3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες : Οξυγώνιο, ορθογώνιο, αµβλυγώνιο. 3. Κριτήρια ισότητας τριγώνων ο : Π Π 2 ο : Π 3 ο : Π Π Π δεν είναι κριτήριο Π Π δεν είναι κριτήριο Π δεν είναι κριτήριο 4. Ισοδυναµίες i) β = γ ˆ = ˆ (ισοσκελές) ii) α = β = γ ˆ = ˆ = ˆ (ισόπλευρο) M iii) = το ανήκει στη µεσοκάθετο του Η µεσοκάθετος είναι γεωµετρικός τόπος iv) = AB = (τα δύο τόξα είναι 80 ο ή 80 ο ) v) Ίσες χορδές Ίσα αποστήµατα vi) = το ανήκει στη διχοτόµο Η διχοτόµος είναι γεωµετρικός τόπος O y δ x
2 5. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων ο : Τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων 2 ο : Ίση υποτείνουσα και ίση µία οξεία γωνία 3 ο : Ίση υποτείνουσα και ίση µία κάθετη πλευρά 6. Πολυθεώρηµα ια το τρίγωνο θεωρούµε τις προτάσεις α) = β) ύψος γ) διάµεσος δ) διχοτόµος ν ισχύουν δύο από τις τέσσερις τότε θα ισχύουν και οι υπόλοιπες 7. Θεώρηµα Τα συµµετρικά σχήµατα, είτε ως προς κέντρο είτε ως προς άξονα, είναι ίσα. 8. Σχόλιο Στην έκφραση : «ίνεται τρίγωνο..», σχεδιάζουµε σκαληνό τρίγωνο και όχι ισοσκελές ή ορθογώνιο ή ισόπλευρο. 9. Σχόλιο 2 Η ισότητα τριγώνων προσφέρεται για την απόδειξη ίσων τµηµάτων και ίσων γωνιών. 0. Σχόλιο 3 Όταν έχουµε κάθετη σε διχοτόµο, προεκτείνουµε την κάθετη κατά ίσο τµήµα, οπότε δηµιουργείται ισοσκελές τρίγωνο.. Σχόλιο 4 Κατά τη διαδικασία επίλυσης µιας άσκησης : i. κατασκευάζουµε ένα, όσο το δυνατόν, πειστικό σχήµα ii. εντοπίζουµε τις υποθέσεις και το ζητούµενο iii. προσπαθούµε να βγάλουµε συµπεράσµατα από τις υποθέσεις
3 iv. πολλές φορές σκεπτόµαστε αντίστροφα, µε το αρκεί να δειχθεί ότι. 2. Σχόλιο 5 Είναι γνωστό ότι αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε έχουν τις γωνίες τους ίσες µία προς µία. Όπως, όµως, φαίνεται στο σχήµα, δεν ισχύει το αντίστροφο. ηλαδή, αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες γωνίες δε σηµαίνει ότι είναι ίσα. Στο κεφάλαιο 8 θα µάθουµε ότι είναι όµοια. 3. Σχόλιο 6 Στο σχήµα παρουσιάζουµε δύο άνισα τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία ( = και = ) και µη περιεχόµενη γωνία ίση ( = ˆ ˆ ). ι αυτό η αντίστοιχη πρόταση δεν αποτελεί κριτήριο ισότητας τριγώνων. A ' 4. Σχόλιο 7 Σε κάθε θέµα γεωµετρικού τόπου πρέπει διακρίνουµε τα σταθερά από τα µεταβλητά στοιχεία. 5. Να θυµόµαστε τις ισοδυναµίες Ο = ρ το ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) = το ανήκει στη µεσοκάθετο του τµήµατος Σηµείο ισαπέχει από τις πλευρές γωνίας το ανήκει στη διχοτόµο της γωνίας
4 ΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω ισοσκελές τρίγωνο µε =. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών και θεωρούµε σηµεία και Ε αντίστοιχα, έτσι ώστε = Ε i) είξτε ότι = Ε ii) ν είναι το µέσο της, δείξτε ότι = Ε i) Συγκρίνουµε τα τρίγωνα και Ε Έχουν κοινή = Ε = Ε ɵ σαν παραπληρωµατικές ίσων Οπότε σύµφωνα µε το κριτήριο Π Π, τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα = Ε ii) Συγκρίνω τα τρίγωνα M και MΕ Έχουν = = Ε = Ε ɵ Οπότε σύµφωνα µε το κριτήριο Π Π, τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα M = MΕ Ε
5 2. Έστω γωνία ΧΟΨ. Στις πλευρές ΟΧ και ΟΨ γωνίας ΧΟΨ θεωρούµε σηµεία, και, αντίστοιχα, έτσι ώστε Ο = Ο και Ο = Ο. ν είναι τυχαίο σηµείο της διχοτόµου ΟΡ της γωνίας ΧΟΨ, δείξτε ότι i) Τα τρίγωνα Ο, Ο είναι ίσα ii) Τα τρίγωνα, είναι ίσα iii) Η ΟΡ είναι µεσοκάθετος των τµηµάτων και. i) Tα τρίγωνα Ο, Ο έχουν Ο = Ο Ο κοινή Ο = Ο 2 Άρα είναι ίσα ii) Τα τρίγωνα, έχουν = σαν διαφορές ίσων = συµπέρασµα από το (i) Ο = Ο συµπέρασµα από το (i) Άρα είναι ίσα iii) Επειδή τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ισοσκελή (Ο = Ο, Ο = Ο), η διχοτόµος ΟΡ θα είναι µεσοκάθετος των βάσεων και. Ο 2 Χ Ψ Ρ
6 3. Έστω γωνία ΧΟΨ, δύο σηµεία και στην ΟΧ και δύο σηµεία και στην ΟΨ, έτσι ώστε Ο = Ο και Ο = Ο. είξτε ότι το σηµείο τοµής των και ανήκει στη διχοτόµο της γωνίας ΧΟΨ. Έστω Κ το σηµείο τοµής των,. ρκεί να Χ αποδείξουµε ότι η ΟΚ είναι διχοτόµος της γωνίας ΧΟΨ. Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν Ο = Ο φ Κ Ο Ο = Ο ω ΧΟΨ κοινή Ψ Άρα είναι ίσα, εποµένως Ο = Ο ɵ και = Τα τρίγωνα Κ, Κ έχουν = σαν διαφορές ίσων = αποδείχτηκε παραπάνω Κ = Κ ɵ σαν παραπληρώµατα ίσων γωνιών Άρα είναι ίσα, εποµένως Κ = Κ Τα τρίγωνα ΟΚ, ΟΚ είναι ίσα διότι Ο = Ο ΟΚ κοινή Κ = Κ αποδείχτηκε Οπότε ω = φ, συνεπώς η ΟΚ είναι διχοτόµος της γωνίας ΧΟΨ.
7 4. Έστω δύο ίσα τρίγωνα και (α = α, β = β, γ = γ ). Η διάµεσος και η διχοτόµος του τέµνονται στο Θ, ενώ η διάµεσος και η διχοτόµος του τέµνονται στο Θ. είξτε ότι i) Θ = Θ ii) Θ = Θ i) Τα τρίγωνα και έχουν = ω φ = ω = ω σαν µισά ίσων γωνιών Άρα είναι ίσα, οπότε = και = Θ Τα τρίγωνα και έχουν Άρα είναι ίσα, οπότε = = ' ' ω' φ' ɵ = ɵ = σαν µισά ίσων Τα τρίγωνα Θ και Θ είναι ίσα διότι = αποδείχτηκε παραπάνω =» Οπότε θα είναι Θ = Θ () ii) =» πό Π Π είναι τρ. = τρ., άρα = (2) (2) () Θ = Θ Θ' ' ' '
8 5. είξτε ότι δύο τρίγωνα και είναι ίσα, όταν β = β, γ = γ, µ α = µ α Επειδή µε βάση τα δεδοµένα δεν βρίσκουµε τρίγωνα που να είναι ίσα, κάνουµε το εξής τέχνασµα : Προεκτείνουµε τις δοσµένες διαµέσους κατά µήκος ίσο µε τον εαυτό τους Έτσι λοιπόν προεκτείνουµε την κατά τµήµα Η = και την κατά τµήµα Η =. ' Είναι τρ. = τρ.η διότι = γ β γ' β' = Η = 2 Οπότε θα είναι και Η = Οµοίως θα είναι = Η Και αφού =, θα είναι Η = Η Είναι τρ.η = τρ. Ή διότι M = Η = Η Η = Η Οπότε θα είναι και = Είναι τρ. = τρ. διότι = = = Οπότε θα είναι και = και συνεπώς =. Τελικά, από Π Π Π θα είναι τρ. = τρ. 2 H ' M' 2 H' '
9 6. Έστω ένα τρίγωνο και ένα σηµείο Ο στο εσωτερικό αυτού. Οι Ο, Ο τέµνουν τις, στα σηµεία Λ, αντίστοιχα, έτσι ώστε να ισχύει Ο = Ο και ΟΛ = Ο. είξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. πό Π Π έχουµε τρ.ο = τρ.ολ, οπότε θα είναι = ɵ και = Λ ως παραπληρώµατα ίσων πό Π έχουµε τρ. = τρ.λ, οπότε είναι = Ο Λ 7. Στις πλευρές,, ισοπλεύρου τριγώνου θεωρούµε αντίστοιχα τα σηµεία, Ε, Ζ ώστε να είναι = Ε = Ζ. είξτε ότι το τρίγωνο ΕΖ είναι ισόπλευρο. Είναι τρ.ζ = τρ.ε διότι = Ε Ζ = = Άρα θα έχουν τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, εποµένως και Ζ = Ε. Οµοίως Ζ = ΕΖ Ε Ζ