1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ

1 1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πργοντοποίηση : Είνι η διδικσί µε την οποί µί πράστση που είνι άθροισµ µεττρέπετι σε γινόµενο πργόντων 2. Χρησιµότητ : Απλοποιήσεις Εύρεση Ε.Κ.Π κι Μ.Κ. Λύση εξίσωσης 3. Μέθοδος 1. Κοινός πράγοντς : x + y = (x + y) 4. Μέθοδος 2. Kτά οµάδες : x + y + βx + βy = (x + y) + (βx + βy) = = (x + y) + β(x + y) = = (x + y)( + β) 5. Μέθοδος 3. ιφορά τετργώνων : 2 β 2 = ( + β)( β) 6. Μέθοδος 4. Άθροισµ κύβων : 3 + β 3 = ( + β) ( 2 β + β 2 ) ιφορά κύβων : 3 β 3 = ( β) ( 2 + β + β 2 ) 7. Μέθοδος 5. Ανάπτυγµ τετργώνου : x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 x 2 2xy + y 2 = ( x y) 2 Ανάπτυγµ κύβου : x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = (x + y) 3 x 3 3x 2 y + 3xy 2 y 3 = (x y) 3

2 8. Μέθοδος 6. Τριώνυµο : x 2 + ( + β)x + β = (x + )(x + β) x 2 ( + β)x + β = (x )(x β) 9. Μέθοδος 7. ιάσπση προσθφίρεση όρου 10. Μέθοδος 8. Συνδυσµός περιπτώσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν γίνει γινόµενο η πράστση 2 + 3β = (2 + 3β) 2 + 3β 5βγ = (2 + 3β 5βγ) i 2x 2 y 3 z + 4 xy 2 + 6xy = 2xy(xy 2 z + 2y + 3 ) 2 + 3β 2 + 3β 5βγ i 2x 2 y 3 z + 4 xy 2 + 6xy iv) 2xy (κ + λ) 3x 2 (κ + λ) 2 iv) 2xy (κ + λ) 3x 2 (κ + λ) 2 = x(κ + λ) [2y 3x(κ + λ)] = = x (κ + λ) [2y 3xκ 3x λ] Κοινός πράγοντς

3 2. Ν γίνει γινόµενο η πράστση xy + 5x 4y 20 kx 2ky + λx 2λy + k + λ i 5x + (k + 5)y + kx xy + 5x 4y 20 = (xy + 5x) (4y + 20) = = x(y + 5) 4(y + 5) = = (y + 5)(x 4) kx 2ky + λx 2λy + k + λ = (kx + λx) (2ky + 2λy) + (k +λ) = = x(k + λ) 2y(k + λ) + (k +λ) = = (k + λ)(x 2y + 1) i 5x + (k + 5)y + kx = (5x + kx) + (k + 5)y = = x(5 + k) + (k + 5)y = = (5 + k)(x + y) 3. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 2 16 9 ( 3x + 2) 2 x 2 16 = x 2 4 2 = (x + 4)(x 4) i 4y 2 5z 2 9 (3x + 2) 2 = 3 2 (3x + 2) 2 = [3 + ( 3x + 2)][3 (3x + 2)] = = (3 + 3x + 2) (3 3x 2) = = ( 3x + 5)( 1 3x) i 4y 2 5z 2 = (2y) 2 ( ) 2 5z = (2y + 5 z) (2y 5 z) Κτά οµάδες ιφορά τετργώνων

4 4. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 3 + 1 y 3 8 i 27 + 8z 3 iν) (x + 2) 3 64 y 3 Άθροισµ διφορά κύβων x 3 + 1 = x 3 + 1 3 = (x + 1) (x 2 1 x + 1 2 ) = (x + 1) (x 2 x + 1) y 3 8 = y 3 2 3 = (y 2) (y 2 + 2 y + 2 2 ) = (y 2) (y 2 + 2y + 4) i 27 + 8z 3 = 3 3 + (2z) 3 = (3 + 2z) (3 2 3 2z + (2z) 2 ) = (3 + 2z) (9 6z + 4z 2 ) iν) (x + 2) 3 64 y 3 = (x + 2) 3 (4 y) 3 = = [( x + 2) 4y] [(x + 2) 2 + (x +2)4y + ( 4y) 2 ] = = ( x + 2 4y) ( x 2 + 4x + 4 + 4xy + 8y + 16y 2 ) 5. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 2 + 10x + 25 16y 4 + 24 y 9 x 2 + 10x + 25 = x 2 + 2 5 x + 5 2 = (x + 5) 2 16y 4 + 24y 2 9 = (16y 4 24 y 2 + 9) = = [(4y 2 ) 2 2 4y 2 3 + 3 2 ] = = (4y 2 3) 2 Ανάπτυγµ τετργώνου 6. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 3 + 3x 2 + 3x + 1 x 3 3x 2 + 3x 1 i ( β) 3 3( β) 2 (2+ β) + 3( β)(2 + β) 2 (2 + β) 3 x 3 + 3x 2 +3x + 1 = x 3 + 3x 2 1 +3x 1 2 + 1 3 = (x + 1) 3 x 3 3x 2 + 3x 1 = x 3 3x 2 1 + 3x 1 2 1 3 = (x 1) 3 Ανάπτυγµ κύβου i ( β) 3 3( β) 2 (2+ β) + 3( β)(2 + β) 2 (2 + β) 3 = [( β) (2 + β)] 3 = = ( β 2 β) 3 = = ( 2β) 3

5 7. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 2 5x + 6 x 2 + x 6 x 2 (3 + 2)x + 3 2 = (x 3)(x 2) i x 2 + ( 2+ 2) x + 2 2 x 2 + x 6 = x 2 + (3 2)x + 3 ( 2) = (x + 3) (x 2) i x 2 + (2 + 2 ) x + 2 2 = (x + 2)( x + 2 ) Τριώνυµο 8. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 4 + y 4 4 + β 4 3 2 β 2 i 9 4 + 25β 4 + 26 2 β 2 iv) 2x 2 + 5xy + 3y 2 x 4 + y 4 = x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 2x 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 y 2 = = (x 2 + y 2 ) 2 ( ) 2 2xy = = (x 2 + y 2 2 xy) (x 2 + y 2 + 2 xy) 4 + β 4 3 2 β 2 = 4 + β 4 2 2 β 2 2 β 2 = ( 2 β 2 ) 2 (β) 2 = = ( 2 β 2 + β) ( 2 β 2 β) i 9 4 + 25β 4 + 26 2 β 2 = (3 2 ) 2 + (5β 2 ) 2 + 26 2 β 2 + 4 2 β 2 4 2 β 2 = = (3 2 ) 2 + (5β 2 ) 2 + 30 2 β 2 4 2 β 2 = = (3 2 + 5β 2 ) 2 (2β) 2 = = (3 2 + 5β 2 2β) (3 2 + 5β 2 + 2β) iv) 2x 2 + 5xy + 3y 2 = 2x 2 + 2xy + 3xy + 3y 2 = = (2x 2 + 2xy) + (3xy + 3y 2 ) = = 2x(x + y) + 3y(x + y) = = (x + y)(2x + 3y) ιάσπση προσθφίρεση όρου

6 9. Ν γίνει γινόµενο η πράστση x 6 y 6 x 2 y 2 25x 2 4y 2 + 100 i x 2 + 2xy + 5(x + y) + y 2 iv) ( β)( 2 γ 2 ) ( 2 β 2 )(γ ) v) x 2 9 + 10xy + 25y 2 Συνδυσµός περιπτώσεων x 6 y 6 = (x 3 ) 2 (y 3 ) 2 = (x 3 + y 3 ) (x 3 y 3 ) = = (x + y) (x 2 xy + y 2 )(x y) (x 2 + xy + y 2 ) x 2 y 2 25x 2 4y 2 + 100 = x 2 (y 2 25) 4(y 2 25) = = (y 2 25)(x 2 4) = = (y 5)(y + 5 )(x + 2)(x 2) i x 2 + 2xy + 5(x + y) + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 + 5(x + y) = = (x + y) 2 + 5(x + y) = = (x + y)(x + y + 5) iν) ( β)( 2 γ 2 ) ( 2 β 2 )(γ ) = ( β)( γ)( + γ) ( β)( + β) (γ ) = = ( β)( γ)( + γ) + ( β)( + β) ( γ + ) = ( β)( γ) ( + γ + + β) = = ( β)( γ) (2 + γ + β) v) x 2 9 + 10xy + 25y 2 = (x 2 + 10xy + 25y 2 ) 9 = = (x + 5y) 2 3 2 = = (x + 5y + 3) (x + 5y 3) 10. Στις πρκάτω ισότητες ν συµπληρώσετε τ κενά ) 5x 2 + 15xy 10xω 25x = 5x( ) = 5x(x + 3y 2ω 5) β) ( x 3 + 2) β(x 3 + 2) + (x 3 + 2) = ( )( ) = (x 3 + 2) ( β + 1) γ) 25x 2 9 = ( 3)( + 3) = ( 5x 3)(5x + 3) δ) 16x 2 24x + 9 = (.) 2 = (4x 3) 2 ε) x 2 + ( 2 + 3 ) x + 2 3 = (.)(.) = (x + 2)(x + 3) ) 5x 2 + 15xy 10xω 25x = 5x (x + 3y 2ω 5) β) ( x 3 + 2) β(x 3 + 2) + ( x 3 + 2) = (x 3 + 2) ( β + 1) γ) 25x 2 9 = (5x 3)(5x + 3) δ) 16x 2 24x + 9 = (4x 3) 2 ε) x 2 + (2 + 3) x + 2 3 = (x+ 2)(x + 3) Συµπληρωµέν τ κενά φίνοντι πρπάνω

7 11. Χρκτηρίστε τις πρκάτω προτάσεις µε Σ ν είνι σωστές κι µε Λ ν είνι λνθσµένες ) x 2 ( + β) ( + β) = x 2 Λ β) 9 6 + 2 = ( 3) 2 Σ γ) x 3 1 = (x 1)( x 2 x +1) Λ δ) x 2 2 = (x 2)(x + 2) Λ ε) 2 β 2 = ( + β) (β ) Σ ) x 2 ( + β) ( + β) = ( + β)(x 2 1) = ( + β)(x 1)(x + 1) πρότση Λάθος β) 9 6 + 2 = (3 ) 2 = ( 3) 2 πρότση Σωστή γ) x 3 1 = (x 1)(x 2 + x +1) πρότση Λάθος δ) x 2 2 = ( x 2) ( x 2) + πρότση Λάθος ε) 2 β 2 = ( + β) ( β) = ( + β) (+ β ) πρότση Σωστή 12. Ν γίνουν γινόµενο οι πρστάσεις ) x + βy + y + + βx + β β) 36 2 β 2 144γ 2 γ) ω 3 κ 3 ρ 3 δ) x 4 + 6x 2 y 2 + 9y 4 ε) y 2 12y + 20 ζ) x 3 y 3 + x 2 y 2 ) x + βy + y + + βx + β = (x + y + ) + (βx + βy + β) = = (x + y + 1) + β(x + y + 1) = ( + β) (x + y + 1) β) 36 2 β 2 144γ 2 =36[ (β) 2 4γ 2 ] =36(β + 2γ)(β 2γ) γ) ω 3 κ 3 ρ 3 = ω 3 (κρ) 3 = (ω κρ)(ω 2 + ωκρ + κ 2 ρ 2 ) δ) x 4 + 6x 2 y 2 + 9y 4 = (x 2 ) 2 + 2 x 2 3y 2 + (3y 2 ) 2 = (x 2 + 3y 2 ) 2 ε) y 2 12y + 20 = y 2 (10 + 2) y + 10 2 = (y 2)(y 10) ζ) x 3 y 3 + x 2 y 2 = (x y)(x 2 + xy + y 2 ) + (x y)(x + y) = = (x y)(x 2 + xy + y 2 + x + y) Κτά οµάδες ιφορά τετργώνων ιφορά κύβων Ανάπτυγµ τετργώνου Τριώνυµο ιφορά κύβων κι διφορά τετργώνων

8 13. Ν γίνουν γινόµενο οι πρστάσεις ) x 3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 β) 2 x 2 + 2 2 xy + 2 y 2 ( + β) 2 γ) 2x 2 + 10x+ 12 δ) 8x 3 27 ε) x 3 + 3x 2 +3x + 1 ζ) ( 2 9) 2 ( + 3) 2 ) x 3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 = (x + y) 3 β) 2 x 2 + 2 2 xy + 2 y 2 ( + β) 2 = 2 (x 2 + 2xy + y 2 ) ( + β) 2 = = 2 (x + y) 2 ( + β) 2 = γ) = [(x + y)] 2 ( + β) 2 = = [(x + y) + ( + β)][(x + y) ( + β)] = = (x + y + + β)(x + y β) 2x 2 + 10x + 12 = 2(x 2 + 5x + 6) = 2[x 2 + (2 + 3)x + 6] = = 2(x + 2)(x + 3) δ) 8x 3 27 = (2x) 3 3 3 = (2x 3)[(2x) 2 + (2x)3 + 3 2 ] = (2x 3)(4x 2 + 6x + 9) ζ) ( 2 9) 2 ( + 3) 2 = [( + 3)( 3)] 2 ( + 3) 2 = = ( + 3) 2 ( 3) 2 ( + 3) 2 = = ( + 3) 2 [( 3) 2 1] = = ( + 3) 2 ( 3 1)( 3 + 1) = = ( + 3) 2 ( 4)( 2)

9 14. Ν γίνουν γινόµενο οι πρστάσεις ) 25 2 10β + β 2 β) (2x 3) 2 (5x 6) 2 γ) 24 3 x 3 + 81 6 y 3 δ) x 2 + 14x 32 ε) 2 β 2 2 + 2β ζ) 2 γ 2 δ + β 2 δ β 2 γ ) 25 2 10β + β 2 = (5) 2 2 5 β + β 2 = (5 β) 2 β) (2x 3) 2 (5x 6) 2 = [(2x 3) + (5x 6)][(2x 3) (5x 6)] = = (2x 3 + 5x 6)(2x 3 5x + 6) = = (7x 9)( 3x + 3) = 3(7x 9)( x + 1) γ) 24 3 x 3 + 81 6 y 3 = 3 3 (8x 3 + 27 3 y 3 ) = = 3 3 [(2x) 3 + (3y) 3 ] = = 3 3 (2x + 3y)[(2x) 2 2x 3y + (3y) 2 ] = 3 3 (2x + 3y)(4x 2 6xy + 9 2 y 2 ) δ) x 2 + 14x 32 = x 2 + (16 2) x + 2( 16) = (x +16)(x 2) ε) 2 β 2 2 + 2β = ( + β)( β) 2( β) = ( β)( + β 2) ζ) 2 γ 2 δ + β 2 δ β 2 γ = 2 (γ δ) + β 2 (δ γ) = = 2 (γ δ) β 2 (γ δ) = = (γ δ)( 2 β 2 ) = = (γ δ)( + β)( β)

10 15. Ν γίνουν γινόµενο οι πρστάσεις ) 2 + 2β + β 2 x 2 β) (3x 6)(x 2 1) (5x 10)(x 1) 2 γ) 5(4 x 2 ) (x 2) 2 δ) 4 2 (β 2 1) + 4β 2 (1 β 2 ) ε) β(x 2 + y 2 ) + xy( 2 + β 2 ) ζ) 3 3 5 2 3 + 5 ) 2 + 2β + β 2 x 2 = ( + β) 2 x 2 = ( + β + x)( + β x) β) (3x 6)(x 2 1) (5x 10)(x 1) 2 = 3(x 2)(x + 1)(x 1) 5(x 2)(x 1) 2 = = (x 2)(x 1)[3(x + 1) 5(x 1)] = = (x 2)(x 1)(3x + 3 5x+ 5) = = (x 2)(x 1)( 2x + 8) = = (x 2)(x 1) 2( x + 4) γ) 5(4 x 2 ) (x 2) 2 = 5(2 x)(2 + x) (2 x) 2 = = (2 x) [5(2 + x) (2 x)] = = (2 x)(10 +5x 2 + x) = = (2 x)(6x + 8) = = 2(2 x)(3x + 4) δ) 4 2 (β 2 1) + 4β 2 (1 β 2 ) = 4 2 (β 2 1) 4β 2 (β 2 1) = = 4(β 2 1)( 2 β 2 ) = = 4(β + 1)(β 1)( + β)( β) ε) β(x 2 + y 2 ) + xy( 2 + β 2 ) = βx 2 + βy 2 + xy 2 + xy β 2 = = (βx 2 + xy 2 ) + (βy 2 + xy β 2 ) = = x(xβ + y) + βy(y + xβ) = (y + xβ)(x + βy) ζ) 3 3 5 2 3 + 5 = (3 3 3) (5 2 5) = = 3( 2 1) 5( 2 1) = = ( 2 1)(3 5) = = ( 1)( + 1)(3 5)

11 16. Ν γίνουν γινόµενο οι πρστάσεις ) 4 3 3 2 + 5 2 β) x 4 + 4y 4 5x 2 y 2 γ) 1 2 + 2βγ + 2 β 2 γ 2 δ) 2 β + β 2 γ + γ 2 β 2 βγ 2 γ 2 ε) 4 + 2 + 1 ζ) 4 + 2 3 + 2 β 2 ) 4 3 3 2 + 5 2 = 4 3 3 2 + 3 + 2 2 = = 3 ( 1) 3( 1) + 2( 1) = ( 1)( 3 3 + 2) = = ( 1)( 3 2 + 2) = = ( 1)[( 2 1) 2( 1)] = = ( 1)[( 1)( + 1) 2( 1)] = = ( 1)( 1)[( + 1) 2] = = ( 1) 2 ( 2 + 2) = = ( 1) 2 [ 2 + (2 1) + 2( 1)] = = ( 1) 2 ( + 2)( 1) = ( 1) 3 ( + 2) β) x 4 + 4y 4 5x 2 y 2 = x 4 + 4y 4 4x 2 y 2 x 2 y 2 = = x 2 (x 2 4y 2 ) y 2 ( x 2 4y 2 ) = = (x 2 4y 2 )( x 2 y 2 ) = = (x + 2y)( x 2y) (x y)(x + y ) ηµιουργούµε ίδιους συντελεστές γ) 1 2 + 2βγ + 2 β 2 γ 2 = (1 2 + 2 ) + ( 2βγ β 2 γ 2 ) = = ( 1) 2 (γ 2 + β 2 2βγ) = = ( 1) 2 ( γ β) 2 = = [( 1) + ( γ β)][( 1) (γ β)] = = ( 1 + γ β)( 1 γ + β) δ) 2 β + β 2 γ + γ 2 β 2 βγ 2 γ 2 = β( β) γ( 2 β 2 ) + γ 2 ( β) = = β( β) γ( β)( + β) + γ 2 ( β) = = ( β) [β γ( + β) + γ 2 ]= = ( β) (β γ γ β + γ 2 ) = = ( β) [(β γ) γ(β γ )] = = ( β)(β γ)( γ) ε) 4 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 + 2 2 = = 4 + 2 2 + 1 2 = = ( 2 +1) 2 2 = ( 2 + 1+ )( 2 +1 ) ζ) 4 + 2 3 + 2 β 2 = 2 ( 2 + 2 + 1) β 2 = = 2 ( + 1) 2 β 2 = ηµιουργούµε ίδιους συντελεστές

12 = [( + 1)] 2 β 2 = = [( + 1) + β][( + 1) β] = = ( 2 + + β)( 2 + β) 17. Ν λυθούν οι εξισώσεις ) (5 3x)(x + 4) + (3x 5)(2x 3) + 9x 2 25 = 0 β) (ω 2 4) 2 = (3ω + 4)(ω + 2) 2 γ) x(x 6)(x + 4) + 9x + 36 = 0 ) (5 3x)(x + 4) + (3x 5)(2x 3) + 9x 2 25 = 0 (5 3x)(x + 4) + (3x 5)(2x 3) + (3x 5)(3x + 5) = 0 (5 3x)(x + 4) (5 3x)(2x 3) (5 3x)(3x + 5) = 0 (5 3x)[(x + 4) (2x 3) (3x + 5)] = 0 (5 3x)(x + 4 2x + 3 3x 5) = 0 (5 3x)( 4x + 2) = 0 5 3x = 0 ή 4x + 2 = 0 άρ x = 5 3 ή x = 1 2 β) (ω 2 4) 2 = (3ω + 4)(ω + 2) 2 άρ (ω 2 4) 2 (3ω + 4)(ω + 2) 2 = 0 (ω 2) 2 (ω + 2 ) 2 (3ω + 4)(ω + 2) 2 = 0 (ω + 2) 2 [(ω 2) 2 (3ω + 4)] = 0 (ω + 2) 2 (ω 2 4ω + 4 3ω 4) = 0 (ω + 2) 2 (ω 2 7ω) = 0 (ω + 2) 2 ω (ω 7) = 0 (ω + 2) 2 = 0 ή ω = 0 ή ω 7 = 0 ω = 2 ή ω = 0 ή ω = 7 γ) x(x 6)(x + 4) + 9x + 36 = 0 άρ x(x 6)(x + 4) + 9(x + 4) = 0 (x + 4)[x(x 6) + 9] = 0 (x + 4) (x 2 6x + 9) = 0 ( x + 4) (x 3) 2 = 0 x + 4 = 0 ή (x 3) 2 = 0 x = 4 ή x = 3

13 18. Έστω τ πολυώνυµ Α = x 2 + 1 Β = (x + 2)(3x 2 6x) (x 2 2x) Γ= x 3 4x ) Ν τ νλύσετε σε γινόµενο πργόντων β) Ν λύσετε την εξίσωση (x + 2)(3x 2 6x) (x 2 2x) = x 3 4x ) Α = x 2 + 1 = 1 x 2 = (1 + x )(1 x) B = (x + 2)(3x 2 6x) (x 2 2x) = (x + 2) 3x (x 2) x( x 2) = = x( x 2)[3( x + 2) 1] = = x( x 2)( 3x + 5) Γ = x 3 4x = x (x 2 4) = x (x + 2)(x 2) β) (x + 2)(3x 2 6x) (x 2 2x) = x 3 4x πό () x( x 2)( 3x + 5) = x (x + 2)(x 2) x(x 2)(3x + 5) x(x + 2)(x 2) = 0 x(x 2)[(3x + 5) (x + 2)] = 0 x(x 2)(3x + 5 x 2) = 0 x(x 2)(2x + 3) = 0 x = 0 ή x 2 = 0 ή 2x + 3 = 0 x = 0 ή x = 2 ή x = 3 2 19. Χωρίς κοµπιουτεράκι ν βρείτε τ ποτελέσµτ ) 2013 997 + 2013 3 β) 995 1005 + 25 γ) 10005 10005 10 10005 + 25 ) 2013 997 + 2013 3 = 2013 (997 + 3) = 2013 1000 = 2013000 β) 995 1005 + 25 = (1000 5)(1000 + 5) + 25 = 1000 2 25 + 25 = 1000 2 γ) 10005 10005 10 10005 + 25 = 10005 2 2 5 10005 + 5 2 = = (10005 5) 2 = 10000 2

14 20. Πως πρέπει ν τοποθετήσουµε τ διπλνά σχήµτ γι ν σχηµτιστεί ορθογώνιο; Ποιες είνι οι διστάσεις του; β β γ γ β γ γ β β Είνι 2 + β + γ + βγ = ( + β) + γ( + β) = = ( + β) ( + γ) Εποµένως τ σχήµτ πρέπει ν τ τοποθετήσουµε όπως φίνετι δίπλ. Προκύπτει ορθογώνιο διστάσεων + β κι + γ γ γ β β γ