ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ψηφιακά κυκλώματα.

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ψηφιακά κυκλώματα Σημειώσεις Αναστάσιος Ι. Μπαλουκτσής (Μηχανολόγος/Ηλεκτρολόγος Μηχανικός, Μαθηματικός, PhD) Καθηγητής Τομέας Αρχιτεκτονικής Η/Υ & Βιομηχανικών Εφαρμογών Σέρρες 24

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος 5 Συστήματα αριθμών 6 Δεκαδικό σύστημα 6 Παράδειγμα. 6 Δυαδικό σύστημα 6 Μετατροπή δεκαδικού σε δυαδικό 8 Παράδειγμα.2 8 Παράδειγμα.3 9 Άλυτα προβλήματα Βασικές λογικές πράξεις λογικές πύλες Ψηφιακή πύλη OR Ψηφιακή πύλη ND Ψηφιακή πύλη ΝΟΤ 2 Ψηφιακή πύλη NND (ΝΟΤ ND) 2 Ψηφιακή πύλη NOR (NOT OR) 2 Ψηφιακή πύλη XOR 3 Ψηφιακή πύλη XNOR (NOT XOR) 3 Συνοπτικός πίνακας λογικών πυλών 4 Δυνατοί πίνακες αληθείας στο δυαδικό σύστημα 5 Άλλοι τρόποι δυαδικής κωδικοποίησης 5 Κωδικοποίηση D (inary oded Decimal) 6 Παράδειγμα.4 6 Μετατροπή από D σε δεκαδικό 6 Παράδειγμα.5 6 Κώδικας Gray 7 Κώδικες με ανίχνευση σφάλματος 8 Κώδικας περιττής ισοτιμίας 8 Κώδικας άρτιας ισοτιμίας 9 Ορισμός των λογικών επιπέδων 2 Άλγεβρα oole 2 Ιδιότητες και κανόνες της άλγεβρας oole 2 Λογικές πράξεις με σταθερές 2 Λογικές πράξεις με μια μεταβλητή 2 Παράδειγμα.6 22 Λογικές πράξεις-ιδιότητες με δυο ή περισσότερες μεταβλητές 22 Παράδειγμα.7 23 Παράδειγμα.8 23 Διαδικασία σχεδίασης ψηφιακής λογικής συνάρτησης 24 Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων 25 Κανονική μορφή αθροίσματος 25 Παράδειγμα.9 25 Παράδειγμα. 26 Σύντομη γραφή για την κανονική μορφή αθροίσματος 26 Παράδειγμα. 27 Παράδειγμα.2 27 Ημιαθροιστής 29 Κανονική μορφή γινομένου 3 Σύντομη γραφή για την κανονική μορφή γινομένου 3 Παράδειγμα.3 32 Ψηφιακά Κυκλώματα 2 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Σύνθεση ψηφιακού κυκλώματος 33 Σύνθεση ψηφιακών κυκλωμάτων με πύλες NND 34 Παράδειγμα.4 34 Παράδειγμα.5 35 Παράδειγμα.6 35 Αντικατάσταση πυλών με πύλες NND 36 Σύνθεση ψηφιακών κυκλωμάτων με πύλες ΝΟR 37 Αντικατάσταση πυλών με πύλες NOR 37 Ελαχιστοποίηση λογικών συναρτήσεων με τη χρήση των πινάκων Karnaugh 38 Πίνακες Karnaugh 38 Παράδειγμα.7 4 Παράδειγμα.8 4 Παράδειγμα.9 4 Παράδειγμα.2 4 Ύπαρξη αδιάφορων περιπτώσεων 42 Πλήρης Αθροιστής 43 Σπινθήρες 45 Παράδειγμα.2 47 Ασκήσεις επανάληψης 49 Άσκηση. 49 Άσκηση.2 49 Άσκηση.3 5 Άσκηση.4 5 Άσκηση.5 5 Άσκηση.6 5 Άσκηση.7 52 Άσκηση.8 52 Άσκηση.9 53 Άσκηση. 54 Κυκλώματα ακολουθιακής λογικής 57 Γενικές μορφές κυκλωμάτων 57 Flip Flops 58 Το R (et-reset) flip-flop (ff) 59 Το locked R - ff 6 Flip Flop τύπου D 6 Flip Flop τύπου T (Toggle ff) 62 Flip Flop τύπου JK 62 Υλοποίηση σύγχρονων flip-flops με όρους R-ff 62 Υλοποίηση σύγχρονων flip-flops με όρους R-ff 63 Παράδειγμα 2.: 63 Προβλήματα που σχετίζονται με απλά σύγχρονα ff 64. ναπήδηση εισόδου 64 2. Κακή λειτουργία κυκλωμάτων που χρησιμοποιούν διαδοχικά ff 65 3. Ταλαντώσεις σε ff λόγω ανάδρασης 65 Μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων 66 Διάταξη Αφέντη Σκλάβου ff 66 Δημιουργία εσωτερικού ρολογιού για παραγωγή παλμού βραχείας διάρκειας 66 Εφαρμογές ff 67 Απλοί καταχωρητές 68 Καταχωρητές ολίσθησης 68 Κυκλώματα μετρητών 69 Ασύγχρονοι μετρητές 7 Σύγχρονοι μετρητές 72 Ψηφιακά Κυκλώματα 3 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Βασικοί ορισμοί για τους μετρητές 73 Τροποποίηση του βασικού σύγχρονου μετρητή για τη δημιουργία ενός MOD-M μετρητή 73 Εισαγωγή στο σχεδιασμό ψηφιακών κυκλωμάτων με διαγράμματα καταστάσεων (state diagrams) 74 Διαγράμματα καταστάσεων 74 Παράδειγμα 2.2 75 Πίνακες Καταστάσεων 76 Παράδειγμα 2.3 76 Πίνακας διέγερσης και εξισώσεις διέγερσης 77 Παράδειγμα 2.4 77 Εξισώσεις διέγερσης 78 Παράδειγμα 2.5 79 Πρόβλημα 2. 82 Προβλήματα από καταστάσεις που δεν χρησιμοποιούνται 85 Παράδειγμα 2.6 86 Ασκήσεις επανάληψης 2 88 Άσκηση 2. 88 Άσκηση 2.2 89 Άσκηση 2.3 9 Άσκηση 2.4 92 Άσκηση 2.5 95 Ψηφιακά Κυκλώματα 4 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Πρόλογος Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν βασικό διδακτικό βοήθημα για το μάθημα «Ψηφιακά Κυκλώματα» που διδάσκεται στο Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών του ΤΕΙ Σερρών στο 3 ο εξάμηνο σπουδών. Η ανάπτυξη των ψηφιακών ηλεκτρονικών, που πραγματοποιήθηκε τα τελευταία 3 χρόνια, αποτελεί γεγονός, για το οποίο δεν υπάρχει κάτι ανάλογο σε κανέναν άλλο κλάδο της επιστήμης του μηχανικού. Μάλιστα κατά τη ραγδαία αυτή ανάπτυξη, ενώ το πραγματικό κόστος των ψηφιακών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (hardware) μειώνονταν στο μισό κάθε έτος, η σύνθεση και η πολυπλοκότητά τους τετραπλασιάζονταν κάθε τρία έτη. Έχοντας υπόψη το παραπάνω σκηνικό της ταχύτατης ανάπτυξης, οι σημειώσεις δομήθηκαν με κατεύθυνση να παρέχουν στους φοιτητές τις αναγκαίες θεμελιώδεις έννοιες της ψηφιακής λογικής και ταυτόχρονα να τους εξοικειώνουν με μεθόδους σχεδιασμού και τεχνικές στο επίπεδο του συστήματος. Επίσης, στις σημειώσεις περιλαμβάνονται ασκήσεις για τους φοιτητές με τις λύσεις τους, ώστε να αναδεικνύεται η πρακτική χρησιμότητα των διαφόρων εννοιών που εισάγονται στη θεωρία, αλλά και ο σωστός τρόπος εφαρμογής των. Οπωσδήποτε, για περισσότερη εμβάθυνση, απαιτείται η χρήση πρόσθετης βιβλιογραφίας, η οποία διατίθεται στη βιβλιοθήκη του ΤΕΙ Σερρών. Αναστάσιος Μπαλουκτσής Ψηφιακά Κυκλώματα 5 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Συστήματα αριθμών Ένα σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί ένα σύνολο συμβόλων γνωστό ως ψηφία. Υπάρχουν διάφορα συστήματα αριθμών όπως το δεκαδικό, το δυαδικό κ.λ.π. Δεκαδικό σύστημα Στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιούνται δέκα ψηφία,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, & 9, ενώ το ορίζεται ως βάση του συστήματος. Παράδειγμα.: 53,4 5 + + 3 + 5 2 = + 4 + = + 3 + + 4 2 Η γενική μορφή της απεικόνισης στο δεκαδικό σύστημα είναι: n n ( -... - - n n n- -... - n ) D = d + d + d + d + d + d ή ο αριθμός παριστάνεται ως ( dd... ddd d... d ) n n- - - 2 - n όπου d ι (,,,9) είναι οι συντελεστές των αντίστοιχων δυνάμεων του. Δυαδικό σύστημα Γενικά οι αριθμοί μπορεί να έχουν βάσεις διάφορες του, για παράσειγμα: βάση 6, δεκαεξαδικό σύστημα, βάση 8, οκταδικό σύστημα, ή βάση 2, δυαδικό σύστημα. Στο δυαδικό σύστημα που έχει βάση το 2 υπάρχουν δύο ψηφία, το και το. Ψηφιακά Κυκλώματα 6 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Παράδειγμα δυαδικού αριθμού: 3 2 x 2 + x 2 + x 2 + x 2 ο αντίστοιχος δεκαδικός του είναι ο 8++2+= Η μορφή της γενικής παράστασης στο δυαδικό σύστημα είναι: = b 2 + b 2 +... b 2 + b 2 + b 2 +... b 2 n n - - 2 n n- - - m - m ή ο αριθμός παριστάνεται ως (b n b n...b b b b 2...b m ) b όπου b i ( ή ) είναι δυαδικά ψηφία (bits) που παριστάνουν τους συντελεστές των αντίστοιχων δυνάμεων του 2. Για παράδειγμα οι ακέραιοι δυαδικοί αριθμοί με 4 ψηφία είναι της μορφής: 3 2 b 2 + b 2 + b 2 + b 3 2 2 Ο μεγαλύτερος αριθμός με 4 ψηφία είναι ο ο οποίος είναι ισοδύναμος με τον δεκαδικό αριθμό 5. 3 2 2 + 2 + 2 + 2 8+ 4 + 2+ = 5 Γενικά ένας δυαδικός αριθμός με n ψηφία μπορεί να παραστήσει ένα εύρος από 2 n δεκαδικoύς αριθμούς: ψηφίο και 2 ψηφία - 3 3 ψηφία - 7 4 ψηφία - 5 5 ψηφία 3 κ.λ.π. Ψηφιακά Κυκλώματα 7 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Μετατροπή δεκαδικού σε δυαδικό Για τη μετατροπή ενός ακέραιου δεκαδικού σε δυαδικό χρησιμοποιείται η διαδικασία της διαδοχικής διαίρεσης ως εξής: Γενική μορφή ενός ακεραίου δυαδικού είναι: ( bb n n-... bb ) b και ο αντίστοιχος δεκαδικός του: συνεπώς παρατηρούμε ότι διαιρώντας τον D με το 2 προκύπτει ως πηλίκο το b n n- n- 2 2 + b 2 +... b 2 και ως υπόλοιπο το b Κατόπιν διαιρώντας το πηλίκο με 2 θα προκύψει ως νέο πηλίκο το και υπόλοιπο b n- n- n- 2 b 2 + b 2 +... b 2 n n- 2 n D= b 2 + b 2 +... b 2 + b n n- n- Επαναλαμβάνεται η διαδικασία μέχρι να προκύψει πηλίκο μηδέν. Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων είναι ουσιαστικά τα ψηφία του δυαδικού αριθμού. 2 Παράδειγμα.2: Να μετατραπεί ο ακέραιος 9 στον αντίστοιχο δυαδικό 2 Απάντηση η διαίρεση με το 2; D/2=9/2= πηλίκο 9 και υπόλοιπο άρα b = 2 η διαίρεση με το 2; 9/2= πηλίκο 4 και υπόλοιπο άρα b = 3 η διαίρεση με το 2; 4/2= πηλίκο 2 και υπόλοιπο άρα b 2 = 4 η διαίρεση με το 2; 2/2= πηλίκο και υπόλοιπο άρα b 3 = 5 η διαίρεση με το 2; /2= πηλίκο και υπόλοιπο άρα b 4 = συνεπώς ο αντίστοιχος δυαδικός αριθμός είναι: Β 2 ==9 Ψηφιακά Κυκλώματα 8 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Για τη μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός δεκαδικού αριθμού στο αντίστοιχο κλασματικό μέρος του δυαδικού χρησιμοποιείται η διαδικασία των διαδοχικών πολλαπλασιασμών ως εξής: Γενική μορφή του κλασματικού μέρους ενός δυαδικού είναι: ( και το αντίστοιχο κλασματικό μέρος του δεκαδικού είναι: - - 2 - D = b 2 + b 2 +... b 2 m - - 2 - m b b... b ) - - 2 - m b συνεπώς παρατηρούμε ότι πολλαπλασιάζοντας τον D με το 2 προκύπτει; b + b + b 2 -... 2 - m + - - 2 - m άρα το ακέραιο μέρος του νέου αριθμού ( ή ) είναι το ψηφίο μέρος το b - και το κλασματικό του b + b 2 -... 2 - m + - 2 - m Κατόπιν πολλαπλασιάζουμε το νέο κλασματικό μέρος με 2 οπότε προκύπτει το ψηφίο b - 2 Επαναλαμβάνεται η διαδικασία μέχρι να προκύψει κλασματικό μέρος μηδέν ή να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια. Παράδειγμα.3: Να μετατραπεί ο δεκαδικός 28.375 στον αντίστοιχο δυαδικό Απάντηση Πρώτα υπολογίζεται το ακέραιο μέρος: η διαίρεση με το 2: D/2=28/2= πηλίκο 4 και υπόλοιπο άρα b = 2 η διαίρεση με το 2: 4/2= πηλίκο 7 και υπόλοιπο άρα b = 3 η διαίρεση με το 2: 7/2= πηλίκο 3 και υπόλοιπο άρα b 2 = 4 η διαίρεση με το 2: Ψηφιακά Κυκλώματα 9 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

3/2= πηλίκο και υπόλοιπο άρα b 3 = 5 η διαίρεση με το 2: /2= πηλίκο και υπόλοιπο άρα b 4 = Συνεπώς το ακέραιο μέρος του δυαδικού είναι: 2 Κατόπιν υπολογίζεται το κλασματικό μέρος του δυαδικού:,375 x 2 =,75 με ακέραιο μέρος και κλασματικό,75.75 x 2 =.5 με ακέραιο μέρος και κλασματικό,5.5 x 2 =. με ακέραιο μέρος και κλασματικό Συνεπώς το κλασματικό μέρος του δυαδικού είναι:, 2 Ο αντίστοιχος δυαδικός είναι:, 2 Άλυτα προβλήματα: () Να μετατραπούν οι δεκαδικοί αριθμοί στους αντίστοιχους δυαδικούς: (α) 7 (β) 39 (γ) 75 (δ) 3 (ε),875 (2) Να μετατραπούν οι δυαδικοί αριθμοί στους αντίστοιχους δεκαδικούς: (α) 2 (β) 2 (γ), 2 (δ), 2 Βασικές λογικές πράξεις λογικές πύλες Μία λογική πράξη μεταξύ μεταβλητών είναι μία συνάρτηση που ορίζεται από έναν πίνακα αληθείας (truth table). Το ηλεκτρικό κύκλωμα που εκτελεί μία λογική πράξη ονομάζεται λογική ή ψηφιακή πύλη και παριστάνεται από ένα σύμβολο. Τα δυαδικά ψηφία και, που ουσιαστικά παριστάνουν τις δύο καταστάσεις αληθής (true), ψευδής (false), στη Ψηφιακά Κυκλώματα / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

φυσική τους υπόσταση είναι δυο διακριτά επίπεδα ηλεκτρικής τάσης (συνήθως στην ιδανική περίπτωση 5V και V). Ψηφιακή πύλη OR H έξοδος είναι αληθής (true) (), εάν μια από τις εισόδους ή και οι δυο είναι αληθείς () Σύμβολο Πίνακας αληθείας Α Β Z = + Ζ Z Time t Z t t Ψηφιακή πύλη ND H έξοδος είναι αληθής (), όταν και οι δυο είσοδοι είναι αληθείς () Σύμβολο Πίνακας αληθείας Z = Z time t t t Ψηφιακά Κυκλώματα / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Ψηφιακή πύλη ΝΟΤ Δημιουργεί αντιστροφή του σήματος εισόδου Σύμβολο Πίνακας αληθείας NOT Z time t Z= t Ψηφιακή πύλη NND (ΝΟΤ ND) Η έξοδος είναι ψευδής () μόνο όταν Α και Β είναι αληθείς () Z Σύμβολο NND = Πίνακας αληθείας Z Z Ψηφιακή πύλη NOR (NOT OR) H έξοδος είναι αληθής (), όταν και οι δύο είσοδοι είναι ψευδείς () Σύμβολο Πίνακας αληθείας Α Β Z = + Ζ Z Z time t t t Ψηφιακά Κυκλώματα 2 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Ψηφιακή πύλη XOR H έξοδος είναι αληθής (), όταν ή μία εκ των δύο εισόδων είναι αληθής (), αλλά όχι και οι δύο ταυτόχρονα: Σύμβολο Πίνακας αληθείας Α Β Z = Ζ Z Ψηφιακή πύλη XNOR (NOT XOR) H έξοδος είναι αληθής () όταν και οι δυο είσοδοι είναι ψευδείς (), ή και οι δυο είναι αληθείς () Σύμβολο Πίνακας αληθείας Α Β Z = Ζ Z Ψηφιακά Κυκλώματα 3 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Συνοπτικός πίνακας λογικών πυλών Ονομασία Σύμβολο Σχέση ND Z Z = Πίνακας αληθείας Α Β Ζ OR Z Z = + NOT Z Z = NND Z Z = NOR Z Z = + XOR Z Z= XNOR Z Z = Ψηφιακά Κυκλώματα 4 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Δυνατοί πίνακες αληθείας στο δυαδικό σύστημα Ένας πίνακας αληθείας παριστάνει τη συνάρτηση μεταξύ των εισόδων και της εξόδου ενός λογικού συστήματος. Για δυο εισόδους (F, T) υπάρχουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί πραγματικών τιμών: FF, FT, TF, TT Επειδή κάθε δυνατή είσοδος μπορεί να δώσει δύο διαφορετικές εξόδους (, ) συνεπάγεται ότι οι δυνατοί πίνακες αληθείας για ένα λογικό σύστημα δύο εισόδων είναι: 4 2 = 6 Όλοι οι πίνακες αληθείας για δύο εισόδους. και μία έξοδο Z τιμές εισόδου F F T T F T F T Συνάρτηση (έξοδος Ζ) Σύμβολο F F F F πάντοτε F F F T ND 2 F F T F - - 3 F F T T είσοδος 4 F T F F - - 5 F T F T είσοδος 6 F T T F ΧOR 7 F T T T OR 8 T F F F NOR 9 T F F T ΧΝΟR T F T F Not T F T T - - + + 2 T T F F Not 3 T T F T - - 4 T T T F NND 5 T T T T πάντοτε Άλλοι τρόποι δυαδικής κωδικοποίησης Εκτός από την κανονική δυαδική κωδικοποίηση υπάρχουν κι άλλοι τρόποι δυαδικής κωδικοποίησης οι οποίοι χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις. Ψηφιακά Κυκλώματα 5 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κωδικοποίηση D (inary oded Decimal) Η κωδικοποίηση καθιστά δυνατή την απλή μετατροπή μεταξύ δυαδικού και δεκαδικού αριθμού. Κάθε ψηφίο ενός δεκαδικού αριθμού αντικαθίσταται από 4 bits του αντίστοιχου δυαδικού του. Παράδειγμα.4: Μετατροπή του 45 σε D 45 Επομένως 45 = 4 5 Μετατροπή από D σε δεκαδικό Η δυαδική λέξη χωρίζεται σε ομάδες των 4bits ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο. Κατόπιν η κάθε ομάδα μετατρέπεται στον αντίστοιχο δεκαδικό. Παράδειγμα.5: Μετατροπή σε δεκαδικό Απάντηση: Πρόσθεση μηδενικού Χωρισμός σε ομάδες των 4 και μετατροπή της κάθε ομάδας στον αντίστοιχο δεκαδικό τελικό αποτέλεσμα = D 53 / 5/3 Ψηφιακά Κυκλώματα 6 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κώδικας Gray Συχνά χρησιμοποιείται σε ηλεκτρονικά κυκλώματα για την αποφυγή προβλημάτων που θα μπορούσαν να προκύψουν εάν χρησιμοποιούνταν η απευθείας δυαδική κωδικοποίηση. Για παράδειγμα, σε μετρήσεις της θέσης ενός αντικειμένου, θα μπορούσε να φαίνεται ότι γειτονικές θέσεις του αντικειμένου διαφέρουν περισσότερο από ένα bit, εάν χρησιμοποιηθεί η απευθείας δυαδική κωδικοποίηση. Ψηφιακά Κυκλώματα 7 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κώδικες με ανίχνευση σφάλματος Στα ψηφιακά συστήματα, υπάρχουν περιπτώσεις όπου κατά την παραγωγή δεδομένων και την επεξεργασία αυτών, εμφανίζονται σφάλματα. Για παράδειγμα κάποιο ψηφίο, ενός συνόλου δυαδικών ψηφίων, μπορεί να μετατραπεί σε ψηφίο, είτε κατά το στάδιο της μετάδοσης, είτε γιατί το ψηφιακό σύστημα δεν λειτούργησε σωστά. Μία απλή μέθοδος, ανίχνευσης του σφάλματος, είναι η χρήση του κώδικα ανίχνευσης λάθους, η οποία χρησιμοποιεί ένα επιπλέον ψηφίο ισοτιμίας (parity bit). Κώδικες ισοτιμίας Περιττή ισοτιμία Δυο είδη Άρτια ισοτιμία Δημιουργία επιπλέον ψηφίου ισοτιμίας πριν τη μετάδοση της λέξης δεδομένων Κώδικας περιττής ισοτιμίας Το ψηφίο ισοτιμίας είναι αν το σύνολο των ψηφίων είναι περιττό. Το ψηφίο ισοτιμίας είναι αν το σύνολο των ψηφίων είναι άρτιο. Για παράδειγμα η δυαδική λέξη έχει αριθμό ψηφίων άρτιο, συνεπώς θα μεταδοθεί με ψηφίο ισοτιμίας, είτε: Δεδομένο ψηφίο ισοτιμίας παρομοίως η δυαδική λέξη έχει αριθμό ψηφίων περιττό, συνεπώς θα μεταδοθεί με ψηφίο ισοτιμίας, είτε: Ψηφιακά Κυκλώματα 8 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Δεδομένο ψηφίο ισοτιμίας Κώδικας άρτιας ισοτιμίας Αντίστροφος της περιττής ισοτιμίας. Το ψηφίο ισοτιμίας είναι αν το σύνολο των είναι περιττό. Το ψηφίο ισοτιμίας είναι αν το σύνολο των είναι άρτιο Για παράδειγμα η δυαδική λέξη έχει αριθμό ψηφίων περιττό, συνεπώς θα μεταδοθεί με ψηφίο ισοτιμίας, είτε: Δεδομένο ψηφίο ισοτιμίας Υποθέστε ότι κατά τη μετάδοση δημιουργείται σφάλμα και η λέξη αλλάζει στην, οπότε αυτό που λαμβάνεται είναι το Δεδομένο ψηφίο ισοτιμίας Ένας έλεγχος ισοτιμίας θα έδινε ψηφίο ισοτιμίας, αλλά το ψηφίο ισοτιμίας που λαμβάνεται είναι. Η ασυμφωνία δηλώνει ότι υπάρχει σφάλμα, αλλά όχι τη θέση του. Ψηφιακά Κυκλώματα 9 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Ορισμός των λογικών επιπέδων Για ένα ψηφιακό κύκλωμα θεωρούμε ότι οι επιτρεπτές καταστάσεις τάσεως είναι V & 5V. Είσοδοι F Έξοδος Υπάρχουν δύο είδη ορισμού των λογικών επιπέδων. Ο ένας είναι να ορίσουμε Volts= και 5Volts=, οπότε έχουμε τη θετική κωδικοποίηση και ο δεύτερος τα Volts= και τα 5Volts=, οπότε έχουμε την αρνητική κωδικοποίηση. Έστω ότι ο πίνακας αληθείας για τη θετική κωδικοποίηση του παραπάνω κυκλώματος είναι: F V V V V 5V V 5V V V 5V 5V 5V Δηλαδή εκτελεί τη λογική συνάρτηση ND. Εάν θεωρήσουμε την αρνητική κωδικοποίηση τότε θα έχουμε: F V V V V 5V V 5V V V 5V 5V 5V F Δηλαδή εκτελεί τη λογική συνάρτηση OR Συνεπώς το ίδιο ηλεκτρονικό σύστημα μπορεί να παρουσιάσει την ND ή OR συμπεριφορά ανάλογα με την πολικότητα της κωδικοποίησης. Είναι αξιοπρόσεκτο ότι ένα κύκλωμα το οποίο παρουσιάζει την ND συμπεριφορά στην θετική κωδικοποίηση γίνεται πύλη OR στην αρνητική κωδικοποίηση και όχι πύλη NND. Οι περισσότεροι κατασκευαστές χρησιμοποιούν τη θετική κωδικοποίηση. Ψηφιακά Κυκλώματα 2 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Άλγεβρα oole Οι αρχές της λογικής αναπτύχθηκαν από τον George oole (85-884) και τον ugustus De Morgan. Εκατό χρόνια αργότερα ο laude hannon (ως μεταπτυχιακός φοιτητής στο MIT) έδειξε ότι η άλγεβρα oole ήταν σχετική με την ανάλυση διακοπτικών (switching) κυκλωμάτων. Η άλγεβρα oole αποτελεί τη μαθηματική βάση για την ηλεκτρονική επεξεργασία της δυαδικής πληροφορίας. Ιδιότητες και κανόνες της άλγεβρας oole Οι ιδιότητες και οι κανόνες της Άλγεβρας oole εφαρμόζονται και ισχύουν σε τρεις κύριες ομάδες πράξεων.. Λογικές πράξεις με σταθερές. 2. Λογικές πράξεις με μια μεταβλητή. 3. Λογικές πράξεις με δυο ή περισσότερες μεταβλητές. Λογικές πράξεις με σταθερές ND OR NOT = = = = + = + = + = + = = = Λογικές πράξεις με μια μεταβλητή ND OR NOT = + = = + = = + = = = + = Ψηφιακά Κυκλώματα 2 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Παράδειγμα.6: Να αποδειχθούν οι σχέσεις: + = ka i = χρησιμοποιώντας τον πίνακα αληθείας Απάντηση: + Λογικές πράξεις-ιδιότητες με δυο ή περισσότερες μεταβλητές Αντιμεταθετική ιδιότητα + = + = Απορροφητική ιδιότητα + ( ) = ( + ) = Προσεταιριστική ιδιότητα + ( + ) = ( + ) + ( ) = ( ) Επιμεριστική ιδιότητα ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( + ) ( + ) Κανόνας De Morgan + = = + Σημείωση: + διαβάζεται Α NOR Β διαβάζεται Α NND Β Ψηφιακά Κυκλώματα 22 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κανόνας ελαχιστοποίησης + = ( + ) ( + ) = Παράδειγμα.7: Να αποδειχθεί ότι: ( + ) ( + ) = Απάντηση: ( + )( + ) = + + + = + + + = + ( + ) = + = Παράδειγμα.8: Να αποδειχθεί ότι: + = + ( ) = ( + ) = Απάντηση: ) + = ( + ) = = + ( ) = + = ( + ) 2) + ( ) = ( + ) = = Επίσης η απόδειξη μπορεί να γίνει και με τη χρήση του πίνακα αληθείας: +( ) Ψηφιακά Κυκλώματα 23 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Τα θεωρήματα De Morgan είναι πιο σημαντικά στην λογική σχεδίαση όπου συσχετίζονται ND και NOR πύλες, ή OR και NND πύλες. Για παράδειγμα χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα De Morgan για να σχεδιάσουμε ένα συνδυασμό πυλών NND που είναι ισοδύναμος με μια πύλη OR δύο εισόδων. Για μία πύλη OR ισχύει: f = + χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα De Morgan: f = + = Η παραπάνω σχέση υποδηλώνει μια πύλη NND με NOT εισόδους. Επίσης, επειδή =, μια πύλη NND με ίδιες εισόδους παρουσιάζει την λειτουργία της πύλης NOT. Συνεπώς προκύπτει το παρακάτω κύκλωμα: a b Α Β f = + a b Διαδικασία σχεδίασης ψηφιακής λογικής συνάρτησης Με τον όρο σχεδιασμός ψηφιακής λογικής συνάρτησης, εννοείται ένας συνδυασμός λογικών πυλών για την πραγματοποίηση της επιθυμητής συνάρτησης, η συμπεριφοράς. Η διαδικασία σχεδίασης περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα:. Σαφής διατύπωση της επιθυμητής συνάρτησης-συμπεριφοράς 2. Πίνακας αληθείας 3. Έκφραση της συνάρτησης υπό μορφή μεταβλητών (άλγεβρα oole) 4. Κατάλληλη επεξεργασία της συνάρτησης για την εξαγωγή μιας απλούστερης μορφής Ψηφιακά Κυκλώματα 24 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

5. Υλοποίηση του ψηφιακού κυκλώματος με πύλες ΑND, OR και ΝΟΤ. Σε πολλές περιπτώσεις η υλοποίηση του κυκλώματος μπορεί να γίνει μόνο με πύλες NND, η μόνο με πύλες NOR. Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Υπάρχουν δύο κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων, η κανονική μορφή αθροίσματος και η κανονική μορφή γινομένου Κανονική μορφή αθροίσματος Δημιουργείται από τον πίνακα αληθείας και είναι το λογικό άθροισμα (δηλαδή συνδυάζονται υπό μορφή OR) όρων που είναι εκφράσεις ND των μεταβλητών εισόδου στην κανονική, ή συμπληρωματική τους μορφή ανάλογα με την τιμή που έχουν ( ή ). Οι όροι που συμπεριλαμβάνονται στο λογικό άθροισμα είναι οι όροι για τους οποίους η τελική συνάρτηση έχει τιμή Παράδειγμα.9: Θεωρούμε τον πίνακα αληθείας F F= =, = & = =, = & = =, = & = Δηλαδή οι δεκαδικοί αριθμοί 3, 4 & 5 Για κάθε έξοδο F= δημιουργούνται οι όροι ND όπου οι μεταβλητές είναι στη κανονική τους μορφή εάν είναι και στην αντιστροφή τους μορφή εάν είναι. Κατόπιν οι παραπάνω όροι αθροίζονται λογικά, οπότε η κανονική μορφή αθροίσματος που προκύπτει είναι: Ψηφιακά Κυκλώματα 25 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

F = + + Παράδειγμα.: Γράψτε υπό κανονική μορφή αθροίσματος τη λογική έκφραση, σύμφωνα με την άλγεβρα Βοοle, για το παρακάτω κύκλωμα: D I E F G Απάντηση Ακολουθούμε κάθε διαδρομή από το I στο και προσδιορίζουμε τους διακόπτες (μεταβλητές) που χρειάζεται να κλείσουν (on) προκειμένου να παραχθεί =. Επομένως το άθροισμα των όρων ND είναι: =F+G+ED+D+EF+EG Σύντομη γραφή για την κανονική μορφή αθροίσματος Στη σύντομη γραφή για την κανονική μορφή αθροίσματος, αντικαθίστανται κατ αρχήν οι μεταβλητές των όρων από τις δυαδικές τους τιμές και κατόπιν ο κάθε όρος εκφράζεται με την αντίστοιχη δεκαδική του μορφή. Για την όλη γραφή χρησιμοποιείται το σύμβολο Σ. Για την περίπτωση μιας λογικής συνάρτησης τριών μεταβλητών, όπως του παραπάνω παραδείγματος, έχουμε: F() = + + οπότε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τις δυαδικές τους τιμές προκύπτει: Ψηφιακά Κυκλώματα 26 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

F() = + + και λαμβάνοντας τη δεκαδική μορφή του κάθε όρου: F( ) = 3+ 4+5 Συνεπώς χρησιμοποιώντας το σύμβολο Σ έχουμε τη γραφή: F () = (3,4,5) Παράδειγμα.: Να εκφράσετε τη συνάρτηση F(D) = Σ(3,4,9,) με όρους μεταβλητών (υπό μορφή άλγεβρας oole). Απάντηση Ο όρος 3 είναι το και αντιστοιχεί στο D Ο όρος 4 είναι το και αντιστοιχεί στο D Ο όρος 9 είναι το και αντιστοιχεί στο D Ο όρος είναι το και αντιστοιχεί στο D Οπότε σε κανονική μορφή αθροίσματος είναι: F = D + D + D + D Παράδειγμα.2: Δίνεται η λογική συνάρτηση = ( + + )( + + )( + + ) Να γίνει ο πίνακας αληθείας, να γραφεί η κανονική μορφή αθροίσματος, να απλοποιηθεί η σχέση χρησιμοποιώντας την άλγεβρα oole και να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα που την υλοποιεί. Ψηφιακά Κυκλώματα 27 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Απάντηση: ( + ) ( ) ( ) Χρησιμοποιώντας τους όρους για τους οποίους = προκύπτει: = + + + + και απλοποιώντας: = + ( + ) + ( + ) = + + = + ( + ) = + για περαιτέρω απλοποίηση: = + = ( ) = ( + + ) = + = ( + ) ( + ) = + Ο σχεδιασμός του ψηφιακού κυκλώματος είναι ο εξής: OR = + ND Ψηφιακά Κυκλώματα 28 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Ημιαθροιστής Ο ημιαθροιστής είναι ένα ψηφιακό κύκλωμα που πραγματοποιεί την αλγεβρική άθροιση δύο δυαδικών ψηφίων: Αλγεβρική άθροιση + ο αντίστοιχος πίνακας αληθείας είναι: Πίνακας Αληθείας Α Β Συνεπώς = + και = Το ψηφιακό του κύκλωμα είναι: ND OR ND ND Ψηφιακά Κυκλώματα 29 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κανονική μορφή γινομένου Αυτή είναι μια εναλλακτική μορφή υλοποίησης της πρώτης μορφής. Οι όροι είναι αθροίσματα (δηλαδή τύπου OR) και πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους προκειμένου να σχηματίσουν την έξοδο. Η κατανόηση της διατύπωσης του κανόνα που θα χρησιμοποιούμε στο σχηματισμό της κανονικής μορφής γινομένου γίνεται με το παρακάτω παράδειγμα: Έστω ότι δίνεται ο πίνακας αληθείας: F οπότε προκύπτει: F = + + + + F = + + + + F = και τελικά F = ( + + )( + + )( + + )( + + )( + + ) Η υλοποίηση της τελικής συνάρτησης γίνεται με το κύκλωμα: Ψηφιακά Κυκλώματα 3 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Τελικά η κανονική μορφή γινομένου μπορεί να αποκτηθεί κατευθείαν από τον πίνακα αληθείας χωρίς τη χρήση κάποιων πράξεων ως εξής:. Εντοπίζουμε τους όρους που δίνουν F=. 2. Δημιουργούμε τα αθροίσματα των μεταβλητών, όπου εάν η μεταβλητή έχει τιμή γράφεται στην κανονική της μορφή, ενώ εάν έχει τιμή, γράφεται στην αντίστροφη μορφή της. 3. Παίρνουμε το γινόμενο των παραπάνω αθροισμάτων. Παράδειγμα: F + + + + + + + + + + F = ( + + )( + + )( + + )( + + )( + + ) Σύντομη γραφή για την κανονική μορφή γινομένου Στην περίπτωση αυτή η κανονική μορφή των μεταβλητών παριστάνει το, ενώ η αντίστροφη το. Συνεπώς αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τη δυαδική τους μορφή, χρησιμοποιώντας το παραπάνω παράδειγμα, προκύπτει: F = ()()()()() 5 6 7 και σε σύντομη γραφή: F = (,,5,6,7) Ψηφιακά Κυκλώματα 3 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Παράδειγμα.3: Να γράψετε τις δύο κανονικές μορφές της συνάρτησης XOR Απάντηση: Ο πίνακας αληθείας για την πύλη XOR είναι: F Για την κανονική μορφή αθροίσματος παίρνουμε τους όρους για F=: F= = & = δίνει = & = δίνει Οπότε προκύπτει: F = + Για τη δεύτερη κανονική μορφή γινομένου παίρνουμε τους όρους για F=: F= = & = δίνει = & = δίνει ( + ) ( + ) oπότε προκύπτει: ( ) ( ) F = + + Σημειώνεται οτι ισχύει: F = ( + ) ( + ) = + Ψηφιακά Κυκλώματα 32 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Σύνθεση ψηφιακού κυκλώματος Κατ αρχήν απλοποιείται η λογική συνάρτηση, η οποία πρόκειται να υλοποιηθεί. Κατόπιν σχεδιάζεται το ψηφιακό κύκλωμα που αντιστοιχεί στην λογική συνάρτηση ξεκινώντας από την έξοδο του κυκλώματος και πηγαίνοντας προς την είσοδό του. Παράδειγμα: Να υλοποιηθεί η συνάρτηση που έχει τον παρακάτω πίνακα αληθείας F F = + + + Το ψηφιακό κύκλωμα χωρίς απλοποίηση είναι: + F Παρατηρείται ότι χωρίς απλοποίηση χρειάζονται 8 πύλες. Γίνεται απλοποίηση της λογικής συνάρτησης: F = + + + + δηλαδή προστέθηκε ο όρος αφού είναι γνωστό ότι +=! Συνεπώς: F = ( + ) + ( + + ) = + ( + ) αφού + + = Ψηφιακά Κυκλώματα 33 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Υλοποίηση: + + (+ ) + + ( + ) δηλαδή χρειάζονται τέσσερις (4) πύλες Σύνθεση ψηφιακών κυκλωμάτων με πύλες NND Επειδή τα τρανζίστορ είναι ουσιαστικά αντιστροφείς, οι πύλες NND αποτελούν δοµικά στοιχεία των oλοκηρωµένων κυκλωµάτων τεχνολογίας DTL & TTL.Τα βήματα που χρησιμοποιούνται για τη σχεδίαση ενός κυκλώματος μόνο με πύλες NND είναι τα εξής:. Χρησιμοποιείται ο πίνακας αληθείας για να εκφρασθεί η λογική συνάρτηση υπό μορφή αθροίσματος γινομένων: F = P + P +... + P 2 n ( P είναι το γινόμενο των μεταβλητών εισόδου σε μια γραμμή στην οποία η έξοδος είναι ) 2. Στο γινόμενο που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη γραμμή, οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι, λαμβάνονται με την αντίστροφή μορφή τους (δηλαδή εάν η μεταβλητή Α σε κάποιον όρο έχει τιμή, στο γινόμενο θα εμφανιστεί ως ) 3. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του De Morgan γράφεται η σχέση υπό τη μορφή: F = P P...P 2 n 4. Συνθέτουμε το κύκλωμα με πύλες NND. Παράδειγμα.4: Ο πίνακας αληθείας μιας συνάρτησης F είναι: Ψηφιακά Κυκλώματα 34 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

D............ f P P k P n οπότε ο σχεδιασμός του κυκλώματος με πύλες NND είναι: P P P 2...P n P 2 P n όλες οι είσοδοι Παράδειγμα.5: Η συνάρτηση F=+D να υλοποιηθεί με πύλες NND: Λύση: F = D D Παράδειγμα.6: Να αναλυθεί το κύκλωμα του σχήματος, να γίνει ο πίνακας αληθείας και να αποδειχθεί, χρησιμοποιώντας είτε την άλγεβρα oole είτε πίνακα αληθείας, ότι μπορεί να αντικατασταθεί από μια πύλη NND. Ψηφιακά Κυκλώματα 35 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

f = + + + Λύση: f = + + = ( + ) + = + ( + ) = + + f πύλη NND πύλη NND Αντικατάσταση πυλών με πύλες NND Οι πύλες ND, OR και NOT μπορούν να εξαχθούν από πύλες NND. NOT ισχύει συνεπώς F = ή F = = Ψηφιακά Κυκλώματα 36 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

ND = Δηλαδή η ND πύλη μπορεί να αντικατασταθεί από μια NND, η έξοδος της οποίας αντιστρέφεται από μια δεύτερη NND F OR Θεώρημα De Morgan = + οπότε Α+ Β = Α Β + = Α + Β Σύνθεση ψηφιακών κυκλωμάτων με πύλες ΝΟR Η σύνθεση των ψηφιακών κυκλωμάτων μόνο με πύλες NOR γίνεται με παρόμοιο τρόπο όπως με τις πύλες NND, μόνο που σ αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται η κανονική μορφή γινομένου. Αντικατάσταση πυλών με πύλες NOR Η λογική NOR είναι η δυαδική της λογικής NND. Οι πύλες ND, ΟR και NOT μπορούν να δημιουργηθούν με πύλες NOR ως εξής: NOT = Ψηφιακά Κυκλώματα 37 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

OR Α + Β Α + Β Α + Β ND Α Α Β Α + Β = Α Β Β Ελαχιστοποίηση λογικών συναρτήσεων με τη χρήση των πινάκων Karnaugh Στο σχεδιασμό λογικών κυκλωμάτων επιζητείται το βέλτιστο, προκειμένου να υλοποιηθεί μια συγκεκριμένη λογική συνάρτηση. Κριτήρια του βέλτιστου μπορεί να είναι η ταχύτητα (λιγότερα λογικά επίπεδα) το κόστος (λιγότερες λογικές πύλες) Ήδη έχει επιδειχθεί ο τρόπος ελαχιστοποίησης με τη χρήση της άλγεβρας oole. Εναλλακτικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι πίνακες Karnaugh, εάν η συνάρτηση είναι γραμμένη με μια από τις δυο κανονικές μορφές. Πίνακες Karnaugh Αν θεωρηθεί μια συνάρτηση τριών μεταβλητών, τότε η συνάρτηση μπορεί να απεικονισθεί στον πίνακα Karnaugh με τον εξής τρόπο: Ψηφιακά Κυκλώματα 38 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

F 2 6 4 3 7 5 Παρατηρήσεις: Κάθε τετράγωνο αντιστοιχεί σ έναν από τους οκτώ (8) δυνατούς συνδυασμούς των τριών μεταβλητών. Τα τετράγωνα του πίνακα είναι κατά αυτόν τον τρόπο διατεταγμένα ώστε σε γειτονικά τετράγωνα να αλλάζει μόνο μια μεταβλητή (κώδικας Gray). Για κάθε ζεύγος τετραγώνων γίνεται η παρακάτω απλοποίηση: F = + = (+ ) = = ομοίως F = + = ( + ) = Για τέσσερα γειτονικά τετράγωνα ισχύει: F = Συμπέρασμα: Δύο (2) γειτονικά τετράγωνα (δηλαδή δυο όροι) δημιουργούν έναν όρο με μια μεταβλητή λιγότερη. Ψηφιακά Κυκλώματα 39 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Τέσσερα (4) γειτονικά τετράγωνα δημιουργούν έναν όρο με δυο μεταβλητές λιγότερες. Ομάδες των τριών τετραγώνων πρέπει να χωρίζονται σε ομάδες των δυο. Παράδειγμα.7: Να γίνει πίνακας-κ για τη συνάρτηση F = Σ (,2,5,6) F πλήρης συνάρτηση F = + + + απλοποιημένη συνάρτηση F = + Σημείωση: Ο αριθμός των μεταβλητών είναι ίσος με από τον εκθέτη του 2 για τον οποίο η δύναμη του 2 μας δίνει αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο με το μέγιστο αριθμό που έχουμε στη συνάρτηση. Συνεπώς στο παράδειγμα 3 2 > 6, άρα 3 μεταβλητές. Παράδειγμα.8: Να γίνει ο πίνακας-κ για τη συνάρτηση F = Σ (,2,4,9,), καθώς επίσης απλοποίηση αυτής Λύση: 4 < 2 άρα 4 μεταβλητές F D 4 2 8 5 3 9 3 7 5 2 6 4 F = + D+ D Ψηφιακά Κυκλώματα 4 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Παράδειγμα.9: Να βρεθεί η ελαχιστοποιημένη μορφή αθροίσματος και η ελαχιστοποιημένη μορφή γινομένου της συνάρτησης F = Σ (3,4,5,6,7,8,,2,4) Λύση: F D Αυτή η ομαδοποίηση δεν χρησιμοποιείται διότι ήδη τα τετράγωνα της έχουν καλυφθεί από άλλες ομαδοποιήσεις Για την κανονική μορφή αθροίσματος προκύπτει: F = + D+ D Για τη μορφή γινομένου ομαδοποιούμε τα μηδενικά, όπως φαίνεται στον πίνακα-κ, Οπότε προκύπτει: F = (+ D)(+ + )(+ + D) Παράδειγμα.2: Να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση F = ( + D) + D + D + D Ψηφιακά Κυκλώματα 4 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Απάντηση: F D F= D+ D+ Ύπαρξη αδιάφορων περιπτώσεων Σε λογικά κυκλώματα υπάρχουν πολλές φορές ορισμένοι συνδυασμοί των μεταβλητών εισόδου που μας είναι αδιάφοροι. Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε ένα ηλεκτρονικό ψηφιακό κύκλωμα που θέτει εκτός ένα σήμα (alarm), εάν στην είσοδο του έχει τους αριθμούς,4,6,8,9. Εάν έχει σχεδιαστεί κατά τέτοιον τρόπο ώστε να δέχεται αριθμούς μόνο από το έως το 9 να α) προσδιοριστεί το πρόβλημα υπό μορφή πίνακα β) βρεθεί η ελαχιστοποιημένη συνάρτηση με τη χρήση του πίνακα-κ. Πίνακας αληθείας 2 3 4 5 6 7 8 9 D --------------------- --------------------- -------------------------- f Πίνακας-Κ F D D Ψηφιακά Κυκλώματα 42 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών D D D D D

Εάν κατά την απλοποίηση δεν ληφθούν υπόψη οι αδιάφορες περιπτώσεις προκύπτει η σχέση: F = D+ D+ Λαμβάνοντας υπόψη και τις αδιάφορες περιπτώσεις η σχέση στην οποία καταλήγουμε είναι απλούστερη: F = + D+ Πλήρης Αθροιστής Κατ αρχήν εξετάζεται ο ημιαθροιστής δημιουργώντας το ψηφιακό του κύκλωμα χρησιμοποιώντας την κανονική μορφή γινομένου: ( ) ( ) () = +, = Χρησιμοποιώντας για το τη δεύτερη μορφή γινομένου προκύπτει: = ( + )( + ) = + + + ( De Morgan) επίσης: = = + Συνεπώς η μπορεί να δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NOR, η δε πρoκύπτει από μια εξ αυτών των πυλών: Ημιαθροιστής με NOR πύλες Ημιαθροιστής χρησιμοποιώντας XOR και ND πύλες Ψηφιακά Κυκλώματα 43 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Ο πλήρης αθροιστής έχει τον παρακάτω πίνακα αληθείας: άρα = + + + i i i i = ( + ) + ( + ) i i = ( ) + ( ) = ( ) i i i και = + + + i i i i = ( + ) + = ( ) + i i Το κύκλωμα που υλοποιεί τις παραπάνω σχέσεις είναι: Ημιαθροιστές i s ( ) i Ψηφιακά Κυκλώματα 44 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

ή χρησιμοποιώντας το συμβολικό κύκλωμα του ημιαθροιστή: i = ( ) ( ) i i Ημιαθροιστές out Η άθροιση αριθμών με περισσότερα του ενός δυαδικά ψηφία γίνεται με το κύκλωμα του παράλληλου αθροιστή ως εξής: n n 3 3 2 2 c i= i i i i O O O O c 2 c n+ n 3 2 όπου το σύμβολο του πλήρους αθροιστή. i o Σπινθήρες Οι πραγματικές ηλεκτρονικές πύλες απαιτούν κάποιο χρόνο για τη λειτουργία τους. Δηλαδή παρουσιάζουν καθυστέρηση (delay) της τάξης των λίγων μs. Οι καθυστερήσεις αυτές δημιουργούν καταστάσεις εξόδου, όπως είναι οι σπινθήρες (hazards), που είναι πολλές φορές ανεπιθύμητες. Για παράδειγμα στο κύκλωμα: Ψηφιακά Κυκλώματα 45 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

η έξοδος του, στην ιδανική περίπτωση, θα πρέπει να είναι ίση με μηδέν ανεξάρτητα από την τιμή της εισόδου. Στην πραγματικότητα η έξοδος είναι όπως φαίνεται στο σχήμα: dt delay F Δηλαδή παρατηρείται ότι η έξοδος παίρνει την τιμή κατά το χρονικό διάστημα της καθυστέρησης (hazard). Υπάρχουν τρεις τρόποι περιορισμού των σπινθηρισμών: Αναμονή μέχρι ωσότου να εμφανιστεί η σωστή έξοδος. Η μέθοδος αυτή δεν συνίσταται κυρίως για ψηφιακά συνδυαστικά κυκλώματα που χρησιμοποιούνται ως οδηγοί ακολουθιακών κυκλωμάτων. Εξισορρόπηση της καθυστέρησης χρησιμοποιώντας διατάξεις πυλών όπως: + + Ψηφιακά Κυκλώματα 46 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Χρήση πινάκων Karnaugh. Ο σπινθηρισμός συμβαίνει συνήθως κατά τη μετάβαση καταστάσεων που είναι γειτονικές στον πίνακα-κ και ομαδοποιούνται μεταξύ τους. Η επίλυση γίνεται ως εξής: ομαδοποιούνται γειτονικά τετράγωνα (cells) ακόμα κι αν αυτά εμπλέκονται σ άλλες ομάδες εισάγοντας έναν άλλο εφεδρικό όρο στην συνάρτηση. Παράδειγμα.2: Βρείτε και απαλείψτε το σπινθηρισμό στη συνάρτηση: F = (, 3,6, 7) F = + + Ο σπινθηρισμός συμβαίνει κατά τη μετάβαση από το τετράγωνο 7 στο τετράγωνο 3, ή από τη κατάσταση = στην =. Από το κύκλωμα εξάγεται ότι αλγεβρικά η F πρέπει να έχει την τιμή, λόγω όμως της καθυστέρησης θα παρουσιάσει στιγμιαία τιμή. Ο σπινθηρισμός μπορεί να αποφευχθεί χρησιμοποιώντας εφεδρικό βρόχο μεταξύ του 7 και 3. Ψηφιακά Κυκλώματα 47 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

οπότε η συνάρτηση γίνεται: F = + + Ψηφιακά Κυκλώματα 48 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Ασκήσεις επανάληψης Άσκηση. Να εκφράσετε τον δυαδικό αριθμό. στον αντίστοιχο δεκαδικό (βάση το ) Λύση: Ακέραιο μέρος: Δεκαδικό μέρος: 6 5 = 2 + 2 +... + = 3. 2 3 4 = 2 + 2 + 2 + 2 =,825 Άρα ο αριθμός είναι : 3.825 Άσκηση.2 Να μετατραπεί ο δεκαδικός αριθμός 278,632 στον ισοδύναμο δυαδικό. (βάση το 2) Λύση: Ακέραιο μέρος διαίρεση με 2 2) 278 2) 39 (πηλίκο) (υπόλοιπο) 2) 69 2) 34 2) 7 2) 8 2) 4 2) 2 2) δεκαδικό μέρος,632 * 2 =,264,264 * 2 =,528,528 * 2 =,56,56 * 2 =,2,2 * 2 =,226,224 * 2 =,448 `,448 * 2 =,896,896 * 2 =,792,792 * 2 =,584, δυαδικός αριθμός:. Ψηφιακά Κυκλώματα 49 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Άσκηση.3 Να μετατραπεί ο δεκαδικός αριθμός 23,456 σε ισοδύναμο οκταδικό Λύση: ακέραιο μέρος 8) 23 8) 5 3 8) 7 73 8 δεκαδικό μέρος,456 * 8 = 3,648 3,648 * 8 = 5,84 5,84 * 8 =,472,472 * 8 = 3,776 3,353 8 άρα ο αριθμός είναι73,3538 Άσκηση.4 Να βρεθεί ο δυαδικός αριθμός που αντιστοιχεί στον δεκαδικό 278 χρησιμοποιώντας κωδικοποίηση D Λύση: } 278 = { { Άσκηση.5 Να μετατραπεί α) ο δυαδικός 2 στον αντίστοιχο δυαδικό του κώδικα Gray και β) ο δυαδικός του κώδικα Gray στον αντίστοιχο κανονικό δυαδικό αριθμό. Λύση: α) Ψηφιακά Κυκλώματα 5 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κανόνας μετατροπής: α) Το πρώτο ψηφίο από αριστερά είναι ίδιο, β) Όταν τα διαδοχικά ψηφία του κανονικού δυαδικού αλλάζουν, τότε το αντίστοιχο ψηφίο του δυαδικού σε κώδικα Gray γίνεται διαφορετικά. β) Κανόνας μετατροπής: α) Το πρώτο ψηφίο από αριστερά είναι ίδιο β) για τα υπόλοιπα, όταν υπάρχει στον κώδικα Gray σημαίνει ότι το αντίστοιχο ψηφίο του κανονικού δυαδικού πρέπει να αλλάξει, ενώ όταν υπάρχει μηδέν παραμένει ίδιο με το προηγούμενό του Άσκηση.6 Να αποδειχθούν οι ισότητες: + = +, D + D + D = D + D XY + XZ + YZ = XY + XZ + YZ Λύση: α) β) + = = ( + ) = + = = + D + D + D = D ( + ) + D = D + D = = ( + )D = ( + )D = D + D γίνεται χρήση της (α) γ ) XY + XZ + YZ = (X + Y) + (X+ Z) (Y + Z) = (X + Y) (X + Z) (Y + Z) = XY + YX + XYZ + YZ + XZ + XYZ + XY + YZ = XY + XZ + YZ Ψηφιακά Κυκλώματα 5 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Άσκηση.7 Να απλοποιηθούν οι σχέσεις: () + + (2) + (3) ( + D + + + ) + Λύση: () + + = 4243 + + = + 4243 + = + + (2) + = () () = ( + + ) (( + ) + ) ( + + ) ( + ) = + + + + = + ( + + ) = + = (3) ( + D + + + ) + = + = Άσκηση.8 Να απλοποιηθούν οι παρακάτω εκφράσεις χρησιμοποιώντας τον πίνακα Karnaugh: () F = D + + D + + D (2) F = (,2,3,5,,) 4,9,3 (Don't carres) ( 3) F = (2,3,7,2,3,4,5) Λύση: () F D F = + + D + D Ψηφιακά Κυκλώματα 52 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

(2) F D D ( ) ( 4 ) D (2 ) ( 8 ) D ( ) ( 5 ) (3) ( 4 ) ( 3 ) ( 7 ) (5) () F = D + ( 2 ) ( 6 ) (4) () (3) F D F = ( + ) ( + + D ) ( + + ) = + D + = F = ( + )( + + D)( + + ) = = + D + Άσκηση.9 Να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα που υλοποιεί την έκφραση: F = ( + ) D E Ψηφιακά Κυκλώματα 53 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κατόπιν να σχεδιαστεί το ίδιο κύκλωμα χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NOR. Λύση: α) D E + F β) ( + )D E = ( + ) D E = + ( + ) + D + E D E E ( + ) + ( + ) + D + E Άσκηση. Δίνεται ο πίνακας αληθείας: F Ψηφιακά Κυκλώματα 54 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα Karnaugh να απλοποιηθεί η λογική συνάρτηση χρησιμοποιώντας και τις δύο κανονικές μορφές (αθροίσματος και γινομένου) 2. Να υλοποιηθούν τα κυκλώματα και στις δύο μορφές 3. Να σχεδιαστούν τα ισοδύναμα των παραπάνω κυκλωμάτων χρησιμοποιώντας μόνο πύλες NND και NOR αντίστοιχα Λύση: F α) Κανονική μορφή αθροίσματος: F = + Κανονική μορφή γινομένου: F = ( + ) ( + ) β). + + 2. + + ( + )( + ) + + Ψηφιακά Κυκλώματα 55 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

γ). NND + = + = ( ) ( ) 2. NOR ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) + F = ( +) + + + Ψηφιακά Κυκλώματα 56 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Κυκλώματα ακολουθιακής λογικής Στα κυκλώματα συνδυαστικής λογικής, τα οποία εξετάσθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, οι τιμές της εξόδου σ οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι συνάρτηση μόνο των τιμών της εισόδου της ίδιας χρονικής στιγμής. Συνδυαστική λογική: τιμές εξόδου = f (παρούσες τιμές εισόδου) Στην ακολουθιακή λογική οι τιμές της εξόδου των κυκλωμάτων επηρεάζονται από τις παρούσες αλλά και τις προηγούμενες τιμές της εισόδου: Ακολουθιακή λογική: τιμές εξόδου = f (παρούσες + προηγούμενες τιμές εισόδου) Γενικές μορφές κυκλωμάτων Είσοδοι Κύκλωμα συνδυαστικής λογικής Καθαρά συνδυαστικό κύκλωμα Έξοδοι Πρωτεύουσες είσοδοι Συνδυαστική λογική Πρωτεύουσες έξοδοι Σήματα ανάδρασης Ασύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα Ψηφιακά Κυκλώματα 57 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Πρωτεύουσες είσοδοι Συνδυαστική λογική Πρωτεύουσες έξοδοι Μνήμη LK Σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα Τα ακολουθιακά κυκλώματα «θυμούνται» μέσω της σύνδεσης της ανάδρασης. Δύο είναι οι κύριες κατηγορίες των ακολουθιακών κυκλωμάτων: Ασύγχρονα: Αλλάζουν κατάσταση σύμφωνα με τις αλλαγές των εισόδων τους. Απαιτούνται ειδικές τεχνικές σχεδιασμού. Σύγχρονα: Τα σήματα ανάδρασης διακόπτονται από καταχωρητές που σκανδαλίζονται από παλμούς ρολογιού. Συνεπώς η κατάστασή του κυκλώματος αλλάζει σύμφωνα με τους παλμούς του ρολογιού. Η κατάσταση του κυκλώματος ορίζεται από το περιεχόμενο των στοιχείων της μνήμης. Flip Flops Τα flip-flops διαθέτουν δύο σταθερές καταστάσεις ( και ), και παρέχουν μνήμη που αποθηκεύει πληροφορία ενός () bit. Υπάρχουν διάφοροι τύποι flip-flops, οι οποίοι ταξινομούνται σύμφωνα με τον τρόπο λειτουργίας τους. Ψηφιακά Κυκλώματα 58 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

R 4444 T 24 D4444 JK 3 clocked unclocked (Latch) Level triggered Edge triggered Master lave Τα flip-flops αποτελούν τα βασικά δομικά στοιχεία για το σχεδιασμό των ακολουθιακών κυκλωμάτων. Το R (et-reset) flip-flop (ff) είσοδος R έξοδος, είναι συμπληρωματικές έξοδοι Πίνακας αληθείας του R-ff + n R n επόμενη κατάσταση παρούσα κατάσταση - ακαθόριστη έξοδος (μη επιτρεπτή περίπτωση ) Για την υλοποίηση του R-ff δημιουργούνται ο εκτεταμένος πίνακας αληθείας και οι πίνακες Karnaugh, όπου το n (παρούσα κατάσταση εξόδου) χρησιμοποιείται ως μεταβλητή εισόδου: + R n n x x Μνήμη Μνήμη et et Reset Reset Ψηφιακά Κυκλώματα 59 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Πίνακας-Κ n+ R n X X = + R n+ Χαρακτηριστική εξίσωση n Το κύκλωμα που υλοποιεί την παραπάνω σχέση είναι: R Χρησιμοποιώντας το θεώρημα De Morgan, η σχέση για σχεδιασμό με πύλες NND έχει ως εξής: n+ = R n R Χρησιμοποιώντας έναν εκτεταμένο πίνακα αληθείας και τους πίνακες-κ που συσχετίζουν τα, R και προκύπτει μια άλλη χαρακτηριστική εξίσωση η οποία δίνεται n +, n από τη σχέση: n+ = R + n από την οποία εξάγεται η σχέση για την υλοποίηση του ff με πύλες NOR Ψηφιακά Κυκλώματα 6 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

R R + + n+ = n Το locked R - ff LK Το σήμα του ρολογιού δρα ως ένα σήμα που ενεργοποιεί το R-ff και επομένως οι έξοδοί του μπορεί να αλλάξουν μόνο όταν ο παλμός του ρολογιού είναι. Flip Flop τύπου D D Υλοποίηση: D k D n + n n K Ψηφιακά Κυκλώματα 6 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Flip Flop τύπου T (Toggle ff) T k T n + n n n n Υλοποίηση: T k R = T R = T Flip Flop τύπου JK J K J k K k J k X X n+ n n n Υλοποίηση: J K k R = J R = K Ψηφιακά Κυκλώματα 62 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Υλοποίηση σύγχρονων flip-flops με όρους R-ff Παράδειγμα 2.: Να γίνει η υλοποίηση ενός T-ff σε όρους ενός R-ff. Απάντηση: Κατ αρχήν δημιουργείται ένας πίνακας συσχέτισης των εισόδων ενός T-ff ( k, T, n ) και των αντίστοιχων εισόδων του R-ff που έχουν το ίδιο αποτέλεσμα στην κατάσταση n+ Πίνακας συσχέτισης: k T n n + R x x x x x x x x x x } Είσοδοι που απαιτούνται για να έχουμε την ίδια αλληλουχία n n+ Καταστάσεις μνήμης ( k = => n+ = n ) Κατόπιν εξάγονται οι εξισώσεις των, R με όρους k, T και n χρησιμοποιώντας τους πίνακες Κ s Τ n R Τ n Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ k k Χ Χ = T n R = T n Τελικό κύκλωμα: Ψηφιακά Κυκλώματα 63 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

T n k R n Σημείωση: Επειδή ουσιαστικά μας ενδιαφέρουν μόνο οι περιπτώσεις που το k =, μπορεί να αγνοηθεί η παράμετρος k, ώστε να προκύπτουν πιο απλοί πίνακες Το παραπάνω παράδειγμα μπορεί να λυθεί απλούστερα ως εξής: T n n+ R Τ X X n Χ = T n R Τ Χ n R = T n Κατά παρόμοιο τρόπο υλοποιούνται τα D-ff και JK-ff από τo R-ff, καθώς επίσης και η υλοποίηση οποιουδήποτε σύγχρονου ff με όρους κάποιου άλλου ff. Προβλήματα που σχετίζονται με απλά σύγχρονα ff. ναπήδηση εισόδου Ψηφιακά Κυκλώματα 64 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

5V H n n k n Αναπήδηση στην έξοδο (ακολουθεί την είσοδο) - φορές 2. Κακή λειτουργία κυκλωμάτων που χρησιμοποιούν διαδοχικά ff π.χ. οι καταχωρητές μετατόπισης Ι n D D D K 3. Ταλαντώσεις σε ff λόγω ανάδρασης π.χ. στο T-ff T k T K Ψηφιακά Κυκλώματα 65 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Μέθοδοι επίλυσης των προβλημάτων Χρήση Αφέντη Σκλάβου ff (Master lave ff) Ρύθμιση του παλμού σκανδαλισμού (edge triggered devices) Διάταξη Αφέντη Σκλάβου ff π.χ. χρησιμοποιώντας D ff IN D (M) D () out LK M M M διάταξη του Αφέντη Σκλάβου ff χρησιμοποιώντας JK-ff J K LK (M) () Δημιουργία εσωτερικού ρολογιού για παραγωγή παλμού βραχείας διάρκειας Αναφέρονται δύο μέθοδοι: Ψηφιακά Κυκλώματα 66 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

α) IN V O D K V O = dv R dt R Απαλείφονται απο τη δίοδο β) (T P καθυστέρηση) LK LK2 LK LK2 Εφαρμογές ff Τυπικές εφαρμογές των ffs είναι:. Απλοί καταχωρητές 2. Κυκλώματα καταχωρητών ολίσθησης 3. Μετρητές Ψηφιακά Κυκλώματα 67 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Απλοί καταχωρητές Π.χ. Καταχωρητής 4 bit bit LK εισόδου στο LK D D 2 D 3 D 4 2 3 4 Μια ομάδα από m ff s αποθηκεύει m bits πληροφορίας. Τέτοιες ομάδες συχνά χρησιμοποιούνται για αποθήκευση πληροφορίας σε συστήματα υπολογιστών. (Προσωρινή αποθήκευση δεδομένων) Καταχωρητές ολίσθησης Για παράδειγμα καταχωρητής ολίσθησης 4 bit χρησιμοποιώντας D-ff P r P r2 P r3 P r4 In D D 2 2 D 3 3 D 4 4 out LK RL RL 2 RL 3 RL 4 DT IN 2 3 4 Ο παραπάνω καταχωρητής είναι γνωστός και ως καταχωρητής IO (erial In erial Out). Εάν σ ένα IO καταχωρητή το είναι το πιο σημαντικό ψηφίο και το 4 το πιο χαμηλής σημαντικότητας ψηφίο (M και L αντίστοιχα), τότε η μετατόπιση γίνεται προς τα δεξιά. Ψηφιακά Κυκλώματα 68 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή το 4 M και το L, τότε η μετατόπιση γίνεται προς τα αριστερά. Σημείωση: Κάθε είσοδος στον καταχωρητή μετατόπισης έχει ως αποτέλεσμα Τη διαίρεση με το 2 εάν είναι ο καταχωρητής μετατόπισης προς τα δεξιά και πολλαπλασιασμό με το 2 εάν είναι καταχωρητής μετατόπισης προς τα αριστερά Π.χ. = 9 καταχωρητής μετατόπισης προς τα δεξιά 9 = 4 = 2 καταχωρητής μετατόπισης προς τα αριστερά = 8 9 2 = ακέραιομέρος 4 ( 8) Κυκλώματα μετρητών Οι μετρητές είναι κυκλώματα τα οποία στην έξοδό τους επιτυγχάνουν μια καθορισμένη ακολουθία σκανδαλιζόμενα από μεταβολές σημάτων (edges), ή παλμούς που παράγονται από κύκλωμα χρονισμού στην είσοδό τους........ Ακολουθία (up counter) αρίθμησης () Κάθε bit του μετρητή χρειάζεται ένα ff (2) Κατά την εφαρμογή ενός παλμού στην είσοδο του μετρητή, ο μετρητής αλλάζει κατάσταση. ( Στο παράδειγμα η κατάσταση ορίζεται από τις εξόδους, και ) Ψηφιακά Κυκλώματα 69 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Η λειτουργία των μετρητών μπορεί να ορισθεί πλήρως με ένα διάγραμμα κατάστασης κατάσταση κίνηση μετάβαση Δύο είναι οι κύριες κατηγορίες των μετρητών o Οι ασύγχρονοι μετρητές (ή Ripple ounters) o και οι σύγχρονοι μετρητές Ασύγχρονοι μετρητές LK T L T T M K K = = Up counter LK T T T K K = = L M Down counter Σημείωση : Στους ασύγχρονους μετρητές μόνο το LD ff δέχεται παλμό από το εξωτερικό ρολόϊ, ενώ όλα τα υπόλοιπα ff s στην αλυσίδα σκανδαλίζονται από την έξοδο του ff της προηγούμενης βαθμίδας. Ψηφιακά Κυκλώματα 7 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Εάν αγνοηθούν οι καθυστερήσεις στις πύλες, τα διαγράμματα εξόδου του LK,, και έχουν ως εξής: LK Λόγω καθυστέρησης στα ff, κατά τη μετάβαση μιας κατάστασης σε μια άλλη, απαιτείται κάποιο χρονικό διάστημα. Στα ασύγχρονα κυκλώματα των μετρητών, κατά τη μετάβαση μιας κατάστασης σε μια άλλη, παρουσιάζονται ενδιάμεσες ανεπιθύμητες καταστάσεις. Π.χ. θεωρήστε μια μετάβαση από τον αριθμό 3 ( ) στον αριθμό 4 ( ) σ ένα ασύγχρονο μετρητή 3 bits LK t p t p t p Παρατηρείστε ότι για να μεταβείτε από την στην δημιουργούνται οι καταστάσεις. Γενικά εάν υπ αρχουν m βαθμίδες ff θα υπάρχει μια συνολική καθυστέρηση mt p. Συνεπώς θα πρέπει να εξασφαλιστεί ώστε η περίοδος του παλμού του ρολογιού να είναι μεγαλύτερη του mt p. Ψηφιακά Κυκλώματα 7 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

LK mt p Σύγχρονοι μετρητές Για να αποφύγουμε τα προβλήματα των ασύγχρονων μετρητών χρησιμοποιούνται σύγχρονοι μετρητές. Στους σύγχρονους μετρητές, όλα τα ff s σκανδαλίζονται ταυτόχρονα με τον ίδιο παλμό. Η βασική υλοποίηση του σύγχρονου μετρητή δίδεται από το κύκλωμα: T D D T c c T T D LK L M Βασική επαναλαμβανόμενη βαθμίδα T D =, T = D T = D T = * * D Το κύκλωμα θα λειτουργεί ως ένας (up-counter) εάν οι καταστάσεις Α Β D ληφθούν απο τα D αντίστοιχα, και ως ένας (Down ounter) εάν οι καταστάσεις D ληφθούν απο τα,,, και Πίνακας εξόδου του (up-counter) D Παρούσα κατάσταση έξοδοι Α Β D D.. Είσοδοι ff ΤΑ ΤΒ Τ T D.. Επόμενη κατάσταση + + + +.. Ψηφιακά Κυκλώματα 72 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Βασικοί ορισμοί για τους μετρητές MODULU Ο αριθμός των καταστάσεων που διατρέχει ο μετρητής έως ότου αρχίσουν να επαναλαμβάνονται MODULU M ή MOD-M Ένας μετρητής με M καταστάσεις MXIMUM MODULU (M max ) Ο μέγιστος αριθμός των καταστάσεων που μπορεί να δημιουργηθούν από τα n bits του μετρητή (M max = 2 n ) Μετρητής πλήρους ακολουθίας : ένας μετρητής του οποίου το MODULU είναι ίδιο με το M max Ο μετρητής του παραδείγματος παραπάνω είναι πλήρους ακολουθίας με n=4 και άρα MOD-6 Μετρητής τμηματικής ακολουθίας: Ένας μετρητής του οποίου το MODULU είναι μικρότερο από το M max ( M < 2 n για έναν n bits μετρητή). Δηλαδή σ ένα MOD-5 τριών bits μετρητή χρησιμοποιούνται μόνο 5 από τις 8 δυνατές καταστάσεις. Καταστάσεις που δεν χρησιμοποιούνται Τροποποίηση του βασικού σύγχρονου μετρητή για τη δημιουργία ενός MOD-M μετρητή Θα μελετηθεί πολύ καλά η σχετική άσκηση από τη 2 η ενότητα των ασκήσεων. Ψηφιακά Κυκλώματα 73 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Εισαγωγή στο σχεδιασμό ψηφιακών κυκλωμάτων με διαγράμματα καταστάσεων (state diagrams) Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το σχεδιασμό σύγχρονων ακολουθιακών κυκλωμάτων Γενική μορφή σύγχρονου ακολουθιακού κυκλώματος που χρησιμοποιείται σε διαγράμματα καταστάσεων (Δ.Κ.) Πρωτεύουσες Είσοδοι Συνδυαστική λογική Πρωτεύουσες Έξοδοι Δευτερεύουσες Είσοδοι Μνήμη LK Μεταβλητές καταστάσεων (Παρούσα κατάσταση Μνήμη Μεταβλητών καταστάσεων Μεταβλητές καταστάσεων (κατάσταση διέργεσης για να παραχθεί η επόμενη κατάσταση) Ένα σύστημα με Ν μεταβλητές καταστάσεων χρειάζεται Ν flip-flops για μνήμη. Διαγράμματα καταστάσεων Είναι η γραφική παράσταση της λειτουργίας ενός ακολουθιακού κυκλώματος Στοιχείο κατάστασης: i O i Όπου i είναι η περιγραφή της κατάστασης i και O i είναι οι έξοδοι που σχετίζονται με την κατάσταση i Ψηφιακά Κυκλώματα 74 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών

Στοιχείο μετάβασης καταστάσεων: i O i I ik I ij j O j I ij : είναι συνθήκες που προκαλούν τη μετάβαση από την κατάσταση i j Παρούσα κατάσταση ( Εάν βρισκόμαστε εδώ) k Ok Επόμενη κατάσταση (Εάν συμβεί το I ij ) Η παραπάνω γραφική αναπαράσταση των διαγραμμάτων κατάστασης είναι γνωστή και ως παράσταση Moore. Παράδειγμα 2.2 Να σχεδιαστεί το Δ.Κ. για ένα ακολουθιακό κύκλωμα MOD-3 με εξωτερική γραμμή ελέγχου για reset ή clear των flip-flops. Απάντηση: Όταν η γραμμή ελέγχου clear ενεργοποιείται τότε τα flip-flops αποκτούν τη μηδενική κατάσταση (cleared). Συνεπώς εάν θεωρηθεί το σήμα στην είσοδο της γραμμής ελέγχου ως μεταβλητή εισόδου τότε Είσοδος LR = τα flip-flops επανέρχονται στην κατάσταση μηδέν Είσοδος LR = το κύκλωμα λειτουργεί κανονικά μεταβαίνοντας από κατάσταση σε κατάσταση Στο παράδειγμά υπάρχουν τρεις καταστάσεις τις οποίες συμβολίζουμε με,2,3 και για τις οποίες απαιτείται να χρησιμοποιηθούν (τουλάχιστον) δύο (2) μεταβλητές καταστάσεων ή 2 flip-flops. Επειδή για LR = τα flip-flops μηδενίζονται, μπορεί (πιθανότατα) να θεωρηθεί ότι = ( Τα και 2 των δύο flip-flops). Βέβαια θα πρέπει να ορισθούν και οι και 2, οι οποίες, εάν δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία, θα μπορούσαν να παρασταθούν με = και 2 = (δηλαδή η κανονική δυαδική ακολουθία) Ψηφιακά Κυκλώματα 75 / 95 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών