των διαθεσίμων ωρών βαφής, γιατί θα κερδίσει συνολικά 500*70 20000 = 15000 ευρώ από αυτή την επένδυση. Πράγματι όπως βλέπουμε και μετά την επίλυση στο EXCEL: Τύπος Γραφείου Γραφείο 1 Γραφείο 2 Γραφείο 3 Γραφεία που κατασκευάζονται 3000 800 00 Γραφεία που δίνονται υπεργολαβία 0 1200 0 Απαιτούμενες ώρες ξυλουργείου ένα γραφείο) Απαιτούμενος ώρες βαφής (για ένα γραφείο) Το συνολικό λειτουργικό κόστος μειώθηκε κατά 35000 ευρώ: 4533000 448000 = 35000 από όπου αν αφαιρέσουμε το ύψος της επένδυσης: 35000 20000 = 15000 βρίσκουμε την καθαρή μείωση του συνολικού κόστους, άρα θα έχουμε μία ισόποση αύξηση του κέρδους της βιομηχανίας το οποίο γίνεται τώρα: ΚΕΡΔΟΣ = (ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΕΣΟΔΑ) (ΣΥΝΟΛΙΚΑ ΕΞΟΔΑ) = 6500000 (448000+20000) ΚΕΡΔΟΣ = 182000 ευρώ (για 2 1,5 3 1 2 1 Κόστος κατασκευής ενός γραφείου (ευρώ) 500 830 1300 Κόστος υπεργολαβίας ενός γραφείου (ευρώ) 610 70 1450 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 1 3000 =` 3000 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 2 2000 =` 2000 Παραγγελθέντα γραφεία τύπου 3 00 =` 00 Διαθέσιμες Εργατοώρες ξυλουργείου 00 <= 10000 Διαθέσιμες Εργατοώρες βαφής 5500 <= 5500 Συνολικό Κόστος 448000