ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ»

1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α+ β = γ, µε α 0 ή β 0 και παριστάνει ευθεία γραµµή. Κάθε γραµµική εξίσωση της µορφής = k, k R παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα (οριζόντιες ευθείες ) Κάθε γραµµική εξίσωση της µορφής = k, k R παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα. (κατακόρυφες ευθείες) ΟΡΙΣΜΟΣ 2 : Κάθε ζεύγος δύο αριθµών(, ) που επαληθεύει µια γραµµική εξίσωση λέγεται λύση της. ΟΡΙΣΜΟΣ 3 : Γραµµικό 22 σύστηµα ή γραµµικό σύστηµα 2 εξισώσεων µε δύο αγνώστους λέγεται κάθε α+ β = γ σύστηµα της µορφής που αποτελείται από 2 γραµµικές εξισώσεις των οποίων α + β = γ ζητούµε να βρούµε την κοινή λύση, δηλαδή τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής τους. Όταν οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι γραµµικές εξισώσεις ενός 22 γραµµικού συστήµατος είναι παράλληλες, τότε το γραµµικό σύστηµα δεν έχει λύση και λέµε ότι είναι Α ΥΝΑΤΟ. Όταν οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι γραµµικές εξισώσεις ενός 22 γραµµικού συστήµατος ταυτίζονται, τότε το γραµµικό σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, που είναι όλα τα σηµεία της µοναδικής ευθείας που παριστάνει το σύστηµα. Τότε λέµε ότι το σύστηµα είναι ΑΟΡΙΣΤΟ. ΟΡΙΣΜΟΣ 4 : Όταν ένα γραµµικό σύστηµα µετατραπεί ( µε εφαρµογή κατάλληλων µετασχηµατισµών) σε ένα άλλο γραµµικό σύστηµα µε τις ίδιες ακριβώς λύσεις, τότε λέµε ότι έχουµε ένα ισοδύναµο σύστηµα. ΟΡΙΣΜΟΣ 5 : Η εξίσωση ( ) + ( ) λ ε λ ε που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουµε όλους τους όρους της εξίσωσης ( ε ) µε έναν πραγµατικό αριθµό λ και προσθέσουµε κατά µέλη µε την εξίσωση που προκύπτει από το γινόµενο της εξίσωσης ( ε ) µε έναν πραγµατικό αριθµό λ, ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός των γραµµικών εξισώσεων ( ε) και ( ε ).

2 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 : Ορίζουσα 22 λέγεται ο αριθµός α β α δ β γ γ δ = Να υπολογιστούν οι ορίζουσες: 4 3... 5 2 = 5 3 =... 2 4 κ κ 1 =... 2 κ + 2 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗ 22 ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑΤΟΣ Έστω το 22 γραµµικό σύστηµα α+ β = γ α + β = γ α β Αρχικά υπολογίζουµε την ορίζουσα = = α β β α α β Αν είναι 0 τότε το (Σ) έχει µια µοναδική λύση (, ) µε γ β α γ = = = = γ β β γ και α γ γ α γ β α γ = και = όπου Αν είναι = 0 τότε το (Σ) είναι είτε αδύνατο είτε αόριστο. (γίνεται έλεγχος) ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να λυθεί µε τη µέθοδο των οριζουσών το 22 γραµµικό σύστηµα : 3+ 2= 4 2+ 3= 1 = =... = =... = =... = = = =

3 1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η (Μέθοδος των οριζουσών) Να λυθεί το γραµµικό σύστηµα : ( ) ( ) 3 1 + 2 = 8 (1) 3 3+ 1 = 0 (2) Βήµα 1 ο : υπολογίζουµε την ορίζουσα του συστήµατος = = Παρατηρούµε ότι είναι.άρα το σύστηµα έχει.. Βήµα 2 ο : υπολογίζουµε τις ορίζουσες και. = = = = Η µοναδική λύση του συστήµατος είναι : = = = = = = ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Η ( παραµετρικό 22 γραµµικό σύστηµα - διερεύνηση) Να λυθεί για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου µ R το γραµµικό σύστηµα : ( µ ) ( ) 1 + 2= 3 2 + µ + 2 = µ + 4 Βήµα 1 ο : υπολογίζουµε την ορίζουσα του συστήµατος = = Παρατηρούµε ότι η ορίζουσα δεν είναι διάφορη του µηδέν για όλες τις τιµές της παραµέτρου µ R Βήµα 2 ο : υπολογίζουµε τις ορίζουσες και.

4 = =..... = =.. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Βήµα 3 ο : για τις τιµές της παραµέτρου µ για τις οποίες είναι 0 βρίσκουµε τη µοναδική λύση του συστήµατος. 0.. = = = = = = Βήµα 4 ο : για τις τιµές της παραµέτρου µ για τις οποίες είναι = 0ελέγχουµε αν το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο. = 0 Για µ =.. το σύστηµα γράφεται : Για µ =.. το σύστηµα γράφεται :

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Έστω ένα γραµµικό 22 σύστηµα µε αγνώστους, για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις : ( ) + + =. 2 2 2 και 2 4 2 2 (1) i. Να αποδειχθεί ότι τι σύστηµα έχει µοναδική λύση. ii. Να βρεθεί η λύση του συστήµατος. 2. Έστω ένα γραµµικό 22 σύστηµα µε αγνώστους, για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις : 2 2 0 και 4 + 9 = 12 (1) i. Να αποδειχθεί ότι 2=3. ii. Αν επιπλέον ισχύει : + = 5 να βρεθεί η λύση (,) του συστήµατος. 3. Να λυθεί για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ R το σύστηµα 4. Να λυθεί για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου λ R το σύστηµα ( λ ) ( λ 3) + 1 + 3= 0 = λ ( λ ) 2 1 + 2λ = 1 λ+ 2 = λ Αν (,) είναι η λύση του συστήµατος να βρεθεί η τιµή του λ R για την οποία ισχύει 2 ( ) 2 λ 1 = 0 5. ίνονται τα συστήµατα ( Σ ) ( ) λ + 4 µ = 2 2+ µ = λ+ 4 : και ( Σ ) : + 2= 1 + λ = µ 1 2 Να βρεθούν οι τιµές των παραµέτρων λ, µ R για τις οποίες το (Σ1) είναι αόριστο και το (Σ2) αδύνατο.

6 2 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 Η ίνεται η εξίσωση ( α+ 1) + ( α+ 4) 3= 0 (1), α R Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α R Α = 0 Β = 0 Παρατηρούµε ότι. Άρα η εξίσωση (1).. Συνεπώς η εξίσωση (1) αποτελεί µια. Με χρήση κατάλληλου λογισµικού (geogebra) τι παρατηρείτε για τη µορφή της οικογένειας ευθειών (1) καθώς µεταβάλλεται η τιµή της παραµέτρου α R; Πως νοµίζετε ότι µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό αλγεβρικά; Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε1) της οικογένειας που είναι παράλληλη στον άξονα Πρέπει.. άρα (ε1) :. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε2) της οικογένειας που είναι παράλληλη στον άξονα Πρέπει.. άρα (ε2) :. Να βρεθεί το σηµείο τοµής Μ των ευθειών (ε1) και (ε2) :. Να εξεταστεί αν οι συντεταγµένες του σηµείου Μ επαληθεύουν της εξίσωση (1) για κάθε α R Συνεπώς όλες οι ευθείες της οικογένειας (1)

7 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 Η ίνεται η εξίσωση α + ( α+ 3) + 6= 0 (2), α R 1) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (2) παριστάνει ευθεία για κάθε α R Α = 0 Β = 0 Παρατηρούµε ότι. Άρα η εξίσωση (2).. Συνεπώς η εξίσωση (2) αποτελεί µια. 2) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε1) της οικογένειας που είναι παράλληλη στον άξονα Πρέπει.. άρα (ε1) :. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε2) της οικογένειας που είναι παράλληλη στον άξονα Πρέπει.. άρα (ε2) :. Να βρεθεί το σηµείο τοµής Ν των ευθειών (ε1) και (ε2) :. Να εξεταστεί αν οι συντεταγµένες του σηµείου Ν επαληθεύουν της εξίσωση (2) για κάθε α R Συνεπώς όλες οι ευθείες της οικογένειας (2) ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 Η Να λυθεί για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α R, µε τη µέθοδο των οριζουσών, το γραµµικό σύστηµα : ( ) ( ) ( ) α+ 1 + α+ 4 = 3 α + α+ 3 = 6 α+ 1 α+ 4 = = α α+ 3. Παρατηρούµε ότι

8 Άρα το σύστηµα έχει για κάθε τιµή της παραµέτρου α R = =.. = =.. = =. = =. Άρα το σηµείο τοµής των ευθειών των οικογενειών (1) και (2), για κάθε τιµή του α R, είναι το σηµείο Ρ µε συντεταγµένες.. (παραµετρικό σηµείο) Με χρήση κατάλληλου λογισµικού (geogebra) τι παρατηρείτε για τη θέση του σηµείου Ρ καθώς µεταβάλλεται η τιµή της παραµέτρου α R; Πως νοµίζετε ότι µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό αλγεβρικά; Η διαδικασία που ακολουθήσαµε για να το αποδείξουµε λέγεται

9 ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4 Η 1) ίνεται η εξίσωση ( ηµα) ( συνα) 4= 0 (1), α [ 0,2π ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α R Α = 0 Β = 0 Παρατηρούµε ότι. Άρα η εξίσωση (1).. Συνεπώς η εξίσωση (1) αποτελεί µια. Με χρήση κατάλληλου λογισµικού (geogebra) τι παρατηρείτε για τη µορφή της οικογένειας ευθειών (1) καθώς µεταβάλλεται η τιµή της παραµέτρου α R; Πως νοµίζετε ότι µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό αλγεβρικά;. 2) ίνεται η εξίσωση ( συνα ) + ( ηµα ) + 2= 0 (2), α [ 0,2π ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α R Α = 0 Β = 0 Παρατηρούµε ότι. Άρα η εξίσωση (1)..

10 Συνεπώς η εξίσωση (1) αποτελεί µια. 3) Να λυθεί για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου α R, µε τη µέθοδο των οριζουσών, το γραµµικό σύστηµα : ( ) ( ) ( ) ( ) ηµα συνα = 4 συνα + ηµα = 2 ηµα συνα = = συνα ηµα. Παρατηρούµε ότι Άρα το σύστηµα έχει για κάθε τιµή της παραµέτρου α [ 0,2π ) = =.. = =.. = =. = =. Άρα το σηµείο τοµής των ευθειών των οικογενειών (1) και (2), για κάθε τιµή του α [ 0,2π) είναι το σηµείο Ρ µε συντεταγµένες.. (παραµετρικό σηµείο) Με χρήση κατάλληλου λογισµικού (geogebra) τι παρατηρείτε για τη θέση του σηµείου Ρ καθώς µεταβάλλεται η τιµή της παραµέτρου α [ 0,2π ); Πως νοµίζετε ότι µπορούµε να το αποδείξουµε αυτό αλγεβρικά;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ηµα) ( συνα ) 4 = 0, α [0,2π) 11 ( συνα ) + ( ηµα ) + 2 = 0, α [0,2π) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΜΗΣ